Chuen de he thuc vi et hot

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chun đề</b>

<b>hƯ thøc ViÐt vµ øng dơng</b>

<b>A. Mơc tiªu:</b>

- Học sinh nắm chắc hệ thức Viét.
Biết vận dng h thc Viột :

+ Tính giá trị biểu thức giữa 2 nghiệm.
+ Xét dấu các nghiệm.

+ Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc và tham số
+ Lập một phơng trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó

<b>B. Phần chuẩn bị</b>

- Giỏo viên: Giáo án và các tài liệu tham khảo nh:
+ Tốn nâng cao và các chun đề 9.

+ To¸n nâng cao và phát triển 9

+ Bi tp nõng cao và một số chuyên đề toán 9.
+ SGK, SBT, các dng toỏn 9.

- Học sinh: Ôn lại hệ thức Viét.
+ Các tài liệu tham khảo.

<b>C. Nội dung</b>
<b>I. Lý thuyết:</b>

<b>1. Hệ thức Viét:</b> Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của phơng tr×nh

ax2_{+ bx + c = 0 (a}≠_{0) th× S = x}

1 + x2 = - <i>a</i>
<i>b</i>

P = x1 . x2 = <i>a</i>
<i>c</i>

<b>2. ứng dụng:</b>

* Tìm 2 số biết tổng và tích cđa chóng

Mn t×m 2 sè biÕt tỉng cđa chóng bằng s, tích của chúng bằng p, ta chỉ
cần giải phơng trình

x2_{- sx + p = 0}

Nu s2_{4p thì phơng trình có 2 nghiệm, đó là 2 số cn tỡm}

Nếu s2_{< 4p thì phơng trình vô nghiệm, không tồn tại 2 số mà tổng}

bằng s tích bằng p.

* Xét dấu các nghiệp của phơng trình ax2_{+ bx + c = 0 (a}≠_{0) (1)}

Điều kiện để phơng trình (1)

- Cã 2 nghiệm trái dấu là p < 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Có 2 nghiệm cùng âm là: 0; p > 0; s < 0

<b>II. VÝ dơ minh ho¹:</b>

<b>1. D¹ng 1:</b> Tính trí trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình
ax2_{+ bx + c = 0 (a}₀₎

<i><b>* Phơng pháp gi¶i:</b></i>

Vận dụng các phép biến đổi, để đa biểu thức cần tính giá trị về một biểu
thức bằng nó nhng chỉ chứa tổng và tích các nghiệm.

a. VÝ dơ 1: Cho phơng trình ax2_{+ bx + c = 0 (a}≠_{0; c}≠_{0). Cho biÕt x}
1, x2

lµ 2 nghiệm. Tính theo a, b, c giá trị của c¸c biĨu thøc sau:
+) <i>x</i>1

2

+<i>x</i>₂2 +) <i>x</i>₁3+<i>x</i>₂3

+ (x1 - x2)2 +) x1 - x2 + <i>x</i>₁2<i>− x</i>₂2

<i><b>* Gi¶i:</b></i>

+) <i>x</i>1
2

+<i>x</i>2
2

=(<i>x</i>+<i>x</i>)<i>−</i>2<i>x x</i>=

(

<i>− b</i>

<i>a</i>

)

2

<i>−</i>2 .<i>c</i>
<i>a</i>=

<i>b</i>
<i>a−</i>2

<i>c</i>
<i>a</i>=

<i>b −</i>2 ac
<i>a</i>
+)
2
2
1
2
2
1
3
2
2
2

1
2
2
1
3
1
3
2
3

1

<i>x</i>

<i>x</i>

3

<i>x</i>

<i>x</i>

3

<i>x</i>

<i>x</i>

3

<i>x</i>

3

<i>x</i>

<i>x</i>

3

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>















=

(<i>x</i>+<i>x</i>)3<i>−</i>3<i>x x</i>(<i>x</i>+<i>x</i>).

=

(

<i>−b</i>

<i>a</i>

)

3

<i>−</i>3.<i>c</i>
<i>a</i>.

<i>− b</i>
<i>a</i> =

<i>−b</i>3
<i>a</i>3 +

3 bc

<i>a</i>2 =

3 abc<i>− b</i>3
<i>a</i>3

+) (<i>x − x</i>)2=(<i>x − x</i>)2<i>−</i>4<i>x x</i>=

(

<i>− b</i>

<i>a</i>

)

2

<i>−</i>4<i>c</i>
<i>a</i>=

<i>b−</i>4 ac
<i>a</i>

+) x1 - x2 = <i>±</i>

√

(<i>x − x</i>)2=¿ 

√

<i>b</i>

2<i>₋</i>_{4 ac}

<i>a</i> =<i>±</i>

√<i>b −</i>ac

<i>a</i>

<b>2. Dạng 2: Xác định dấu các nghiệm.</b>

Ph¬ng pháp giải: Vận dụng điều kiện về dấu các nghiệp của phơng trình
ax2_{+ bx + c = 0}

Ví dụ: Cho phơng trình với tham số m

mx2_{- 2 (m + 1) x + (m - a) = 0} ₍₁₎

a. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.

b. Tìm hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hn?

<i><b>* Giải:</b></i>

a. +) m = 0 phơng trình (1) có d¹ng - 2x - 4 = 0, cã nghiƯm x = - 2
+) m ≠ 0 thì phơng trình (1) là phơng trình bậc 2.

= (m + 1)2_{- m (m - 4) = 6m + 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

KL: Víi m  <i>−</i>1

6 th× (1) cã nghiƯm

b. Theo hƯ thøc ViÐt ta cã s = 2(<i>m</i>+1)

<i>m</i> <i>; p</i>=
<i>m −</i>4

<i>m</i>

ĐK để (1) có 2 nghiệm trái dấu là:
P < 0  <i>m−</i>4

<i>m</i> <0<i>⇔</i>0<<i>m</i><4

Khi đó, do 0 < m < 4 nên s > 0, do đó nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
<b>3. Dang 3:</b> Tìm hệ thức liên hệ 2 nghiệm của phơng trình bậc hai khơng
phụ thuộc vào tham số.

<i><b>* Gi¶i:</b></i>

+ Bớc 1: Theo thớc Viét viết các hệ thức của s và p theo tham số
+ Bớc 2: Dùng quy tắc cộng hoặc quy tắc thế để thử tham số.
+ Ví dụ: Cho phơng trình

(k - 1 ) x2_{- 2kx + k - 4 = 0}

Gọi x1 x2 là các nghiệm của phơng trình, lập 1 hệ thức liên hệ giữa x1, x2

không phụ thuộc và k.

<i><b>* Giải</b></i>

- phng trỡnh ó cú nghim x1 x2 thì:

k ≠ 1 k ≠ 1 k ≠ 1 k ≠ 1

’  0  k2_{- (k - 1) (h - 4)}_₀__{sk - 4}_₀__k_ 4
5

- Theo hÖ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2<i>k</i>

<i>k −</i>1 (1)

x1 + x2 = <i>k −</i>4
<i>k −</i>1 (2)

Rót k tõ (1) ta cã k = <i>x</i>+<i>x</i>

<i>x</i>+<i>x −</i>2
Rót k tõ (2) ta cã k = <i>x</i>+<i>x −</i>4

<i>x</i>+<i>x −</i>1
Suy ra <i>x</i>+<i>x</i>

<i>x</i>+<i>x −</i>2 =

<i>x</i>+<i>x −</i>4

<i>x</i>+<i>x −</i>1

Nay (x1 + x2) (x1x2 - 1) = (x1x2 - 4) (x1 + x2 - 2)

Suy ra 3 (x1 + x2) + 2 x1x2 - 8 = 0

<i><b>4. Dạng 4:</b></i> Lập phơng trình bậc hai khi biết các nghiƯm

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bíc 1: TÝnh s = x1 + x2; p = x1 . x2

+) Nếu s2__{4p thì sẽ lập đợc 1 phơng trình bậc}__{có nghiệm l x}
1, x2;

+) Nếu s2_{4p thì không lập 1 phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là x}
1 + x2

Bớc 2: Phơng trình cần lập là:
x2_{- 5x + p = 0}

Ví dụ: Cho phơng trình
x2_{- 5x 1 = 0}

Nghiệm giải phơng trình (1), hÃy lập 1 phơng trình bậc hai có các nghiệm
là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm của phơng trình (1)

<i><b>* Giải:</b></i>

Ta thấy phơng trình (1) có nghiệm

Gi x1, x2 l cỏc nghim của phơng trình đã chọn

Ta cã: x1 + x2 = - 5; x1 . x2 = - 1

Gọi y1, y2 là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta đợc

y1 + y2 = <i>x</i>4₁+<i>x</i>₂4<i>;</i> y1 y2 = <i>x</i>4₁+<i>x</i>₂4<i>;</i>

Ta cã:

<i>x</i>+<i>x</i>¿2<i>−</i>2<i>x x</i>=25+2=27

<i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2=¿

Do đó: y1 + y2 = <i>x</i>4₁+<i>x</i>₂4=(<i>x</i>2₁+<i>x</i>₂2)<i>− x</i>₁2+<i>x</i>₂2=729<i>−</i>2=272

y1 + y2 = (x1 x2)4 = (-1)4 = 1

Phơng trình phải lập có tổng các nghiệm bằng 272 và tích cac snghiệm
bằng 1 nên có dạng

y2_{- 72 + y + 1 = 0}

<b>III. Bµi tâp vận dụng:</b>

<b>Bài 1:</b> Cho phơng trình 2x2_{- 3x + 1 = 0}

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình, không giải phơng trình, hÃy tính

giá trị của c¸c biĨu thøc sau:

a) A = 1

<i>x</i>+
1

<i>x</i> B =

1<i>− x</i>
<i>x</i> +

1<i>− x</i>
<i>x</i>

C = <i>x</i>1
2

+<i>x</i>₂2 D = <i>x</i>

<i>x</i>+1+

<i>x</i>
<i>x</i>+1

<b>Bài 2:</b> Cho phơng trình x2_{+ (2m - 1) x - m = 0}

a. CMR phơng trình luôn có nghiƯm víi mäi m

b. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để

A = <i>x</i>12+<i>x</i>22<i></i>6<i>x x</i> có giá trị nhỏ nhất.
<b>Bài 3: </b>cho phơng trình x2_{- mx + m - 1 = a}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

b. Gäi x1, x2 lµ 2 nghiệm của phơng trình. Tìm gia stri nhỏ nhất và lớn nhất

của phơng trình.

P = 2<i>x x</i>+3

<i>x</i>12+<i>x</i>22+2(<i>x x</i>+1)

<b>Bi 4: </b>Xác định tham số m sao cho phơng trình

a. 2x2_{- 3 (m + 1x) + m}2_{- m - 4 = 0 cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu}

b. mx2_{- 2 (m + 2) x + 3 (m - 2) = 0 cã 2 nghiÖm cïng dÊu}

c. 3m x2_{+ 2 (2m + 1) x + m = 0 cã 2 nghiƯm ©m}

d. (m - 1) x2_{+ 2x + m = 0 cã Ýt nhÊt 1 nghiƯm kh«ng âm}

<b>Bài 5.</b> Chi biết phơng trình x2_{- (m + 2) x + (2m - 1) = 0 cã c¸c nghiệm x}
1,

x2 c lp i vi m

<b>Bài 6:</b> Cho phơng tr×nh x2_{+ (4m + 1) x + 2 (m - 4) = 0}

a. Tìm m để biểu thức A = (x1 - x2)2 có giá trị nhỏ nhất.

b. T×m hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m

<b>Bài 7: </b>Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm b»ng

a. _√3 vµ 2 _√3 b. 2 - _√3 vµ 2 + _√3

<b>Bµi 8: </b>Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình

3x2 + 5x - 6 = 0

Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm
y1 = x1 + 1

<i>x</i> ; y2 = x2 +

1
<i>x</i>

<b>Bµi 9:</b> Cho phơng trình bậc hai: x2_{- 2x - m}2_{= 0 có các nghiệm x}

1, x2 lập

phơng trình bậc hai cã c¸c nghiƯm y1, y2 sao cho

a) y1 = x1 - 3 y2 = x2 - 3

b) y1 = 2x1 - 1 y2 = 2x2 - 1

<b>Bµi 10:</b> LËp phơng trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mÃn
x1 - x2 = 2

</div>

<!--links-->