Phân loại các bài toán giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số

MỤC LỤC

Mục

Nội Dung

Tran
g

1

1. MỞ ĐẦU.

1

2

1.1 Lý do chọn đề tài.

1

3

1.2 Mục đích nghiên cứu.

1

4

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

2

5

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

2

6

2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2

7

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2

8

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2

9

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn đề.

3

10

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

18

11

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

18

12

3.1 Kết luận.

18

13

3.2 Kiến nghị.

19

14

Tài liệu tham khảo.

20


1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Những năm gần đây, các bài toán về hàm trị tuyệt đối đã xuất hiện trong đề tham
khảo, đề chính thức của Bộ giáo dục và sau đó nó đã trở thành trào lưu trên các diễn
đàn toán học, đồng thời xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi thử THPT
Quốc Gia của các Sở giáo dục, các trường phổ thơng với rất nhiều dạng tốn và
thường ở mức độ vận dụng, vận dụng cao.
Trong chương trình sách giáo khoa, các bài tập về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt
đối rất ít, bài tốn về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối khơng có. Trong các tài liệu tham khảo loại bài tập này khá nhiều nhưng chỉ
dừng ở việc cung cấp đề bài và lời giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét.
Qua nhiều năm dạy học tơi nhận thấy bài tốn về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ
nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư
duy sâu sắc, có kiến thức nền vững chắc nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến
thức khó và thường để mất điểm. Đối với học sinh khá, giỏi các em có thể làm được
phần này nhưng nhiều khi cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy, tốn nhiều
thời gian để giải và khi giải xong thì khơng tự tin với kết quả của mình.
Trước các lý do trên, để góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học mơn
Tốn ở nhà trường phổ thơng, tạo hứng thú học tập và nâng cao niềm tin vào khoa học
cho học sinh tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên ”PHÂN LOẠI
CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ THAM SỐ”.
Vì điều kiện thời gian cịn hạn chế và do khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm
nên sự phân loại có thể chưa được triệt để. Rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp
ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là phân loại các bài toán
giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham
số thành những dạng nhỏ kèm theo phương pháp giải, ví dụ minh họa và một hệ thống
bài tập để học sinh tự rèn luyện và phát triển kĩ năng giải quyết các bài toán dạng này.
Trang 2 |


1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các dạng câu hỏi về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trong đề thi THPT quốc
gia của Bộ giáo dục và đề thi thử của các trường THPT, các Sở giáo dục trên cả nước.
- Học sinh khối 12 trường THPT Nông Cống 2 Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Dựa vào sách giáo khoa, tài liệu tham khảo là đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo
dục và đề thi thử của các trường THPT, các Sở giáo dục trên cả nước; dựa vào thực
nghiệm trong quá trình giảng dạy của bản thân và dựa trên sự trao đổi chuyên môn với
đồng nghiệp. Phương pháp nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là sự kết hợp
giữa phương pháp nghiên cứu lý luận xây dựng lý thuyết và phương pháp phân tích, hệ
thống hóa tài liệu, tổng kết kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số.
y = f ( x)

Cho hàm số

D.

xác định trên tập

y = f ( x)

L được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

a. Số

D nếu

f ( x) ≤ L

x thuộc

với mọi

trên tập

D và tồn tại

L = max f ( x )
f ( x0 ) = L
x0 ∈ D sao cho
D
. Kí hiệu
.
y = f ( x)
n được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập

b. Số

D nếu

f ( x) ≥ n

f ( x0 ) = n

x0 ∈ D sao cho

x thuộc

với mọi
. Kí hiệu

D và tồn tại

n = min f ( x )
D

.

2.1.2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một
đoạn.

f ′( x)

Bước 2:
Trang 3 |

bằng
Tính

0 hoặc

f ( a)

( a; b ) ,

x1 , x2 ,..., xn trên khoảng

Bước 1: Tìm các điểm

,

f ′( x)
f ( x1 )

,

tại đó

khơng xác định.
f ( x2 )

, …,

f ( xn )

,

f ( b)

.

L = max f ( x )

n = min f ( x )

;

D

n trong các số trên. Ta có

L và số nhỏ nhất

Bước 3: Tìm số lớn nhất

.

D

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Khi đứng trước một bài toán giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối có tham số học sinh thường mất định hướng không biết bắt đầu từ
đâu hoặc khi đọc lời giải không biết tại sao người giải lại đưa ra đánh giá đó.
Qua khảo sát học sinh khối 12 tại trường THPT Nông Cống 2 khi giải bài toán
giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số đa
số các em học sinh không làm được, một bộ phận nhỏ khác thì khơng chắc chắn với
kết quả của mình, chỉ có một vài học sinh có thể đưa ra lời giải chính xác.

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề.
2.3.1. Bài toán tổng quát.
Cho hàm số

y = f ( x)

. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

[ a; b ] .
Phương pháp:

max f ( x ) = L
[ a ; b]

Bước 1: Tìm

min f ( x ) = n
[ a ; b]

;

.

Bước 2: Xét các khả năng:
•

Nếu

L.n ≤ 0 thì

•

Nếu

n > 0 thì

Nếu

L < 0 thì

•

min f ( x ) = 0
[ a ; b]

min f ( x ) = n
[ a ; b]

max f ( x ) = max { L ; n }
[ a ; b]

;

max f ( x ) = L
[ a ; b]

;

min f ( x ) = L = − L

[ a ; b]

max f ( x ) =
[ a ; b]

Cơng thức tính nhanh:

;

.

.

max f ( x ) = n = − n
[ a ; b]

.

L+n + L−n
2
.

2.3.2. Phân loại các dạng tốn.
2.3.2.1.
Trang 4 |

Dạng

1:

Tìm

m

để

max f ( x, m ) ≤ k (≥ k )
[ a ; b]

hoặc


min f ( x, m ) ≤ k (≥ k )
[ a ; b]

.

Ví dụ 1. [Đề Tham Khảo 2018] Gọi S là tập tất cả các giá trị của m sao cho giá trị
lớn nhất của hàm số

y = x3 − 3x + m

[ 0;2]

trên đoạn

bằng 3. Số phần tử

của S là
A. 0

B. 6

C. 1

D. 2

Lời giải
f ( x ) = x3 − 3x + m

Xét hàm số

f ′ ( x ) = 3x 2 − 3

. Ta có

f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ x = ±1

x ∈ [ 0; 2]

. Vì

.

nên ta chỉ lấy giá trị

x =1.

f ( 1) = m − 2; f ( 0 ) = m; f ( 2 ) = m + 2

Ta có

max f ( x ) = m + 2
[ 0;2]

Suy ra
•

;

.

min f ( x ) = m − 2
[ 0;2]

.

( m + 2 ) ( m − 2 ) ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 thì

Nếu

max f ( x ) = max { m + 2 ; m − 2 } = max { m + 2; 2 − m}
[ 0; 2]

.

m + 2 = 3
m = 1
⇒
⇔

2 − m = 3
 m = −1 (thỏa mãn).
Yêu cầu bài toán
max f ( x ) = m + 2
[ 0; 2]
m
−
2
>
0
⇔
m
>
2
• Nếu
thì
.
⇔
m
+
2
=
3
⇔
m
=
1
u cầu bài tốn
(khơng thỏa mãn).
max f ( x ) = 2 − m

[ 0;2]
m
+
2
<
0
⇔
m
<
−
2
• Nếu
thì
.
⇔
2
−
m
=
3
⇔
m
=
−
1
u cầu bài tốn
(khơng thỏa mãn).
m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Vậy có 2 giá trị
Cơng thức tính nhanh:

max f ( x ) =
[ 0; 2]

2m + 4
=3
2

⇔ 2m = 2

⇔ m = ±1 .

Ví dụ 2. [Đề Minh Họa 2020 Lần 1] Gọi
m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Trang 5 |

S là tập hợp tất cả các giá trị của

f ( x ) = x 3 − 3x + m

trên đoạn


[ 0;3]

−16 .

A.

S là:

bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của
16 .

B.

−12 .

C.

D.

−2 .
Lời giải
f ( x ) = x3 − 3x + m

Xét hàm số

f ′ ( x ) = 3x 2 − 3

. Ta có

f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ x = ±1

x ∈ [ 0;3]

. Vì

.

nên ta chỉ lấy giá trị

x =1.

f ( 1) = m − 2; f ( 0 ) = m; f ( 3) = m + 18

Ta có

max f ( x ) = m + 18
[ 0;3]

Suy ra
•

;

min f ( x ) = m − 2
[ 0;3]

( m + 18) ( m − 2 ) ≤ 0 ⇔ −18 ≤ m ≤ 2

Nếu

.
.

thì

max f ( x ) = max { m + 18 ; m − 2 } = max { m + 18; 2 − m}

[ 0;3]

.

 m + 18 = 16
 m = −2
⇒
⇔
 2 − m = 16
 m = −14 (thỏa mãn).
Yêu cầu bài toán
max f ( x ) = m + 18
[ 0;3]
m
−
2
>
0
⇔
m
>
2
• Nếu
thì
.
⇔
m
+
18
=

16
⇔
m
=
−
2
u cầu bài tốn
(khơng thỏa mãn).
max f ( x ) = 2 − m
[ 0;3]
m
+
18
<
0
⇔
m
<
−
18
• Nếu
thì
.
⇔
2
−
m
=
16
⇔

m
=
−
14
u cầu bài tốn
(khơng thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị

m thỏa mãn u cầu bài tốn là

Cơng thức tính nhanh:

max f ( x ) =
[ 0;3]

m = −2; m = −14 .

2m + 16 + 20
= 16
2

⇔ m = −2; m = −14 .
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m
0.

A.
1.

Trang 6 |

[ −3; 2]

trên đoạn
B.

3.

C.

15 .

bằng
2.

D.


Lời giải
f ( x ) = 3 x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m

Xét hàm số

f ′ ( x ) = 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x

. Ta có

.

f ′ ( x ) = 0 ⇔ 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x = 0 ⇔ x = 0; x = −1; x = 2

.

f ( 0 ) = m; f ( −1) = m − 5; f ( 2 ) = m − 32; f ( −3) = 243 + m

max f ( x ) = m + 243
[ −3;2]

Suy ra
•

;

•

[ −3;2]

( m + 243) ( m − 32 ) ≤ 0 ⇔ −243 ≤ m ≤ 32

Nếu
thỏa mãn).

•

min f ( x ) = m − 32

.

.

min f ( x ) = 0
[ −3; 2]

thì

(khơng

min f ( x ) = m − 32

[ −3; 2]
m − 32 > 0 ⇔ m > 32 thì
Nếu
.
⇔
m
−
32
=
15
⇔
m
=
47
u cầu bài tốn
(thỏa mãn).

min f ( x ) = − m − 243

[ −3;2]
m + 243 < 0 ⇔ m < −243 thì

Nếu
.
⇔
−
m
−
243
=
15
⇔
m
=
−
258
Yêu cầu bài tốn
(thỏa mãn).

2 giá trị

Vậy có

m thỏa mãn u cầu bài toán.
BÀI TẬP ÁP DỤNG

m ∈ [ −40; 40]

Câu 1 [3]: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

y =  x3 − 2mx + 6

giá trị lớn nhất của hàm số

2

trên đoạn

[ 1; 3]

để

không

vượt quá 64?

3.

A.

B.

2.

C.

1.

D.

0.
m ∈ [ −40; 40]

Câu 2 [3]: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

y = x3 - 4mx + 4

giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn

[ 0; 2]

3?
42 .

A.

41 .

Trang 7 |

B.

40 .

C.

39 .

D.

để

lớn hơn


Câu 3 [3]: Gọi

S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số
y=

giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

2 x − mx + 3
2
x − 2x + 2

1 . Tổng giá trị tất cả

bằng

S bằng

các phần tử của tập

5.

A.

m để

4.

B.

6.

C.

D.

−3 .
m ∈ [ −40; 40]

Câu 4 [3]: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

y=
trị nhỏ nhất của hàm số
2.

A.

x 2 − 2mx + 2
3x 2 − x + 1

2?

lớn hơn

1.

B.

để giá

C. vô số.

D.

0.
m ∈ [ −40; 40]

Câu 5 [3]: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

y=
trị nhỏ nhất của hàm số

mx − x + 3
x+2

[ −1;1]

trên

để giá

nằm trong khoảng

 1

 0; ÷
 2 .

A.

3.

B.

2.

C.

1.

D.

4.

2.3.2.2.

Dạng

2:

Tìm

điều

α .max f ( x ) + β .min f ( x ) ≤ k ( ≥ k )

[ a; b]

Ví dụ 1.

[ a ; b]

của

tham

số

để

.
f ( x) =

[Đề Minh Họa 2020 Lần 2] Cho hàm số

S là tập tất cả các giá trị của

Trang 8 |

kiện

m mà

x+m
x + 1 . Gọi

max f ( x ) + min f ( x ) = 2
[ 0;1]

[ 0;1]

.


S là

Số phần tử của
6.

A.

2.

B.

1.

C.

D.

4.
Lời giải

Xét hàm số
f ( 1) =

Khi

f ′( x) =

x+m
f ( x) =
x + 1 . Ta có

1− m

( x + 1)

f ( 0) = m

2

;

;

m +1
2 .
y = f ( x) = 1

m = 1 thì

max f ( x ) = min f ( x ) = 1
[ 0;1]

nên

[ 0;1]

(thỏa

mãn)
Khi

[ 0;1] .

m ≠ 1 thì hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn

Ta xét các trường hợp sau:
•

Nếu

f ( 0 ) . f ( 1) ≥ 0 ⇔ m ∈ ( −∞; − 1] ∪ [ 0; + ∞ )

thì

m = 1
m +1
max f ( x ) + min f ( x ) = f ( 0 ) + f ( 1) = m +
=2⇔
[ 0;1]
[ 0;1]
m = − 5
2

3 (thỏa


mãn).
•

Khi

f ( 0 ) . f ( 1) < 0 ⇔ −1 < m < 0

thì

min f ( x ) = 0;
[ 0;1]


m +1 
max f ( x ) = max f ( 0 ) ; f ( 1) = max  m ;

[ 0;1]
2 .


{

Suy ra

}

m =2

 m = ±2

max f ( x ) + min f ( x ) = 2 ⇒  m + 1
⇔  m = −5
0;1
0;1
[
]
[ ]
=2
 2
 m = 3
(không thỏa mãn).

Vậy số phần tử của

S là

2.

Ví dụ 2. [Sở Phú Thọ 2020] Cho hàm số
là tập tất cả các giá trị nguyên của
Trang 9 |

f ( x ) = x4 − 2 x2 + m

m thuộc đoạn

. Gọi

[ −20; 20] sao

S

cho


max f ( x ) < 3min f ( x )
[ 0; 2]

[ 0; 2 ]

A.

63 .

S bằng

. Tổng các phần tử của

51 .

B.

195 .

C.

D.

23 .
Lời giải
f ( x ) = x4 − 2 x2 + m

Xét hàm số

f ′ ( x ) = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ x = 0; x = 1; x = −1

Ta có

x ∈ [ 0; 2]

. Vì

f ( 0) = m

f ( 1) = m − 1

;

max f ( x ) = m + 8
[ 0;2]

Suy ra

;

f ( 2) = m + 8

;

min f ( x ) = m − 1
[ 0;2]

.

min f ( x ) = 0;

( m + 8) ( m − 1) < 0 ⇔ −8 < m < 1 thì

Nếu

.

[ 0; 2]

max f ( x ) = max { m + 8 ; m − 1 } = max { m + 8;1 − m} > 0
[ 0; 2]

u cầu bài tốn
•

⇔ max { m + 8;1 − m} < 3.0

m + 8 ≤ 0 ⇔ m ≤ −8 thì

Khi

max f ( x ) = 1 − m
[ 0; 2]

u cầu bài tốn
•

nên khơng

x = −1 .

lấy

•

[ 0; 2] .

trên đoạn

u cầu bài tốn

25
2 .

min f ( x ) = m − 1;

max f ( x ) = m + 8

[ 0; 2]

m + 8 < 3 ( m − 1) ⇔ m >

25  11 


m ∈  −20; −  ∪  ;20 
2 2

.

Trang 10 |

[ 0; 2]

1 − m < 3 ( −m − 8) ⇔ m < −

25

m < − 2

 m > 11

2 , kết hợp với

Do đó

(khơng xảy ra).
min f ( x ) = −m − 8;

.

m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1 thì

Khi

.

[ 0; 2]

11
2.

m ∈ [ −20;20]

ta có

.


S = { −20; − 19;... − 13;6;7;...20}

m nguyên nên

Vì

S là

63 .
f ( x) =

Ví dụ 3. Cho hàm số

m ≠ −4 ). Gọi
[ 0; 2]

[ 0; 2]

2x − m
x+2 (

m là tham số thực,
m sao cho

S là tập tất cả các giá trị của

max f ( x ) + min f ( x ) = 8
10
3.

A.

. Tổng các phần tử của

S là

. Tổng các phần tử của

8
3.

B.

3.

C.

D.

4.
Lời giải
2x − m
f ( x) =
x + 2 . Ta có

Xét hàm số

;

f ( 2) =

f ′( x) =

4+m

( x + 2)

2

;

−m
2

4−m

4 .

m ≠ −4 thì hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn

Khi

f ( 0) =

[ 0;2]

. Ta xét các trường hợp sau:
•

f ( 0) . f ( 2) ≥ 0 ⇔

Nếu

−m 4 − m
.
≥ 0 ⇔ m ∈ ( −∞;0 ] ∪ [ 4; + ∞ )
2
4
thì

 m = 12
−m 4 − m
max f ( x ) + min f ( x ) = f ( 0 ) + f ( 2 ) =
+
=8⇔ 
[ 0; 2]

[ 0; 2]
 m = − 28
2
4
3 (thỏa


mãn).
•

f ( 0) . f ( 2) < 0 ⇔ 0 < m < 4

Khi

thì

min f ( x ) = 0;
[ 0;1]

 −m 4 − m 
max f ( x ) = max f ( 0 ) ; f ( 2 ) = max 
;

[ 0; 2]
4 .
 2

{

Trang 11 |

}


 −m
 m = ±16
 2 =8
max f ( x ) + min f ( x ) = 8 ⇒ 
⇔  m = −28
[ 0; 2]
[ 0; 2]
 4−m
 m = 36
=8

 4
(không thỏa

Suy ra
mãn).

12 −

S là

Vậy tổng các phần tử của

28 8
=
3 3.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

y = x4 - 2x3 + x2 + a

Câu 1 [4]: Cho hàm số

min
y + max y = 10
é
ù
ë- 1; 2û

để

é- 1; 2ù
ë
û

2.

A.

. Có bao nhiêu số thực

a

.

5.

B.

C.

3.

D.

1.

Câu 2 [4]: Cho hàm số

x4 + ax + a
y=
x +1

M,

. Gọi

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

a sao cho

nguyên
A. 15.

đúng với mọi số thực

nhỏ nhất của biểu thức

17

A.

C. 16.

D. 13.

x2 + y2 - 4x + 6y + 4+ y2 + 6y + 10 = 6+ 4x - x2
M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

x; y . Gọi

T=

é- 10;10ù
ë
ûcủa tham số

đoạn

é1;2ù
ë û. Có bao nhiêu số

M ³ 2m.
B. 14.

Câu 3 [4]: Giả sử

m lần lượt là

B.

x2 + y2 - a

. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc

a để

M ³ 2m?

16

C.

15

D.

18
Câu 4 [4]: Cho hàm số
S

Trang 12 |

f ( x ) = x3 − 3x 2 + m + 1

(

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

m là tham số thực). Gọi
m thuộc đoạn


[ −2020;2020]

max f ( x ) ≤ 3min f ( x )
[ 1;4]

[ 1;4]

sao cho

. Số phần tử của

S là

4003 .

A.

4002 .

B.

4004 .

C.

D.

4001 .
f ( x ) = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 + a

Câu 5 [4]: Cho hàm số

M , m lần lượt là

. Gọi

[ 0; 2] . Có bao nhiêu số

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[ −3; 2]

a thuộc đoạn

nguyên

7.

A.

M ≤ 2m ?

sao cho

5.

B.

6.

C.

D.

4.
2.3.2.3. Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số
y = f ( x; m )

[ a; b]

trên đoạn

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán thường gặp: Tìm điều kiện của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số
y = f ( x) + g ( m)

[ a; b]

trên đoạn

đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp:

max f ( x ) = L
[ a ; b]

Bước 1: Tìm

min f ( x ) = n
[ a ; b]

;

y = f ( x) + g ( m)

A là giá trị lớn nhất của

Bước 2: Gọi

{

}

A = max L + g ( m ) ; n + g ( m ) ≥

.

L + g ( m) + n + g ( m)
2

=

thì

L + g ( m ) + −n − g ( m )

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
L + g ( m ) + −n − g ( m )
Lại có

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Trang 13 |

L + g ( m) = n + g ( m)

≥

.

L + g ( m) − n − g ( m)
2

=

L−n
2 .

( L + g ( m ) ) ( −n − g ( m ) ) ≥ 0 .

2


min A =

Bước 3: Kết luận

L−n
2 khi

g ( m) =

−L − n
2 .

m để giá trị lớn nhất

Ví dụ 1. [THPT Đơng Sơn 1 – Thanh Hóa 2019] Tìm

[ 0;2]

y = x 3 − 3 x + 2m − 1
của hàm số
trên đoạn
m thuộc khoảng nào?

A.

 3


 − ; − 1÷
 2
.

2 
 ;2÷
 3 .

B.

là nhỏ nhất. Giá trị của

[ −1;0] .

C.

D.

( 0;1) .
Lời giải
f ( x ) = x 3 − 3 x + 2m − 1

Xét hàm số

f ′ ( x ) = 3x 2 − 3 = 0 ⇔ x = ±1

. Ta có

.

f ( 0 ) = 2m − 1; f ( 1) = 2m − 3; f ( 2 ) = 2m + 1

Ta có

max f ( x ) = 2m + 1; min f ( x ) = 2m − 3
[ 0; 2]

Suy ra

[ 0; 2]

A = max { 2m + 1 ; 2m − 3 } ≥

2m + 1 = 3 − 2m ⇔ m =

( 2m + 1) ( 3 − 2m ) ≥ 0 ⇔

min A = 2 khi

m=

Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất của hàm số

3
1
≥m≥−
2
2.

1

2.
y=

Trang 14 |

1
2.

2 m + 1 + 3 − 2 m 2m + 1 + 3 − 2m
≥
=2
2
2
.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy

thì

2m + 1 + 3 − 2 m
2
.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Lại có

.

y = x 3 − 3 x + 2m − 1

A là giá trị lớn nhất của

Gọi

.

1 4 1 2
1
1
x + ( m - 1) x3 - m2x2 + m
4
3
2
6


é0;1ù
ë û có giá trị nhỏ nhất bằng

trên đoạn

1
24 .

A.

B.

2-

2- 2
12 .

C.

2
2

D.

1
20 .

.
Lời giải
f ( x) =

Xét hàm số

(

1 4 1 2
1
1
x + ( m − 1) x 3 − m 2 x 2 + m
4
3
2
6 .

)

(

)

f ′ ( x ) = x 3 + m 2 − 1 x 2 − m 2 x = x ( x − 1) x + m 2 ≤ 0 ∀x ∈ [ 0;1]

Ta có

.

1
1
f ( 0 ) = m; f ( 1) = − ( 2m 2 − 2m + 1) < 0 ∀m
6
12
.

Ta tính được

1
1

M = max f ( x ) = max f ( 0 ) ; f ( 1) = max  m ; − ( 2m 2 − 2m + 1) 
[ 0;1]
12
6


{

Do đó

}

1
1

= max  2m ; ( 2m 2 − 2m + 1) 
12
12
.

Suy ra
Vẽ

1

 M ≥ 12 2m
12 M ≥ 2m
⇔


2
 M ≥ 1 ( 2m 2 − 2m + 1)
12 M ≥ ( 2m − 2m + 1)

12

.
y = 2m ; y = 2m 2 − 2m + 1

Đồ thị hàm số

Trang 15 |

trên cùng một hệ trục tọa độ.

y = max { 2m ;2m 2 − 2m + 1}

là đường nét liền trong đồ thị.


2 m = 2m 2 − 2 m + 1

bé của phương trình

.
é0;1ù
ë û đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên

2- 2
12 khi

m=

2-

2
2

.

y = 2 x 3 − 3 x 2 + 6 ( m 2 + 1) x + 2021

Ví dụ 3. Cho hàm số

é- 1;0ù
ë
û đạt giá trị nhỏ nhất. Số các phần tử của

A.

50 .

D.

25 .

B.

S là tập

. Gọi

m để giá trị lớn nhất của hàm số đã

hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
cho trên

m0 là nghiệm

12M đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

Từ đồ thị hàm số suy ra

S là

0.

51.

C.

Lời giải
f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 + 6 ( m 2 + 1) x + 2021

Xét hàm số

.

f ′ ( x ) = 6 x 2 − 6 x + 6 ( m 2 + 1) = 6 ( x 2 − x + 1 + m 2 ) > 0 ∀x ∈ [ −1;0]

Ta có

f ( 0 ) = 2021; f ( −1) = 2010 − 6 m 2

Ta tính được

.

max f ( x ) = max { 2021;2010 − 6 m 2 } ≥ 2021
[ −1; 0]

Suy ra

min max f ( x ) = 2021
[ −1; 0]

Vậy

.

.
⇔ 2010 − 6m 2 ≤ 2021

⇔ −2021 ≤ 2010 − 6m 2 ≤ 2021
⇔ 6m 2 − 4031 ≤ 0 ⇔ −
m nguyên nên

Vì

4031
≤m≤
6

4031

6 .

m ∈ { −25; − 24;...; 24;25}

. Tập

S có 51 phần

tử.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1:

[HSG Bắc Ninh 2019] Xét hàm số

Trang 16 |

f ( x ) = x 2 + ax + b

, với

a


,

b là tham số. Gọi

a + 2b .

M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính

Khi

2.

A.

[ −1;3] .

M là giá trị lớn nhất của hàm số trên

B.

4.

−4 .

C.

D.

3.
Câu 2 [5]: Cho hàm số
số trên đoạn

[ −3; −1]

26 .

A.

y = x 3 + x 2 + ( m2 + 1) x + 27

. Giá trị lớn nhất của hàm

có giá trị nhỏ nhất bằng
B.

18 .

C.

28 .

D.

16 .
Câu 3 [5]: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

[ −1;1] . Giá trị nhỏ nhất của M
1.

A.

B.

y = 4ax 3 + (1 − 3a ) x

trên đoạn

bằng
3
2 .

C.

8
9.

D.

1
2.
Câu 4 [5]: Cho hàm số

y = cos x + a cos 2 x + b cos 3x

a, b là các số

với

thực thay đổi. Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức
2a + 3b bằng.
1
2.

A.

B.

2.

C.

−

1
2.

D.

−2 .
Câu 5 [5]: Cho hàm số
của hàm số trên đoạn
A.
Trang 17 |

2
3.

y=

[ 0;2]

1 4 1 2
x + ( m − 3) x 3 − m 2 x 2 + m
4
3
. Giá trị lớn nhất

có giá trị nhỏ nhất bằng

B.

3
8.

C.

55
48 .

D.


1
24 .
2.3.2.4. Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f ( x; m )

[ a; b]

trên đoạn

đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp:
f ( x; m ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ]

Bước 1: Rõ ràng

min f ( x; m ) ≥ 0
[ a ; b]

nên
f ( x; m ) = 0

bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình

, dấu

có nghiệm trên đoạn

[ a; b ] .
f ( x; m ) = 0

Bước 2: Tìm để phương trình

y = x 2 + mx + 2m − 4

Ví dụ 1. Cho hàm số

. Gọi

é- 1;0ù
ë
û đạt giá trị nhỏ nhất. Số các phần tử của

3.

D.

2.

S là

0.

B.

S là tập hợp tất cả các

m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

giá trị nguyên của tham số

A.

[ a; b ] .

có nghiệm trên đoạn

4.

C.
Lời giải

Vì

x 2 + mx + 2m − 4 ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;0]

[ −1; 0]

nên

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình

x 2 + mx + 2m − 4 = 0 có nghiệm

x 2 + mx + 2m − 4 = 0 ⇔ x = −2; x = 2 − m .

Yêu cầu bài toán

⇔ −1 ≤ 2 − m ≤ 0 ⇔ 2 ≤ m ≤ 3 .

Có hai giá trị của

m thỏa mãn u cầu bài tốn.

Ví dụ 2. Cho hàm số
trị nguyên của tham số

Trang 18 |

.

[ −1;0] .

trên đoạn
Ta có

min x 2 + mx + 2m − 4 ≥ 0

y = x 3 − 12 x + m

. Gọi

S là tập hợp tất cả các giá

m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên


é1;3ù
ë û đạt giá trị nhỏ nhất. Số các phần tử của

A.

5.

D.

10.

S là

7.

B.

8.

C.

Lời giải
x3 − 12 x + m ≥ 0, ∀x ∈ [ 1;3]

Vì

min x 3 − 12 x + m ≥ 0
[ 1;3]

nên

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình
x 3 − 12 x + m = 0 ⇔ x 3 − 12 x = − m ( 1)
x3 − 12 x ∈ [ −16; − 9]

Vì

có nghiệm trên đoạn

x ∈ [ 1;3]

khi

nghiệm trên

[ 1;3]

Có 8 giá trị

m thỏa mãn bài toán.

−m ∈ [ −16; − 9] ⇔ m ∈ [ 9;16]

khi và chỉ khi

é0;1ù
ë û đạt giá trị nhỏ nhất. Số các phần tử của

5.

D.

7.

B.

. Gọi

có

.

S là tập hợp tất

m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

cả các giá trị nguyên của tham số

A.

( 1)

nên phương trình

y = x 2 − 2 ( m + 3) x + 4 m − 1

Ví dụ 3. Cho hàm số

[ 1;3] .

S là

1.

3.

C.
Lời giải

x 2 − 2 ( m + 3) x + 4m − 1 ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1]

Vì

min x 2 − 2 ( m + 3) x + 4m − 1 ≥ 0
[ 0;1]

nên

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình

x2 − 6 x −1
x − 2 ( m + 3 ) x + 4m − 1 = 0 ⇔ 2 m =
x−2
có nghiệm trên đoạn
2

[ 0;1] .
Vì
Trang 19 |

x2 − 6 x − 1  1 
∈  ;6 
x−2
 2  khi

x ∈ [ 0;1]

nên phương trình

( 1)

có

nghiệm trên

[ 0;1]

Có 3 giá trị

m thỏa mãn bài tốn.

1 
1 
2m ∈  ;6  ⇔ m ∈  ;3
2 
4  .

khi và chỉ khi

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1 [5]: Cho hàm số

y=

1 4 1 3 1 2
x + x − x +m
4
3
2
. Gọi

cả các giá trị nguyên của tham số

m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

é- 3;- 2ù
ë
ûđạt giá trị nhỏ nhất. Số các phần tử của

8.

A.

B.

S là tập hợp tất

9.

C.

S là
10 .

D.

11 .
Câu 2 [5]: Cho hàm số

y = x 2 − ( 2 m + 3 ) x + 5m + 1

é0;2ù
ë ûđạt giá trị nhỏ nhất. Số các phần tử của

0.

A.

B.

S là tập hợp

m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho

tất cả các giá trị nguyên của tham số
trên

. Gọi

1.

C.

S là
2.

D.

3.
Câu 3 [5]: Cho hàm số

y = − x 3 − 3x 2 + 2 x + 5m − 7

é1;2ù
ë û đạt giá trị nhỏ nhất. Số các phần tử của

1.

A.

B.

S là tập hợp

m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho

tất cả các giá trị nguyên của tham số
trên

. Gọi

2.

C.

S là
4.

D.

3.
2.3.2.5. Một số bài toán khác.
Câu 1 [5]: Cho hàm số

y = x 2 − 3 x + 2 + mx

(với

m là tham số thực).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số có giá trị lớn nhất bằng
1.

A.

B.

3.

C.

−2 .

D.

2.
Câu 2 [5]: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trang 20 |

f ( x) = x 2 − x + m ( x + 1)

(với

m


là tham số thực) có giá trị lớn nhất bằng
A. 1.

B. 2.

f ( x) = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x + m

Câu 3 [5]: Cho hàm số

. Có bao nhiêu giá trị

f (a ), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh một tam giác?

thì

10 .

A.

D. 3.

(−20; 20) để với mọi bộ ba số thực

m số nguyên trong khoảng

a, b, c ∈ [ 1;3]

C. 4.

8.

B.

25 .

C.

D.

23 .
f ( x ) = x 3 − 3x + m

Câu 4 [5]: Cho hàm số
m ∈ ( −20; 20 )

để

f ( a) , f ( b) , f ( c)

với

bộ

ba

số

a, b, c ∈ [ −2;1]

thực

thì

là độ dài ba cạnh của một tam giác.

30 .

A.

mọi

. Có bao nhiêu số nguyên

24 .

B.

28 .

C.

D.

26 .
Câu

5

[5]:

x; y

Cho

thỏa

x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 + y 2 + 6 y + 10 = 6 + 4 x − x 2 . Gọi
T=

là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
nguyên thuộc đoạn

17

A.

[ −10;10]
B.

x2 + y2 − a

16

M , m lần lượt

. Có bao nhiêu giá trị

M ≥ 2m ?

a để

của tham số

C.

mãn

15

D.

18
Câu 6 [5]: Kí hiệu

x0 để

tại số thực

ab = b a và

mãn
A.

2e − 1 .
2e .

Trang 21 |

f( a ,b ) ( x ) = x − a + x − b + x − 2 + x − 3

Min f ( a ,b ) ( x ) = f ( a ,b ) ( x0 )
x∈¡

0 < a < b . Số
B.

2,5 .

. Biết rằng luôn tồn

đúng với mọi

a, b thỏa

x0 bằng
C.

e.

D.


y = f ( x)

Câu 7 [5]: Cho hàm số
tục trên

f ′( x)

¡ . Hàm số

có đạo hàm

f ′( x)

[ −2;1] . Giá trị của

A.

f ( 1) + f ( 0 )

C.

f ( −2 ) + f ( −1)

.

B.

f ( 1) + f ( −2 )

.

D.

f ( −1) + f ( 0 )

.

Câu 8 [5]: Cho hàm số

f ( x ) = ax5 + bx 4 + cx3 + dx2 + ex + n

y = f ′( x)

M và

nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
của

Trang 22 |

M + m bằng

y= f ( x)

M + m bằng

.

như hình vẽ dưới. Gọi

M và

có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn

xác định và liên

y= f ( x)

. Đồ thị hàm số

m lần lượt là giá trị lớn

trên đoạn

[ −3; 2] . Giá trị


A.

1
f  ÷+ f ( 2 )
2
.

B.

f ( 0.5 ) + f ( 0 )

.

C.

f ( −3) + f ( 2 )

D.

f ( −3) + f ( 0 )

.

.
y = f ( x)

Câu 9 [5]: Cho hàm số
f ( 2) < 0

xác định, liên tục trên

y = f ′( x)

. Đồ thị hàm số

như hình vẽ dưới. Gọi

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

[ −1;3] . Giá trị của

trên đoạn

A.

M = f ( −1) , m = f ( 3)
M = f ( 3) , m = f ( −1)

C.

Câu 10: Cho hàm số

( C)

thị

y = f ( x)

Trang 23 |

.

D.

.
f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

y = f ′( x)

trên

y = f ( x)

B.

tiếp xúc với đường thẳng

thị của hàm số

M và

.

M = f ( −1) , m = f ( 2 )
M = f ( −1) , m = f ( 3)

và

m lần lượt là

M và

.

¡

[ 0;3]

có đồ thị

( C ) . Biết đồ

y = 4 tại điểm có hồnh độ âm và đồ

như hình vẽ dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số
bằng


A.

20 .

B.

60 .

C.

22 .

D.

3.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tơi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất
lượng tương đương nhau là học sinh lớp 12A3 và lớp 12A2 trường THPT Nơng Cống
2. Trong đó lớp 12A2 chưa được tiếp cận phương pháp đã sử dụng trong đề tài, kiểm
tra bằng hình thức trắc nghiệm, thời gian làm bài 45 phút tôi thu được kết quả như sau:
Lớp

Sĩ số

Điểm < 5

5

≤ Điểm<8

Điểm

≥8

Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
12A3
39
2
5.1
10
25.5
27
69.4
12A2
42
23
55
11
26

8
19
Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã triển khai ở các buổi sinh hoạt
chuyên môn và được các đồng nghiệp đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình giảng
dạy.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi về việc “phân loại các bài toán giá trị lớn nhất – giá
trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số” đã đạt được những kết
quả chính như sau:
- Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Phân loại bài toán giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối có tham số thành 4 dạng thường gặp trong các đề thi chính thức, đề thi thử
THPT quốc gia, đề thi học sinh giỏi.
- Sau khi phân loại, trong mỗi dạng tốn tơi đã nêu bài toán tổng quát kèm phương
Trang 24 |


pháp giải, ví dụ mẫu và bài tập áp dụng.
- Ngồi 4 dạng tốn thường gặp tơi cũng sưu tầm thêm một số bài toán khác để học
sinh và bạn bè đồng nghiệp có cái nhìn đa dạng hơn về lớp các bài toán giá trị lớn nhất
– giá trị nhỏ nhất chứa giá trị tuyệt đối có chứa tham số.
- Sáng kiến kinh nghiệm được khi áp dụng vào thực tế giảng dạy đã góp phần
khơng nhỏ vào việc nâng cao năng lực toán học cho học sinh. Từ đó giúp các em tìm
thấy niềm vui khi học tốn.
- Sáng kiến kinh nghiệm đã triển khai ở các buổi sinh hoạt chuyên môn và được
các đồng nghiệp đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình giảng dạy
3.2. Kiến nghị.
- Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho
toàn thể cán bộ giáo viên.

- Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được công bố rộng rãi.
- Học sinh cần tăng cường tự học ở nhà, tích cực trao đổi học tập qua việc học
nhóm từ đó nâng cao chất lượng học tập.
- Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tơi hy vọng cùng các đồng nghiệp có
thể góp phần nhỏ cải tiến, đổi mới phương pháp giảng dạy bộ mơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh hóa ngày 15/4/2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, khơng sao chép nội
dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Phương

Trang 25 |