CD HE THONG KIEN THUC TOAN THCS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.21 MB, 61 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Hệ thống kiến thức cơ bản

Môn : Hình Học - THCS

Website:

1. Điểm - Đờng thẳng

- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A,
B, C, ... để đặt tên cho điểm

- BÊt cứ hình nào cịng lµ mét tập
hợp các điểm. Một điểm cũng là một
hình.

- Ngi ta dùng các chữ cái thờng a, b,
c, ... m, p, ... để đặt tên cho các đờng
thẳng (hoặc dùng hai chữ cái in hoa
hoặc dùng hai chữ cái thờng, ví dụ 
đ-ờng thẳng AB, xy, ... )

- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C
nằm trên đờng thẳng a hoặc đờng
thẳng a đi qua điểm C), kí hiệu là:

Ca

- Điểm M không thuộc đờng thẳng a
(điểm M nằm ngoài đờng thẳng a

hoặc đờng thẳng a không đi qua
điểm M), kí hiệu là: Ma

2. Ba điểm thẳng hàng

- Ba im cựng thuc mt ng thẳng ta
nói chúng thẳng hàng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Hai đờng thẳng AB và BC nh
hình vẽ bên là hai đờng thẳng
trùng nhau.

- Hai đờng thẳng chỉ có một điểm
chung ta nói chúng cắt nhau, điểm
chung đó đợc gọi là giao điểm
(điểm E là giao điểm)

- Hai đờng thẳng khơng có điểm
chung nào, ta nói chúng song song
với nhau, kí hiệu xy//zt

4. Khái niệm về tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau

- Hình gồm điểm O và một phần đờng
thẳng bị chia ra bởi điểm O đợc gọi là
một tia gốc O (có hai tia Ox và Oy nh
hình vẽ)

- Hai tia chung gốc tạo thành đờng
thẳng đợc gọi là hai tia đối nhau (hai

tia Ox và Oy trong hình vẽ là hai tia đối

nhau) - Hai tia chung gốc và tia này nằm trêntia kia đợc gọi là hai tia trùng nhau
- Hai tia AB và Ax là hai tia trựng nhau

5. on thng, di on thng

- Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm
A, điểm B và tất cả các điểm nằm
giữa A và B

- Hai điểm A và B là hai mút (hoặc

hai u) ca on thng AB. - Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dion thng l mt s dng

6. Khi nào thì AM + MB = AB ?

- Nếu điểm M nằm giữa hai điểm
A và B thì AM + MB = AB. Ngợc
lại, nếu AM + MB = AB thì điểm
M nằm giữa hai điểm A và B

7. Trung điểm của đoạn th¼ng

- Trung điểm M của đoạn thẳng
AB là điểm nằm giữa A, B và cách
đều A, B (MA = MB)

- Trung ®iĨm M của đoạn thẳng
AB còn gọi là điểm chính giữa của

đoạn thẳng AB

8. Na mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau

- Hình gồm đờng thẳng a và một
phần mặt phẳng bị chia ra bởi a 
đ-ợc gọi là một nửa mặt phẳng bờ a
- Hai nửa mặt phẳng có chung bờ 
đ-ợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối
nhau (hai nửa mặt phẳng (I) và (II)
đối nhau)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Góc là hình gồm hai tia chung gốc,
gốc chung của hai tia gọi là đỉnh
của góc, hai tia là hai cạnh của góc 
- Góc xOy kí hiệu là xOy hoặc O
hoặc xOy

- Điểm O là đỉnh của góc
- Hai cạnh của góc : Ox, Oy

- Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai
tia đối nhau

10. So sánh hai góc, góc vuông, góc nhọn, góc tù.

- So sánh hai góc bằng cách so sánh
các số đo cđa chóng

- Hai góc xOy và uIv bằng nhau đợc kí

hiệu là: xOy uIv

- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:

   

xOyuIv uIv xOy

- Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, lµ góc
vuông

- Góc nhỏ hơn góc vuông là góc nhọn
- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ hơn
góc bẹt là góc tù.

11. Khi nào thì

xOy

yOz

xOz

- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và
Oz thì xOy yOz xOz .

- Ngợc lại, nếu

xOy

yOz

xOz

thì
tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Hai góc kề nhau là hai góc có một
cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm
trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có
bờ chứa cạnh chung.

- Hai gãc phô nhau lµ hai gãc có
tổng số đo bằng 900

- Hai góc bù nhau là hai gãc cã tỉng
sè ®o b»ng 1800

- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau
đợc gọi là hai góc kề bự

13. Tia phân giác của góc

- Tia phân giác của một góc là tia nằm
giữa hai cạnh của góc và t¹o víi hai
c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau

- Khi:xOz zOy xOy và xOz = zOy  
=> tia Oz là tia phân giác của góc xOy
- Đờng thẳng chứa tia phân giác của
một góc là đờng phân giác của góc đó
(đờng thẳng mn là đờng phân giỏc ca
gúc xOy)

14. Đờng trung trực của đoạn thẳng

a) Định nghĩa: Đờng thẳng vng góc với
một đoạn thẳng tại trung điểm của nó đợc gọi
là đờng trung trực của đoạn thẳng ấy

b) Tỉng qu¸t:

a là đờng trung trực của AB
  



a AB t¹i I
IA =IB

15. Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng
a

I B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Các cặp góc so le trong:



1 3

A và B ; A và B 4  2.
b) Các cặp góc đồng vị:

 

1 1

A vµ B ; A vµ B 2  2;

 

3 3

A vµ B ; A và B 4 4.

c) Khi a//b thì:

1 2

A vµ B ; A vµ B 4 3 gọi là các cặp
góc trong cùng phía bù nhau

16. Hai đờng thẳng song song
a) Dấu hiệu nhận biết

- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng
thẳng a, b và trong các góc tạo thành
có một cặp góc so le trong bằng nhau
(hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau)
thì a và b song song với nhau

b) Tiên đề Ơ_clít

- Qua một điểm ở ngoài một đờng
thẳng chỉ có một đờng thẳng song
song với đờng thẳng đó

c, Tính chất hai đờng thẳng song song

- Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:
 Hai góc so le trong bằng nhau;

 Hai góc đồng vị bằng nhau;

 Hai góc trong cùng phía bù nhau.

1

4

2

3

4

3

2

1 b

a

B

A

c

b

a

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Hai đờng thẳng phân biệt cùng vng góc
với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song
với nhau

a c

a / / b
b c

 


 

- Một đờng thẳng vuông góc với một trong
hai đờng thẳng song song thì nó cũng
vng góc với đờng thẳng kia

c b

c a
a / / b

 

 




e) Ba đờng thẳng song song

- Hai đờng thẳng phân biệt cùng
song song với một đờng thẳng thứ
ba thì chúng song song với nhau

a//c vµ b//c => a//b

17. Gãc ngoµi cđa tam giác

a) Định nghĩa: Góc ngoài của một
tam giác là gãc kỊ bï víi mét gãc cđa
tam gi¸c Êy

b) TÝnh chất: Mỗi góc ngoài của tam
giác bằng tổng hai gãc trong kh«ng kỊ
víi nã

  

ACx AB

18. Hai tam giác bằng nhau

c

b

a

c

b

a

c

b

a

x

C

B

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau
là hai tam giác có các cạnh tơng ứng bằng
nhau, các góc tơng ứng bằng nhau

  

ABC A 'B 'C '

AB A 'B '; AC A 'C '; BC B 'C '
A A '; B B '; C C '

 

  



 

  





b) C¸c trờng hợp bằng nhau của hai tam giác
*) Trờng hợp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh

(c.c.c)

- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó
bằng nhau

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB A ' B '

AC A 'C ' ABC A 'B 'C '( c.c.c )
BC B 'C '

 

 



   





*) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh

(c.g.c)

- Nu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác
này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam
giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB A ' B '

 

 



C

'

B'

A'

C

B

C'

B'

A'

C

B

A

C

B

A

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam
giác này bằng một cạnh và hai góc kề
của tam giác kia thì hai tam giác đó
bằng nhau

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
B B '

BC B 'C ' ABC A ' B 'C '(g.c.g )
C C '



c) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

Trng hp 1: Nu hai cạnh góc vng của tam giác vng này bằng
hai cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó
bằng nhau.

 Trờng hợp 2: Nếu một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của
tam giác vng này bằng một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh
ấy của tam giác vng kia thì hai giác vng đó bằng nhau.

 Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vng
này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vng kia thì hai
tam giác vng đó bằng nhau.

A

B

C

A'

B'

C'

B'

A'

C

B

A

C'

B'

A'

C

B

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác
vng này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng
kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.

19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam
giác (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong
tam giác)

- Trong một tam giác, góc đối diện với
cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

 

ABC : NÕu AC > AB th× B > C



 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn
 ABC : Nếu B > C thì AC > AB 

20. Quan hệ giữa đờng vng góc và đờng xiên, đờng xiên và hình
chiếu

Khái niệm đờng vng góc, đờng xiên, hình chiếu của đờng xiên
- Lấy Ad, kẻ AH d, lấy Bd và BH. Khi đó:

- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vng góc kẻ

A

B

C A'

B'

C'

B'

A'

C

B

A

B

C

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vng góc:

Trong các đờng xiên và đờng vng góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đờng
thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vng góc là đờng ngắn nhất.

Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:

Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngồi một đờng thẳng đến đờng
thẳng đó, thỡ:

Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiÕu lín h¬n

 Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc lại,
nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.

21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ
dài cạnh còn lại.

AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB

- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ
dài cạnh còn lại.

AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC

- Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn
hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

VD: AB - AC < BC < AB + AC

C

B

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

21. Tính chất ba đờng trung tuyến của tam giác

- Ba đờng trung tuyến của một tam giác cùng đi
qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng
bằng 2

3 độ dài đờng trung tuyến đi qua đỉnh ấy:
GA GB GC 2

DA  EB FC 3

G là trọng tâm của tam gi¸c ABC

22. Tính chất ba đờng phân giác của tam giác
- Ba đờng phân giác của một tam giác
cùng đi qua một điểm. Điểm này cách
đều ba cạnh của tam giác đó

- Điểm O là tâm đờng trịn nội tiếp tam
giác ABC

23. Tính chất ba đờng trung trực của tam giác

- Ba đờng trung trực của một tam 
giác cùng đi qua một điểm. Điểm này 
cách đều ba đỉnh của tam giác đó
- Điểm O là tâm đờng trũn ngoi tip 
tam giỏc ABC

24. Phơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản 
(sử dụng một trong các cách sau đây)
a) Chứng minh tam giác cân

1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau

3. Chứng minh tam giác đó có đờng trung tuyến vừa là đờng cao

G

D

F

E

C

B

A

O

C

B

A

O

C

B

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

5. Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng là
hình bình hnh

d) Chứng minh một tứ giác là hình thang:

Ta chứng minh tứ giác đó có hai cạnh đối song song
e) Chứng minh một hình thang là hình thang cân

1. Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
2. Chứng minh hình thang có hai đờng chéo bằng nhau
f) Chứng minh một tứ giác là hỡnh ch nht

1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật
3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

4. Hỡnh bỡnh hnh cú hai đờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật
g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi

1. Tø gi¸c cã bèn cạnh bằng nhau

2. Hình bình hành có hai cạnh kề b»ng nhau

3. Hình bình hành có hai đờng chéo vng góc với nhau

4. Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giác của mộtgóc
h) Chứng minh một tứ giác là hình vng

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
2. Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc

3. Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc
4. Hình thoi có một góc vng

5. Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau

25. Đờng trung bình của tam giác, của hình thang
a) Đờng trung bình của tam giác

Định nghĩa: Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung
điểm hai cạnh của tam giác

Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba
và bằng nửa cạnh ấy

DE l ng trung bỡnh của tam giác

1
DE / / BC, DE BC



E

C

B

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

b) Đờng trung bình của hình thang

Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung
điểm hai cạnh bên của hình thang

Định lí: Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa

tổng hai đáy

EF là đờng trung bình của
 hình thang ABCD

EF//AB, EF//CD, EF AB CD
2

26. Tam giỏc ng dng

a) Định lí Ta_lét trong tam gi¸c:

- Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì
nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ

AC '
AB '

B 'C '/ / BC ;
AB AC
AC ' C 'C
AB ' ; B 'B

B 'B C 'C AB AC

 

 

b) Định lí đảo của định lí Ta_lét:

- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh
này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song song với cạnh
cịn lại của tam giác

VÝ dơ: AB ' AC ' B 'C '/ /BC

AB  AC  ; Các trờng hợp khác tơng tự

c) H qu ca định lí Ta_lét

- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với 
cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng 
tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Hệ quả còn đúng trong trờng 
hợp đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo 
dài của hai cạnh còn lại (B 'C '/ / BC AB ' AC ' B 'C '

AB AC BC

   )

F
E

D C

B
A

C'

B'

a

C

B

A

C' B'

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

- Đờng phân giác trong (hoặc ngoài) của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai

đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn đó

DB AB
DC  AC

D 'B AB
D 'C  AC

e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :

- Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc tơng ứng bằng nhau và
các cạnh tơng ứng tỉ lệ

     

A A '; B B '; C C '
ABC A 'B 'C ' AB AC BC

k( tỉ số đồng dạng )
A 'B ' A 'C ' B 'C '

   



   

  




f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:

- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh cịn lại thì

nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

MN / / BC AMN ABC

*) Lu ý: Định lí cũng đúng đối với trờng
hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh
của tam giác và song song với cạnh còn lại

g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác

*)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác
kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AC BC

AB ABC A 'B 'C '( c.c.c )
A 'B ' A 'C' B 'C '

 

    

D' B C

D C

a

N

M

C

B

A

C

'

B'

A'

C

B

A

S

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam
giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
BC

A 'B ' B 'C ' ABC A ' B 'C '( c.g.c)
B B '

 



 

  




 

*)Trờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của tam
giác kia thì hai tam giác đồng dạng;

 
 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
A A '

ABC A 'B 'C '(g.g )
B B '

 



 

  


 

h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

*)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vng có một góc nhọn bằng nhau thì
chúng đồng dạng.

 
 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
A A ' 90

ABC A ' B 'C '
C C '

 



  

  



 

C'

B'

A'

C

B

A

C

'

B'

A'

C

B

A

S

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này tỉ lệ với hai
cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giỏc ú ng dng.

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' cã:
AC

AB ABC A 'B 'C '
A 'B '  A 'C'   

*)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ
lệ với cạnh góc vng và cạnh huyền của tam giác vuụng kia thỡ hai giỏc ú
ng dng.

Hai tam giác vuông ABC vµ A'B'C' cã:
BC

AB ABC A 'B 'C '
A 'B '  B 'C'   

27. Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số
đồng dạng

- Tỉ sơ diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phơng tỉ số
đồng dạng

- Cơ thĨ : A 'B 'C ' ABC theo tØ sè k

=> A 'B 'C' 2

ABC

A 'H ' k vµ k

AH  S

28. Diện tích các hình

C'

B'

A

C

B

A

C'

B'

A'

C

B

A

h

a

S

h

a

S

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Sa b Sa2 S 1 ah

 S 1 ah



1
S ah

 S 1 (a b)h EF.h

  



S a h

1 2

S d d
2

 

29. Học sinh cần nắm vững các bài tốn dựng hình cơ bản 
(dùng thớc thẳng, thớc đo độ, thớc có chia khoảng, compa, êke)
a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trớc;

b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc;

c) Dựng đờng trung trực của một đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm của
một đoạn thẳng cho trớc;

d) Dựng tia phân giác của một góc cho trớc;

e) Qua một điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vng góc với một đờng thẳng cho
trớc;

f) Qua một điểm nằm ngoài một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng song
song với một ng thng cho trc;

g) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa, hoặc
biết một cạnh và hai góc kề.

h

a

F

E

b

h

a

h

a

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

30. Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9)

a) Mt số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

 b2 ab '
 c2 ac '

 a2 b2 c2 (Pi_ta_go)
 bc = ah

 h2 b ' c '

 12 12 12

b c h

b) Tỉ số lợng giác cña gãc nhän

 Định nghĩa các tỉ số lợng giác của góc nhọn
cạnh đối

sin

c¹nh hun

  cos c¹nh kỊ

c¹nh hun
 

cạnh đối
tg

c¹nh kỊ

  cot g cạnh kề
cạnh đối


Một số tính chất của các tỉ số lợng gi¸c

+) Định lí về tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau
 Cho hai góc α và β phụ nhau. Khi đó:

sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ.
+) Cho 00   900. Ta cã:

0sin 1; 0cos 1; sin2 cos2 1 
 tg sin ; cot g cos ; tg .cotg 1

cos sin

 

      

 

 So s¸nh các tỉ số lợng giác

0 0

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0     90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cot g cot g

c) Một sốhệ thức về cạnh và góc trong tam giác vu«ng

a

H

h

b'

b

c'

c

C

B

A

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b = a.sinB; c = a.sinC
b = a.cosC; c = a.cosB
b = c.tgB; c = b.tgC
b = c.cotgC; c = b.cotgB

=> a = b c b c

sinB  sinC  cosC  cosB

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

- Đờng tròn tâm O, bán kính R là hình
gồm các điểm cách O một khoảng bằng
R, kí hiệu (O ; R).

- Hình trịn là hình gồm các điểm nằm

trên đờng tròn và các điểm nằm bờn
trong ng trũn ú.

- Trên hình vẽ:

+) Cỏc điểm A, B, C, D nằm trên (thuộc)
đờng tròn; OA = OB = OC = OD = R. 
+) M nằm bên trong đờng tròn; OM < R
+) N nằm bên ngồi đờng trịn; ON > R
+) Đoạn thẳng AB là dây cung (dây)
+) CD = 2R, là đờng kính (dây cung lớn
nhất, dây đi qua tâm)

+) AmB lµ cung nhá (00   1800)
+) AnB lµ cung lín

+) Hai điểm A, B là hai mút của cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đờng trịn 
đ-ợc gọi là góc ở tâm (AOB là góc ở tâm
chắn cung nhỏ AmB)

- Góc bẹt COD chắn nửa đờng tròn
- Số đo cung:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của
góc ở tâm chắn cung đó



s® AmB  (00   1800)

+) Sè ®o cđa cung lớn bằng hiệu giữa
3600 và số đo cđa cung nhá (cã chung
hai mót víi cung lín)

 0

s® AnB360  

+) Số đo của nửa đờng tròn bằng 1800,
số đo của cả đờng tròn bằng 3600

32. Quan hệ vng góc giữa đờng kính và dây

- Trong một đờng tròn, đờng kính vng
góc với một dây thì đi qua trung điểm của
dây ấy

AB CD t¹i H => HC = HD

- Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua
trung điểm của một dây khơng đi qua tâm
thì vng góc với dây ấy

33. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây



0 0

0   180

180

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Định lí 1: Trong một đờng trịn

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD

Định lí 2: Trong hai dây của một đờng trịn 
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD

34. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn
a) Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau (cú
hai im chung)

- Đờng thẳng a gọi là cát tuyến cđa (O)
d = OH < R vµ HA = HB = 2 2

R  OH

b) Đờng thẳng và ng trũn tip xỳc nhau
(cú mt im chung)

- Đờng thẳng a là tiếp tuyến của (O)
- Điểm chung H là tiÕp ®iĨm

d = OH = R

*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đờng thẳng là
tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vng góc
với bán kính đi qua tiếp điểm.

a là tiếp tuyến của (O) tại H => a OH

c) Đờng thẳng và đờng trịn khơng giao
nhau (khơng có điểm chung)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

 

H O

a là tiếp tuyến của (O)
a OH tại H



36. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; đờng tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác
a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của

một đờng tròn cắt nhau tại một điểm
thì:

 Điểm đó cách đều hai tiếp
điểm

 Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm
là tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến

 Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó
là tia phân giác của góc tạo bởi
hai bán kính đi qua các tiếp
điểm.

 

ABAC;OABOAC;AOB AOC

b) Đờng tròn nột tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của
tam giác đợc gọi là đờng trịn nội tiếp
tam giác, khi đó tam giác gọi là tam
giác ngoại tiếp đờng tròn

- Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác
là giao điểm của các đờng phân giác
các góc trong của tam giác

c) Đờng trịn bàng tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của
một tam giác và tiếp xúc với các phần
kéo dài của hai cạnh kia gọi là đờng
tròn bàng tiếp tam giác

- Tâm của đờng tròn bàng tiếp là giao
điểm của hai đờng phân giác các góc
ngồi tại hai đỉnh nào đó hoặc là
giao điểm của một đờng phân giác
góc trong và một đờng phân giác góc

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

37. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn, tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.
a) Hai đờng trịn cắt nhau

(cã hai ®iĨm chung)
- Hai ®iĨm A, B là hai giao điểm
- Đoạn thẳng AB là dây chung

R - r < OO' < R + r

- Đờng thẳng OO’ là đờng nối tâm, đoạn
thẳng OO’ là đoạn nối tâm

*) Tính chất đ ờng nối tâm : Đờng nối

tâm là đờng trung trực của dây chung
b) Hai đờng trịn tiếp xúc nhau

(cã mét ®iĨm chung)
- Điểm chung A gọi là tiếp điểm

+) Tiếp xúc ngoài t¹i A:

OO'Rr

+) TiÕp xóc trong t¹i A:

OO'R r

c) Hai đờng trịn khơng giao nhau
(khơng có điểm chung)

+) ë ngoµi nhau:

OO'Rr

+) §ùng nhau:

OO'R r

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

d) Tiếp tuyến chung của hai đờng
tròn

- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn là
đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng

trịn đó

- TiÕp tun chung ngoài không cắt
đoạn nối tâm

- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối
tâm

38. So sỏnh hai cung trong mt đờng tròn hay trong hai đờng tròn
bằng nhau.

- Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đợc gọi là cung lớn hơn
- Kí hiệu: AB CD; EF GH GH EF

39. Liên hệ giữa cung và dây.
*) Định lí 1:

Vi hai cung nh trong một đờng tròn hay trong hai
đờng tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

AB CDAB CD ; ABCDABCD

*) Định lí 2:

Vi hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay trong hai
đờng tròn bng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

AB CDAB CD ; ABCDABCD

40. Góc nội tiếp
a) Định nghĩa:

- Gúc ni tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng
trịn và hai cạnh chứa hai dây cung của 
đ-ờng trịn đó.

- Cung nằm bên trong góc đợc gọi là cung bị
chắn

b) §Þnh lÝ:

Trong một đờng trịn, số đo của góc nội tip

bằng nửa số đo của cung bị chắn cung nhỏ BC(hình a) và chắnBAC là góc nội tiếp chắn
cung lớn BC(hình b)

BAC

 sđ BC
 c) Hệ quả: Trong một đơng trũn

+) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung b»ng nhau

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

+) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở
tâm cùng chắn một cung

+) Gúc ni tip chắn nửa đờng trịn là góc vng.

41. Gãc t¹o bëi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Khái niệm:

- Gúc to bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có
đỉnh nằm trên đờng tròn, một cạnh là một tia
tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đờng
tròn

- Cung n»m bên trong góc là cung bị chắn
- Hình vẽ:

BAx ch¾n cung nhá AmB
 BAy ch¾n cung lớn AnB
b) Định lí:

- Số đo cđa gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn và dây
cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

c) Hệ quả:

Trong mt ng trũn, gúc to bi tia tiếp tuyến
và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung
thì bằng nhau.



BAx ACB 12s®AmB

 

BAx s® AmB
2

BAy s® AnB
2




42. Góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn. Góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn.
a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn.

- Góc có đỉnh nằm bên trong đờng trịn đợc gọi
là góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn

- Hình vẽ: BEC là góc có đỉnh ở bên trong đờng
trịn chắn hai cung là BnC , AmD 

- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn
bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

 s®BnC s® AmD 
BEC 

o
e

c
a

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

b) Góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn.

- Góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn là góc có
đỉnh nằm ngồi đờng trịn và các cạnh đều có
điểm chung với đờng trịn

- Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong
góc, hình vẽ bên: BEC là góc có đỉnh ở bên
ngồi đờng trịn, có hai cung bị chắn là

 

AmD vµ BnC

- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đờng tròn
bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

 sđBnC sđ AmD
BEC

43. Kết quả bài toán quỹ tích cung chứa góc

a) Bài toán: Với đoạn thẳng AB vµ gãc  (

0 0

0   180 ) cho tríc th× quỹ tích các điểm M

thỏa mÃn AMB lµ hai cung chứa góc 
dựng trên đoạn thẳng AB

- Hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB
đối xứng với nhau qua AB

- Khi α = 900 thì hai cung chứa góc là hai nửa

đ-ờng trịn đđ-ờng kính AB, suy ra: Quỹ tích các
điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới một góc
vng là đờng trịn đờng kính AB (áp dụng kiến
thức này để chứng minh tứ giác nội tiếp)

O
D

C
A m

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

b) C¸ch vÏ cung chøa gãc α

- Vẽ đờng trung trực d của đoạn thẳng AB.
- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc



( BAx = )
- Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax . Gọi O là giao
điểm của Ay với d

- VÏ cung AmB, tâm O bán kÝnh OA sao cho
cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không
chứa tia Ax.

c) Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M tháa m·n tÝnh chÊt T

là một hình H nào đó, ta chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H 
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T

KÕt ln: Q tÝch (hay tËp hỵp) các điểm M có tính chất T là hình H

44. Tø gi¸c néi tiÕp

a) Kh¸i niƯm tø gi¸c néi tiÕp

- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn
đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (gi tt l t
giỏc ni tip)

b) Định lí:

- Trong mt tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối
diện bằng 1800

Tø gi¸c ABCD néi tiÕp
(O), suy ra:

    0

A CBD180

c) DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp

 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

45. Đờng tròn ngoại tiếp. Đờng tròn nội tiếp

- ng tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa
giác đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp đa giác và
đa giác đợc gọi là đa giác nội tiếp đờng tròn
- Đờng tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một
đa giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp đa giác và
đa giác đợc gọi là đa giác ngoại tiếp đờng trịn
- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một
đờng tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đờng
tròn nội tiếp.

- Trong đa giác đều, tâm của đờng tròn ngoại
tiếp trùng với tâm của đờng tròn nội tiếp và đợc
gọi là tâm của đa giác đều.

46. Một số định lí đợc áp dụng : (khơng cần chứng minh)
a) Định lí 1:

+) Tâm của đờng trịn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh
huyền

+) Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng trịn ngoại tiếp thì
tam giác đó là tam giác vng

b) §Þnh lÝ 2:

Trong một đờng trịn, hai cung bị chắn gia hai dõy song song thỡ bng
nhau

c) Định lí 3:

Trong một đờng trịn, đờng kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì
đi qua trung điểm của dây căng cung y.

d) Định lí 4:

Trong mt đờng tròn, đờng kính đi qua trung điểm của một dây cung
(khơng phải là đờng kính) thì chia cung cng dõy y thnh hai cung bng
nhau

e) Định lÝ 5:

Trong một đờng trịn, đờng kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì
vng góc với dây căng cung ấy và ngợc lại, đờng kính vng góc với một
dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.

47. Độ dài đờng tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn
a) Độ dài đờng trịn

Cơng thức tính độ dài đờng tròn (chu vi hình
trịn) bán kính R là:

C =2 R  Hoặc C =d
Trong đó: C : là độ dài đờng tròn

R: là bán kính đờng trịn
 d: là đờng kính đờng trịn

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

3,1415...

là số vô tỉ.

b) Độ dài cung tròn

Độ dài cung tròn n0 là: .
180

R n
l 
Trong đó: l : là độ dài cung tròn n0
 R: là bán kính đờng trịn
 n: là số đo độ ca gúc tõm

c) Diện tích hình tròn

2
.

S R

Trong ú:

S : là diện tích hình tròn . 
R : là bán kính hình tròn . 
 3 , 14

d) Diện tích hình quạt tròn
2

quat
R
S =

360
n



Hc .

quat

R
S

Trong ú:

S là diện tích hình quạt tròn cung
n0

R là bán kính

l

l độ dài cung n0 của hình quạt
trịn

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

phân dạng và phơng pháp giải

Môn : Đại Số - THCS

Website:

I - Các loại phơng trình

1. Phơng trình bậc nhất

- Phơng trình bậc nhất là phơng trình có dạng ax + b = 0 (a0)
- Phơng trình có nghiệm duy nhất x = b

- Chú ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển về dạng Ax = B và xét
các trờng hợp sau:

Nếu A 0 phơng trình có nghiệm x = B



 NÕu A = 0 , B 0 phơng trình trở thành 0.x = B 
=> phơng trình v« nghiƯm

 NÕu A = 0, B = 0 => phơng trình vô số nghiệm
2. Phơng trình tích

- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0

- Cách giải: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hc B(x) = 0
- Trình bày gọn : A(x).B(x) = 0 <=> A( x ) 0

B( x ) 0









- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=>

A( x ) 0
B( x ) 0
C( x ) 0

3. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu

- Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo 4 bớc:
Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của phơng tr×nh

 Bớc 2: Quy đồng mẫu hai vế của phơng trình rồi khử mẫu
 Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc

 Bíc 4: (kÕt luËn)

Trong các giá trị của ẩn tìm đợc ở bớc 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ
chính là nghiệm của phơng trình đã cho, giá trị của x không thuộc
ĐKXĐ là nghiệm ngoại lai (loại đi)

4. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Định nghĩa: A A nếu A 0

A nếu A < 0

- Các dạng phơng trình 
f ( x )  0 f ( x )0

 f ( x ) k( k 0 )f ( x )k

 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )




  

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Hay f ( x ) g( x ) 



f ( x )



2 



g( x )



2, đa về phơng trình tích

f ( x ) g( x ) <=>

f ( x ) 0
f ( x ) g( x )

  






 
 

 

 hc <=>

g( x ) 0
f ( x ) g( x )

  





 
 

 

Hc <=> g( x ) 0

f ( x ) g( x ) hc f ( x ) g( x )




 

Hc <=>









g( x ) 0

f ( x ) g( x )









- Chó ý: A2 A2; A A vµ A B AB A B

5. Phơng trình v« tØ

 f ( x ) A( A 0 )f ( x )A2 (với f(x) là một đa thức)

f ( x ) 0
g( x ) 0
f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )



 
  
 



f ( x ) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0

f ( x ) g( x )




  
 


*)Lu ý: Hầu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác
định điều kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng đơng. Nếu

khơng có thể th li trc tip.

6. Phơng trình trùng phơng

Phơng 
trình trùng phơng là phơng trình có dạng:

4 2

ax bx c 0 (a0 )

Đặt x2 = t (t0), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc
hai ẩn t : at2 bt c 0 (*)

Giải phơng trình (*), lấy những giá trị thích hợp thỏa mÃn t0

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d = 
2
c
a

 
 
 

).
Ph

ơ ng ph á p:

Với x = 0, thay vào phơng trình và kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm hay
không ?

Vi x 0. Chia c hai vế cho x2, sau đó ta đặt t = x + c

d) Phơng trình bậc 4 d¹ng:

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)
Ph

ơ ng ph á p: Đặt t = x2 + mx + abcd

e) Phơng trình bậc bốn d¹ng:

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k)
Ph

ơ ng ph á p:

Chia cả hai vế cho x2. Đặt t = x + k

II- Bất phơng trình bậc nhất một ẩn

1) Định nghĩa:

Mt bt phng trỡnh dng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0) với a



0

đợc gọi
là một bất phơng trình bc nht mt n

2) Cách giải: ax + b > 0 <=> ax > - b
NÕu a > 0 th×

x

b

a

 

NÕu a < 0 th×

x

b

a

 

3) KiÕn thøc cã liªn quan:

 Hai bất phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập
nghiệm và dùng kí hiệu <=> để chỉ sự tơng đơng đó

 Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ vế
này sang vế kia của bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử đó => ta
có thể xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế

 Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của một bất phơng trình với cùng một
số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dơng; đổi chiều
BPT nếu số đó âm.

4) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c

- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu)
a > b, c > d => a + c > b + d
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b
- Víi mäi sè thùc a, b, c,

+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc
+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc

- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> 3 3

a



b

vµ a > b <=>
3 3

a



b

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

A, nÕu A

0 A

A, nÕu A < 0.











Ta cã: A2≥ 0, |A| ≥ 0, 2

A



A

- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b là hai số thực không âm, ta có:

a

b

ab

2 



DÊu “=” x¶y ra <=> a = b

III – Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, cn bc ba.

1. Dạng 1 : Rút gọn và tính giá trị các biểu thức hữu tỉ

- Khi thực hiện rút gọn một biểu thức hữu tỉ ta phải tuân theo thứ tự
thực hiện các phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau. Còn nếu biểu thức có
các dấu ngoặc thì thực hiện theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn.

- Vi nhng bi toỏn tỡm giỏ tr của phân thức thì phải tìm điều kiện
của biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)

2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

- BiĨu thøc cã d¹ng A

B xác định (có nghĩa) khi B 0

- Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) khi A 0

- BiĨu thøc cã d¹ng A

B xác định (có nghĩa) khi B > 0

- BiĨu thøc cã d¹ng A B

 xác định (có nghĩa) khi A 0

C 0







- BiĨu thøc cã d¹ng A B

 xác định (có nghĩa) khi A 0

C 0








3. D¹ng 3 : Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn
bậc ba

Lớ thuyt chung:
a) Cỏc cụng thc bin i căn thức

1) 2

A A

2) AB  A B ( víi A 0 vµ B 0)
3) A A (víi A 0 vµ B > 0)

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

6) A 1 AB (víi AB 0 vµ B 0)

B  B  

7) A A B (víi B > 0)
B



8)





C A B

C (víi A 0 vµ A B )

A B A B

  

 



9) C C



A B



(víi A 0 , B 0 vµ A B)
A B

A B

   






*) L u ý :

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ta làm nh sau :
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)

- §a bít thõa sè ra ngoài dấu căn (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nÕu cã)

- Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , … theo
thứ tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng

- Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng)
b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 2    

( a b) a 2 a.b b (a,b 0)

2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

 2    

( a b) a 2 a.b b (a,b 0)

3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)

    

a b ( a b).( a b) (a,b 0)

4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6) a3 b3 (a b)(a 2  abb )2

   

  3  3  3  3     

a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

7) a3  b3 (a b)(a 2 ab b ) 2

   

  3  3  3  3     

a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

9) ( a b  c)2  a bc2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0)

10) a2 a

Phân dạng bài tập chi tiết

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Dạng 3.3 : Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của
biến

Dạng 3.4 : Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu
thức

Dng 3.5 : Tỡm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận
giá trị nguyên

Dạng 3.6 : Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức
Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau khi đã rút gọn
Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Dạng 3.9 : Bi tp tng hp

IV Các dạng toán về hàm số

Lí thuyết chung
1) Khái niệm về hàm số (khái niÖm chung).

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị
của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là
hàm số của x và x đợc gọi là biến số.

*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; ...

*) Chó ý:

Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị khơng đổi thì y
đợc gọi là hm hng.

*) Ví dụ: Các hàm hằng y = 2; y = - 4; y = 7; ...

2) C¸c cách thờng dùng cho một hàm số 
a) Hàm số cho bởi bảng.

b

) Hàm số cho bởi công thức.

- Hm hằng: là hàm có cơng thức y = m (trong đó x là biến,

m

 

)

-Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng cơng thức y = ax + b 
 Trong đó: x là biến,

a,b





, a



0

. 
 a là hê số góc, b là tung gc.

Chú ý: Nếu b = 0 thì hàm bậc nhÊt cã d¹ng y = ax (

a



0

)

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

) y = f(x) đợc gọi là hàm nghịch biến.

Nếu x1 x mà f(x ) > f(x )2 1 2 thì hàm số y = f(x) nghịch biến /R
4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến và hàm nghịch biến.
a) Hàm số bậc nhất y = ax + b (a0).

- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên



.
- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b ln nghịch biến trên



.
b

) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax
2 (



a 0) có thể nhận biết đồng biến và

nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau:

- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
- Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
5) Khái niệm về đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá
trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.

Chú ý: Dạng đồ th:

a) Hàm hằng.

Đồ thị của hµm h»ng y = m

(trong đó x là biến,

m

 

) là một
đờng thẳng luôn song song với
trục Ox.

Đồ thị của hàm hằng x = m (trong
đó y là biến,

m

 

) là một đờng
thẳng luôn song song

víi trơc Oy.

b

) Đồ thị hàm số y = ax (các điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.

a



0

) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp

*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ;
a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị
hàm số y = ax (

a



0

)

c) Đồ thị hàm số y = ax + b (

a,b



0

) là một đờng thẳng (hình ảnh tập

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

®iĨm (b

a , 0).

*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản

+) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh
sau:

Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)

Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax
+ b (

a,b



0

)

+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:
Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy

Cho y = 0 => x = b

 , ta đợc N( b

 ; 0) Ox

Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y = ax
+ b (

a,b

0

)

d

) Đồ thị hàm số y = ax
2 (



a

0

) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0).
Nhận trục Oy làm trục đối xứng

- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.
 - Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.

6) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

*) Hai đờng thẳng y = ax + b (a0) và y = a’x + b’ (a'0)
+ Trùng nhau nếu a = a’, b = b’.

O x

a < 0

O x

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

+

Song song víi nhau nÕu a b c

a '  b '  c '

+

C¾t nhau nÕu a b

a '  b '

7) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a0) và trục Ox

Giả sử đờng thẳng y = ax + b (a0) cắt trục Ox tại điểm A.

Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a0) là góc tạo bởi tia Ax và tia AT
(với T là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng).

-Nếu a > 0 thì góc



tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính

theo cơng thức nh sau: tg a (cần chứng minh mới đợc dùng).

Nếu a < 0 thì góc



tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính 
theo cơng thức nh sau:

 1800   với

tg

a

(cn chng minh mi c dựng).

Phân dạng bài tập chi tiết
Dạng 1: Nhận biết hàm số

Dạng 2: Tính giá trị của hàm số, biến số.

Dng 3: Hm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
a) Hàm số bậc nhất y = ax + b (a0).

- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên



.
- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b ln nghịch biến trên



.
b) Hàm bậc hai một ẩn số y = ax2 (



a 0) có thể nhận biết đồng biến và
nghịch biến theo dấu hiệu sau:

- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
- Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá
trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.

Chú ý: Dạng đồ thị:



x
y

O
(a > 0)

A
T



x
y

O
(a < 0)

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

a) Hàm hằng.

Đồ thị cđa hµm h»ng y = m

(trong đó x là biến,

m

 

) là một
đờng thẳng luôn song song với
trục Ox.

Đồ thị của hàm hằng x = m (trong
đó y là biến,

m

 

) là một đờng
thẳng ln song song

víi trơc Oy.

b

) Đồ thị hàm số y = ax (các điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.

a



0

) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp

a



0

)

c) Đồ thị hàm số y = ax + b (

a,b



0

) là một đờng thẳng (hình ảnh tập

hỵp các điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại
điểm (b

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản

+) Cỏch 1: Xỏc nh hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh
sau:

Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)

Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax
+ b (

a,b



0

)

+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:
Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy

Cho y = 0 => x = b

 , ta đợc N( b

 ; 0) Ox

Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y = ax
+ b (

a,b



0

)

d

) Đồ thị hàm số y = ax
2 (



a

0

) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0).
Nhận trục Oy làm trục đối xứng

- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.
 - Đồ thị ở phía dới trơc hoµnh nÕu a < 0.

Dạng 5: Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số.

*) Điểm thuộc đờng thẳng.

- §iÓm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a



0) khi và chỉ khi yA = axA + b

- Điểm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a



0) khi và chỉ khi yB= axB + b

*) Điểm thuộc Parabol : Cho (P) y = ax2 (



a

0

)

- §iĨm A(x0; y0) (P)



y0 = ax02.

- Điểm B(x1; y1) (P)





ax12.
Dạng 6: Xác định hàm số

Dạng 7: Xác định điểm cố định của hàm s

*) Ph ơ ng ph á p:

Để tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b (

a



0

; a,b có chứa
tham số) ln đi qua với mọi giá trị của tham số m, ta làm nh sau:

 Bớc 1: Gọi điểm cố định là A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b ln đi

qua víi mäi giá trị của tham số m

Bc 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số đợc y0 = ax0 + b, ta biến đổi về

dạng <=> A( x ,y ).m0 0 B( x ,y )0 0 0, đẳng thức này luôn đúng với
mọi giá trị của tham số m hay phơng trình có vơ số nghiệm m

 Bớc 3: Đặt điều kiện để phơng trình có vơ số nghiệm.

(

A( x ,y ).m0 0 B( x ,y )0 0 0, cã v« sè nghiÖm




 




0 0

A(x ,y ) 0

B(x ,y ) 0

)

Dạng 8: Tìm giao điểm của hai đồ thị
8.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.

Giao điểm của hai đờng thẳng (d ): y = a x + b ; (d ): y = a x + b

O x

a < 0

O x

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Là nghiệm của hệ phơng tr×nh 1 1

2 2

y a x b

 




 



8.2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đờng thẳng.

Cho (P) : y = ax2 (a



0) vµ (d) : y = mx + n.

 Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n.

Giải phơng trình tìm x.

Thay giỏ tr x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 hoặc y = mx + n ta

tìm đợc y.

+ Giá trị của x tìm đợc là hồnh độ giao điểm.
+ Giá trị của y tìm đợc là tung độ giao điểm.

8.3: Tìm số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.

Cho (P) : y = ax2 (a



0) vµ (d) : y = mx + n.

Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n. (*)

+ Phơng trình (*) vô nghiệm (

< 0)

(d) và (P) không có
điểm chung.

+ Phơng trình (*) có nghiệm kép (

= 0)

(d) tiếp xúc với (P).
+ Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt (

> 0 hoặc ac < 0)

(d) cắt (P) tại hai điểm ph©n biƯt.

8.4: Tìm giá trị của một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.
8.5: Tìm giá trị của 2 tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.

8.6: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm của Parabol và đờng thẳng.

Cho (d) : y = ax + b và (P): y = a’x

(a’



0)(a’, a, b có chứa

tham sè)

Xét phơng trình hồnh độ giao điểm a’x

= ax + b. (*)

+ (d) và (P) không có điểm chung

Phơng trình (*) vô nghiệm (

< 0)

+ (d) tiếp xúc với (P)

Phơng trình (*) có nghiƯm kÐp (



=

0).

Nghiệm kép là hồnh độ điểm tiếp xúc

+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt



Phơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt (



> 0 hoặc ac < 0). Hai nghiệm đó là hồnh
độ

cđa hai giao ®iĨm

8.7: Tìm giá trị của tham số khi biết toạ độ giao điểm của Parabol và đờng
thẳng.

Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x

(a’



0)

(a’, a, b cã chøa tham sè)

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:  

 



A A

B B

y ax b
y ax b

Giải hệ phơng trình này tìm đợc a, b và suy ra phơng trình đờng thẳng
(d) cần lập

9.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua M(x0 ; y0) và có hệ số góc là k.
 Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dạng

y = kx + b

Bớc 2: Đờng thẳng này đi qua M(x0 ; y0) => y0 kx0 b

=> by0  kx0

 Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = kxy0  kx0

9.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm 
A(m; yA) và B(m; yB) trong ú yA yB.

ơng pháp:

Do A(m; yA) (d): x = m;

Do B(m; yB) (d) : x = m;

Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): x = m

9.4: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm 
A(xA; n) và B(xB; n) trong đó xA xB.
Ph

ơng pháp:

Do A(xA; n) (d): y = n;

Do B(xB; n) (d) : y = n;

Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n

9.5: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(xA ; yA) và tiếp xúc với
đờng cong

y



ax (a



0 )

 Bíc 1: Gi¶ sử phơng trình cần lập là y = ax + b’

 Bớc 2: Đờng thẳng này tiếp xúc với đờng cong yax (a2 0 )

khi và chỉ khi phơng trình hoành độ giao điểm ax2 a ' xb' có

nghiệm kép. Ta cho  0, tìm ra một hệ thức giữa a’ và b (1)

Bớc 3: Đờng thẳng đi qua A(xA ; yA) => yA a 'xA b' (2)

 Bớc 4: Từ (1) và (2) ta có một hệ phơng trình hai ẩn là a’ và b’. Giải hệ
tìm đợc a’ và b’ => phơng trình cần lập

9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc là k và tiếp xúc với 
đ-ờng cong

y



ax (a



0)

 Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử là y = ax + b
Vì đờng thẳng có hệ số góc là k nên a = k => y = kx + b

 Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong

y



ax (a



0 )

<=> phơng trình hồnh độ giao điểm

2 2

kxbax ax  kx b0 cã nghiÖm kÐp
Cho  0( ' 0 ) => b = ?

 Bíc 3: Trả lời

Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng

10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bc 1: Lp phng trỡnh ng thẳng đi qua hai điểm.

 Bớc 2: Chứng minh điểm còn lại thuộc đờng thẳng vừa lập.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

 Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm có toạ độ đơn giản
nhất.

 Bớc 2: Thay toạ độ của điểm còn lại vào phơng trình đờng thẳng vừa
lập. Giải phơng trình và tìm tham số.

Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui

11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.

 Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.

 Bớc 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đờng thẳng cịn lại.

11.2: Tìm giá trị của tham số để ba đờng thẳng đồng qui.

 Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng đơn giản nhất.

 Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm trên vào phơng trình đờng thẳng cịn lại.
Giải phơng trình và tìm tham số.

Dạng 12: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số
12.1: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số bậc nhất

Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2

+) (d1) c¾t (d2)





+) (d1) // (d2)



a1 = a2

+) (d1)



(d2)



a1 = a2 vµ b1 = b2

+) (d1)



(d2)



a1.a2 = -1 (phải chứng minh mới đợc dùng)
12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên
trục tung.

Cho (d1): y = a1x + b1vµ (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì

1 2

a a (1)
b b (2)

Giải (1)

Giải (2) và chọn những giá trị tho¶ m·n (1).

12.3: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên
trục hoành.

Cho (d1): y = a1x + b1vµ (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành th×






 






1 2

a a (1)

b b

(2)

a a

Lu ý: Chỉ nên áp dụng khi hai phơng trình đều chứa tham số.

Dạng 13: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt
hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng c

 Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một
tam giác thì ta có điều kiện cần là: a 0, b0 => điều kiện của m
 Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần

l-ợt là giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành
 A(0 ; b) và B( b ;0

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

=> ®iỊu kiƯn cđa m

 Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần
l-ợt là giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hồnh

 A(0 ; b) vµ B( b ;0
a

 )

 Bíc 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=> b b
a


 (*)

Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị của m (kiểm tra điều kiện ở
b-ớc1)

Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân khi
và chỉ khi đờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x hoặc song
song với đờng thẳng y = - x

Dạng 15: Xác định giá trị của tham số để giao điểm của hai đờng
thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ nằm trong các góc phần t của hệ
trục tọa độ.

 Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) của hai đờng thẳng, chính là
nghiệm của hệ phơng trình: ax by c

a ' x b' y c'

 




 


 Bíc 2:

+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø I thì điều kiện là: x 0
y 0

+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ II thì điều kiện lµ: x 0

y 0





+) NÕu A n»m trong gãc phần t thứ III thì điều kiện là: x 0

y 0





+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø IV thì điều kiện là: x 0

y 0

Bớc 3: Tìm m = ?

Dạng 16:

Xỏc nh giỏ trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B bằng đa thức 0

 Bớc 1: Đa thức f(x) = Ax + B bằng đa thức 0 <=> A 0
B 0





 Bớc 2: Giải hệ này tìm đợc giỏ tr ca tham s

V - Các dạng toán về hệ phơng trình

Lí thuyết chung
1. Định nghĩa:

Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:





ax by c

(I)

a' x b ' y c ' (trong đó a, b, c, a’ , b’, c’ có thể cha tham s)

2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm

- Nghiệm (x0 ; y0) cđa hƯ (I) lµ nghiƯm chung của hai phơng trình trong
hệ

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

trình vô nghiệm

- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất,
có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.

ax

by

c

a' x

b' y

c '















(a, b, c, a’, b’, c khác 0)

+ Hệ có vô số nghiệm nếu

a

b

c

a'



b '



c '

+ HƯ v« nghiÖm nÕu

a

b

c

a'



b '



c '

+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu

a

b

a'



b'

+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vụ s nghim l 
ab ab = 0

3. Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn .

ax

by

c

a' x

b ' y

c '















a) Phơng pháp cộng đại số.

*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số

 Bớc1: Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu
cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình
của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

 Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới,
trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0
(tức là phơng trình một ẩn)

 Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra nghiệm
của hệ đã cho

*) Tỉng qu¸t:

+ NÕu cã

ax

by

c

ax

b' y

c '

























 









(b b ')y

c

c '

ax

b ' y

c '

+ NÕu cã

ax

by

c

ax

b ' y

c '

















(b b ')y

c

c '

ax

b ' y

c '



 











+ NÕu cã

ax

by

c

k.ax

b ' y

c '































k.ax

kby

kc

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

ax

by

c

a' x

b ' y

c '

















a

c

y

x

b

a' x

b ' y

c '

























































a

c

y

x

b

a

c

a ' x

b '

x

c '

b

c) Phơng pháp đồ thị

- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phơng trình trong
hệ

- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai dờng thẳng

+) Nếu hai đờng thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa

vào đồ thị đốn nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết
luận nghiệm của hệ

+) Nếu hai đờng thẳng song song thì hệ vơ nghiệm

+) Nếu hai đờng thẳng trùng nhau thì hệ có vơ số nghiệm

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ: (áp
dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mu, di du cn bc hai.)

Phân dạng bài tập chi tiết
Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số

Dạng 2: Giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số

ơng pháp:

Bớc 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phơng trình

Bc 2: Giải hệ phơng trình khơng chứa tham số vừa thu c.

Dạng 3: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham sè

- Dùng phơng pháp cộng hoặc thế để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham
số m), làm xuất hiện phơng trình có dạng :

Ax = B (1) (hc Ay = B)
 NÕu A = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = B.

+) Khi B = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0

phơng trình có vô số nghiệm
=> hệ phơng trình có vô số nghiệm
+) Khi B

0 phơng trình (1) vô nghiệm

=> hệ phơng trình vô nghiệm

Nếu A

0 thì phơng trình (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt B

=> hÖ phơng trình có nghiệm duy nhất

B
x

A
y y(m )




Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy
nhất, vơ nghiệm, vơ số nghiệm.

*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vơ
số nghiệm, vô nghiệm.

ax

by

c

a' x

b ' y

c '















(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)

+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu a b c

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

+ HƯ v« nghiƯm nÕu

a

b

c

a'



b '



c '

+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu a b

a' b'

D¹ng 5: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng
trình

Dạng 6: Tìm giá tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình

6.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.

Cho hệ phơng tr×nh :   
    


ax by c (1)
a x b y c (2)

Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm 0

x

y











C¸ch 1:

Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải.

Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải.

Cách 2:

Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình chứa ẩn

là tham số

6.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.

Cho hệ phơng trình: ax by c

a x b y c

 




    


cã nghiÖm 0

x x
y y








 Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình của hệ phơng trình ta

c 0 0

0 0

ax by c
a x b y c

 




    


 Bíc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số.

Dạng 7: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.

Cho hệ phơng trình : ax by c (1)

a x b y c (2)

 




    


(I)

Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)

 Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện của tham số để hệ (I) có nghiệm
duy nhất

 Bớc 2: Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả mãn (3)



(x; y) là nghiệm
của (1), (2), (3). Kết hợp 2 phơng trình đơn giản nhất để đợc một hệ
ph-ơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phph-ơng trình cịn lại

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

0
0

x Z Z A(m ) ¦ ( b)

A(m ) m ?

y Z Z B(m ) ¦ (d )

B(m )

     



 



 

*) Đặc biệt nếu :

0 b

x a víi a, b Z
A(m)

  

0 d

y c víi c, d Z
A(m )

  

=> x ,y0 0 ZA(m ) ¦ C( b,d ) m?

Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y là 
P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

C¸ch 1:

 Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện của tham số để hệ phơng trình có
nghiệm duy nhất

 Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa x và y là:

P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè).

 k < 0



kA2(x)



0



kA2(x) + d



d



P(x,y)



d

Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.
 k > 0



kA2(x)



0



kA2(x) + d



d



P(x,y)



d

Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.

C¸ch 2:

P(x,y) = ax2 + bx + c



ax2 + bx + c – P(x,y) = 0

 Bíc 1: TÝnh



'

 Bớc 2: Đặt điều kiện

0 (

'

Giải bất phơng trình chứa ẩn P(x,y).

 P(x,y)





Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc khi





'

= 0



x b



 = b'


.

 P(x,y)





Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc khi





'

= 0



x b

= b '

Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham

số

1. Ph ơng pháp :

Cho hệ phơng trình: ax by c

a ' x b ' y c '

 




 



trong đó a, b, c, a’, b’, c’ chứa tham
số m. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào tham số m ?

*) C¸ch 1:

Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ ta rót m theo x vµ y lµ
m = A(x,y)

 Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai của hệ ta đợc hệ
thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham

sè m

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Bớc 1: Từ hệ phơng trình ax by c m A( x, y )

a ' x b' y c ' m B( x, y )

  

 



 

  

 

 Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). Đây là hệ thức liên hệ giữa x và y không
phụ thuộc vào tham số m

u ý : Ta cần rút gọn các hệ thức sao cho ngắn gọn, đơn giản nhất

Dạng 11: Tìm giá trị của tham số để hai hệ phơng trình tơng
đơng

- Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập
nghiệm (tức là mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngợc lại)

Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và

giải một số hệ phơng trình khơng ở dạng hệ hai phơng trình bậc nhất
hai ẩn (h c bit)

VI Phơng trình bậc hai một ẩn

Phần I: Phơng trình không chứa tham số

I. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc
hai) là phơng trình có dạng

ax

bx

c

0

(

a

0 )

Trong đó: x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số
II. Phân loại.

1. Phơng trình khuyết c: ax2 + bx = 0 (a

0) 
Phơng pháp giải:

ax2 + bx = 0 (a, b



0)



x(ax + b) = 0



x 0
b
x








Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 =

b

a

2. Phơng trình khuyết b: ax2 + c = 0 (a, c

0)
Phơng pháp giải:

ax2 + c = 0 (a



0)



c

x

a





NÕu

c

a



</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

+)

> 0

phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 = b 

; x2 = b

+)

= 0

Phơng trình có nghiệm kÐp: x1 = x2 =

b

2a



* ) C « ng th ø c nghi Ö m thu g ä n 
NÕu b = 2b’ (b’ =

2 b

) ta cã : ’ = b’2 - ac

+ Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt là :

1 2

' ' ' '

; x

b b

x

a a

     

 

+ NÕu ’ = 0  ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp 
x1 = x2 = b'

a

+ Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm

Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số
Dạng 1: Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số

Thay giá trị của tham số vào phơng trình và giải phơng trình

Dạng 2: Giải và biện phơng trình theo tham sè

ỉ ng qu ¸ t:

 Víi a = 0: Ph¬ng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0.
+ NÕu b

0 thì phơng trình có nghiệm x = c

+ NÕu b = 0 và c

0 thì phơng trình vô nghiệm.
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.

Với a

0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai cã biÖt sè:



= b2 – 4ac ( hay



’ = b’2 – ac)

+ NÕu



< 0 (

< 0) thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu

= 0 (

= 0) thì phơng trình có nghiÖm kÐp :

x1 = x2 = - b

2a =

'

b

a



+ NÕu



> 0 (



’ > 0) thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = b  b ' '

2a a ; x2 =

     


b b ' '

2a a

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực
tiếp vào phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng
trình có nghiệm

 Trêng hỵp 2: a 0, phơng trình bậc hai một ẩn có nghiệm <=>





0 '

0  

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Ph¬ng trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt
<=>

0 0( '

0 )

a







 



Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình cú nghim kộp

Phơng trình bậc hai một ẩn có nghiệm kÐp <=>

0 0( '

0)

a







 



Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vơ nghiệm

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực
tiếp vào phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng
trình vơ nghiệm

 Trêng hỵp 2: a 0, phơng trình bậc hai một ẩn vô nghiệm

<=>

0 '

0

Dạng 7: Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Để chứng minh phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt:
Cách 1: Chøng minh:

0 a

ac











 C¸ch 2: Chøng minh:







 



a

0

ó ý : Cho tam thøc bËc hai  = am2 bmc

§Ĩ chøng minh  0, m ta cÇn chøng minh 2

a 0

b 4ac 0






   




Dạng 8: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu,
trái dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng
phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm là hai số đối
nhau, có hai nghiệm l hai s nghch o ca nhau

Cho phơng trình 2

0 ax



bx



c



; trong đó a, b, c chứa tham số

Theo định lí Vi - ét, ta có :

1 2

b

S

x

a

c

P

x x













</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

c) Phơng trình có hai nghiệm dơng <=>

0 a

P

S

d) Phơng trình có hai nghiệm âm <=>

0 a

P

S

e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt <=>

0 a

P

S

0 a

P

S







 













g) Phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau

<=>
1 2

0 a

b

S

x

a







 

















h) Phơng trình có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

<=>
1 2

0

1 a

c

P

x x

a

Dạng 9: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm

Bc 1: Tỡm iu kiện để phơng trình có nghiệm.
 Bớc 2: Tính x1 + x1 = b

a vµ x1.x1 =
c
a

 Bớc 3: Biểu thị đợc các biểu thức theo x1 + x1 và x1.x1 ; sau đó thay giá

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Chó ý:









2 2 2

a

b

(a b)

2ab











3 3 3

a

b

(a b)

3ab(a b)









(a b)

4ab









( a

b)

(a

b)

2 a.b

(a,b

0)









4 4 2 2 2 2 2

a

b

(a

b )

2a b

















3 3

a

b

a a

b b

( a

b)(a

ab

b)

(a,b

0)

Dạng 10: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:



x

1





x

2





1 2

1 n

x



x



2 2

1 2

x



x



k

3 3

1 2

x



x



t

, . . . . . . . .

 Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm x1, x2.

Gi¶i hƯ §K:

0 a







 



=> m = ?

 Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:

1 2

b

S

x

a

c

P

x x

a



















 Bớc 3: Biến đổi điều kiện của đề bài (là một đẳng thức hoặc bất đẳng
thức) để có tổng và tích hai nghiệm, sau đó thay tổng và tích hai
nghiệm có đợc ở bớc 2 vào điều kiện vừa biến đổi; từ đó giải phơng trình
hoặc bất phơng trình với biến là tham số để tìm giá trị của tham số.
Tiếp theo kiểm tra xem các giá trị tham số tìm đợc có thỏa mãn hệ điều
kiện ở bớc 1 hay khơng ?

Hoặc có bài tốn ta kết hợp điều kiện của đề bài với một hệ thức Vi
-ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn là x1, x2); sau

đó ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi – ét cịn lại để tìm tham số.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

 Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 . Ta cã phơng trình với ẩn x là :

1 2 1 2 1 2

(

x



x

)

x



x

 

0 x



(

x



x

)

x



x x



0

 Trêng hỵp 2: Không có x1, x2 riêng

Bớc 1: Tìm S =

x

1



x

2 vµ P =

x x

1 2

 Bớc 2: Phơng trình với ẩn x là

x

Sx

P

0

Phơng trình có nghiệm <=> 2

4 S

P

Dạng 13: Lập phơng tr×nh bËc hai khi biÕt mèi liên hệ giữa hai
nghiệm của phơng trình cần lập với hai nghiệm của phơng trình cho
trớc.

Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm của phơng trình.

Bớc 2: Tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình đÃ cho

1 2 1 2

b c

x x , x .x

a a



  

 Bíc 3: TÝnh tỉng và tích hai nghiệm của phơng trình cần lập x3 và x4

thông qua mối liên hệ với x1 , x2.

Bớc 4: Lập phơng trình.

Dng 14: Tìm đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc
vào tham số

 C¸ch 1:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2.

Giải hệ điều kiện

0 a

Bớc 2: TÝnh hÖ thøc Vi - Ðt:




  






  




1 2

S x x

a
c

P x .x

 Bớc 3: Khử tham số trong hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức liên hệ giữa S
và P. Đó là hệ thức độc lập với tham số giữa các nghiệm của phơng
trình.

 C¸ch 2:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trỡnh cú hai nghim x1, x2.

Giải hệ điều kiện

0 a

Bớc 2: Giải phơng trình tìm x1, x2.

Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số).

Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bËc hai

y



ax



bx



c

(a



0 )

C¸ch 1:

Biến đổi y = kA2(x) + m (m là hằng số).

 k < 0



kA2(x)



0



kA2(x) + m



m



y



m

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.

C¸ch 2:

y = ax2 + bx + c



ax2 + bx + c – y = 0

+ Bớc 1: Tính

hoặc

'

+ Bớc 2: Đặt điều kiÖn

 

0 (

 

'



Giải bất phơng trình chứa ẩn y.



Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi





'

= 0



x b



 = b'


.

 y





Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi



'

= 0



x b



 = b '

Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên

hệ giữa hai nghiệm

Bớc 1: Kiểm tra sự có nghiệm của phơng trình
Bíc 2: TÝnh x1 x2 b, x .x1 2 c

a a



  

 Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là A(x1; x2) về dạng có

chøa x1+ x2 vµ x1.x2

 Bớc 4: Thay x1 + x2 và x1.x2 vào biểu thức A. Khi đó A trở thành tam

thức bậc hai ẩn là tham số.

Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. Chọn giá trị tham số
thích hợp.

Dạng 17: Chứng minh biĨu thøc liªn hƯ giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào tham sè

 Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm

x , x

1 2

 Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt:




 





 




1 2

x x

a
c
x .x

Bớc 3: Tính giá trị của biĨu thøc theo x1+ x2 vµ x1.x2 ; thÊy kÕt quả là

một hằng số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc
vào tham số

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

x , x1 2

. Do x, y cã vai

trò nh nhau nên có hai cặp số thỏa m

Ã

n là

1
2

u x
v x

hoặc

2
1

u x
v x

- Nếu phơng trình (*) có nghiệp kép

x1 x2 a

=> u = v = a

- Nếu phơng trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm đợc cặp giá trị (u,

v) nào thỏa m

ã

n yêu cầu đề bài

Dạng 20: Tìm giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai

mt n cú nghim chung

Cho

hai

phơng

trình

2 2

ax bx c 0 (a 0 ) vµ a ' x b ' xc '0 (a '0 )

Trong đó

a, b, c,a ', b ', c '

chứa tham số m

*) C

ỏ

ch 1

:

Hai phơng trình trên có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ

phơng trình:

2
2

ax bx c 0 (a 0 )
a ' x b ' x c ' 0 (a ' 0)

    




    



cã nghiÖm



Trõ vÕ với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng

trình dạng:

A(m).x = B(m)

+) Nu A(m) = 0, từ đẳng thức này ta rút ra một vài giá

trị của m, sau đó thay trực tiếp vào hai phơng trình



giải hai phơng trình không chứa tham số và xét xem ứng

với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm chung hay

không ?

+) NÕu

A(m )0

=> x =

B(m )

A(m )

(chøa tham sè). Thay vµo

một trong hai phơng trình ta rút ra một vài giá trị của m,

sau đó thay từng giá trị của m vào hai phơng trình



giải hai phơng trình khơng chứa tham số và xét xem ứng

với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm chung hay

khơng ?

+) NÕu

A(m )0

=> x =

B(m )

A(m )

(kh«ng chøa tham sè), kÕt

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>



KÕt luËn: øng với giá trị m nào thì hai phơng trình có

nghiệm chung, nghiệm chung là gì ?

*) C

á

ch 2

: Chỉ thực hiện cách giải này ở một số bài toán đơn giản

Từ hai phơng trình

ax bx c 0

=> m = A(x)

a ' x b' xc '0

=> m = B(x)

Ta có: A(x) = B(x). Giải phơng trình này ta đợc nghiệm chung

của hai phơng trình, sau đó thay nghiệm chung đó vào một trong

hai phơng trình ta tìm đợc giá trị của tham số m, nếu cần thiết thử

lại để kiểm tra

C

á

ch 3

: Chỉ thực hiện cách giải này ở một số bài toán đơn giản

Từ một trong hai phơng trình ta rút m theo x và thế vào

ph-ơng trình kia, đợc phph-ơng trình ẩn x; từ phph-ơng trình này ta tìm đợc

nghiệm chung, sau đó tìm m = ?

D¹ng 21: Chứng minh trong hai phơng trình bậc hai một ẩn có ít
nhất một phơng trình có nghiệm

Cho

hai

phơng

trình

2 2

ax bx c 0 (a 0 ) vµ a ' x b ' xc '0 (a '0 )

Trong đó

a, b, c,a ', b ',c '

chứa tham s

Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm

Ph

ơ

ng ph

á

p

:

C

¸

ch 1

: Gọi

1,2

lần lợt là biệt thức của hai phơng trình. Ta cần

chứng minh

+)

1 2 0

=>

1 0

hc

2 0

hc

1,2 0

+)

  1. 2 0

=>

1 0

hc

2 0

Vậy ít nhất một trong hai phơng trình trên cã nghiƯm

C

¸

ch 2

: Chøng minh b»ng ph¶n chøng

Giả sử cả hai phơng trình đều vơ nghiệm. Khi đó

1 0, 2 0

   

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Trớc hết tìm giá trị của tham số để hai phơng trình có nghiệm
chung sau đó thay giá trị của tham số vào hai phơng trình và tìm
tập nghiệm của chúng. Nếu tập nghiệm bằng nhau thì hai phơng
trình tơng đơng => giá trị của tham số

 Trêng hỵp 2: Hai phơng trình cùng vô nghiệm <=> 1

2
0
0

=> Giá trị của tham số

Đặc biệt: Nếu nhận thấy một trong hai phơng trình có hai nghiệm
( 1 0 hc  2 0)

=> Hai phơng trình tơng đơng khi hai nghiệm của phơng
trình này cũng là hai nghiệm của phơng trình kia, do đó ta
có thể áp dụng vi - ét cho cả hai phơng trình và tìm tham số.

Cơ thÓ ta cã:

1 2 b b' 1 2 c c'

x x ;x x m ?

a a ' a a '

  

      

D¹ng 23: Tìm giá trị của tham số khi biết nghiệm của phơng trình
23.1: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phơng trình.

Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a



0) cã mét nghiÖm x = x
1.

á ch gi ả i:

Bớc1: Thay x = x1 vào phơng tr×nh ax12 + bx1 + c = 0.

 Bíc 2: Giải phơng trình có ẩn là tham số.

23.2: Tìm giá trị của tham số khi biết hai nghiệm của phơng trình.

Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (1) (a



0) cã hai nghiÖm x = x

1; x = x2.

C
¸ ch 1:

 Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:

 


  


2
1 1
2
2 2

ax bx c 0
ax bx c 0

Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn là tham số.
C

á ch 2:

Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.

 Bíc 2: Theo Vi - Ðt



 



 


1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

 Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ và giải ta đợc giá trị của tham số.

Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn

luôn dơng hoặc luôn luôn âm với mọi x

Cho tam thøc bËc hai f(x) =

ax bxc (a0 )

f(x)

=





2 2





2 2

b c b b 4ac b

a( x x ) a x a x

a a 2a 4a 2a 4a

     

           

   

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

+) NÕu

 0

=>





b
x

2a 4a


 

> 0. Khi đó f(x) cùng dấu với

hệ số a, ta có các trờng hợp sau



f(x) > 0,

x

<=>

a 0
0




 




f(x) < 0,

x

<=>

a 0
0




 




f(x)

≥

0,

x

<=>

a 0
0




 




f(x)

≤

0,

x

<=>

a 0
0




 


+) NÕu

0 f ( x ) a( x b )2
2a

    

=> f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, trõ trêng hỵp x =

2a


Khi x =

thì f(x) = 0

VII Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình.

Lí thuyết chung

1. Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình

B

ớ

c 1:

Lập phơng trình.

- Chn n s v xỏc nh điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đ

ã

biết;

- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.

B

í

c 2:

Giải phơng trình.

B

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

B

ớ

c 2:

Giải hệ hai phơng trình nói trªn .

í c 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình, nghiệm

nào thoả mÃn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Phõn dng bi tp chi tiết
Dạng 1: Toán chuyển động

- Ba đại lợng: S, v, t
- Quan hệ: S = vt; t =

S

v

; v =

S

t

(dùng công thức S = v.t từ ú tỡm mi

quan hệ giữa S , v và t)
- Chú ý bài toán canô :

Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthực – Vníc

*) Tốn đi gặp nhau cần chú ý đến tổng quãng đờng và thời gian bắt đầu khởi
hành.

*) Toán đuổi kịp nhau chú ý đến vận tốc hơn kém và quãng đờng đi đợc cho
đến khi đuổi kp nhau

Dạng 2: Toán về quan hệ giữa các số



ab 10a b





abc

100a 10b c

§iỊu kiƯn: 0 < a



9; 0



b, c



9 (a, b, c



Z )
Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng, năng suất

*) Bài toán làm chung, làm riêng:

+ Qui c: C cụng vic là 1 đơn vị.

+ Tìm trong 1 đv thời gian đối tợng tham gia bài toán thực hiện đợc bao
nhiêu phần công việc.

+ Công thức: Phần công việc = 1

Thời gian

+ Số lợng công việc = Thời gian . Năng suất.
*) Bài toán năng suất:

+ Gm ba đại lợng: Tổng sản phẩm ; năng suất; thời gian
+ Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất . Thời gian;

=> Thời gian = Tổng sản phẩm

Năng suất ; Năng suất =

Tổng sản phẩm

Thời gian .

Dạng 4: Toán diện tích

Dạng 5: Toán có quan hệ hình học
Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa
Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61></div>

CD HE THONG KIEN THUC TOAN THCS

Hệ thống kiến thức cơ bản

<i>Môn : Hình Học - THCS</i>

<sub>xOy</sub>

<sub></sub>

<sub>yOz</sub>

<sub></sub>

<sub>xOz</sub>

<sub>xOy</sub>

<sub></sub>

<sub>yOz</sub>

<sub></sub>

<sub>xOz</sub>

1

4

2

3

4

3

2

1

b

a

B

A

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

x

C

B

C

'

B'

A'

C

B

C'

B'

A'

C

B

A

C

B

A

A

B

C

A'

B'

C'

C'

B'

A'

C

B

A

C'

B'

A'

C

B

A

B

C A'

B'

C'

C'

B'

A'