de cuong on thi tot nghiep THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (668.87 KB, 82 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Đề CƯƠNG ÔN THI TốT NGHIệP Môn toán

Năm học 2010 - 2011

Biên soạn: Ngô Kiều Lợng- giáo viên môn Toán - Trờng THPT BN NG

CU TRC THI NGHIỆP THPT NĂM 2009

I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)

Ầ

Ấ

Ả

ể

Câu Nội dung kiến thức Điểm

I

 Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.

Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều
biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ
thị của hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương
giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...

3,0

II

 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Tìm ngun hàm, tính tích phân.
 Bài tốn tổng hợp.

3,0

III

Hình học khơng gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón trịn
xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn
xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

1,0

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
(phần 1 hoặc phần 2).

1. Theo ch

ươ

ng trình Chu

ẩ

n:

Câu Nội dung kiến thức Điểm

IV.a

Phương pháp toạ độ trong trong không gian: 
 Xác định toạ độ của điểm, vectơ.

 Mặt cầu.

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

2,0

V.a

Số phức: Mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của

số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức  âm. 1,0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.

2. Theo ch

ươ

ng trình

Nâng

cao:

Câu Nội dung kiến thức Điểm

IV.b

Phương pháp toạ độ trong trong không gian: 
 Xác định toạ độ của điểm, vectơ.

 Mặt cầu.

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng
cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và
mặt cầu.

2,0

V.b

 Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của
số phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức.
 Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng

2
 




ax bx c

y

px q và một số yếu tố liên

quan.

 Sự tiếp xúc của hai đường cong.
 Hệ phương trình mũ và lơgarit.

Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.

1,0

phần chung cho tất cả các thí sinh

CH khảo sát, vẽ đồ thị hàm số

và các bài toán liên quan

i. khảo sát v v th hm s

1. Dạng 1: Hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a0)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1.2. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 – 4

1.3. Híng dÉn

3

1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên

* Ta cã y’ = 3ax2 + 2bx + c

- Xét dấu y’ từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

* T×m cùc trÞ.

- Tìm cực trị tức là tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số (nếu có)
- Cách tìm:

+ Nếu tại x = x0 mà y’ đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x = x0 và giá trị

cực đại là yCĐ = y(x0)

+ Nếu tại i x = x0 mà y’ đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiếu tại x = x0 và giá trị

cùc tiĨu lµ yCT = y(x0)

L

u ý : Nếu qua x0 mà y’ đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại x0, ngợc lại x0 khơng là cực trị

cđa hµm số.
* Tìm các giới hạn:

3 2 3

2 3

3 2 3

2 3

lim ( ) lim (1 )

,
,

lim ( ) lim (1 )

,
,

x x

b c d

ax bx cx d ax

ax ax ax

b c d

ax bx cx d ax

ax ax ax

   

     

       





 


   

* Lập bảng biến thiên.

nếu a > 0
nÕu a < 0

nÕu a < 0
nÕu a > 0

3. Vẽ đồ thị:

Khi vẽ đồ thị hàm số ngoài các chú ý đ trình bày trong SGK học sinh cần lã u ý thêm một
số điểm sau các bớc sau:

- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4

1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y’ = -3x2 + 6x

y’ = 0  x = 0, x = 2

Xét dấu y (bảng xét dấu này học sinh có thể làm ngoài giấy nháp)

x - 0 2 +

y 0 + 0
-Tõ b¶ng xÐt dÊu y’ ta cã

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 0) và (2; +)
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

* Cùc trÞ:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = y(0) = -4

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yC = y(2) = 0

* Các giới hạn:



3 2 3

3
3 4
lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )

x x

x  x   





3 2 3

3
3 4
lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )

x x

x   x  

* Bảng biến thiên.

x - 0 2 +

y 0 + 0

-y

+

-- 4 

4
2

-2
-4

-5 5

3
-1 2

3. Vẽ đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
Giao với Ox (-1; 0), (2; 0)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1.4. Bài tập tự giải:

Kho sỏt v v thị các hàm số sau:

1. y = x3 + 3x2 - 4

2. y = -x3 +3x – 2

3. y = x3 + x2 + 9x

4. y = -2x3 + 5

5. y = x3 + 4x2 + 4x

6. y = x3 – 3x + 5

7. y = x3 – 3x2

8. y = –x3 + 3x2 – 2

9. y = x3 6x2 + 9

2. Dạng 2: Hàm trùng phơng y = ax4 + bx2 + c (a0)

2.1. Các bớc khảo sát và vẽ đồ thị.

2.2.Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 2

2.3. Híng dÉn

5

1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên

* Ta cã y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

- Xét dấu y’ từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm s

* Tìm cực trị.

Cỏch tỡm cc tr hm bc bn đợc làm tơng tự nh hàm bậc ba
* Tìm các giới hạn:





4 2 4

2 4

lim ( ) lim (1 )

x x

b c

ax bx c ax

ax ax

   




      

 

* LËp b¶ng biÕn thiªn.

3. Vẽ đồ thị: Khi vẽ đồ thị hàm số bậc bốn học sinh củng cần lơu ý một số điểm nh vẽ đồ thị hàm
bậc ba.

nÕu a<0
nÕu a>0

1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên

* Ta cã y ‘ = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)

y’ = 0  x = 0, x = 1, x = -1

B¶ng xÐt dÊu y’

x - -1 0 1 +

4x - - 0 + +

x2 - 1 + 0 - - 0 +

y’ - 0 + 0 - 0 +

Từ bảng xét dấu y’ ta có
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; -1) và (0; 1)
* Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 2
Hàm đạt cực tiếu tại x = 1, yCT = y(1) = 1
* Giới hạn:





4 2 4

2 4
2 2
lim ( 2 2) lim (1 )
x  x x x  x x x
       
* Bảng biến thiên
x - -1 0 1 +

y’ - 0 + 0 - 0 +

+ +

3. Đồ thị

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2.4. Bài tập tự giải:

Kho sỏt v v đồ thị các hàm số sau:

1. y = -x4 + 8x2 - 1

2. y = -x4 – 2x2 + 3

3. y = 1 4 2 3
2x x  2

4. y = x4 2x2 3

  

5. y =

2 3

2 2

x
x

  

6. y = 1 4 3 2 3
2x  x 2

7. y = x4 – 2x2

8. y = x4 + x2 + 1

9. y = 1 4 1 2 1
4x 2x

3. Dạng 3: Hàm phân thøc h÷u tû B1/B1 y ax b(ac 0)
cx d



 



6
4
2

-2
-4

-5 5

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3.1. Các bớc khảo sát và vẽ đồ thị.

3.2. VÝ dô

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2
2 1
x
y
x
 



3.3. Híng dÉn

7

1. Tập xác định: D = R\ d
c

 



 

 

2. Sù biÕn thiªn

* Ta cã 2

( )
ad cb
y
cx d

 


- Nếu ad – cb > 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; d
c

   ) vµ ( d;
c
  )

- NÕu ad – cb < 0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; d
c

   ) vµ ( d;
c
  )

* Hàm số không có cực trị

L

u ý : Loại hàm số này không có cực trị
* Tìm các giới hạn:

lim , limd

x x

c

ax b a ax b
cx d c cx d

   

 

 

  , do đó đồ thị hàm số nhận các đờng thẳng x =

d
c
 lµm

tiệm cận đứng và y = a

c lµm tiƯm cËn ngang.
,
lim
,
,
lim
,
d
x
c
d
x
c
ax b
cx d
ax b
cx d



 
  
 
 
  
 
 




 
 




 

* Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị:

Khi vẽ đồ thị hàm số b1/b1, ngoài các lu ý trong SGK học sinh cần lu thêm một số điểm sau:
- Vẽ các đờng tiệm cận lên hệ trục toạ độ

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên
hệ trục tạo độ.

nÕu ad – cb > 0

nÕu ad – cb < 0

nÕu ad – cb > 0

nếu ad – cb < 0
1. Tập xác định D = \ 1

2
R  

 

2. Sù biÕn thiªn

* Ta cã





0,
2 1

y x D

x

    



Do đó hàm số ln nghịch biến trên các khoảng ( ; 1)
2

   vµ ( 1;
2
  )
* Hàm số không có cực trị

* Giới hạn

1 1

2 2

2 1 2 2

lim ; lim ; lim

2 1 2 2 1 2 1

x

x x

x x x

x  x  x

     
     
   
     
    
  

Do đó đị thị hàm số nhận các đờng thẳng x = 1
2

 làm tiệm cận đứng và đờng thẳng y =
1

 lµm tiƯm cận ngang.
* Bảng biến thiên

x - -1

2 +
y

-y -1
2
3. Đồ thị

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3.4. Bài tập tự giải

Kho sỏt v v thị các hàm số sau:

1. y = 2

1
x

x





2. y = 2

2 1
x

x




3. y = 1
1
x
x


4. y = 3

1
x

x



5. y = 1 2
2 4

x
x


6. y = 5

1
x

x



7. y = 2 3
2

x
x



8. y = 3

1
x
x




9. y = 1
1

x
x



Ii. Một số dạng toán liên quan đến bài toán khảo sát hàm số

6
4
2

-2
-4

-5 5

O
-1

2
-1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

4. Dạng 4:Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình F(x;m) =0 (1).

4.1. C¸ch giải:

4.2. VÝ dơ: Cho hµm sè y = -x3 + 3x2 – 4

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa và đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình: -x3 + 3x2 - 4 - m = 0 (1)

4.3. Híng dÉn:

4.4. Bµi tập tự giải:

1. Cho hàm số y = x3 + 4x2 + 4x

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình x3 + 4x2 + 4x + 2 – m =

0(1)

2. Cho hµm sè y = y = x3 – 3x + 5

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình x3 – 3x + 5 +

3
m

= 0(1)

3. Cho hµm sè y =

2 3

2 2

x
x

  

9

Bài toán này thờng đi kèm theo sau bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) vì thế
để sử dụng đợc đồ thị hàm số vừa vẽ trớc hết ta biến đổi phơng trình (1) tơng đơng: f(x) = g(m).

Khi đó số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đờng
thẳng y = g(m).

Dựa và đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phơng trình (1).

a/ Việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đ đ ợc trình bày (xem bi 1.2).ó

b/ Ph ơng trình (1) t ơng đ ¬ng: -x3 + 3x2 - 4 = m(2).

Số nghiệm của ph ơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 - 4 và đ ờng thẳng y = m (luôn song song hoặc trùng với

trơc Ox).

Dựa vào đồ thị (hình 4.3) ta cú:

* Khi m<-4 hoặc m>0: Ph ơng trình (1) vô nghiệm
* Khi m = 0 hoặc m = -4: Ph ơng trình (1) có hai nghiệm
* Khi -4<m<0: Ph ơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

-2

-4

-6

-5 5

y = m

y = m
y = m

  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình

2 1
2

x
x

   + m = 0(1)

4. Cho hµm sè y = 1 4 3 2 3
2x  x 2

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình 1 4 3 2 3

2x  x 2+ m = 0(1)
5. Cho hµm sè y = x3 – 3x2

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x3 – 3x2 – 3 + m = 0(1)

5. Dạng 5: Bài tơng giao giữa đờng thẳng y = px + q và đồ thị hàm số y = f(x).
5.1. Cách giải:

5.2. VÝ dô Cho hµm sè y = 3
1
x
x



 (C). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d): y =
2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

5.3. Híng dÉn

Số giao điểm của đờng thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x) là số nghiệm của
ph-ơng trình hồnh độ giao điểm: f(x) = px + q(1)

Nh vậy để xét sự tơng giao của đờng thẳng và đồ thị hàm số ta giảI và biện luận phơng
trình (1).

Dựa và số nghiệm của phơng trình (1) ta kết luận về sự tơng giao của đờng thẳng y = px
+ q với đồ thị hàm số y = f(x).

Ta có phơng trình hồnh độ giao im: 3
1
x
x

= 2x+m (1).

Đờng thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m khi và chỉ khi phơng trình (1) luôn có
hai nghiệm ph©m biƯt víi mäi m.

ThËt vËy
3
1
x
x



 = 2x+m

3 (2 )( 1)
1

x x m x

x

   


 




( ) 2 ( 1) 3 0(2)
1

g x x m x m

x

   

Xét phơng trình (2), ta có:

2 6 25 0

( 1) 2 0

m m

m
g

    






</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

5.4. Bài tập tự giải.

1. Cho hµm sè y = 1
1
x
x



 (C). CMR đờng thẳng 2x-y+m=0 luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt thuộc 2 nhánh của (C.)

2. Tìm m để đờng thẳng y = x +m cắt đồ thị (C): y = 3
1
x
x

tại hai diểm phân biệt.
3. Cho hàm sè y = 3 2

1
x
x



 .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đờng thẳng y = mx+2 cắt đồ
thị hàm số đ cho tại hai điểm phân biệt.ã

6. Dạng 6: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị y = f(x).

6.1. Cách giải

6.2. Vớ d Cho hm s y = x3 – 3x + 5. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1; 3).

6.3. Híng dÉn:

6.4. Bµi tËp tự giải:

1. Cho hàm số y = x4 2x2 3

   . Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(2, 3)

2. Cho hµm sè y =

2 3

2 2

x
x

   Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1, 0)

3. Cho hµm sè y = 1 4 3 2 3

2x  x 2. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1, -2)

4. Cho hàm số y = x3 – 3x2 Viết PTTT của đồ thị tại các giao điểm của nó với trục Ox.

5. Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 2. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(2, 2)

6. Cho hµm sè y = 1 2
2 4

x
x


 Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox.
7. Cho hàm số y = 5

1
x

x


 Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox

11

* Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị có dạng:

y-y0 = f’(x0)(x-x0) (1)

* T×m f’(x

0) thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến cần tìm.

* Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(1, 3) thuộc đồ thị có dạng:
y-y0 = f’(x0)(x-x0) (1)

* Ta cã y’ = f’(x) = 3x-3

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

7. Dạng 7:Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đờng thẳng x
= a, x = b, trc Ox.

7.1. Cách giải:

7.2 Ví dụ: Cho hµm sè y = x3 - 4x.

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số với các đờng x = -1, x = 2

7.3 Híng dÉn.

a/ Bạn đọc tự giải, đồ thị (hình 7.3)

12

* Ta cã diƯn tÝch ( )

b
a

S



f x dx.

Để tính S ta phảI phá dấu trị tuyệt đối của biểu thức dới dấu tích phân, muốn vậy ta làm nh sau:

Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x), từ đó ta có thể phá dấu trị tuyệt đối.

Cách 2: Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hồnh thì f x( )f x( )
Ngợc lại, nếu đồ thị nămg phía dới trục hồnh thì f x( ) f x( ).

Sau khi phá dấu trị tuyệt đối ta tính tích phân bình thờng, kết quả đó chính là diện tích cần tìm.

b. C¸ch 1

* Ta có diện tích cần tìm

1
4
S x x dx

* Phá dấu trị tuyệt đối: Đặt f(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4)

Trên khoảng (-1; 2), ta cã x3 - 4x = 0  x = 0, x = 2.

* LËp b¶ng xÐt dÊu f(x).

x -1 0 2

x - 0 +

x2 -4 - -4 -

f(x) + 0
-Tõ b¶ng xÐt dÊu, ta cã

2 0 2 0 2

3 3 3 3 3

1 1 0 1 0

0 2

3 3

1 0

4 4 4 ( 4 ) ( 4 )

( 4 ) ( 4 )

S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx

  



         

   



Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.

Cỏch 2: T th ca hm s (hình 7.3), ta có:

Trên khoảng (-1; 0) đồ thị nằm phía trên trục hồnh và trên khoảng (0; 2) đồ thị nằm phía dới
trục hồnh, nên ta có:

2 0 2 0 2

3 3 3 3 3

1 1 0 1 0

0 2

3 3

1 0

4 4 4 ( 4 ) ( 4 )

( 4 ) ( 4 )

S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx

  



         

  

Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.

6
4
2

-2
-4

-5 5 10

O 1
-1

f x = x3-4x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

7.4. Bài tập tự giải

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

1. y = x3 – 3x2 và các đờng thẳng x = -1, x = 2, trục Ox.

2. y = –x3 + 3x2 – 2 và các đờng thẳng x = -1, x = 2, trục Ox

3. y = x3 – 6x2 + 9 và các đờng thẳng x = -2, x = 1, trục Ox

4. y = x4 2x2 3

   và các đờng thẳng x = 0, x = 1, trục Ox

5. y =

2 3

2 2

x
x

   và các đờng thẳng x = -1, x = 1, trục Ox

6. y = 1 4 3 2 3

2x  x 2 và các đờng thẳng x = -2, x = 1, trục Ox

8. Dạng 8: Tìm Điều kiện của tham số m để đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

a/ Cã cùc trÞ.

b/ Ln đồng biến hoặc nghc bin trờn R.

8.1. Cách giải:

13

a/ * Tỡm tp xỏc định D = R
* Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c

Hàm số có cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm

ph©n biƯt.

0
y m

 cần tìm

b/ * Tỡm tp xỏc nh D = R
* Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c

Hàm số luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi
0,

y  x R 0

y
y

m
a



 





cần tìm
Hàm số luôn nghịch biến trên R khi vµ chØ khi

y  x R 0

y
y

m
a




 



 





</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

CHỦ

Đ

Ề

PHƯƠNG TRÌNH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Kiến thức cơ bản

1 – Các tính chất của luỹ thừa.

2– Các tính chất của hàm số muõ.

14

1.1 





   

0 1 n

a 1, a a, a a 0
a

1.2  

 

m n m n m n

a
a .a a , a

1.3

 

an m 

 

am n am.n
1.4 





  

 

n
n

n n

a a
a b a.b ,

b b

1.5 amn nam

Cho haøm soá y a x



0 a 1 



2.1 Tập xác định D = R.
2.2 Tập giá trị : T = (0; +).

2.3 Hàm số y a x đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.

2.4 ax at  x t

2.5         

 

 x t  x t

a 1 0 a 1

x t ; x t

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

3 – Phương pháp giải phương trình mũ.
3.1- Phương trình mũ đơn giản nhất.

* ax ab  x b



0 a 1 



* ax  b x log b a



0 a 1, b 0  



Ví dụ 3x = 5  x = log35

3.2 Phương trình mũ thường gặp
a. Phương pháp đưa về cùng một cơ số.

   

 





    

f x g x

a a f x g x 0 a 1

Ví dụ: 2x 8 2x 23 x 3

    

Bài tập: Giải các phương trình sau

1)    
 

1 5

5 2) 5.5

x – 5x = 2x+1 + 2x+3 3) 



x 1
x x

5 .8 500

4) 16-x = 82(1-x) 5) 52x = 625

b. Phương pháp đặt ẩn số phụ

Đặt t a x (t > 0) {chọn cơ số a thích hợp}

Ví dụ:Giải pt :4x 3.2x 2 0

  

Giải .

Biến đổi pt 4x 3.2x 2 0

    (2 )2 x 3.2x  2 0 (2 )x 2 3.2x 2 0 (1) .

 Đặt t=2x , đk t>0 .

 Pt (1)  t2 3t   2 0 tt12

 .
 Với t=1  2x  1 2x 20  x0 .

 Với t=2  2x  2 2x 21  x1

Đáp số : Nghiệm của phương trình là x=0 , x=1 .

Bài tập: Giải các phương trình

1) 8.3x3.2x 24 6 x 2) 4x 1 2x 4 2x 2 16

3)  

  

4x 8 2x 5

3 4.3 27 0 4)   

 

2 2

x x 2 x x

2 2 3

5) 101 2 101 2 99



 

x x

c) Phương pháp lấy lơragit (cơ số thích hợp) hai vế.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

   





    

f x g x

a b 0 a 1,0 b 1

Lấy lôgarit cơ số a ta được:

 



 

a

f x g x log b

Ví dụ:Giải pt 2
3 .2x x 1

 .

Giải

Lấy Lôgarit cơ số 3 hai vế , ta được :

2 2 2

3 3 3

3 3 3 3

2 2

3 3

3 .2 1 log (3 .2 ) log 1 log (3 .2 ) 0

log 3 log 2 0 log 2 0 (1 log 2) 0
0

0 0

1 1

log 3 log
1 log 2 0 log 2 1

log 2 3

x x x x x x

x x

PT

x x x x

x

x x

x

x x

    

        




 

  

     

   

  

 


Bài tập: Giải các phương trình

1) 3.2 1 72
)
1
2
(
3






x
x

x 2)2x2 3x1,

3)58 1 500

x
x

x 4)logx+1(x2 + 3x - 1) = 1 5) 4

10
ln

x
x

x 

B. PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
Kiến thức cơ bản

Cho a0,a1; x0, x1 0, x2 0.

1) Định nghóa

log b

a x b  x a

Chú ý:

 





 





log x
x
a

1 x a x 0

2 x log a x R

  

  

2) Tính chất









1 2 1 2

1 2

1) log 1, log 1 0
2) log . log log
3) log log log
4) log log ,

log

5) log 0 1

log



 

 

 

 

  

  

a a

a a a

a a

b
a

b

a

x x x x

x

x x

x

x x R

x

x b

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Chú ý: log 1 ; log 1log , 0

log  



  

a a a

b

b x x

a
3) Phương pháp giải
a) Đưa về cùng một cơ số

 



 



 

b
a

a a

log f x b f x a

f x 0 hoặc g x 0
log f x log g x

f x g x

   

  



   






Áp dụng:

Giải pt : log2(x3)log12(2x1)0
Giải

ĐK: x >  21

0
)
1
2
(
log

)
3
(
log

2
1

2 x  x   log ( 3) log (2 1) 0
2

2 x  x 

 log2(x3)log2(2x1)
  x + 3 = 2x + 1

 x = 2

Chú ý: Khi không sử dụng công thức tương đương nhớ đặt điều kiện để hàm số
lơgarit có nghĩa (cơ số phải lớn hơn 0 và khác 1, biểu thức lấy lơgarit phải dương).

Bài tập Giải các phương trình





1) log x 2x 1 2) log x log x 23  3







1









3) lg x 2x 3 lg x 3 2





2 1





4) log x 1 log x 4 0

2    









8 2





1 1

5) log x 3 log x 1 log 4x

2  4   2x 2

6) log 2 log 4x 3 
b) Đặt ẩn số phụ

Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đổi phương trình đã cho thành một phương
trình đại số.

Áp dụng:

Giải pt : log3(2x1)2log2x131
Giải

ĐK: 1

2
1




 x

1
3
log
2
)
1
2
(

log3 x  2x1   log (2 1) log (22 1) 1 0
3

3  






x
x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Đặt t = log3(2x - 1)

Ta được  2 10

t

t  t2 - t - 2 = 0  t = -1, t = 2
Với t = -1  log3(2x - 1) = -1  2x + 1 = 3-1 =

3
1

 x = 
3
1


t = 2  log3(2x - 1) = 2  2x + 1 32 = 9  x = 4
Baøi tập: Giải các phương trình sau

1). log3 xlog 9 3x  . 2).

2
2

log x 3.log x2 0 .

3). Lg4(x - 1)2 + lg2(x - 1)3 = 25 4).log

3(2x + 1) = 2log2x+1 + 1

5) 2log4(3x - 2) + 2log3x-2 = 5

C. Bất phơng trình mũ

1. sử dụng tính đơn điệu

1) 2x < 3x/2 + 1 x<2(chia cho2x)

2) 2.2x + 3.3x > 6x -1 . x < 2

(chuyển 1 sang trái và chia hai vế cho 6x)

3) 8x + 18x

 2.27X x 0

2. Đa về cùng cơ số
1) 2.14x + 3.49x – 4x

 0  x  log2/73 (chia hai vế cho 49x và đặt t = (2/7)x)

2) 2x + 2x + 1

 3x + 3x – 1  x  2

3) 96] 12

3
1
3
3

1 2 1 1















 x x

 -1<x < 0

1
2

3
1
3 2













x
x
x

x

 x  2

5) 3x + 1 – 22x + 1 - 12x/2 < 0

 x > 0(chia cho 3x và đặt ẩn phụ t = ( 4/3

)x)

6) 1

2
3

2
3
.

2 2




 

x
x

0<x log3/23 (chia cả tử và mẫu cho 2x)



2
5
2

5 







 x

x

x

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Chủ đề

Nguyờn hm - tớch phõn

A. nguyên hàm

I. Kiến thức cơ bản

3, Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thờng gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (u=u(x))

19

1, Định nghĩa nguyên hàm:

F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu:
F'(x)=f(x),  x



a b;



2, TÝnh chÊt của nguyên hàm:

f x dx( )

'f x( )



af x dx a f x dx a( ) 



( ) ( 0)





f x( )g x dx( )







f x dx( ) 



g x dx( )

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

dx x C 



1
( 1)
1
x

x dx C


 


  




ln ( 0)
dx

x C x

x   



x x

e dx e C



(0 1)
ln

x

x a

a dx C a

a

   



cosxdxsinx C



sinxdx cosx C



2
cos

dx

tgx C
x  



2 cot

sin
dx

gx C

x  



du u C 



( 1)
1

u

u dx C


 


  




ln ( 0)
du

u C x

u   



u u

e du e C



(0 1)
ln

u

u a

a du C a

a

   



cosudusinu C



sinudu cosu C



2
cos

du

tgu C
u  



2 cot

sin
du

gu C

u  



II. C¸c dạng toán cơ bản

1. Dng 1. ỏp dng công thức biến đổi

1.1 VÝ dô

a) 



2x2  3x 5



dx =2x2dx -3xdx +5dx

=2x2dx -3xdx +5dx = x  x 5x C

2
3
3

2 3 2










 dx
x
x 2
cos
2
sin

3 =







dx

x
dx
x 2
cos
1
2
sin

3 = –3cosx – 2tgx + C

c) dx

x
x
x
x



 
2
1
3
1
4
3
3
2 =



x dx 



x dx 



x2dx

1
3
2
4
1
3
2

= x x x C















1
2
1
3
1
3
1
2
1
4
1
1
2
1
1

3
2
1
4
1

= x  x  x2 C

1
3
1
4
3
6
6
3
4

1.2 Bµi tËp tù gi¶i



af x dx a f x dx a( ) 



( ) ( 0)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

T×m nguyên hàm các hàm số sau:
a, f(x)=x3 cosx 1

x

b, f(x)=5 4 2 12

cos

x x

x

 

c, f(x)= 34 2 5sinx
x x

   d, f(x)=

4 3

2
3x 2x 5

x

 

(x0),

2. Dạng 2. áp dụng nguyên hàm đổi biến số dạng 1

2.1. D¹ng : I =

(ax b)ndx

a) Cách giảI tổng quát

Đặt u = ax b

b) VÝ dơ : T×m I =



5x35dx

Ta cã (5 3) (5 3)

5
1
)
3
5
(
)
3
5
(
5
1
)

3
5

( 5 5 5










 dx x x dx x d x

x

Đặt u = 5x + 3 ta đợc:















 



5 3 5 3

5
1
3

5x 5dx x 5d x



u du u C

6
.
5
1
5

1 6



x



C



x



C

30
3
5
6

3
5
.
5

1 6 6

c) Bài tập tự giải:

Tìm các nguyên hàm sau



3x24dx b,



4x 33dx



6x 16dx d,



2 5x5dx

2.2. Dạng : I =

n axbdx

a) Cách giải:

Đặt u = ax+b

b) VÝ dơ :T×m I =



3 2x3dx

Ta cã : 3 2x3dx = (2 3) (2 3)

2
1
)

3
2
(
)
3
2
(
2

1 31 13








 x dx x d x

x
Đặt: u = 2x + 3 ta đợc:



3 2x3dx=



x d x 



u du u C x 3 C
4
3

4
3

1
3

)
3
2
(
8
3
4

3
.
2
1
2

1
)
3
2

(
)
3
2
(
2
1

c) Bài tập tự giải:

Tìm các nguyên hàm sau

3 x 5dx b,



5 3x4dx

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

2.3. D¹ng : I =

eaxbdx

a) Cách giải :

Đặt u = ax + b

b) VÝ dơ : T×m :



e2x5dx

Ta cã : e2x5dx = e2x5(2x5)dxe2x5d(2x5)

Đặt u = 2x + 5 ta đợc



e2x5dx

= e x d x  eudu eu C e x C



12 2 5 (2 5) 21 21 21 2 5

c) Bài tập tự giải:

Tìm các nguyên hàm sau
a,

e2x3dx



e3x7dx



e53xdx



e5x6dx

2.4. D¹ng : I =

b dx

ax )n

(
1

a) Cách giải

Đặt u = ax + b

b) VÝ dơ : T×m I =



 dx

x 2)5

3
(

Ta cã: (3 2)

)
2
3
(

1
3
1
)
2
3
(
)
2
3
(

1
3
1
)

2
3
(

5
5

5 










 dx x x dx x d x

x

Đặt u = 3x + 2 ta đợc :

C
x

C
u
C

u
du
u
x

d

x          





4 4

4
5

5 12(3 2)

1
12

1
4

.
3
1
1

3
1
)
2
3
(
)
2
3
(

1
3
1

c)Bài tập tự giải:

Tìm các nguyên hàm sau
a,



 dx

x 2)5

(



 dx

x 3)3

7
(



 dx

x 2)5

3
(



 dx

x 2)7

5
(

3. D¹ng 3: áp dụng nguyên hàm từng phần

Công thức nguyên hàm từng phần

udvuv

vdu

3.1 Dạng 1: I =

(axb)exdx .

Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv = exdx

3.2 D¹ng 2: I =



(axb)cosxdx

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

3.3 D¹ng 3: I =

(axb)sixdx

Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv = sinxdx

3.4 D¹ng 4: I =

(axb)lnxdx

Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv = lnxdx

3.5 Dạng 5: I =

xnlnxdx

Phơng pháp:Đặt u = xn, dv = lnxdx

3.6 Ví dụ Tìm: I =

(2x1)exdx

Giải

Đặt













dv

dx

e

x

u

x

1

2











x

e

v

dx

du

2

 I =



(2x1)exdx= (2x + 1) - 2



exdx=2x + 1 2ex+ C

3.7 Bài tập tự giải

Tìm các nguyên hàm sau

2 xsinxdx; b,

(3 2x)cosxdx;



(3x5)lnxdx; d,



(3 5x)exdx; e,

dx
x
x

3ln

B. tích phân

I. kiến thức cơ bản

1. Công thức tính tích phân:

2. TÝnh chÊt cđa tÝch ph©n:

23

1. ( ) 0

a
a

f x dx



2. ( ) ( )

a b

b a

f x dx f x dx



3. ( ) ( )

b b

a a

af x dx a f x dx



;a R



( ) ( )



( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx



5. ( ) ( ) ( )

c b c

a a b

f x dx f x dx f x dx



( ) ( ) ( ) ( )

b
b

a a

f x dx F x F b F a

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

II. Ph ơng pháp tÝch ph©n:

1. Phơng pháp đổi biến số

Qui tắc:

1.1. Ví dụ tính tích phân sau: 1)

0
I tgxdx







1.2. Híng dÉn

Ta cã 







0
4

0 cos

sin




dx
x
x
tgxdx

I

Đặt t = cosx  dt = - sinxdx  sinxdx = - dt
Cận đổi: x = 0  t = 1; x =

4


 t =
2

Khi đó I =

2
2

2
ln
1

2
2











dt t

t

1. Đặt t=v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục
2. Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx=g(t)dt
3. Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)

4. TÝnh

( )

( ) ( )

( ) ( )

v b
v b

v a v a

g t dt G t



5. KÕt luËn

( )

( )
( ) ( )

v b
b

a v a

f x dx G t

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

1.3.Bài tập tập tự giải

Tính các tích phân sau







0 1 3cos

sin



dx
x
x

I 2) dx

x
x
I
e





1

ln
1
3)




2
0
3 cos
sin

xdx
x
I ;
4)




2
0
sin cos

xdx
e

I x ; 5)





6
0
cos

sin
4
1

xdx
x
I

2. Tích phân từng phần

2.1 Công thức tích phân từng phần

b

b b

a a a

udv u v  vdu



2.2. VÝ dô Tính tích phân

6
0

3
sin
2

xdx
x
I
Giải
Đặt

x
v
dv
xdx
dx
du
x

u
3
cos
3
1
3
sin
2











6
0
3
cos
3
1
06
3
cos
2
3
1



xdx
x

x  23  91sin3x06  97

2.3. Bài tập tự giải

Tính các tích phân sau

1/ a,

2
0
2sin

xdx
x

I ; b, I xdx

e





ln ; c,




2
0
sin

xdx
e

I x ;

2/ a,

2 2
1
2
x x
dx
x




2 2 3

3
1

2 6 4
2

x x x

dx
x
 




c,
8
3 2
1
dx
x



3
3
2
6
2 cos
cos
x
dx
x






3/ a,





6
1

1
x x  dx



b,
1 2
3
0
2
1
x
dx
x




c, 3

1
2

x

x e dx




d, 3

3
0
sin
cos
x
dx
x




e, 0x.sinxdx





f,
1
2
0
. x

x e dx



</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>





2x1 lnxdx



h, 2

0
.cos
x xdx





i, 2 3 3
0

sin .cosx xdx





j, 4

2
0cos

tgx

e
dx
x





.ln

e
e

dx
x x



l, 2 5

sin xdx









3 x

x e dx







.cos 2

e
x

e xdx



p, 2

0
.cos

x

e xdx





4/ a, 2

2
0

sin 2
4 cos

x

I dx

x












sin cos

J x x xdx







 d,

1 2

3
0

3
1
x

M dx

x






Chủ đề

Hình học khụng gian

1. Dạng 1 : Thể tích khối đa diện

Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khèi hép ch÷ nhËt

1.1. VÝ dơ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy,
cạnh bên SB bằng a 3. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a .

1.2. Híng dẫn

1.3. Bài tập tự giải

1 ;

. .

3 ;

`

.

KC KLT KHCN

day

V

Bh V

a b c

B S



h Chie u cao



C
A

3 a

a
Theo gi¶ thuyÕt ta có :SA là chiều cao của hình chóp

3a2 a2 a

SA  

Diện tích đáy ABCD là S a.a a2




VËy thĨ tÝch cđa khèi chãp lµ : 2 3

3
2
.

2
3
1

a
a

a

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

1. Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD theo a và b.

2. Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 .Tính thể tích của khối

chãp S.ABCD theo a và b

3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại đỉnh B, cạnh bên SA vng
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

4. Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600

.TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp S.ABCD theo a

5. Cho khèi hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ cã thĨ tÝch V. TÝnh thĨ tÝch cđa khãi tø diƯn C’ABC theo
V.

6. Trªn cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM.TÝnh tØ sè thÓ tÝch của hai tứ
diện ABMD và ABMC.

2. Dạng 2: Diện tích xung quanh, thĨ tÝch cđa khèi cÇu, khèi nãn, khèi trô

3. Phơng pháp xác định tâm của mặt cầu ngoại tip hỡnh chúp

4. Phơng pháp tìm bán kính của tâm mặt cầu :

Da vo cỏc tam giỏc vuụng ng dng hoặc các tam giác vng, đều

5. Ví dụ: Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
600 .Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a

27

Kiền thức cơ bản

1. Cho khi cu S(I,R) khi đó 2 3

3
4
,

4 R V R

S   với S là diện tích mặt cầu, V là thể tích

khối cầu

2. Cho hỡnh tr (T) cú chiều cao h, bán kính đáy R khi đó : Sxq RhV R h

2 

 víi S lµ

diƯn tÝch xung quanh của hình trụ, V là thể tích của khèi trơ

3. Cho hình nón (N) có đờng cao h, đờng sinh l, bán kính đáy R khi đó

h
R
V

Rh

Sxq 2

3
1

, 

 

 víi S lµ diện tích xung quanh của hình nón, V là thể tÝch cđa khèi nãn

Bớc 1 : Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp đa giác đáy

Bớc 2 : Dựng đờng thẳng đi qua tâm và vng góc với mặt phẳng đáy( đờng thẳng này gọi
là trục đờng trịn)

Bíc 3 : Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kú

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

5.1. Híng dÉn

Dề thấy giao điểm O của AC và Db là tâm của đáy ABCD, Vì hình
chóp S.ABCD đều nên SO vng góc với đáy

Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SA, (Q) cắt SA tại P, SO
tại I. khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

B¸n kÝnh của mặt càu là IS.Tính IS

Theo giả thuyết ta có gãc SMN b»ng 600 nªn SO = MO. tan 600

hay

2
3

a

MO

2
5

a

SA ( Tam giác SAO vuông tại O)

Dễ thÊy SAO~ SIP nªn ta cã :

12
3
5

2
3

4
5
.
2

. a

a
a
a
SO

SP
SA
SI
SP
SO
SI
SA








VËy

3
3

2
2

12
3
5
3
4
3

4
,
12
25
12

3
5
.
.
4

4 























 R a a V R a

S    

5.2. Bài tập tự giải:

1. Mt mt cu i qua tám đỉnh của một hình lập phơng cạnh a.
a. Tính bán kính của mặt cầu theo a

b. TÝnh diện tích và thể tích của hình cầu

2. Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy,
cạnh bên SB bằng a 3. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a .
3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại đỉnh B, cạnh bên SA vng
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo
a.

4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 .

a/ Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp h×nh chãp S.ABC theo a
b/ TÝnh diƯn tÝch cđa khãi cÇu

5/ Cho hình trụ có bán kính đáy R và diện tích xung quanh bằng S 4 R2

xq   .TÝnh thĨ tÝch cđa

khèi trơ.

6/ Cho hình trụ có bán kính đáy R và thể tích V 3 R3


 . TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa khèi trơ.

7/ Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cạnh 4a. Tính diện tích xung quanh,
thể tích cđa khèi trơ.

a
B

C
A

O
P

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

8/ Cho h×nh trơ cã chiỊu cao h = 2a. vµ diƯn tÝch xung quanh S 4 a2

xq   . TÝnh thĨ tÝch cđa khối

trụ, diện tích toàn phần của khối trụ.

9/ Tớnh th tích và diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R, gọi A và B là hai điểm
thuộc hai đáy sao cho AB = 3R và góc giữa AB và OO’ bằng 300 .( O, O’ lần lợt là tâm của các

đáy) .

HD : Bµi tập từ 6-10 thuộc loại hình trụ, khối trụ

10/ Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy R. Tính diện tích xung quanh, thể tích của khối
nón

11/ Cho hình nón có chiều cao h, đờng sinh l. Tính diện tích xung quanh, thể tích của khối nón.
12/ Cho hình nón có chiều cao h, góc ở đỉnh bằng 1200 . Tính diện tích xung quanh, thể tích của

khèi nãn.

13/ Cho hình nón có chiều cao h, góc hợp bởi đờng sinh và đáy bằng 300 . Tính diện tích xung

quanh, thĨ tÝch cđa khèi nãn.

14/ Cho hình nón có chiều cao h, góc hợp bởi đờng sinh và đờng cao 300 . Tính diện tích xung

quanh, thĨ tÝch cđa khèi nãn.

15/ Cho h×nh nãn cã thĨ tÝch b»ng V vµ chiỊu cao h. TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa khèi nãn
theo V vµ h.

Chú ý : Khi tính thể tích hoặc diện tích xung quanh của khối nón, hình nón. Ta cần xác định đợc
R, h, l.

*NÕu biÕt h, l th× t×m R b»ng công thức R l2 h2

*Nếu biết h, R thì tìm l b»ng c«ng thøc l R2 h2



*NÕu biÕt R, l thì tìm h bằng công thức h l2 R2

* Nu biết R, và góc ở đỉnh 2 thì : h = Rcot , l =



sin

R

* Nếu biết l, và góc ở đỉnh 2 thì : h = l.cos, R = l.sin

* Nếu biết h, và góc ở đỉnh 2 thì : l =


cos

h

, R = coh.tan

* Nếu biết góc tạo bởi đờng sinh và các đáy và một trong ba yếu tố R, h, l thì làm tơng tự nh trên

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Phần riêng Theo chơng trình chuẩn

CH

Ủ

ĐỀ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

I. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
1.Tọa độ của vectơ

Định nghóa: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ 

u tùy ý ,do i ,j ,k
không đồng phẳng nên tồn tại bộ ba số thực (x ; y ; z) sao 

u= xi + yj + zk
Bộ ba số (x ; y ; z) gọi là tọa độ của vectơ 

u, kí hiệu:u = ( x ; y ; z )

Vaäy 

u = ( x ; y ; z )  u = xi + yj + zk
Các tính chất: 

u = ( x ; y ; z ) , v = ( x’ ; y’ ; z’ )
 u+v = ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )

 u-v = ( x – x’ ; y – y’; z – z’ )

 k u = ( kx ; ky ; kz )






















'
'
'

z

y

x

v

u

2. Tọa độ của điểm :

Định nghĩa: Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM được gọi
là tọa của điểm M .

Vậy nếu 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Ta vieát : M ( x ; y ; z )

M ( x ; y ; z )  OM = xi + yj+ zk

Các tính chaát : A ( xA ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) ta coù ;

 AB = ( xB – xA ; yB – yA ; zB – zA )

 AB = (xB  xA)2(yB yA)2(zB zA)2




































k

kz

z

k

ky

y

k

kx

x

k

MB

k

MA

B
A
M
B
A
M
B
A
M

1 )1

(,

 M là trung điểm của đoạn AB 























2

B
A
M
B
A
M
B
A
M

z

y

x

 G(xG;yG; zG) là trọng tâm tứ diện ABCD 























)

(

4

1 )

(

4

1 )

(

4

1

D
C
B
A
G
D
C
B
A
G
D
C
B
A
G

z

y

x

3 .Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng của hai vectơ :

Cho hai vectô 

a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ta coù :

* 

a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2

* 

a  b  x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0

* | 

a | = 12

2
1
2

1 y z

x  

* cos = 2

2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

. x y z
z
y
x
z
z
y
y
x
x






* 

a và b cùng phương với nhau  x1: y1: z1= x2 : y2: z2

4 . Tích có hướng của hai vectơ:

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

a. Định nghóa : Cho hai vectô 

a = ( x1; y1 ; z1 ) ,


b = ( x2 ; y2 ; z2 ). Tích có hướng

của hai vectơ 

a và b là một vectơ kí hiệu là [a,b ] vaø

[

a,b] =













22

11

22

11

22

11 ;;

yx

xz

zy

Ví du 1ï: Cho ba vectô 

a= ( 2;1 ; 0 ),b= ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ). Tìm tọa độ

của vectơ : 

u = 4a- 2b+ 3c .

Giải:

Ta có: 4a(4.2; 4.1; 4.0) = (8; 4; 0)

2b(2.1; 2.(-1); 2.2) = (2; -2; 4)

Tương tự : 3c (6; 6; -3)

 

u = 4a- 2b+ 3c = (8 – 2 + 6; 4 + 2 + 6; 0 – 4 - 3) = (12; 12; -7 )

Bài tập

1. Viết tọa độ của các vectơ sau :
   





 i j k

a 2 3 4 , b2j i , c 3k , d  k 2i
2. Cho ba vectô 

a = ( 2;-5 ; 3 ),b= ( 0; -2; 1) , c = (-1 ; 6; 2 ).Tìm tọa độ của vectơ



u = 2a - b .








 a b c

v 3

2
1

3. Cho ba vectô 

a = ( 0;-2 ; 4 ),b= ( 1; 3; -1) , c = (2 ; 0; 5 ).Tìm tọa độ của :

a) Vectô d  a b3c

3
1

4 .

b) Vectơ 

x biết x2aa.

c) Vectơ 

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

d) Tìm   







a.b .c , e)   








b.c .a , g )   







a,b .c

4. Cho 3 ñieåm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).

a. Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo.

5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4)
a. Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC.

b. Tính cosin các góc A,B,C .

6. Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; 2 ; 0) , C ( -4; 2 ; 5).
a) Chứng minh A , B ,C là ba đỉnh của một tam giác .

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .

7. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ; -2) , C(-5 ; 2
; -6) .

a) Chứng minh A, B , C là ba đỉnh của tam giác .

b) Tính độ dài phân giác ngồi góc A của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC.

II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
 A. Lí thuyết cần nhớ :

1. Định nghóa :

 Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu nó nằm
trên đường thẳng vng góc với (  ).

Kí hiệu : 

n (  )

 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ a,b 0, không cùng
phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong ( ) được
gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (  ).

Chú ý :

Nếu (  ) có cặp vectơ chỉ phương a,b thì ( ) có một vectơ pháp tuyếnn= [a,b ]

2.Phương trình mặt phẳng:

M ặt phẳng (  ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ) coù vtpt n= ( A; B; C ) có phương trình là :

A ( x – x0 ) + B (y – y0) + C ( z – z0 ) = 0

Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng :

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng
và vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó

Bài tập

1.Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng (  ) trong các trườnghợp sau:
a.(α) đi qua M(2 ; -1 ; -3) và vng góc với trụcc Ox .

b.() là mặt trung trực của đoạn AB với A(1; 3; 2 ), B(-1 ; 1; 0 ).

c. () qua I(-1; 2;4 ) và song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – 1 = 0.
2.Viết phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:

a. () đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , và vng góc với trục Oz .

b. () ñi qua ba ñieåm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) .
3.Viết phương trình mặt phẳng :

a. Đi qua A( 1 ; 0 ; 2) và song song với mặt phẳng xOy.
b. Đi qua M(2 ;-1 ; -3) và vng góc với trục Ox .

c. Đi qua I( -1 ; 2 ; 4) và song song với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 .
d. (α ) là mặt trung tực của đoạn AB với A(1 ; 2 ; 3) , B(-1 ; 1 ; 0).

e. (β ) đi qua ba điểm A(-1 ; 2 ; 3) ,B(2 ; -4 ; 3) , C(4 ; 5 ; 6).

4.Viết phương trình mặt phẳng :

Ví dụ

() là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Viết phương trình tổng quát của mặt
phẳng (  ) trong các trường hợp sau:

() đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz .với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).
Giải:

+ Mặt phẳng() đi qua M (3; 2; -5 ) và vng góc với trục Oz nhận k(0;0;1)làm
vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

0(x - 3) + 0(y -2) + 1(z + 5) = 0  z + 5 = 0
+ Gọi I là trung điểm của AB ta có I(2;-1;1)

Ta có AB(2;8;6). Mặt phẳng trung trực của đoản AB đi qua I và nhận
)

6
;
8
;
2
( 

AB làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát laø:

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

a. Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0) ,B(-1 ; 2 ; 7) và vng góc với mặt phẳng (α) :2x–

3y+z–7 = 0.

b. Đi qua M(0 ;2; -1) , song song với trục Ox và vng góc với mặt phẳng (β) x – y

+z = 0 .

c. Đi qua N(-3;0;1) và vng góc với hai mặt phẳng (P):2x–3y+z –2 = 0 ;(Q):x +

5y– 2z = 0

5.Cho tứ diện ABCD có A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C(5 ; 0 ; 4) ,D(4 ; 0 ;6) .
a. Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD .

c. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và
song song với mặt phẳng (ABC ) .

III. ĐƯỜNG THẲNG
 A. Lí thuyết cần nhớ

B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng:

Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau:
 Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng.
Chú ý :+ Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.

+Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt của mặt phẳng
làm vtcp.

Cách giải:

 Viết phương trình mặt phẳng () qua M và vng góc với ().
 Viết phương trình mặt phẳng () qua M và ().

35

Vectơ 

u  0 nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng (d)
gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M0( x0; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương


u= ( a; b; c)

có phương trình tham số là :























ct

z

bt

y

at

x

0
0
0

t  R

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Chú ý : Nếu ()  mp() thì () nhận VTPT của () làm VTCP

Ví dụ 3: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ():
a. Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3).

b. Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2)
c. Qua D(3; 1; -2) và vng góc với mặt phẳng 3x + 4y – 2z +5 = 0

Giaûi:

a. Đường thẳng () đi qua điểm M( 2; -3; 5) nhận vectơ MN(1;1;2)làm vectơ

chỉ phương có phương trình :
+ Phương trình tham số:

























t

z

t

y

t

x

2

5

3

2

, tR

+ Phương trình chính tắc: 12  13 25


 y z

x

b. . Đường thẳng () đi qua điểm A( 1; -1; 3) song song với BC nhận vectơ
)

2
;
1
;
2
( 

BC làm vectơ chỉ phương có phương trình :

+ Phương trình tham số:























t

z

t

y

t

x

2

3

1

2

1

, tR

+ Phương trình chính tắc: 21 11 2 3






 y z

x

c. Đường thẳng () đi qua điểm D( 3; 1; -2) và vng góc với mặt phẳng

3x + 4y – 2z +5 = 0 nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n(3;4;2) làm
vectơ chỉ phương có phương trình:

+ Phương trình tham soá:























t

z

t

y

t

x

2

4

1

3

, tR

+ Phương trình chính tắc: x3 3y41z22

C. Bài tập :

1. Cho A(4; -3; 2), B(-2; 1; -4)

a. Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
b. Viết PT mặt phẳng quá A, B và song song với Ox.

2. Cho đường thẳng d:

1
1
1 2

x t

y t

z t

 



 


  


</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

3. Viết phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai

điểm

A(-1 ; 4 ; 3) ,B(2 ; 1 ; 1).

4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :

a) Đi qua điểm M( 1 ; - 2 ; 3) và song song với đường thẳng :





















t

z

t

y

t

x

4

3

1

b) Đi qua điểm N( 2 ; 3 ; - 4) và vương góc với mặt phẳng x -2y + z – 6 = 0

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A. LÍ THUYẾT :

1/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng : (d) :

c
z
z
b
y
y
a
x

x 0 0  0






,( d’ ):

'
'
0

'
'
0
'
'
0
c
z
z
b
y
y
a
x
x 




(d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) ,coù VTCP u= ( a; b; c)

(d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0) ,có VTCP u'= ( a’; b’; c’)
a. (d) và (d’) đồng phẳng

 [ , ]. ' 0

0
0
'








M
M
u
u

b. (d) và (d’) cắt nhau  [ , ]. ' 0

0
0
'





M
M
u

u vaø a:b:c  a’:b’:c’
c. (d)//(d’)  a:b:c = a’:b’:c’ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)

d. (d)  (d’)  a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)

e. (d) và (d’) chéo nhau  [ , ]. ' 0

0
0
'







M
M
u
u

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau
a. d: x3 1y12 1z và d’



















0

1

0

2 x

z

y

x

b. d:



















0

1

2

0

1 y

x

z

y

x

và d’:





















0

3

0

1

2 z

y

x

y

x

Giải

a. Đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; -2; 0) có vectơ chỉ phương u(3;1;1). Đường 
thẳng (d’) đi qua điểm M’(-1; 0; 1) có vectơ chỉ phương ,(0; 1; 1)



u .

Tacoù: + [u,u]=(0; 3; -3), MM(-4; -1; 0)

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

+ [u,u].MM=0(-4) +3(-1) +(-3)0 = -3



0  d và d’ chéo nhau
b. Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; -1; 0) có vectơ chỉ phương u(1;2;3). Đường

thẳng (d’) đi qua điểm M’(0; 1; -4) có vectơ chỉ phương u,(1;2;5).

Tacoù: + [u,u]=(4; 8; -4), MM(0; 2; -4)

+ [u,u].MM=4.0 + 8.2 -4.(-4) = 0 (1)

+ -1:2:3



1:2:5 (2)

Từ (1) và (2)  d và d’ cắt nhau

Bài tập : Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau
a) d: x9 1y6 2 z3 3 và d’:

2
5
4

6
6

7 





 y z

x

b) d: x91y6 2 z3 3 vaø d’:

2
5
4

6
6

7 





 y z

x

c) x21 y 22 1z






vaø d’ :























4

3

5

2 z

t

y

t

x

2/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

Chú ý: Điều kiện vng góc giữa 2 mp:

   

    AA BB CC' ' ' 0

B. BÀI TẬP

Bài1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau
a. (



): x + 2y – z + 5 = 0 và ( ): 2x + 3y -7z – 4 = 0

b. (



) : x – 2y + z + 3 = 0 vaø ( ): 2x -y + 4z – 2 = 0

c. (



): x + y + z - 1 = 0 vaø ( ): 2x + 2y -2z + 3 = 0

d. (



): 3x - 2y –3 z + 5 = 0 vaø ( ): 9x - 6y -9z – 5 = 0

e.(



): x - y + 2z -4 = 0 vaø ( ): 10x - 6y + 20z – 40 = 0
Cho hai mp

   

 ,  lần lượt có phương trình:

 

 :Ax+By+Cz+D=0

():A’x+B’y+C’z+D=0

a) ( ) cắt ()

: : ' : ': '

A B C A B C

 

D
D
C

C
B

B
A

A










)
//(
)
( 

   

' ' ' '

A B C D

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Bài 2. Xác định các giá trị l và m để các mặt phẳng sau đây song song với nhau
a. 2x + ly + 2z + 3 = 0 và mx+ 2y - 4z + 7 = 0

b. 2x + y + mz - 2 = 0 vaø x + ly + 2z + 8 = 0

Bài 3. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a) 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và 3x – y +z – 1 = 0 .
b) – x +y – z + 4 = 0 và 2x – 2y + 2z – 7 = 0.
c) x + y + z – 3 = 0 và 2x – 2 y + 2 z – 3 = 0.
d) 3x + 3y – 3z – 12 = 0 và 4 x + 4y – 4z – 16 = 0.

Baøi 4 : Cho hai mặt phẳng có phương trình :(m2–5)x – 2y + mz + m – 5 = 0
vaø x + 2y – 3nz +3 = 0 .

Tìm m , n để hai mặt phẳng :
a) Song song với nhau .
b) Trùng nhau .

c) Song song với nhau .
d) Trùng nhau .

e) Caét nhau .

Bài 5 : Cho hai mặt phẳng : 3x – (m – 3)y +2z – 5 = 0 và (m + 2)x – 2y + mz – 10 =
0 . Tìm m để

a) Hai mặt phẳng song song với nhau .
b) Hai mặt phẳng trùng nhau .

c) Hai mặt phẳng cắt nhau .

V. KHOẢNG CÁCH, GĨC

A. LÍ THUYẾT :

1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0

Kí hiệu: d(M0;()) = 2 2 2
0
0
0

C
B
A

D
Cz
By
Ax








2. Khoảng cách từ một điểm tới mộtđường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( ) đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ

phương u được xác định theo công thức:

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

d(M, ) =





u

u
M
M



,
0

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng d1 đi qua điểm M1 có vecytơ chỉ phương u1



và đường thẳng
d2 đi qua điểm M2 có vecytơ chỉ phương u2



. Gọi h là khoảng cách giữa d1 và d2

ta coù:  
 1 2

2
1
2
1

,
.
,

u
u

M

M
u
u

h  






B. BÀI TẬÂP:

1. Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt

phaúng

() : 2x –2y + z – 5 = 0

2. Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng :x12 y2 1z31
3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

(1):





















0

1

2

0

5 y

x

z

y

x

vaø (2): 1

3
1

2
1







 y z

x

4. Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0
5. Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz cho điểm M(1 ; -2 ; 3) . Tính khoảng cách
từ M đến :

a) Mặt phẳng Oyz .

b) Mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 3 = 0.

VI. MẶT CẦU
A.Lí thuyết cần nhớ:
 Phương trình Mặt cầu:

a. Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình là:
( x- a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2

b. Phương trình : x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a2+b2+c2- d > 0

là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = a2b2c2 d
B.Các dạng bài tập thường gặp:

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0

c)3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – 4 = 0

2. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; 3 ) và đi qua điểm M( 3 ; 2 ; 4 ).
b) (S) có đường kính AB với A(1; 4 ; 5), B ( 3; -2; 7 ).

c) (S) có tâm I( 0 ; 4; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng () : 2x + y – 2z + 8 = 0

d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; 6 ), B( 3; -1; 0 ),C( 0; -7; 3 ),D(-2;1; -1).
3. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1; - 3; 1 )

C( 2; 2; 3 ) và có tâm I nằm trên mặt phaúng Oxy.

Chủ đề

ứng dụng ca tớch phõn

Nội dung trọng tâm

* Tính diện tích hình phẳng
* Tính thể tích khối tròn xoay

I/ Tóm tắt lý thuyết:

1. Công thức tính diện tích hình phẳng:

* Cho min D giới hạn bởi các đờng:
; (a<b)

Ox; ( )

x a x b
D

y f x

 







Khi đó diện tích miền D là: b ( )

a

S



f x dx
* Cho miền D' giới hạn bởi các đờng:

1 2

; (a<b)
'

( ); ( )
x a x b

D

y f x y f x

 




 



Khi đó diện tích miền D' là: ' b 1( ) 2( )

a

S 



f x  f x dx

2. C«ng thøc tÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay:

* Cho miền D giới hạn bởi các đờng:

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

; (a<b)
Ox; ( )
x a x b
D

y f x

 







. Khi cho miỊn D quay quanh trơc

Ox tạo thành khối trịn xoay; thể tích khối trịn xoay đợc
tính theo công thức: b 2( )

a

V 



f x dx

II/ Mét sè ví dụ minh họa:
1. Tính diện tích hình phẳng.

Vớ d 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

0; 1; 2 ;

x x y x x truc Ox
Giải:

Diện tích S của hình phẳng là:

1 2 1 2 2

0 0

0
4

2 ( 2 ) ( )

3 3

x

S 



x  x dx



x  x dx  x 

Chú ý: Khi giả thiết bài tốn cha có cận của tích phân, chúng ta phải đi tìm cận của tích phân
bằng cách giải phơng trình f x1( )f x2( ). Nghiệm tìm đợc là cận của tích phân.

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: y x2 2x

  vµ y x

Gi¶i:

Tìm hồnh độ giao điểm của hai đờng ta có: x2 2x x x 0;x 3

   

Vậy diện tích S của hình phẳng là:

3 2

3 2 3 2 3 2

0 0 0

3 9

( 2 ) 3 ( 3 ) ( )

3 2 2

x x

S 



x  x  x dx



x  x dx



x  x dx    .

Chú ý: Khi hình phẳng giới hạn bởi nhiều đờng, ta sử dụng cách chia khoảng (a;b) thành các
khoảng nhỏ và sử dụng công thức:

( ) ( ) ( ) ( ).

b c b

a f x dx a f x dx c f x dx a c b 



Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: ylnx v y1.

Giải:

Xét phơng trình: lnx 1 lnx 1 x e x; 1
e

     

Khi đó diện tích S của hình phẳng là:

1 1

1 1 1

1 1

ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1

e e e

S 



x  dx



x  dx



x  dx



 x dx



x dx

1 1

(ln 1) e(ln 1) ( ln ) ( ln )e

e
e

S 



x dx 



x dx  x x x x   x x x x 

O a b x

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

(Sư dơng kÕt qu¶



lnxdx x lnx x C  ; VD9 SGK Gi¶i tÝch 12 ChuÈn trang 100)

1
1

1 1

ln ( ln 2 )e 1ln1 ln ln 2 2

e

S x x x x x e e e

e e

        , S 1 e 2

e
  

2. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.

Ví dụ 4: Tính thể tích khối trịn xoay đợc tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đờng y = x; y = 0; x = 1; x = 2.

Gi¶i:

Ta cã:

2
3
2 2

8 1 7
( )

3 3 3 3

x

V 



x dx    

Ví dụ 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đờng y x2 4x 4;y 0;x 0;x 3

      quay quanh

trôc Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.

Giải:

Ta có:

3
5

3 2 2 3 4

0 0

0
( 2) 33

( 4 4) ( 2)

5 5

x

V 



x  x dx



x dx   

Ví dụ 6: Tính thể tích khối trịn xoay đợc tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đờng y 4 x y2; 0

  .

Giải:

Xét phơng trình: 4 x2 0 x 2

 

VËy 2 2 2 2 2 4

2(4 ) 2(16 4 )

V x dx x x dx

 





 



 

3 5

4 384

(16 )

3 5 5

x x

V x





III. Bài tập tự giải

Tớnh din tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
1. y 2x x x y2; 2

   

2. x y 1;x y 1;x y 1;x y 1

3. 1 2; 1

1 2

y y

x

 



4. y x3 1

  và tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x3 1

tại điểm (-1;-2).

5. 10 2

y x x vµ neu 1
2 neu 1

x x

y

x x

 




 



6. y x 1 lnx;y x 1;x e

x

     

7. y 1 1 x y x2; 2

   

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

8. y x y3; 2 x x2; 0

   

Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

9. y 2 x y2; 1

   quay quanh trôc Ox.
10. y 2x x y x2;

   quay quanh trôc Ox.

11. y x2 1;x 0

   và tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x2 1

  t¹i ®iĨm (1;2), quay quanh trơc
Ox.

12. y x x2; y2

  quay quanh trôc Ox.

13. y x 1;y 1;x 1

x x



   quay quanh trôc Ox.

14. y 1;y 0;x 1;x e
x

    quay quanh trôc Ox.

15. yx2 2 ;x y0;x3 quay quanh trôc Ox.
16. y x 1 ;y1 quay quanh trôc Ox.

Chủ đề

Số phức

Néi dung trọng tâm

* Môđun của số phức.

* Các phép toán trên số phức.
* Căn bậc hai của số thực âm.
* PT bËc hai hÖ sè thùc cã  < 0.

I/ Tóm tắt lý thuyết:
1. Kiến thức cơ bản:

* Số i: số i là nghiệm của phơng trình: x2 1 0

 . VËy: i2 1

* Kh¸i niƯm sè phøc:

Số phức z là biểu thức có dạng: z = a + bi trong đó: a b, ; i2 1

 

a là phần thực; b là phần ảo
* Hai số phức b»ng nhau:

;
a bi c di    a c b d 

* Biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ:

44

x
y

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Điểm M(a ; b) trong hệ tọa độ Oxy đợc gọi là điểm biểu diễn
số phức z = a + bi

* Môđun của số phức:

Cho s phức z = a + bi, khi đó độ dài vectơ OM đợc gọi là
môđun của số phức z ký hiệu là z

2 2

z ai b OM  a b

* Số phức liên hợp:

Số phức liên hợp của sè phøc z a bi  lµ z a bi 

Chó ý: z z vµ z z
* Các phép toán trên số phức:

Phép cộng, trừ: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i

      

      

PhÐp nh©n: (a bi c di )(  ) ( ac bd ) ( ad bc i )

Chó ý: cho z = a + bi th×: 22 2 2
.

z z a
z z a b z

 

  

PhÐp chia: c di (c di a bi2)( 2 ) ac bd2 2 ad bc2 2 i

a bi a b a b a b

    

  

  

2 2

(a b 0)
* Căn bậc hai của số thực âm:

Các căn bậc hai của số thực a âm là: i a

Ví dụ: số 1 có hai căn bậc hai là i

số 3 có hai căn bậc hai là i 3 ...

* Nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ só thực.
Xét phơng trình ax2 bx c 0

   víi a b c, , ; a0

b ac

  

- NÕu  > 0 th× phơng trình có 2 nghiệm thực: 1,2

2
b
x

a

- Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép thực: x b
a

- Nếu < 0 thì phơng trình có 2 nghiƯm phøc:

1,2

2
b i
x

a

  



II/ Mét sè vÝ dơ minh họa:

Dạng 1: Tìm môđun của số phức

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

VÝ dơ 1: Cho z 2 i 3, t×m z .

Gi¶i:

Ta cã z ( 2)2 ( 3)2 7

   

VÝ dơ 2: Cho z3i, t×m z .

Gi¶i:

Ta cã z 02 32 3

  

VÝ dô 3: Cho z 5, tìm z .

Giải:

Ta có z ( 5)2 02 5

Dạng 2: Các phép toán trên số phøc
VÝ dô 4: TÝnh (3 - 5i) + (2 + 4i)

Gi¶i:

(3 - 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 - i

VÝ dô 5: T×m x biÕt: 3x + (2 + 3i)(1 – 2i) = 5 + 4i

Gi¶i:

Ta cã: 3x + (2 + 3i)(1 – 2i) = 5 + 4i

 3x + (2 + 6) + (3 – 4)i = 5 + 4i

 3x + 8 – i = 5 + 4i

 3x = - 3 + 5i  1 5

3
x  i

VÝ dơ 6: Thùc hiƯn phÐp chia sau: 3 2
2 3
i
i



Gi¶i:

2 2

3 2 (3 2 )(2 3 ) 12 5 12 5

2 3 2 3 13 12 13

i i i i

i
i

   

   

 

VÝ dơ 7: Gi¶i phơng trình: ( 2 i 3)x i 2 3 2 2 i

Gi¶i:

Ta cã: ( 2 i 3)x i 2  3 2 2 i

 ( 2 i 3)x 3i 2

 3 2

2 3
i
x

i



</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

 ( 3 2)( 22 2 3)

( 2) ( 3)

i i

x  



 x i

Dạng 3: Nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ số thực có < 0
Ví dụ 8: Giải phơng trình x2 x 7 0

Giải:

Ta có 1 4.727 0

Vậy phơng trình có 2 nghiệm phức lµ:

1 27 1 3 3

2 2 2

i

x     i ; 2 1 27 1 3 3

2 2 2

i

x     i

VÝ dô 9: Giải phơng trình x2 2x 4 0

Giải:

Ta có ' 1 4 3 0

Vậy phơng trình cã 2 nghiƯm phøc lµ: x1 1 i 3 ; x2 1 i 3

Phần riêng Theo chơng nâng cao

CH

Ủ

ĐỀ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I.TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
A. Lí thuyết cần nhớ:

1.Tọa độ của vectơ

Định nghóa: Trong kg(Oxyz ) cho vectơ 

u tùy ý ,do i ,j ,k không đồng phẳng
nên tồn tại bộ ba số thực (x ; y ; z) sao 

u = xi + yj + zk
Bộ ba số (x ; y ; z) gọi là tọa độ của vectơ 

u, kí hiệu:u = ( x ; y ; z )

Vaäy 

u = ( x ; y ; z )  u= xi + yj + zk
Các tính chất: 

u = ( x ; y ; z ) , v = ( x’ ; y’ ; z’ )
 u+v = ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )

 u-v = ( x – x’ ; y – y’; z – z’ )
 k u = ( kx ; ky ; kz )

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>





















'
'
'

z

y

x

v

u

2. Tọa độ của điểm :

Định nghĩa : Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM được gọi
là tọa của điểm M .

Vậy nếu 

OM = (x ; y ; z) thì bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M ,

Ta vieát : M ( x ; y ; z )

M ( x ; y ; z )  OM = xi + yj+ zk

Các tính chất : A ( xA ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) ta coù ;

* AB = ( xB – xA ; yB – yA ; zB – zA )

* AB = ( )2 ( )2 ( )2

A
B
A

B
A

B x y y z z

x     



































k

kz

z

k

ky

y

k

kx

x

k

MB

k

MA

B
A
M
B
A
M
B
A
M

1 )1

(,

* M là trung điểm của đoạn AB 























2

B
A
M
B
A
M
B
A
M

z

y

x

* G(xG;yG; zG) là trọng tâm tứ diện ABCD 

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

3 .Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng của hai vectơ :

Cho hai vectô 

a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ta coù :





a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2





a  b  x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0

 |



a | = 12

2
1
2

1 y z

x  

 cos = 2

2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1

2
1

2
1
2
1

. x y z
z

y
x

z
z
y
y
x
x














a và b cùng phương với nhau  x1: y1: z1= x2 : y2: z2

4. Tích có hướng của hai vectơ:
a. Định nghĩa : Cho hai vectơ 

a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ). Tích có hướng

của hai vectơ 

a và b là một vectơ kí hiệu là [a,b ] vaø

[

a,b] =













22

11

22

11

22

11 ;;

yx

xz

zy

b. Các tính chất :

 a cùng phương với b [a,b] =0
 [a,b] a , [a,b]  b

 |[a,b]| = |a |.|b|sin

c.Diện tích tam giác :

Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức:

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

SABC =

2
1

|[AB, AC ]|

d.Thể tích :

 Thể tích V của hình hộp ABCD. A’B’C’D’ được tính bởi cơng thức:

V = |[AB, AD ].AA’|

 Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi cơng thức :
V = 61 |[AB , AC ]AD |

e. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ : 
 Ba vectơ a ,b,c đồng phẳng [a,b].c = 0

 Ba vectơ a ,b,c không đồng phẳng [a,b].c  0

 Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng                              AB AC AD, , đồng phẳng
 Bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng  AB AC AD, ,

  

không đồng phẳng

Bài Tập

Bài 1: Viết tọa độ của các vectơ sau :
   






 i j k

a 2 3 4 , b2j i , c 3k ,








 k i

d 2

Baøi2 : Cho ba vectô 

a= ( 2;-5 ; 3 ),b= ( 0; -2; 1) , c = (-1 ; 6; 2 ).

a) Tìm tọa độ của vectơ : 

u= 2a- b .








 a b c

v 3

2
1

50

Ví dụ: Cho ba vectô 

a = ( 2;1 ; 0 ),b= ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ).

a) Tìm tọa độ của vectơ : 

u= 4a- 2b+ 3c .

b) Chứng minh rằng 3 vectơ 

a,b,c không đồng phẳng .

Giải:

a) Ta có: 4a(4.2; 4.1; 4.0) = (8; 4; 0)

2b(2.1; 2.(-1); 2.2) = (2; -2; 4)

Tương tự : 3c (6; 6; -3)  

u= 4a- 2b+ 3c = (8 – 2 + 6; 4 + 2 + 6; 0 – 4 - 3) =

(12; 12; -7 )

b) Ta coù:



















1

2

0 1-

1

2

0 ;

1 ;

1

2

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

b) Chứng minh rằng 3 vectơ 

a,b,c không đồng phẳng .

Bài 3 : Cho điểm M( - 1; 2 ; 3) . Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M .
Trên trục Ox .

Trên mặt phẳng Oyz.

Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 2 ; 1) ,B(-2 ; 1 ; 2)

a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua Oy.
b) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua xOy.
c) Tìm điểm M chia đoạn A’B’ theo tỉ số - 3
Bài 5: Cho ba vectơ 

a= ( 0;-2 ; 4 ),b= ( 1; 3; -1) , c = (2 ; 0; 5 ).Tìm tọa độ của :

a) Vectô d  a b3c

3
1

4 .

b) Vectô 

x biết x2a a.

c) Vectơ 

u biết 2au5b

d) Tìm   







a.b .c , e)   







b.c .a , g )   








a,b .c

Bài 6. Cho 3 vectơ a= (1; m; 2),b= (m+1; 2;1 ) ,c = (0 ; m-2 ; 2 ) .Xác định m để 3

Vectơ đó đồng phẳng .

Bài 7. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).

c. Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
d. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo.

c. Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ
A.

d. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .

Bài 8. Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).

a. Chứng minh 4 điểm A, B , C , D khơng đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện
ABCD

b. Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .

c. Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d. Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D .

Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) ,

B(2;0;3),C(-3;5;4)

a. Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC.
b. Tính cosin các góc A,B,C .

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

c. Tính diện tích tam giác ABC

II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
 A. Lí thuyết cần nhớ :

1. Định nghóa :

Chú ý : Nếu (  ) có cặp vectơ chỉ phương a,b thì ( ) có một vectơ pháp tuyếnn
= [

a,b]

2.Phương trình mặt phẳng: M ặt phẳng (  ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ) coù vtpt n= ( A;

B; C ) có phương trình là :

A ( x – x0 ) + B (y – y0) + C ( z – z0 ) = 0

Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu nó nằm
trên đường thẳng vng góc với (  ).

Kí hiệu : 

n (  )

 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ a,b 0,không cùng
phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong ( ) được
gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (  ).

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (  ) trong các trườnghợp sau:
() đi qua M (3; 2; -5 ) và vng góc với trục Oz .

() là mặt phẳng trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).

Giaûi:

+ Mặt phẳng() đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz nhận k(0;0;1)làm

vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

0(x - 3) + 0(y -2) + 1(z + 5) = 0
 z + 5 = 0

+ Gọi I là trung điểm của AB ta có I(2;-1;1)

Ta có AB(2;8;6). Mặt phẳng trung trực của đoản AB đi qua I và nhận

)
6
;

8
;
2
( 

AB làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

B.

Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng :

Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng
và vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó

Bài tập

1. Viết phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:

a. () đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz .
b. () đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) .

() đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vng góc với mặt phẳng :
(P): x + y – z = 0 .

() qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vơng góc với hai mặt phẳng :
( 1): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (2 ): 5x – 4y + 3z +1 = 0 .

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng :

(1): 2x + 3y – 4 = 0 , (2) : 2y – 3z – 5 = 0 , (3) : 2x + y – 3z –2 = 0.

a. Viết phương trình mặt phẳng (  ) quiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của(1) ,

(2)

b. Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua giao tuyến của (1) ,(2) đồng thời

vng góc với (3) .

3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
d1::



















0

1

2

0

5

4

2 z

y

x

z

y

x

, (d2) :





















t

z

t

y

t

x

2

3

2

1

Viết phương trình mặt phẳng () qua (d1) và song song với (d2).

Viết phương trình mặt phẳng (1) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai

đường thẳng (d1), (d2) .

4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho điểm M( 2;-1 ; 1) và đường thẳng d:























0

3

2

0

8

3

2 z

y

x

z

y

x

. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vng góc với
đường thẳng d.

5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:1x y21z22 và
vng gócvới mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 3 = 0

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

III. ĐƯỜNG THẲNG
A. Lí thuyết cần nhớ

Vectơ 

u  0 nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng
(d) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M0( x0; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương u = ( a; b; c)

có phương trình tham số là :























ct

z

bt

y

at

x

0
0
0

t  R

Phương trình chính tắc :

c
z
z
b

y
y
a

x

x 0 0  0






 Phương trình tổng qt của đường thẳng :















0 '

0 D

z

C

y

B

x

A

D

Cz

By

Ax

(1) trong đó
A2+B2+C2

 0, A’2+B’2+C’2 0 , A:B:C  A’:B’:C’.

Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vectơ chỉ phương



u = (

''

;

''

;

''

BA

AC

CB

)

B. Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng:

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt của mặt
phẳng làm vtcp.

C. M ột số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp:

1/ Bài tốn 1:Viết phương trình hình chiếu vơng góc của đường thẳng (d) trên mặt
phẳng ( ).

Cách giải :

 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua đường thẳng (d ) và vng góc với ( ).
( Mặt phẳng ( ) nhận vtcp của(d) và vtpt của ( ) làm cặp vtcp )

 Hình chiếu vng góc (d’) của (d) trên ( ) là giao tuyến của ( ) và ( ).
2/ Bài tốn 2: Viết phương trính đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả hai

đường thẳng (d1) , (d2) cho trước .( M  (d1),(d2)) .

Cách giải :

 Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d1))

 Viết phương trình mặt phẳng (M,(d2))

 (d) = (M,(d1))  (M,(d2)).

3/ Bài tốn 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt đường thẳng (d1) và

vng góc với (d2).

Cách giải :

 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và (d1).

 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và ( ) (d2).

 (d) = ()  ().

4/ Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M cắt đường thẳng (
) và vng góc với ().

Cách giải:

 Viết phương trình mặt phẳng () qua M và vng góc với ().
 Viết phương trình mặt phẳng () qua M và ().

 (d) = ()  () .

Ghi chú :Ta có thể giải bài tốn như sau.

 Viết phương trình mặt phẳng () qua M và vng góc với ().
 Tìm giao điểm N của () và( ).

 Viết phương trình đường thẳng MN đó là đường thẳng (d) cần tìm.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

5/ Bài toán 5: Cho đường thẳng () và mặt phẳng ( ) cắt nhau tại điểm M .Viết
phương tình đường thẳng (d) đi qua M nằm trong ( ) và (d) ().

Cách giải :

 Viết phương trình mặt phẳng () qua M và ()Vng góc với (d) .
 (d) = () ().

6/ Bài toán 6 : Viết phương trình đường thẳng () có vtcp u và cắt hai đường
thẳng (d1) và (d2) cho trước.

Cách giải :

Viết phương trình mặt phẳng () qua (d1) và nhận u làm một vtcp.

Viết phương trình mặt phẳng () qua (d2) và nhận u làm một vtcp.

Ví dụ: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ():
d. Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3).

e. Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2)
f.Qua D(3; 1; -2) và vng góc với mặt phẳng 3x + 4y – 2z +5 = 0

Giaûi:

a. Đường thẳng () đi qua điểm M( 2; -3; 5) nhận vectơ MN(1;1;2)

làm vectơ chỉ phương có phương trình :
+ Phương trình tham số:

























t

z

t

y

t

x

2

5

3

2

, tR

+ Phương trình chính tắc: 12 13 25








 y z

x

b. . Đường thẳng () đi qua điểm A( 1; -1; 3) song song với BC nhận
vectơ BC(2;1;2)làm vectơ chỉ phương có phương trình :

+ Phương trình tham số:























t

z

t

y

t

x

2

3

1

2

1

, tR

+ Phương trình chính tắc: 21 11 2 3






 y z

x

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

3x + 4y – 2z +5 = 0 nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n(3;4;2) làm
vectơ chỉ phương có phương trình:

+ Phương trình tham số:























t

z

t

y

t

x

2

4

1

3

, tR

+ Phương trình chính tắc: x3 3y41z22

D. Bài tập :

1. Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng qt























0

2

4

2

0

10

2

3 z

y

x

z

y

x

.
Hãy viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của (d).
2. Cho đường thẳng (d) :



















0

3

2

3

0

2 z

y

x

z

x

và mặt phẳng (): x –2y + z +5 = 0.
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên ().

3. Cho hai đường thẳng: (d1) x31y2z , (d2):



















0

1

0

2 x

z

y

x

a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vng góc với (d1) và cắt (d2).

b. Viết phương trình đường thẳng ( )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vng góc với
hai đường thẳng (d1), (d2).

4. Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng :
3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d): 32 24 21





 y z

x

5. Lập phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường
thẳng : (d1):





















t

z

t

y

t

x

3

4

, (d2):

























t

z

t

y

t

x

5

4

3

2

1

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A. LÍ THUYẾT :

1/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Cho hai đường thẳng : (d) :
c
z
z
b
y
y
a
x

x 0 0  0




,( d’ ):

'
'
0
'
'
0
'
'
0
c
z
z
b
y
y
a
x
x 




(d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) ,coù VTCP u= ( a; b; c)

(d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0) ,có VTCP u'= ( a’; b’; c’)

a. (d) và (d’) đồng phẳng

 [ , ]. ' 0

0
0
'







M
M
u
u

b. (d) và (d’) cắt nhau  [ , ]. ' 0

0
0
'





M

M
u

u vaø a:b:c  a’:b’:c’
c. (d)//(d’)  a:b:c = a’:b’:c’ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)

d. (d)  (d’)  a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)

e. (d) và (d’) chéo nhau  [ , ]. ' 0

0
0
'







M
M
u
u

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau
d: x31y12 1z và d’



















0

1

0

2 x

z

y

x

Giải: a. Đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; -2; 0) có vectơ chỉ phương u(3;1;1). 
Đường thẳng (d’) đi qua điểm M’(-1; 0; 1) có vectơ chỉ phương ,(0; 1; 1)




u .

Tacoù: + [u,u]=(0; 3; -3), MM(-4; -1; 0)

+ [u,u].MM=0(-4) +3(-1) +(-3)0 = -3



0  d và d’ chéo nhau
Bài tập

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

a/ d:





















0

1

2

0

1

3

2 z

y

x

z

y

x

vaø d’: 72 5 13




 y z

x

b/ d:x91y6 2z3 3 vaø d’:

2
5
4
6
6
7 




 y z

x

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau :

a) d:



















0

1

2

0

1 y

x

z

y

x

vaø d’:





















0

3

0

1

2 z

y

x

y

x

b) d:



















0

14

2

0

25

2

3 z

x

y

x

vaø d’: 42 6  81




 y z

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

c) d:x91y6 2 z3 3 vaø d’:

2
5
4

6
6

7 





 y z

x

d) x21 y 22 1z






vaø d’ :























4

3

5

2 z

t

y

t

x

2/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

Cho hai mp

   

 ,  lần lượt có phương trình:

 

 :Ax+By+Cz+D=0

( ):A’x+B’y+C’z+D=0

a) ( ) cắt ()

: : ' : ': '

A B C A B C

 

D
D
C

C

B

B
A

A










)
//(
)
( 

   

' ' ' '

A B C D

      

Chú ý: Điều kiện vng góc giữa 2 mp:

   

    AA BB CC' ' ' 0

BÀI TẬP

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau
a. (



): x + 2y – z + 5 = 0 và ( ): 2x + 3y -7z – 4 = 0

b. (



) : x – 2y + z + 3 = 0 vaø ( ): 2x -y + 4z – 2 = 0

c. (



): x + y + z - 1 = 0 vaø ( ): 2x + 2y -2z + 3 = 0

d. (



): 3x - 2y –3 z + 5 = 0 vaø ( ): 9x - 6y -9z – 5 = 0

e.(



): x - y + 2z -4 = 0 vaø ( ): 10x - 6y + 20z – 40 = 0

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a) 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và 3x – y +z – 1 = 0 .
b) – x +y – z + 4 = 0 và 2x – 2y + 2z – 7 = 0.
c) x + y + z – 3 = 0 và 2x – 2 y + 2 z – 3 = 0.
d) 3x + 3y – 3z – 12 = 0 và 4 x + 4y – 4z – 16 = 0.

Bài 3 : Cho hai mặt phẳng có phương trình :(m2–5)x – 2y + mz + m – 5 = 0 vaø x + 2y

– 3nz +3 = 0 .

Tìm m , n để hai mặt phẳng :

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

a) Song song với nhau .
b) Trùng nhau .

c) Caét nhau .

Bài 4 : Cho hai mặt phẳng : 3x – (m – 3)y +2z – 5 = 0 và (m + 2)x – 2y + mz – 10 =
0 .Tìm m để

d) Hai mặt phẳng song song với nhau .
e) Hai mặt phẳng trùng nhau .

f) Hai mặt phẳng cắt nhau .

V. KHOẢNG CÁCH, GĨC
A. LÍ THUYẾT :

1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0

Kí hiệu: d(M0;()) = 2 2 2
0
0
0

C
B
A

D

Cz
By
Ax








2. Khoảng cách từ một điểm tới mộtđường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( ) đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ

phương u được xác định theo cơng thức:

d(M, ) =





u

u
M
M



,
0

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng d1 đi qua điểm M1 có vecytơ chỉ phương u1



và đường thẳng
d2 đi qua điểm M2 có vecytơ chỉ phương u2



. Gọi h là khoảng cách giữa d1 và d2

ta coù:  
 1 2

2
1
2
1

,
.
,

u
u

M
M
u

u

h  






B.BÀI TÂP:

1/ Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt

phaúng () : 2x –2y + z – 5 = 0

2/ Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng :x12 y2 1z31
3/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

(1):





















0

1

2

0

5 y

x

z

y

x

vaø (2): 11 12 13







 y z

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

4/ Cho đường thẳng d: 21 1 11




 y z

x

và mặt phẳng ():x+ y + 2z – 4 = 0 .
Tính góc giữa d và ()

5/ Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0
6/ Cho đường thẳng (d):





















t

z

t

y

t

x

3

2

1

và mặt phẳng () : 2x – y – 2z +1 = 0.
Tìm các điểm M  (d) sao cho khoảng cách từ M đến () bằng 3 .
7/ Cho hai đường thẳng (d1): 5

4
3

3
2







 y z

x

vaø (d2): 1

4
2

4
3









 y z

x

Tìm hai điểm M,N lần lượt trên (d1) và (d2) sao cho độ dài đoạn MN nỏ nhất.

VI. MẶT CẦU

A.Lí thuyết cần nhớ:
1/ Phương trình Mặt cầu:

a. Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là:
( x- a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2

b. Phương trình : x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a2+b2+c2- d > 0

là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = a2b2c2 d
2/ Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng :

Cho mp() :Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S) có phương trình:
(x – a)2+ (y – b)2 + (z – c)2 = R2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) của (S) trên ()
Vaäy ( , ) A2 B2 C2

D
Cc
Bb
Aa
I

d
IH









 

a. Nếu IH < R thì () cắt (S) theo giao tuyến là một đường trịn ( C)có tâm H
,có bán r = R2 IH2



Phương trình của đường trịn (C) :























0 )

(

)

(

)

(

2 2 2 2

D

Cz

By

Ax

R

c

z

b

y

a

x

b. Nếu IH = R thì () tiếp xúc với (S) tại H .() gọi là mặt tiếp diện của mc(S)
c. Nếu IH > R thì () và (S) khơng có điểm chung

B. Các dạng bài tập thường gặp:

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

1/ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau :
a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y +1 = 0

b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0

c) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – 4 = 0

2/ Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; 3 ) và đi qua điểm M( 3 ; 2 ; 4 ).
b) (S) có đường kính AB với A(1; 4 ; 5), B ( 3; -2; 7 ).

c) (S) có tâm I( 0 ; 4; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng () : 2x + y – 2z + 8 = 0
d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; 6 ), B( 3; -1; 0 ),C( 0; -7; 3 ),D(-2;1;

-1).

3/ Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1; - 3; 1 )
C( 2; 2; 3 ) và có tâm I nằm trên mặt phẳng Oxy.

4/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 = 4và mặt

phaúng (): x + z = 2.

Chứng minh rằng mp() cắt mặt cầu (S).

Xác định tâm và tính bán kính của đường trịn (C) là giao tuyến của () với (S).
5/ Cho (d) :

























t

z

t

y

t

x

2

1

và mặt phẳng () :2x - y – 2z –2 = 0 .Viết phương trình mặt
cầu có tâm

I  (d) cách () một đoạn bằng 2 và cắt mặt phẳng () theo giao tuyến là
đườngtrịn có bán kính bằng 3 .

6/ Cho đường thẳng (d): 2x y1 1z21 và hai mặt phẳng(): x+ y -2z +5 = 0 ,
() : 2x – y + z + 2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm trên (d) và tiếp xúc với

hai mặt phẳng () , ().
7/ Cho dường trịn ( C ) :





















0

1

2

0

17

6

4

2
2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

a) Tìm tâm và bán kinh của ( C ).

b) Lập phương trình mặt cầu (S) chứa đường trịn ( C ) và có tâm trên mặt
phẳng

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

8/ Lập phương trình mặt tiếp diện của mặt cầu (S):x2+y2+z2 – 6x– 2y+4z+5 =0.

Tại điểm M(4; 3; 0 ).

9/ Lập phương trình mặt () tiếp xúc với mặt cầu x2+y2+z2 –26x– 2y-2z –22= 0
biết () song song với (  ): 3x – 2y + 6z +14 = 0.

10/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):























t

z

t

y

t

x

1

3

1

4

và tiếp xúc với

mặt cầu (S) : x2 + y2+ z2 – 2x + 6y+ 2z + 8 = 0

BÀI TẬP

Bài 1 : Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; 2 ; 0) , C ( -4; 2 ; 5).
c) Chứng minh A , B ,C là ba đỉnh của một tam giác .

d) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
e) Tìm a , b để điểm M(a+2 ;2b – 1 ; 1) thuộc đường thẳng AC.

Bài 2: Cho bốn điểm A(-3 ; 5 ;15) , B(0 ;0 ;7) , C (- 4 ; 2 ; 5) , D(4 ;-3 ; 0) .Chứng
minh rằng hai đường thẳng AB và CD cắt nhau .

Baøi 3 : Cho tam giác ABC có A(1 ; 0 ; 3) ,B( 2 ; 2 ;4) , C( 0 ;3 ; -2).

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A, từ đó tìm tâm và bán kính của
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .

Tính góc C của tam giác .

Bài4: Cho ba điểm A(2 ; 1 ; 0) ,B(0 ; 0 ; 1) ,C(1 ; 1 ; 2 ) . Tính diện tích tam giác
ABC, từ đó suy ra độ dài đường cao vẻ từ A của tam giác .

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1 ; 1 ; 0) , B(3 ; -1 ; 1) ,C(5 ; 1 ; 3).Tính độ dài
đường phân giác trong của góc A.

Bài 6: Cho bố điểm A(0 ; -1 ; 0) , B(0 ; 0 ; 2) ,C( 1 ; 0 ; 0) , D(-1 ; 1 ; -2) .
a) Chứng minh rằng A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện .

b) Chứng minh rằng AC vng góc với BD .

c) Tính góc tạo bới hai đường thẳng AB và CD .

d) Tính thể tích của tứ dịen và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A.

Bài 7 : Cho ba điểm A(2 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ;0) , C( 0 ; 0 ; 2) ,D(a ; a ; a) với a là hằng
số a ≠ 0 . Chứng minh rằng OD vng góc với mặt phẳng (ABC) với mọi a.

Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; 0 ; 0) ,B(1 ; 0 ; 0) ,C (0 ; 2 ;0) , A’( 0 ;
0 ; 3).

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

a) Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp .

b) Goi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC , CD, DD’ . Chứng minh
rằng M,N,P,Q đồng phẳng .

c) Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ)

Bài 9 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi M,N lần lượt là
trung điểm của A’D’ và B’B .

a) Chứng minh rằng MN vng góc với AC’ .

b) Chứng minh rằng AC’ vng góc với mặt phẳng (A’BD).
c) Tính góc giữa MN và CC’.

Bài 10 : Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (  ) trong các trườnghợp sau:
a) () đi qua A (1; 0; 2 ) và vng góc với mặt phẳng Oxy .

b) (α) đi qua M(2 ; -1 ; -3) và vng góc với trụcc Ox .

c) () là mặt trung trực của đoạn AB với A(1; 3; 2 ), B(-1 ; 1; 0 ).
d) () qua I(-1; 2;4 ) và song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – 1 = 0.
Bài 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ;
-2) , C(-5 ; 2 ; -6) .

d) Chứng minh A, B , C là ba đỉnh của tam giác .

e) Tính độ dài phân giác ngồi góc A của tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC.

Bài 12:Cho mặt phaúng (P) : 2x + 5y – 7x +1 = 0 .
a) Hãy xác định vectơ pháp tuyến của (P).

b) Xác định m để điểm A(2m – 1 ; m +2 ; m – 1) nằm trên (P).
c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với các trục tọa độ .

d) Tính thể tích phần khơng gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng tọa độ .
Bài 13 : Viết phương trình mặt phẳng :

a) Đi qua A( 1 ; 0 ; 2) và song song với mặt phẳng xOy.
b) Đi qua M(2 ;-1 ; -3) và vng góc với trục Ox .

c) Đi qua I( -1 ; 2 ; 4) và song song với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 .
d) (α ) là mặt trung tực của đoạn AB với A(1 ; 2 ; 3) , B(-1 ; 1 ; 0).

e) (β ) đi qua ba điểm A(-1 ; 2 ; 3) ,B(2 ; -4 ; 3) , C(4 ; 5 ; 6).

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) và cắt ba trục tọa độ tại A, B, C sao cho

M là trọng tâm của tam giác ABC .

b) Viết phương trình mặt phẳng (β ) và cắt ba trục tọa độ tại N, P , Q sao cho

M là trực tâm của tam giác ABC .

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba trục tọa độ tại ba điểm cách
đều gốc tọa độ.

Bài 15 :Viết phương trình mặt phẳng :

a) Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0), B(-1 ; 2 ; 7) và vng góc với mặt phẳng (α)

2x–3y+z–7 = 0.

b) Đi qua M(0 ;2; -1), song song với trục Ox và vng góc với mặt phẳng (β)

x – y +z = 0 .

c) Đi qua N(-3;0;1) và vng góc với hai mặt phẳng (P):2x–3y+z –2 = 0 ;
(Q):x + 5y–2z = 0

Bài 16: Cho tứ diện ABCD có A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C(5 ; 0 ; 4) ,D(4 ; 0 ;6) .
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD .

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Viết phương trình mặt phẳng đi
qua G và song song với mặt phẳng (ABC ) .

Bài 17 : Viết phương trình mặt phẳng :

Đi qua A(1 ; 2 ; 1 ) và chứa trục Oy .

Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng : x – 3z +1 = 0 , 2y +3z – 5 = 0 và vng
góc với mặt phẳng 2x – y – 1 = 0 .

Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng 3x – y + 3z +8 = 0 , -2x – y +z +2 = 0
và song song với mặt phẳng x – y – 1 = 0.

Bài 18 : Viết phưo8ng trình tham số, ptct của đường thẳng đi qua hai điểm A(-1 ; 4 ;
3) , B(2 ; 1 ; 1).

Bài 19 : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng
đi qua

M(2 ; 5 ; -3) và chứa đường thẳng 31 34 23





 y z

x

và mặt phẳng Oxy.
Bài 20 : Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :

a) Có phương trình tổng quát :





















0

1

2

0

5 y

x

z

y

x

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

b) Đi qua điểm M( 1 ; - 2 ; 3) và song song với đường thẳng :





















t

z

t

y

t

x

4

3

1

c) Đi qua điểm N( 2 ; 3 ; - 4) và vương góc với mặt phẳng x -2y + z – 6 = 0
d) Đi qua điểm A( - 2 ; 5 ; 1 ) và song với đường thẳng



















0

5

2

0

1

2

3 z

y

x

z

y

x

e) Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P): x -2y + 3z – 1 = 0 với mặt
phẳng yOz .

Bài 21 :Chứng minh rằng đường thẳng d:



















0

1

2

0

5

2

3

5 z

y

x

z

y

x

nằm trong mặt phẳng
(P):4x – 3y +7z = 0.

Bài 22 :Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau :
a) (P) chứa đường thẳng d và song song với d’ biết :d:























t

z

t

y

t

x

2

3

1

vaø d’:





















0

5

2

0

3

2 z

y

x

z

y

x

b) (P) chứa đường thẳng d và (P) vng góc với mặt phẳng (Q) biết :
d: 21 32  22





 y z

x

vaø (Q) : 3x +2y – z – 5 = 0 .

Bài 23 :Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) : 3x + 12y
– 3z – 5 = 0 ;

(Q) : 3x – 4y +9z +7 = 0 và cắt hai hai đường thẳng :d1: 25 43 31





 y z

x

,d2:

4
2
3
1
2
3 





 y z

x

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

với : d:























t

z

t

y

t

x

1

3

4

12

vaø (P) :3x + 5y – z – 2 = 0 .

Bài 25: Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm của đường thẳng d và
mặt phẳng (P) biết : d : x211y z32 và (P) 2x +y + z – 1 = 0

Bài 26 Chứng minh hai đường thẳng sau đây song vớ nhau và viết phương trình mặt
phẳng chứa hai đường thẳng đó

d: x32 y 211z







vaø d’:





















0

8

0 z

y

x

z

y

x

Bài 27 : Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
sau :

a) d1:























t

z

t

y

t

x

2

3

2

1

, d2 :



















t

z

t

y

t

x

2

3

1

2

b) d1 :























t

z

t

y

t

x

3

2

1

, d2:





















0

8

0 z

y

x

z

y

x

Bài 28: Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz cho điểm M(1 ; -2 ; 3) . Tính khoảng
cách từ M đến :

a) Mặt phẳng Oyz .

b) Mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 3 = 0.
c) Đường thẳng d :





















0

2

0

3 z

y

x

z

y

x

Bài 29 : Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hai đường thẳng :
d1: x31y12 z42, d2 : 21 3 13






 y z

x

.
a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau .

b) Chứng minh rằng d1 song song với mặt phẳng (P) : 6x – 14y – z – 40 =

0 .Tính khoảng cách giữa d1 và (P).

c) Tìm điểm N đối xứng với điểm M( 1 ; -1 ;0) qua đường thẳng d1.

Bài 30 : Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ . Biết tọa độ các điểm A(0 ;0 ; 0) ,B(1 ; 0 ; 0 ) , D( 0 ; 1 ; 0)

và A’( 0 ; 0 ; 1) .

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

a) Hãy xác định các điểm còn lại của hình lập phương .

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’ . Tính khoảng cách giữa
MN và AD.

Bài 31 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( 2 ; 3 ;1), B( 1 ; 1 ; -1),
C(2 ; 1 ; 0) , D(0 ; 1 2) .

a. Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện .

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD .
c. Viết phương trình đường thẳng AB .

d. Viết phương trình mặt cầu có tâm trên đường thẳng AB và qua hai điểm C và D.
Bài32: Tính góc giữa :

a) d1 :

























t

z

y

t

x

4

1

3

2

, d2 :





















0

4

0

3 z

y

x

z

y

x

b) d: x31y12z42 vaø (P): 3x + y – z +13 = 0

Bài 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1 ;2 ;-3) và mặt phẳng
(P):4x–y + 4z -15 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của M trên (P).
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P).

Bài 34 :Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau :
a) x2 + y2 + z2 – 6x +2y – 4z – 2 = 0.

b) x2 + y2 + z2 – 4x +8y +2z – 4 = 0

Bài 35 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường tròn (C) có phương trình :

















0

18

5

4

0

32

4

6

4

2
2
2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

. Tìm tâm và bán kính của (C) .

Bài 36 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) đi qua
3 điểm

A(1 ; 1 ; 0), B(-1 ; 1 ; 2) , C( 1 ; -1 ; 2) và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y
+ z – 4 = 0 .

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (P) . Tìm tọa độ tiếp điểm .
Bài 38 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A( 0 ; 0 ; 1) ,B(2 ; 1 ; 1) ,
C(1 ; 0 ; 0).

Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .

Bài 39 : Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3 ; 2; 6 ),
B( 3 ; -1 ; 0 ),

C( 0; -7 ; 3 ),D(-2 ;1 ; -1).

Bài 40 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho dường thẳng d:
1

2
1

2
2

1 





 y z

x

và hai điểm A( 0 ;1;-1) , B(2; -1 3).Viết phương trình mặt cầu
(S) có tâm trên d và (S) đi qua hai điểm A,B

Bài 41: Cho đường thẳng (d): 2x y1 1z21 và hai mặt phẳng(): x+ y -2z +5 = 0 ,
() :2x – y + z + 2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm trên (d) và tiếp xúc với

hai mặt phẳng (),().

Chủ đề

Số phức

Các dạng tốn thờng gặp

1, D¹ng 1 :Thực hiện phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các số phức

1.1 Cách giải tổng quát :

69

Cho hai s phc zabi, z'a'b'i. Khi đó

1, Céng hai sè phøc : zz'aa'  bb'i

2, Trõ hai sè phøc : z z'a a'  b b'i

4, Số phức liên hợp, mô đun :

-Số phức liên hợp của số phứczabi là z a bi
- Mô đun của số phức zabi là z a2 b2




5, Chia hai sè phøc : Chia hai số phức z cho z khác 0 ta làm nh sau : ' z'.z1
z

z

víi

z
z
z 1 12





, tøc lµ :









aa bb

 

ab a b



i



b
a
b
a

bi
a
i
b
a
z
z

'
'
'

'
.
1

'
'
'

2
2
2

2   







</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

1.2. VÝ dô. TÝnh:

a/ 5 + 2i – 3(-7+ 6i) ; b/









1 2 15 1 tan

2 3 3 ; / 1 2 ; / ; / .

2 3 2 1 tan

i i

i i c i d e

i i


 
 
    
 
 

1.3 Híng dÉn

i2 =-1, i4=1

1.4 Bµi tËp tù lun

TÝnh :

1/ a,



1 2i



i3 2i, b/



3 2i



2, c/



1 2i



3 2i, d/1i i 3 2i,

e/
i
i
2
1
5
2


, f/
i
i


1 , g/1 3i

 , h/ i

i
5
2
, k/
i
i


1
2

2/ Cho z i

2
3
2
1



 . TÝnh ,1,z2,

 

z 3,1 z z2,z2

 

z 2

z

z   

2. D¹ng 2.Tính môđun
2.1 Cách giải tổng quát

Mô đun của số phức zabi là z a2 b2

2.2 Ví dụ :

Môđun cđa z i

2
3
2



 lµ 1

2
3
2

1 2 2

















z .

2.3 Bài tập tự luyện

Tìm Môđun của các số phức sau



1 2i



, b/



3 2i



2, c/



1 2i



3 2i, d/3 2i, e/

i
i
2
1
5
2


, f/
i
i

1

3. Dạng 3: Căn bậc hai của số phức`
3.1 Cách giải tổng quát

a/ 5 + 2i 3(-7+ 6i)=26-16i

i



i





i i

2
3
3

4
2
1
.
3
3
.
2
3
.
3
2
1
.
2
3
2
1
.
3

2   






























1 2i



2. 1 2.1. 2i 2i2 1 2 2i











i



i





 



i





i



i
i
49
24
13
1
3
.
15
2
.
2
2
.
15
3
.
2
13
1
2
3
2
3
15
2
2
3
15

2
2

2  

Số phức wabi có căn bËc hai lµ sè phøc zxyinÕu

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

3.2 Ví dụ : Tìm căn bậc hai của sè phøc : 3+4i

Chó ý : Khi t×m căn bậc hai của số phức ta phải giải hệ phơng trình

b

xy

a

y

x

2

2
2

, x, y là các số

thực

3.3 Bài tập tự luyện

Tìm căn bậc hai của mỗi số phøc sau :

a/  14 3i, b/ 46 5i, c/  12 6i, d/ 3 4i, e/ i, f/ -4

4. Dạng 4: Phơng trình bậc hai Az2 +Bz + C =0, A, B, C là các số phức

4.1 Cách giải tổng quát

4.2 Ví dụ: Giải các phơng trình

a/ 2 1 0



 z

z b/ 2  2  2 0







 i z i

z

a/ 2 1 0



 z

z b/ 2  2  2 0






 i z i

z

4.3 Híng dÉn

a/  12 4.1.1 3 0









 , nên PT có hai nghiệm phân biệt là :

2
3
1 i

b/  2 2 4.1. 2 3 4 2 2 0

i
i
i
z

i
i

z          

2
2
2
,
2
2
2
2
2
1

Chó ý : Nếu PT bậc hai có hệ số là các số thực thì nghiệm là hai số liên hợp nhau

4.4 Bài tập tự luyện

Giải các phơng trình sau

1. a/ z2  z 10 , b/ z22z50, c/ 2 1 3 21  0






 i z i

z ,





2 2 1






i z iz

z

71

Ta có B2 4AC

A
B
z
A
B
z
2
,
2 2
1


  




 víi  là một căn bậc hai của

* Nếu =0 th×

A
B
z
z
2
2
1




Gọi căn bậc hai của số phức 3+4i là x+yi. khi đó ta có

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

2. a/ 1 1

z

z , b/ 1  2

z

z , c/ i

z
z1 2
3. T×m b, c sao cho phơng trình : 2 0

bz c

z có một nghiệm là : 1+i

5. Dạng 5 : Dạng lợng giác cđa sè phøc

5.1 VÝ dơ

a/ sè 2 cã d¹ng lợng giác là 2(cos0+isin0)

b/ Số 1+i có môđun bằng 2 và có một acgumen bằng
4

nên dạng lợng giác là:

4
sin
4
cos

2 i

z

c/ Số 1 3i có môđun bằng 2 và có một acgumen thoả m n Ã

2
3
sin
,
2
1

cos nên chọn

và dạng lợng giác của1 3i là

3
sin
3
cos

2 i

z

d/ Số : cosisin có dạng lợng giác là

cos

isin

e/ Số : cos isin có dạng lợng giác là cos isin

Chú ý : ở dạng lợng giác của các số phức yêu cầu r>0
5.2 Bài tËp tù lun :

ViÕt c¸c sè phøc sau díi dạng lợng giác
a/ 1 3i, b/ 1 i, c/ 1 i



1 3i



, c/

i
i
2

1
5
2



, e/ 1 i2i, f/

i

2
1

 , g/ icossin

6. Dạng 6 : ứng dụng của công thức Moa-vrơ
Công thức Moa-vrơ

6.1. ứng dụng tìm căn bậc hai của số phức dới dạng lợng giác zrcosisin

6.2. Cách giải tổng quát

r cosisin

n rn

cosnisinn

Dạng lợng giác của số phức zabi lµ zrcosisin

víi r a2 b2


 .
r
b
r
a

 

 ,sin

cos

TÝnh 2 2

b
a

r  , xác định acgumen  thoả m nã :

r
b
r
a

 

 ,sin
cos

Sè phøc ® cho Ã có hai căn bậc hai dạng lợng giác lµ :








2
sin
2

cos i 

r vµ 








2
sin
2

cos i 

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

6.3. Ví dụ

Tìm căn bậc hai cđa sè phøc 1-i

6.4 Híng dÉn

Ta cã 1-i = 







 




4
sin
4

cos

2  i  nªn căn bậc hai của số phức 1-i là :

8
sin
8

cos
2

4  

i vµ 





























8
sin
8

cos
2

4 




 i

6.5 Bµi tËp tù luyÖn

1/ TÝnh a/ 3 i6

 , b/

6
3
1

i

2/ Tìm căn bậc hai cđa c¸c sè phøc sau : 3-4i, 4+3i, 1+i, 3, 4i,
1
2



i

Chủ đề

ứng dng ca tớch phõn

I. Diện tích hình phẳng

1 Dng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f(x) và các đờng thẳng x =a, x = b,
trc honh

1.1 Cách giảI tổng quát:

1.2 VÝ dơ:

a/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x3 - 1 và các đờng thẳng x = 2, trục

hoµnh

b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x3 - 1 và các đờng thẳng

x = 2 , trơc tung vµ trơc hoµnh

73

Diện tích hình phẳng đợc xác định bởi công thức: S = f

 

x dx

b

a



(1)

Để tính đợc tích phân (1) ta phảI thực hiện các bớc sau:

Bớc1: Giải PT: f(x) = 0 tìm thêm nghiệm thuộc đoạn [a;b]( nếu có)
Bớc 2: Xét dấu f(x) trên đoạn[a;b] để khử dấu giá trị tuyệt đối

Bíc 3: TÝnh S = f

 

x dx

b

a



</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

1.3 Híng dÉn

Chó ý:

* Nếu bài tốn cho mới có một cận thì phải giải: PT f(x) = 0 để tìm cận thứ hai và xét dấu tích
phân f

 

x dx

b

a



* Nếu bài tốn cha cho cận thì phải giải: PT f(x) = 0 để tìm các cận và xét dấu tích phân

 

x dx

f

b

a



1.4 Bµi tËp tù gi¶i:

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= sinx+1 , trục hoành và các đ ờng thẳng
x= 0,

6
7



x

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 4-x2 , trục hoành và các đờng thẳng x=

0, x = 3

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= cos2x , trục hoành và các đờng thẳng

x= 0,

x





4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 1-x2 , trục hoành và các đờng thẳng x=

0, x = 3

5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 4+x2 , trục hoành và các đờng thẳng x=

0, x = 3

2/ Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f(x), y= g(x) và hai đờng thẳng x
=a, x = b

2.1 Cách giảI tổng quát

74

Din tớch hỡnh phng c xỏc định bởi công thức: S = f

 

x dx

b

a



(1)

a/ XÐt pt: x3-1=0  x1. VËy





4
11
4

1
1

1
4
2

1
3
2

1
3





















x dx



x dx x x

S

b/ DÔ thÊy 3 1 0




x trªn [0;1], 3 1 0




x trên [1;2]. Do đó diện tích của hình phẳng cần tìm là









2
7
4
11
4
3
4

4
1

1
4
1

0
4
2

1
3
1

0
3
2

0
3




































x dx



x dx



x dx x x x x

S

Diện tích hình phẳng đợc xác định bởi công thức: S = f

 

x g

 

x dx

b

a



 (1)

Để tính đợc tích phân (1) ta phảI thực hiện các bớc sau:

Bớc1: Tìm nghiệm của phơng trình f(x)= g(x) trên đoạn [a;b] (nếu có)
Bớc 2: Xét dấu f(x) – g(x) trên đoạn[a;b] để khử dấu giá trị tuyệt đối

Bíc 3: TÝnh f

 

x g

 

x dx

b

a





</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

2.2. VÝ dơ

a/Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x3 - 4x, trục hoành, đờng thẳng x = -2

và đờng thẳng x = 4.

b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 2-x2 và đờng thẳng y = -x

75

Diện tích hình phẳng đợc xác định bởi cơng thức: S = f

 

x g

 

x dx

b
a




XÐt PT:












2
2
0
0
4
3
x
x
x
x
x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x3 - 4x, trục hoành, đờng thẳng

x = -2 và đờng thẳng x = 4 là



















      



4
2
3
2
0
3
0
2
3
4
2

3 4xdx x 4xdx 4x x dx x 4x dx

x

S

2 4 4 32 40

4
2
2
4
4
2
2
4
2
0
4
2
0
2
2
4






























x
x
x
x
x
x
(§VDT)

b/ Diện tích hình phẳng đợc xác định bởi công thức: S = f

x g

x dx

b

a

Xét phơng trình

2

1

2 x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 2-x2 và đờng thẳng y = -x là

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

2.3 Híng dÉn

2.4 Bµi tËp tù lun:

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hai hàm số y x,y 3 x

b/ Đồ thị hai hµm sè y 2x2,y x4 2x2




 trong miỊn x0

c/ Đồ thị hai hàm số y x2 4,y x2 2x

và các đờng thẳng thẳng x = -3 và x = -2

d/ Đồ thị hai hàm số y x2 4,y x2 2x







Chú ý: *Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f(x), y= g(x) và đờng thẳng x
=a, x = b ta cần giải PT f = g để tìm các nghiệm thuộc đoạn [a;b]

*Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f(x), y=g(x) ta cần giải PT: f=g để lấy
cận cho tích phân.

II. ThĨ tÝch cđa vËt thĨ

1. Thể tích vật thể sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f(x), trục hoành và hai đờng
thẳng x =a, x = b khi quay quanh trục hoành

1.1 Cách giảI tổng quát

1.2 Ví dụ:

Cho hỡnh phng A giới hạn bởi các đờng y= x2, y=0, x= 0, x= 2. Tính thể tích của khối

trßn xoay tạo thành khi quay hình A quanh Ox.

1.3 Hớng dẫn

5
32
5

0
5
2

0
4

 












x dx x

V

1.4 Bµi tËp tù lun:

1/ Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đờng y= xex/2, y=0, x= 0, x= 1. Tính thể tích của khi trũn

xoay tạo thành khi quay hình A quanh Ox

2/ Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đờng y= cosx, y=0, x= 0, x/4. Tính thể tích của khối
trịn xoay tạo thành khi quay hình A quanh Ox

3/ Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đờng y= x3, y=0, x= 0, x= 2. Tính thể tích ca khi trũn xoay

tạo thành khi quay hình A quanh Ox

4/ Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đờng y=x1/2ex/2, y=0, x= 0, x= 1. Tính thể tích của khi trũn

xoay tạo thành khi quay hình A quanh Ox

Thể tích của vật thể đợc tính bởi cơng thức: 



 

b

a

dx
x
f

V 2



</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Chủ đề

Hàm số phân thức bậc hai trờn

bc nht

Các dạng toán thờng gặp

1. Dng 1: Kho sỏt s bin thiờn và vẽ đồ thị hàm số ,





'
'
2





 a
b
x
a
c
bx
ax
y

1.2 Quy trình bài toán KSHS

Tuân theo các bớc khảo sát hàm sè bËc nhÊt trªn bËc nhÊt

1.3. Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1
6
2
2




x
x
x
y

1.4 Híng dÉn

1.Tập xác định: R\{1}
2.Khảo sát sự biến thiên

a, Giíi h¹n vô cực, giới hạn tại vô cực, tiệm cận

1
6
2
lim
lim
2
1
1 x
x
x
y
x
x
, 






 
 1
6
2
lim
lim
2
1
1 x
x
x
y
x
x

Vậy đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đò thị hàm số khi 

 1

x vµ khi 

 1
x










 1
6
2
lim
lim
2
x
x
x
y
x
x
, 







 1
6
2
lim
lim
2

x
x
x
y
x
x

TiƯm cËn xiªn: Ta cã

1
9
3
1
6
2
2







x
x
x
x
x





1
9
lim
3
lim 








 y x x x

x ,





1 0

9
lim
3
lim 








 y x x x

x

Vậy dờng thẳng y = x +3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x  và khi

x





b, ChiỊu biÕn thiªn
* Ta cã



1



</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>









9 2, 4

9
1

0 2

2       






 x x x

x
y

* Bảng biến thiên

-2 1 4





y’ + 0 - - 0 +
y -2











10
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (





; -2) và (4;





)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-2;1) và (1;4)
Hàm số đạt cực đại tại x = -2, GT cực đại y = -2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, GT cực tiểu y = 10
3.Đồ thị

§å thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;-6)
Đồ thị hàm số không cắt trục hoành

th hm s nhận điểm I(1;4) làm tâm đối xứng

1.5 Bµi tËp tù gi¶i:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a,

1
1
2






x
x
x

y ; b,

1
2
2






x
x
x

y ; c,

2
4
2






x
x
x

y ; d,

2
2
2 2






x
x
x

y ;

20 10 10 20

g x  = x+3
f x  = x2+2

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

e,
2
2
1
2




x
x

y ; f,

2
2
1
2




x
x

y ; g,

2
1
1




x
x

y ; h,

x
x

y 4

C¸c dạng toán liên quan tơng tự nh hàm số bậc nhÊt trªn bËc nhÊt

Chú ý: hàm số bậc hai trên bậc nhất ln có tiện cận đứng và tiệm cận xiờn

2. Dạng 2: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất.
2.1. Phơng pháp chung

2.2 Ví dụ:

a/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2
4
2
)
(
2

x
x
x
x

f trên đoạn [3;7]

b/ Tìm GTNN của hàm số

2
2
1
2

x
x

y trên koảng (-3/2;7)

2.3 Híng dÉn

a/ Ta cã: 2

2 ( 2)

4
)
2
(
4
1
)
(

'






x
x
x
x
x
f

























]7;

3[

4 ]7;

3[

0 )2

(

4

0 )('

2
2

x

f

Ta cã f(3) = 7, f(7) = 39/5, f(4) = 6.

VËy GTLN cđa hµm sè trên là: 39/5, GTNN cảu hàm số trên là 6

b/ Ta có: 2

2 ( 2)

3
4
.

2
)
2
(
2
2
)
(
'

x
x
x
x
x
f
79

Phơng pháp 1: lập bảng biến thiên nếu bài toán tìm GTLN,GTNN trên khoảng(a;b)
Phơng pháp 2: Nếu bài toán tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a;b] thì làm theo các bớc

Bớc 1: Tính f(x)

Bớc 2: Tìm nghiƯm x1, x 2 cđa PT f’(x) = 0 trªn đoạn [a;b]

Bớc3: So sánh f(a), f(x1), f(x2), f(b)

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>





































 

















7;

2

3 7;

2

3

1

0 )2

(

3

4

0 )(

'

2

x

f

B¶ng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra GTNN cđa hµm sè b»ng -1 khi x= -1

2.4 Bµi tập tự giải:

1.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số.

1
1
2

x
x
x

y trên đoạn [0;7] b,

1
2
2

x
x
x

y trên đoạn [3/2;6]

2
4
2

x
x
x

y trên ®o¹n [-3;1] d,

2
1
2







x

x
x

y trên đoạn [-5;-5/2]

2.Tìm GTNN của các hàm số .

2
2
1
2

x
x

y trên khoảng (2;6) b,

2
1
1

x
x

y trên khoảng (2;6)

x
x

y 4 trên khoảng (0;6)

x -3/2 -1 7

f’(x) - 0 +

f(x)

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Chủ đề

Hệ phơng trình mũ

và hệ phơng trình logarit

1. Phơng pháp chung

1.1 Ví dụ: Giải hệ phơng trình

5

1

10

51

5 xy

y

x

81

Bớc 1: tìm ĐKXĐ cho hệ phơng trình

Bớc 2: Đa hệ phơng trình về dạng không còn mũ hoặc lôgarit
Bớc 3: Tiến hành giải

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

1.2 Hớng dẫn

1.3 Bài tập tự giải

Giải các hệ phơng trình sau

























0 x

8

1

10

7 y

x

y























0 x

2

1

16

2
2

y

x

y





















1

1

2 x

y

x





















2 log

1152

2.

3

5 x

y

x



















23

3 log

2 log

1 y

x











12

3

1 log

y

x

y





















2 log

1152

2.

3

5 x

y

x













2 2

l g

1 l g8

l g

l g3

o

x

y

o

x y

o

x y

o





 

































2 log

972

2.

3 x

y

x

 

















2

1 log

2 v

u

v

u

v

u

10.

















0

4

5

0 log

5,

0

2 y

x

y

x















2

1 y

x

y

x

11.















689

2

5

200

2.

5

2

3
3

y

x

y

x

12.













4

2

5

2 y

x

y

x

(1) tơng đơng với TH1Và TH2

TH1: 1

5
y
xy





TH2:
2

5 51 10 0
5
x x
xy
   




</div>

de cuong on thi tot nghiep THPT

<b>Đề CƯƠNG ÔN THI TốT NGHIệP Môn toán</b>

<b>Năm học 2010 - 2011</b>

<b>CU TRC THI NGHIỆP THPT NĂM 2009</b>

I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)

Ầ

Ấ

Ả

ể

<b>II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)</b>

<b>1. Theo ch</b>

<b>ươ</b>

<b>ng trình Chu</b>

<b>ẩ</b>

<b>n:</b>

<b>2. Theo ch</b>

<b>ươ</b>

<b>ng trình </b>

<b>Nâng</b>

<b> cao:</b>

phần chung cho tất cả các thí sinh

<b>CH khảo sát, vẽ đồ thị hàm số</b>

<b> và các bài toán liên quan</b>



















<sub></sub>

<sub></sub>







<b>CHỦ </b>

<b> Đ</b>

<b> Ề</b>

<b> PHƯƠNG TRÌNH</b>

<b> BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT</b>





<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>













<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





 

 

 





 













 

 

 

 

 



 

