ung dung dinh ly lagrang tinh gioi han

ứng dụng định lý Lagrang vào tính giới hạn có dạng sau:
Dãy
( )
n
x
xác định bằng công thức truy hồi
1
( )
n n
x f x
+
=
, trong đó hàm số
f
khả vi và có đạo hàm trên miền xác định D thoả mãn:
*
'( ) k 1f x <
với k là hằng số,
* phơng trình
( )f x x=
có nghiệm duy nhất
= Dx a
.
Khi đó

=lim
n
n
x a
. Thật vậy, ta có:
+

1
= ( ) ( ) .
n n
x a f x f a
Theo định lý Lagrang :

( ; )
n n
x a
sao cho

+

1
( ) ( )= '( )( )
n n n
f x f a f x a


+
= =
1 1
0 a ( ) ( ) '( ) k ... k .
n
n n n n n
x f x f a f x a x a x a
Do

< =

n
0 k 1 lim k 0
n
nên
+

=
1
lim
n
n
x a
hay

=lim .
n
n
x a
Ví dụ 6: Chứng minh dãy số
2007, 2007 +
1
2007
, 2007 +
1
1
2007+
2007
, ..., (2.1) có giới hạn và tìm
giới hạn đó.
Giải:

Dãy (2.1) đợc xác định bởi công thức truy hồi sau:
+
=



= +


1
1
2007
1
2007
n
n
x
x
x
hay
+
=


=

1
1
2007
( ).

n n
x
x f x
Trong đó,
= +
1
( ) 2007f x
x
.
Bằng quy nạp ta có
> =2007 2,3, ...
n
x n
Giả sử phơng trình
=( )f x x
có
nghiệm
x

=
.


= + =
2
1
2007 2007 1 0
α
α


= − + <

⇒

= + + >

2
2
2007 2007 1 2007
2007 2007 1 2007.

⇒ =( )f x x
cã nghiÖm duy nhÊt
2
2007 2007 1x
α
= = + +
.
Ta chøng minh
2
lim 2007 2007 1
n
n
x
α
→∞
= = + +
XÐt hµm sè
= + ≥
1

( ) 2007 , 2007f x x
x
,
−
= = ≤ = ∀ ≥
2 2 2
1 1 1
'( ) k <1, 2007
2007
f x x
x x
Theo ®Þnh lý Lagrang
ε α
∃ ∈( ; )
n n
x
sao cho
α ε α
+
− −
1
( ) ( )= '( )( ).
n n n
f x f f x

α α ε α α
+ − −
⇒ ≤ − = − = − ≤ −
1 1 1
0 ( ) ( ) '( ) k

n n n n n
x f x f f x x
α
−
≤ ≤ −
1
1
... k .
n
x
Do
α
+
→∞ →∞
< < ⇒ = ⇒ =
n
1
0 k 1 lim k 0 lim .
n
n n
x

Hay
→∞
=lim .
n
n
x a
VËy
→∞

= + +
2
lim 2007 2007 1
n
n
x
.