TICH PHAN HAY

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (87.61 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bảng các tích phân cơ bản

ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự

Hàm Cơ Bản Hàm Hợp

1

n

x

x dx

C

n









( n  -1 )

1 ln

dx

x C

x







x x

e dx e





C



ln

x

a

a dx

C

a







sin .

x dx



c x C

os





os .

sin

c x dx



x C





tan

os

dx

x C

c

x







cot

sin

dx

x C

x







1

n
n

u

u du

C

n









( n 

-1 )

1 ln

du

u C

u







u u

e du e





C



ln

u

a

a du

C

a







sin .

u du



c u C

os





os .

sin

c u du



u C









1 t an

tan

os

du

u du

x C

c

u















2 1 cot cot

sin

du

u du x C
u    



Những công thức sau đây muốn sử dụng phải chứng minh:

1. 2

ln tan

sin

x

dx

C

x







Chưng minh:
Đặt
2
2

1 tan

. 1 tan

2 2 os

2 x

t

dt

dx

x

c

























1 . 1

2 dt





t dx

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 2 2
2

2sin . os

2 tan

2 2

sin

,

sin

1 sin

os

1 tan

2 x

c

t

x

vi

x

t

x

c







































































2
2

2

1 ln

ln tan

2 sin

1

x

dt

t

dx

dt

t

C

t

x

t













2.



2 4



ln tan

os

x

dx

C

c x









Chứng minh:

Ta có

os

sin

2 c x







x













Làm tương tự bài trên:
Đặt

2
2

1 tan

. 1 tan

2

4 2 os

2

4

2

4 x

t

dt

dx

x

c































































1 . 1

2 dt





t dx





2

1 ln

ln tan

2 os

2

4

1 dt

t

dx

dt

x

t

C

t

c x

t





























</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3. 2 2
1

ln
2a

dx a x

C

a x a x



 

 



( a 0 )
Chứng minh:













2 2

1 2a

1 ln

2a

dx

a

x

a x a x

a x

C

a x



















































4.

2 2

1 ln

2a

dx

x a

C

x

a

x a













( a 0 )
Chứng minh:













2 2

1 2a

1 ln

2a

dx

x

a

x a

C

x a





































5 .

2 2

ln

,

0 dx

x

a

C a

x



a









Chứng minh:

Đặt

u

 

x



a

2 2

2 2 2 2

1 x

a

du

d

dx

x

a

x

a





































2 2

du

dx

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2 2

ln

dx

du

u

x

a

C

u

x

a









6.

2 2

ln

,

0 dx

x

a

C x

a

x



a













Chứng minh:

Đặt

u

 

x



a

2 2

2 2 2 2

1 x

a

du

d

dx

x

a

x

a









































2 2

du

dx

u



x



a

2 2

ln

dx

du

u

x

a

C

u

x

a















2 2

ln

2 x

A

x



Adx



x



A



x



x



A C





Chứng minh:

Đặt

,

x

,

u

x

A dv dx

du

v x

x

A













2 2

x

Adx x x

A

dx

x

A













2
2

x

A A

x x

A

dx

x

A











</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 2

dx

x x

A

x

Adx A

x

A











2 2 2

2 

x



Adx x x





A A



ln

x



x



A C



2 2

ln

2 x

A

x



Adx



x



A



x



x



A C





Các phương pháp tính tích phân:

Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến
Đổi biến dưới dấu tích phân

Cần tính tích phân



f x dx( ) . Giả sử có thể tìm được hàm khả vi

u





( )

x

và
hàm g(u) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân



f x dx

( )

có thể viết dưới
dạng:





' ( )

( )

( ) . ( )

( )

u x

f x dx

g f x

x dx

g u du







Phép biến đổi này thường được gọi là phương pháp đổi biến

u





( )

x

dưới dấu tích phân, tức là biến x thay bằng biến mới

u





( )

x

Nhận xét: Mục đích của phương pháp đổi biến

u





( )

x

là việc tính tích
phân



f x dx( ) được đưa đến tí ch phân



g u du

( )

, thường đơn giản hơn
tích phân ban đầu. Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế u( )x vào kết
quả tìm được.

Phương pháp tính tích phân từng phần:

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì
cơng thức tính tích phân từng phần sau đây được thỏa mãn.

   

b b

b
a

a a

u x v x dx







u x v x







u x v x dx



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

TICH PHAN HAY

1

<i>x</i>

<i>x dx</i>

<i>C</i>

<i>n</i>









1

ln

<i>dx</i>

<i>x C</i>

<i>x</i>







<i>e dx e</i>





<i>C</i>



ln

<i>a</i>

<i>a dx</i>

<i>C</i>

<i>a</i>







sin .

<i>x dx</i>



<i>c x C</i>

os





os .

sin

<i>c x dx</i>



<i>x C</i>





tan

os

<i>dx</i>

<i>x C</i>

<i>c</i>

<i>x</i>







cot

sin

<i>dx</i>

<i>x C</i>

<i>x</i>







1

<i>u</i>

<i>u du</i>

<i>C</i>

<i>n</i>









1

ln

<i>du</i>

<i>u C</i>

<i>u</i>







<i>e du e</i>