de va hdc hsg 12v220102011

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (146.72 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT 
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011

Mơn thi: Tốn - Vịng II

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 26 tháng 10 năm 2010)

SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(2.5 điểm)

Giải hệ phương trình:





2 2

1 1 3 3

y x

x y

x

y x x



  





    




Câu 2:(2.0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f: R*  R* thỏa mãn:
i)

1
(1)

f 

ii)

2010 2010

( ) ( ) ( )

f xy f x f f y f

y x

   

    

 

  , x y R,  *

Câu 3:(2.0 điểm)

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:



 



2 2 2 125

1 cos 1 cos 1 cos

A B C

   

Câu 4:(2.5 điểm)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, góc giữa mỗi mặt bên và

mặt đáy bằng . Mặt phẳng (P) xác định bởi đường thẳng AB và đường phân giác của
góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một
thiết diện chia hình chóp thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần đó theo a và .

Câu 5:(1.0 điểm)

Trong một hội nghị có các nhà toán học nam và các nhà toán học nữ. Biết rằng:
i) Mỗi nhà toán học nam quen đúng 10 nhà tốn học nữ.

ii) Hai nhà tốn học nữ bất kì cùng quen đúng 6 nhà tốn học nam.
Hãy tính số nhà tốn học nam biết trong hội nghị có 21 nhà toán học nữ?

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT 
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011

Mơn thi: Tốn - Vịng II
 (Khóa ngày 26 tháng 10 năm 2010)

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)

yêu cầu chung

* ỏp ỏn ch trỡnh by một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải
sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng
bài.

* Điểm của tồn bài là tổng (khơng làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm

1





2 2

2 2 (1)

1 1 3 3 (2)

y x

x y

x

y x x



  





    




ĐK: x > 0; y0.
Ta cã:









(1) x y 2 x y x y 2x y 0 y x

x y y x



  

 

        



  

TH1: y  x < 0. Từ (2) suy ra y > 0 ( vơ lí)
TH2: y 2x. Thay vào (2), ta có:









2x x  1 1  3x  3 2x 3 x  1 2x

(2)

Nhận xét rằng:

3
2
x

không phải là nghiệm của (2)
Do đó: (2)

2 1 2 0

2 3

x
x

x

   



Xét hàm số :

2 2

( ) 1

2 3

x

f x x

x

  

 có

2,5 điểm

0,25

0,5
0,25

0,25

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>









2 3 3

'( ) 0, 0; \

1 2 3

x

f x x

x x

 

 

       

 

   

BBT

x 0 32 +

f’(x) + +

+ +

f(x)

1 -

Ta có: f x( ) 0 có một nghiệm x 3 nên đó là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ phương trình có nghiệm



3;2 3



0,25

0,5
0,25

2 Từ ii) cho:
+ x y 1:

(1) (1) (2010) (1) (2010) (2010)

f f f  f f  f 

2010 2010

1: ( ) ( ) (2010) (1) ( )

y f x f x f f f f x f

x x

   

       

   





2010 2010 2010

: (2010) ( ) ( ) 2 ( )

y f f x f x f f f x

x x x

   

      

   



( )



2 1 ( ) 1

4 2

f x f x

   

Thử lại

1
( )

2
f x 

thỏa mãn điều kiện bài toán.

2,0 điểm
0,5
0,5

0,5

0,5
3

Giả sử C = min{A, B, C}
 Ta có

0 1

0 60 cos ;1

C C  

    

 



 





 







2 2 1 cos2 1 cos 2

1 cos 1 cos 1 1

2 2

1 1

3 cos 2 3 cos2 9 3(cos2 cos 2 ) cos 2 cos2

4 4

A B

A B A B A B

 

   

       

   

      

2,0 điểm
0,25

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>







 







2 2

1 1

9 6cos cos( ) cos 2( ) cos 2( )

4 2

1 1

9 6cos cos( ) 2cos ( ) cos ( ) 2

4 2

9 6cos cos( ) cos ( ) 1 cos

4
1

9 cos( ) 1 cos( ) 1 6cos 6cos cos

C A B A B A B

C A B A B C

A B A B C C C

 

        

 

 

 

          

 

 

        

        









1 1

9 6cos cos 3 cos

4 C C 4 C

    

(do

cos ;cos( ) 1

C A B 

)

Suy ra: VT









2 2

3 cos 1 cos

4 C C

  

Xét hàm số









2 2 1

( ) 3 1 , ;1

2
f x   x x x 

 



 



'( ) 2 3 1 2 1 0 ;1

f x   x  x x   x  

 

Do đó f(x) đồng biến trên
1

;1
2

 





 , suy ra VT

1 1 125

4 f 2 64

 

  

 

Dấu bằng xảy ra khi 600
A B
C







 hay tam giác ABC đều.

0,25

0,25
0,25

4

Gọi O là tâm tam giác đều ABC, M là trung điểm AB.

Mặt phẳng (P) tạo bởi AB và phân giác Mt của góc SMO , cắt hình chóp

theo thiết diện là tam giác cân ABN (N là giao điểm của tia phân giác Mt
và SC).

2,5 điểm

0,5

A C

M O

N
H
K

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta có:
VSABC =

1 1

. ( ) tan . ( )

3SO dt ABC 3MO dt ABC

2 3

1 1 3 3 1

.tan . tan

3 3 2 a  4 a 24a 

 

Gọi H và K là hình chiếu của S và C xuống Mt, ta có hai tam giác vuông
SMHvà CMK đồng dạng, nên:

1 3cos

SH

SM

CK



CM





Suy ra tỉ thể tích của hai hình tứ diện được cắt ra bởi thiết diện ANB là:

1 3cos

SABN

CABN

V

SH

SM

V



CK



CM





Do đó: VSABN

tan

24(1 3cos ) a 





VSABN

3 3

3cos sin

tan

24(1 3cos )a 8(1 3cos )a

 



 

 

 

0,25

0,5
0,25
0,25
0,25
5

Gọi s là số bộ ba (A, B, C) ở đây A là nhà toán học nam, B và C là hai nhà
toán học nữ mà A quen. Giả sử số nhà toán học nam trong hội nghị là k.
Ta tính s bằng hai cách.

Cách 1:

+ Chọn nhà toán học nam A: Có k cách chọn

+ Chọn hai nhà tốn học nữ B, C trong số 10 nhà toán học nữ mà A quen:
Có C102 cách chọn

Vậy s= k. C102 cách chọn bộ ba (A, B, C).

Cách 2:

+ Chọn hai nhà tốn học nữ B và C: Có C212 cách chọn

+ Chọn nhà toán học nam A quen B, C: Có 6 cách chọn
Vậy s= 6. C212 cách chọn bộ ba (A, B, C).

Suy ra:

2 2 21

10 21 2

. 6. C 28

k C C k

C

   

1,0 điểm
0,25

0,25

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6></div>

de va hdc hsg 12v220102011







 

 



<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b>











































 





 













 

































 

 



1

3cos

<i>SH</i>

<i>SM</i>

<i>CK</i>



<i>CM</i>





1

3cos

<i>V</i>

<i>SH</i>

<i>SM</i>

<i>V</i>



<i>CK</i>



<i>CM</i>



