Rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài toán tương giao đồ thị hàm số hợp góp phần nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO
HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ
HỢP GĨP PHẦN NÂNG CAO HIỆU QUẢ ƠN THI
TỐT NGHIỆP THPT

Người thực hiện:
Lê Thị Tâm
Chức vụ:
Tổ Trưởng chuyên mơn
SKKN thuộc lĩnh vực:
Tốn

THANH HỐ, NĂM 2021


MỤC LỤC

Mục
1

Nội dung

Trang

Mở đầu

2

1.1

Lí do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

3

1.3

Đối tượng nghiên cứu

3

1.4

Phương pháp nghiên cứu

3

Nội dung

3

2
2.1

Cơ sở lí luận

3-5

2.2

Thực trạng trước khi áp dụng SKKN

5-6

2.3

Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vân đề

6-18

2.4

Hiệu quả của SKKN

18-19

3

Kết luận, kiến nghị

19

Tài liệu tham khảo

20

Danh sách SKKN đã được Hội đồng Sở GD&ĐT đánh giá

21

2


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Đổi mới Giáo dục là một trong những nhiệm vụ hàng đầu của nước ta.
Trong đó có đổi mới Chương trình sách giáo khoa giáo dục phổ thông đã quy
định “ Mục tiêu giáo dục phổ thơng là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình
thành phẩm chất năng lực cơng dân phát triển và bồi dưỡng năng khiếu, định
hướng nghề nghiệm cho học sinh” [ 1] . Để thực hiện mục tiêu này giáo dục phổ
thông cần “ Nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện, chú trọng giáo dục lí
tưởng, truyền thống văn hóa, lịch sử, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học,
năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả
năng sáng tạo và tự học ” [ 1] .
Toán học có vai trị và vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình giáo
dục phổ thơng cũng như trong thực tiễn cuộc sống. Học tốt mơn Tốn học sinh
có khả năng lĩnh hội các tri thức một cách lôgic và khoa học. Để đạt kết quả cao
trong kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông trước hết học
sinh cần phải nắm vững kiến thức cơ bản đã học và vận dụng những kiến thức
đó vào việc phân tích các bài tốn khác. Các bài tốn hàm hợp được khai thác

rất nhiều ở các kỳ thi tốt nghiệp THPT. Ngồi việc giải quyết các bài tốn tương
giao đồ thị hàm hợp còn giúp chúng ta giải quyết tốt các bài tốn tính đơn điệu
của hàm số hợp, cực trị của hàm số hợp.
Làm tốt phần này học sinh có thể giải quyết được các câu vận dụng trong
các kỳ thi tốt nghiệp THPT. Từ khi đổi mới cách thức thi tốt nghiệp đến nay bài
toán tương giao đồ thị hàm số hợp là bài tốn khơng thể thiếu trong các kỳ thi
tốt nghiệp trung học phổ thông, nhưng sách giáo khoa lại chủ yếu đưa ra các
dạng bài toán tương giao của đồ thị hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và hàm
số bậc nhất trên bậc nhất với đường thẳng, khơng nói đến các bài tốn về hàm
hợp. Do đó bài tốn tương giao đồ thị hàm hợp là bài toán mới và học sinh cịn
nhiều khó khăn trong việc định hướng cách giải bài toán, đặc biệt đối với học
sinh trường THPT Lang Chánh chất lượng đầu vào của các em còn thấp thì tiếp
cận với dạng tốn này càng khó khăn hơn.
Ý thức sâu sắc vị trí quan trọng của dạng tốn này trong chương trình thi
tốt nghiệp THPT cũng như hiểu rõ thực tế học sinh, bản thân tôi luôn trăn trở, nỗ
lực tìm cách, giúp học sinh phương pháp giải nhanh, chính xác các dạng bài tập
khó này. Để tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập bản thân tơi một giáo
viên dạy tốn phải định hướng cho học sinh. Đó là lý do để tơi chọn đề tài “Rèn
luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài toán tương giao đồ
thị hàm số hợp góp phần nâng cao hiệu quả ơn thi tốt ngiệp THPT’’

3


1.2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài này định hướng cách giải hai dạng toán
tương giao đồ thị hàm số hợp để giải quyết các bài tốn tìm số nghiệm của
phương trình, và bài tốn liên quan đến tham số m . Nhằm rèn luyện các kỹ năng
toán học và định hướng cho học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy trong công nghệ thơng tin( Sử dụng máy tính Casio).

- Năng lực tư duy sáng tạo, định hướng tốt để giải quyết vấn đề.
- Kỹ năng vận dụng các kiến thức, phép tịnh tiến, lập bảng biến thiên, vẽ đồ
thị hàm số.
- Phát triển tư duy mối quan hệ giữa bảng biến thiên và đồ thi hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên của đề tài là phương pháp giải hai dạng toán “Tương
giao đồ thị hàm số hợp”. Chương I Giải tích 12, từ bài tốn đó đưa ra phương
pháp giải các bài tốn tìm số nghiệm của phương trình, bài tốn có chứa tham số
m . Để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh,
qua đó thấy được sự cần thiết của hai dạng toán “Tương giao đồ thị hàm số
hợp” trong chương trình giảng dạy ơn thi tốt nghiệp THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp:
+ Nhóm phương pháp lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12- Cơ
bản và Nâng cao, sách bài tập giải tích 12. Kế hoạch môn học được điều chỉnh
theo công văn số 3280/BGDĐT-GDTrH ngày 06/8/2020 của Bộ trưởng Bộ
GDĐT.
+ Nhóm phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra,
khảo sát thực tế dạy học ôn tập phần “ tương giao đồ thị hàm số hợp ” ở trường
THPT Lang Chánh để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc “Rèn luyện kỹ
năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài toán tương giao đồ thị hàm
số” Giải tích 12 trong việc nâng cao chất lượng dạy và học.
+ Phương pháp sử dụng toán thống kê: Thống kế tỉ lệ phần trăm
+ Phương pháp so sánh: Đánh giá quá trình thực hiện ở lớp đối chứng và
thực nghiệm nhằm để từ đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
2.1.1. Khái niệm kỹ năng giải toán:
Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó
chủ thể giải tốn cịn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành

động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong
những điều kiện khác nhau. Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kỹ năng
4


giải tốn của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri
thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài tốn cụ thể, thực hiện có kết quả
một hệ thống hành động giải toán để đi đển lời giải của bài toán một cách khoa
học”. Để thực hiện nhiệm vụ mơn Tốn trong trường THPT, một trong những
yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp,
đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương
ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri
thức và kỹ năng chứng minh tốn học, kỹ năng hoạt động tư duy hàm, ….Tuy
nhiên tùy theo nội dung tốn học mà có những u cầu rèn luyện kỹ năng khác
nhau. Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giải Toán
+ Phương pháp gián tiếp. Cung cấp cho học sinh một số các bài tốn có
cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải tốn. Đây là
phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và
khơng đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh.
+ Phương pháp trực tiếp. Giáo viên soạn thành những bài giảng về những
kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ
nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết. [ 2]
2.2.2. Vai trị của kỹ năng giải tốn.
Trong các mục đích của dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực
hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói
chung, kỹ năng tốn học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên
hệ giữa học với hành. Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học
thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng
không thành thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập tốn chính là “mảnh

đất” để rèn luyện kỹ năng giải tốn. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải tốn (đây cũng chính là hoạt
động chủ yếu khi dạy tốn). Cụ thể hơn thơng qua hoạt động giải toán, rèn luyện
kỹ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
+ Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, và
mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích
đặc điểm bài tốn.
+ Hướng cho học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
+ Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mơ hình khái quát và các kiến
thức tương ứng. Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục
những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:

5


+ Nhìn bài tốn dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách
giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài tốn.
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tịi cách giải ngắn gọn trong khi giải tốn. Tóm lại,
song song với việc truyền thụ tri thức tốn học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng
một vai trị quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh. [ 2]
Việc “Rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài toán
tương giao đồ thị hàm số hợp”. Giáo viên phải đảm bảo các yêu cầu sau:
+ Nắm vững các bài toán tương giao của các đồ thị như sự tương giao của
đồ thị hàm số bậc ba, hàm trùng phương, bàm bậc nhất trên bậc nhất với đường
thẳng. Từ những bài toán cơ bản trên. Trong đề tài này tôi đề cập tập trung giải
quyết bài toán “ Cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) . Xét giao
điểm của đồ thị hàm số y = f ( u( x) ) với đường thẳng y = d ”. Từ bài tốn tổng

qt tơi chia về hai dạng cơ bản.
Dạng 1: Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) , xét giao điểm của đồ thị
hàm số y = f ( u( x) ) với đường thẳng y = d .

Dạng 2: Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , xét giao điểm của đồ thị hàm số

y = f ( u( x) ) với đường thẳng y = d .

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Thực tế trong hai năm gần đây giảng dạy mơn Tốn khối 12 ở trường THPT
Lang Chánh, tơi nhận thấy cịn nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải các bài toán
tương giao đồ thị hàm hợp mà nguyên nhân thường gặp là bản thân các em chưa
nắm vững bài toán tương giao của hàm số bậc ba, hàm trùng phương… và hơn
nữa các em không nắm vững kiến thức của “phép tịnh tiến”; cách đặt ẩn phụ đã
học ở những lớp dưới. Để học tốt bài toán tương giao đồ thị hàm số hợp học
sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản về bài toán tương giao của các đồ thị mà
sách giáo khoa đã trình bày và địi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích tốt,
đồng thời phải có kỹ năng nhìn bảng biến thiên và đồ thị tốt, kỹ năng trình bày
tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa bảng biến thiên
và đồ thị. Nhưng trên thực tế thời gian dành cho nội dung kiến thức này rất ít.
Hơn nữa sách giáo khoa khơng đề cập đến các dạng bài toán tương giao đồ thị
hàm số hợp. Tài liệu tham khảo còn chung chung, phần lớn giáo viên mới chỉ
trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh một vài bài tập mà chưa khai
thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau.
Trong những năm gần đây kỳ thi tốt nghiệp THPT có rất đa dạng bài tập
liên qua đến hàm số hợp. Chính vì vậy việc rèn luyện và phát triển tư duy cho
người học là nhiệm vụ quan trọng trong công tác giảng dạy bộ mơn Tốn. Đặc
6

biệt là bài toán “tương giao đồ thị hàm số hợp”, đây là bài tốn hồn tồn mới
đối với hình thức thi trắc nghiệm. Đầu năm học 2020-2021 tôi cho hai lớp 12A3,
12A4 làm một bài khảo sát với nội dung kiến thức như nhau.
Kết quả khảo sát lớp 12A3, 12A4
Lớp
Số bài
Điểm
0−3
4
5
6
7
8
9
10
12A3
Số
1
8
15
14
2
0
0
0
Lớp
lượng:
thực
40
nghiệm %

2,5
20
37,5
35
5
0
0
0
12A4
Số
1
8
16
13
2
0
0
0
Lớp
lượng:
đối
40
chứng %
2,5
20
40
32,5
5
0
0

0
Sau khi khảo sát bài kiểm tra 20 phút giữa hai lớp 12A3 và 12A4 nội dung
về bài toán tương giao đồ thị hàm số hợp vào cùng một thời gian. Kết quả lần
lượt 5,15 và 5,16 như vậy; có thể xem hai lớp có học lực là tương đương nhau
và học sinh hai lớp chủ yếu làm được những bài tập cơ bản còn các bài tập về
tương giao đồ thị hàm số hợp các em làm được rất ít, điều này cho thấy kiến
thức về bài toán này các em chưa nắm vững và đây cũng là thực trạng chung của
rất nhiều học sinh lớp 12 nói chung và học sinh lớp 12 của trường THPT Lang
Chánh nói riêng. Vậy dựa trên tình hình thực tế tơi đã nghiên cứu hai dạng tốn
tương giao đồ thị hàm số hợp để học sinh tiếp thu một cách tốt nhất, giúp học
sinh có cái nhìn tồn diện hơn trong bài toán tương giao.
2.3. Các giải pháp:
Xét bài toán: Cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) . Xét
giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( u( x) ) với đường thẳng y = d .

2.3.1. Kiến thức cơ bản:
+ Phép tịnh tiến đồ thị hàm số.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị (G) của hàm số y = f ( x) ; p và q là
hai số dương tùy ý. Khi đó:
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x) + q .
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x) − q
.
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x + p) .
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x − p) .
+ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hoặc bảng biến thiên và đường thẳng y = d
.
7


Số giao điểm của đường thẳng y = d và đồ thị hoặc bảng biến thiên của

hàm số y = f ( x) chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
f ( x) = d .
2.3.2. Phương pháp:
+ Đặt u( x) = t , xác định điều kiện của t .
Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) , xác định các giao
điểm của đồ thị y = f ( t) với y = d .
+ Với mỗi giao điểm có hồnh độ ti , thay vào u( x) = t để xác định các giá
trị của x tương ứng.
Từ các giá trị x này đánh giá được giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( u( x) )
với đường thẳng y = d .
2.3.3 Dạng 1: Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) , xét giao điểm của
đồ thị hàm số y = f ( u( x) ) với đường thẳng y = d .

2.3.3.1 Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau

Số giao điểm của đồ thị y = f ( x + 1) với trục hoành là
A. 0.
B. 4.
C. 2 .
D. 1 .
Phân tích lời giải
Đây là bài tốn cơ bản học sinh có thể xác định được số giao điểm của hàm
số y = f ( x ) có bảng biến thiên bằng cách như sau:
Cách 1: Đồ thị của hàm số y = f ( x + 1) có được khi tịnh tiến đồ thị hàm số
y = f ( x ) sang trái 1 đơn vị, do đó bảng biến thiên của hàm số y = f ( x + 1) là

8

Từ bảng biến thiên suy ra số giao điểm của đồ thị y = f ( x + 1) với trục hoành
Ox là 4.
Cách 2: Đặt x + 1 = t ( t ∈ ¡ ) Khi đó số giao điểm của đồ thị y = f ( x + 1) và
trục hoành là
Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) với trục hoành .
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta thấy số giao điểm của đồ thị
y = f ( x ) với trục hoành Ox là 4.
Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x + 1) và trục hoành là 4.
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên

Giá trị m để đồ thị y = f ( x − 2) cắt đường thẳng y = m tại 3 điểm phân biệt
có hồnh độ lớn hơn 1 là
A. −2 < m< 2 .
B. m= 2 .
C. −3 ≤ m≤ −2.
D. m> 2 .
Phân tích lời giải

Hướng dẫn học sinh cách xác định đồ thị của hàm số y = f ( x − 2 ) có được

bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang phải 2 đơn vị thì việc lập bảng
biến thiên của đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) không cịn khó khăn.
Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x − 2 ) là

Từ bảng biến
thiên suy ra đồ thị y = f ( x − 2) cắt đường thẳng y = m tại 3 điểm phân biệt có
hồnh độ lớn hơn 1 khi và chỉ khi −2 < m < 2 .
Bài 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

9

Số nghiệm thực của phương trình 5 f ( 1 − 2 x ) + 1 = 0 là
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
Phân tích lời giải
Đối với bài 3 chúng ta biến đổi phương trình
5 f ( 1− 2x ) +1 = 0 ⇔ f ( 1 − 2x ) = −

1
5

D. 2 .

( 1) .

Đặt 1 − 2x = t ( t ∈¡ ) . Khi đó phương trình (1) trở thành phương trình
f ( t) = −

1
5

( 2) .

Số nghiệm x của phương trình ( 1) bằng số nghiệm t của phương trình ( 2 )
.
Số nghiệm của phương trình ( 2 ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ( t)

1
5

và đường thẳng y = − .

1
và đồ thị hàm số
5
y = f ( t ) có đúng 2 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm t

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = −

phân biệt.
Vậy số nghiệm của phương trình 5 f ( 1 − 2 x ) + 1 = 0 là 2.
Bài 4: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

3π 
của phương trình 2 f ( 2 cos x ) − 9 = 0 là
2 

B. 5 .
C. 3 .
D. 6 .


Số nghiệm thuộc đoạn  −π ;

A. 2 .
Phân tích lời giải

10


Đặt t = 2 cos x , t ∈ [ − 2;2] thì 2 f ( 2cos x ) − 9 = 0 trở thành
2 f ( t) −9 = 0 ⇔ f ( t) =

9
( 1)
2

.

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là ( 1) số giao điểm của hai đồ thị:

( C ) : y = f ( t ) và đường thẳng ( d ) : y = 92 .
Bảng biến thiên hàm số y = f ( t ) trên đoạn [ −2;2] :

Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm t ∈ [ − 2; 2] của ( 2 ) là 2 nghiệm phân

biệt t1 ∈ ( − 2;0 ) , t2 ∈ ( 0;2 ) .

Ta có đồ thị hàm số y = cos x trên  −π ; 3π  :

2 

Với

t1 ∈ ( −2; 0 ) ⇒ 2 cos x = t1 ∈ ( −2;0 ) ⇒ cos x =

t1

∈ ( −1; 0 ) .
2

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x trên  −π ; 3π  ta thấy phương trình

2 
cos x =

t1
∈ ( −1; 0 )
2

có
π

π

3 nghiệm phân biệt: −π < x1 < − 2 < 2 < x2 < π < x3 <

3π 

x ∈  −π ;  .
2 


Với

t2 ∈ ( 0; 2 ) ⇒ 2 cos x = t2 ∈ ( 0; 2 ) ⇒ cos x =

t2

∈ ( 0;1)
2

3π
2

( 1) có 3 nghiệm

.

11


Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x trên  −π ; 3π  ta thấy phương trình




cos x =

t2
∈ ( 0;1)
2

có 2 nghiệm phân biệt


Vậy số nghiệm thuộc đoạn  −π ;


−

π

2

2 

< x4 < 0 < x5 <

π
2

.

3π 
của phương trình 2 f ( 2 cos x ) − 9 = 0 là
2 

2+3= 5

Bài 5 (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 2 Mã đề 103) Cho hàm số f ( x ) có bảng

biến thiên như sau

2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 f ( x − 4 x ) = m
có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; +∞ ) ?
A. 15 .
B. 12 .

C. 14 .
D.13 .
Phân tích lời giải
Đặt u = x 2 − 4 x (1)
Ta có BBT sau:

Hướng dẫn học sinh nhìn bảng biến thiên thấy được.
+ Với u < −4 , phương trình (1) vơ nghiệm.
+ Với u = −4 , phương trình (1) có một nghiệm x = 2 > 0 .
+ Với −4 < u < 0 , phương trình (1) có hai nghiệm x > 0 .
+ Vơi u ≥ 0 , phương trình (1) có một nghiệm x > 0
Khi đó 3 f ( x 2 − 4 x ) = m ⇒ f ( u ) =

m
(2), ta thấy:
3

m
= −3 ⇔ m = −9 , phương trình (2) có một nghiệm u = 0 nên phương
3
trình đã cho có một nghiệm x > 0 .

+ Nếu

12


m
< −2 ⇔ −9 < m < −6 , phương trình (2) có một nghiệm u > 0 và
3

một nghiệm u ∈ ( −2;0 ) nên phương trình đã cho có ba ngiệm x > 0 .
m
= −2 ⇔ m = −6 , phương trình (2) có một nghiệm u = −4 , một
+ Nếu
3
nghiệm u ∈ ( −2;0 ) và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có bốn nghiệm

+ Nếu −3 <

x >0.

m
< 2 ⇔ −6 < m < 6 , phương trình (2) có một nghiệm u < −4 , hai
3
nghiệm u ∈ ( −4;0 ) và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có năm nghiệm

+ Nếu −2 <

x>0.
m
= 2 ⇔ m = 6 , phương trình (2) có một nghiệm u < −4 , một nghiệm
3
u = −2 và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có ba nghiệm x > 0 .
m
> 2 ⇔ m > 6 , phương trình (2) có một nghiệm u < −4 và một
+ Nếu
3
nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có một nghiệm x > 0 .
Vậy −9 < m ≤ 6 ⇒ có 15 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

+ Nếu

Nhận xét.
+ Đối với hàm số hợp dạng y = f ( x + p) như bài 1, bài 2 chúng ta trình bày
bằng hai cách giải:
Cách 1: Sử dụng phép tịnh tiến
Đồ thị hàm số y = f ( x + b) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
y = f ( x) sang trái b đơn vị khi b> 0 , sang phải −b đơn vị khi b< 0.
Cách 2: Sử dụng cách đặt u( x) = t .
+ Tuy nhiên đối với bài 3, bài 4, bài 5 dạng hàm hợp phức tạp hơn, nên
chúng ta sử dụng phương pháp đặt.
+ Đường thẳng y = d luôn song song hoặc trùng với trục hoành Ox và cắt
trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng d .
2.3.4. Dạng 2: Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , xét giao điểm của đồ thị hàm
số y = f ( u( x) ) với đường thẳng y = d .

2.3.4.1. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới
đây.

Có bao nhiêu số ngun m để phương trình f ( sin x ) = m có đúng 2 nghiệm
thực phân biệt thuộc đoạn [ 0; π ]

13


A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .

Phân tích lời giải:
Đặt t = sin x .
Ta thấy với mỗi giá trị t ∈ [ 0;1) thì phương trình sin x = t có 2 nghiệm phân

biệt x ∈ [ 0; π ]
Do đó phương trình f ( sin x ) = m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt thuộc
đoạn [ 0; π ] khi và chỉ khi phương trình f ( t ) = m có 1 nghiệm thuộc nửa khoảng
[ 0;1) ⇔ m ∈ ( −1;1] .
Do m ∈ ¡ nên m ∈ { 0; 1} .
Vậy có 2 giá trị nguyên m thõa mãn yêu cầu bài toán
2
Bài 2: Cho hàm số f ( x) = a x + bx + c có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu
giá trị ngun của m để phương trình f ( f ( x ) ) = m có 8 nghiệm phân biệt?

A. 5 .
B. 3 .
Phân tích bài lời giải
Xét đồ thị y = f ( x )

C. Vô số.

D. 0 .

14


Với 0 < f ( x ) < 4 cho ta 4 nghiệm x phân biệt
Đặt t = f ( x )

Để phương trình f ( f ( x ) ) = m có 8 nghiệm phân biệt thì phương trình

f ( t ) = m phải có 2 nghiệm phân biệt t ∈ ( 0; 4 ) ⇔ m ∈ ( 0; 4 )
Do m ∈ ¡ nên m ∈ { 1; 2;3} .

Vậy có 3 giá trị nguyên m thõa mãn yêu cầu bài toán
3
2
Bài 3: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ ) có đồ thị như
hình vẽ dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f ( x − 2020 ) = m − 2021 có 3 nghiệm thực phân biệt?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 .
Phân tích lời giải
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta tịnh tiến đồ thị theo phương của trục Ox
Sang phải 2020 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x − 2020 ) .
Phương trình f ( x − 2020 ) = m − 2021 có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ
khi đường thẳng y = m − 2021 cắt đồ thị hàm số y = f ( x − 2020 ) tại 3 điểm phân
biệt.
Quan sát đồ thị hàm số y = f ( x − 2020 ) ta thấy: đường thẳng y = m − 2021 cắt
đồ thị hàm số y = f ( x − 2020 ) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
−2 < m − 2021 < 2 ⇔ 2019 < m < 2023 .
Vì m ∈ ¡ , 2019 < m < 2023 ⇒ m ∈ { 2020; 2021; 2022} .
Nhận xét: Đối với bài 3, chúng ta trình bày được bằng 2 cách
15

Cách 1: Sử dụng phép tịnh tiến. Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) tịnh tiến theo
phương của trục Ox ta được đồ thị hàm số y = f ( x + p ) . Dựa vào đồ thị ta biện
luận số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x + p ) với đường thẳng y = d từ đó kết
luận về số nghiệm của phương trình f ( x + p ) = m .
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt x − 2020 = u
Bài 4: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm
thực của phương trình f ( x − 2019 ) =

3
là
2

A. 8 .
B. 4 .
C. 7 .
D. 3 .
Phân tích lời giải
Đồ thị hàm số y = f ( x − 2019 ) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
y = f ( x ) song song với trục Ox sang phải 2019 đơn vị.
Do đó số nghiệm của phương trình f ( x − 2019 ) =
3
2

3
bằng số nghiệm phương
2

trình f ( x ) = .
3


 f ( x) = 2
3
Ta có f ( x ) = ⇔ 
.
2
 f ( x) = − 3

2

Dựa vào đồ thị, ta thấy:
Đường thẳng y =

3
cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt nên
2

3
có 3 nghiệm phân biệt.
2
3
Đường thẳng y = − cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 1 điểm nên phương
2
3
trình f ( x ) = − có 1 nghiệm.
2
3
Vậy phương trình f ( x − 2019 ) = có 4 nghiệm thực phân biệt.
2

phương trình f ( x ) =

Nhận xét: Đối với bài 4, chúng ta trình bày được bằng 2 cách

16


Cách 1: Sử dụng phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x − 2019 ) có được bằng
cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) song song với trục Ox sang phải 2019 đơn
vị.
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt x − 2019 = u
Bài 5: (Đề THPT Quốc Gia 2019 - Mã đề 103) Cho hàm số bậc ba
y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình
f ( x3 − 3 x ) =

3
là
2

A. 7 .
B. 3 .
Phân tích lời giải
Đặt t = x3 − 3x ta có phương trình f ( t ) =

C. 8 .
3
2

D. 4.

( 1) .

3
Từ đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y = ta suy ra phương trình ( 1)
2

có 4 nghiệm t1 < −2 < t2 < 0 < t3 < 2 < t4
x = 1

2
Xét hàm t = x3 − 3x . Ta có t ′ = 3x − 3 = 0 ⇔ 
Ta có bảng biến thiên
x = −1



Với t1 < −2 phương trình: t1 = x 3 − 3x cho ta 1 nghiệm.
Với −2 < t2 < 0 phương trình: t2 = x 3 − 3x cho ta 3 nghiệm.
Với 0 < t3 < 2 phương trình: t3 = x3 − 3 x cho ta 3 nghiệm.
Với 2 < t4 phương trình: t4 = x 3 − 3x cho ta 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 8 nghiệm.
17


Bài 6: Cho hàm số f ( x) có đồ thị như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [0;3π ] của phương trình 2 f (cos x) − 1 = 0 là:
A. 12 .
B. 6 .
C. 10 .
D. 8

Phân tích lời giải
Đặt t = cos x với x ∈ [0;3π ] ⇒ t ∈ [−1;1] ;
1

 f (t) = 2
Phương trình 2 f (cos x) − 1 = 0 trở thành 
 f (t) = −1

2
Căn cứ đồ thị hàm số f ( x) ta thấy:

f ( t) =

(1)
(2)

t = t1 ∈ (−1;0)
1
⇔
(t1 ≠ t2 )
2
t = t2 ∈ (−1;0)

Với t = t1 ∈ (−1;0) ⇒ cos x = t1 có 3 nghiệm thuộc [0;3π ]
Với t = t2 ∈ (−1;0) ⇒ cos x = t2 có 3 nghiệm thuộc [0;3π ]
f ( t) = −

t = t3 ∈ (0;1)
1
⇔

2
t = t4 ∈ (0;1)

(t3 ≠ t4 )

Với t = t3 ∈ (0;1) ⇒ cos x = t3 có 3 nghiệm thuộc [0;3π ]
Với t = t4 ∈ (0;1) ⇒ cos x = t4 có 3 nghiệm thuộc [0;3π ]
Các nghiệm trên khơng có nghiệm nào trùng nhau(xem hình minh hoạ)

Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm thuộc [0;3π ]
18


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với đồng nghiệp và nhà trường:
Sau một học kỳ I năm học 2020-2021 tôi cho hai lớp 12A3, 12A4 làm kiểm
tra trắc nghiệm 20 phút với lượng kiến thức tương đương như lần kiểm tra trước
tôi đã thu được kết quả như sau; đối lớp 12A3 là lớp thực nghiệm, lớp 12A4 là
lớp đối chứng.
Lớp thực nghiệm 12A3
Số bài
Điểm
0−3
4
5
6
7
8
9
10

Trước
Số lượng:
1
8
15
14
2
0
0
0
tác động 40
%
2,5
20
37,5
35
5
0
0
0
Sau tác Số lượng:
0
3
14
15
3
3
2
0
động

40
%
0
7,5
35
37,5
7,5
7,5
5
0
Lớp đối chứng 12A3
Số bài
Điểm
0−3
4
5
6
7
8
9
10
Trước
Số lượng:
1
8
16
13
2
0
0

0
40
%
2,5
20
40
32,5
5
0
0
0
Sau
Số lượng:
1
5
17
14
2
1
0
0
40
%
2,5
12,5 42,5
35
5
2,5
5
0

Từ bảng cho thấy điểm trung bình lớp 12A3 trước khi tác động và điểm
trung bình lớp 12A4 sau khi học song chương I Giải Tích 12 lần lượt 5,15 và
5,16 như vậy; có thể xem hai lớp có học lực là tương đương nhau. Tuy nhiên sau
5 tháng tác động đề tài SKKN “Rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho
học sinh về bài toán tương giao đồ thị hàm số hợp”. Lớp 12A3 có điểm trung
bình 5,87 lớp 12A4 khơng được tác động của SKKN và chỉ ơn tập bình thường,
có điểm trung bình 5,3. Điều này cho thấy khơng phải ngẫu nhiên mà điểm trung
bình của lớp 12A3, cao hơn 12A4 mà do có sự tác động của đề tài.
* Đánh giá kết quả:
Với hai dạng toán “tương giao đồ thị hàm số hợp” trong SKKN này, tôi đã
áp dụng hiệu quả trong q trình ơn thi tốt nghiệp THPT ở trường THPT Lang
Chánh, giúp đồng nghiệp trong công tác chuyên môn nâng cao, hiệu quả công
tác giảng dạy, giúp học sinh nâng cao điểm số trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và
kỳ thi học sinh giỏi.
19


Ý thức của học sinh khi làm đề thi thử tốt nghiệp tốt hơn, tạo hứng thứ cho
học trong quá trình ơn tập và quan trọng hơn nữa là điểm số của các em được
tăng lên một cách rõ rệt.
3. KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN
3.1. Kết luận:
Để nâng cao chất lượng giáo dục, đối với giáo viên việc tìm ra phương
pháp dạy các dạng toán mới đáp ứng nhu cầu của người học là yếu tố cần thiết,
nhằm nâng cao chun mơn nghiệp vụ.
Rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh THPT có ý nghĩa hết sức quan
trọng, góp phần trang bị cho học sinh những tri thức toán học cơ bản nhất để
phát triển kỹ năng của cuộc sống.
Đề tài “Rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài
toán tương giao đồ thị hàm số hợp”. Đã trình bày hai dạng tốn tốn cơ bản về

bài toán tương giao đồ thi hàm số hợp giúp cho học sinh trang bị kiến thức và
phương pháp giải các dạng toán này, giúp học sinh chủ động phát hiện vấn đề,
nắm bắt được tri thức từ đó kích thích niềm đam mê, sáng tạo trong học tập bộ
mơn Tốn. Giúp đồng nghiệp nâng cao chun mơn nghiệp vụ. Góp phần nâng
cao chất lượng giảng dạy và giáo dục học sinh
3.2. Một số kiến nghị:
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị trường
THPT Lang Chánh trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được áp
dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh học sinh học tập tốt, và u
thích mơn Tốn.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
TÁC GIẢ

Lê Thị Tâm

20


Tài liệu tham khảo
1. Nguồn tài liệu Internet về giáo dục.
2. Nguyễn Hữa Châu. Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình
dạy học.
3. Trần Văn Hạo Giải Tích 12 của nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam .
4. Đề thi tốt nghiệp THPT 2020, đề thi THPT Quốc Gia 2019, đề thi tốt
nghiệp THPT và các đề thi thử của các trường trên cả nước và trên nhóm Tốn

STRONG VD- VDC.

21


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Tâm
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ Trưởng CM, Trường THPT Lang Chánh

TT

1.

2.

3.

Tên đề tài SKKN

Ứng dụng đạo hàm để giải
một số bài tốn phương trình,
bất phương trình có chứa
tham số.
Một số giải pháp nhằm khắc
phục tình trạng học sinh bỏ
học ở trường THPT Lang

Chánh, Thanh Hóa
Một số giải pháp nâng cao ý
thức pháp luật cho học sinh
trường THPT Lang Chánh

Cấp đánh giá
xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá xếp
loại (A, B,
hoặc C)

Năm học đánh
giá xếp loại

Cấp tỉnh

C

2012 - 2013

Cấp tỉnh

C

2015- 2016

Cấp tỉnh

B

2017-2018

22