CD RUT GON BT DS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (235.13 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề :

Rút gọn biểu thức

A. MỞ ĐẦU

Hàng năm trong các đề thi mơn tốn của kỳ thi vào lớp 10- THPT phần rút
gọn biểu thức thường chiếm từ 1,5 điểm đến 2điểm. Có những bài rất dễ, rất cơ
bản nhưng các em học sinh vẫn làm sai dẫn đến đạt được trọn vẹn số điểm rất khó.
Là một giáo viên tốn được nhà trường phân cơng dạy lớp 9 tôi luôn trăn trở và
suy nghĩ phải dạy ơn cho các em những gì và làm thế nào để các em học sinh của
mình đạt kết quả tốt nhất. Chính vì thế tơi cùng nhóm thầy cơ dạy tốn của trường
THCS Vạn An – T. P Bắc Ninh xây dựng chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” với
mục đích làm tài liệu dạy ôn cho học sinh lớp 9, với mong muốn các em học sinh
nắm chắc chuẩn kiến thức, kỹ năng để hiểu và biết cách làm dạng bài “ Rút gọn 
biểu thức”.

Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” được xây dựng dựa trên kiến thức cơ bản của
sách giáo khoa và phát triển dần theo mức độ có đầy đủ các dạng bài phù hợp với
từng đối tượng học sinh. Các ví dụ và bài tập đưa ra đều bám sát vào các đề thi vào
lớp 10 –THPH của Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh trong những năm gần đây.

B. NỘI DUNG

*Kiến thức lý thuyết cần chú ý:

1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

2. Các công thức biến đổi căn thức:

1. (A+B)

2

= A

2

+2AB +B

2

2. (A – B)

2

= A

2

–2AB +B

2

3. A

2

–B

2

= (A-B )(A+B)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. A có nghĩa khi A≥0

2. A2 A

3. AB  A. B ( Với A 0; B0 )

B
A
B
A

 ( Với A 0; B > 0 )

5. A2B A B ( Với B0 )

6. A B = A2B ( Với A 0; B0 )

A B = - A2B ( Với A < 0 ; B0 )

7. AB

B
B
A 1

 ( Với AB 0 và B 0 )

8. ABB

B
A

 ( Với B > 0 )

10.

3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân

tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của

một phân thức.

4. Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta

có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử

( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi

dấu phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.

* Các dạng bài tập:

- Rút gọn biểu thức số.

- Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn đế:
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;

+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;

+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến.

* DẠNG1

:

RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:

I.Các ví dụ:

+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

2
2

( )

0, )

C C A B

A A B

A B

A B    



(víi

( )

0, 0, )

C C A B

A B A B

A B

A B     



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a/ 20 453 18 72.

b/ ( 28 2 3 7) 7 84.



6 5



2  120.

Giải:

a/ 20 453 18 72 = 22.5 32.5 3 32.2 62.2






= 2 5 3 59 26 2

= 2 3 5(96) 215 2 5.

b/  28 2 3 7  7 84= 22.7. 7 2 3. 7 7. 7 22.21.






= 2.7 2 2172 21

= 1472 2 2121.



6 5



2 120 = 62 305 22.30

= 652 30 2 3011.

+ Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a/

A 51 3 51 3

 

b/

4 2 3

6 2

B 



c/

1 2 2

2 3 6 3 3

C  

 

Giải:

a/

A 51 3 51 3

 



 





 



5 3 5 3

  


 

5 3 5 3 2 3 3

5 3 2

   

  



1 1 3 4 1

d/ 2 200 :

2 2 2 5 8

 

 

 

 

2
2

1 1 3 4 1 1 2 3 4 1

/ 2 200 : 2 10 .2 :

2 2 2 5 8 2 2 2 5 8

1 3

2 2 8 2 .8 2 2 12 2 64 2 54 2

4 2

d        

   

   

 

        

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b/

4 2 3

6 2

B 



 





















2 2

3 2 3 1 3 1

2 3 1 2 3 1

3 1 3 1 1 2

2
2

2 3 1 2 3 1

  

 

 

 

   

 

c/

1 2 2

2 3 6 3 3

C  

 





1 1 2

2 3 3 3 3 1

  

 



 





 



3 3 1 2 3 3 1 2 2 3
3 3 1 2 3

     


 



 









 



2 3 2
2 3 4

3 3 1 2 3 3 3 1 2 3



 

   







 















2. 3 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3

3 3 1 3 3 3

3 3 1 3 1

   

     


 

+

Ví dụ 3

: Chứng minh các đẳng thức sau:

a/

2 2



3 2

 

 1 2 2



2 2 6 9

b/

2 3 2 3  6

c/









4 4

2 5 2 5

 

 

Giải:

a/

2 2



3 2

 

 1 2 2



2 2 6 9

BĐVT ta có :



 



2 2 3 2  1 2 2  2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9      VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

b/

2 3 2 3  6

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 3 2 3 2



2 3 2 3



2
  
   



3 1





3 1



4 2 3 4 2 3

2 2

  
  

 

3 1 3 1 3 1 3 1 2 3
6

2 2 2 VP

     

    

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

c/









4 4

2 5 2 5

 

 

BĐVT ta có :

















2 2

2 2 2 2

4 4 2 2

2 5 2 5 2 5 2 5

  

   



 





 



2 5 2 2 5 2

2 2 2 2

5 2 5 2

2 5 2 5 5 2 5 2

  

    

 

   

2 5 4 2 5 4
8

5 4 VP

  

  



Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

+

Ví dụ 4

: So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )

a/

2 3

và

b/

2003 2005

và

2 2004

c/

5 3

và

3 5

Giải:

a/

2 3

và

Ta có:



2 3



2   2 3 2 6 5 2 6   5 24

Và





2 10 5 5 5    25

Vì 24 < 25 =>

<

=>

5 24 5  25

Hay



2 3

 

2 10



2  2 3 10

b/

2003 2005

và

2 2004

Ta có:



2003 2005



2 2003 2005 2 2003.2005 

4008 2 2004 1 2004 1



 



4008 2 20042 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Và



2 2004



2 4.2004 2.2004 2 20042

  

Vì



 



2 2 2 2

2 2

2004 1 2004 2004 1 2004
4008 2 2004 1 4008 2 2004

2003 2005 2 2004 2003 2005 2 2004
    

    

     

c/

5 3

và

3 5

Ta có:

5 3 5 .32 75

 

Và

3 5  3 .5  45

Vì 75 > 45 =>

75 45 75  45  5 3  3 5

*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TỐN 1

Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đốn phân tích nhanh để đưa ra

hướng làm cho loại toán:

+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.

+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai

đúng

hoặc đưa về hằng đẳng thức

+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích

+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn

thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của

căn thức, trục căn thức ở mẫu…

II. Bài tập:

1. Thực hiện phép tính:

a/



12 75 27 : 15



;

b/

252 700 1008 448

;

c/



2 8 3 5 7 2 

 

72 5 20 2 2 



.

2. Rút gọn các biểu thức sau:

a/

2 3 1 3;

2 2

 



b/

3 2 2  6 4 2 ;

c/

2 3 : 2 3 2 2 3 .

2 2 6 2 3

 

  

   

 

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )

a/

3 5

và

2 2 6

;

b/

72 211

và

4 19 5

;

c/

14 13

và

2 3 11

.

4.Cho

A 11 96

và

2 2

1 2 3

B

 

Khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B.

5. Chứng minh các đẳng thức sau:

a/



2 2

 

5 2

 

 3 2 5



2 20 2 33

;

b/

8 2 10 2 5   8 2 10 2 5   2 10

;

c/

1 1 ... 1 9

1 2  2 3  99 100 

*DẠNG2:

RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA

CHỮ

I. Các ví dụ:

* Ví dụ 1: Cho biểu thức 1 1 : 1

1 2 1

a
M

a a a a a



 

  

   

  với a >0 và a 1

a/ Rút gọn biểu thức M.

b/ So sánh giá trị của M với 1.
Giải: Đkxđ: a >0 và a 1

1 :

1

2

1 a

M

a































1
1
:

1
1
1
1









a
a
a

a
a















a
a
a

a
a

a
a
a

a
a

a

a 1

1
1

1
1
.

1 2 2 

















b/ Ta có

a
a

a

M  11 1 , vì a > 0 => a 0 => 1 0

a nên 1

1
1 

a

Vậy M < 1.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>


























x
x
x
x

x
x
x
x
P
2
2
2
2
2
1
3
1
1

a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức P.

c/ Tính giá trị của P với x3 2 2.

Giải:

a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :

















0
2
1
0
2
0
1
0
x
x
x
x



































3

2

1

3

2

1

0 x

b/ Đkxđ : x1;x 2;x 3


























x
x
x
x
x

x
x
x
P
2
2
2
2
2
1
3
1
1













 











































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2

2
2
2
2
1
2
1
2
1
3
1
1
1
   











x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x





















2
2
2
.
2
1
2
1
3
1
1
 













x
x
x

x
x
x
x
x
x
x





















2
2

.
3
2
1
3
1
1









 
x
x
x
x
x
x
x

x          

 1 1 2. 1 2. 1 2

c/ Thay





1
2
2
2

3  


x vào biểu thức

x
x

P 2 , ta có:









2 1

1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2














P 2 1

1
2
1





* Nhận xét về phương pháp giải:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

* Ví dụ 3: Cho biểu thức

9
11
3
3
1

3
2
2








x
x
x
x
x
x

A với x 3

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.

c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải:

a/ Đkxđ: x3

  

      
     
  
 

   3

3
3
3
3
3
3
3
9
3
3
3
11
3
3
3
6
2
3
3
11
3
3
1

3
2
3
3
11
3
3
1
3
2
9
11
3
3
1
3
2
2
2
2
2
















































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A

b/ Ta có 3 3




x
x

A , A < 2 tức là

 
(*)
0

3
6
0
3
6
2
3
0
3
3
2
3
0
2
3
3
2
3
3





















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi















0

3

0

6 x

 6x3
Vậy với  6x3thì A < 2.

c/ Ta có 3 (9)

3
9
3
9
3
3
3
U
x
x
x
x
x

A   












Mà U(9)1;3;9 nên ta có:

 x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
 x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )
 x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )

Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên.

* Ví dụ 4: Cho biểu thức

























 x
x
x
x
x
x
x
x
B
1
1
.
1
1
1
2 3

3 với x0 và x1

a/ Rút gọn B;
 b/ Tìm x để B = 3.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a/ 






















 x

x
x
x
x
x
x
x
B
1
1
.
1
1
1
2 3
3































. 1







1
2
1
.
1
.
1

1
2
1
1
1
.
1
.
1
1
1
2
2





































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

b/ Ta có B x 1 và B = 3, tức là x13 x 4 x16 ( t/m đkxđ)

Vậy với x = 16 thì B = 3.

* Ví dụ 5: Cho biểu thức

3 3
3
3
:
1
1
2
.

1
1
xy
y
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A


























 với x > 0 , y > 0

a/ Rút gọn A;

b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0

a/ 3 3

3
3
:
1
1
2
.
1

1
xy
y
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A









































y
x
xy
y
x
xy
y
xy
x
y
x
xy
y
x
y
x
xy

y
x













 




 . 2 :







  
y
x
xy
y
x
y
x

xy
y
x
xy 









 


 2 :





. .
2
xy
y
x
y
x
xy
xy
y
x 






b/ Ta có 20   2 0







 x y x y xy

 x y 2 xy.

Do đó 1

16
16
2
2





xy
xy
xy

y
x

A ( vì xy = 16 )

Vậy min A = 1 khi 4.

16
x y
x y
xy
 

  





*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TỐN 2

(Đây là dạng tốn cơ bản và có tính tổng hợp cao)

Bước 1

: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bước 2

: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép

biến đổi căn thức)

+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử

chung.

+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác

khơng.

Bước 3

: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để

kết luận.

Bước 4

: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán.

+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương

trình.

+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại

nghiệm và kết luận.

II. Bài tập:

Bài

1:

Cho biểu thức

2 2

1 3 : 1

3 3 27 3 3

x
A

x

x x x

 

 

   

   

  



 

1) Rút gọn A

2) Tìm x để A < –1

Bµi 2: Cho biĨu thøc A = x 1 x x x x

2 2 x x 1 x 1

     

 

   

     

   

a) Rót gän biĨu thøc A;

b) Tìm giá trị của x để A > - 6.

Bµi 3: Cho biĨu thøc B = x 2 1 : x 2 10 x

x 4 2 x x 2 x 2

    

   

   

       

 

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm giá trị của x để A > 0.

Bµi 4: Cho biÓu thøc C = 1 3 1

x 1 x x 1 x     x 1
a) Rót gän biĨu thøc C;

b) Tìm giá trị của x để C < 1.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2 2

x 2 x 4 x 2 x 4

D =

x 2 x 4 x 2 x 4

     



     

;

b) P = 1 x x 1 x x

x 1 x 1

     

 

   

     

   

;

1 x 1

Q = :

x x x x x x



  

;

d) H = x 1 2 x 2

x 2 1

  

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bµi 7: Cho c¸c biĨu thøc P = 2x 3 x 2

x 2

 



vµ

x x 2x 2
Q =

x 2

  


a) Rót gän biĨu thøc P vµ Q;

b) Tìm giá trị ca x P = Q.

Bài 8: Cho các biĨu thøc 




































3
2
2

3
6

9
:
9
3
1

x
x
x
x
x

x
x
x

x
x
B

a) Rót gän biĨu thøc B.
b) Tìm x để B > 0 .

c) Với x > 4 ; x 9 , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1).

Bµi 9: Cho biĨu thøc P = 3x 9x 3 1 1 : 1

x 1

x x 2 x 1 x 2

   

 

 

      

 

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để 1

P lµ số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3.

Bµi 10: Cho biĨu thøc : P = x 2 x 3 x 2 : 2 x

x 5 x 6 2 x x 3 x 1

      

  

   

        

   

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để

1

5 P



2

Bµi 11: Cho A 2x 5 x 1 x 10
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6

 

  

      víi x  0. Chứng minh

rằng giá trị của A không phơ thc vµo biÕn sè x.

Bµi 12: Cho biĨu thøc

M = 

































1
1
1

1
:

1
1
1

ab
a
ab
ab

a
ab

ab

a

a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị của M nếu a=2 3 và b=

3
1

1
3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nÕu a  b 4

Email:

</div>


rut gon

Chuyên đề rút gọn Lớp 9(P.Hinh)

Rút Gọn Phân Thức

Bài toán Rút gọn trong đề thi

DS 8 TIET 23 LUYEN TAP RUT GON PHAN THUC

GAĐT - RÚT GỌN PHÂN THỨC

Rút gọn BT có chứa căn thức bậc hai(T13)

Đề thi chuyên Amsterdam- Dạng toán rút gọn

ON TAP VAO LOP 10 CHUYEN DE RUT GON PHANTHUC

CD RUT GON BT DS

<b>Chuyên đề :</b>

<b>Rút gọn biểu thức</b>

<b>A. MỞ ĐẦU </b>

<b>B. NỘI DUNG</b>

<i><b>*Kiến thức lý thuyết cần chú ý:</b></i>

<b>1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:</b>

<b>2. Các công thức biến đổi căn thức:</b>

<b>1. (A+B)</b>

<b><sub> = A</sub></b>

<b><sub> +2AB +B</sub></b>

<b>2. (A – B)</b>

<b><sub> = A</sub></b>

<b><sub> –2AB +B</sub></b>

<b>3. A</b>

<b><sub> –B</sub></b>

<b><sub> = (A-B )(A+B) </sub></b>

3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân

tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của

một phân thức.

4. Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta

có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử

( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi

dấu phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.

<i><b>* Các dạng bài tập:</b></i>

<i><b>* DẠNG1</b></i>

<i>:</i>

<i><b> </b></i>

<b>RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:</b>

<i><b>I.Các ví dụ:</b></i>









a/

b/

c/

<i><b> Giải:</b></i>

a/



 





 



b/

 





















c/







 

 

 





 





 









 









 