Ung dung dinh ly Lagrange

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (104.56 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ứng dụng định lý Lagrăng

1. Cho m > 0 và 0

m
c
1
m
b
2
m
a





 Chøng minh r»ng ax

2 + bx + c = 0 cã nghiÖm 
thuéc (0 ; 1)

HD: XÐt hµm sè

m
x
c
1
m
x
b
2

m
x
a
x
f
m
1
m
2

m . .

.
)
( 







2. Chøng minh r»ng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = 0 lu«n cã nghiƯm 
a,b,c,d  R.

HD: XÐt hµm sè Cos3x dSinx

3
c
x

5
Sin
5
b
x
7
Cos
7
a
x

F( )   .

áp dụng ĐL Lagrăng.

3. Giải PT: 2000x + 2002x = 2.2001

HD: Xét hàm sè f(t) = (t + 1)x - tx Theo §L Lagrăng (2000; 2001) sao cho

f() = 0.

4. Cho a - b + c = 0. Chøng minh r»ng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = 0 cã Ýt nhÊt
4 nghiÖm thuéc 0; .

HD: áp dụng “Cho F(x) có đạo hàm f(x) trên (a;b) . Chứng minh nếu F(x) = 0 có hai
nghiệm thì f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).”

CM: Gäi ,  lµ hai nghiƯm cña PT F(x) = 0. Ta cã F() =F() = 0.

Theo ĐL Lagrăng x0 (; ) sao cho f(x0) = F’(x0) = 0

F
F






) ( )
(

Gi¶i: XÐt hµm sè:F(x)a.Sinx b.Sin3x c.Sin5x

C/M: F(x) = 0 cã Ýt nhÊt 6 nghiÖm thuéc 0; .Ta c/m F’(x) = 0 cã Ýt nhÊt 5
nghiÖm thuéc 0; . Ta c/m F’(x) = 0 cã Ýt nhÊt 4 nghiÖm thuéc 0; .

5. Cho a,b,c  0 tho¶ m·n 0
3
c
5
b
7
a



 . Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = a.x4 + 
bx2 + c ln cắt trục hồnh ít nhất tại một điểm có hồnh độ thuộc (0 ; 1).
6. CMR: a,b,c tuỳ ý. PT sau ln có nghiệm trong (0; 2). a.Cos3x + b.Cos2x +

c.Cosx + Sinx = 0.

7. CMR: a,b,c,d không đồng thời bằng không. PT sau ln có nghiệm a.Cos4x 
+ b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = 0.

8. Cho f(x) = Sinx.(2x-1 - 1)(x - 2). Chøng minh r»ng PT: f (x) = 0 lu«n cã nghiÖm.’’
9. GPT: (1 + Cosx)(2 + 4Cosx) = 3.4Cosx

10.Cho ®a thøc P(x) cã n nghiƯm ph©n biƯt x1;x2; . . . xn . CMR

a, 0

x
P
x
P
x
P
x
P
x
P
x
P
n
n
2
2
1

1    

)
(
)
(
''
...
)
(
)
(
''
)
(
)
(
''

b, 0

x
P
1
x
P
1
x
P

1
n
2
1




)
(
'
...
)
(
'
)
(
'

11.Cho hµm sè f(x) = (x2 - 4)(x + 1)(x - 3). CMR phơng trình f (x) = 0 có 3 nghiệm 
phân biệt.

12.Cho hàm số f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Víi a<b<c<d<e. Chøng minh 
PT f (x) = 0 cã 3 nghiÖm phân biệt.

13.Cho m>0; n> 0 và f(x) = 2 + xm(x - 1)m. CMR PT f (x) = 0 cã nghiÖm x ’  (0; 1)
14.Cho 2b + 3c = 0. CMR phơng trình: aCos2x + b.Cosx + c = 0 lu«n cã nghiƯm

thc (0; 
2



).

15.Cho tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a  0). BiÕt r»ng f(x) = x v« nghiƯm. 
CMR: a.f(x)2 + b.f(x) + c = 0 v« nghiƯm.

16.Cho 0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

17.Cho f(x) xác định trên R và f (x) ’’  0 x  R Chứng minh rằng a,b  R(a < 
b) thì f(a) f(b) f(ab)

2 2

18.Chøng minh r»ng: ln(1 + x) < x; x > 0
19.CMR: a b tga tgb a b

cos b cos a

 

  

2 2 0 


2.

20.Cho a

a   a b c a2b2c2 ab bc ca    a b c a2b2c2 ab bc ca  c

3 3

HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => x1; x2 sao cho a< x1 ?

21.Cho n Z; CMR: x .n x ; x ( ; )

  1 

1 01

2

HD: Đặt f(x) = lnx

22.CMR

a) |sin a - sin b|  |a - b| a,b  R
b) sin x < x  x > 0

c) ex > x + 1  x > 0
d) tg x > x  x ( 0; /2)

e) x x

( ) ( )

x x



  


1

1 1

1

f) (x )Cos xCos ; x

x x

 

    



1 1 2

1

23.Cho f(x) liªn tục trên a ; b và f (x) = 0 ’ x (a; b) . CMR: f(x)  0.

24.Cho f(x) khả vi trên a ; b và f (x) = 0 có đúng 1 nghiệm x’ 0 a; b. CMR: f(x)= 
0 khơng thể có q hai nghiệm phân biệt.

25.Cho x> 1 vµ a> 1. CMR: xa - 1> a(x - 1)

26.Cho 0 < a< b; n> 1.CMR: n.an-1(b - a) < bn - an < n. bn-1(b - a)

27.Cho x, y, z  0 tho¶ m·n x + y + z > 0 T×m GTLN, GTNN cđa P x y z
(x y z)

 


 

3 3 3

3

16

HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Gi¶ sư x + y + z = 1

GTLN: x y (xy)  (  z)  f(z)(  z)  .z 
3

3 3 11 3 1 3 64 3

4 4

GTNN: x3y3z3(x y z)315.z316
28.C

29.C
30.C
31.C
32.C
33.C

Sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

1. CMR: x x sin x x x x ; x

! ! !

      

3 3 5

0

3 3 5

HD: Chuyển vế đặt f(x) tính f’(x); f’’(x)

2. CMR: Sinx x; x ( ; )

2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

HD: Đặt f(x) = Sinx
x

3. CMR: 2Sinx 2tgx 2x1; x ( ; )0

2

HD: Đặt f(x) = Sin x + tgx - 2x vµ c/m Sin x + tgx > 2x

4. CMR: x Cosx x x ; x

! ! !

      

2 2 4

1 1 0

2 2 4

5. CMR: ; x ( ; )

Sin x x



    



2 2 2

1 1 4

1 0

2

6. CMR: x

e  1 x; x 0
7. CMR:

x x x

e x ... ; x ;n Z

! n!



       

2

1 0

2

8. CMR:





1 1 0 1

x x

x e x ; x ;

      

9. CMR:





2 4

1 1 0 1

1 2 1

e x

x x ; x ;

x (x )



      

 

10.CMR: ln(1x)x; x 0

11.CMR: 2 1 1

(x )

ln x ; x



  



12.CMR: 1 1 2 1 0

ln( x ) ln x; x

     

13.CMR:

1 0

ln( x) x ; x 

14.CMR: p q 1 p q 1 0 1

x   (pq)(x  x ); x ;p q , p q
15.CMR: log (xx 1)log(x1)(x2); x 1

16. Cho a, b > 0. CMR: 1ln(a b )  1ln(ab );    0;

 

17.CMR: 1 4 0 1 0 1

1 1

y x

ln ln ; x ; y ;x y

y x y x

 

       

 

    
18.CMR:

x y x y

ln x ln y

 



  x> y> 0
19.CMR: ln x x 1; x 1



  

20.CMR: 2 2 22 0

n n

tg xcot g x n .Cos x; x ( ; );n N

21.CMR:

3 1

2 2

2 2 2 0

2
x

.Sinx tgx

; x ( ; )

 

   

22.CMR: SinASinBSinCtgAtgBtgC  2 ; VABC

23.CMR: 2 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

24.CMR: tg550 1 4,

25.CMR: 4 50 90 3 60 100

.tg .tg  .tg .tg

26.CMR: 1 200 7
3Sin  20

27.CMR: 1 1 2 0

1 1

n n ; ( ; );n Z

Sinx Sinx




   

 

28.Cho

3
2
2
2

1 2 3

1
1

1
3

0 6

x
x

Sinx !

x x .CMR :

x
Sinx

x
!



   


29.CMR:

0
2

Sinx

Cosx; x ( ; )
x



 

  

 

 

30.CMR: e x e x 0

(ex)  (e x)  ; e x

31.CMR: 0

b x b

a x a

; a, b,x ;a b

b x b




   

   

    

   

32.CMR: 2 1 1 2

ln n ln(n ).ln(n );  n N

33.CMR: 0 2 5

y.Sinx

Cos(x y) ; x, y ;x y

x.Siny



     

34.CMR: 0

a b a b

ab ; a, b ;a b

ln a ln b

 

    



35.CMR: 20062007 20072006



36.CMR: n 1 1n 3

n  (n ) ;  n Z

37.CMR: x.Sin x + Cos x > 1; x(0; /2)

38.CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); 0 < a /2

39.CMR: 1 2 1 2 1 2 3 3

A B C

Cos Cos Cos

. ; ABC

A B C

  

   V

40.CMR: Nếu x  0 và  > 0 thì x    1.x. Từ đó c/m

3 3 3

a b c a b c

b  c  a  b c a

</div>

Ung dung dinh ly Lagrange

<b>ứng dụng định lý Lagrăng</b>









Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về