De thi hoc sinh gioi mon Toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

UBND huyện lục yên <b> đề thi chọn học sinh giỏi cấp thcs</b>
<b>phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Lục Yờn </b><b> Nm hc 2007-2008</b>

<b> </b>

<b>môn: toán</b>

<b>Thi gian: 150 phỳt</b><i><b> (khụng k thi gian giao )</b></i>

<b>Bài 1</b>. (3 điểm): Giải phơng trình:

a)



2<i>x</i>2

+5<i>x</i>+1=<i>x</i>+1
b)



3<i>x</i>2

+6<i>x</i>+7+

5<i>x</i>2+10<i>x+</i>21=5<i></i>2<i>x x</i>2

<b>Bài 2</b>. (2 điểm):

a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức sau:
<i>A</i>=<i>x </i>2004+2005<i> x</i>

b) Tìm giá trị lớn nhất của:
<i>B</i>=3<i>x</i>

2<i></i>₆<i>_x</i>
+17
<i>x</i>2<i></i>2<i>x</i>+5

<b>Bài 3</b>. (1,5 điểm): Cho M và N thứ tự là trung điểm của các cạnh AD và BC cđa

hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P tùy ý. Giao điểm của PM
và AC tại Q.

Chøng minh r»ng: gãc QNM = gãc MNP.

<b>Bài 4</b>. (1,5 điểm): Cho hình vng ABCD, một đờng thẳng qua A ct cỏc cnh BC

và CD lần lợt ở E và F.

Chứng minh rằng: 1

AE2+
1
AF2=

1
AB2

<b>Bài 5</b>. (2 điểm):

a) Chứng minh rằng với mọi n là số lẻ thì <i>_n</i>3

<i>−</i>3<i>n</i>2<i>−n</i>+3 chia hÕt cho 48.
b) Cho d·y sè:

¿

102<i>;</i>108<i>;</i>. ..<i>;</i>1002}

<i>A</i>=¿

1) TÝnh sè phÇn tư cđa A.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

UBND huyện lục yên <b>kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thcs</b>
<b>phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Lục Yên </b>–<b> Năm học 2007-2008</b>

<b>Hớng dẫn chấm</b>
<b>Môn: toán</b>

<b>Bài 1</b>. (3 điểm):
a)



2<i>x</i>2

+5<i>x</i>+1=<i>x</i>+1

<i></i>

{

<i>x</i>+1<i>≥</i>0

2<i>x</i>2+5<i>x+</i>1=<i>x</i>+1 (0,5 ®iĨm)

<i>⇔</i>

{

<i>x ≥ −</i>1
2<i>x</i>2

+4<i>x=</i>0 (0,25 ®iĨm)

<i>x </i>1

Thoa man

<i>x=</i>2(Loai)

<i>x</i>=0

<i>x</i>(<i>x</i>+2)=0<i></i>

<i></i>

(0,5 điểm)

Vậy phơng tr×nh cã mét nghiƯm x = 0. (0,25 ®iĨm)
b)

_√

₃<i>_x</i>2

+6<i>x</i>+7+

√

5<i>x</i>2+10<i>x+</i>21=5<i>−</i>2<i>x − x</i>2
<i>x</i>+1¿2+4

¿

<i>x+</i>1¿2+16

¿

<i>x</i>+1¿2

5¿

3¿

<i>⇔</i>√¿

(0,5 điểm)

Vì <i>x+</i>12<i></i>0

3 ;

<i>x+</i>12<i></i>0

5 nên: (0,25 ®iĨm)

<i>x+</i>1¿2+4

¿

3¿

√¿

<i>x+</i>1¿2+16

¿

5¿

√¿

(0,25 ®iĨm)

Do đó vế trái của phơng trình khơng nhỏ hơn 6, cịn vế phải rõ ràng là
không lớn hơn 6. (0,25 điểm)
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra: x = -1. (0,25 im)

<b>Bài 2</b>. (2 điểm):

a) <i>A=</i>√<i>x −</i>2004+√2005<i>− x</i>
§iỊu kiƯn: 2004<i>≤ x ≤</i>2005

<i>A ≥</i>0,<i>⇒A</i>2

=1+2

√

(<i>x −</i>2004)(2005<i>− x)</i> (0,25 điểm)
Do đó: <i>A ≥</i>1 , dấu “=” xảy ra khi:

<i>x=</i>2004
<i>x=</i>2005

(<i>x −</i>2004)(2005<i>− x)=</i>0<i>⇔</i>¿

(0,25 ®iĨm)
VËy Min A = 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

_√

(x −2004)(2005<i>− x)≤ x −</i>2004+2005<i>− x=</i>1 (0,25
®iĨm)

Do đó: <i>A</i>2<i>_≤</i>₂<i>_⇒_{A ≤}</i>

√2 . DÊu “ =” x¶y ra khi vµ chØ khi:

<i>x −</i>2004=2005<i>− x</i>

<i>⇔</i>2<i>x=</i>4009<i>⇔x</i>=4009

2 . (0,25 ®iĨm)

VËy Max A = _√2 .
b) <i>B</i>=3<i>x</i>

2

<i>−</i>6<i>x</i>+17
<i>x</i>2<i>₋</i>₂<i>_x</i>

+5
<i>x −</i>1¿2+4

¿
¿

<i>B</i>=3+ 2

<i>x</i>2<i>−</i>2<i>x</i>+5=3+
2

¿

(0,5 ®iĨm)

Max <i>B=</i>31

2 khi x = 1. (0,5

điểm)

<b>Bài 3</b>. (1,5 điểm): I là giao cđa AC vµ MN

Theo đề bài MA = MD; NB = NC <i>⇒</i> MN là trục đối xứng của hình chữ
nhật ABCD.

Kẻ HI MN (H QN) <i>⇒</i> HI là trục đối xứng. (0,25
điểm)

<i>⇒</i> HI // BC, theo TalÐt ta cã: QH

QN=
QI

QC (1) (0,25 ®iĨm)

MN // BC, theo TalÐt ta cã: QI

QC=
QM

QP (2) (0,25 ®iĨm)

Tõ (1) vµ (2) <i>⇒</i> QH
QN=

QM

QP <i>⇒</i>HM // NP (Theo TalÐt)

<i>⇒</i> Gãc M1 = gãc N2 (so le trong) (3) (0,25 ®iĨm)

Mặt khác, I là giao của hai trục đối xứng <i>⇒</i> IN = IM

Mµ IH MN <i>⇒Δ</i>HMN c©n <i>⇒</i> gãc M1 = gãc N1 (4) (0,25

điểm)

Từ (3) và (4) <i>⇒</i> gãc N1 = gãc N2 hay gãc QNM = góc MNP (đpcm). (0,25

điểm)

<b>Bài 4</b>. (1,5 điểm):

Dựng AM AF (M DC)

Ta cã: gãc A1 + gãc A2 = 1v; gãc A3 + gãc A2 = 1v (0,25 ®iĨm)

<i>⇒</i> gãc A3 = gãc A1; cã AB = AD (gt) (1) (0,25

®iĨm)

<i>⇒</i> Tam giác vuông ABE = tam giác vuông ADM

<i></i> AM = AE (2) (0,25

®iĨm)

Trong tam giác vng AMF có AD là đờng cao

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>⇒</i> 1
AD2=

1
AM2+

1

AF2 (3) (0,5 điểm)

Từ (1), (2) và (3) <i></i> 1
AB2=

1
AE2+

1

AF2 (®pcm) (0,25

®iĨm)

3
2
1

F
E

M D C

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 5</b>. (2 điểm):
a) <i>n</i>3<i>₋</i>₃<i>_n</i>2<i>_−n</i>

+3=n2(n −3)<i>−(n −</i>3)=(n −3)(n −1)(n+1) (0,25 điểm)
Với n là số lẻ <i></i>(<i>n</i>3)(n 1)(n+1) là tích ba số chẵn liên tiếp có dạng:

2<i>k</i>(2<i>k</i>+2)(2<i>k</i>+4)=8<i>k</i>(<i>k</i>+1)(k+2) (víi <i>k∈N</i>❑ ) (0,25
điểm)

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(k+2) là tích ba số nguyên liên tiếp

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(k+2)2 và <i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)3 (0,25
điểm)

Mà (2, 3) = 1 <i>k</i>(<i>k</i>+1)(k+2)6

<i></i>8<i>k</i>(<i>k</i>+1)(k+2)48 (đpcm). (0,25
®iĨm)

b)

1) Ta có dãy cách đều thì:
số cuối - số đầu

Sè phÇn tö = +1 (0,25 điểm)
khoảng cách của dÃy

<i></i> Số phần tử của A là 1002<i></i>102

6 +1=151 phần tư. (0,25

®iĨm)

2) Mặt khác, trong dãy cách đều thì:

Un = U1 + (n - 1).d (với d là khoảng cách của d·y) (0,25 ®iĨm)

<i>⇒</i> U151 = 102 + (151 - 1).6 = 1002. (0,25 ®iĨm)

</div>

<!--links-->