Viet va ung dung trong cac bai toan

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Định lý Viet</b>

Có 2 nghiệm

Cho phương trình bậc 2 : <b>ax² +bx+c = 0 </b>
<b>(a≠0)</b>

1

2

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

 





₂

2

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Suy ra

Vậy đặt:

Tổng nghiệm là S
Tích nghiệm là P

1 2

2

2

2

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

 

 

 













2

1 2 ₂ ₂ ₂

(

)(

)

4

4

4

4

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>ac</i>

<i>c</i>

<i>x x</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

 

   

 









1 2

<i>b</i>

<i>S</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>









1 2

<i>c</i>

<i>P x x</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

• Hai số x₁ và x₂ là các nghiệm của phương
trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi

chúng thỏa mãn các hệ thức

1 2

b

x + x =

-a

;

1 2

c

x .x =

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Xét phương trình <b>ax² + bx + c = 0 </b>(*) ta thấy:

Nếu cho <b>x = 1 </b>thì ta có (*) a.1² + b.1+c = 0 <b>=> a+b+c=0</b>

Như vậy phương trình có 1 nghiệm
và nghiệm còn lại là

1

1

<i>x</i>



2

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Nếu cho <b>x =−1 </b>thì ta có (*) a.(−1)² + b.(−1)+c = 0

<b> a − b + c=0</b>

Như vậy phương trình có 1 nghiệm
và nghiệm cịn lại là



1

1

<i>x</i>



2

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Ví dụ

• Dùng hệ thức Viete để nhẩm nghiệm của các
phương trình sau

<b>1) 2x²+ 5x + 3 = 0 (1) 2) 3x² + 8x −11 = 0 (2)</b>

Phương trình (1) có dạng <b>a − b + c = 0</b> nên có nghiệm

Phương trình (2) có dạng <b>a + b + c = 0 </b>nên có nghiệm

1

1

<i>x</i>



₂

3

2

<i>x</i>





1

1

<i>x</i>



₂

11

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9></div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

• Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm

x₁ và x₂ thì nó có thể phân tích thành nhân
tử.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Ví dụ

• Phân tích đa thức f(x) = -5x2 + 3x + 2 thành

nhân tử.

<b> Giải</b>

Ta có đa thức f(x)= -5x2 + 3x + 2 có hai nghiệm là

1 và nên

2

5



( )

5(

1)(

2

)

5

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12></div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

• Nếu hai số có Tổng bằng S và tích bằng P
thì 2 số đó là 2 nghiệm của phương trình:

(điều kiện để có 2 số đó là )

2

₀

<i>x</i>



<i>Sx P</i>





2

₄

₀

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Ví dụ

• Tìm 2 số a,b biết tổng bằng <b>S = a+b = -3 </b>

tích bằng <b>P = ab = -4 </b>

Vì a + b = -3 và ab = -4 nên a,b là nghiệm của
phương trình :

Giải phương trình trên ta được

và
Vậy nếu a =1 thì b = -4

nếu a = -4 thì b = 1

2

₃

_{4 0}

<i>x</i>



<i>x</i>





1

1

<i>x</i>



2

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Ví dụ 2

• Tìm 2 số a và b biết: <b>a + b = 9 </b>và <b>a²+ b² = 41</b>

Khi đã biết tổng 2 số a và b,áp dụng hệ thức
Viet tìm tích của a và b

- Từ

Suy ra: a,b là nghiệm của phương trình có
dạng:

2

9 ( ) 81

<i>a b</i>   <i>a b</i>   <i>a</i> 2  2<i>ab b</i> 2 81

2 2

81 (

)

20

2

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>ab</i>











1
2

2

4
9 20 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA 2 </b>

<b>NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH </b>

<b>SAO CHO 2 NGHIỆM NÀY ĐỘC </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Các bước làm

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã

cho có 2 nghiệm và ( thường là <b>a ≠ 0</b> và
)

- Áp dụng hệ thức Viet viết
và

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số
theo và

Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
và

1

<i>x</i>

<i>x</i>

₂

1

<i>x</i>

<i>x</i>

₂

1

<i>x</i>

<i>x</i>

₂

0

 

1 2

<i>S</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Ví dụ

• Cho phương trình :

có 2 nghiệm ; . Lập hệ thức liên hệ giữa
; sao cho chúng không phụ thuộc vào

Để phương trình có 2 nghiệm và thì:

2

(

<i>m</i>



1)

<i>x</i>



2

<i>mx m</i>





4 0



1

<i>x</i>

<i>x</i>

₂

<i>m</i>

1

<i>x</i>

<i>_x</i>

₂

1

1

4
5 4 0

5
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>



 _
 _  _
  
 _

2

<i>x</i>

1

<i>x</i>

1 0

' 0

<i>m</i>









 



2

1

( 1)( 4) 0

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

• Theo hệ thức Viet ta có:

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2
2
1 1
4 3
1
1 1
<i>m</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

<i>x x</i> <i>x x</i>

<i>m</i> <i>m</i>
 
    
 
 _  _

 

 _  _{ }
 _  _
 
<b>(1)</b>
<b>(2)</b>

Rút từ

<i>m</i>

<b>(1)</b> ta có :

Rút từ

<i>m</i>

<b>(2)</b> ta có :

1 2

1 2

2

2

2

1

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

2

<i>m</i>















<i>x</i>



<i>x</i>



<b>(3)</b>

1 2

1 2

3

3

1

1

1

<i>x x</i>

<i>m</i>

1

<i>m</i>



 









<i>x x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

• Đồng nhất các vế của

<b>(3)</b>

và

<b>(4)</b>

ta có:

1 2 1 2

3(

<i>x</i>

<i>x</i>

) 2

<i>x x</i>

8 0











1 2 1 2

1 2 1 2

2

3

2 1

2(1

) 3(

2)

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x x</i>

<i>x x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>









</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

• Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương
trình đã cho có 2 nghiệm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Ví dụ 2

• Gọi ; là nghiệm của phương trình:

• Chứng minh rằng biểu thức

không phụ thuộc giá trị

2

(

<i>m</i>



1)

<i>x</i>



2

<i>mx m</i>





4 0



1 2 1 2

3(

) 2

8

<i>A</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x x</i>



1

<i>x</i>

<i>_x</i>

₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

• Để phương trình trên có 2 nghiệm và thì:

<i>x</i>

₁

<i>x</i>

₂

<b>Theo hệ thức Viet ta có :</b>

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2
2
1 1
4 3
1
1 1
<i>m</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

<i>x x</i> <i>x x</i>

<i>m</i> <i>m</i>
 
    
 
 _  _

 

 _  _{ }
 _  _
 

<b>(Thay vào A)</b>

1 0

' 0

<i>m</i>









 



2

1

(

1)(

4) 0

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>





 











1

5

4 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

• Ta có:

1 2 1 2

3(

) 2

8

<i>A</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x x</i>



2

4

3.

2.

8

1

1

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>













6

2

8 8(

1)

1

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>













0

0

1

<i>m</i>







Vậy A = 0 với mọi và

Do đó biểu thức A khơng phụ thuộc vào

1

<i>m</i>



4

5

<i>m</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25></div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Các bước làm

o Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã
cho có 2 nghiệm và ( thường là <b>a ≠ 0 </b>và
)

o Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức
Viet để giải phương trình ( có ẩn là tham số).

o Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để
xác định giá trị cần tìm.

1

<i>x</i>

<i>x</i>

₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Ví dụ

• Cho phương trình

• Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và
thỏa mãn hệ thức:

2

_{6 (}

₁₎

_{9 (}

₃₎

₀

<i>m x</i>



<i>m</i>



<i>x</i>



<i>m</i>





1

<i>x</i>

<i>_x</i>

₂

1 2 1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Giải

• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là:





2

0

'

3

21

9(

3) 0

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>









 















_

_



2 2

0

' 9(

2

1) 9

27 0

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>





 

 













0

0

' 9(

1) 0

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

• Theo hệ thức Viet ta có

<b>Và từ giả thiết </b>

1 2 1 2

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x x</i>

<b>Suy ra</b>

6(

1)

9(

3)

6(

1) 9(

3)

6

6 9

27

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>























3

<i>m</i>

21

<i>m</i>

7









<b>(N)</b>

1 2

1 2

6(

1)

9(

3)

<i>m</i>

<i>x x x</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>x x</i>

<i>m</i>



















_





Với m= 7 thì phương
trình đã cho có 2
nghiệm và thỏa
mãn hệ thức: 1

<i>x</i>

<i>_x</i>

₂

1 2 1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b>XÁC ĐỊNH DẤU CÁC </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Cho phương trình ax² +bx+c = 0 (a≠0). Hãy tìm điều kiện
để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng
dương, cùng âm

<b>Dấu nghiệm</b> <b>Điều kiện chung</b>

<b>Trái dấu</b>
<b>Cùng dấu</b>
<b>Cùng dương</b>

<b>Cùng âm</b>

1

<i>x</i>

<i>x</i>₂


 







1 2

<i>S</i> <i>x</i>  <i>x</i>

0

<i>S</i> 

0

<i>S</i> 

1 2

<i>P x x</i>

0
<i>P</i> 
0
<i>P</i> 
0

<i>P</i> 
0
<i>P</i> 

0
 
0
 
0
 
0
 

; <i>P</i>  0
; <i>P</i>  0

;<i>S</i>  0
;<i>S</i>  0

0
 
0
 
0
 
0
 

; <i>P</i>  0
; <i>P</i>  0

<b>BẢNG XÉT DẤU</b>

Chú ý: Nếu P>0 thì phải tính _ (hoặc _’) để xem phương

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

• Ví dụ 1: xác định tham số m sao cho phương
trình:

có 2 nghiệm
trái dấu.

2 2

2

<i>x</i>



(3

<i>m</i>



1)

<i>x m</i>





<i>m</i>



6 0



2

( 7) 0

2 3
( 3)( 2) 0

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>
<i>P</i> <i>m</i> <i>m</i>

    

 _    

   



<b>Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì</b>

<b>Giải</b>

Vậy với
thì phương trình
có 2 nghiệm trái
dấu

2 <i>m</i> 3

  

0

0

<i>P</i>

 



 





2 2
2

(3 1) 4.2.( 6) 0
6

0
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Ví dụ 2:Cho phương trình x2 – 2x + m – 2 = 0

• Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
phân biệt.

• <b>_Giải</b>

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.



 



3 - m > 0
m - 2 > 0

2 > 0 Vậy với

thì phương trình
có 2 nghiệm

dương phân biệt

 2 < m < 3



2 < m < 3





 





P

S

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>Ứng dụng định lý Viet</b>

• <b>_{Nhẩm nghiệm của phương trình.}</b>

• <b>Phân tích đa thức thành nhân tử.</b>

• <b>Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng.</b>

• <b>Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương </b>
<b>trình sao cho 2 nghiệm này độc lập đối với tham số </b>
<b>m.</b>

• <b>Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu </b>
<b>thức nghiệm đã cho.</b>

• <b>_{Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.}</b>

</div>

<!--links-->