Suy nghi ve cach day va hoc Toan Nguyen Tien Minh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.07 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

C NG C C BÙ Á ẠN TRẺ DẠY TỐN THCS BÌNH THỊNH!

---***---I

D

ạy cho học sinh bài tập này rồi đến bài tập khác nếu chỉ chú ý đến số lợng mà thiếu dạy
t duy thì nhiều khi vơ ích. Đành rằng muốn có học sinh giỏi thì Thầy phải đọc nhiều,làm
nhiều, trang bị nhiều kiến thức kỹ năng cho học sinh.Trong khi trị ( thậm chí cả Thầy )
cha tìm đợc lời giải của một bài tốn thì việc hớng dẫn cho trị nghiên cứu lời giải thông qua
tài liệu là điều cần làm. Điều đó sẽ có ý nghĩa khi chúng ta hiểu đựơc các khâu “ chốt ” có
tính quyết định của lời giải. Kèm theo đó là phải có thái độ nhận xét , phê phán hoặc khơng
thỗ mãn những điều cịn hạn chế theo nhiều nghĩa : ví dụ nh lời giải còn cha đợc tự nhiên,
hoặc cha có tính tổng qt, vv. Để rồi từ đó tìm cách khắc phục, hoặc tìm ra lời giải tốt hơn
đi đến những bài toán tổng quát hơn. Sau đây là những ví dụ nhằm minh hoạ cho các ý tởng
trên nhằm góp phần rền luyện năng lực giải tốn cho hoc sinh.

II. C¸c vÝ dơ.

Bài tốn sau đây bạn đã từng gặp với nhiều cách giải :
Bài toán I. Cho 3 số thực a, b , c thoã mãn:












.
3

2
,
,
0

c
b
a

Chøng minh P=a2 b2 c2


.

5


Trc hÕt chóng ta xÐt mét lêi gi¶i sau của bài toán 1.
Lời giải1.

Do vai trũ bỡnh đẳng nh nhau của a, b, c nên ta có thể giả sử: abc. Từ đó ta có :
.

2
1
3

3abc a a (1)





(3 ) 2 6 9
)

0
.
(

2 2 2 2 2 2

2
2
2
2
2
2





















 P a b c a b c bc bc a b c a a a a .

9
6
2 2





 P a a =2a2  6a952(a2 3a2)5 (do (1) ).

Dễ thấy dấu “ = ‘’ trong bài toán 1 xẩy ra khi và chỉ khi ( a; b; c ) = ( 2;1; 0 ) . ( có một số
bằng 2, một số bằng 1 và một số bằng 0 ) Rõ ràng lời giải rất ngắn gọn! Đọc kỹ lời giải ta
rút đợc một số nhận xét sau

Nhận xét 1: - Khâu chốt quyết định ở lời giải 1 là:
2) Sử dụng tính bình đẳng của các biến.

1) đa ra đợc đánh giá : b2 c2



b c



2



 (*)

dÊu ‘ = ‘’ ë (*) 







0
0
c
b

3) Với b và c không bằng 0 lúc đó (*) khơng xây ra đẳng thức hay nói cách khác lời giải bài
tốn sẽ ra sao? ta xột bi toỏn 2 sau õy.

Bài toán II. Cho 3 sè thùc x, y , z tho· m·n: 












.
12

5
;
;
3

z
y
x

Chøng minh
P = x2 y2 z2



 50.

Ta sẽ tìm cách đa về giả thiết trên đoạn có cận trái là 0 để sủ dụng (*) với lời giải sau đây.
Lời giải: Đặt:










3
3
3

z
c

y
b

x
a

Do 3x , y , z5  0a;b;c2 vµ a+ b + c = 3.

Theo bài toán 1 ta sẽ cã:













5 6





27 5

5 2 2 2 2 2 2

2
2
2



















b c x y z x y z x y z

a .

.
50
2
2
2





 x y z Dễ thấy dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ( x; y ; z ) = ( 5;4;3 ) ( có
một số bằng 5, một số bằng 4 và một số bằng 3 ).

Nhận xét 2. Theo dõi qua trình giải các bài toán trên ta thấy rằng bất đẳng thức tổng quát
cho sự mở rộng (*) là: xk a1k a2k ...ank 



xa1a2...an



kx0;ai 0.(kN;)
Dấu “ = ” 













0
...

2 n

i

a
a

a

(**)

Bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng. Từ đó ta có thể đề xuát bài toán tổng quát
sau:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cho n+1 sè x;a1;a2;...an ( n> 2)

·

tho· m·n:
























a
n
b
a
b
b
a
a
a
x
n
i
a
a
x
n

i
1
...
)
;
1
(
;
0
;
2

1 > a> 0.

HÃy tìm giá trị lớn nhất của biểu thøc: P = xk a1k a2k ...ank víi k lµ sè tù nhiªn ;
.

2

k

. Với giả thiết của các bài toán trên nhng nếu thay P bằng các biểu thức khác mà các biến
có vai trị bình đẳng thì ta sẽ đợc lớp các bài tốn tơng tự nhng đầy tính sáng tạo khi giải
nú.

Bài toán III.
Cho 2 phơng trình:

x
c

bx

ax2    (*) vµ a



ax2bxc



2b



ax2bxc



cx (**). Chøng minh r»ng:

1) PT (*) cã nghiÖm  PT (**) có nghiêm.

Lời giải

Thật vậy giả sử (*) có nghiệm tức là tồn tại x0:ax02 bx0cx0. Suy ra:

ax02bx0c

b(ax02bx0c)cax02 bx0cx0ngha l PT(**) cũng có
nghiệm x0.Từ đó ta có mệnh đề 1) đợc chứng minh.

B©y giê cã thĨ ra cho häc sinh 2 c©u hái sau:

Câu hỏi 1: Tìm điều kiện của a,b, c để phơng trình (**) có nghiệm?
Câu hỏi 2: Tìm điều kiện của a,b, c để phơng trình (**) vô nghiệm?

- Sai lầm của học sinh trả lời câu hỏi 1 là : “ Điều kiện để (**) có nghiệm là phơng
trình (*) có nghiệm.

- Sai lầm của học sinh trả lời câu hỏi 2 là: “ Điều kiện để (**) vơ nghiệm là phơng
trình (*) vô nghiệm.

 Thực ra mệnh đề 1)  mệnh đề: “ Phơng trình (**) vơ nghiệm  PT (*) vụ
nghim.

Nh vậy việc trả lời 2 câu hỏi trên là cha có cơ sở.

Vi 2 cõu hi trên thực chất là tìm đk cần và đủ của a, b, c để phơng trình (**) vơ

nghiệm ( có nghiệm)

Nh vậy lời giải trên khơng có hiệu lực để trả lời các câu hỏi 1) và 2). Ta phải đi tìm một
h-ớng khác để giải.

Để giải (**) ta đa (**) về hệ đối xứng bằng cách đặt : y ax2 bx c.



 Khi đó (**) tơng

đơng với:














































)
2
(

0
1
)
1
(
0
)
1
)(
(
2
2
2
2
2
y
c
bx
ax
b
ay
ax
y
c
bx
ax
y
x
b
ay

ax
y
x
y
c
bx
ax
y
c
bx
ax
x
c
by
ay

VËy (**) v« nghiƯm




vn
vn
)
2
(
)
1
(
(1)










)
3
(
0
)
1
(

2 x b c

ax
y
x
V« nghiÖm
)
(
.
4
)
1
(

0
0
;
1
;
0
0
)
1
(
2
2 I
ac
b
a
c
b
a
vn
c
b
x
ax






















































.
4
4
)
1
(
0
)
1
(
4
)
1
(
)
0
(
0
1

)
(
1
;
0
)
2

( 2 2 2 2 2

ac
b
ac
b
a
vn
a
b
a
x
a
ab
x
a
b
a
vn

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>















.
4
)
1
(

0
;
1
;
0

2 ac

b

c
b
a

Chú ý rằng đây cũng chính là điều kiện cần và đủ để (*) vô nghiêm. Nhng kết
luận của học sinh ở trên kia là một sự “ hú hoạ “ mà thơi.

Từ đó ta có 2 mệnh đề đúng sau : “ pT (**) vn  PT (* ) vn ” và “ PT (**) cú nghim (*)cú
nghiờm.

Từ kết quả này ta có thể sáng taọ nhiều bài toán về giải phơng trình rÊt hÊp dÉn.
II. C¸c vÝ dơ ¸p dơng.

VÝ dơ 1. Giải phơng trình:

x2 x 2

x2 x 2

2 x.

(1) có dạng (**)

Ta xét phơng trình :

x

2 x 2 x.



 (2) cã d¹ng (*) .ë đây a=1; b = -1; c=2.
Do (2) x2 2x20vô nghiệm vậy (1) vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phơng trình : 4 2 3 4 2 4 4 0.






 x x x

x (3)

Tríc hÕt ta viÕt x4 2x3 4x24x40 x4 2x3 4x2 5x4x.Bây giờ ta tìm các
số m vµ n sao cho: x4 2x3 4x25x4



x2mxn



2m



x2 mxn



n.

Bằng cách đồng nhất các hệ số của các đa thức ở 2 vế ta có hệ:



































2
1
4

5
2

4
2

2
2

n
m
n

mn
n

m
mn

n
m
m

m



x  x







x  x



 x



 (3) 2 2 2 2 2 2

Do phơng trình x2 x 2x x2 2x 20 Đây cũng là nghiệm của (3). Từ đó:
( 3) 



x2 2x 2



x2 2



0 x1 1 3;x2 1 3;x3  2;x4  2.

Ví dụ 3. Phơng trình sau đây có nghiệm hay không:

x2 x1

1 x.

Đkiện x0.

Đặt ( 0). 2 1 2 2 1









t t x x t t

x . Phơng trình đã cho có dạng:

.(*)
1
)
1
2
(
2
)
1
2

(t2 t 2 t2 t t

Xét phơng trình: t2 2t1t ( 2 1 0




 t t ) vô nghiệm nên (*) vơ nghiệm .Vậy
ph-ơng trình đã cho vô nghiệm.

III. Kết luận . Trên đây là những câu chuyện dạy học toán theo lối suy nghĩ tơi đã từng 
làm .Hiện nay tài liệu tốn thật nhiều. Nhng ý tởng dạy và rèn luyện t duy thì phải thực
hiện theo những con đờng khơng phải theo kiểu chạy tìm giữa biển ,bởi các bài tốn cũng
mênh mơng nh biển cả.

Bµi viÕt dõng lại ở đây .

Sau đây là một số bài tập tự giải mà quá trình hình thành trong quá trình suy luận ở trên.
Một số bài tập.

1. Cho 3 số thùc a, b , c tho· m·n:















3
2
;
0
,
,

c
b
a

Chøng minh: 4 4 4 17



b c

a .

2. Cho 3 sè thùc a, b, c tho· m·n: 












6
3
;
;
1

c
b
a

Chøng minh r»ng 3 3 3 36.



b c

a

3. Cho 4 sè thùc a, b, c, d tho· m·n :













8
4
,
,
,
0

d
c
b
a

Chøng minh: a) 2 2 2 2 32.





b c d

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b) 3 3 3 3 128.




b c d

a

4.Cho 3 sè thùc a,b , c tho· m·n :

.
3
2
;
0

,
,

c
b
a

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2(b c) b2(a c) c2(a b) 2abc







( §s: MaxP = 6 )

5.Cho 4 sè thùc a, b , c ,d thoÃ mÃn:

.
8
4
;
0
;
;
;

d
c
b
a

Tìm giá trị lớn nhÊt cña P =

).
(

2
)
(

)
(

)

( 2 2 2

2 b c d b c d a c d a b d a b c abc bcd cda dab

a               

(§s: Max P = 128).

6. Giải các phơng trình sau:

.
0
9
9
4 6 2
8 x  x  
x

7. Tìm m để phơng trình sau vô nghiệm:



2 4



2 2 2( 1) 4 4 0.









mx mx m x m

x

(NguyÔn TiÕn Minh THPT Hång Lam )

</div>

Suy nghi ve cach day va hoc Toan Nguyen Tien Minh

<i><b>D</b></i>





























·













<i><b>Lời giải</b></i>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<i>x</i>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



















<sub></sub>

<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về