BAI TAP BAT DANG THUC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (182.73 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề: BÀI BẤT ĐẲNG THỨC

1. Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh:

3

2 





a

b

c

b c c a

a b

2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2  y2 z2 3.

Chứng minh :

xy



yz



zx



3 z

x

y

3. Cho x, y, z >0 thoả x y z  1. Chứng minh:

1 

4 9





36 x

y

z

4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh: xyz(xy z y )( z x z )( x y)

5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

Chứng minh :





 

1  

 

 

1  

 

 

1 





1 

a

b

 

b

c

 

c

a



6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

Chứng minh : 3

1

3

1

3

1

3 (



)



(



)



(



) 2



a b c

b c a

c a b

7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:

xyz x y z

 

 

2

.

Chứng minh :

3

2 



x

y

z

xyz

8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2+b2+1

 ab+a+b

b) a2+b2+c2+d2+e2

 a(b+c+d+e)

c) a3+b3

 ab(a+b)

d) a4+b4

 a3b+ab3

9. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c)2

 3(ab+bc+ca)

b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)

 6abc

10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 .
 Chứng minh rằng: a4+b4

 a3+b3

b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . 
 Chứng minh rằng: a4+b4+c4

 a3+b3+ c3

11.Cho a,b,c là các số dương,
 Chứng minh rằng:

1 a

b

c

2 a b b c a c









</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1 a

b

c

d

2 a b c b c d c d a

d a b







 

13. Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:

a)

bc ac ab

a b c

a



b



c

  

b)

ab

bc

ca

a b c

a b

b c c a

2  







c)

3 3 3

a

b

c

ab bc ca

b



c



a





14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:
 a)

2 2

a

b

a

b



a

 

b a

b)

2 2 2

a

b

c

a b c

b



c



a

  

c)

2 2 2

a

b

c

a b c

b c c a

a b

2  







15. Cho x y z, , 0 và xyz 1. Chứng minh:

3 3 3

3

(1



)(1



) (1



)(1



) (1



)(1



)



4 x

y

z

y

z

x

y

16. Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa

ab bc cd da





1

. Chứng minh:

3 3 3 3

1

3 



 



 

a

b

c

d

b c d

c d a

a b d

a b c

17. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh:

1

27

2

(



)



(



)



(



)



2(

  

)

a a b

b b c

c c a

a b c d

18. Cho ba số dương x, y, z thỏa

x



y



z



3.

Chứng minh:

xy



yz



zx



3 z

x

y

19. Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = 1. Chứng minh:

5 5



5 5



5 5



1 

xy

yz

zx

x

xy y

y

yz z

z

zx x

20. Cho

a b c

, ,



0.

Chứng minh:

4 4

1

4



4 4

1

4



4 4

1

4



4 4

1

4



1 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

21. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh:

2(

)

1

2 





 









 





 







 







x

y

z

x y z

y

z

x

xyz

22. Cho ba số dương x ,y, z . Chứng minh:

3 3 3



 



x

y

z

x y z

yz

zx

23.Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh

a



b



c



2(

ab ac



)

24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3. Chứng minh:

2 2 2

3

2

1 



a

b

c

b

c

a

.

25. Chøng minh r»ng :

a)

2 2

a

b

a b

2 















;

b)

2 2 2

a

b

c

a b c

3 



 











26. Chứng minh m,n,p,q ta đều có

m2 + n2 + p2 + q2+1 m(n + p + q + 1)

27. Cho a, b, c, d,e là các số thực,
 Chøng minh r»ng
 a)

2
2

b

a

ab

4 



b)

a



b

 

1 ab a b

 

c)

a



b



c



d



e



a b c d e



  



28. Chøng minh r»ng:



a



b



a



b

 



a



b



a



b



29. Cho x.y =1 vµ x.y = 1. Chøng minh

2 2

x

y

x y







2 2

30. Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc

31. Cho a>b>c>0 vµ

a



b



c



1

. Chøng minh r»ng:

3 3 3

1

2 





a

b

c

b c a c a b

32. Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng:













2 2 2 2

a



b



c



d



a b c



b c d



d c a





10

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(a c)



(b d)





a



b



c



d

34. Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng:

2a



2b



2c

 

3 a b b c c a



35. Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng

1 a

b

c

d

2 a b c b c d

c d a

d a b







 

36. Cho

a

b

<

c

d

vµ b,d > 0 . Chøng minh r»ng:

a

b

< 2 2

ab cd

c

d

b

d







37. Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

1 ....

1

3

2 

n 1 n 2



n n





4

38. Chøng minh r»ng:

1 ....

1

2 

n 1 1



2

3 n





 

( Với n là số nguyên dng)

39. Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác,chứng minh r»ng:
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
40. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1

Chøng minh r»ng

2 2 2

1

9 a



2bc b



2ac c



2ab



(1)

41. Chøng minh r»ng

2 2 2

1 ....

2 n

1 

2 

n

 

(nN;n1)

42 . Cho nN vµ a+b> 0

Chøng minh r»ng

a b

2 















a

b

2 

(1)

43. Cho abc = 1 vµ

a



36

. Chøng minh r»ng:

a

3 

b

2+c2> ab + bc + ac

44. Chøng minh r»ng

a)

x



y



z

 

1 2x.(xy



x z 1)

 

b)

a



5b



4ab 2a 6b 3 0





 

c)

a



2b



2ab 2a 4b 2 0





 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>









2 2

x

y

8 x y







46. Cho xy  1 .Chøng minh r»ng

1

2

1

2

2 1 xy

1 x





1 y







47. Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1
 Chøng minh r»ng

a

b

c

1

3 



48. Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng:

2a



2b



2c

 

3 a b b c c a



49. Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng:

2 

















3  



 

a b

b c

c d

d a

a b c b c d

c d a d a b

50. Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
 Chøng minh r»ng:

1 





2 

a

b

c

b c c a a b

51.Chøng minh:

a)

1 ...

1 1.3 3.5



(2

n



1).(2

n



1)



2

b)

1 ...

1

2 1.2 1.2.3

1.2.3...





n

52.Chứng minh rằng:

bc ca ab a b c a b c



  



, ,



0 a

b

c

53.Chứng minh rằng:

2 2 2



  





0 a

b

c

b c a

abc

b

c

a

a b c

54. Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. CMR:

a)













1

8 p a p b p c





abc

;

b)

p a

1 p b

1 p c

1

2



1 1 1

a

b

c



 

 





 



55. Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác.

Chứng minh rằng:



b c a c a b a b c

 

 

 

 

 





abc

56. Cho a>0, b>0. Chứng minh:

1

3 1 1

2 





a

b

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

57.Chứng minh rằng:

2 2 2

, ,

0

2  











c

a

b

a b c

a b c

a b b c c a

58. Cho x y z, , (0;1) và xy yz zx  1. Chứng minh:

2 2 2

3 3

2

1 



1 



1 



x

y

z

x

y

z

59. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:

a

b

c

a b c

b c a c a b a b c

 



 



 

  

60.Cho ∆ ABC. Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc
 61. Cho ∆ABC. Chứng minh :

























1 p

p a p b p c

p a





p b





p c







62. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì:

1

2 

a



2 

b



2 

c



63. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh

3 3 3

2 2 2

    

a b c

b c a

64.Cho a>0, b>0, c>0.
 Chứng minh:

4 4 4 3 3 3

2  2  2   

a b c a b c

b c a b c a

65. Cho a>0, b>0, c>0.
 Chứng minh:

3 3 3 2 2 2

1 





a

b

c

a b b c c a

66.Cho a>0, b>0, c>0.

Chứng minh:

a

4



b

4



c

4



1

3



1

3



1

3

b

c

a

b

c

67. Cho a>0, b>0, c>0. 
 Chứng minh:

2 2 2







a

b

c

a

b

c

b

c

a

b

c

a

68.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh:

2 2 2

5 5 5 3 3 3

1 1 1

a b c

b c a a b c

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2 2 2

1 1 1

a

b

c

b



c



a

 

a b c



70.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh:





3 3 3

2 2 2

1 1 1 2( )

3  

 

      

 

a b c

a b c abc

71.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh













(

)

(

)

(

)

 









 

b c a

c a b

a b c

f

ab bc ca

a a b c

b b c a

c c a b

72.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2

    

a b c ab bc ca

73.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 4 4 4 3 3 3

    

a b c ab bc ca

74.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 5 5 5 3 2 3 2 3 2







a

b

c

a b

b c

c a

75.Cho a>0, b>0, c>0. Cho n,k là các số nguyên dương. Chứng minh:

  







n k n k n k n k n k n k

a

b

c

a b

b c

c a

76.Cho a>0, b>0.

Chứng minh:

4 4

2 2

   

 

 

a b a b

77.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh:

2 2 2

3 3

     

 

 

a b c a b c

78.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh:

3 3

     

 

 

n
n n n

a b c a b c

79. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng

3 3 3 2 2 2 2 2 2

2 2 2

a

b

c

a

b

c

a

9 2abc

c

ab

a

bc b

ac

2 





80. Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng:

1 

1 

 

x y

y z

z x

81. Cho x, y, z laø ba số thỏa x + y + z = 0. Chứng minh raèng :

3 4



x



3 4



y



3 4



z



6

82. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1. Chứng minh rằng:

2

7

27 





</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

83. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = 1 .Chứng minh rằng:



25

5

x y z

x y z y z x z x y





5

4

x y z

84. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

4

3

2 c

a

b

a b b



c c a





85.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:



3 3 3



1

3

1

3

1

3

3

2 

































b c c a a b

a

b

c

a

b

c

a

b

c

86. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:





3 

a b

b c

c a

ab c

bc a

ca b

87. Cho các số thực dương x y z, , . Chứng minh rằng:

5 5 5

3 3 3







x

y

z

x

y

z

y

z

x

.

88. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2 1

   , ta có:

5 3 5 3 5 3

2 2 2 2 2 2

2 2 3

3 















a

a b

b

b c

c

b

c

a

b

89. Cho a, b, c là c¸c số thực dương thoả m·n abc = 1. Chøng minh r»ng :
 3 1 3 1 3 1 3

( ) ( ) ( ) 2

a b c b c a c a b 

90. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.

Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2

3 3 3 4

a b c

b  c  a   .

91. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 23 x2 23 y2 32 z2 12 12 12

x y y z z x x y z

92. Cho a, b,c là các số không âm. Chứng minh rằng

3 3 3

(

)



(

)



(

)



1 

a

b

c

a

b c

b

c a

c

a b

93. Cho các số dương

a b c ab bc ca

, , :





3.

Chứng minh rằng: 2

1

2

1

2

1 .

1 

a b c

(



) 1



b c a

(



) 1



c a b

(



)



abc

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chứng minh rằng :













2. 

a

b

c

a

b c

c

a

a b

95. Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn: ab + bc + ca = abc. Chứng minh:







1 (

1)

(

1)

(

1)

2 a a

b b

c c

96. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:

3

2

2



2

3 2



3

2

2



1

2



1

2



1

2



y

x

z

x

y

z

x

y

z

97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:







3 3 3

1

8

1

8

1

8

1 a

b

c

a

b

98. Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa m·n : 2-x + 2-y +2-z = 1.Chøng minh r»ng :

4

2

x y z

x y z



y z x



z x y





2

4

x y z



99. Cho a, b, c là những số dơng thoả mÃn a + b + c = 1

Chøng minh r»ng

10a

3b

2009

3 3b 2009c 2009c 10a 10a 3b





2

100. Cho ba số dương

x y z

, ,

. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

36

9   



x y z

x y y z x z

</div>

BAI TAP BAT DANG THUC

<b>Chuyên đề: BÀI BẤT ĐẲNG THỨC</b>

3

2













<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b c c a</i>

<i>a b</i>

<i>xy</i>



<i>yz</i>



<i>zx</i>



3

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

1



4 9





36

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<sub></sub>



 

1

1

<sub> </sub>

 

 

1

1

<sub> </sub>

 

 

1

1



<sub></sub>



1



<i>a</i>

<i>b</i>

 

<i>b</i>

<i>c</i>

 

<i>c</i>

<i>a</i>



1

1

1

3

(



)



(



)



(



) 2



<i>a b c</i>