Tải bản đầy đủ (.doc) (18 trang)

De cuong on tap toan 9 ky II chuan QH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (314.21 KB, 18 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>HƯỚNG DẪN ƠN TẬP TỐN LỚP 9 – HỌC KÌ II ( 2010 – 2011)</b>


<b>I. LÝ THUYẾT:</b>



<b>ĐẠI SỐ:</b>


<b>Câu 1</b>: Nêu dạng tổng quát của phương trình
bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn
có thể có bao nhiêu nghiệm?


*Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ
<i>thức dạng ax by c</i>  <i><sub>,Trong đó a,b và c là </sub></i>
<i>các số đã biết ( a</i>0<i> hoặc b</i>0<i> ).Phương </i>
<i>trình bậc nhất hai ẩn ln ln có vơ số </i>
<i>nghiệm.</i>


<b>Câu 2</b>: Nêu dạng tổng quát của hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn số.


<i><b>* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có </b></i>
<i>dạng </i>


' ' '


<i>ax by c</i>
<i>a x b y c</i>


 






 




<b>Câu 3</b>:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai
ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?


<i><b>* Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có</b></i>
<i>thể vơ nghiệm, có 1 nghiệm duy nhất hoặc vơ</i>
<i>số nghiệm.</i>


<b>Câu 4</b>: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình
tương đương.


Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:
a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng
có vơ số nghiệm thì ln tương đương với
nhau.


b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ
nghiệm thì ln tương đương với nhau.
<i><b>* Hai hệ phương trình được gọi là tương </b></i>
<i>đương với nhau nếu chúng có cùng tập </i>
<i>nghiệm.</i>


<i>a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng </i>
<i>có vơ số nghiệm thì ln tương đương với </i>
<i>nhau. ( s )</i>


<i>b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ </i>


<i>nghiệm thì ln tương đương với nhau.( Đ)</i>
<b>Câu 5:</b> Viết dạng tổng quát của phương trình
bậc hai .Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của
phương trình 3<i>x</i>2  3<i>x</i> 1 0


<i>*Dạng tổng quát của phương trình bậc hai</i>


<i>ax2 <sub>+ bx+ c = 0 (a</sub></i><sub></sub><i><sub>0)</sub></i>
<i>Áp dụng :</i>


3<i>x</i>2  3<i>x</i>  1 0(<i>a</i>3;<i>b</i>  3;<i>c</i> 1)
<b>Câu 9: </b>Lập phương trình bậc hai có hai


<b>Câu 6: </b>Cho phương trình ax2<sub> + bx +c=0 </sub>(<i>a</i><sub></sub>0)<sub>. Viết </sub>


cơng thức tính ngiệm của phương trình trên .
Áp dụng : Giải phương trình <i>x</i>2  3<i>x</i>2 0 .
* = b2 – 4ac


Nếu > 0 , pt có 2 nghiệm phân biệt:
x1=


2
<i>b</i>


<i>a</i>
  


; x2 =
2


<i>b</i>


<i>a</i>
  


Nếu = 0, pt có nghiệm kép:x1= x2 =


2
<i>b</i>
<i>a</i>


Nếu <0 thì phương trình vơ nghiệm.
Áp dụng :


           


2 <sub>3</sub> <sub>2 0;</sub> <sub>( 3) 4.1.2</sub>2 <sub>5</sub> <sub>5 0</sub>


<i>x</i> <i>x</i>


Vậy phương trình vơ nghiệm.


<b>Câu 7: </b>Phát biểu hệ thức Viet .Áp dụng :
5<i>x</i>24<i>x</i>3 0 .Tính x1+ x2 và x1 x2


*<i>Nếu phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2 thì:</i>
1 2


<i>b</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>a</i>




  và <i>x x</i><sub>1</sub>. <sub>2</sub> <i>c</i>


<i>a</i>

Áp dụng : <sub>5</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>4</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>3 0</sub>


   


<i> a = -5<0 ; c = 3>0. a và c trái dấu nên phương trình</i>
<i>có hai nghiệm phân biệt </i>


    


1 2 1 2


4<sub>;</sub> <sub>.</sub> 3


5 5


<i>b</i> <i>c</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>


<i>a</i> <i>a</i>



<b>Câu 8: </b>Cho phương trình :<i>ax</i>2<i>bx c</i> 0 (<i>a</i>0) có hai
nghiệm x1 và x2 .Ch/minh  1 2  ;  1 2 


<i>b</i> <i>c</i>


<i>S x</i> <i>x</i> <i><sub>a</sub></i> <i>P x x</i> <i><sub>a</sub></i>


1 2


1 2


2 2


1 2 2


x ;


2 2


2 <sub>;</sub>


2 2 2


4


. .


2 2 4



<i>b</i> <i><sub>x</sub></i> <i>b</i>


<i>a</i> <i>a</i>


<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>a</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>


<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>ac</i> <i>c</i>


<i>x x</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


- + D - - D


= =


- + D - - D


-Þ + = + = =


- + D - - D - +


= = =


<b> </b>



<b>Câu9 </b>:Phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là S và
tích hai nghịêm là P có dạng : X2 <sub>- SX + P = 0</sub>


</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

nghiệm có tổng là S và có tích là P (không
cần chứng minh )


Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai
nghiệm là:2 2 và 2 2


<b>Câu 10:</b>


Nêu tính chất của hàm số<i><sub>y ax a</sub></i>2<sub>(</sub> <sub>0)</sub>


 


2


S 2 2 2 2 4;P (2 2).(2 2) 4 2 2
Vậy 2+ 2 và 2- 2 là hai nghiệm của phương trình


X 4X 2 0


= + + - = = + - = - =


- + =


<b>Câu 1 :</b> Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ
trong một đường tròn hay trong hai đường tròn
bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng
nhau”



Ta có: <i><sub>AB CD</sub></i><sub></sub> <sub> ( GT)</sub>
 <i><sub>AOB COD</sub></i><sub></sub>


( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau )
Nên : <i>AOB</i><i>COD</i> ( c.g.c)


 AB = CD (đpcm)


<b>Câu 2:</b> Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong
một đường trịn. Áp dụng:Cho đường trịn (O),
đường kính AB. Vẽ dây AM sao cho 0
40
<i>AMO</i> .
Tính số đo cung BM ?


O


A B


M


GT


Cho đường tròn
(O)
AB: Đường kính
Dây AM sao cho:


<i><sub>AMO</sub></i> <sub>40</sub>0



KL


Tính <i>BOM</i>?


Ta có:OA = OB ( bán kính)
 <sub> </sub><i>AOM</i> cân tại O


 <i><sub>BOM</sub></i> <sub>= 2</sub><i><sub>AMO</sub></i> <sub>2.40</sub>0
 =800
( đlí về góc ngồi

<sub></sub>

AOM)


<b>Câu 3:</b> Chứng minh rằng trong một đường trịn, hai


<b>Câu 4:</b> Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ
và dây căng cung đó trong một đường trịn để giải bài tốn
sau: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Vẽ các bán
kính OM, ON sao cho:<i><sub>AOM</sub></i> <sub>40 ,</sub>0 <i><sub>BON</sub></i> <sub>80</sub>0


  . So sánh:
AM, MN và NB ?


O
A


M


B
N



GT



Cho đường tròn (O)
M,N (O):
<i><sub>AOM</sub></i> <sub>40 ,</sub>0 <i><sub>BON</sub></i> <sub>80</sub>0


 


KL


So sánh: AM, MN,
BN?


Ta có:


  




0


0 0 0
180


180 40 80


<i>MON</i> <i>AOM BON</i>



<i>MON</i>


  


  


( vì  0
180


<i>AOB</i> )


 <i><sub>AOM</sub></i> <sub></sub><i><sub>MON</sub></i> <sub></sub><i><sub>NOB</sub></i>
 <i><sub>AM</sub></i> <sub></sub><i><sub>MN</sub></i> <sub></sub><i><sub>NB</sub></i><sub> </sub>


( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)
 AM < MN < NB


( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)


<b>Câu 5:</b> Chứng minh đlí:“ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng
số đo hai góc đối diện bằng 1800<sub> ”. </sub>


GT Cho đường tròn (O)
. ABCD nội tiếp
(O)


O
A


B



C


D


GT


Cho đường
tròn (O)


 


<i>AB CD</i>
KL


AB = CD


O


A B


C D


GT


Cho đường tròn (O)
CD: dây cung
AB: đường kính
AB // CD



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
(Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp:
một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả
đường trịn)


Ta có: <i><sub>AOC OCD</sub></i><sub></sub> <sub>( So le trong)</sub>


<i><sub>BOD ODC</sub></i> <sub></sub> <sub> ( So le trong)</sub>


Mà <i><sub>OCD ODC</sub></i> <sub></sub> <sub> ( </sub><sub></sub><i><sub>OCD</sub></i><sub> cân tại O)</sub>


 <sub> </sub><i><sub>AOC BOD</sub></i><sub></sub>  <sub> </sub><i><sub>AC</sub></i><sub></sub><i><sub>BD</sub></i> <sub> </sub>
( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng
nhau)


<b>Câu 6:</b> Chứng minh định lí: “ Trong một đường
trịn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của
cung bị chắn( Chỉ chứng minh một trường hợp: có
một cạnh của góc đi qua tâm )


GT : Cho (O ; R)


<sub>BAC</sub> lµ gãc néi tiÕp .
KL : chøng minh BAC 1


2


 sđ <sub>BC</sub>


Chứng minh: Trờng hợp: <i>Tâm O nằm trên 1 c¹nh</i>


<i>cđa gãc </i><sub>BAC</sub> <i><sub>:</sub></i>


Ta cã: OA=OB = R  <i>AOB</i>cân tại O
<i><sub>BAC</sub></i> = 1


2<i>BOC</i>  


1
BAC


2


 s® <sub>BC</sub> (®pcm)


<b>Câu 7:</b> Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của
cung bị chắn”.


( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của
đường trịn nằm ở ngồi của góc).


T©m O n»m bên ngoài góc <sub>BAx</sub> :




GT


Cho đường trịn (O)



<i>xAB</i>: góc tạo bởi tia tiếp tuyến
Và dây cung.


KL


<i>xAB</i>=
1
2sđ<i>AB</i>


<i>Vẽ đờng cao OH của </i><i>AOBcân tại O ta có:</i>
<i> </i><sub>BAx</sub> <sub></sub><i><sub>AOH</sub></i> <i><sub> (1) </sub></i><sub>(Hai góc cựng ph vi </sub><i><sub>OAH</sub></i> <sub>)</sub>


<i>Mà: </i><i><sub>AOH</sub><sub>= </sub></i>1


2<i>sđ </i>AB <i> (2)</i>


<i>Từ (1) và (2) </i> BAx 1
2


<i>sđ </i><sub>AB</sub> <i> (®pcm)</i>


<b>Câu 9:</b> Nêu cách tính độ dài cung <i><sub>n</sub></i>0<sub>của hình quạt</sub>
trịn bán kính R. Áp dụng: Cho đường trịn ( O; R
= 3 cm).


O


D C


A



B <sub>KL</sub>



 
 


0


0
180
180
<i>A C</i>
<i>B D</i>


 


 


Ta có: <i><sub>A</sub></i><sub></sub>1


2sđ<i>BCD</i> ( Đlí về góc nội tiếp)
<i><sub>C</sub></i> <sub></sub>1


2sđ<i>BAD</i> (Đlí về góc nội tiếp)
   1


2


<i>A C</i>  sđ(<i><sub>BCD BAD</sub></i><sub></sub> <sub>) =</sub>1


2 .


0
360 =<sub>180</sub>0
Tương tự: <i><sub>B D</sub></i>  <sub>180</sub>0


  ( hoặc <i>B D</i>  36001800 1800
( tính chất tổng 4 góc của tứ giác)


<i><b>Câu 8:</b> Ch ng minh ứ</i> <i>định lí: S o c a góc có “ ố đ</i> <i>ủ</i> <i>đỉnh ở</i>
<i>bên trong đường tròn b ng n a t ng s o hai cung bằ</i> <i>ử ổ</i> <i>ố đ</i> <i>ị</i>
<i>ch n .ắ ”</i>


n
E


O
D


C
A


B


m <sub>GT</sub>


Cho đường trịn (O)


<i>BEC</i>: góc có đỉnh bên trong(O)


KL


<i>BEC</i>=
1


2sđ(<i>BnC AmD</i> 
Xét tam giác BDE, ta có:




<i>BEC</i>= <i><sub>B D</sub></i><sub></sub> <sub> ( định lí góc ngồi của tam giác BDE)</sub>
Mà  1


2


<i>B</i> sđ<i><sub>AmD</sub></i><sub> (Đlí về góc nội tiếp )</sub>


 1


2


<i>D</i> sđ<i><sub>BnC</sub></i> (Đlí về góc nội tiếp )


Nên: <i><sub>BEC</sub></i> <sub>= </sub>1


2sđ(<i>AmD</i>+<i>BnC</i>


<b>Câu 10:</b> Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn
(O).



Chứng minh: AB + CD = AD + BC.


Ta có: AM = AQ ( Tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau)
BM = BN (…nt…)


DP = DQ (…nt…)




O
H


A x


B


O
A


D


B


C
M


N


P



Q GT


Cho đường tròn (O)
ABCD ngoại tiếp
đường trịn (O)
KL


</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600<sub>?</sub>


Ta có: 


180


<i>AB</i>


<i>Rn</i>


<i>l</i>  Với:R = 3cm và n = sđ<i><sub>AB</sub></i> <sub>60</sub>0

( gt) Vậy: 


.3.60


( )
180


<i>AB</i>


<i>l</i>   <i>cm</i>



CP = CN (…nt…)
Cộng từng vế, ta có:


AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN
Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm)


<b>II.BÀI TẬP:</b>


<b>Bài 1</b>: Giải các hệ phương trình sau:


a/ 3 2 1
3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>
 


 


3 2 1 5 5


2 2 6 3


<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>


  
 
 <sub></sub>  <sub></sub>


   
 
1 1


1 3 2


<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i>
 
 
 <sub></sub>  <sub></sub>
   
 


b/ 3<sub>2</sub><i>x<sub>x y</sub></i>5<i>y</i>1<sub>4</sub>
 


3 5 1 7 21


10 5 20 2 4


<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>


  
 
 <sub></sub>  <sub></sub>
    


 
3 3


2.( 3) 4 2


<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i>
 
 
 <sub></sub>  <sub></sub>
   
 


c/ 4 3 15
3 2 10


<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 


8 6 30
9 6 30


<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
  



 
 

0 0


3 2 20 3.0 2 10


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>


 
 
 <sub></sub>  <sub></sub>
   
 
0
5
<i>x</i>
<i>y</i>


 



d/ 3 5


2 3 18



<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 <sub></sub> <sub></sub>


 



9 3 15


2 3 18


<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 <sub></sub> <sub></sub>

 
 


11 33


2 3 18


<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 
 



3 3 9


16


2.3 3 18 4


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>y</i>
<i>y</i> <i>y</i>
     
 
 <sub></sub>  <sub></sub>  <sub></sub>

   
 
 
e/


1 1 5
8
1 1 3
8
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>



 



  



Cộng từng vế hai phương trình ta được: 2 1 <i>x</i> 2
<i>x</i>   


Thay <i>x</i>2 vào 1 1 5
8


<i>x</i> <i>y</i>  được:


1 5 1 1 1


8


8 2 8 <i>y</i>


<i>y</i>    <i>y</i>    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2 ; 8)


f/
2 1
1
2
1 5


6
2


<i>x y</i> <i>x y</i>
<i>x y</i> <i>x y</i>

 
 <sub></sub> <sub></sub>


 <sub></sub> <sub></sub>
  


Đặt 1 ; 1


2


<i>a</i> <i>b</i>


<i>x y</i> <i>x y</i>


 


  Điều kiện


2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>





 




Ta có hệ phương trình 2 1


5 6
<i>a b</i>
<i>a b</i>
 


 


 Giải ra ta được
1
1
<i>a</i>
<i>b</i>





O
A


B GT


Cho đường tròn
(O; R = 3cm)
Sđ  0
60
<i>AB</i>
KL


</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Giải hệ phương trình
1
1
2
1
1
<i>x y</i>
<i>x y</i>


 <sub></sub>


 <sub></sub>
 

2


2 1 <sub>3</sub>


1 1


3
<i>x</i>
<i>x y</i>
<i>x y</i>
<i>y</i>



 
 
 <sub></sub>  <sub></sub>
  
 <sub> </sub>



( Thỏa điều kiện ).Vậy (x;y)=
2
3
1
3
<i>x</i>
<i>y</i>






 





h/ 5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12


<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>


  





   




5 10 3 1
2 4 3 15 12


<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>


  



 



   




 2 10 1 2 10 1


15 16 2 30 32


<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>


<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>


   
 

 
     
 

33


15 16 <sub>40</sub>


40 33 29


8
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>


<i>x</i>




  
 

 

 <sub> </sub>



Vậy <sub>( ; ) (</sub>29<sub>;</sub> 33<sub>)</sub>
8 40
<i>x y</i>  


<b>Bài 2</b>:


<b> Câu 1</b>: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình 2 12


2 6
<i>ax by</i>
<i>ax</i> <i>by</i>
 


 



 Có nghiệm là


(<i>x</i>2;<i>y</i>1)
<b> Câu 2</b>: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình 3 1


2
<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x ny</i>
 


 


 nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
<b>Giải câu 1:</b> 2 12


2 6
<i>ax by</i>
<i>ax</i> <i>by</i>
 


 


 Do


(<i>x</i>2;<i>y</i>1) là nghiệm của hệ phương trình


Nên 4 12



2 2 6


<i>a b</i>
<i>a</i> <i>b</i>
  


  


4 12 5 9


3 3


<i>a b</i> <i>a</i>


<i>a b</i> <i>a b</i>


    
 
 <sub></sub>  <sub></sub>
     
 
 <sub> </sub>
9 9
5 5
9 24
3
5 5
<i>a</i> <i>a</i>


<i>b</i> <i>b</i>
 
 
 
 
 

 
 <sub></sub> <sub></sub>  <sub></sub>
 
 


<b> Câu 2:</b> 3 1
2
<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x ny</i>
 


 
 Do


(<i>x</i>2;<i>y</i>3) là nghiệm của hệ phương trình
Nên 2 3.3 1


2 3 2


<i>m</i>
<i>n</i>
  




  


2 9 1
2 3 2


<i>m</i>
<i>n</i>
  

 
  


2 8 4


3 0 0


<i>m</i> <i>m</i>
<i>n</i> <i>n</i>
  
 
 <sub></sub>  <sub></sub>
 
 


<b>Bài 3</b>:



<b>Câu 1</b>: Cho hệ phương trình: <sub>4</sub><i>mx<sub>x</sub></i> <sub>6</sub>3<i><sub>y</sub>y</i><sub>9</sub>5


 


 . Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
<b>Câu 2</b>: Tìm giá trị của a để hệ phương trình<i><sub>ax</sub>x</i>2<sub>3</sub><i>y<sub>y a</sub></i>5


 


 a/ Có một nghiệm duy nhất ; b/ Vô nghiệm.
<b>Câu 3</b>: Cho hệ phương trình <sub>2</sub><i>x<sub>x</sub></i> 3<sub>6</sub><i>y m<sub>y</sub></i> <sub>8</sub>


 


 Tìm giá trị của m để hệ phương trình vơ nghiệm, vơ số nghiệm.
<b>Giải</b>


<b>Câu 1</b>: 3 5


4 6 9


<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 


 Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất



3 3.4


4 6 6


<i>m</i>


<i>m</i>


     <i>m</i>2


<b>Câu 2</b>: 2 5
3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>ax</i> <i>y a</i>


 





 


 a/ Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất


1 2 3.1 3


3 <i>a</i> 2 <i>a</i> 2


<i>a</i>



     


b/ Hệ phương trình vơ nghiệm 1 2 5 3


3 <i>a</i> 2


<i>a</i> <i>a</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Câu 3</b>: <sub>2</sub><i>x<sub>x</sub></i> 3<sub>6</sub><i>y m<sub>y</sub></i> <sub>8</sub>


 


 .Ta có


1 3
2 6



 .Nếu
1


4
2 8


<i>m</i>
<i>m</i>


   thì hệ phương trình có vơ số nghiệm.
Nếu 1 4



2 8
<i>m</i>


<i>m</i>


   thì hệ phương trình vơ nghiệm.
<b>Bài 4</b>:


<b> Câu 1</b>: Xác định hàm số <i>y ax b</i>  biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)


<b> Câu 2</b>: Xác định đường thẳng <i>y ax b</i>  <sub>biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm</sub>
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng <i>y</i><i>x</i><sub> và </sub><i><sub>y</sub></i><sub>2</sub><i><sub>x</sub></i><sub>1</sub>
<b>Giải</b>


<b>Câu 1:</b>a/ Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -4) nên 2<i>a b</i> 4
Và qua B(-5 ; 4) nên 5<i>a b</i> 4Ta có hệ pt 2 4


5 4


<i>a b</i>
<i>a b</i>


 




  





7 0


2 4


<i>a</i>
<i>a b</i>




 


 


0
4
<i>a</i>
<i>b</i>




 




 Vậy



4
<i>y</i>
b/ Vì đường thẳng <i>y ax b</i>  <sub>qua A(3 ; -1) nên </sub>3<i>a b</i> 1Và qua B(-2 ; 9) nên 2<i>a b</i> 9
Ta có hệ phương trình <sub></sub>3<i>a b</i><sub>2</sub><i><sub>a b</sub></i> 1<sub>9</sub> <sub></sub>5<i>a</i><sub>2</sub><i><sub>a b</sub></i>10 <sub>9</sub>


     


 


2 2


2( 2) 9 5


<i>a</i> <i>a</i>


<i>b</i> <i>b</i>


 


 


 <sub></sub>  <sub></sub>


    


  Vậy


2 5
<i>y</i> <i>x</i>



<b>Câu 2</b>:


.Xác định giao điểm B của hai đường thẳng : <i>y</i><i>x</i><sub> và </sub><i><sub>y</sub></i><sub>2</sub><i><sub>x</sub></i><sub>1</sub>


Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường thẳng: <i>x</i>2<i>x</i>1 <i>x</i>1 <i>y</i>1<sub>Vậy B(1 ; -1)</sub>
.Xác định tiếp đường thẳng đi qua A(2 ; 1) và B(1 ; -1) được <i>y</i>2<i>x</i> 3


<b>Bài 5</b>: Cho hàm số y = -x2<sub> có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)</sub>


a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hồnh độ bằng 1.


b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của
chúng .


c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P)
<b>Giải</b>


a/


2


( )


(1; 1), ( ) 1 2.1 1


1 1


<i>A</i> <i>A</i>


<i>A</i> <i>A</i>



<i>A</i> <i>P</i> <i>y</i> <i>x</i> <i><sub>A</sub></i> <i><sub>A</sub></i> <i><sub>d</sub></i> <i><sub>m</sub></i> <i><sub>m</sub></i>


<i>x</i> <i>x</i>


ì


ì Ỵ ï =


ïï <sub>Û</sub> ï <sub>Û</sub> <sub>-</sub> <sub>Ỵ</sub> <sub>Û - =-</sub> <sub>+</sub> <sub>Û</sub> <sub>=</sub>


í í


ï = ï =


ï ï


ỵ ỵ


b/ Bảng giá trị của y=-2x-3 và y = - x2




Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P)
là :- <i>x</i>2 =- 2<i>x</i> - 3Û <i>x</i>2- 2<i>x</i> - 3 0= Û é =-ê<i>x<sub>x</sub></i> <sub>3</sub>1


ê =
ë


Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)



c/ Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là :<sub>-</sub> <i><sub>x</sub></i>2 <sub>=-</sub> <sub>2</sub><i><sub>x m</sub></i><sub>+ Û</sub> <i><sub>x</sub></i>2<sub>-</sub> <sub>2</sub><i><sub>m m</sub></i><sub>+ =</sub><sub>0</sub>
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û D = -' 1 <i>m</i>> Û0 <i>m</i><1


x 0 -3/2
y=-2x-3 -3 0


</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Với m<1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
d/ (d) tiếp xúc với (P) Û D = Û -' 0 1 <i>m</i>= Û0 <i>m</i>=1


(d) không cắt (P) Û D < Û -' 0 1 <i>m</i>< Û0 <i>m</i>>1


<b>Bài 6:</b> Giải phương trình :


2 2


2 2


2


/ 3 75 0; / 384 0; / ( 15) 3(27 5 )
3


/ (2 7) 12 4(3 ); /(3 2) 2( 1) 2


<i>a</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>c x x</i> <i>x</i>


<i>d x x</i> <i>x e</i> <i>x</i> <i>x</i>


      



       


<b>Giải :</b>


1/ <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2<sub>+</sub><sub>75 0;3</sub><sub>=</sub> <i><sub>x</sub></i>2 <sub>+</sub><sub>75 0</sub><sub>> "</sub><i><sub>x</sub></i> <sub> Nên phương trình vơ nghiệm.</sub>
2/


1


2 2 2


2


24
2 <sub>384 0</sub> <sub>2</sub> <sub>1152</sub> <sub>576</sub>


24
3


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>


é =


ê



- = Û = Û = Û <sub>ê</sub>



=-ë


3/ 2 1


2


9
( 15) 3(27 5 ); 81


9


<i>x</i>


<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>
é =
ê


- = - Û = <sub>Û ê </sub>


=-ë


4/ 2 2 1


2



0
(2 7) 12 4(3 ) 2 7 12 12 4 2 11 0 ( 11) 0


11


<i>x</i>


<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>


<i>x</i>
é =
ê


- - =- - Û - - =- + Û - = Û - <sub>= Û ê =</sub>


ë


5/


1


2 2 2 2 2


2


0
(3 2) 2( 1) 2 9 12 4 2 4 2 2 7 8 0 (7 8) 0 <sub>8</sub>
7


<i>x</i>



<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>


<i>x</i>
é =
ê
ê


- - - = Û - + - + - = Û - = Û - = Û


ê =
ê
ë


<b>Bài 7:</b> Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn )
<sub>1/</sub> <i><sub>x</sub></i>2 <sub>5</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>14; 2 / 3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>10</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>80 0;3/ 25</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>20</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>4 0</sub>


        


<b>Giải : </b>1/ 2


5 14


<i>x</i> <i>x</i>


   Û <i>x</i>2 +5<i>x</i> - 14 0(= <i>a</i>=1;<i>b</i> =5;<i>c</i> =- 14);D =25 56 81 0+ = > Þ <i>x</i>1=2;<i>x</i>2 =- 7
2/ <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>10</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>80 0</sub>


   (<i>a</i>3;<i>b</i>10;<i>c</i>80);D'= 25-240 = -215<0 .Phương trình vơ nghiệm
3/ <sub>25</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>20</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>4 0(</sub><i><sub>a</sub></i> <sub>25;</sub><i><sub>b</sub></i> <sub>20;</sub><i><sub>c</sub></i> <sub>4)</sub>



      ;D'=(-10)2 -25.4 =0
Phương trình có nghệm kép : 1 2


' 10 2
25 5
<i>b</i>


<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>


   


<b>Bài 8</b>:Định m để phương trình :


     


2 2 2


2


a/ 3x 2x m 0 voâ nghieäm ;b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt


c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép
<b>Giải a/</b> <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>2</sub><i><sub>x m</sub></i> <sub>0(</sub><i><sub>a</sub></i> <sub>3; '</sub><i><sub>b</sub></i> <sub>1;</sub><i><sub>c m</sub></i><sub>)</sub>


      ;D'= (-1)2 -3m = 1-3m
Để phương trình vơ nghiệm D'<0 suy ra 1-3m<0 hay 1



3
<i>m</i>


Với 1
3


<i>m</i> thì phương trình đã cho vô nghiệm


<b>b/</b> 2x2<sub> + mx - m</sub>2<sub> = 0 (a = 2;b = m; c =- m</sub>2<sub>) ;</sub><sub>D</sub><sub>= m</sub>2<sub> -4.2(-m</sub>2<sub>)= m</sub>2<sub> +8 m</sub>2<sub>=9 m</sub>2


Phương trình có hai nghiệm phân biệt <sub>Û D > Û</sub><sub>0</sub> <sub>9</sub><i><sub>m</sub></i>2<sub>> Û</sub><sub>0</sub> <i><sub>m</sub></i><sub>¹</sub> <sub>0</sub>
<b>c/</b> 25 x2<sub> + mx +2 = 0 (a = 25;b = m;c = 2);</sub><sub>D</sub><sub>= m</sub>2<sub> -4.25.2= m</sub>2<sub> -200</sub>


Để phương trình có nghiệm kép thì D=0 2 1
2


10 2
200 0


10 2


<i>m</i>
<i>m</i>


<i>m</i>


é <sub>=</sub>


ê



Û - <sub>= Û ê</sub>


</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 9</b>:Cho phương trình :x2 <sub>+ (m+1)x + m = 0 (1)</sub>


1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .


2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm cịn lại .
3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau


4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2 ;


6/ Tìm m để <i>x</i>12<i>x</i>22 đạt gía trị lớn nhất
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ;


8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.


9/ Tính <i>x</i>13<i>x</i>23
<b>Giải:</b>


1/ x2<sub> + (m+1)x + m = 0 (a = 1;b = m+1;c = m) </sub><sub>D</sub><sub>=(m+1)</sub>2<sub> -4.1.m= (m+1)</sub>2<sub>³</sub> <sub>0 với mọi m</sub>


2/Thay x = -2 vào (1) ta được (-2)2<sub> +(m+1)(-2) + m = 0 </sub>


4-2m-2+ m = 0Û m = 2


1. 2 2. 2 2 2 1


<i>c</i>



<i>x x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>a</i>


= = Û - = Û


3/ Phương trình có hai nghiệm đối nhau Û <sub>x</sub>1 +x2 =0Û -(m+1) = 0Û m = -1


4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau Û x1 x2=1Û m = 1


5/Theo hệ thức Vi-et
1 2


1. 2
1 2


2 2


1 2 1 2 1 2


2 2


x x (m 1)(1)
x .x m(2)
x x 2


(x x ) 4 (x x ) 4x x 4
m 2m 1 4m 4 m 2m 3 0


m 1


m 3


ì + =- +


ïï


íï =


ïỵ


- =


Û - = Û + - =


Û + + - = Û - - =


é
=-ê
Û


ê =
ë


Vậy với m = -1 hoặc m = 3 thì <i>x</i>1 <i>x</i>2 2


6/Theo hệ thức Vi-et
1 2


1. 2



2 2 2


1 2 1 2 1 2


2 2


x x (m 1)(1)
x .x m(2)


x x (x x ) 2x x
m 2m 1 2m m 1 1


ì + =- +


ïï


íï =


ïỵ


+ = +


-= + + - = + ³


Dấu ‘ =’ xảy ra khi m=0
Vậy : GTNN là 1 khi m=0


7/ Phương trình có hai nghiệm đều dương Û


2



0 ( 1) 0 1


0 0 0


0 ( 1) 0 1


<i>m</i> <i>m</i>


<i>P</i> <i>m</i> <i>m</i>


<i>S</i> <i>m</i> <i>m</i>


ì


ìD ³ ï - ³ ì ³


ï <sub>ï</sub> ï


ï <sub>ï</sub> ï


ï ï


ï <sub>> Û</sub> ï <sub>></sub> <sub>Û</sub> ï <sub>></sub>


í í í


ï ï ï


ï <sub>></sub> ï<sub>-</sub> <sub>+ ></sub> ï <sub></sub>



<-ï ï ï


ï ï


ỵ ïỵ î


V y không có giá tr nào c a m đ ph ng trình có hai nghi m đ u d ng ậ ị ủ ể ươ ệ ề ươ


8/Ta có


1 2 1 2


1 2 1 2


1 2 1 2


( 1) 1


. .


. 1


<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>


<i>x x</i> <i>m</i> <i>x x</i> <i>m</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>


ì + =- + ì + =-



-ï ï


ï <sub>Û</sub> ï


í í


ï = ï =


ù ù


ợ ợ


ị + +


=-Vy biu thc trờn khụng phụ thuộc vào m


9/Ta có


3 3 2 2


1 2 1 2 1 1 2 2


3 3 2


1 2


3 3 2


1 2



3 3 3


1 2


( )( )


( 1)( 1 )
( 1)( 1)
( 1)


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>


+ = + - +


Û + = - - +


-Û + =- + - +


Û + =- +


<b>Bài 10</b>: Giải phương trình :           


 



4 2 5 3 2


15 1 1


1/ 2;2/ 1;3/ 2 7 4 0;4/ 1 0
1 1


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

1/


2 2


15 2( 0)


3
15 2 2 15 0


5


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>



- = ¹


é
=-ê


Û - = Û - - = Û


ê =
ë


(Thỏa điều kiện)


Vậy nghiệm của phương trình là x1 =-3 và x2 = 5


2/


2 2


2


1 1 <sub>1(</sub> <sub>1)</sub>
1 1


1 ( 1) 1 1 1 1


1


<i>x</i>



<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>


- = ạ


+


-ị - - + = - - - - =


-Û =


-Vậy phương trình vơ nghiệm .


3/ 2x4 <sub>- 7x</sub>2 <sub>– 4 = 0</sub>


Đặt <i>t</i>=<i>x</i>2³ 0 .Ta có phương trình :
2


1 2


1
2


2


2 7 4 0; 49 4.2( 4) 49 32 81
7 9 <sub>4(</sub> <sub>)</sub> 7 9 2 1<sub>(</sub> <sub>)</sub>



4 4 4 2


2
4


2


<i>t</i> <i>t</i>


<i>t</i> <i>tmñk t</i> <i>ktñk</i>


<i>x</i>
<i>x</i>


<i>x</i>


- - = D = - - = + =


+ - -


-= = = = =


é =
ê


Þ <sub>= Û ê </sub>


=-ë



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 2


và x2 = -2


4/


5 3 2


3 2 2 2 3


2 2


3 3


1 0


( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0
1


1 0 1 <sub>1</sub>


1 0 1 <sub>1</sub>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x</sub></i>



<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x</sub></i>


- - + =


Û - - - = Û - - =


é =
ê


é <sub>- =</sub> é <sub>=</sub>


ê


ê ê


Û <sub>ê</sub> Û <sub>ê</sub> Û <sub>ê</sub> =


-- = =


ë ë <sub>ê =</sub>


ë


Vậy nghiệm của phương trình là <i>x</i>11;<i>x</i>2 1


<b>II.BÀI TẬP:</b>



<b>Bài 1:</b> Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M
( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với


AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh :


a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.


c/. Tích CM.CN khơng đổi.


O x
d


A B


C


D


N
P


GT


Cho đường trịn(O;R)


AB, CD: đường kính, AB  CD tại O.
M<sub>AB, CM cắt (O) tại N</sub>


Đường thẳng d AB tại M


Tiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P



KL


a/. OMNP nội tiếp được 1 đường trịn
b/. CMPO là hình bình hành


c/. CM.CN không đổi.
a/. Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường trịn:


Ta có: <i><sub>OMP</sub></i> <sub>90</sub>0


 ( d AB)Và <i>ONP</i> 900 ( Tiếp tuyến vng góc với bán kính)
 <i><sub>OMP ONP</sub></i> <sub></sub>


</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

b/. Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành:
Ta có:  1


2


<i>AMC</i> sđ

<i>AC BN</i>

( Định lí góc có đỉnh bên trong đường tròn(O))
và  1


2


<i>CNx</i> sđ

<i>BC BN</i>

<sub> ( Định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và 1 dây cung)</sub>
mà sđ<i><sub>AC</sub></i><sub>= sđ</sub><i><sub>BC</sub></i><sub>=</sub><sub>90</sub>0<sub> ( do AB </sub>


 CD)


Do đó: <i><sub>AMC</sub></i><sub>= </sub><i><sub>CNx</sub></i> <sub> (1)</sub>


Ta lại có: <i><sub>CNx</sub></i> <sub>= </sub><i><sub>MOP</sub></i><sub> ( cùng bù với </sub><i><sub>MNP</sub></i> <sub>) (2)</sub>
Từ (1), (2)  <i><sub>AMC</sub></i><sub>= </sub><i><sub>MOP</sub></i>


Mà <i><sub>AMC</sub></i><sub>, </sub><i><sub>MOP</sub></i><sub> ở vị trí so le trong. =>: CM // OP (3)</sub>
Mặt khác: PM // CO ( Cùng vng góc với AB) (4)


Từ (3), (4)  <sub> CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)</sub>
c/. Chứng minh tích CM.CN khơng đổi:


Ta có: <i><sub>CND</sub></i> <sub>90</sub>0


 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường trịn)
Nên ta chứng minh được: <i>OMC</i><i>NDC</i>(g.g) <i>CM</i> <i>CO</i>


<i>CD</i> <i>CN</i>
Hay CM.CN = CO. CD = R.2R= 2R2


Mà R không đổi  <sub> 2R</sub>2<sub> không đổi</sub>
Nên: CM.CN khơng đổi (đpcm)


<b>Bài 2:</b> Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA =
R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D.


a/. Chứng minh: DI  BC.


b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
c/. Giả sử <i><sub>AMB</sub></i> <sub>45</sub>0


 .Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.



I


M


O
D


B C


A GT


Cho đường trịn (O), đường kính :
BC = 2R


A(O): BA = R; Mcung AC nhỏ.
BM cắt AC tại I, BA cắt CM tại D.


 0


45
<i>ABM</i>  : (c)


KL


a/. DI BC


b/. AIMD nội tiếp (O)


c/. Tính độ dài AC và S<i>quatAOM</i> ?



a/. Chứng minh : DI BC:
Ta có:  0


90


<i>BAC</i> ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)


 <sub> CA </sub><sub></sub><sub> BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC. (1)</sub>
Và <i><sub>BMC</sub></i> <sub>90</sub>0


 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường trịn)


</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

 <sub> DI là đường cao thứ ba của tam giác BDC </sub>
Nên DI  BC


b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn:
Ta có:  0


90


<i>IAD</i> ( CA  BD )
Và  0


90


<i>IMD</i> ( BM  CD
 <i><sub>IAD</sub></i> <sub> + </sub> 0


90



<i>IMD</i> +900 1800


Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
( Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng <sub>180</sub>0<sub>)</sub>
c/. Tính độ dài AD. Diện tích hình quạt AOM:


*Tính AD:
Nếu <i><sub>ABM</sub></i> <sub>45</sub>0


 thì <i>ABI</i>vng cân tại A ( Tam giác vng có 1 góc nhọn bằng 450)
 AB = AI = R


Xét tam giác ADI vuông tại A ,ta có: <i><sub>ADI</sub></i> <sub></sub><i><sub>AMI</sub></i><sub> ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI…)</sub>
Mà  1


2


<i>AMI</i>  sđ<i><sub>AB</sub></i><sub>= </sub>1.600 300


2  ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn và <i>AOB</i>đều)
Nên: <i><sub>ADI</sub></i> <sub>30</sub>0




Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác đều.
 ID = 2R


Lúc đó: AD = <i><sub>ID</sub></i>2 <i><sub>AI</sub></i>2 <sub>3</sub><i><sub>R</sub></i>2 <i><sub>R</sub></i> <sub>3</sub>



   (đvđd)


* Tính diện tích hình quạt AOM:
Ta có: S<i>quatAOM</i> =


2


360
<i>R n</i>


, với n = <i><sub>AOM</sub></i> <sub>2.</sub><i><sub>ABM</sub></i> <sub>90</sub>0


 


Nên: S<i>quatAOM</i> =


2<sub>.90</sub> 2


360 4


<i>R</i> <i>R</i>


 


 (đvdt)
<b> </b>


<b>Bài 3:</b> Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA > CB. Vẽ
hình vng ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác


điểm C).


a/. Chứng minh : OF  AB.


b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F.


c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng
hàng.


</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

F
O


E


D


M


A <sub>B</sub>


C


GT


Cho đường tròn (O), đường kính AB
C(O): CA>CB


D<sub>tia đối của tia BC: ACDE là hình </sub>
vng.



CE cắt (O) tại F


CF cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở M:
(c)


KL a/. OF
 AB


b/. Tam giác BDF cân tại F.
c/. D, E, M thẳng hàng.
a/. Chứng minh: OF  AB


Ta có: <i><sub>ACF</sub></i> <i><sub>BCF</sub></i> <sub>45</sub>0


  ( Tính chất của đường chéo hình vuông)
<i><sub>AF</sub></i> <sub></sub><i><sub>BF</sub></i><sub> ( Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau) </sub>
 AF = BF  <i>AFB</i> cân tại F


Mà O là trung điểm của AB


 FO là trung tuyến cũng là đường cao ( Tính chất tam giác cân)
Hay : FO  AB


b/. Chứng minh tam giác BDF cân tại F:


F  đường chéo CE của hình vng ACDE


 <sub> FA = FD ( Tính chất 2 đường chéo của hình vuông) (1)</sub>
Mà: FA = BF ( cmt)



 <sub> FD = FB (2)</sub>
Hay: Tam giác BDF cân tại F


c/. Chứng minh: D, E, M thẳng hàng:
Xét tam giác ABM, ta có:
O là trung điểm của AB


Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB)


 F là trung điểm của B  FM = FB (3)
Từ (1),(2),(3)  <sub> FA = FB = FD = FM</sub>


 <sub> ABDM là tứ giác nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 4 đỉnh cách đều F)</sub>
 <i><sub>BAM BDM</sub></i>  <sub>180</sub>0


 


Mà <i><sub>BAM</sub></i> <sub>90</sub>0


 ( Tiếp tuyến vng góc với bán kính)
 <i><sub>BDM</sub></i> <sub>90</sub>0


  <i>DM</i> <i>BD</i> (4)
Ta lại có: DE  BD ( do <i><sub>BDE</sub></i> <sub>90</sub>0


 ) (5)


Từ (4),(5)  DM trùng với DE ( hệ qủa tiên đề Ơ- Clit) Hay: D, E, M thẳng hàng.
( Chú ý: Học sinh có thể chứng minh  0



180


</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bài 4:</b> Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M <sub> cạnh BC ).</sub>
Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q.


a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
b/. Chứng minh: MA  PQ.


c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.




Q
H


C
A


P
B


M
I


GT


Cho <i>ABC</i>vuông tại A


AM: trung tuyến, AH: đường cao


Đường tròn (H; HA) cắt AB tại P và
AC tại Q


KL


a/. Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng.
b/. MA  PQ


c/. BPCQ nội tiếp được đường tròn.
a/. Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng:


Ta có:  0
90
<i>PAQ</i> (GT)
Mà <i><sub>PAQ</sub></i><sub> là góc nội tiếp</sub>


 <sub> </sub><i><sub>PAQ</sub></i> <sub> chắn cung nửa đường tròn</sub>


 PQ là đường kính của đường trịn tâm H
 P, H, Q thẳng hàng ( đường kính đi qua tâm)
b/. Chứng minh: MA  PQ:


Gọi I là giao điểm của AM và PQ


Ta có: <i><sub>C MAC</sub></i> <sub></sub> <sub> ( Tam giác MAC cân tại M)</sub>
Mà <i><sub>C HAC</sub></i>  <sub>90</sub>0


  ( Tam giác AHC vuông tại H)
Và <i><sub>HAC</sub></i><sub></sub><i><sub>AQH</sub></i><sub> ( Tam giác AHQ cân tại H)</sub>
 <i><sub>MAC AQH</sub></i>  <sub>90</sub>0



 


Nên: Tam giác AIQ vuông tại I
Hay PQ vng góc với AM tại I


c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn:
Ta có: <i><sub>C</sub></i> <sub></sub><i><sub>BAH</sub></i> <sub> ( cùng phụ với</sub><i><sub>CAH</sub></i> <sub>)</sub>


mà <i><sub>P BAH</sub></i><sub></sub> <sub> ( Tam giác AHP cân tại H) </sub>
 <sub> </sub><i><sub>C</sub></i> <sub></sub><i><sub>P</sub></i>


 Tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn


</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b> Bài 5:</b> Cho đường trịn tâm O có 2 đường kính AB và CD vng góc với nhau, dây AE đi qua trung điểm
P của OC, ED cắt CB tại Q.


a/. Chứng minh tứ giác CPQE nơi tiếp được một đường trịn.
b/. Chứng minh : PQ // AB.


c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC.


Q
O


A B


C



D
P


E


GT


Cho đường tròn (O)


AB, CD là 2 đường kính:ABCD tại O
AE cắt OC tại P ( P: trung điểm OC)
ED cắt BC tại Q




KL a/. CPQE nội tiếp được 1 đường tròn b/. PQ // AB
c/ So sánh <i>SCPQ</i>và <i>SABC</i>?


a/. Chứng minh: CPQE nội tiếp được 1 đường tròn:
Ta có: <i><sub>PCQ</sub></i><sub> chắn cung BD</sub>


<i><sub>PEQ</sub></i> <sub> chắn cung AD</sub>


Mà: <i><sub>BD</sub></i> <sub></sub><i><sub>AD</sub></i><sub> ( do </sub><i><sub>BOD</sub></i> <i><sub>AOD</sub></i> <sub>90</sub>0


  )


Nên: <i><sub>PCQ</sub></i><sub> = </sub><i><sub>PEQ</sub></i>


Vậy: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn.



( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc khơng đổi)
b/. Chứng minh: PQ // AB:


Ta có: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn (cmt)
 <i><sub>CEP CQP</sub></i> <sub></sub> ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP)


Ta lại có: <i><sub>CEP</sub></i> <sub> = </sub><i><sub>B</sub></i> <sub> ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn(O))</sub>
 <i><sub>CQP B</sub></i> <sub></sub>


Mà <i><sub>CQP B</sub></i> <sub>,</sub> <sub> ở vị trí đồng vị</sub>
Nên: PQ // AB


c/. So sánh <i>SCPQ</i>và <i>SABC</i>?


Ta có: P là trung điểm OC (GT)
Mà PQ // AB (cmt)


 Q là trung điểm của BC


Nên: PQ là đường trung bình của tam giác BOC
 <i>SCPQ</i> =


1
4 <i>SBOC</i>


Mà CO là trung tuyến của tam giác ABC
 <i>S<sub>BOC</sub></i><sub> = </sub>1


2<i>SABC</i> Do đó: <i>SCPQ</i>=


1
4.


1


</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>ĐẠI SỐ</b>


<b>I. LÍ THUYẾT:</b>



<b>Câu 1</b>: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao
nhiêu nghiệm?


<b>Câu 2</b>: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.
<b>Câu 3</b>:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?
<b>Câu 4</b>: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương.


Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:


a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vơ số nghiệm thì ln tương đương với nhau.
b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ nghiệm thì ln tương đương với nhau.


<b>Câu 5:</b> Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai .


Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình 3<i>x</i>2 3 1 0<i>x</i> 


<b>Câu 6: </b>Cho phương trình ax2<sub> + bx +c=0 </sub>(<i>a</i><sub></sub>0)<sub>. Viết cơng thức tính ngiệm của phương trình trên .</sub>


Áp dụng : Giải phương trình <i>x</i>2 3<i>x</i> 2 0.


<b>Câu 7: </b>Phát biểu hệ thức Viet .Áp dụng :5<i>x</i>24<i>x</i> 3 0.Tính x1+ x2 và x1 x2



<b>Câu 8: </b>Cho phương trình :<i>ax</i>2 <i>bx c</i> 0 (<i>a</i>0)<sub> có hai nghiệm x</sub><sub>1 </sub><sub>và x</sub><sub>2 </sub><sub>.Chứng </sub><sub>minh :</sub>
 <sub>1</sub> <sub>2</sub>  <i>b</i>;  <sub>1 2</sub> <i>c</i>


<i>S x</i> <i>x</i> <i><sub>a</sub></i> <i>P x x</i> <i><sub>a</sub></i>


<b>Câu 9: </b>Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng là S và có tích là P (khơng cần chứng minh )
Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:2 2 và 2 2


<b>Câu 10:</b> Nêu tính chất của hàm số <i><sub>y ax a</sub></i>2<sub>(</sub> <sub>0)</sub>


 


<b>II. BÀI TẬP</b>



<b>Bài 1</b>: Giải các hệ phương trình sau:
a/ 3<i><sub>x y</sub>x</i> 2<i>y</i><sub>3</sub>1


 


 b/


3 5 1


2 4


<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>


 






 


 c/


4 3 15
3 2 10


<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>


 





 


 d/


3 5


2 3 18


<i>x</i> <i>y</i>


<i>x</i> <i>y</i>



 <sub></sub> <sub></sub>





 





e/


1 1 5
8
1 1 3
8
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>


 






  






f/


2 1


1
2


1 5


6
2


<i>x y</i> <i>x y</i>
<i>x y</i> <i>x y</i>


 


 <sub></sub> <sub></sub>





 <sub></sub> <sub></sub>


  





h/ 5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12


<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>


  





   



<b>Bài 2</b>:


<b>Câu 1</b>: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình 2 12


2 6


<i>ax by</i>
<i>ax</i> <i>by</i>


 





 



 Có nghiệm là


(<i>x</i>2;<i>y</i>1)
<b>Câu 2</b>: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình 3 1


2
<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x ny</i>


 





 


 nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
<b>Bài 3</b>:


<b>Câu 1</b>: Cho hệ phương trình: 3 5


4 6 9


<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>


 






 


</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Câu 2</b>: Tìm giá trị của a để hệ phương trình<i><sub>ax</sub>x</i>2<sub>3</sub><i>y<sub>y a</sub></i>5


 




a/ Có một nghiệm duy nhất b/ Vô nghiệm.
<b>Câu 3</b>: Cho hệ phương trình 3


2 6 8


<i>x</i> <i>y m</i>
<i>x</i> <i>y</i>


 





 


 Tìm giá trị của m để hệ phương trình vơ nghiệm, vơ số nghiệm.
<b>Bài 4</b>:


<b>Câu 1</b>: Xác định hàm số <i>y ax b</i>  biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)



<b>Câu 2</b>: Xác định đường thẳng <i>y ax b</i>  <sub>biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm</sub>
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng <i>y</i> <i>x</i><sub> và </sub><i><sub>y</sub></i><sub>2</sub><i><sub>x</sub></i><sub>1</sub>
<b>Bài 5</b>: Cho hàm số y = -x2<sub> có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)</sub>


a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hồnh độ bằng 1.


b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao
điểm của chúng .


c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P)
<b>Bài 6:</b> Giải phương trình :




2 2


2 2


2


/ 3 75 0; / 384 0; / ( 15) 3(27 5 )
3


/ (2 7) 12 4(3 ); /(3 2) 2( 1) 2


<i>a</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>c x x</i> <i>x</i>


<i>d x x</i> <i>x e</i> <i>x</i> <i>x</i>



      


       


<b>Bài 7:</b> Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn )


2 2 2


1/ <i>x</i> 5<i>x</i> 14; 2 / 3<i>x</i> 10<i>x</i>80 0;3/ 25 <i>x</i>  20<i>x</i> 4 0
<b>Bài 8</b>:Định m để phương trình :




  


  


2


2 2


2


a/ 3x 2x m 0 vô nghiệm


b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt


c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép
<b>Bài 9</b>:Cho phương trình :x2 <sub>+ (m+1)x + m = 0 (1)</sub>



1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .


2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm cịn lại .
3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau


4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2 ;


6/ Tìm m để <i>x</i>12<i>x</i>22 đạt gía trị lớn nhất
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ;


8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.


9/ Tính <i>x</i>13<i>x</i>23
<b>Bài 10</b>: Giải phương trình




 


 


 


  


   


4 2



5 3 2


15
1/ 2


1 1


2 / 1


1 1
3/ 2 7 4 0


4 / 1 0


<i>x</i>
<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>HÌNH H</b>

<b>ỌC</b>



I. LÍ

<b> THUYẾT</b>

<b> :</b>



<b>Câu 1 :</b> Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng
nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”


<b>Câu 2:</b> Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường trịn. Áp dụng:Cho đường trịn (O), đường
kính AB. Vẽ dây AM sao cho<i><sub>AMO</sub></i> <sub>40</sub>0



 . Tính số đo cung BM ?


<b>Câu 3:</b> Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
(Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả đường
trịn)


<b>Câu 4:</b> Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường trịn để
giải bài tốn sau: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON saocho:


<i><sub>AOM</sub></i> <sub>40 ,</sub>0 <i><sub>BON</sub></i> <sub>80</sub>0


  . So sánh: AM, MN và NB ?


<b>Câu 5:</b> Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800<sub> ”.</sub>


<b>Câu 6:</b> Chứng minh định lí: “ Trong một đường trịn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị
chắn”.


( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm ).


<b>Câu 7:</b> Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị
chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường trịn nằm ở ngồi của góc).


<b>Câu 8:</b> Chứng minh định lí: “ Sđ của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng sđ hai cung bị
chắn”.


<b>Câu 9:</b> Nêu cách tính độ dài cung <i><sub>n</sub></i>0<sub>của hình quạt trịn bán kính R. Áp dụng: Cho đường trịn ( O; R = 3 </sub>
cm). Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600<sub>?</sub>



<b>Câu 10:</b> Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O). Chứng minh: AB + CD = AD + BC.


<b>II. BÀI TẬP:</b>



<b>Bài 1:</b> Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đoạn AB lấy
điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vng
góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh :


a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.


c/. Tích CM.CN khơng đổi.


<b>Bài 2:</b> Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao
cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D.


a/. Chứng minh: DI  BC.


b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
c/. Giả sử  0


45


<i>AMB</i> .Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.


<b>Bài 3:</b> Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA >
CB. Vẽ hình vng ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F
( khác điểm C). a/. Chứng minh : OF  AB.


b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F.



c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng
hàng.


</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
b/. Chứng minh: MA  PQ.


c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.


<b>Bài 5:</b> Cho đường trịn tâm O có 2 đường kính AB và CD vng góc với nhau, dây AE đi qua trung
điểm P của OC, ED cắt CB tại Q.


a/. Chứng minh tứ giác CPQE nơi tiếp được một đường trịn.
b/. Chứng minh : PQ // AB.


</div>

<!--links-->

×