Ki thuat su dung BDT CauchyTuan AnhNga Dien

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (166.76 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY

I Bất đẳng thức Cauchy

, , 0
x y z

  ta có :
2
x y

xy

  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y
3

3
x y z

xyz

   .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix y z

+ Chú ý:trong thực tế ta thường dùng dưới dạng x y 2 xy ;x y z  33 xyz
II Các kĩ thuật sử dụng

1.Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Sử dụng dạng :

2
x y

xy

  hoặc x y 2 xy

3
x y z

xyz

   hoặcx y z  33 xyz

Ví dụ 1: Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng



a b b c c a

 



 

 



8abc

Giải

Ta có a b 2 ab. Đẳng thức xảy ra khi a b

b c  bc. Đẳng thức xảy ra khi b c

c a  ca .Đẳng thức xảy ra khi c a
Suy ra:



a b b c c a

 



 

 



8 ab bc ca. . 8abc
Đẳng thức xảy ra khi a b c  hay tan giác đó đều.
Ví dụ 2: Chox0. Tìm GTNN của hàm số y x 1

x

 

Giải
Ta có  x 0 thì x 1 2 x.1 2

x x

   . Đẳng thức xảy ra khi x 1 x2 1
x

    x 1 vì



x0



Vậy Minx0y2 khi x1

Ví dụ 3: Tìm GTNN của hàm số 1 2
3x 3 x

y   

Giải
x

 thì 3 ,3x1 2x đều dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có

1 2 1 2 3

3x 3 x 2 3 .3x x 2 3 6 3
y        

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 1 32 1 2 1
2

x  x      x x x

Vậy Miny6 3 khi 1
2
x .

Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số y 2x 12
x

  với x0
Giải

Ta có 3

2 2

1 1

3 . . 3

y x x x x

x x

     . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3

1 1

x x x

x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Vậy Minx0y3 khi x1

Ví dụ 5: Cho o b a  . Chứng minh rằng a



a b b1



3
Giải

Ta cóa







a b



b







a b b

  

. 1 3

a b b a b b a b b

       

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b b  



a b b1









2 2

1
1

a b

a b a

b b b

a b b



  

 

  

     



 



Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ 5 bạn có suy nghĩ gì và có rút ra một kinh nghiệm nào không?
+ Lưu ý : kĩ thuật này áp dung trong các trường hợp:

1. Chứng minh BĐT dạng .
2. Trong bài tốn tìm GTNN.

3. Tách thành các số hạng sao cho sau khi sử dung BĐT thì các biểu thức khử nhau chỉ cịn lại hằng số

BÀI TẬP

1. x y z, , 0. Chứng minh rằng 1 1 4
x y x y

1 1 1 9

x  y z x y z 

2. Chứng minh rằng
2

2
2

2
1
a

a  . Đẳng thức xảy ra khi nào?

3. Cho , ,a b c0 và a b c  1.Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 8

a b c

        

   

      .

4. Cho , ,a b c0 và a b c abc   . Chứng minh rằng a b c  3 3.
5. cho ,x y thỏa mãn 3y x  2 log 34 . Tìm GTNN của T 4x y 13.42y1.
6. Tìm GTNN của hàm số sin2 os2

4 x 4c x

y  .

7. Cho ,a b0 và a b 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 9

a b

      

  

    .

8. Chứng minh rằng



1a

 

1b

 

1  c





1 3abc



3 a b c, , 0. Đẳng thức xảy ra khi nào?.
9. Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng



2a b c a 

 

2b c a b

 

 2c

 

8 a b b c c a

 



 





.
10. Cho , ,a b c0 và a b c  1.Chứng minh rằng



1a

 

1b

 

1 c

 

8 1a

 

1b

 

1c



11. Chứng minh rằng



1a

 

1  b





1 ab



2 a b, 0

12. Cho , ,x y z0 thỏa mãn xyz1 và n là số nguyên dương . Chứng minh

1 1 1

2 2 2

n n n

x y z

  

      

     

     

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Sử dụng dạng

2
x y
xy   ; 3

3
x y z

xyz  

Ví dụ 1:Cho , ,x y z0.Chứng minh rằng xy yz  zx  x y z
Giải

Ta có

2 2 2

x y y z z x

xy yz  zx        x y z

Đẳng thức xảy ra khi x y z

Ví dụ 2. Cho , ,a b c0. Chứng mnh rằng 13abc  3



1a

 

1b

 

1c



 

*
Giải

Ta có

 



 





 



3 3

* 1

1 1 1 1 1 1

abc

a b c a b c

  

     



 



3
3

1 1 1 1 1 1 1 1

. .

1 1 1 3 1 1 1

1 a 1 b 1 c a b c a b c

 

     

       

  

Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1

1a 1b 1c  a b c



 



3
3

1
. .

1 1 1 3 1 1 1

1 1 1

abc a b c a b c

a b c a b c

a b c

 

     

       

  

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Do đó



 





 



3 3

1 1 1 1 1

3 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

abc a b c

a b c a b c

 

        

     

 

     

Đẳng thức xảy ra khi a b c 
Vậy 13 abc 3



1a

 

1b

 

1c



Ví dụ 3: Tìm GTLN của hàm số 2 3

3 2

y x  x với 0 3
2
x

 

Giải

Ta có





2 3 3 2

3 2 . . 3 2 1

x x x

y x  x x x  x      

 

( Chú ý : ta có

3
3

3 3

x y z x y z

xyz   xyz    

  )

Đẳng thức xảy ra khi x x  3 2x x 1
Vậy 3

0;
2

Max

y

 
 
 



khi x1

Ví dụ 4: Tìm GTLN của hàm số y2x2x3

với 0 x 2
Giải

Ta có









3
2 2 1 . . 4 2 1 4 2 3 32

2 2 3

x x x

y x  x x x  x       

 

Đẳng thức xảy ra khi 4 2 4
3

x x   x x

Vậy

 0;2
32

Max

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

( Tại sao ta lại phân tích 2





1 . . 4 2





x  x x x  x ?)
Tóm lược: Thường sử dụng kĩ thuật này trong

Chứng minh bất đẳng thức dạng 
Tìm GTLN

BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng c a c



 



c b c



 



ab   a c 0,b c 0.
2. Cho , ,a b c0 và a b c  1. Chứng minh rằng 16abc a b  .

3.Cho , ,a b c o và a b c  1. Chứng minh rằng:



 



8
729
abc a b b c c a    .
4. Cho a, b, c là 3 số thực dương chứng minh rằng :



 





 





 



3
2

bc ca ab

a b a c   b c b a   c a c b  

ii)



a b a c a

 









b c b a b

 









c a c b c

 





23
3. Kỹ thuật ghép đối xứng:

Để ý : 2



x y z       

 

x y

 

y z

 

z x



2 2 2

x y y z z x
x y z       

     

2 2 2

x y z  xy yz zx

, , 0
xyz xy yz zx x y z

Ví dụ 1: Trong ABC chứng minh rằng



 



1
8
p a p b p c    abc
Giải

Trong tam giác thì p a p b p c ,  ,  0 nên ta có :



p a p b

 





 p a p b  2  2c . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p a    p b a b



p b p c

 

 



a2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b c



p c p a

 





2b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c a
Suy ra



 



p a p b p c    abc. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  hay tam giác ABC đều.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng



a b c



2 2 2 9 a b c, , 0

 

a b b c c a

 

       

  

 

Giải

Ta có

 

* 2



a b c



1 1 1 9
a b b c c a

 

      

  

 



a b

 

b c

 

c a



1 1 1 9
a b b c c a

 

          

  

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 3: Chứng minh rằng bc ca ab a b c a b c, , 0

a  b  c     

Giải
Ta có bc ca 2c

a  b  . Đẳng thức xảy ra khi a b
2

ca ab
a

b  c  . Đẳng thức xảy ra khi b c
2

ab bc

b

c  a  . Đẳng thức xảy ra khi c a
Suy ra 2 bc ca ab 2



a b c



a b c

      

 

 

bc ca ab

a b c
a b c

      . Đẳng thức xảy ra khi a b c 

BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng a b c 1 1 1 a b c, , 0
bc ca ab    a b c  
2. Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2 , , 0

a b c a c b

a b c

b c a   c b a  

3. Chứng minh rằng 12 12 12 a b c a b c, , 0

a b c abc

 

    

4. Kỹ thuật đổi biến:

Ví dụ mở đầu : Chứng minh rằng a b b c c a 6 a b c, , 0

c a b

       

Giải

Ta có a b b c c a a b b c c a a c c b b a 2 2 2 6

c a b c c a a b b c a b c a b

                       

     

     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Nhận xét: trong Ví dụ trên ta sử dụng tính chất a b a b
c c c

   bây giờ ngược lại nếu trong bất đẳng thức

cần chứng minh có dạng c

a b thì liệu chúng ta có cịn sử dụng được tính chất nêu trên nữa khơng?

Ví dụ 1: Chứng minh rằng 3 , , 0
2

a b c

a b c
b c c a a b       

Giải

Để vận dụng được tính chất nêu trên thì ta phải gói gọn mẫu thành 1 biểu thức (1 chữ cái) còn tử là tổng
hoặc hiệu của những biểu thức tính theo mẫu . Để làm việc này ta chỉ cần đặt như sau

Đặt

b c x
c a y
a b z

 



  



  



và bây giờ ta tính , ,a b c theo , ,x y z. Dễ thấy x y z  2



a b c 



Khi đó





2 2 2

x y z x y z y z x

a     b c    x   . Tương tự ta tính được

2
z x y
b   ,

2
x y z

c   . Như vậy bất đẳng thức đã cho có thể viết lại
3

1 1 1 3

2 2 2 2

y z x z x y x y z y z z x x y

x y z x x y y z z

                  

y z z x x y 6
x x y y z z

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng

2 2 2

a b c

a b c
b c a c a b a b c          
Giải

Đặt

2
, 0

, 0

2
, 0

2
y z
a

b c a x x

z x

c a b y y z y z a b c b

a b c z z x y

c


 



   

 



            

 

     

   



. Bất đẳng thức đã cho được viết lại :



 



4 4 4

y z z x x y

x y z

x y z

  

    





2 2 2 2 2 2 2 2 2
4

y z z x x y yz zx xy

x y z

x x y y z z x y z

            . Đến đây không khó để chứng minh





2 2 2

2
xy yz zx

x y z
z  x  y    và

2 2 2 2 2 2 2 2 2

y z z x x y yz zx xy

x  x  y  y  z  z  x  y  z . Từ đó suy ra điều
phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x    y z a b c

Ngồi cách phân tích như trên ta có thể chứng minh như sau:















 



2 2 2 2

2
4

4 4 4 4

y z yz

x x

z x zx y z z x x y yz zx xy

x y z

y y x y z x y z

x y xy

z z





 



    

          



 





Ví dụ 3: Chứng minh rằng a b c, , 0 và abc1 ta có 2













1 1 1 3

2
a b c b c a c a b 

Giải

Trong Ví dụ này với cách đặt như 2 ví dụ trên có lẽ khơng cịn phù hợp. Tuy nhiên để ý số 3

2 ta có liên
hệ gì với bất đẳng thức ở Ví dụ 1 khơng ? Trong Ví dụ 1 bằng cách đặt a 1,b 1,c 1

x y z

   và quy đồng biến
đổi rút gọn ta được : x x y



yz



 y z x



zx



z x y



xy



23 vì bất đẳng thức này đúng với mọi , ,x y z0 nên ta
có thể ràng buộc thêm xyz1 để phát biểu thành bài toán mới 2













3
2

xyz yzx zxy

x x y  y z x z x y  hay













2 2 2

1 1 1 3

x x y  y z x z x y  .

Vậy để giải quyết bài tốn trong Ví dụ 3 đầu tiên ta đổi biến a 1,b 1,c 1

x y z

   trong đó , ,x y z0. Khi đó













2 2 2

1 1 1 3 3 3

2 2 2

x yz y zx z xy x y z

a b c b c a c a b   y z  z x  x y   y z  z x  x y  vì xyz1. Cách

chứng minh bất đẳng thức cuối đã có ở Ví dụ 1.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3a 4b 5c

b c c a a b     với , ,a b c0

2. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có 4
3

a b c d

b c d  c d a d a b a b c        

3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

4. Cho , ,a b c0 thỏa mãn điều kiện abc1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức













3 3 3

1 1 1

P

a b c b c a c a b

  

  

5. Cho tam giác ABC chứng minh rằng : a b c 3
b c a c a b a b c        

6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4a 9b 16c
b c a c a b a b c

  

      trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh

của một tam giác.

7. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: ab bc ca 4p

p c  p a  p b  trong đó p là nửa chu vi.

5. Kỹ thuật cân bằng hệ số:

Ví dụ 1: Cho , ,a b c0 thỏa mãn a b c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1

P a b c

a b c

     

Giải
Ta có a 1 2,b 1 2, c 1 2

a b c

      . Suy ra P6. Vậy Min P6

Trong cách giải trên ta đã mắc sai lầm ở chỗ đẳng thức xảy ra khi a b c  1 và do đó a b c  3
mâu thuẫn với giả thiết a b c  1.

Cách giải đúng là :
Ta có 9a 1 6

a

  . Đẳng thức xảy ra khi 9 1 1
3

a a

a

  

1
9b 6

b

  . Đẳng thức xảy ra khi 9 1 1
3

b b

b

  

1
9c 6

c

  . Đẳng thức xảy ra khi 9 1 1
3

c c

c

  

Suy ra 9



a b c



1 1 1 18 a b c 1 1 1 18 8



a b c



a b c a b c

                 . Đẳng thức

xảy ra khi 1
3

a b c   . Vậy Min P10 khi 1
3
a b c  

Đến đây ta có thắc mắc làm thế nào tìm ra số 9 và áp dụng như trên? Để trả lời câu hỏi này ta có
nhận xét: Vai trị của , ,a b c trong bài tốn là như nhau nên dự đoán MinP xảy ra khi 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

giờ ta tiếp tục tìm hệ số 9 bằng cách sử dụng ma 1 2 m
a

  trong đó m là số dương sao cho đẳng thức

xảy ra khi

9
1

3
ma

a m
a

 

  



 



Ví dụ 2: Cho , ,a b c0 ,a b c  3. Chứng minh 4a 1 4b 1 4c 1 3 5
Giải

Phân tích ta sẽ sử dụng dạng:

2
x y

xy   . Như vậy 4 1 1



4 1



1 4. 1
2

a m

a a m

m m

 

    . Vấn

đề là m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dự đốn đẳng thức xảy ra khi a b c  1. Do đó ta sẽ tìm m sao cho

4a 1 m và a1, dễ thấy m5 là giá trị cần tìm. Ta giải bài tốn như sau:
Ta có 4 1 1



4 1 5



1 4. 1 5 2 3

5 5 5

a a

a  a      . Đẳng thức xảy ra khi a1

2 3
4 1

5
b

b   . Đẳng thức xảy ra khi b1

2 3
4 1

5
c

c   . Đẳng thức xảy ra khi c1

Suy ra 4 1 4 1 4 1 2 3 2 3 2 3 3 5

5 5 5

a b c

a  b  c        .
Đẳng thức xảy ra khi a b c  1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu xy yz zx  5 thì 3x23y2 z2 10
Giải

Phân tích: 2 2
2

x y xy

    . Đẳng thức xảy ra khi xy
2 2 2

x z xz

    . Đẳng thức xảy ra khi x2 z2
2 2 2

y z yz

    . Đẳng thức xảy ra khi y2 z2
Bây giờ ta cần chọn , ,   thỏa mãn

3
2 1

 


 

  







 



. Giải hệ này ta được 1; 2; 1
2

      . Ta
trình bày lại cách giải : Ta có: 2 2

x y  xy. Đẳng thức xảy ra khi xy
2 1 2

2 2

x  z  xz. Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 2
2
x  z
2 1 2

2 2

y  z  yz. Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 2
2
y  z

Suy ra 3x23y2 z2 2



xy xz yz 



10. Đẳng thức xảy ra khi x y 1;z2
Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 47

x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P3x24y25z2

Giải

Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép 3x2 m 2 3mx trong đó m0. Tương tự
2

4y  n 2 4n y; 5z2 p 2 5pz

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Suy ra 3x24y25z2 2 3mx2 4n y2 5pz



m n p 



. Đến đây ta cần tìm , ,m n p sao cho

3m  4n  5pvà để ý đẳng thức xảy ra khi

2
3
4

47
12
m x
n y
p z
x y z

 







 



   



. Như thế ta tìm , ,m n p bằng cách giải hệ:

2
2

5 5

3 4 5 ; ; 5

5 5

3 4

3 1; ;

5 5 4 3

4 ;

25 25

3 4

; ; 5

5 47 3 4

47 12

m n p m p n p p z

m x z y x

n y x z y z

m n p

p z

x y z
x y z



  

   



  



    

     

  

      



     

 

  



Khi đó 3 2 4 2 5 2 2 3.25 2 4.25 2 5.5 25 25 5 10





235 235

3 4 3 4 12 12

x  y  z  x y z    x y z   

 

Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!!

BÀI TẬP

1. Cho , ,x y z0 ,x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2



x y z



3 1 1 1
x y z

 

       

 

2. Tìm giá trị lớn nhất của y 2x 3 5 2 x

3. Cho , ,x y z0, xy yz zx  1. Chứng minh rằng 10x210y2 z2 4
4. Cho a1,b1. Chứng minh rằng a b 1 b a 1 ab

5. Cho , ,a b c0, a b c  1. Chứng minh rằng a b  b c  c a  6
6. Kỹ thuật ghép nhóm:

Trong phần này bạn phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản thường gặp và phải sử dụng được kỹ
thuật cân bằng hệ số .

Ví dụ 1: Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

2 2 2
a b c

a b c

b  c  a   

Giải
Ta có

2
a

b a

b   . Đẳng thức xảy ra khi a b
2

2
b

c b

c   . Đẳng thức xảy ra khi b c
2

2
c

a c

a   . Đẳng thức xảy ra khi c a
Suy ra

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b c a b c

a b c a b c a b c

b  c  a        b  c  a    . Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 2: Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng





3 3 3

2 2 2
1

2 2 2 3

a b c

a b c
a b b  c c  a   

Giải

Ta có





1 2

. 2

2 9 3

a

a a b a

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>





1 2

. 2

2 9 3

b

b b c b
b c  





1 2

2 9 3

c

c c a c
c a  

Suy ra



 



3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 1

2 2 2

2 2 2 3 9

a b c

a b c a b c ab bc ca

a b b  c c  a          



2 2 2

 

2 2 2



1 2

3 a b c 9 a b c ab bc ca

        

Đến đây khơng khó để chứng tỏ a2  b2 c2 ab bc ca  . Do đó ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 3: Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

















3 3 3 1

a b c

a b c
b c a c a b a b c   
Giải

Ta có









3
3
a

mb n c a mna

b c a     . Đẳng thức xảy ra khi









3
a

mb n c a

b c a    mà ta

dự đoán trong bài toán trên đẳng thức xảy ra khi a b c  nên









1
2
1
4
m
a

ma n a a
a a a

n

 



    

  



Do đó









3 1 1 3

2 4 2

a

b c a a

b c a    









3 1 1 3

2 4 2

b

c a b b

c a b    









3 1 1 3

2 4 2

c

a b c c

a b c    

Suy ra





























3 3 3 3 1 1 1

2 2 2

2 2 4 2

a b c

a b c a b c a b c a b c

b c a c a b a b c            

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

BÀI TẬP
1. Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

5 5 5

3 3 3
a b c

a b c
bc ca ab    
2. Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

3 3 3

2 2 2
a b c

a b c
b  c  a   
3. Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

3 3 3
a b c

ab bc ca
b  c  a   
4. Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

5 5 5 3 3 3
3 3 3

a b c a b c

b c a  b  c  a .
5. Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng



 







3 3 3

2 2 2

1
4

a b c

a b c
b c  c a  a b   

6. Cho , ,a b c0.Chứng minh rằng



 







3 3 3 1

a b c

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

7. Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

3 3 3
2 2 2
a b c

a b c

c a b   

8. Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKOVSKI
Dạng 1:



ax by



2



a2b2

 

x2y2



. Đẳng thức xảy ra khi ay bx







2 2 2

 

2 2 2



ax by cz   a  b c x y z . Đẳng thức xảy ra khi a b c
x  y z
Ví dụ 1: Cho , ,a b c0. Chứng minh rằng

2 2 2

2 a b c

a b c

b c c a a b

 

      

  

 

Giải

Ta có a c c a . b c b . c a c . b c

b c c a a b

       

  

Do đó









2 2
2

2 2 2

a b c

a b c a b c

b c c a a b

 

       

  

 

2 2 2

2 a b c

a b c

b c c a a b

 

       

  

  . Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Dạng 1 này có thể rìm thấy nhiều trong các sách tham khảo .
Dạng 2:





2
2 2 a b
a b

x y x y



 

 với ,x y0 còn a, b tùy ý. Đẳng thức xảy ra khi

a b
x  y
Ví dụ 1: chứng minh rằng





2
2 2 2 a b c
a b c

x y z x y z

 

  

  với , ,x y z0

Giải

Ta có









2 2

2 2 2 a b 2 a b c

a b c c

x y z x y z x y z

  

    

   . Đẳng thức xảy ra khi

a b c
x  y z
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

Giải

Ta có









2 2 2

2 2

a b c

a b c a b c

b c c a a b a b c

   

   

     . Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng 1 1 1 9

x  y z x y z  x y z, , 0.

Giải

Ta có





2
2 2 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1 9

x y z x y z x y z x y z

 

      

    . Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 4: Chứng minh rằng 3 , , 0
2

a b c

a b c
b c c a a b       

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ta có









2 2 2

a b c

a b c a b c

b c c a a b ab ca bc ab ca bc ab bc ca

 

     

       

Mặt khác



a b c 



2 3



ab bc ca 



. Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 5: Cho , ,a b c0 chứng minh rằng 1 1 1 1

2 2 3 3

a b b  a  a b
Giải

Ta có





2 2 2 2
1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 9 9 9

a b a b b a b b a b

     

        

      





2 2 2 2
1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 9 9 9

b a a b b b a a b a

     

        

      

Công các bất đẳng thức lại ta được điều cần chứng minh.
BÀI TẬP

1. Cho , ,a b c0. Chứng minh

2 2 2
a b c

a b c

b  c  a   

2. Cho , ,a b c0. Chứng minh

3 3 3

2 2 2
a b c

a b c
b  c  a   
3. Cho , ,a b c0. Chứng minh

3 3 3 2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

4. Cho , ,a b c0. Chứng minh 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 6 6 6

a b c b  c a c  a b a b c

Trên đây là những kỹ thuật thường gặp trong những bài toán đơn giản hy vọng rằng trong thời gian ngắn
các em làm quen và áp dụng được vào các bài toán . ( Chú ý một điều là đẳng thức xảy ra khi nào ? )

Chúc các em có một kỳ thi như ý !!!

</div>

Ki thuat su dung BDT CauchyTuan AnhNga Dien

<b>KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY</b>



 

 





 

 







<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>



  

<sub></sub>

<sub></sub>





BÀI TẬP



 

 









 

 

 

 

 





 

 

 

 

 





 









 

 



 

 



 

 





 

 





 

 





 

 





 

 





 