DE CUONG TOAN 9 HKII

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (527.54 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

đề cơng ơn tập học kì 2 tốn 9
A. Phần Đại số

I. kiÕn thøc c¬ bản

1. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

- Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế

Ví dơ: Gi¶i hƯ















5

3

8

2

4 y

x

y

x

- Giải hệ bằng PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số

VÝ dơ: Gi¶i hÖ













































4

1

24

1

538

428

538

24 x

y

yx

y

yx

- Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ

VÝ dơ: Gi¶i hƯ

1 1
2
2 1
2 3
1
2 1
x y
x y

 
  



  
  


(*) HD: Đặt



















1

2

1 y

v

x

u

(*) 2 3 3 6 5 5 1

2 3 1 2 3 1 2 1

u v u v u u

u v u v u v v

     
   
       
      
   
1
1

2 1 3

1 1 1 1 2

1
x x
x
y y
y


      

     


2. Giải bài toán bằng cách lập hệ PT

- Toán tìm số

Vớ d 1: Cho mt s có hai chữ số biết tổng hai chữ số của nó bằng 14. Nếu viết theo thứ tự ngợc lại
thì đợc số mới lớn hơn số ban đầu là 18. Tìm số đó.

Giải: Gọi số cần tìm là xy . Chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y. ĐK: x y, 



1;2;3...9



Tæng hai ch÷ sè cđa nã b»ng 14, ta cã PT x y 14 1

Số ban đầu: xy10x y . Số viết theo thứ tự ngợc lại: yx10y x

Số viết theo thứ tự ngợc lại lớn hơn số ban đầu 18 nªn ta cã PT: (10y x ) (10 x y ) 18

Hay 9x9y18 x y 2 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ PT 14
2
x y
x y
 


  


. Giải hệ ta đợc 6( )
8
x
TMDK
y





Vậy số cần tìm là 68.

VÝ dơ 2: Gi¶i bài toán sau bằng cách lập hệ phơng trình:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

mẹ bạn Linh mua 3 quả trứng gà và 4 quả trứng vịt hết 22000 đồng. Hỏi số tiền mua mỗi quả trứng
gà và mỗi quả trứng vịt trớc khi tăng giá là bao nhiêu?

Giải: Gọi x (đồng) là số tiền mua một quả trứng gà, y (đồng) là số tiền mua một quả trứng vịt trớc
khi tăng giá. ĐK: x > 0, y > 0

Trớc khi tăng giá: x + y = 5000

Sau khi tăng giá: 3(x+1000) + 4(y+500) = 22000 Hay 3x + 4y = 17000

Theo bµi ra ta có hệ phơng trình

17000

4

3 5000

y

x

y

x

Giải hệ ta đợc









2000

3000

y

x

Vậy số tiền mua một quả trứng gà trớc khi tăng giá là 3000 đồng, số tiền mua một quả trứng vịt trớc
khi tăng giá là 2000 đồng

- Tốn chuyển động

Ví dụ 1: Hai địa điểm A và B cách nhau 350km. Xe máy và ôtô khởi hành cùng lúc và chạy ngợc 
chiều thì sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu hai xe chạy cùng chiều từ A đến B và xe máy khởi hành trớc
ơtơ 1 giờ thì sau 3 giờ kể từ lúc ôtô xuất phát, hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.

Gi¶i: Gäi vËn tốc của xe máy là x (km/h), vận tốc của ôtô là y (km/h). ĐK: x, y > 0

Xe máy và ôtô khởi hành cùng lúc và chạy ngợc chiều thì sau 5 giờ hai xe gặp nhau nªn ta cã PT:
5x + 5y = 350 hay x + y = 70 (1)

Nếu hai xe chạy cùng chiều từ A đến B và xe máy khởi hành trớc ôtô 1 giờ thì sau 3 giờ kể từ lúc ơtơ
xuất phát (nghĩa là xe máy đã đi đợc 4 giờ), hai xe gặp nhau nên ta có PT

4x = 3y hay 4x – 3y = 0 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT 70

4 3 0

x y
x y
 


 


. Giải hệ ta đợc 30
40
x
y






(TMĐK)
Vậy vận tốc xe máy là 30km/h, vận tốc ôtô là 40km/h.

VÝ dô 2: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy
trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy 2

5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải
bao lâu mới đầy bể.

HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lợt là x, y phút (x, y > 80)

Ta cã hÖ:

80 80
1

x y

10 12 2

x y 15


 




  



Giải hệ ta đợc: x 120
y 240





(TMĐK)

Đáp số: Thời gian để vịi 1 chảy một mình đầy bể là 120 phút (2 giờ), thời gian để vòi 2 chảy một
mỡnh y b l 240 phỳt (4 gi),

- Toán năng suất, làm chung -làm riêng

Vớ d: Hai th xõy cựng nhau xây một đoạn hàng rào trong bốn ngày thì xong. Nếu ngời thứ nhất 
xây trong chín ngày rồi ngời thứ hai đến cùng xây trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi ngời 
làm một mình thì bao lâu mới xong việc.

Giải : Gọi x (h) là thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong việc, y (h) là thời gian để ngời thứ
hai làm một mình xong việc ĐK: x > 4, y > 4

Hai ngêi cïng làm chung trong 4 giờ thì xong nên ta có PT 1 1 1
4
xy  (1)

Ngời thứ nhất làm trong 9 ngày rồi ngời thứ hai đến cùng làm trong 1 ngày nữa mới xong việc nên ta
có PT 9 1 1 1

xxy  hay
10 1

1
x  y  (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ

1 1 1

4
10 1
1
x y
x y

 



  



(*) Đặt
1
1

u
x
v
y



(*)
1
4
10 1
u v
u v

 

 
  

Gi¶i hƯ:
1
1 3
9 12
4 4
1

10 1 10 1

6
u

u v u

u v u v v



  
  
  
 
  
       
  


</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

VËy nÕu làm một mình thì ngời thứ nhất làm xong công viƯc mÊt 12 giê, ngêi thø hai lµm xong viƯc
trong 6 giê.

3. Hµm sè y = ax2 (a



0)

- TÝnh chÊt cđa hµm sè y = ax2 (a



0)

- Tính chất về đồ thị của hàm số y = ax2 (a



0)

- Vẽ đồ thị số y = ax2 (a



0)

VÝ dô: Đồ thị hàm số y = -1
2x

Lập bảng

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = -1
2x

2 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8

4. Phơng trình bậc hai một ẩn

- Dng tng quỏt, dạng khuyết của PT, xác định đúng các hệ số a, b, c của PT
- Giải PT dạng ax2+ bx = 0; PT dạng ax2 + b = 0

5. Công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiÖm thu gän

Cho PT bËc hai ax2 + bx + c = 0 (1) (a 

0)

C«ng thøc nghiƯm tỉng quát Công thức nghiệm thu gọn

§Ỉt (Delta)  = b2 – 4ac

+ NÕu  > 0, PT (1) cã hai nghiÖm p.b :

x1 =

2
b

a

   ; x
2 =

2
b

a
  
+ NÕu  = 0, PT (1) cã nghiÖm kÐp:
x1 = x2 =

2
b
a


+NÕu  < 0, PT (1) vô nghiệm

Đặt b = 2b. ' = b’2 – ac.

*NÕu ' > 0, PT (1) cã hai nghiÖm p.b:
x1 = b' '

a

   ; x

2= b' '
a
  
*NÕu ' = 0, PT (1) cã nghiÖm kÐp :
x1 = x2 =

'
b
a

*Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm

6. Hệ thức Vi-et. ứng dụng

a. Nếu PT bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) cã hai nghiƯm x

1 vµ x2 th×



















a

c

x

a

b

x

2
1

.

NhÈm nghiƯm PT bËc hai theo hƯ thøc Vi-et

VÝ dô: Cho PT x2 - 7x + 10 = 0 cã hai nghiƯm











10 .

7

2
1

x

nªn x1 = 5; x2= 2

b. Cho PT ax2 + bx + c = 0 (a 0)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ NÕu a - b + c = 0 th× PT cã hai nghiƯm: x1 = -1; x2 =
-c
a.

VÝ dô: 1. PT 2x2 - 7x + 5 = 0 cã 2 + (-7) + 5 = 0 nªn cã x

1 = 1; x2 =

2
5
.
2. PT x2 - 3x - 4 = 0 cã 1 - (-3) - 4 = 0 nªn cã x

1 = -1; x2 = 4.

c. T×m hai sè khi biÕt tỉng vµ tÝch cđa nã

NÕu hai số u và v cần tìm có tổng u + v = S vµ tÝch u.v = P (víi S2 - 4P  0)

thì chúng là nghiệm của PT: x2 - Sx + P = 0

VÝ dô: Tìm hai số u và v biết u + v = -8 và tích u.v = 15
Giải: Hai sè u vµ v lµ nghiƯm cđa PT: x2 - (-8)x + 15 = 0

hay x2 + 8x + 15 = 0. Gi¶i ra ta cã x

1 = -3, x2 = -5. Nªn u = -3, v = -5
7. Gi¶i PT quy vỊ PT bËc hai

a. PT trïng ph¬ng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)

PP giải: Đặt x2 = t (t  0) ®a PT vỊ Èn t: at2 + bt + c = 0

VÝ dơ: Gi¶i pt: x4 - 13x2 + 36 = 0

Đặt x2 = t (t  0). Ta đợc pt: t2 – 13t + 36 = 0

 = (-13)2 – 4.1.36 = 25 nªn

 = 5

t1 =
13 5

2


= 9 (TM§K); t2 =
13 5

2


= 4 (TM§K)
+) Víi t1 = 9  x2= 9  x = 3

+) Víi t2 = 4  x2 = 4  x = 2

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = 3
8. Giải bài tốn bằng cách lập PT

Nªu các bớc giải bài toán bằng cách lập PT?
Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình

B1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
B2: Lập phng trỡnh

B3: Giải phơng trình

B4: Kt lun: i chiu nghim vừa tìm đợc với đk ban đầu rồi rút ra kết luận

Ví dụ 1: Chuẩn bị cho ơn tập học kì 2, bạn Nga lập kế hoạch làm 70 btập trong một số ngày nhất
định. Để hoàn thành sớm hơn dự kiến, mỗi ngày bạn Nga làm thêm 2 btập nữa so với dự định nên
tr-ớc khi đến hạn 2 ngày bạn đã làm đợc 60 btập. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày bạn Nga làm đợc bao
nhiêu btập.

Giải: Gọi số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là x (đk x > 0)
Thời gian để bạn Nga làm xong hết số btập theo kế hoạch là

x

(ngày)
Trên thực tế mỗi ngày bạn Nga làm đợc x + 2 (btập)

Nên thời gian để bạn Nga làm xong 60 bài tập là
2
60



x (ngµy)

Thời gian để bạn Nga làm xong 60 b.tập trớc thời gian đến hạn 2 ngày nên ta có PT

x

70
-

2
60



x = 2  x

2- 3x - 70 = 0

x1 = -7 (lo¹i); x2 = 10 (TMĐK)

Vậy số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là 10 bài.
Ví dụ 2: (Đề KSCL HK II năm học 10 - 11)

Mt ụtụ i trờn quảng đờng dài 220km. Khi đi đợc 100km thì ơtơ tăng vận tốc thêm 10km/h và đi hết
quảng đờng còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ơtơ biết thời gian ôtô đi hết quảng đờng là 4 giờ.

HD: Gäi vận tốc ban đầu của ôtô là x (km/h), (x > 0)
Thời gian đi trong 100km đầu là 100

x giờ, thời gian đi hết quảng đờng còn lại là
120

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta cã PT: 100 120 4
10

x x  . Giải ra ta đợc x = 50
Vậy vận tốc ban đầu của ôtô là 50 km/h

II. Bài tập

Bài 1

: Giải các hƯ PT sau :















4

2

3

2 y

x

y

x

Gi¶i:



























4)3

2(2

32

42

3

2 x

xy

yx

























2

32

465

32 x

xy

x

xy











1

2 y

x

b. 5 2 4

6 3 7

x y
x y
  



 

HD
2

5 2 4 3

...

6 3 7 11

3
x
x y
x y
y



  
 
 
 
 
  



c. 2( ) 3( ) 4

( ) 2( ) 5

x y x y

   


   

d.

1 1 1

4
9 1
1
4
x y
x

 





HD : Đặt

y

v

x

u

1

Bi 2: Một ngời đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An. Nếu đi với vận tốc 45 km /h thì đến nơi
sớm hơn dự định 13phút 20giây . Nếu đi với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự định là 
2/7 h. Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ?

HD giải:Thơng thờng các bài tốn giải bằng cách lập hệ PT có hai giả thiết; mỗi giả thiết giúp 
ta lập đợc một PT bậc nhất hai ẩn. Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ 
giữa quảng đờng, vận tốc và thời gian là: s = v.t; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lợng (thông thờng
s tính bằng km, v là km/h cịn t là giờ(h); ta cần phải đổi đơn vị cho phù hợp với bài toán).

Gọi x (km) là quảng đờng Chu Lai - Hội An (đk: x > 0). y (km/h) là thời gian dự định (đk: y > 0)
Chú ý: Đổi 13phút 20giây =

2
3600
20
60
.
13


h

Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình

Điều kiện Quảng đờng Vận tốc Thời gian Quan hệ

Dự định x x/y y

§iỊu kiƯn 1 x 45

45
x
9
2
45
 x

y (Do đến sớm hơn)

§iỊu kiƯn 2 x 35

x

7
2
35 

 x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta cã hÖ PT :





















7

2

35

9

2

45 x

y

x

y

Giải hệ ra ta đợc : y = 2 ; x = 80 (TMĐK)

Vậy quảng đờng Chu Lai - Hội An là 80 km; và thời gian dự định là 2 giờ .

Bài 3: Hai đội cơng nhân cùng làm chung sẽ hồn hành công việc đắp một đoạn đờng trong 8h;
nếu đội thứ nhất chỉ làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong đợc 4 5

cơng việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu hồn thành cụng vic ?

HD giải: GV hớng dẫn HS làm nh sau :

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong việc là x(h); thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y (h)
(đk: x, y > 8 )

Mỗi giờ đội 1 làm đợc 1/x (công việc). Mỗi giờ đội 2 làm đợc 1/y (công việc).
Mổi giờ cả hai đội làm đợc 1/8 (cơng việc). Ta có PT:

8
1
1
1


y
x

Mặt khác đội 1 làm trong 3h; đội 2 đến cùng làm trong 4h nữa thì chỉ xong 0,8 (=4/5) cơng việc nên
ta có PT:

5
4
4
7
5
4
4
4
3












y
x
y
x
x

Ta cã hƯ PT:



















5

4

7

8

1 y

x

y

x

§Ỉt













y

b

x

a

1

Ta cã hƯ míi :



















8,

0

4

7

8

1 b

a

b

a

Gi¶i ra ta cã : a= 1/10; b= 1/40. Suy ra : x = 10; y = 40 (thoÃ mÃn bài toán)

Vy nu i 1 làm một mình thì sau 10 h mới xong cơng việc, đội 2 làm một mình thì sau 40 h mới
xong công việc.

Bài 4: Sự tơng giao giữa đt y = ax + b và đờng cong y = ax2

4.1 Cho hai hàm số y = 2x + 4 và y = 2x2

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.

c) Gọi A và B là giao điểm của hai đồ thị. Tính SAOB ?

4.2 Cho parabol y = x2và đờng thẳng y = 2(m-1)x + m2+4 (m là tham số). Tìm m để:

a) §êng thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.
b) Đờng thẳng tiếp xúc với parabol.

c) Đờng thẳng không cắt parabol.

Bài 5: Giai phương trình sau:

a. x2 - x - 6 = 0

b. 3x2 + 2x - 8 = 0

c. x2 + x - 6 = 0

d. 3x2 - 4x - 4 = 0

e. 2x2 - x - 6 = 0

f. x2 - 2x - 8 = 0 
Bµi 6: Giải phương trình sau:

a. -3x2 + 14x – 8 = 0 b. -7x2 + 4x = 3 c. 9x2 + 6x +1 = 0

d. 2x2 – 8 = 0 e. 3x2 – 7x = 0

Bµi 7: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

Bµi 7.1
a. 2x2 - 5x + 3 = 0

b. x2 + 7x + 6 = 0

c. 2x2 - 5x + 3 = 0

d. x2 + 4x + 3 = 0

e. x2 - 3x - 4 = 0

Bµi 7.2

a. 23x2 – 9x – 32 = 0

b. 4x2 – 11x + 7 = 0

c. x2 – 3x – 10 = 0

d. x2 + 6x + 8 = 0

e. x2 – 5x + 6 = 0

Bài 8: Tìm hai số u và v trong các trêng hỵp sau:

a. u + v = 8; u.v = 15
b. u + v = -7; u.v = -18

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bµi 9: Giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai sau đây
Bài 9.1: PT trùng phơng

a. x4 – 9x2 + 8 = 0 b. x4 - 29x2 + 100 = 0 c. x4 - 7x2 - 18 = 0

Bµi 9.2: PT chøa Èn ë mÉu
a.

4 2

1 ( 1)( 2)

x x

x x x

  


   b. ( 2)( 4)

8
8
4
2
2







 x x

x
x

x

Bµi 9.3: PT tÝch

a. 3x3 + 6x2 - 4x = 0 b. x3 3x2 2x 6 0

   

c. x3 – 7x2 + 6 = 0 d. (4x-5)2 – 6(4x-5) + 8 = 0

Bài 10: Các bài tốn có liên quan n tham s m

Bài 10.1 Cho phơng trình 2 2( 1) 2 0





 m x m

x với m là tham số.

a.

Giải phơng trình với m = -2

b.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1x2 5
Hớng dẫn giải :

a. Khi m = 2 PT đợc viết lại 2 6 4 0



 x
x
0
5

4
.
1
)
3
(
' 2






 PT cã hai nghiƯm ph©n biƯt

5
3
;

3 2

1  x  

x

b. ' ( 1)2 1. 2 2 1









 m m m

§Ĩ PT cã hai nghiệm phân biệt thì

2
1
0
1
2
0
'

m m

c. Để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thì 
2
1

m

Theo hệ thức Viet thì 1  2  2(m 1)

a
b
x

x

Mặt khác để )

2
1
TMDK
(
5
,
1
3
2
5
)
1
(
2
1
2

1x    m    m  m m

x

Bµi 10.2 Cho phương trình: 3x2 – 4x + m + 5 = 0

a.

Gi¶i phơng trình với m = - 4

b.

Tỡm m phng trình có hai nghiệm phân biệt

c.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho

7
4
1
1
2
1



x
x

Híng dÉn gi¶i

a. Khi m = - 4 PT đợc viết lại 3 2 4 1 0



 x

x cã 3+ (-4) + 1 = 0

Nhẩm nghiệm ta đợc

3
1
;

1 2
1 x 

x

b. ' ( 2)2 3( 5) 3 11









 m m

Để PT có hai nghiệm phân biệt thì

3
11
0
11
3
0

'      

 m m

c. Víi

3
11




m thì PT đã cho có hai nghiệm phân biệt
 Theo hệ thức Viet thì

3
5
.
;
3
4
2
1
2
1







 m
a
c
x
x
a
b
x
x

Mặt khác để 1 2 1 2

2
1
1
2
2
1
4
)
(
7
7
4
.
7
4
1
1

x
x
x
x
x
x
x
x
x

x    






)
3
11
TMDK
(
12
7
5
)
5
(
4
28

3
5
.
4
3
4
.

7           

 m m m m m

Bµi 10.3 Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + 2m - 3 = 0
a. Giải phơng trình với m = 3

b. Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

c. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng tr×nh. T×m GTNN cđa biĨu thøc Px12x22

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a. Khi m = 3 PT đợc viết lại 2 4 3 0



 x

x cã 1+ (-4) + 3 = 0

Nhẩm nghiệm ta đợc x11; x23

b. ' ( 1)2 (2 3) 2 4 4 ( 2)2 0












 m m m m m víi mäi m

Suy ra PT đã cho ln có nghiệm với mọi m
 c. Ta có Px12 x22 (x1x2)2 2x1x2

Theo Vi-et ta cã: P



2(m 1)



2  2(2m 3)4m2  12m10

1

2
3
4
)
4
1
4
9
2

3
.
.
2
(
4
)
2
5
3
(
4

2
2





















 m m m m m

P

Vì P 1 với mọi m nên giá trị nhỏ nhất của P là 1
Bài 10.4 Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m - 3 = 0

a.

Giải phơng trình với m = 2

b.

Chứng minh rằng phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt
c. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để 14

2
2
2

1 x 

x

Bµi 10.5 Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – 4 = 0
a. Giải phương trình trên khi m = 2

b. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm kép, vô nghiệm.
c. Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

 x12 + x22 = 20

 x1 - x2 =10

Bµi 10.6 Cho phương trình: (m -1)x2 – 2m2x – 3(m+1) = 0
a. Tìm m biết phương tình có nghiệm x = -1

b. Khi đó hãy tìm nghiệm cịn lại của phương trình
Bµi tËp t¬ng tù

BT1: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0 
1. Giải phương trình khi m = 1

2. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó?
BT 2: Cho phương trình: x2 + mx + 3 = 0

1. Tìm m để phương trình có nghiệm?

2. Tìm m để phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm còn lại?
BT 3: Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x + k – 3 = 0

1. Giải phương trình khi k = 2

2. Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi k.
BT 4: Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0

Tìm m biết rằng phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm còn lại.

BT 5: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0

1.Giải phương trình khi m = - 3

2.Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với mọi m.
BT 6: Cho phơng trình : x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = -2

2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x12 x22 4
BT 7: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0

1. Giải phơng trình víi m = -3

2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
3. Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vơ nghiệm
BT 8: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
1. Giải phơng trình vi m = - 4

2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

BT 9: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 (víi m lµ tham sè ) có một
nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại

BT 10: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 (víi m lµ tham sè) cã một 
nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại

BT 11: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0 
a) Tìm m để phơng trình cú nghim kộp

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

BT 12: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0

Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm cịn lại
BT 13: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghim x = - 2

b) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

Bài 11. Giải các Bài toán sau b»ng c¸ch lËp PT

Bài 11.0 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m, diện tích hình chữ nhật 
300m2. Tính chiều dài v chiu rng.

ĐS: 15m và 20m

Bài 11.1 Lp 9A được phân công trồng 120 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhưng

khi lao động có 6 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm một cây mới xong. Tính số học sinh
lớp 9A?

Híng dÉn: PT 1

6
120
120





x
x

Giải PT ta đợc x = -24 (loại) và x = 30 (TMĐK)

Bµi 11.2 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 89. Tìm 2 số đó.
Híng dÉn: PT x(x+1) – (x+x+1) = 89

§S: 10 vµ 11

Bµi 11.3 Mợt tam giác vng có chu vi 30cm, cạnh huyền 13cm. Tính mỗi cạnh gúc vuụng.
Hớng dẫn: áp dụng đlí Pitago cho tam giác vuông

ĐS: 5cm, 12cm, 13cm

Bài 11.4 Mụt khu vn hình chữ nhật có diện tích 54m2, nếu tăng chiều dài 2m và giảm chiều rộng
đi 2m thì diện tích giảm 10m2. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vn.

Hớng dẫn: Bài này quá dễ, tự làm đi nhÐ.

Bµi 11.5 Hai đợi cơng nhân cùng làm mợt quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm
một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai làm nớt phần việc cịn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi
đội làm một mình thì bao lâu xong công việc.

Hớng dẫn : Bài này có thể giải bằng cách lập hệ PT hoặc lập PT bậc hai đều đợc
Gọi thời gian để đội I làm một mình xong việc là x (ngày), 12 < x < 50.

Đội I làm một mình hết nữa cơng việc trong x/2 ngày, đội II làm một mình hết nữa công việc trong 
25 - x/2 ngày => cả công việc là 2(50-x/2)

Mỗi ngày đội I làm đợc

x

cơng việc cịn đội II làm đợc

)
2
25
(
2

x

 c«ng viƯc

Vì hai đội cùng làm trong 12 ngày thì xong việc nên trong một ngày hai đội làm đợc 1/12 cơng việc. 
Ta có pt:

x

1
 +

)
2

25
(
2

x

 = 12
1

12
1
50

1
1






x

x 50 60 0

)

50
(
12
)
50
(
12
:











x
x

x
x
x
x
ra

Suy

Gi¶i ra ta có: x = 20, x = 30 (TMĐK)

Bài 11.6: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ
40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tìm
vận tốc của ca nô lúc nước yên lặng, biết vận tớc dịng nước là 3km/h.

LËp PT: 6

3
2
3
30
3
30






 x

x Giải ra đợc vận tốc v = 12 km/h

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+ ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường trịn

+ TC: Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó

Số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ

(có chung hai iờm mỳt)

O O'

O
O'

1. Đờng kính vuông góc với d©y

2. Tiếp tuyến của đờng trịn

x

O A

O A

Ax là tiếp tuyến AxOA tại A Các t/c của hai tiếp tuyến cắt nhau
AB và AC là hai tiếp tuyÕn cña (O)
+ AB = AC

+ OAB = OAC

+ AOB = AOC

+ OA là đờng trung trực của BC

3. Vị trí tơng đối của hai đờng trịn

Cho hai đờng trịn (O; R) và (O’; R’)
a. Hai đtròn cắt nhau

b. Hai đtròn tiếp xúc nhau

c. Hai đtròn không giao nhau

4. Góc ë t©m

5. Góc nội tiếp:

+ ĐN: Là góc có đỉnh nằm trên đ.trịn và hai cạnh chứa hai dây cung của đ.trịn đó.

+ TC: Trong mợt đ.trịn, sớ đo của góc nợi tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

2
sdBC
BAC

 

OI CD  IC = ID

CD không đi qua tâm (CD khơng là đờng kính)

IC = ID  OI CD

O A O A

C

D

O O' A

+ OO’ ®i qua A

+ Tiếp xúc trong: OO’ = R – R’
+ Tiếp xúc ngoài: OO’ = R + R’
+ OO’ là đờng trung trực của AB
+ R – R’ < OO’ < R + R’

O O'

B
A

O O'

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

x

O A

+ Hệ quả: Trong mợt đường trịn

- Các góc nợi tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nợi tiếp cùng chắn mợt cung

hoặc hai cung bằng nhau thì bằng nhau
- Các góc nợi tiếp khơng quá 900 có sớ đo bằng

nửa sớ đo của góc ở tâm cùng chắn mợt cung.
- Góc nợi tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng.

6. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

+ TC: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng

nửa số đo của cung bị chắn.

2
sdAB
BAx

 

+ Hệ quả: Trong mợt đường trịn,

góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nợi tiếp
cùng chắn mợt cung thì bằng nhau.

7. Góc có đỉnh ở trong và ngồi đường trịn:

+ Sớ đo của góc có đỉnh ở bên trong đ.trịn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.

+ S o c a góc có

ố đ

ủ

đỉ

nh bên ngo i .tròn b ng n a hi u s o c a hai cung b

ở

à đ

ằ

ử

ệ ố đ

ủ

ị

ch n.

ắ

2
sdAC sdBD

BED 

  2

sdAB sdCD

BED 

 

8. Tứ giác nội tiếp

+ Định nghĩa: Mợt tứ giác có bớn đỉnh nằm trên mợt đ.trịn thì được gọi là tứ giác nợi tiếp đường

trịn (đường trịn đó gọi là đường trịn ngoại tiếp tứ giác).

Tứ giác ABCD nội tiếp (O)

 A + C =1800 (B + D =1800)

+ Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối diện bằng 1800.

+ Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng sớ đo hai góc đới diện bằng 1800 thì tứ giác đó nợi tiếp

được mợt đường trịn.

+ Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp:

- Cách1: Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cách đều mợt điểm O nào đó.
OA = OB = OC = OD

- Cách 2: * Chứng minh tổng hai góc đới diện của tứ giác bằng 1800

ˆ ˆ 1800

C

A hoặc ˆ ˆ 1800


D

B

* Chứng minh góc trong bằng góc ngoài của đỉnh đới diện.

- Cách 3: Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn mợt cạnh dưới hai góc bằng
nhau.

O C

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

(Trường hợp đặc biệt: hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc vng thì cạnh
đó chính là đường kính của đường trịn).

9. Độ dài đường trịn, cung trịn. Diện tích hình trịn, hình quạt trịn

a) Cơng thức tính độ dài đường tròn: C = 2R (R: bán kính đường trịn)
Cơng thức tính diện tích hình trịn: S = R2

b) Cơng thức tính độ dài cung trịn n0 :

180
n
R

l (R: bán kính đường trịn)
Cơng thức tính diện tích quạt trịn n0:

2
.

360

Rn lR
Sq  
c) Cơng thức tính diện tích hình viên phân: SVP= Squat - S

10. Hình khơng gian

a) Hình trụ:

+ Diện tích: Sxq= 2rh; Stp = Sxq + 2 Sđ = 2rh + 2r2

+ Thể tích hình trụ : V = Sđ.h = r2h

(Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; Sđ là diện tích đáy)

b) Hình nón:

+ Diện tích: Sxq = rl Stp = Sxq + Sd = rl + r2

+ Thể tích hình nón : V = 
3
1

Sđ.h =

3
1

r2h

(Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình nón; l là độ dài đường sinh)

c) Hình cầu:

+ Diện tích mặt cầu: S = d2 = 4R2
+ Thể tích hình cầu : V = 3

3
4

R


(Trong đó: R là bán kính; d là đường kính hình cầu)
11. Một số cơng thức liên quan đến tam giác và đường tròn.

a) Bán kính đường trịn nợi tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh a
+ Đường cao của tam giác đều h

3
3

a



+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R =
3
a
+ Bán kính đường trịn nợi tiếp: r =

3
2

a

b) Độ dài cạnh của các đa giác đều nội tiếp đường trịn (có bán kính R):
+ Cạnh tam giác đều: a = R 3

+ Cạnh hình vuông: a = R 2
+ Cạnh lục giác đều: a = R

c) Công thức tính diện tích tam giác:

+ Diện tích tam giác : S =(a.h):2( a là độ dài cạnh, h là chiều cao tương ứng).
+ Diện tích tam giác vuông: S = a.b (a, b là độ dài 2 cạnh góc vng)
+ Diện tích tam giác đều : S =

4
3

a (a là độ dài cạnh tam giác đều)

II. Bµi tËp

Phần bài tập Trắc nghiệm - củng cố kiến thức

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN

1.Cho tam giác MNP và hai đường cao MH, NK. Gọi (O) là đường tròn nhận MN làm đường kính. 
Khẳng định nào sau đây khơng đúng

?

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

C.Bốn điểm M, N, H, K không cìng nằm trên đường trịn (O).
D.Bớn điểm M, N, H, K cùng nằm trên đường tròn (O).

2. Đườ

ng tròn l hình:

à

A.khơng có trục đới xứng. B.có mợt trục đới xứng.
C.có hai trục đới xứng. D.có vơ sớ trục đới xứng.
3.Khi nào khơng xác định duy nhất một đường

trịn ?

A.Biết ba điểm không thẳng hàng. B.Biết một đoạn thẳng là đường kính.
C.Biết ba điểm thẳng hàng. D.Biết tâm và bán kính.

4.Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng 2,5 cm. Vẽ đường trịn tâm O, đường kính 5 cm.
Khi đó đường thẳng

a

A.khơng cắt đường trịn (O). B.tiếp xúc với đường tròn (O).

C.cắt đường tròn (O). D.kết quả khác.

5.Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng nằm ở

A.đỉnh góc vng. B.trong tam giác. C.trung điểm cạnh huyền. D.ngoài tam giác.
6.Cho  ABC vng tại A có AB = 18; AC = 24. Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác đó bằng

A. 30. B. 20. C. 15. D. 15

2

.

7.Cho (O; 1 cm) và dây AB = 1 cm. Khoảng cách từ tâm O đến AB bằng
A.

1

2

cm.

3

cm.

3

2

cm. D.

1

3

cm.

8.Cho đường tròn (O; 5). Dây cung MN cách tâm O một khoảng bằng 3. Khi đó

:

A. MN = 8. B. MN = 4. C. MN = 3. D.kết quả khác.

9.Nếu hai đường trịn (O); (O’) có bán kính lần lượt là 5 cm và 3 cm và khoảng cách hai tâm là 7 
cm thì hai đường

trịn

A.tiếp xúc ngoài. B.tiếp xúc trong.

C.khơng có điểm chung. D.cắt nhau tại hai điểm.

10.Trong các câu sau, câu n o sai ?

à

A.Tâm của đường trịn là tâm đới xứng của nó.

B.Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O) khi và chỉ khi đường thẳng a đi qua O.

C.Đường kính vng góc với dây cung thì chia dây cung ấy thành hai phần bằng nhau.
D.Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đới xứng của đường trịn.

11.Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây đúng ?
Tiếp tuyến với đường tròn tại A là đường thẳng

A.đi qua A và vng góc với AB. B.đi qua A và vng góc với AC.
C.đi qua A và song song với BC. D.cả A, B, C đều sai.

12.Cho (O; 6 cm), M là một điểm cách điểm O một khoảng 10 cm. Qua M kẻ tiếp tuyến với (O). Khi 
đó khoảng cách từ M đến tiếp điểm

l :

à

A. 4 cm. B. 8 cm. C. 2

34

cm. D. 18 cm.

13.Cho hình vng MNPQ có cạnh bằng 4 cm. Khi đó bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng 
đó bằng

A. 2 cm. B. 2 2 cm. C.

2 3

cm. D.

4 2

cm.

14.Đường

tròn l hình có

à

A.vơ sớ tâm đới xứng. B.có hai tâm đới xứng.
C.mợt tâm đới xứng. D.khơng có tâm đới xứng.

15.Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trung tuyến AM cắt đường tròn tại D. 
Trong các khẳng định sau khẳng định

n o sai ?

à



ACD = 900. B.AD là đường kính của (O).

C. AD



BC. D. CD ≠ BD.

16.Cho (O; 25cm). Hai dây MN và PQ song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48 
cm. Khi đó:

16.1.Khoảng cách từ tâm O đến dây MN là:

A. 15 cm. B. 7 cm. C. 20 cm. D. 24 cm.

16.2.Khoảng cách từ tâm O đến dây PQ bằng:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

16.3.Khoảng cách giữa hai dây MN và PQ là:

A. 22 cm. B. 8 cm. C. 22 cm hoặc 8 cm. D. kết quả khác.
17.Cho (O; 6 cm) và dây MN. Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây MN có thể

l :

à

A. 8 cm. B. 7 cm. C. 6 cm. D. 5 cm.

18.Cho tam giác MNP, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. H, I, K theo thứ tự là 
trung điểm của các cạnh NP, PM, MN. Biết OH < OI = OK. Khi đó

:

A.Điểm O nằm trong tam giác MNP. B.Điểm O nằm trên cạnh của tam giác MNP.

C.Điểm O nằm ngoài tam giác MNP. D.Cả A, B, C đều sai.

19.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 5). Khi đó đường

tròn (M; 5)

A.cắt hai trục Ox, Oy. B.cắt trục Ox và tiếp xúc với trục Oy.
C.tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy. D.không cắt cả hai trục.

20.Cho tam giác DEF có DE = 3; DF = 4; EF = 5. Khi đó

A.DE là tiếp tuyến của (F; 3). B.DF là tiếp tuyến của (E; 3).
C.DE là tiếp tuyến của (E; 4). D.DF là tiếp tuyến của (F; 4).
21.Hãy nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được khẳng định đúng.

Bảng 1.

A B

1.Nếu đường thẳng a và đường tròn (O; R) cắt nhau A.thì d



R.
2.Nếu đường thẳng a và đường tròn (O; R) tiếp xúc nhau B.thì d < R.
3.Nếu đường thẳng a và đường trịn (O; R) khơng giao nhau C.thì d = R.
D.thì d > R.
Bảng 2.

A B

1.Tâm của đường trịn nợi tiếp tam giác A.là giao điểm của các đường trung tuyến.
2.Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác B.là giao điểm của hai đường phân giác các góc

ngoài tại B và C.
3.Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong

góc A

C.là giao điểm của các đường phân giác trong của
tam giác.

4.Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong
góc B

D.là giao điểm của đường phân giác trong góc B
và đường phân giác ngoài tại C.

E.là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
Bảng 3.

A B

1.Nếu hai đường trịn ở ngoài nhau A.thì có hai tiếp tuyến chung.
2.Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài B.thì khơng có tiếp tuyến chung.
3.Nếu hai đường trịn cắt nhau C.thì có mợt tiếp tuyến chung.
4.Nếu hai đường trịn tiếp xúc trong D.thì có bớn tiếp tuyến chung.
5.Nếu hai đường trịn đựng nhau E.thì có ba tiếp tuyến chung.
22. Hãy điền từ (cụm từ) hoặc biểu thức vào ô trống sao cho đúng.

Bảng 1.Xét (O; R) và đường thẳng a, d là khoảng cách từ O đến a.

Vị trí tương đối d R

Tiếp xúc nhau 3 cm

4 cm 5 cm

Không giao nhau 6 cm

Bảng

2.Xét (O; R); (O’; r); d = OO’ v R > r.

à

Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức

Cắt nhau

d = R + r
1

ng nhau

d = 0
0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Cho các hình vẽ sau:

(h.4)
O
D

B
C

(h.3)

O
A

B
(h.2)

O
M

P
N

(h.1)
O

C D

1. Trong hình 1, biết AC là đường kính, góc BDC = 600. Số đo góc ACB bằng

A. 400. B. 450. C. 350. D. 300.

2. Trong hình 2, góc QMN bằng 600, số đo góc NPQ bằng

A. 200. B. 250. C. 300. D. 400.

3. Trong h.3, biết AB là đường kính của đ.trịn, góc ABC = 600.

khi đó số đo cung BmC =?

A. 300. B. 400. C. 500. D. 600.

4. Trong h.4, biết AC là đường kính của đ.trịn, góc ACB = 300.

Khi đó số đo góc CDB =?

A. 400. B. 500. C. 600. D. 700.

Cho c¸c h×nh vÏ sau:

(h.8)
O

P
M

N
x

(h.7)
O

M
A

(h.6)
O
D

C
B
A

(h.5)
O

M
C

B
A

5. Trên h.5, biết số đo cung AmD = 800, số đo cung BnC = 300. Số đo của góc AED =?

A. 250. B. 500. C. 550. D. 400.

6. Trong h.6, số đo góc BIA = 600, số đo cung nhỏ AB = 550. Số đo cung nhỏ

CD l

à

A. 750. B. 650. C. 600. D. 550.

7. Trên hình 7, có MA, MB là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Số đo góc AMB bằng 580. Khi đó số

đ

o góc OAB l

à

A. 280. B. 290. C. 300. D. 310.

8.Trên hình 8, số đo góc QMN = 200, số đo góc PNM = 100. Số đo của góc x bằng

A. 150. B. 200. C. 250. D. 300

Cho c¸c h×nh vÏ sau:

(h.12
(h.11)

(h.10)
(h.9)

O
A

C
O

D
C

F
O

A
C
B

M
D

9.Trên hình 9, số đo cung nhỏ AD = 800. Số đo góc MDA bằng

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

10.Trong hình 10, MA, MB là tiếp tuyến của (O), BC là đường kính, góc BCA = 700. Số đo góc AMB

bằng

A. 700. B. 600. C. 500. D. 400.

11. Trong h.11, có góc BAC = 200, góc ACE = 100, góc CED = 150. Số đo góc BFD bằng

A. 550. B. 450. C. 350. D. 250.

12.Trong hình 12, có AD//BC, góc BAD = 800, góc ABD = 600. Số đo góc BDC bằng

A. 400. B. 600. C. 450. D. 650.

13.Hãy chọn ra tứ giác nội tếp được đường tròn trong các tứ giác sau

(D)

80

70
130

A
(C)

75
60

D C

B
A

(B)

65
65

D
C

B A

(A)

60
90

D
A

C
B

14.Cho hình 14. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định

sai:

A. Bốn điểm MQNC nằm trên một đường trịn.

(h.14)
M

B C

Q
N
A

B. Bớn điểm ANMB nằm trên mợt đường trịn.

C. Đường trịn qua ANB có tâm là trung điểm đoạn AB.
D. Bớn điểm ABMC nằm trên mợt đường trịn.

15.Tứ giác nào sau đây khơng nội tiếp được đường trịn ?

(D)
(C)

(B)
(A)

90

90
55

55
50

130
90

90

16.Tứ giác nào sau đây nội tiếp được đường

tròn ?

A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
17.Hãy chọn khẳng định sai. Một tứ giác nội tiếp được nếu

:

A. Tứ giác có góc ngoài tại mợt đỉnh bằng góc trong của đỉnh đới diện.
B. Tứ giác có tổng hai góc đới diện bằng 1800.

C. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới mợt góc α.
D. Tứ giác có tổng hai góc bằng 1800.

18.Độ dài cung 600 của đường

trịn có bán kính 2cm l :

à

A. 13 cm. B. 2

3 cm. C.

2 cm. D.
1
2 cm.
19.Độ dài cung trịn 1200 của đường

trịn có bán kính 3 cm l :

à



cm. B.

2 

cm. C.

3 

cm. D. Kết quả khác.

20.Nếu chu vi đường trịn tăng thêm 10cm thì bán kính đường trịn tă

ng thêm:

5 

cm. B.

5 

cm. C.

5 

cm. D.

1

5 

cm.

21.Nếu bán kính đường trịn tăng thêm

1 

cm thì chu vi đường tròn tă

ng thêm:

1

2

cm. B.



cm. C. 2cm. D.

1 

cm.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

25 

cm2. B. 25



cm2. C. 5



cm2. D. 25



cm2.

23.Diện tích hình quạt trịn cung 600 của đường trịn có bán kính bằng

2 cm l :

à

2

3 

cm2. B.

2

3 

2. C.

3 

cm2. D.

3 

2.

23.Một cung trịn của đường trịn bán kính R có độ dài là l (m). Khi đó diện tích hình quạt trịn ứng 
với cung đó

l :

à

.

4 l R

m2. B.

.

2 l R

m2. C.

2.

l R
m2.

D. 2.
2
l R

m2.

24.Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là R và r (R > r). Diện tích phần nằm giữa 
hai đường trịn này – hình vành khăn được tính như thế

n o ?

à





r



R



. B.





R



r



. C.





R



r



. D. Kết quả khác.
25.Cho hình vng cạnh bằng a, vẽ vào phía trong hình vng các cung trịn 900 có tâm lần lượt là

các đỉnh của hình vng. Hãy cho biết diện tích của phần tạo bởi 4 cung trịn đó

v hình

à

vng ?

A. 2

1

2 a

















. B.

1

4 a

















. C.





1

a





. D. 2

4 a





CHƯƠNG IV. HÌNH KHƠNG GIAN

1. Trong bảng sau, gọi h là đường cao, l là đường sinh, R là bán kính đáy của hình nón. Hãy nối 
mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được khẳng định đúng.

A B

1.Cơng thức tính thể tích hình nón cụt là

2.Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt là
3.Cơng thức tính thể tích hình nón là

4.Cơng thức tính diện tích toàn phần hình nón là
5.Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón là
6.Cơng thức tính đợ dài đường sinh hình nón là



Rl

Rl

R



 

C) R2 h2

 .

D) 1 R h2
3 .
E)





R



R l





12 22 1 2



h R R R R

3  

2. Trong bảng sau, gọi R là bán kính, d là đường kính của hình cầu.
Hãy viết mỗi hệ thức ở cột B vào vị trí tương ứng phù hợp ở cột B.

A B

1.Cơng thức tiính diện tích mặt cầu là

2.Công thức tính thể tích hình cầu là A)

4 3



R

3.
B)

1 R

3 

4 R



d



3. Hãy nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được một khẳng định đúng.

A B

1.Khi quay hình chữ nhật mợt vịng quanh cạnh cớ định của nó ta
được

2.Khi quay tam giác mợt vịng quanh mợt cạnh góc vng cớ định
của nó ta được

3.Khi quay nửa hình trịn mợt vịng quanh đường kính cớ định của
nó ta được

4.Khi quay mợt hình thang vng mợt vịng quanh cạnh bên cớ định

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

vng góc với hai đáy của nó ta được

4. Gọi R là bán kính của đường tròn đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ. Hãy nối mối ý ở cột A
với một A ở cột B sao cho đúng.

A B

1.Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là
2.Công thức tính diện tích hai đáy của hình trụ là
3.Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ là
4.Công thức tính thể tích hình trụ là

R h



4 R



2 R



2 Rh 2 R



 

2 Rh



.
Phần bài tập Tự luận

1) Cho hai đường tròn (O; 4cm); (O’; 3cm), biết OO’ = 7cm. Cho biết vị trí tương đới của hai đường
trịn đó.

2) Cho đường tròn (O; 13). Biết khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng 5.

Tính độ dài dây AB

3) Cho ∆MNP đều có cạnh bằng 5 3cm.Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác

4) Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 2cm. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nợi
tiếp của nó.

5) Trên (O), lấy các điểm A, B, C, D liên tiếp sao cho cung AB = 400, cung BC = 1000 , sđ cung CD

= 1200 . Tính sớ đo góc ABD

6) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trịn đó. Biết góc
MAB = 700 . Tính sớ đo góc AOB.

7) Cho tứ giác ABCD nợi tiếp đường trịn (O). Gọi K là giao điểm của AB và CD. Biết sđ cung AD
= 1500 , sđ cung BC = 700 . Tính số đo góc AKD.

8) Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nợi tiếp đường trịn : Hình thang, hình thang cân, hình bình
hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. Giải thích vì sao ?

9) Cho góc nợi tiếp AMB và góc ở tâm AOB của đường trịn (O). Biết góc AOB = 1200, tính góc

AMB.

10) Cho góc nợi tiếp BAC của đường trịn (O). Biết sớ đo cung BAC bằng 2800 . Tính sớ đo góc nợi

tiếp BAC.

11) Cho hai đường trịn đờng tâm O có bán kính lần lượt là 3cm và 5cm. Tính diện tích hình vành
khăn tạo bởi hai đường trịn đó.

12) Diện tích hình trịn thay đổi như thế nào khi bán kính
a) Tăng gấp 3 lần. b) Giảm 2 lần
13) Cho ∆ABC có Â = 800 nợi tiếp đường trịn (O; R).

Tính diện tích hình quạt tròn OBC theo R

14) Hình nón có bán kính đáy bằng 6cm và có đường sinh bằng 10cm.
Tính thể tích hình nón

15) Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Kẻ HM  AB ( M  AB ), HN  AC (N  AC)
Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AMHN nội tiếp
b) AM.AB = AN.AC
c) AMN ACB.
d) Tứ giác BMNC nội tiếp

16) Cho ABC có ba góc nhọn nợi tiếp đường tròn (O), kẻ đường cao BN và CM (NAC, MAB)
Chứng minh rằng :

a) Tứ giác BMNC nội tiếp
b) AMN ACB
c) OA  MN

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

17) Từ mợt điểm A bên ngoài đường trịn (O; 3cm) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O).
( B, C  (O) ).

a) Chứng minh tứ giác ABOC nợi tiếp đường trịn

b) Qua A vẽ cát tuyến AMN. Chứng minh AB2 = AM . AN

c) Tính diện tích hình tròn và đợ dài đường trịn ngoại tiếp ABC, biết AB = 4cm

18) Cho ABC vuông tại A ( AB > AC ), đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại E,
đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) BH.HC = EF2

c) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
d) Tứ giác BEFC nợi tiếp

19) Cho hai đường trịn (O; 16cm) và (O’; 9cm) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung
của hai đường tròn ( B (O); C(O’) ) .Tiếp tuyến tại A cắt BC tại M

a)Chứng minh ABC vuông tại A b) Tính số đo góc OMO’ c) Tính đợ dài BC.

20)Cho ABC nhọn nợi tiếp đường trịn (O) đường kính AD. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

b) Chứng minh AE.AC = AF.AB.

c) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành

d) Gọi I là giao điểm của AD và EF . Chứng minh tứ giác BDIF nội tiếp.

21) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AD. Đường cao của tam
giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đường tròn (O) tại E.

a) Chứng minh DE//BC

b) Chứng minh AB. AC = AK.AD.

c) Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh tứ giácBHCD là hình bình hành.

22) Tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM
cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. CMR:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) CA là tia phân giác của góc BCS.

c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính MC với cạnh BC là H.CMR 3 đường HM, BA, CD
đồng quy.

d) Cho biết AC =12cm, AB = 9cm. Tính chu vi và diện tích đ.trịn nợi tiếp tứ giác ABCD.

23)Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C
của đường tròn lần lượt cắt tia AC và AB ở D và E. CMR:

a) BD2 =AD.CD.

b) Tứ giác BCDE nội tiếp.
c) BC // DE.

24) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tâm O. BD,CE là các đường cao của tam giác, chúng cắt
đường tròn tâm O lần lượt tại D’, E’. CMR:

a) Tứ giác BEDC nội tiếp

b) DE song song D’E’.
c) OA vng góc DE.

25)Cho hình vng ABCD, điểm E tḥc BC. Qua B kẻ đường vng góc với DE, cắt DE tại H và
cắt DC tại K.

a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp.
b) Tính góc CHK.

c) CM: KH.KB = KC.KD.

26)Cho (O), kẻ hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M
khác B và D), dây CM cắt AB tại N, tiếp tuyến của đ.tròn tại M cắt AB tại K, cắt CD tại F.
a) CMR: Tứ giác ONMD nội tiếp.

b) CM: MK2 =KA.KB.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

27)Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong mợt đường trịn. P là điểm chính giữa của AB (phần không
chứa C và D). Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E, F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại
I. Các dây BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR:

a) góc CID = góc CKD.
b) Tứ giác CDFE nợi tiếp.
c) IK song song AB.

d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD.

28)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến với đ.tròn, chúng cắt nhau tại
D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ.tròn tại E, F và cắt AC tại I.

a) CM: góc DOC = góc BAC.

b) CM: 4 điểm O, I, C, D nằm trên mợt đường trịn.
c) CM: IE =IF.

</div>

DE CUONG TOAN 9 HKII















5

3

8

2

4

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



















































4

1

1

24

1

538

428

538

24

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>yx</i>

<i>y</i>

<i>yx</i>

<i>yx</i>

<i>yx</i>

<i>yx</i>





















1

1

2

1

<i>y</i>

<i>v</i>

<i>x</i>

<i>u</i>





17000