TONG HOP KIEN THUC DAI SO 9doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (265.86 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phần I / căn thức bậc 2.
I/

Định nghĩa Tính chất:
1. Căn bậc hai số học :

* ĐN: Căn bậc 2 số học của 1 số a không âm là sè x sao cho x2 = a.

- Số dơng a có đúng 2 CBH là 2 số đối nhau : a và - a.
- Số 0 có đúng 1 CBH , chính là 0 : a = 0.

* Chó ý : Víi a  0 ta cã x = a x 0 và x2 = a

* Định lÝ : Víi a , b  0 ta cã a a < b
 2. Căn thức bậc 2:

- Vi A là 1 biểu thức đại số , ta gọi A là căn thức bậc 2 của A , còn A là biểu thức
lấy căn hay biểu thức dới du cn.

- ĐKXĐ của A là A 0 .

3. Hằng đẳng thức : - Với aR ta có a2 a .

















0 ,

KhiA

A

KhiA

A

* Chó ý :



A



2  A2 A nÕu A 0.

4. Căn bậc 3: Căn bậc 3 của 1 số là sè x sao cho x3 = a .

. Mỗi số a có duy nhất 1 căn bậc 3 là 3 a.

. ĐKXĐ của 3 a là xR .

* Chú ý : Căn bậc 3 của 1 số dơng ( hay 1 số âm ) là 1 số dơng ( hay 1 số âm )

II/ Các phép biến đổi căn bậc hai :

1. A.B  A B ( A; B  0 ).
2. A.2B A B ( B  0 ).
3.

B
A
B
A

 ( A  0 ; B > 0 ).





















)0

;0

(

)0

;0

(,

2
2

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

5.  ;(A.B0,B2 0)

B
AB
B

A

.
6. a,  . ;(B0)

B
B
A
B
A

b, ( );( 0; 2 )

2 A B A

B
A

B
A
C
B
A

C















;(A,B 0;A B)

B
A

B
A
C
B
A

C










III/ Mét số tính chất mở rộng về căn thức :
1. Víi A; B  0 ta cã : A = B  A  B
A A B
2. 0 < A < 1  A < A < 1

3. A > 1  1 < A < A

4. n a x a0;x0 ; xn = a ( n ch½n)

5. xn a  xn = a ( n lỴ ).
6. n abc n a.n b.n c

n
n

n

a a

b  b

8. n amn am


9.

 

n a m n am

10. m n a mna ( m; n



N; m; n  2 )

11. n am nkamk

 ( k



0 ).
12. n am am/n



* a b  a  b a b



; 0



. DÊu “ = ” x¶y ra khi a = 0 hc b = 0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

* a b  a  b a b



 0



. DÊu “ = ” x¶y ra khi a = b hc b = 0
*

a b
ab



 DÊu “ = ” x¶y ra khi a = b

* 1 1

a b

ab  ( a > 0 ; b > 0 )

* a b  a b DÊu “ = ” x¶y ra khi a b 0

* a  b  a b DÊu “ = ” x¶y ra khi a b 0 Hc a  b 

0. *

+ Víi n là số tự nhiên : + n 1 n  n 11 n

 

+ 1 1 1 1 1 1

( 1) 1 1 1

n

n n

n n n n n n n n

   

 

           

         

Chú ý : - Mọi số thực a đều có căn bậc lẻ.
- Số âm khơng có căn bậc chẵn.
* Công thức căn phức tạp :

* M 2 N  A B ,

Trong đó a, b là nghiệm của PT : t2 – Mt + N = 0

Hay a+ b = M , ab = N.

2 2

A A B A A B

A B       ( Víi A; B > 0 ; A2 > B )

* Chú ý: Nếu hệ số của N



2 ta làm xuất hiện hệ số 2 ở đó.
IV/ Một số bài tốn về căn bậc 2:

1/ Bài toán 1: Thực hiện phép tính :

Dạng tính 1 : Thực hiện tính khai căn bậc 2 nhờ phân tích 2ab trong HĐT( a + b )2 :

Khi gặp căn thức dạng P = M E N ta có thể nghĩ đến việc phân tích E N về dạng

E N = 2.a.b và phân tích M = a2 + b2 --> kq.

 D¹ng tÝnh 2 : Th.hiƯn tÝnh khai căn bậc 2 nhờ xhiện bình phơng khi dùng H§T a2 - b2

Trong 1 tÝch , nÕu xt hiƯn thõa sè cã d¹ng M - N ( Hc M + N ) thì ta có thể là
xuất hiện thừa số dạng M + N ( Hoặc M - N ).

 Dạng tính 3 : Tính GTBT T,trớc hết tính T2 rồi xét dấu của T để có k quả của biểu

thøcT.

 Dạng tính 4: Khi gặp mẫu của biểu thức chứa căn ta nghĩ đến việc trục căn thức ở mẫu

Hoặc quy đồng mẫu Hoặc đa thừa số vào trong căn , ra ngồi căn rồi nhóm.

 D¹ng tÝnh 5 : BiĨu diƠn l thõa bËc cao qua l thõa bËc 1.

VD : TÝnh GTBT: E = 2x5 + x3 – 3x2 + x - 1 víi x = 1 -

G : V× x = 1 - 2 nªn ta cã :
* x2 = (1 -

2)2 = 3 - 2

2 = 1 + 2(1 - 2) = 1 + 2x
* x3 = x2x =...= x + 2x2 = = x + 2(1 + 2x ) = 5x + 2

* x5 = x3x2 = ...= 9x +2 + 10x2 = 9x + 2 + 10( 1 + 2x ) = 29x + 12

--> E = 2(29x + 12) + 5x + 2 -3(1 + 2x) + x – 1 = 58x + 22 = ...
E = 80 - 58 2./

2. Bài toán 2 : Chứng minh đẳng thức A = B:

C1 : Dựa vào định nghĩa: A = B  A – B = 0.

- Lập hiệu số A – B --> biến đổi A – B --> Chứng tỏ A – B = 0 --> KLuận.
C2: Biến đổi trực tiếp : Biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản: A --> B Hoặc B --> A.
C3 : Biến đổi song song 2 v ca ng thc ó cho.

C4 : Với bài toán chøng minh cã §K ta cã thĨ :

- Dùng các ĐK để biến đổi sao cho --> có mối liên hệ với biểu thức đã cho.
- Hoặc: Niến đổi biểu thức đã cho sao cho --> có mối liên hệ với ĐK.
C5 : Dùng PP quy nạp nếu đẳng thức đã cho phụ thuộc vào số nguyên n .
C6 : Dùng biểu thức phụ :

- Đặt y =A , y phải thoả mãn ĐK (*) nào đó.
- Bình phơng 2 vế ta có : y2 = A2 = A

1 = ... = B2

- Suy ra y = B hc y = - B .

- §èi chiÕu víi §K (*) suy ra B. --> KL.
3. Bài toán 3: Rót gän biĨu thøc :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

* C¸c bíc thùc hiƯn:

- Quy đồng mẫu ( Phân tích nhân tử Nếu có – Nếu cần )

- §a bớt thừa số ra ngoài dấu căn Hoặc vào trong dấu căn ( Nếu cần )
- Trục căn thức ë mÉu ( NÕu cã )

- Thực hiện các phép tính : Luỹ thừa , khai căn , nhân,chia , ...
- Cng tr cỏc s hng ng dng.

4. Bài toán 4: Giải PT chứa căn thức. ( Xem CĐ PT Vô Tỉ ).

---@@@---Phần II / Hàm sè bËc nhÊt: y = ax + b ( a



0 )

Hµm sè : y = 
x
a

( a



0 )

Hµm sè bËc hai : y = ax2 ; y = ax2 + bx + c ( a

0 ).

A/ Hàm số - Đồ thị hàm số bậc nhất.
I/ Định nghĩa Tính chất của hàm số bậc nhất :

1. Định nghĩa hàm sè:

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x thay đổi sao cho với mỗi giá trị của x
ta luôn xác định đợc chỉ 1 giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x
và x đợc gọi là biến số.

2. Định nghĩa hàm số bậc nhất:

Hm s bc nht l hàm số đợc cho bởi công thức y = ax hay y = ax + b,
trong đó a, b



R, a



3. TÝnh chÊt :

- HSố bậc nhất xác định với x



R .

- Trên tập hợp số thực R , hàm số bậc nhất đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
II/ Đồ thị hàm số y = ax và y = ax + b.

1. Đồ thị hàm số y = ax (a



0) là 1 đờng thẳng đi qua gốc toạ độ.
* Cách v :

- Tìm thêm 1 điểm M(x0 , y0 ) b»ng c¸ch cho x = x0  y0 = ax0

- Dựng điểm M trên mặt phẳng toạ độ.

- Vẽ đờng thẳng đi qua M(x0 , y0 ) và O( 0;0 ).

2. Đồ thị hàm số y = ax + b là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax ; cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng b ( nếu b



0 ).

* C¸ch vÏ 1 :

- Xác định 2 điểm A, B bất kì của đồ thị:

. Cho x = 1  y = a + b, ta cã A(1; a + b)

. Cho x = - 1  y = - a + b, ta cã B(1; - a + b)
- Dùng 2 ®iĨm A , B trªn Oxy.

- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs.
* Cách vẽ 2 :

- Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục toạ độ:
. Cho x = 0  y = b , ta có A( 0; b)
. Cho y = 0  x = - b/ a , ta có B(-b/ a ; 0 )
- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy.

- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ th hs.

III/ Hệ số góc của đ ờng thẳng y = ax và y = ax + b

Đờng thẳng y = ax (d ) Đờng thẳng y = ax + b (d)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Góc hợp
bởi đờng
thẳng với
tia Ox

Góc



tạo bởi đgt
(d)và tia Ox đó là góc
hợp bởi tia Ox và nửa
đgt nằm trong nửa mf
bờ là trục hồnh và
chứa tia Oy.

Góc



tạo bởi đgt (d) và tia Ox đó là
góc hợp bởi tia Ax và AB trong đó AB là
phần đgt (d) nằm trong nửa mf bờ là trục
hoành và chứa tia Oy.

Hệ số góc
a của đờng
thẳng

. a > 0

nhọn.

a càng lớn thì

càng lín (< 90o).

. a < 0 



tï.

a càng lớn thì

càng lớn (<180o).

. a > 0

nhọn.

a càng lớn thì

cµng lín (< 90o).

. a < 0 



tù.

a càng lớn thì

càng lớn (<180o).

B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.
I/ Định nghĩa Tính chất của hàm số bậc hai :

1. Định nghĩa:

Hàm số bậc 2 là hàm số đợc cho bởi cơng thức y = ax2 (a



0), trong đó a,b



R, a



0.

2. TÝnh chÊt:

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 , hàm số đồng biến khi x > 0.
- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 , hàm số đồng biến khi x < 0.

( Hµm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )

Nhận xÐt :

- NÕu a > 0 th× y > 0 víi x 0; Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTNN cđa hµm sè .

- NÕu a < 0 th× y < 0 víi x 0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số .

II/ Đồ thị hàm số y = ax2 (a



0).

* Tớnh cht ca th:

- Đồ thị của hµm sè y = ax2 (a



0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm
trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol.

- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hm s bc hai.

I/ Định nghĩa Tính chất của hàm số bậc hai :
2. Định nghÜa:

Hàm số bậc 2 là hàm số đợc cho bởi cơng thức y = ax2 (a



0), trong đó a,b



R, a



0.

2. TÝnh chÊt:

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 , hàm số đồng biến khi x > 0.
- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 , hàm số đồng biến khi x < 0.

( Hµm sè Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )

Nhận xét :

- NÕu a > 0 th× y > 0 víi x 0; Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTNN cđa hµm sè .

- NÕu a < 0 th× y < 0 víi x 0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số .

II/ Đồ thị hàm số y = ax2 (a



0).

* Tính chất của đồ thị:

- Đồ thị của hàm số y = ax2 (a



0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm

trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol.

- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

4

y = ax + b (a>0)
y

x
O

O

x
y

y = ax + b (a<0)
y = ax

y

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

y = ax2( a > 0 ) y = ax2 ( a < 0 )

* Cách vẽ : - Lập bảng giá trị tơng của x vµ y:

x x,

2 x,1 0 x1 x

y y,

2 y,1 0 y1 y

( Chú ý: x1 và x,1 đối nhau ; y1 và y,1 đối nhau)

- Biểu diễn các điểm có toạ độ (xi ; yi ).

- Vẽ đờng cong (P) đi qua O( 0; 0 ) và các điểm (xi ; yi ).

III/ Më réng:
1/ Hµm sè

x
a
y 

Đồ thị của hàm số y = a/ x ( a



0 ) là đờng cong Hypebol gồm 2 nhánh.
y = a/ x ( a > 0) y = a/ x ( a < 0 )

2/ Hµm sè y = / x /

Đồ thị của hàm số có dấu GTTĐ bậc nhất là 1 hình bao gồm các tia hoặc các tia và
đoạn thẳng liªn tiÕp nhau.

VD : y = / x / 



















0 ,

khix

x

y

khix

x

y

3/ Hµm sè y = ax + bx + c ( a 2



0 ):

a/ XÐt hµm sè y = ax2 + bx + c ( a



0 ):

Ta có

a
a

b
x
a
a
b
c
a
b
x
a
b
x
a

c
x
a
b
x
a
y

4
4

2
2

Đặt 0

2a x

b

; 0

4a y



ta cã y = a( x – x0)2 + y0.

- Nh vậy để vẽ Parabol (P) ta tịnh tiến theo tr hoành x0 đơn vị rồi tịnh tiến theo tr tung y0

đơn vị. Cụ thể:

. Đỉnh (P) là điểm D(
a

b

;

a

)

. Giao ®iĨm cđa (P) víi trơc tung lµ C(0; c)

. Điểm thứ 2 của (P) có tung độ bằng c là C,( -b/a ; c ), điểm này đối xứng với C

qua đờng thẳng x = -b/2a

.Giao điểm của (P) với trục hồnh ( nếu có) , hồnh độ các điểm này là nghiệm
của PT ax2 + bx + c = 0.

b/ NhËn xÐt :

- Hµm sè y = f(x) = ax2 + bx + c (a



0).

. NÕu a > 0 Th× Min f(x) =
a




víi x0 =

a
b



. NÕu a < 0 Th× Max f(x) =
a




víi x0 =

a
b

- Trong 1số tr. hợp, x không nhận giá trị thuộc R mà chỉ thuộc 1 tập con của R . Chẳng
hạn, x

;

hoặc nằm ngoài khoảng ;.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Trong trờng hợp x0 =

a
b

khơng thuộc khoảng đang xét của x ta cũng tìm đợc GTLN ,
GTNN của f(x) căn cứ vào đồ thị của hàm số y = f(x) và xét các giá trị f(



) ; f( )./.

C/ Một số dạng bài toán liên quan đến hàm số .
Bài toán1. Lập PT đờng thẳng y = ax + b thoả mãn đ.kiện cho trớc (Tức là tìm a, b).
1/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và có hệ số góc bằng k:

- B1: Xác định a: Theo đề bài ta có a = k.

- B2: Xác định b : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + b  b

- KL: Thay a, b tìm đợc vào cơng thức ta đợc PT cần tìm.
2/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và B(xB , yB )

- B1: Đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và B(xB , yB ) nên ta có :

















b

ax

y

b

ax

y

B
B

A
A

 a ; b.

3/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và có tung độ gốc là h:

- B1: Xác định b: Theo đề bài ta có b = h.

- B2: Xác định a : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + h  a

4/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và // trc honh Ox (Hoc trc tung Oy)

- Đờng thẳng song song với trục hoành thì x = xA  y = b = yA

( NÕu ®gt // trơc tung Oy th× y = yA  x = xA = b )

5/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và vng góc với đgt d, có PT y = a,x + b,

- Đờng thẳng d d, nên a.a, = - 1 .Từ đó suy ra a.

- Thay toạ độ của A vào PT trên suy ra b.

6/ Lập PT đờng thẳng (d) // (d,) : y = a,x + b, và đi qua A(x

A , yA ) .

Khi b



b, : - Xác định a: Theo đề bài ta có a = a, .

- Xác định b : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = a, xA + b  b.

- KL: Thay a, b tìm đợc vào cơng thức ta đợc PT cần tìm.

7/ Lập PT đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A(xA , 0 ) và cắt trục Oy tại B( 0, yB ).

- B1: Xác định b: (d) cắt Oy tại B( 0, yB ) nên b = yB

- B2: Xác định a : (d) cắt Ox tại A(xA , 0 ) nên a = b/ xA

8/ Lập PT đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng k và tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x). 
- B1: Xác định a : Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b (*)

- B2: Xác định b : PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.
Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT (*) có nghiệm kép ( = 0)  b.

9/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x).

- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P ) là f(x) = ax + b. (*)
- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)  PT (*) có nghiệm kép .

Từ ĐK này ta tìm đợc 1 hệ thức liên hệ giữa a và b . Ta đợc (**)
- Đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có yA = axA + b (***)

- Tõ (**) vµ (***) suy ra a vµ b.

10/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
- Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b

- PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)

- Đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi PT (*) cã  > 0  b.

11/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại A có hồnh độ xA:

- Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b

- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)

- Đờng thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hồnh độ xA khi xA là nghiệm của PT (*).

Khi đó ta có f(xA ) = kxA + b  b.

* Chó ý :

1. Bài toán lập PT đờng cong y = ax2 đi qua điểm A(x

A, yA ) tức là xác định hệ số a.

Giải tơng tự bài toán lập PT đgt.

2. Hoành độ giao điểm của đờng cong y = ax2 (P) và đgt y = mx+ n (d) là nghiệm

cña PT ax2 = mx +n (1)

- NÕu PT (1) v« nghiƯm thì (d) không giao với (P)

- Nếu PT (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
- Nếu PT (1) có nghiƯm kÐp th× (d) tiÕp xóc víi (P).

3. Bài toán với hàm số y = ax2 + bx + c giải tơng tự bài toán với hàm số y = ax2

( Theo các bài toán 1 --> 5 )

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

4. Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b trong đó a, b là số vô tỉ a = m, b = n ta cần sử
dụng định lí Pitago trong tam giác vng.

Bài tốn 2 .Xác định vị trí tơng đối giữa: Đờng thẳng-đờng thẳng; Đờng thẳng – Parbol.
1. Xác đinh vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a,x + b, (d,

)

* d // d,  a = a, vµ b



b,

* d



d,  a



a,

* d



d,  a = a, vµ b = b,

* d  d,  a.a, = 1

2. Xác đinh vị trí tơng đối của đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P)

PT hồnh độ giao điểm chung nếu có của (d) và (P) là ax + b = ax2 (1)

* (d)

(P) tại 2 điểm ph©n biƯt  PT(1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt ( > 0 )

* (d) vµ (P) chØ cã 1 ®iĨm chung  PT (1) cã nghiÖm kÐp (   0 )
* (d) và (P) không có điểm chung PT (1) v« nghiƯm (  < 0 ).

Bài toán 3. Bài toán chứng minh:

a. Chứng minh đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định.
- Gọi C(x0 , y0 ) là điểm cố định của đờng thẳng (d)

- ĐK cần và đủ để đờng thẳng luôn đi qua C(x0 , y0 ) với mọi tham số m là : Am = B

( Biến đổi PT đgt khi C(x0,y0)



(d) )

Trong đó : A là biểu thức chứa x0, y0 hoặc x0 hoặc y0 .

B là biểu thức chứa x0 hoặc y0 hoặc x0 ; y0 .

- GPT A = 0 ; B = 0 víi tham sè m  x0 ; y0  C(x0; y0 ) .

VD: CMR đờng thẳng (d) có PT y = mx +

luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m?
G: Gọi C(x0; y0 ) là điểm cố định của (d)  C



(d) với mọi m

 Ta cã y0 = mx0 +

2
1

 2y0 - 1= 2mx0 , víi mäi m  2y0 - 1= 2x0 m, víi mäi

m  2y0 – 1 = 0 vµ 2x0 = 0  x0 = 0 ; y0 = 0.

Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định C( 0;

2
1

) .

b. Chøng minh (d) luôn tiếp xúc (hoặc không cắt hoặc cắt (P) tại 2 ®iĨm p.biƯt) :
Đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc ( không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt)

PT hđộ gđiểm ax + b = ax2 có N

0 kÐp ( hoặc vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân

biệt).

VD: CMR với mọi m thì đgt (d) có PT y = mx +

2
1

vµ (P) y =

2
1

x2 luôn cắt nhau tại 2

điểm phân biệt ?

G : PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là mx +

2
1

x2  ... x2 – 2mx – 1 = 0

cã , = m2 + 1 > 0 víi mäi m.

VËy víi mäi m (d) lu«n cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Bi toỏn 4. Xác định toạ độ giao điểm 2 đờng thẳng trên cùng 1 hệ trục toạ độ.

Giả sử điểm M(x0 , y0 ) là giao điểm 2 đờng thẳng (d) : y = ax + b và y = a,x + b, (d, )

B1: Tìm hồnh độ giao điểm x0 thoả mãn nghiệm đúng PT ax + b = a,x + b, .

B2: Tìm tung độ giao điểm y0 bằng cách thay x0 vào 1 trong 2 hàm số đã cho.

Bài toán 5. Xác định điểm M( xM, yM ) cho trớc có thuộc đồ thị của HSố cho hay không.

 Cách giải : Đồ thị của hàm số đi qua M khi toạ độ của M thoả mãn nghiệm đúng PT
của (d) : M



(d)  yM = f(xM)

Do đó tính f(xM) : Nếu f(xM) = yM Thì (d) đi qua M

NÕu f(xM)



yM Th× (d) không đi qua M

---@@@---Phần III / Hệ ph ¬ng tr×nh

1)Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Định nghĩa :

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by =c và a’x+b’y=c’.

Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn '

( )

' ' '( )

ax by c d
a x b y c d

 




 

 (I)

- Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x0;y0) thì nó được gọi là nghiệm của hệ (I)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Nếu hai phương trình ấy khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ vơ nghiệm.

2)Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm

- Nếu (d) cắt (d’) hệ có nghiệm duy nhất
- Nếu (d) song song với (d’) thì hệ vơ nghiệm.
- Nếu (d) trùng (d’) thì hệ vơ số nghiệm

3)Hệ phương trình tương đương:

Hai HPT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

4) Một số PP giải HPT:

* Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

+ Từ 1 PT của hệ đã cho ta b.diễn1 ẩn kia rồi thế vào PT thứ 2 để được 1 PT mới
(chỉ có1 ẩn)

+ Dùng PT mới ấy thay thế cho một trong hai PT của hệ (và giữ nguyên PT kia )

* Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

+ Nhân 2 vế của mỗi PT với 1 số thích hợp (nếu cần ) sao cho các hệ số của 1 ẩn nào đó
bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Dùng quy tắc cộng đại số để được hệ mới trong đó có 1 PT bậc nhất 1 ẩn.
+ Giải PT 1 ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ.

* Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ.
* Giải hệ phương trỡnh bằng PP dựng đồ thị

Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d’)

5/ Biện luận và Giải hệ phương trình :

B1. Dùng PP cộng hoặc thế đưa hệ về dạng Mx = N (*)
B2. Xét các trường hợp:

+ Nếu M¹ 0 thì (*) trở thành x = N

M thay vào y ở 1 trong 2 PT của hệ ta tìm được y.

Do đó hệ có nghiệm duy nhất (x;y).

+ Nếu M = 0 thì: +(*) vơ nghiệm khi N ¹ 0,Do đó hệ vơ nghiệm.

+ (*) có vơ số nghiệm khi N = 0.
Nghim TQ

x R

a c

y x

b b

ỡ ẻ
ùù
ùớ

ù =- +

ùùợ Hoặc x;y Ỵ R Hoặc x = 0;y RỴ Hoặc y = 0 x RỴ

B3. Kết Luận

6) Một số bài tốn về hệ có chứa tham số:

Xác định các giá trị của tham số thoả mãn ĐK cho trước 
1/ Nghiệm thoả mãn các ĐK về sốnghiệm :

Có nghiệm duy nhất- Vơ số nghiệm - Vô nghiệm.

PP: Nếu

PP: Nếu ab’ – ba’ ¹ 0 Hay a' b'

a ¹ b thì (**) có nghiệm duy nhất.

Nếu ' '

' '

ì =

ïï
íï =
ïỵ

ab ba

bc cb Hoặc

' '
' '

a b
a b
b c
b c

ìïï =
ïïï

íï

ï =

ïïïỵ

thì (**) có vơ số nghiệm.

Nếu ' '

' '

ỡ =

ùù
ớù ạ
ùợ

ab ba

bc cb Hoc

' '
' '

a b
a b
b c
b c

ỡùù =
ùùù
ớù

ù ạ

ùùùợ

thì (**) vơ số nghiệm.

2/ Nghiệm thoả mãn hệ đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các giá trị của nghiệm.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )

+ B3: Cho nghiệm thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức giữa các giá trị của nghiệm từ đó
tìm được giá trị của tham số.

+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời.

3/ Nghiệm của hệ là số nguyên.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm.

+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )
+ B3: Xét các giá trị của nghiệm thoả mãn là số nguyên

+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời.

4/ Tìm GTLN – GTNN của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm.

+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )

+ B3: Xét các giá trị của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm.

+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời.

---@@@---PhÇn IV / phơng trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a 0 )(1)

1.

C«ng thøc nghiƯm cđa PT bËc 2:

ac
b2 4





- NÕu < 0 Th× PT vô nghiệm.

- Nếu = 0 Thì PT cã N0 kÐp: x1= x2 =

b

a



- NÕu > 0 Thì PT có 2 N0 phân biệt :

a
b
x
2
2
,
1




ac
b 

, ,2

- NÕu '

 < 0 Th× PT v« nghiƯm.

- NÕu '

 = 0 Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 =

b
a



- NÕu '

 > 0 Th× PT cã 2 N0 ph©n biƯt :

a
b
x
,
,
2
,
1




 NhËn xÐt :

*NÕu a + b + c = 0 th× :













a

c

x

2
1

1

*NÕu a - b + c = 0 th× :



















a

c

x

2
1

1

* NÕu c = 0 th× :















a

b

x

2
1

0

*NÕu x1, x2 lµ nghiƯm cđa (1)

th× ax2 + bx + c = a( x – x

1)(x – x2)

2. HÖ thøc Vi-Et:

*ThuËn : Phơng trình bậc2 Nếu có nghiệm Thì :

a

c

x

P

a

b

x

S

2
1
2
1

.

*Đảo: Nếu 2 số x1, x2 tho¶ m·n





















a

c

x

P

a

b

x

S

2
1
2
1

.

( Víi S2 – 4P  0)

Thì x1 ,x2 là 2 nghiệm của PT x2 - Sx + P = 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

II/ Một số bài toán liên quan đến PT bc 2:

Bài toán 1: Biện luận theo m sự cã nghiƯm cđa PT B2
- XÐt hƯ sè a. Cã thể có 2 trờng hợp xảy ra:

*Trng hp a = 0 với 1 vài giá trị nào đó của m

Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã (1) trë thµnh pt b1: bx + c = 0 (2)

-NÕu b



0 ( víi m = m0 ), pt (2) cã 1 nghiƯm lµ

b
c

x (cũng là nghiệm của(1))
-Nếu b = 0 và c =0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định  pt (1) vô nghiệm.

-Nếu b = 0 và c



0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định  pt (1) nghiệm

*Trêng hỵp a



- NÕu > 0 : pt (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt :

a
b
x
2
2
,
1






- NÕu = 0 : pt (1) cã 2 nghiÖm kÐp : x1 = x2 =

a
b


- NÕu < 0 : pt (1) v« nghiƯm / R .

- Kết luận : Tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 2: §iỊu kiƯn cã nghiƯm cđa PT bËc 2.
2.a, PT cã nghiÖm: C1, a= 0 , b



C2, Hc a



0 ,   0.

C3, T×m sè



sao cho a.f(



) < 0

C4, T×m 2 sè



,  sao cho f(

).f( ) < 0

Tập hợp các giá trị m phải tìm là tất cả các giá trị của m thoả a) hoặc b)
2.b, PTcó 2 nghiệm phân biƯt:













0 a

hc a.c < 0

2.c, PT cã 1 nghiÖm:











0 b

a













0 a

Bài toán 3: Dấu của nghiệm số của PT bậc 2 (T

ìm ĐK của m để phơng trình (1) t/mãn)

3.a, Cã 2 nghiÖm cïng dÊu :

1 2

0; 0

. 0

a
P x x

  




 



3.b, Cã 2 nghiƯm d¬ng:

0; 0
0; 0
a
c b
P S
a a

  




   



( Hc có ít nhất 1N0 không âm )

3.c, Có 2 nghiƯm ©m :

0; 0
0; 0
a
c b
P S
a a
  




   



Hoặc

0 .

0 c

a

c

b

a

3.d, Có 2 nghiệm trái dấu :

0
.
0
c
a
P

Hc a.f(0) < 0
3.e, Cã 1 nghiÖm ©m, 1 nghiƯm kh«ng 
©m :

0; 0
0; 0
a
b c
S P
a a
  




   



3.g, Cã Ýt nhÊt 1nghiÖm 0 :

0; 0
0
a
b
S
a
  





 


.

Bài tốn 4: Tìm điều kiện của m để PT (1) có 1 nghiệm x1 tìm nghiệm kia

a, Tìm điều kiện của m để PT có 1 nghiệm x1 tìm nghiệm kia:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0 (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Thay x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào PT và gpt HoặcTính x2 nhờ Vi-et x2 = S –

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào PT đã cho mà PT bậc hai này có < 0 thì

kết luận khơng có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b, Tìm điều kiện của m để PT (1) có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia:
- B1: Điều kiện PT có nghiệm a0;  0

- B2: Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia nên:

1
2
2
1
kx
x
kx
x
 






0
0
1
2
2
1
kx
x
kx

x

(x1 – kx2). (x2 – kx1) = 0.

-B3 : Biến đổi đẳng thức trên về tổng ; tích sau đó dùng định lí Vi-et.
Bài tốn 5: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức :

(Các hệ thức là biểu thức đối xứng ( Hoặc không đối xứng ) giữa các nghiệm)
1,

Ph ¬ng pháp chung:

B1: - Điều kiện PT có nghiƯm a0;  0 (*)

- TÝnh gi¸ trị của S , P theo m : Với đk (*) pt cã 2 nghiÖm t/m :





















)

2 (

.

2
1
2
1

a

c

x

P

a

b

x

S

B2: Biến đổi hệ thức đã cho sao cho có dạng chứa S và P.

( Hoặc rút x1 hay x2 từ đk đề bài –nếu bthức cho không đối xứng).

B3: Thay các giá trị của S , P tính đợc ở B1 ta tính đợc m.
B4: Chọn các giá trị của m t/m đk (*).

2,

Các hệ thức đối xứng thờng găp và cách biến đổi:

:

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = m

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p = n

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp =

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS

+ a2

*) 2

2
1
2
1
2
1
2
)
)(
(
2
1
1
a
aS
p
a
S
a
x

a
x
a
x
x
a
x
a

x  











 = k

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = h

*)
2
1
2
1

2
1
1
1
x
x
x
x
x
x



 = Sp = m

*)
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x

x
x
x
x

=
p
p
S2 2

= n

(Các giá trị cđa tham sè rót ra tõ ®iỊu kiƯn cho tríc phải thoả mÃn điều kiện (*) )

Bài toán 6:Lập PT BËc hai.

A/ Bài toán Thiết lập PT bậc 2 nhờ hệ thức Vi-et : 
1,Cơ sở để thiết lập PT B2 là nhờ hệ thức Vi-et:

NÕu





















a

c

x

P

a

b

x

S

2
1
2
1

.

Th× x1,x2 lµ 2 nghiƯm cđa PT X2 - S X+ P = 0,Víi= S2 – 4SP0

2 , Ph ơng pháp : G/sử PT B2 cần tìm có dạng X2 - S X + P = 0 (1) mà các nghiệm của (1)

t/m đk cho trớc là 1 biểu thức (*) liên hƯ gi÷a nghiƯm cđa (1) víi nghiƯm cđa PT B2 cho tríc
ax2 + bx + c = o (2), ta lµm nh sau:

- Từ PT (2) ta tính đợc S và P (3)

- Biến đổi bthức (*) liên hệ giữa N0 của (1) với nghiệm của PT (2) rồi thay giá trị của S,P ở (3)

vào ta tính đợc hệ số của X trong PT cần tìm.

B/ Bài tốn lập PT bậc 2 nhờ sự t ơng giao giữa đồ thị của hàm số bậc 1, bậc 2 
và trục toạ độ (Hay xác định parabol y =ax2 + bx + c (P) ):

( Xem phần hàm số)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài toán 7: Quan hệ nghiệm của 2 PT B2 : a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ( a1



0 ) (1)

a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ( a2



0 ) (2)

7.a :Xác định các tham số để 2PT có nghiệm chung

 ĐK cần : Giả sử 2 pt có nghiệm chung x0 , khi đó ta có hệ :

















0

2
0
2
2
0
2

1
0
1
2
0
1

c

x

b

x

a

c

x

b

x

a

Từ hệ ta xác định đợc tham số.

 ĐK đủ : Thay giá trị của tham số tìm đợc ở trên vào 2 pt cho để tìm nghiệm chung./.

7.b :Định các t/ số để 2PT có nghiệm sao cho 1 nghiệm của PT1 = k lần 1 nghiệm của PT2.

B1: Gäi x0 là 1 nghệm của (2) thì kx0 ( k

0 ) lµ 1 nghiƯm cđa (1).

Khi đó , x0 l nghim ca h:

0 )

(

)

(

0

1
0
1

2
0
1

2
0
2
2
0
2

c

kx

b

kx

a

c

x

b

x

a

B2: Giải hệ trên tìm x0 . Suy ra m.

B3: Lấy giá trị của m thế vào (1) và (2) để kiểm tra.
7.c: Bài toán mở rộng :

1, Cho 2 pt b2 cã 1 nghiÖm chung :

- Chứng minh đẳng thức , bđt giữa các hệ số, ....
- Nghiệm còn lại của 2 pt cho là nghiệm của pt thứ 3.
- 2 nghiệm còn lại của 2 pt là 2 nghiệm hữu tỉ phân biệt.

2, Cho 2 pt b2 cã 1 nghiƯm chung: T×m GTLN _ GTNN cđa biĨu thøc cho.

Bài tốn 8: Tính GTLN _ GTNN của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của PT B2
 ( Mở rộng với HPT đối xứng )

- §iỊu kiƯn PT cã nghiƯm a0;  0 (*)

( Víi hƯ PT bËc nhât 2 ẩn: x, y là nghiệm của PT X 2+ SX+P=0.Tức là ĐK tồn tại x,y là

0 )

- Đa biểu thức về dạng biểu thức có chứa các ĐTĐXCB

- Xột min giỏ tr của biểu thức ta tìm đợc GTLN – GTNN của bthức.
(Dùng ĐK có nghiệm của PTB2,T/C BĐT, Cosi, Bunhiacopki ...)

Bài tốn 9:Tính GT của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của PT mà không GPT.
- Điều kiện PT có nghiệm a0;  0 (*)

- Sư dơng hƯ thøc Vi-et : S , P. (*)

- Biến đổi BT đã cho về dạng ĐTĐXCB.
- Thay giá tr (*) vo ta tỡm c GTBT.

Bài toán 10: Về nghiệmnguyên nghiệm hữu tỉ của PT B2.
a/ Tìm nghiệm nguyên của PT:

b/ Tìm nghiệm h÷u tØ cđa PT : ( Sư dơng nghiƯm cđa ®a thøc)
- NghiƯm nguyªn cđa ®a thøc nÕu cã phải là Ư(c).

- Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1), f(-1)

0 Thì f(1)/ (a - 1)vµ f(-1)/(a + 1)



- Đthức có hệ số



Z ,N0 h.tỉ (nếu có) pải có dạng p/q trong đó p



Ư(c),q



Ư(a).

c/ Tìm m để PT có nghiệm hữu tỉ:

- Xét a = 0. PT trở thành PT B1, ta đợc nghiệm hữu tỉ.

- XÐt a



0 .TÝnh . PT cã nghiệm hữu tỉ khi là số chính phơng.

Bi tốn 11: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm PT mà không phụ thuộc tham số m:
- Điều kiện để PT có nghiệm : a



0 ;   0

- LËp S vµ P ( Phơ thuéc theo m).

- Khử m để lập 1 hệ thức giữa P và S: Bằng các phép bđổi (Chẳng hạn S – 2P hay 2S + P,...)
- Thay S = x1 + x2 và P = x1.x2ta đợc hệ thức cần tìm.

 Chó ý:NÕu S hay P là hằng số thì ta có ngay hệ thức cần tìm. 
Bài toán 12 :So sánh số nghiệm của PT B2 víi 1 sè thùc



,  cho tr íc

( áp dụng định lí đảo về tam thức bậc 2 )

Tam thức bậc 2 f(x) = ax2 + bx + c ( a



0 ) , (1)



là số thực

*f(x) < 0, a < 0  (1) cã nghiƯm víi x ( x1 < x2 ) : 







2
1
x
x

x
x

 > 0

*f(x) > 0 , a > 0  * Hc ( 1 ) cã nghiƯm víi mäi x



R   < 0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

* Hc ( 1 ) cã nghiƯm víi mäi x



a
b



  = 0

*f(x) > 0 , a < 0  (1) v« nghiƯm víi x  > 0

*f(x) < 0 , a > 0  (1) cã nghiÖm víi x  > 0 ( x1 < x < x2 )

12.a, ĐK để



, nằm trong khoảng 2 nghiệm : x1 <



< x2 : a.f(



) < 0 .

12.b , ĐK để



nằm ngoài khoảng 2 nghiệm :

* x1< x2 <



















a
b
f

a
2
0
)
(
.
0

*



< x1 < x2 















a
b
f
a
2
0

)
(
.
0

*



< x1 < x2 <  































a

b

f

a

f

a

2

0 )

(

.

0 )

(

.

0

12.c, ĐK để



, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm :



< x1 < x2 <  

. ( ) 0; . ( ) 0
2

a f a f
b
a
 
 

 


 

 
  


12. d, ĐK để f có 2 nghiệm trong đó các nghiệm xen kẽ với



và 

:

*



< x1 < < x2 











0 )

(

.

0 )

(

.





f

a

f

a

* x1 <



< x2 <  











0 )

(

.

0 )

(

.





f

a

f

a

12.e , ĐK để f có 2 nghiệm mà 1 trong 2 nghiệm bằng



: a.f(

) = 0

---@@@---Phần V / giải bài toán b»ng c¸ch lËp pT – Hpt.

I/ Phương pháp chung :

Bước 1: Lập PT -HPT

* Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

* Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượngđã biết
* Lập PT - Hệ phương trình

Bước 2: Giải PT - HPT

Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện của ẩn hay không( Loại
bỏ giá trị không thích hợp) rồi kết luận và trả lời.

II/ M ột số chú ý.

Khi lập các PT ta thường phải vận dụng các kiến thức về các tương quan tỉ lệ,đặc biệt là
tương quan tỉ lệ thuận – tỉ lệ nghịch( Các quy tắc tam suất). Cụ thể:

1- Sự liên hệ giữa các đại lượng trong toán chuyển động: S = v.t

2- Sự liên hệ giữa số và chữ số: abc100a10b c ;với a,b,cN; 1 a 9,0b c, 9

3- Sự liên hệ giữa lượng riêng (d);K.lượng (m);Thể tích (V) trong vật lý

4- Sự liên hệ giữa số tiền phải trả (P). Số đơn vị mua (x), giá tiền mỗi đơn vị hàng hóa (y):
P = xy

5- Sự liên hệ giữa khối lượng cơng việc,thời gian hồn thành, số người, năng suất lao động
của mỗi người,,hoặc khối lượng nước và công suất của các vòi nước,…

TG

CV
NS  ;

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

+ Sau khi chọn ẩn và đặt ĐK ta cần lưu ý biểu thị đầy đủ các đại lượng bài toán ra và
dựa vào sự tương quan giữa các đại lượng lập PT,HPT.

</div>

TONG HOP KIEN THUC DAI SO 9doc



















0

,

0

,

<i>KhiA</i>

<i>A</i>

<i>KhiA</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<sub></sub>

<sub></sub>

II/ Các phép biến đổi căn bậc hai :























)0

;0

(

)0

;0

(,

<i>B</i>

<i>A</i>

<i>B</i>

<i>A</i>

<i>B</i>

<i>A</i>

<i>B</i>

<i>A</i>

<i>B</i>

<i>A</i>





 









<sub></sub>

<sub></sub>

0.

*







<sub></sub>



<sub></sub>













<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>