Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (314.21 KB, 18 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>ĐẠI SỐ:</b>
<b>Câu 1</b>: Nêu dạng tổng quát của phương trình
bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn
có thể có bao nhiêu nghiệm?
*Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ
<i>thức dạng ax by c</i> <i><sub>,Trong đó a,b và c là </sub></i>
<i>các số đã biết ( a</i>0<i> hoặc b</i>0<i> ).Phương </i>
<i>trình bậc nhất hai ẩn ln ln có vơ số </i>
<i>nghiệm.</i>
<b>Câu 2</b>: Nêu dạng tổng quát của hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn số.
<i><b>* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có </b></i>
<i>dạng </i>
' ' '
<i>ax by c</i>
<i>a x b y c</i>
<b>Câu 3</b>:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai
ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?
<i><b>* Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có</b></i>
<i>thể vơ nghiệm, có 1 nghiệm duy nhất hoặc vơ</i>
<i>số nghiệm.</i>
<b>Câu 4</b>: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình
tương đương.
Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:
a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng
có vơ số nghiệm thì ln tương đương với
nhau.
b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ
nghiệm thì ln tương đương với nhau.
<i><b>* Hai hệ phương trình được gọi là tương </b></i>
<i>đương với nhau nếu chúng có cùng tập </i>
<i>nghiệm.</i>
<i>a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng </i>
<i>có vơ số nghiệm thì ln tương đương với </i>
<i>nhau. ( s )</i>
<i>b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ </i>
<i>*Dạng tổng quát của phương trình bậc hai</i>
<i>ax2 <sub>+ bx+ c = 0 (a</sub></i><sub></sub><i><sub>0)</sub></i>
<i>Áp dụng :</i>
3<i>x</i>2 3<i>x</i> 1 0(<i>a</i>3;<i>b</i> 3;<i>c</i> 1)
<b>Câu 9: </b>Lập phương trình bậc hai có hai
<b>Câu 6: </b>Cho phương trình ax2<sub> + bx +c=0 </sub>(<i>a</i><sub></sub>0)<sub>. Viết </sub>
cơng thức tính ngiệm của phương trình trên .
Áp dụng : Giải phương trình <i>x</i>2 3<i>x</i>2 0 .
* = b2 – 4ac
Nếu > 0 , pt có 2 nghiệm phân biệt:
x1=
2
<i>b</i>
<i>a</i>
; x2 =
2
<i>a</i>
Nếu = 0, pt có nghiệm kép:x1= x2 =
2
<i>b</i>
<i>a</i>
Nếu <0 thì phương trình vơ nghiệm.
Áp dụng :
2 <sub>3</sub> <sub>2 0;</sub> <sub>( 3) 4.1.2</sub>2 <sub>5</sub> <sub>5 0</sub>
<i>x</i> <i>x</i>
Vậy phương trình vơ nghiệm.
<b>Câu 7: </b>Phát biểu hệ thức Viet .Áp dụng :
5<i>x</i>24<i>x</i>3 0 .Tính x1+ x2 và x1 x2
*<i>Nếu phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2 thì:</i>
1 2
<i>b</i>
<i>a</i>
và <i>x x</i><sub>1</sub>. <sub>2</sub> <i>c</i>
<i>a</i>
Áp dụng : <sub>5</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>4</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>3 0</sub>
<i> a = -5<0 ; c = 3>0. a và c trái dấu nên phương trình</i>
<i>có hai nghiệm phân biệt </i>
1 2 1 2
4<sub>;</sub> <sub>.</sub> 3
5 5
<i>b</i> <i>c</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<b>Câu 8: </b>Cho phương trình :<i>ax</i>2<i>bx c</i> 0 (<i>a</i>0) có hai
nghiệm x1 và x2 .Ch/minh 1 2 ; 1 2
<i>b</i> <i>c</i>
<i>S x</i> <i>x</i> <i><sub>a</sub></i> <i>P x x</i> <i><sub>a</sub></i>
1 2
1 2
2 2
1 2 2
x ;
2 2
2 <sub>;</sub>
2 2 2
4
. .
2 2 4
<i>b</i> <i><sub>x</sub></i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>ac</i> <i>c</i>
<i>x x</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
- + D - - D
= =
- + D - - D
-Þ + = + = =
- + D - - D - +
= = =
<b> </b>
<b>Câu9 </b>:Phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là S và
tích hai nghịêm là P có dạng : X2 <sub>- SX + P = 0</sub>
nghiệm có tổng là S và có tích là P (không
cần chứng minh )
Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai
nghiệm là:2 2 và 2 2
<b>Câu 10:</b>
Nêu tính chất của hàm số<i><sub>y ax a</sub></i>2<sub>(</sub> <sub>0)</sub>
2
S 2 2 2 2 4;P (2 2).(2 2) 4 2 2
Vậy 2+ 2 và 2- 2 là hai nghiệm của phương trình
X 4X 2 0
= + + - = = + - = - =
- + =
<b>Câu 1 :</b> Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ
trong một đường tròn hay trong hai đường tròn
bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng
nhau”
Ta có: <i><sub>AB CD</sub></i><sub></sub> <sub> ( GT)</sub>
<i><sub>AOB COD</sub></i><sub></sub>
( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau )
Nên : <i>AOB</i><i>COD</i> ( c.g.c)
AB = CD (đpcm)
<b>Câu 2:</b> Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong
một đường trịn. Áp dụng:Cho đường trịn (O),
đường kính AB. Vẽ dây AM sao cho 0
40
<i>AMO</i> .
Tính số đo cung BM ?
O
A B
M
GT
Cho đường tròn
(O)
AB: Đường kính
Dây AM sao cho:
<i><sub>AMO</sub></i> <sub>40</sub>0
Tính <i>BOM</i>?
Ta có:OA = OB ( bán kính)
<sub> </sub><i>AOM</i> cân tại O
<i><sub>BOM</sub></i> <sub>= 2</sub><i><sub>AMO</sub></i> <sub>2.40</sub>0
=800
( đlí về góc ngồi
<b>Câu 3:</b> Chứng minh rằng trong một đường trịn, hai
<b>Câu 4:</b> Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ
và dây căng cung đó trong một đường trịn để giải bài tốn
sau: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Vẽ các bán
kính OM, ON sao cho:<i><sub>AOM</sub></i> <sub>40 ,</sub>0 <i><sub>BON</sub></i> <sub>80</sub>0
. So sánh:
AM, MN và NB ?
O
A
M
B
N
GT
Cho đường tròn (O)
M,N (O):
<i><sub>AOM</sub></i> <sub>40 ,</sub>0 <i><sub>BON</sub></i> <sub>80</sub>0
KL
So sánh: AM, MN,
BN?
Ta có:
0
0 0 0
180
180 40 80
<i>MON</i> <i>AOM BON</i>
<i>MON</i>
( vì 0
180
<i>AOB</i> )
<i><sub>AOM</sub></i> <sub></sub><i><sub>MON</sub></i> <sub></sub><i><sub>NOB</sub></i>
<i><sub>AM</sub></i> <sub></sub><i><sub>MN</sub></i> <sub></sub><i><sub>NB</sub></i><sub> </sub>
( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)
AM < MN < NB
( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)
<b>Câu 5:</b> Chứng minh đlí:“ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng
số đo hai góc đối diện bằng 1800<sub> ”. </sub>
GT Cho đường tròn (O)
. ABCD nội tiếp
(O)
O
A
B
C
D
GT
Cho đường
tròn (O)
<i>AB CD</i>
KL
AB = CD
O
A B
C D
GT
Cho đường tròn (O)
CD: dây cung
AB: đường kính
AB // CD
cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
(Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp:
một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả
đường trịn)
Ta có: <i><sub>AOC OCD</sub></i><sub></sub> <sub>( So le trong)</sub>
<i><sub>BOD ODC</sub></i> <sub></sub> <sub> ( So le trong)</sub>
Mà <i><sub>OCD ODC</sub></i> <sub></sub> <sub> ( </sub><sub></sub><i><sub>OCD</sub></i><sub> cân tại O)</sub>
<sub> </sub><i><sub>AOC BOD</sub></i><sub></sub> <sub> </sub><i><sub>AC</sub></i><sub></sub><i><sub>BD</sub></i> <sub> </sub>
( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng
nhau)
<b>Câu 6:</b> Chứng minh định lí: “ Trong một đường
trịn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của
cung bị chắn( Chỉ chứng minh một trường hợp: có
một cạnh của góc đi qua tâm )
GT : Cho (O ; R)
<sub>BAC</sub> lµ gãc néi tiÕp .
KL : chøng minh BAC 1
2
sđ <sub>BC</sub>
Chứng minh: Trờng hợp: <i>Tâm O nằm trên 1 c¹nh</i>
Ta cã: OA=OB = R <i>AOB</i>cân tại O
<i><sub>BAC</sub></i> = 1
2<i>BOC</i>
1
BAC
2
s® <sub>BC</sub> (®pcm)
<b>Câu 7:</b> Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của
cung bị chắn”.
( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của
đường trịn nằm ở ngồi của góc).
T©m O n»m bên ngoài góc <sub>BAx</sub> :
GT
Cho đường trịn (O)
<i>xAB</i>: góc tạo bởi tia tiếp tuyến
Và dây cung.
KL
<i>xAB</i>=
1
2sđ<i>AB</i>
<i>Vẽ đờng cao OH của </i><i>AOBcân tại O ta có:</i>
<i> </i><sub>BAx</sub> <sub></sub><i><sub>AOH</sub></i> <i><sub> (1) </sub></i><sub>(Hai góc cựng ph vi </sub><i><sub>OAH</sub></i> <sub>)</sub>
<i>Mà: </i><i><sub>AOH</sub><sub>= </sub></i>1
2<i>sđ </i>AB <i> (2)</i>
<i>Từ (1) và (2) </i> BAx 1
2
<i>sđ </i><sub>AB</sub> <i> (®pcm)</i>
<b>Câu 9:</b> Nêu cách tính độ dài cung <i><sub>n</sub></i>0<sub>của hình quạt</sub>
trịn bán kính R. Áp dụng: Cho đường trịn ( O; R
= 3 cm).
O
D C
A
B <sub>KL</sub>
0
0
180
180
<i>A C</i>
<i>B D</i>
Ta có: <i><sub>A</sub></i><sub></sub>1
2sđ<i>BCD</i> ( Đlí về góc nội tiếp)
<i><sub>C</sub></i> <sub></sub>1
2sđ<i>BAD</i> (Đlí về góc nội tiếp)
1
2
<i>A C</i> sđ(<i><sub>BCD BAD</sub></i><sub></sub> <sub>) =</sub>1
0
360 =<sub>180</sub>0
Tương tự: <i><sub>B D</sub></i> <sub>180</sub>0
( hoặc <i>B D</i> 36001800 1800
( tính chất tổng 4 góc của tứ giác)
<i><b>Câu 8:</b> Ch ng minh ứ</i> <i>định lí: S o c a góc có “ ố đ</i> <i>ủ</i> <i>đỉnh ở</i>
<i>bên trong đường tròn b ng n a t ng s o hai cung bằ</i> <i>ử ổ</i> <i>ố đ</i> <i>ị</i>
<i>ch n .ắ ”</i>
n
E
O
D
C
A
B
m <sub>GT</sub>
Cho đường trịn (O)
<i>BEC</i>: góc có đỉnh bên trong(O)
<i>BEC</i>=
1
2sđ(<i>BnC AmD</i>
Xét tam giác BDE, ta có:
<i>BEC</i>= <i><sub>B D</sub></i><sub></sub> <sub> ( định lí góc ngồi của tam giác BDE)</sub>
Mà 1
2
<i>B</i> sđ<i><sub>AmD</sub></i><sub> (Đlí về góc nội tiếp )</sub>
1
2
<i>D</i> sđ<i><sub>BnC</sub></i> (Đlí về góc nội tiếp )
Nên: <i><sub>BEC</sub></i> <sub>= </sub>1
2sđ(<i>AmD</i>+<i>BnC</i>
<b>Câu 10:</b> Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn
(O).
Chứng minh: AB + CD = AD + BC.
Ta có: AM = AQ ( Tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau)
BM = BN (…nt…)
DP = DQ (…nt…)
O
H
A x
B
O
A
D
B
C
M
N
P
Q GT
Cho đường tròn (O)
ABCD ngoại tiếp
đường trịn (O)
KL
Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600<sub>?</sub>
Ta có:
180
<i>AB</i>
<i>Rn</i>
<i>l</i> Với:R = 3cm và n = sđ<i><sub>AB</sub></i> <sub>60</sub>0
( gt) Vậy:
.3.60
( )
180
<i>AB</i>
<i>l</i> <i>cm</i>
CP = CN (…nt…)
Cộng từng vế, ta có:
AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN
Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm)
a/ 3 2 1
3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>
3 2 1 5 5
2 2 6 3
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
1 3 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
b/ 3<sub>2</sub><i>x<sub>x y</sub></i>5<i>y</i>1<sub>4</sub>
3 5 1 7 21
10 5 20 2 4
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2.( 3) 4 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
c/ 4 3 15
3 2 10
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
8 6 30
9 6 30
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
3 2 20 3.0 2 10
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
0
5
<i>x</i>
<i>y</i>
d/ 3 5
2 3 18
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
9 3 15
2 3 18
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
11 33
2 3 18
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
3 3 9
16
2.3 3 18 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
e/
1 1 5
8
1 1 3
8
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
Cộng từng vế hai phương trình ta được: 2 1 <i>x</i> 2
<i>x</i>
Thay <i>x</i>2 vào 1 1 5
8
<i>x</i> <i>y</i> được:
1 5 1 1 1
8
8 2 8 <i>y</i>
<i>y</i> <i>y</i> Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2 ; 8)
f/
2 1
1
2
1 5
<i>x y</i> <i>x y</i>
<i>x y</i> <i>x y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Đặt 1 ; 1
2
<i>a</i> <i>b</i>
<i>x y</i> <i>x y</i>
Điều kiện
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
Ta có hệ phương trình 2 1
5 6
<i>a b</i>
<i>a b</i>
Giải ra ta được
1
1
<i>a</i>
<i>b</i>
O
A
Cho đường tròn
(O; R = 3cm)
Sđ 0
60
<i>AB</i>
KL
Giải hệ phương trình
1
1
2
1
1
<i>x y</i>
<i>x y</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
2
2 1 <sub>3</sub>
1 1
( Thỏa điều kiện ).Vậy (x;y)=
2
3
1
3
<i>x</i>
<i>y</i>
h/ 5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
5 10 3 1
2 4 3 15 12
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
2 10 1 2 10 1
15 16 2 30 32
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
33
15 16 <sub>40</sub>
40 33 29
8
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
Vậy <sub>( ; ) (</sub>29<sub>;</sub> 33<sub>)</sub>
8 40
<i>x y</i>
<b>Bài 2</b>:
<b> Câu 1</b>: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình 2 12
2 6
<i>ax by</i>
<i>ax</i> <i>by</i>
Có nghiệm là
(<i>x</i>2;<i>y</i>1)
<b> Câu 2</b>: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình 3 1
2
<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x ny</i>
nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
<b>Giải câu 1:</b> 2 12
2 6
<i>ax by</i>
<i>ax</i> <i>by</i>
Do
(<i>x</i>2;<i>y</i>1) là nghiệm của hệ phương trình
Nên 4 12
2 2 6
<i>a b</i>
<i>a</i> <i>b</i>
4 12 5 9
3 3
<i>a b</i> <i>a</i>
<i>a b</i> <i>a b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
9 9
5 5
9 24
3
5 5
<i>a</i> <i>a</i>
<b> Câu 2:</b> 3 1
2
<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x ny</i>
Do
(<i>x</i>2;<i>y</i>3) là nghiệm của hệ phương trình
Nên 2 3.3 1
2 3 2
<i>m</i>
<i>n</i>
2 9 1
2 3 2
<i>m</i>
<i>n</i>
2 8 4
3 0 0
<i>m</i> <i>m</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 3</b>:
<b>Câu 1</b>: Cho hệ phương trình: <sub>4</sub><i>mx<sub>x</sub></i> <sub>6</sub>3<i><sub>y</sub>y</i><sub>9</sub>5
. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
<b>Câu 2</b>: Tìm giá trị của a để hệ phương trình<i><sub>ax</sub>x</i>2<sub>3</sub><i>y<sub>y a</sub></i>5
a/ Có một nghiệm duy nhất ; b/ Vô nghiệm.
<b>Câu 3</b>: Cho hệ phương trình <sub>2</sub><i>x<sub>x</sub></i> 3<sub>6</sub><i>y m<sub>y</sub></i> <sub>8</sub>
Tìm giá trị của m để hệ phương trình vơ nghiệm, vơ số nghiệm.
<b>Giải</b>
<b>Câu 1</b>: 3 5
4 6 9
<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
3 3.4
4 6 6
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>2
<b>Câu 2</b>: 2 5
3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>ax</i> <i>y a</i>
a/ Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
1 2 3.1 3
3 <i>a</i> 2 <i>a</i> 2
<i>a</i>
b/ Hệ phương trình vơ nghiệm 1 2 5 3
3 <i>a</i> 2
<i>a</i> <i>a</i>
<b>Câu 3</b>: <sub>2</sub><i>x<sub>x</sub></i> 3<sub>6</sub><i>y m<sub>y</sub></i> <sub>8</sub>
.Ta có
1 3
2 6
.Nếu
1
4
2 8
<i>m</i>
<i>m</i>
thì hệ phương trình có vơ số nghiệm.
Nếu 1 4
2 8
<i>m</i>
<i>m</i>
thì hệ phương trình vơ nghiệm.
<b>Bài 4</b>:
<b> Câu 1</b>: Xác định hàm số <i>y ax b</i> biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
<b> Câu 2</b>: Xác định đường thẳng <i>y ax b</i> <sub>biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm</sub>
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng <i>y</i><i>x</i><sub> và </sub><i><sub>y</sub></i><sub>2</sub><i><sub>x</sub></i><sub>1</sub>
<b>Giải</b>
<b>Câu 1:</b>a/ Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -4) nên 2<i>a b</i> 4
Và qua B(-5 ; 4) nên 5<i>a b</i> 4Ta có hệ pt 2 4
5 4
<i>a b</i>
<i>a b</i>
7 0
2 4
<i>a</i>
<i>a b</i>
0
4
<i>a</i>
<i>b</i>
Vậy
4
<i>y</i>
b/ Vì đường thẳng <i>y ax b</i> <sub>qua A(3 ; -1) nên </sub>3<i>a b</i> 1Và qua B(-2 ; 9) nên 2<i>a b</i> 9
Ta có hệ phương trình <sub></sub>3<i>a b</i><sub>2</sub><i><sub>a b</sub></i> 1<sub>9</sub> <sub></sub>5<i>a</i><sub>2</sub><i><sub>a b</sub></i>10 <sub>9</sub>
2 2
2( 2) 9 5
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Vậy
2 5
<i>y</i> <i>x</i>
<b>Câu 2</b>:
.Xác định giao điểm B của hai đường thẳng : <i>y</i><i>x</i><sub> và </sub><i><sub>y</sub></i><sub>2</sub><i><sub>x</sub></i><sub>1</sub>
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường thẳng: <i>x</i>2<i>x</i>1 <i>x</i>1 <i>y</i>1<sub>Vậy B(1 ; -1)</sub>
.Xác định tiếp đường thẳng đi qua A(2 ; 1) và B(1 ; -1) được <i>y</i>2<i>x</i> 3
<b>Bài 5</b>: Cho hàm số y = -x2<sub> có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)</sub>
a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hồnh độ bằng 1.
b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của
chúng .
c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P)
<b>Giải</b>
a/
2
( )
(1; 1), ( ) 1 2.1 1
1 1
<i>A</i> <i>A</i>
<i>A</i> <i>A</i>
<i>A</i> <i>P</i> <i>y</i> <i>x</i> <i><sub>A</sub></i> <i><sub>A</sub></i> <i><sub>d</sub></i> <i><sub>m</sub></i> <i><sub>m</sub></i>
<i>x</i> <i>x</i>
ì
ì Ỵ ï =
ïï <sub>Û</sub> ï <sub>Û</sub> <sub>-</sub> <sub>Ỵ</sub> <sub>Û - =-</sub> <sub>+</sub> <sub>Û</sub> <sub>=</sub>
í í
ï = ï =
ï ï
ỵ ỵ
b/ Bảng giá trị của y=-2x-3 và y = - x2
Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P)
là :- <i>x</i>2 =- 2<i>x</i> - 3Û <i>x</i>2- 2<i>x</i> - 3 0= Û é =-ê<i>x<sub>x</sub></i> <sub>3</sub>1
ê =
ë
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)
c/ Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là :<sub>-</sub> <i><sub>x</sub></i>2 <sub>=-</sub> <sub>2</sub><i><sub>x m</sub></i><sub>+ Û</sub> <i><sub>x</sub></i>2<sub>-</sub> <sub>2</sub><i><sub>m m</sub></i><sub>+ =</sub><sub>0</sub>
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û D = -' 1 <i>m</i>> Û0 <i>m</i><1
x 0 -3/2
y=-2x-3 -3 0
Với m<1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
d/ (d) tiếp xúc với (P) Û D = Û -' 0 1 <i>m</i>= Û0 <i>m</i>=1
(d) không cắt (P) Û D < Û -' 0 1 <i>m</i>< Û0 <i>m</i>>1
<b>Bài 6:</b> Giải phương trình :
2 2
2 2
2
/ 3 75 0; / 384 0; / ( 15) 3(27 5 )
3
/ (2 7) 12 4(3 ); /(3 2) 2( 1) 2
<i>a</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>c x x</i> <i>x</i>
<i>d x x</i> <i>x e</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Giải :</b>
1/ <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2<sub>+</sub><sub>75 0;3</sub><sub>=</sub> <i><sub>x</sub></i>2 <sub>+</sub><sub>75 0</sub><sub>> "</sub><i><sub>x</sub></i> <sub> Nên phương trình vơ nghiệm.</sub>
2/
1
2 2 2
2
24
2 <sub>384 0</sub> <sub>2</sub> <sub>1152</sub> <sub>576</sub>
24
3
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
é =
ê
- = Û = Û = Û <sub>ê</sub>
=-ë
3/ 2 1
2
9
( 15) 3(27 5 ); 81
9
<i>x</i>
<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
é =
ê
- = - Û = <sub>Û ê </sub>
=-ë
4/ 2 2 1
2
0
(2 7) 12 4(3 ) 2 7 12 12 4 2 11 0 ( 11) 0
11
<i>x</i>
<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
<i>x</i>
é =
ê
- - =- - Û - - =- + Û - = Û - <sub>= Û ê =</sub>
ë
5/
1
2 2 2 2 2
2
0
(3 2) 2( 1) 2 9 12 4 2 4 2 2 7 8 0 (7 8) 0 <sub>8</sub>
7
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
<i>x</i>
é =
ê
ê
- - - = Û - + - + - = Û - = Û - = Û
ê =
ê
ë
<b>Bài 7:</b> Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn )
<sub>1/</sub> <i><sub>x</sub></i>2 <sub>5</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>14; 2 / 3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>10</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>80 0;3/ 25</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>20</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>4 0</sub>
<b>Giải : </b>1/ 2
5 14
<i>x</i> <i>x</i>
Û <i>x</i>2 +5<i>x</i> - 14 0(= <i>a</i>=1;<i>b</i> =5;<i>c</i> =- 14);D =25 56 81 0+ = > Þ <i>x</i>1=2;<i>x</i>2 =- 7
2/ <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>10</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>80 0</sub>
(<i>a</i>3;<i>b</i>10;<i>c</i>80);D'= 25-240 = -215<0 .Phương trình vơ nghiệm
3/ <sub>25</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>20</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>4 0(</sub><i><sub>a</sub></i> <sub>25;</sub><i><sub>b</sub></i> <sub>20;</sub><i><sub>c</sub></i> <sub>4)</sub>
;D'=(-10)2 -25.4 =0
Phương trình có nghệm kép : 1 2
' 10 2
25 5
<i>b</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>
<b>Bài 8</b>:Định m để phương trình :
2 2 2
2
a/ 3x 2x m 0 voâ nghieäm ;b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt
c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép
<b>Giải a/</b> <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>2</sub><i><sub>x m</sub></i> <sub>0(</sub><i><sub>a</sub></i> <sub>3; '</sub><i><sub>b</sub></i> <sub>1;</sub><i><sub>c m</sub></i><sub>)</sub>
;D'= (-1)2 -3m = 1-3m
Để phương trình vơ nghiệm D'<0 suy ra 1-3m<0 hay 1
3
<i>m</i>
Với 1
3
<i>m</i> thì phương trình đã cho vô nghiệm
<b>b/</b> 2x2<sub> + mx - m</sub>2<sub> = 0 (a = 2;b = m; c =- m</sub>2<sub>) ;</sub><sub>D</sub><sub>= m</sub>2<sub> -4.2(-m</sub>2<sub>)= m</sub>2<sub> +8 m</sub>2<sub>=9 m</sub>2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt <sub>Û D > Û</sub><sub>0</sub> <sub>9</sub><i><sub>m</sub></i>2<sub>> Û</sub><sub>0</sub> <i><sub>m</sub></i><sub>¹</sub> <sub>0</sub>
<b>c/</b> 25 x2<sub> + mx +2 = 0 (a = 25;b = m;c = 2);</sub><sub>D</sub><sub>= m</sub>2<sub> -4.25.2= m</sub>2<sub> -200</sub>
Để phương trình có nghiệm kép thì D=0 2 1
2
10 2
200 0
10 2
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
é <sub>=</sub>
ê
Û - <sub>= Û ê</sub>
<b>Bài 9</b>:Cho phương trình :x2 <sub>+ (m+1)x + m = 0 (1)</sub>
1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .
2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm cịn lại .
3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2 ;
6/ Tìm m để <i>x</i>12<i>x</i>22 đạt gía trị lớn nhất
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ;
8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.
9/ Tính <i>x</i>13<i>x</i>23
<b>Giải:</b>
1/ x2<sub> + (m+1)x + m = 0 (a = 1;b = m+1;c = m) </sub><sub>D</sub><sub>=(m+1)</sub>2<sub> -4.1.m= (m+1)</sub>2<sub>³</sub> <sub>0 với mọi m</sub>
2/Thay x = -2 vào (1) ta được (-2)2<sub> +(m+1)(-2) + m = 0 </sub>
4-2m-2+ m = 0Û m = 2
1. 2 2. 2 2 2 1
<i>c</i>
<i>x x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>
= = Û - = Û
3/ Phương trình có hai nghiệm đối nhau Û <sub>x</sub>1 +x2 =0Û -(m+1) = 0Û m = -1
4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau Û x1 x2=1Û m = 1
5/Theo hệ thức Vi-et
1 2
1. 2
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
x x (m 1)(1)
x .x m(2)
x x 2
(x x ) 4 (x x ) 4x x 4
m 2m 1 4m 4 m 2m 3 0
m 1
ì + =- +
ïï
íï =
ïỵ
- =
Û - = Û + - =
Û + + - = Û - - =
é
=-ê
Û
ê =
ë
Vậy với m = -1 hoặc m = 3 thì <i>x</i>1 <i>x</i>2 2
6/Theo hệ thức Vi-et
1 2
1. 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
x x (m 1)(1)
x .x m(2)
x x (x x ) 2x x
m 2m 1 2m m 1 1
ì + =- +
ïï
íï =
ïỵ
+ = +
-= + + - = + ³
Dấu ‘ =’ xảy ra khi m=0
Vậy : GTNN là 1 khi m=0
7/ Phương trình có hai nghiệm đều dương Û
2
0 ( 1) 0 1
0 0 0
0 ( 1) 0 1
<i>m</i> <i>m</i>
<i>P</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>S</i> <i>m</i> <i>m</i>
ì
ìD ³ ï - ³ ì ³
ï <sub>ï</sub> ï
ï <sub>ï</sub> ï
ï ï
ï <sub>> Û</sub> ï <sub>></sub> <sub>Û</sub> ï <sub>></sub>
í í í
ï ï ï
ï <sub>></sub> ï<sub>-</sub> <sub>+ ></sub> ï <sub></sub>
<-ï ï ï
ï ï
ỵ ïỵ î
V y không có giá tr nào c a m đ ph ng trình có hai nghi m đ u d ng ậ ị ủ ể ươ ệ ề ươ
8/Ta có
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( 1) 1
. .
. 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x x</i> <i>m</i> <i>x x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
ì + =- + ì + =-
-ï ï
ï <sub>Û</sub> ï
í í
ï = ï =
ù ù
ợ ợ
ị + +
=-Vy biu thc trờn khụng phụ thuộc vào m
9/Ta có
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
3 3 2
1 2
3 3 2
1 2
3 3 3
1 2
( )( )
( 1)( 1 )
( 1)( 1)
( 1)
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
+ = + - +
Û + = - - +
-Û + =- + - +
Û + =- +
<b>Bài 10</b>: Giải phương trình :
4 2 5 3 2
15 1 1
1/ 2;2/ 1;3/ 2 7 4 0;4/ 1 0
1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
1/
2 2
15 2( 0)
3
15 2 2 15 0
5
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
- = ¹
é
=-ê
Û - = Û - - = Û
ê =
ë
(Thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là x1 =-3 và x2 = 5
2/
2 2
2
1 1 <sub>1(</sub> <sub>1)</sub>
1 1
1 ( 1) 1 1 1 1
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
- = ạ
+
-ị - - + = - - - - =
-Û =
-Vậy phương trình vơ nghiệm .
3/ 2x4 <sub>- 7x</sub>2 <sub>– 4 = 0</sub>
Đặt <i>t</i>=<i>x</i>2³ 0 .Ta có phương trình :
2
1 2
1
2
2
2 7 4 0; 49 4.2( 4) 49 32 81
7 9 <sub>4(</sub> <sub>)</sub> 7 9 2 1<sub>(</sub> <sub>)</sub>
4 4 4 2
2
4
2
<i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>tmñk t</i> <i>ktñk</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
- - = D = - - = + =
+ - -
-= = = = =
é =
ê
Þ <sub>= Û ê </sub>
=-ë
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 2
và x2 = -2
4/
5 3 2
3 2 2 2 3
2 2
3 3
1 0
( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0
1
1 0 1 <sub>1</sub>
1 0 1 <sub>1</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x</sub></i>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x</sub></i>
- - + =
Û - - - = Û - - =
é =
ê
é <sub>- =</sub> é <sub>=</sub>
ê
ê ê
Û <sub>ê</sub> Û <sub>ê</sub> Û <sub>ê</sub> =
-- = =
ë ë <sub>ê =</sub>
ë
Vậy nghiệm của phương trình là <i>x</i>11;<i>x</i>2 1
<b>Bài 1:</b> Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M
( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với
a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c/. Tích CM.CN khơng đổi.
O x
d
A B
C
D
N
P
GT
Cho đường trịn(O;R)
AB, CD: đường kính, AB CD tại O.
M<sub>AB, CM cắt (O) tại N</sub>
Đường thẳng d AB tại M
Tiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P
KL
a/. OMNP nội tiếp được 1 đường trịn
b/. CMPO là hình bình hành
c/. CM.CN không đổi.
a/. Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường trịn:
Ta có: <i><sub>OMP</sub></i> <sub>90</sub>0
( d AB)Và <i>ONP</i> 900 ( Tiếp tuyến vng góc với bán kính)
<i><sub>OMP ONP</sub></i> <sub></sub>
b/. Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành:
Ta có: 1
2
<i>AMC</i> sđ
2
<i>CNx</i> sđ
CD)
Do đó: <i><sub>AMC</sub></i><sub>= </sub><i><sub>CNx</sub></i> <sub> (1)</sub>
Mà <i><sub>AMC</sub></i><sub>, </sub><i><sub>MOP</sub></i><sub> ở vị trí so le trong. =>: CM // OP (3)</sub>
Mặt khác: PM // CO ( Cùng vng góc với AB) (4)
Từ (3), (4) <sub> CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)</sub>
c/. Chứng minh tích CM.CN khơng đổi:
Ta có: <i><sub>CND</sub></i> <sub>90</sub>0
( góc nội tiếp chắn cung nửa đường trịn)
Nên ta chứng minh được: <i>OMC</i><i>NDC</i>(g.g) <i>CM</i> <i>CO</i>
<i>CD</i> <i>CN</i>
Hay CM.CN = CO. CD = R.2R= 2R2
Mà R không đổi <sub> 2R</sub>2<sub> không đổi</sub>
Nên: CM.CN khơng đổi (đpcm)
<b>Bài 2:</b> Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA =
R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D.
a/. Chứng minh: DI BC.
b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
c/. Giả sử <i><sub>AMB</sub></i> <sub>45</sub>0
.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.
I
M
O
D
B C
A GT
Cho đường trịn (O), đường kính :
BC = 2R
A(O): BA = R; Mcung AC nhỏ.
BM cắt AC tại I, BA cắt CM tại D.
0
45
<i>ABM</i> : (c)
KL
a/. DI BC
b/. AIMD nội tiếp (O)
c/. Tính độ dài AC và S<i>quatAOM</i> ?
a/. Chứng minh : DI BC:
Ta có: 0
90
<i>BAC</i> ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
<sub> CA </sub><sub></sub><sub> BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC. (1)</sub>
Và <i><sub>BMC</sub></i> <sub>90</sub>0
( góc nội tiếp chắn cung nửa đường trịn)
<sub> DI là đường cao thứ ba của tam giác BDC </sub>
Nên DI BC
b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn:
Ta có: 0
90
<i>IAD</i> ( CA BD )
Và 0
90
<i>IMD</i> ( BM CD
<i><sub>IAD</sub></i> <sub> + </sub> 0
90
<i>IMD</i> +900 1800
Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
( Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng <sub>180</sub>0<sub>)</sub>
c/. Tính độ dài AD. Diện tích hình quạt AOM:
*Tính AD:
Nếu <i><sub>ABM</sub></i> <sub>45</sub>0
thì <i>ABI</i>vng cân tại A ( Tam giác vng có 1 góc nhọn bằng 450)
AB = AI = R
Xét tam giác ADI vuông tại A ,ta có: <i><sub>ADI</sub></i> <sub></sub><i><sub>AMI</sub></i><sub> ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI…)</sub>
Mà 1
2
<i>AMI</i> sđ<i><sub>AB</sub></i><sub>= </sub>1.600 300
2 ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn và <i>AOB</i>đều)
Nên: <i><sub>ADI</sub></i> <sub>30</sub>0
Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác đều.
ID = 2R
Lúc đó: AD = <i><sub>ID</sub></i>2 <i><sub>AI</sub></i>2 <sub>3</sub><i><sub>R</sub></i>2 <i><sub>R</sub></i> <sub>3</sub>
(đvđd)
* Tính diện tích hình quạt AOM:
Ta có: S<i>quatAOM</i> =
2
360
<i>R n</i>
, với n = <i><sub>AOM</sub></i> <sub>2.</sub><i><sub>ABM</sub></i> <sub>90</sub>0
Nên: S<i>quatAOM</i> =
2<sub>.90</sub> 2
360 4
<i>R</i> <i>R</i>
(đvdt)
<b> </b>
<b>Bài 3:</b> Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA > CB. Vẽ
hình vng ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác
a/. Chứng minh : OF AB.
b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F.
c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng
hàng.
F
O
E
D
M
A <sub>B</sub>
C
GT
Cho đường tròn (O), đường kính AB
C(O): CA>CB
D<sub>tia đối của tia BC: ACDE là hình </sub>
vng.
CE cắt (O) tại F
CF cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở M:
(c)
KL a/. OF
AB
b/. Tam giác BDF cân tại F.
c/. D, E, M thẳng hàng.
a/. Chứng minh: OF AB
Ta có: <i><sub>ACF</sub></i> <i><sub>BCF</sub></i> <sub>45</sub>0
( Tính chất của đường chéo hình vuông)
<i><sub>AF</sub></i> <sub></sub><i><sub>BF</sub></i><sub> ( Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau) </sub>
AF = BF <i>AFB</i> cân tại F
Mà O là trung điểm của AB
FO là trung tuyến cũng là đường cao ( Tính chất tam giác cân)
Hay : FO AB
b/. Chứng minh tam giác BDF cân tại F:
F đường chéo CE của hình vng ACDE
<sub> FA = FD ( Tính chất 2 đường chéo của hình vuông) (1)</sub>
Mà: FA = BF ( cmt)
<sub> FD = FB (2)</sub>
Hay: Tam giác BDF cân tại F
c/. Chứng minh: D, E, M thẳng hàng:
Xét tam giác ABM, ta có:
O là trung điểm của AB
Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB)
F là trung điểm của B FM = FB (3)
Từ (1),(2),(3) <sub> FA = FB = FD = FM</sub>
<sub> ABDM là tứ giác nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 4 đỉnh cách đều F)</sub>
<i><sub>BAM BDM</sub></i> <sub>180</sub>0
Mà <i><sub>BAM</sub></i> <sub>90</sub>0
( Tiếp tuyến vng góc với bán kính)
<i><sub>BDM</sub></i> <sub>90</sub>0
<i>DM</i> <i>BD</i> (4)
Ta lại có: DE BD ( do <i><sub>BDE</sub></i> <sub>90</sub>0
) (5)
Từ (4),(5) DM trùng với DE ( hệ qủa tiên đề Ơ- Clit) Hay: D, E, M thẳng hàng.
( Chú ý: Học sinh có thể chứng minh 0
180
<b>Bài 4:</b> Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M <sub> cạnh BC ).</sub>
Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q.
a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
b/. Chứng minh: MA PQ.
c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.
Q
H
C
A
P
B
M
I
GT
Cho <i>ABC</i>vuông tại A
AM: trung tuyến, AH: đường cao
KL
a/. Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng.
b/. MA PQ
c/. BPCQ nội tiếp được đường tròn.
a/. Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng:
Ta có: 0
90
<i>PAQ</i> (GT)
Mà <i><sub>PAQ</sub></i><sub> là góc nội tiếp</sub>
<sub> </sub><i><sub>PAQ</sub></i> <sub> chắn cung nửa đường tròn</sub>
PQ là đường kính của đường trịn tâm H
P, H, Q thẳng hàng ( đường kính đi qua tâm)
b/. Chứng minh: MA PQ:
Gọi I là giao điểm của AM và PQ
Ta có: <i><sub>C MAC</sub></i> <sub></sub> <sub> ( Tam giác MAC cân tại M)</sub>
Mà <i><sub>C HAC</sub></i> <sub>90</sub>0
( Tam giác AHC vuông tại H)
Và <i><sub>HAC</sub></i><sub></sub><i><sub>AQH</sub></i><sub> ( Tam giác AHQ cân tại H)</sub>
<i><sub>MAC AQH</sub></i> <sub>90</sub>0
Nên: Tam giác AIQ vuông tại I
Hay PQ vng góc với AM tại I
c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn:
Ta có: <i><sub>C</sub></i> <sub></sub><i><sub>BAH</sub></i> <sub> ( cùng phụ với</sub><i><sub>CAH</sub></i> <sub>)</sub>
mà <i><sub>P BAH</sub></i><sub></sub> <sub> ( Tam giác AHP cân tại H) </sub>
<sub> </sub><i><sub>C</sub></i> <sub></sub><i><sub>P</sub></i>
Tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn
<b> Bài 5:</b> Cho đường trịn tâm O có 2 đường kính AB và CD vng góc với nhau, dây AE đi qua trung điểm
P của OC, ED cắt CB tại Q.
a/. Chứng minh tứ giác CPQE nơi tiếp được một đường trịn.
b/. Chứng minh : PQ // AB.
c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC.
Q
O
A B
C
D
P
E
GT
Cho đường tròn (O)
AB, CD là 2 đường kính:ABCD tại O
AE cắt OC tại P ( P: trung điểm OC)
ED cắt BC tại Q
KL a/. CPQE nội tiếp được 1 đường tròn b/. PQ // AB
c/ So sánh <i>SCPQ</i>và <i>SABC</i>?
a/. Chứng minh: CPQE nội tiếp được 1 đường tròn:
Ta có: <i><sub>PCQ</sub></i><sub> chắn cung BD</sub>
<i><sub>PEQ</sub></i> <sub> chắn cung AD</sub>
Mà: <i><sub>BD</sub></i> <sub></sub><i><sub>AD</sub></i><sub> ( do </sub><i><sub>BOD</sub></i> <i><sub>AOD</sub></i> <sub>90</sub>0
)
Nên: <i><sub>PCQ</sub></i><sub> = </sub><i><sub>PEQ</sub></i>
Vậy: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn.
( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc khơng đổi)
b/. Chứng minh: PQ // AB:
Ta có: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn (cmt)
<i><sub>CEP CQP</sub></i> <sub></sub> ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP)
Ta lại có: <i><sub>CEP</sub></i> <sub> = </sub><i><sub>B</sub></i> <sub> ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn(O))</sub>
<i><sub>CQP B</sub></i> <sub></sub>
Mà <i><sub>CQP B</sub></i> <sub>,</sub> <sub> ở vị trí đồng vị</sub>
Nên: PQ // AB
c/. So sánh <i>SCPQ</i>và <i>SABC</i>?
Ta có: P là trung điểm OC (GT)
Mà PQ // AB (cmt)
Q là trung điểm của BC
Nên: PQ là đường trung bình của tam giác BOC
<i>SCPQ</i> =
1
4 <i>SBOC</i>
Mà CO là trung tuyến của tam giác ABC
<i>S<sub>BOC</sub></i><sub> = </sub>1
2<i>SABC</i> Do đó: <i>SCPQ</i>=
1
<b>Câu 1</b>: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao
nhiêu nghiệm?
<b>Câu 2</b>: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.
<b>Câu 3</b>:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?
<b>Câu 4</b>: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương.
Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:
a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vơ số nghiệm thì ln tương đương với nhau.
b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ nghiệm thì ln tương đương với nhau.
<b>Câu 5:</b> Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai .
Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình 3<i>x</i>2 3 1 0<i>x</i>
<b>Câu 6: </b>Cho phương trình ax2<sub> + bx +c=0 </sub>(<i>a</i><sub></sub>0)<sub>. Viết cơng thức tính ngiệm của phương trình trên .</sub>
Áp dụng : Giải phương trình <i>x</i>2 3<i>x</i> 2 0.
<b>Câu 7: </b>Phát biểu hệ thức Viet .Áp dụng :5<i>x</i>24<i>x</i> 3 0.Tính x1+ x2 và x1 x2
<b>Câu 8: </b>Cho phương trình :<i>ax</i>2 <i>bx c</i> 0 (<i>a</i>0)<sub> có hai nghiệm x</sub><sub>1 </sub><sub>và x</sub><sub>2 </sub><sub>.Chứng </sub><sub>minh :</sub>
<sub>1</sub> <sub>2</sub> <i>b</i>; <sub>1 2</sub> <i>c</i>
<i>S x</i> <i>x</i> <i><sub>a</sub></i> <i>P x x</i> <i><sub>a</sub></i>
<b>Câu 9: </b>Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng là S và có tích là P (khơng cần chứng minh )
Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:2 2 và 2 2
<b>Câu 10:</b> Nêu tính chất của hàm số <i><sub>y ax a</sub></i>2<sub>(</sub> <sub>0)</sub>
<b>Bài 1</b>: Giải các hệ phương trình sau:
a/ 3<i><sub>x y</sub>x</i> 2<i>y</i><sub>3</sub>1
b/
3 5 1
2 4
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>
c/
4 3 15
3 2 10
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
d/
3 5
2 3 18
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
e/
1 1 5
8
1 1 3
8
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
f/
2 1
1
2
1 5
6
2
<i>x y</i> <i>x y</i>
<i>x y</i> <i>x y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
h/ 5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
<b>Bài 2</b>:
<b>Câu 1</b>: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình 2 12
2 6
<i>ax by</i>
<i>ax</i> <i>by</i>
Có nghiệm là
(<i>x</i>2;<i>y</i>1)
<b>Câu 2</b>: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình 3 1
2
<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x ny</i>
nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
<b>Bài 3</b>:
<b>Câu 1</b>: Cho hệ phương trình: 3 5
4 6 9
<i>mx</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<b>Câu 2</b>: Tìm giá trị của a để hệ phương trình<i><sub>ax</sub>x</i>2<sub>3</sub><i>y<sub>y a</sub></i>5
a/ Có một nghiệm duy nhất b/ Vô nghiệm.
<b>Câu 3</b>: Cho hệ phương trình 3
2 6 8
<i>x</i> <i>y m</i>
<i>x</i> <i>y</i>
Tìm giá trị của m để hệ phương trình vơ nghiệm, vơ số nghiệm.
<b>Bài 4</b>:
<b>Câu 1</b>: Xác định hàm số <i>y ax b</i> biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
<b>Câu 2</b>: Xác định đường thẳng <i>y ax b</i> <sub>biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm</sub>
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng <i>y</i> <i>x</i><sub> và </sub><i><sub>y</sub></i><sub>2</sub><i><sub>x</sub></i><sub>1</sub>
<b>Bài 5</b>: Cho hàm số y = -x2<sub> có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)</sub>
a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hồnh độ bằng 1.
b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao
điểm của chúng .
c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P)
<b>Bài 6:</b> Giải phương trình :
2 2
2 2
2
/ 3 75 0; / 384 0; / ( 15) 3(27 5 )
3
/ (2 7) 12 4(3 ); /(3 2) 2( 1) 2
<i>a</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>c x x</i> <i>x</i>
<i>d x x</i> <i>x e</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Bài 7:</b> Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn )
2 2 2
1/ <i>x</i> 5<i>x</i> 14; 2 / 3<i>x</i> 10<i>x</i>80 0;3/ 25 <i>x</i> 20<i>x</i> 4 0
<b>Bài 8</b>:Định m để phương trình :
2
2 2
2
a/ 3x 2x m 0 vô nghiệm
b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt
c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép
<b>Bài 9</b>:Cho phương trình :x2 <sub>+ (m+1)x + m = 0 (1)</sub>
1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .
2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm cịn lại .
3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2 ;
6/ Tìm m để <i>x</i>12<i>x</i>22 đạt gía trị lớn nhất
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ;
8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.
9/ Tính <i>x</i>13<i>x</i>23
<b>Bài 10</b>: Giải phương trình
4 2
5 3 2
15
1/ 2
1 1
2 / 1
1 1
3/ 2 7 4 0
4 / 1 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Câu 1 :</b> Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng
nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”
<b>Câu 2:</b> Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường trịn. Áp dụng:Cho đường trịn (O), đường
kính AB. Vẽ dây AM sao cho<i><sub>AMO</sub></i> <sub>40</sub>0
. Tính số đo cung BM ?
<b>Câu 3:</b> Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
(Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả đường
trịn)
<b>Câu 4:</b> Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường trịn để
giải bài tốn sau: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON saocho:
<i><sub>AOM</sub></i> <sub>40 ,</sub>0 <i><sub>BON</sub></i> <sub>80</sub>0
. So sánh: AM, MN và NB ?
<b>Câu 5:</b> Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800<sub> ”.</sub>
<b>Câu 6:</b> Chứng minh định lí: “ Trong một đường trịn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị
chắn”.
( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm ).
<b>Câu 7:</b> Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị
chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường trịn nằm ở ngồi của góc).
<b>Câu 8:</b> Chứng minh định lí: “ Sđ của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng sđ hai cung bị
chắn”.
<b>Câu 9:</b> Nêu cách tính độ dài cung <i><sub>n</sub></i>0<sub>của hình quạt trịn bán kính R. Áp dụng: Cho đường trịn ( O; R = 3 </sub>
cm). Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600<sub>?</sub>
<b>Câu 10:</b> Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O). Chứng minh: AB + CD = AD + BC.
<b>Bài 1:</b> Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đoạn AB lấy
điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vng
góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh :
a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c/. Tích CM.CN khơng đổi.
<b>Bài 2:</b> Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao
cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D.
a/. Chứng minh: DI BC.
b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
c/. Giả sử 0
45
<i>AMB</i> .Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.
<b>Bài 3:</b> Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA >
CB. Vẽ hình vng ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F
( khác điểm C). a/. Chứng minh : OF AB.
b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F.
c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng
hàng.
a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
b/. Chứng minh: MA PQ.
c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.
<b>Bài 5:</b> Cho đường trịn tâm O có 2 đường kính AB và CD vng góc với nhau, dây AE đi qua trung
điểm P của OC, ED cắt CB tại Q.
a/. Chứng minh tứ giác CPQE nơi tiếp được một đường trịn.
b/. Chứng minh : PQ // AB.