LÝ THUYẾT + CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC+ bài tập

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LỚP 11
1. Cơng thức lượng giác cơ bản

sin 2   cos 2   1
tan  

tan  .cot   1

sin 
cos 

1  tan 2  

cot  

1
cos 2 

cos 
sin 

1  cot 2  

1
sin 2 

2. Công thức đối:

cos( )  cos 

sin( )   sin 

tan(  )   tan 

cot(  )   cot 

3. Công thức bù:

sin(   )  sin 

cos(   )   cos 

tan(   )   tan 

cot(   )   cot 

*
*

sin(


  )  cos 
2

tan(


  )  cot 
2

*

cos(

*


  )  sin 
2

cot(


  )  tan 
2

4. Công thức hơn kém  :

sin(   )   sin 

cos(   )   cos 

tan(   )  tan 

cot(   )  cot 

5. Công thức cộng:

sin( a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b
sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b

cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
(cách nhớ : sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin h ơn nhau d ấu tr ừ)

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc


6. Công thức nhân đôi:

cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2cos 2 a  1  1  2sin 2 a .
sin 2a  2sin a.cos a

7. Công thức nhân 3

sin 3 x  3sin x  4sin x =======>
3

cos3 x  4cos x  3cos x ========>
3

sin 3 x 

3sin x  3sin 3 x
4

cos3 x 

3cos x  cos3 x
4

3tan x  tan 3 x
tan 3 x 
1  3tan 2 x
8. Công thức hạ bậc:
cos 2 a 

1  cos 2a
2

Hạ bậc toàn cục

3 1
sin 4 x  cos 4 x   cos 4 x
4 4
4
4
sin x  cos x   cos 2 x
5 3
sin 6 x  cos 6 x   cos 4 x
8 8
1
3
sin 6 x  cos 6 x  cos3 2 x  cos 2 x
4
4
9. Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
cos a.cos b 

1
 cos(a  b)  cos(a  b)

2

sin a.sin b 

1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2

sin a.cos b 

1
 sin(a  b)  sin(a  b)
2

10. Công thức biến đổi tổng thành tích:
Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

sin 2 a 

1  cos 2a
2


cos a  cos b  2cos

ab
a b
cos
2
2

cos a  cos b  2sin

sin a  sin b  2sin

ab
a b
cos
2
2

sin a  sin b  2cos

tan a �tan b 

sin( a �b)
cos a.cos b

cot a �cot b 

11. Công thức tính tổng
� �
� �
sin x  cos x  2 sin �x  � 2 cos �x  �
� 4�
� 4�
� �
� �
sin x  cos x  2 sin �x  �  2 cos �x  �
� 4�

� 4�

1  sin 2 x   sin x  cos x 

2

1  sin 2 x   sin x  cos x 

2

 chú ý :

bù sin , đối cos, phụ chéo, tan h ơn kém pi,

Bẳng giá trị lượng giác cơ bản


4

0


6

sin

0

1
2

cos

1

3
2

2
2

tan

0

1
3

1
ththgtgf

cot

KXĐ

3

2
2

1


3


2

3
2

1
0

1
2
3

1
3

KXĐ
0

Phương trình lượng giác
1. Phương trình lượng giác cơ bản

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

ab

a b
sin
2
2

ab
a b
sin
2
2

sin  a �b 
sin a sin b


� x  u  k 2
sin x  sin u � �
x    u  k 2
�

tan x  tan u � x  u  k 2

cos x  cos u � x  �u  k 2

cot x  cot u � x  u  k

2. Công thức nghiệm thu gọn

sin x  1 � x   k 2
2


sin x  1 � x    k 2
2

cos x  1 � x  k 2
cos x  1 � x    k 2

cos x  0 � x   k
2

sin x  0 � x  k
3. Tập xác định
f  x
۳ f  x
 Căn bậc
xác định
1
۹ f  x
f x
 Phân thức   xác định
1

0
0

f  x
� f  x  0
 Căn thức ở mẫu
xác định
y  sin f  x 

� f  x
 Hàm số
xác định
xác định ( y  sin x xác đinh khi
x xác định
y  cos f  x 
� f  x
 Hàm số
xác định
xác định ( y  cos x xác đinh
khi x xác định)

y  tan f  x 
۹ cos f  x  0 ۹ f  x  2  k
 Hàm số
xác định
xác
định


x �  k
2
( y  tan x xác đinh khi
)
y  cot f  x 
sin f  x  �0 ۹ f  x 
 Hàm số
xác định �
( y  cot x xác đinh khi x �k )
4. GTLN, GTNN của hàm số lượng giác




1 �sin x �1 =======> 0 �sin 2 x �1
1 �cos x �1 =======> 0 �cos 2 x �1

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

k

xác định





0 �sin x �1
0 �cos x �1

Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình theo sin
� x    k 2
sin x  sin  � �
x      k 2
�



sin x  m

Nếu
Nếu

m 1

phương trình vơ nghiệm

m �1

phương trình có nghiệm
� 1
�
2
3
m ��
0,
,
;
; 1�
�
2
2
�
� 2

2
3
� 1
�
x  arcsin m  k 2

m ��
0, � , � ; � ; �1� sin x  m � �
�
2
2
x    arcsin m  k 2 , k ��
� 2
�thì
�
Nếu
2. Phương trình theo cos
  k 2
 cos x  cos  � x  �


, k ��

cos x  m
Nếu
Nếu

m 1

phương trình vơ nghiệm

m �1

phương trình có nghiệm
2
3

� 1
�
m ��
0,
,
;
; 1�
�
2
2
�
� 2

2
3
� 1
�
m ��
0, � , � ; � ; �1�
2
2
� 2
�thì cos x  m � x  �arccos m  k 2 , k ��
Nếu
3. Phương trình theo tan
 tan x  tan  � x    k


tan x  m

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc


�
3
m �
0;
;
�
� 3

�
3; 1�
�

�
�
3
m ��
0; � ; � 3; �1�
� 3
�thì tan x  m � x  arctan m  k , k ��
Nếu
4. Phương trình theo cot
 cot x  cot  � x    k
cot x  m



�

3
m �
0;
;
�
� 3

�
3; 1�
�

�
�
3
m ��
0; � ; � 3; �1�
� 3
�thì cot x  m � x  arccot m  k
Nếu

, k ��

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
2
* Dạng a sin x  b sin x  c  0

Đặt

t  sin x , t �1

.

( 1 �t �1 )

2
* Dạng a cos x  b cos x  c  0

Đặt

t  cos x , t �1

.

( 1 �t �1 )

2
* Dạng a cot x  b cot x  c  0 Đặt t  cot x .

3. Phương trình dạng a sin x  b cos x  c (1):
*Cách giải:

a 2  b 2 �c 2

+ xét điều kiên có nghiệm của phương trình:
+ Chia hai vế của phương trình (1) cho
a
Ta được:

a 2  b2

sin x 

b
a 2  b2

cos x 

Đưa phương trình về dạng sin
cos
Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

a 2  b2

c
a 2  b2
Ho ặc đ ưa ph ương trình v ề d ạng


� cos  sin x  sin  cos x 
� sin( x   ) 

c
a2  b2

c

� sin  sin x  cos  cos x 
۱ cos( x  ) 

a2  b2

c
a2  b2

c
a 2  b2

2
2
4. Phương trình dạng: a sin x  b sin x cos x  c cos x  d (1) ( Dạng phương trình
đẳng cấp)

Cách giải: Chia 2 vế cho cos x
+ Xét

cos x  0 � x 


 k
2
vào (1) để kiểm tra có phải là nghiệm khơng?

n
+ Với cos x �0 , chia hai vế của (1) cho cos x ( với n là bậc đẳng cấp ) ta được
phương trình:
2
Ví dụ trường hợp đẳng cấp bậc 2: chia cho cos x

a tan 2 x  b tan x  c  d .

1
cos 2 x

� a tan 2 x  b tan x  c  d .(1  tan 2 x)

5: Phương trình : Dạng a (sin x  cos x )  b sin x cos x  c ( đối xứng loại 1)
Đặt

t  sin x  cos x  2 sin( x 

Ta có :

sin x cos x 



)  2 cos( x  ), t � 2
4
4

t2 1
2 .

Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo biến t.
*Dạng a (sin x  cos x)  b sin x cos x  c


t  sin x  cos x  2 sin( x  ), t � 2
4
Đặt

1 t2
sin x cos x 
2 .
Ta có :
Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc


Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo biến t.
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
a) 2sin 3x  3  0

d)

� 3
2cos �
3x 
5
�
b)

e)

�
� 2  0
�

� �
2sin �
2 x  � 1  0
3�

�
c)





sin 2 x  200 



 3
2



tan x  600   3

�2 x  �
sin �  � 0
�3 3 �

f)

Bài 2: Giải các phương trình cơ bản
1
2
a)
3
cos 2 x 

4
b)
sin 2 x 

d) cos x  sin x  1
e) cos 2 x.cos5 x  cos 7 x

cos 2 2 x  1
h) 1  2cos  cos 2 x  0
c)

f) sin 4 x.sin 3 x  cos x

i) cos x  cos 2 x  cos3 x  0

Bài 3: Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos:
a) 3 sin x  cos x  2
b) 3 cos x  sin x  1
c) 3sin x  3cos x  2

d)

e) sin 2 x  3cos2x  2  0

f) 3sin x  2cosx  13  0

h) 5sin x  2cosx  6  0
i.



3 sin x  cosx  2  0

k) sin x  3 cos x  1



(1  3)sin x  1  3 cos x  2

Bài 4.(Dạng tìm m để các phương trình sau có nghiệm)
1.

2sin x  mcosx  1  m

2.

m sin x  ( m  1)cosx  1  0

3.

4sin xcosx  mcos2x  5  0

4.

mcos 2 x  sin 2 x  m  1

Bài 5. ( Phương trình bậc hai đối với các hàm số lượng giác)
2
1. 4sin x  4sin x  3  0

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

2
7. 8sin x  6cosx  9  0


2. cos4x  cos2x  1  0

2(sin 6 x  cos6 x)  sin x.cosx
0
1

sin
2
x
9.

1
sin x  cos x  sin 2 x 
2
3.
4

4

2
4. tan x  (1  3) tan x  3  0

2
10. 2cot x  3cot x  5  0

4
 tan 2 x  7  0
2
5. cos 2 x
6.

2 tan 2 x  3 

6sin 2 2 x  cos8x  14  0

8.

3
2
11. sin x

 3cot x  3

3
cosx

Bài 6. (Phương trình bậc ba đối với hàm số lượng giác)
3
2
a) 4sin x  8sin x  sin x  3  0

b) sin 3x  sin x  2

c) cos3x  3cos2x  2(1  cosx)

3
2
d) 2 tan x  2 tan x  3tan x  3  0

1
 3cot x  4  0
2
sin
x
e)
2
g) 5sin x  4sin x  1  0

1
cosx
f)
h) cos 2 x  3cos x  4  0

cot 3 x 

2cos2 x  8cosx  7 

1  2sin 2 x  3 2 sin x  sin 2 x
1
2sin x.cos x  1
i)
4

2

j)

cos 4 2 x  6cos 2 2 x 

25
16

4

k) sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x
Bài 7. ( Giải và biện luận theo tham số m)
Cho phương trình:

3 cos 2 x  sin 2 x  m  0

a) Giải phương trình với m  2
b)Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
Bài 8:

(dạng phương trình đẳng cấp)

2
2
a) sin 2 x  sin 4 x  3cos 2 x  0
2
2
c) 6sin x  7 3 sin 2 x  8cos x  6

e)

3 sin 2 x  cos2x 

1
cos2x

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

2
2
b) 8sin x  8sin x.cosx  3cos x  2
2
d) cos x  sin x.cosx  cos2x  2

3
2
3
f) 4sin x  sin x.cosx  3cos x  sin x


3
g) sin x  cosx  4sin x

h)

sin 2 x  cos2x  tan x  2

Bài 8.( Định m để phương trình sau có nghiệm)
1. Định m để phương trình sau có nghiệm:
a. 3sin x -6sinxcosx-5cos x+m=0

b. 6sin x+ msinxcosx- cos x=2+m

2. Cho phương trình : msin x-3sinxcosx-m-1=0.
Tìm mđể phương trình có nghiệm x( 0; \f(,4 ).
3. Cos x-sinxcosx-2sin x-m=0. Giải và biện luận theo m?
Bài 9: (Dạng phương trình đối xứng đối với sinx và cosx)
a) 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0

b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)

�
sin 2 x  2 sin �
�x  � 1
� 4�
c)

d) tan x  2 2 sin x  1

e) sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx

f) 2 sin2x(sin x + cosx) = 2

Bài 10: Giải các phương trình sau
1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x sin 2 x
1  cot 2 x
1)
2) sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x
sin 2 x  2cos x  sin x  1
0

tan x  3
3)
2
4) cos 4 x  12sin x  1  0

�
�
� 4 � 1 cos x
2

( ĐẠI HỌC KHỐI A-2011)
(ĐẠI HỌC KHỐI B-2011)
(ĐẠI H ỌC KH ỐI D-2011)
( cao đ ẳng kh ối A-B-D 2011)

 1  sin x  cos 2 x  sin �
�x 
5)

1  tan x

sin 2 x  cos 2 x  cos x  2 cos 2 x  sin x  0
6) 
7) sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x  1  0
5x
3x
4cos cos  2  8sin x  1 cos x  5
2
2
8)

Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc

(đại học khối A-2010)
( đại học khối B-2010)
( đại học khối D-2010)
( Cao đẳng khối A-B-D 2010)


Biên soạn và sưu tầm: Đào Duy Phúc