Lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA VẬT LÝ
-------------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG
ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH
CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VƠ HẠN

Người thực hiện
Lớp
Khóa
Ngành
Người hướng dẫn

: Trần Thị Phương Trúc
: 11CVL
: 2011-2015
: Cử Nhân Vật Lý
: TS. Hồng Đình Triển

NIÊN KHĨA 2011 – 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô
giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng trong suốt bốn năm
học vừa qua, để em có thể học tập và nắm đủ kiến thức để hồn thành khóa luận tốt

nghiệp này một cách tốt nhất.
Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS.Hồng
Đình Triển đã hướng dẫn và chỉ bảo cũng như giúp đỡ cho em rất nhiều trong suốt quá
trình thực hiện bài khóa luận tốt nghiệp này.
Xin chân thành cảm ơn sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của các anh chị và các bạn
trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.
Cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ đã nuôi dạy con, động viên con
trong suốt thời gian qua, đặc biệt là thời gian học đại học và làm khóa luận tốt nghiệp
này.
Đà Nẵng, ngày 24 tháng 04 năm 2015
Trần Thị Phương Trúc


Khóa luận tốt nghiệp 2015

Contents
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 3
1- Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 3
2- Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 4
3- Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 4
4- Nội dung và phạm vi nghiên cứu.................................................................... 5
5- Bố cục của khóa luận ..................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU VÀ SỰ HẤP THỤ
PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ ............................................................................... 6
1.1.Hệ bán dẫn thấp chiều .................................................................................... 6
1.2. Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện tử trong bán dẫn khối. ...................... 13
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CỦA ĐIỆN TỬ TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN. ....................... 18
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế
cao vơ hạn .......................................................................................................... 18

2.2.Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vô hạn. ................................................................................ 19
CHƯƠNG 3: SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SĨNG ĐIỆN TỪ TRONG DÂY
LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN.................................. 35
3.1 Hệ số hấp thụ phi tuyến ................................................................................ 35
3.2 Kết quả tính số và thảo luận ......................................................................... 45

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp 2015

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình1.1:Mơ hình cấu trúc của hệ bán dẫn khối ......................................................... 6
Hình1.2:Mơ hình cấu trúc của hệ bán dẫn hai chiều ................................................. 7
Hình1.3:Mơ hình cấu trúc của hệ bán dẫn một chiều................................................. 7
Hình1.4:Mơ hình cấu trúc của hệ bán dẫn khơng chiều ............................................. 8
Hình 1.5: Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào năng lượng ................................... 9
Hình 1.6 :Tương tác giữa vật chất và sóng điện từ. .................................................. 14
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng
photon khi có mặt của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật .......................... 46
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng
cyclotron của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật ....................................... 47

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 2

Khóa luận tốt nghiệp 2015

MỞ ĐẦU
1- Lý do chọn đề tài
Khởi đầu từ những thành công rực rỡ của vật liệu bán dẫn cùng với sự phát triển
mạnh mẽ các công nghệ nuôi tinh thể, người ta chế tạo ra nhiều cấu trúc nano. Song song
với sự phát triển của công nghệ chế tạo là sự phát triển của kỹ thuật đo các hiệu ứng vật lý
ở cấp độ vi mô. Trong những thập niên gần đây, cấu trúc tinh thể nano (màng mỏng, siêu
mạng, hố lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử…) được nhiều nhà vật lý trên thế giới
quan tâm bởi những đặc tính ưu việt mà cấu trúc tinh thể 3 chiều khơng có được.
Trong các cấu trúc thấp chiều (nano), chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm
ngặt dọc theo các hướng tọa độ với một vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bước sóng
De Broglie, lúc này các tính chất vật lý của hệ thay đổi đáng kể. Ở đây các quy luật của
cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là hàm
sóng và phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ
giới hạn do đó tính chất quang điện hệ cũng bị biến đổi.
Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn hai
chiều,vì vậy chúng chỉ chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam giữ của điện tử trong
những hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của điện tử. Điều này dẫn đến xuất hiện
nhiều hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ. Các hiệu ứng này rất
khác so với các hiệu ứng trong bán dẫn khối thơng thường, ví dụ như tương tác điện tửphonon, hấp thụ sóng điện từ yếu [5].
Chúng ta đã biết khi chiếu chùm bức xạ sóng điện từ vào vật chất, sự tương tác của
sóng điện từ với vật chất xảy ra, một phần bức xạ được truyền qua vật chất, một phần bị
phản xạ và phần còn lại bị hấp thụ bởi môi trường vật chất. Sự hấp thụ sóng điện từ của
vật chất đã và đang được nghiên cứu và phát triển cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm với
nhiều ứng dụng mạnh mẽ và sâu rộng trong khoa học kỹ thuật. Đặc biệt là lĩnh vực kỹ
thuật quân sự, vật liệu hấp thụ sóng điện từ đặc biệt được quan tâm nghiên cứu nhằm ứng
dụng cho kỹ thuật “tàng hình” cho các phương tiện quân sự.

Trên phương diện lý thuyết, bài tốn hấp thụ sóng điện từ được xem xét dưới hai
quan điểm khác nhau theo sự phát triển của vật lý hiện đại. Trên quan điểm lý thuyết cổ
SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp 2015

điển, bài tốn này đã được giải quyết chủ yếu dựa trên việc giải phương trình động cổ
điển Boltzmann. Trên quan điểm lý thuyết lượng tử, bài tốn hấp thụ sóng điện từ trong
bán dẫn thấp chiều đã và đang được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau như
phương pháp Kubo-Mori mở rộng [5], phương pháp phương trình động lượng tử [2].
Để có được những hiểu biết hơn về bán dẫn thấp chiều, sự hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ cũng như phương pháp phương trình động lượng tử là lý do em lựa chọn đề tài:
“Lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử bị giam cầm trong
dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vơ hạn.” cho khóa luận tốt nghiệp.
2- Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu một hiệu ứng trong hệ bán dẫn thấp chiều trên cơ sở lý thuyết
trường lượng tử cho hệ nhiều hạt: sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong hệ một chiều.
Thu nhận được các biểu thức giải tích của các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng, từ đó khảo
sát sự ảnh hưởng của các hiệu ứng lên các tham số đặc trưng của hệ. Kết quả thu được của
đề tài sẽ giúp cho bản thân em hiểu biết thêm vật liệu bán dẫn thấp chiều, và sự hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vơ hạn cũng như phương
trình động lượng tử tạo tiêu đề cho việc tìm hiểu tiếp theo sau này.
3- Phương pháp nghiên cứu
Bài tốn hấp thụ sóng điện từ có thể giải quyết bằng nhiều phương pháp khác
nhau. Mỗi phương pháp có một số ưu nhược điểm riêng nên việc áp dụng chúng như thế
nào còn tùy thuộc vào từng bài tốn cụ thể. Trong khn khổ của khóa luận tốt nghiệp, để
giải quyết bài toán đặt ra của đề tài, nên lựa chọn phương pháp phương trình động lượng

tử. Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều ,
đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định. Xuất phát từ việc giải
phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử, hàm phân bố điện tử khơng
cân bằng được tìm thấy, từ đó biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
được tính tốn giải tích. Kết hợp với phương pháp tính số bằng phần mềm tính số Matlab,
đây là phần mềm số và mô phỏng được sử dụng nhiều trong vật lý cũng như các ngành
khoa học kỹ thuật.
SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp 2015

4- Nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bằng những công nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có thể chế tạo rất nhiều
loại bán dẫn thấp chiều. Với mục tiêu đã đề ra, đề tài nghiên cứu lý thuyết lượng tử về
sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh khi có mặt của từ trường ngồi với dây lượng tử
hình chữ nhật hố thế cao vơ hạn.
5- Bố cục của khóa luận
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, khóa luận gồm có
3 chương, 8 hình vẽ, tổng cộng là 52 trang:
Chương I

: Tổng quan về hệ thấp chiều.

Chương II : Phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật hố thế cao vơ hạn.
Chương III : Sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật
hố thế cao vô hạn.

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp 2015

CHƯƠNG I:
TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU VÀ
SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ
1.1.Hệ bán dẫn thấp chiều
1.1.1- Khái quát hệ bán dẫn thấp chiều
Hệ bán dẫn thấp chiều là hệ bán dẫn mà trong đó các hạt mang điện(e-,lỗ trống,hoặc
các giá hạt (hạt phonon âm,hoặc phonon quang) chuyển động tự do theo hai chiều, một
chiều hoặc khơng chiều. Kích thước của những hệ này theo chiều giới hạn có bước sóng
Đơ-brơi(10-9-10-10 m). Khi đó năng lượng hàm sóng mơ tả trạng thái, mật độ trạng thái
thay đổi một cách rõ rệt dẫn đến các tính chất điện, quang của hệ thấp chiều khác biệt với
hệ bán dẫn 3 chiều.
Các quy luật chuyển động không tuân theo cơ học cổ điển (cơ học Newtơn,phương
trình Bonltan….) mà tuân theo cơ học lượng tử.
Việc phân loại tuân theo số chiều không gian mà hạt biến động tự do.
• Hệ ba chiều (bán dẫn khối:e- chuyển động tự do theo ba chiều)

Hình1.1:Mơ hình cấu trúc của hệ bán dẫn khối
-Năng lượng của e- là liên tục, và điện tử chuyển động gần như tự do
-Hàm sóng mơ tả chuyển động là hàm sóng phẳng đơn sắc (sóng Block)
SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp 2015

• Hệ hai chiều

Hình1.2:Mơ hình cấu trúc của hệ bán dẫn hai chiều
- Chuyển động của điện tử bị giới hạn theo một chiều có kích thước vào cỡ bước
sóng De Broglie, trong khi chuyển động của điện tử tự do theo hai chiều còn lại.
- Năng lượng theo (Oxy) liên tục,theo Oz gián đoạn
- Hàm sóng theo (Oxy) sóng phẳng đơn sắc, theo Oz sóng đứng
• Hệ một chiều
Dây lượng tử, ống nano cacbon, e- chuyển tự do theo một chiều

Hình1.3:Mơ hình cấu trúc của hệ bán dẫn một chiều
-

Năng lượng theo Ox liên tục, theo phương Oyz gián đọan

-

Hàm sóng theo Ox là sóng phẳng đơn sắc, theo phương Oyz là sóng đứng.

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp 2015

• Hệ khơng chiều (chấm lượng tử)

Hình1.4:Mơ hình cấu trúc của hệ bán dẫn khơng chiều
- Về cơ bản, điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều trong không gian, và không thể
chuyển động tự do.
- Năng lượng gián đoạn theo 3 phương
- Hàm sóng là sóng đứng

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp 2015

Hình 1.5: Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào năng lượng
với (a) bán dẫn khối đa chiều,(b) hố lượng tử hai chiều,(c) dây lượng tử một chiều, (d)
chấm lượng tử không chiều.
Cũng như các mức năng lượng trong hệ ba chiều là liên tục, mật độ trạng thái cũng vậy.
Mật độ trạng thái phụ thuộc theo căn bậc hai vào năng lượng và được cho bởi:
࢓∗ ૚/૛ √૛ࡱ

ૉ૜۲ (E)= ቀ ૛ ቁ
ℏ

࣊૛

Ngược lại, đối với hố lượng tử, sự giới hạn điện tử trong một chiều khiến cho năng lượng
là tổng của các trạng thái lượng tử hoá đi kèm với sự giam giữ:
ߝ௡ =

ℏమ ௞ మ

ଶ௠∗௅మ

Mật độ trạng thái trong hố lượng tử liên quan với năng lượng này và được cho bởi:
ߩଶ஽ (E) =

௠

ଶℏమ

∑௡ ⊙ (‫ ܧ‬− ߳௡ )

với ⊙là hàm bậc thang Heavisside. Mật độ trạng thái có dạng bậc thang, với mỗi số hạng
trong tổng tương ứng có đóng góp từ vùng thứ n. Mỗi số hạng độc lập với mức năng

lượng ߳௡ , và cách nhau một khoảng m*/2ߨℏଶ .

Mức năng lượng và mật độ trạng thái trong hệ một chiều chịu thêm một giam giữ của điện
tử. Lúc này, năng lượng toàn phần là tổng của các mức năng lượng gián đoạn theo hai
chiều bị giam giữ và liên tục theo chiều dài của dây. Điều này dẫn đến mật độ trạng thái
của hệ một chiều có dạng:
SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp 2015

࣋૚ࡰ (E) = ቀ

૚

ቁ ∑࢔࢞, ࢔࢟

૛࢓∗ ૛

ℏ૛ ࣊૛

૚

ටࡱିࢿ࢔࢞, ࢔࢟

⊙ (E-ࢿ࢔࢞, ࢔࢟ )

Mật độ trạng thái này rất đặc biệt vì nó phân kỳ khi động năng nhỏ (ở đáy của các tiểu
vùng n୶, n୷)

Với hệ không chiều, các mực năng lượng hoàn toàn bị gián đoạn, và với một hệ lý tưởng,
mật độ trạng thái là tổng của các hàm delta:

ρଵୈ (E)= 2∑୬౮, ୬౯,௡೥ ߜ(‫ ܧ‬− ߝ୬౮, ୬౯ ,௡೥ )

1.1.2. Cấu trúc của hệ bán dẫn thấp chiều
Hệ hai chiều
Trong tiếp xúc đơn dị chất, hố thế năng gây ra sự lượng tử hóa do giảm kích thước

được tạo thành do sự tồn tại độ dịch vùng dẫn ∆‫ܧ‬௖ ở một phía, và trường tĩnh điện chuyển

tiếp của phía kia. Tiếp xúc đơn dị chất được đặc trưng bởi chỉ một loại hạt dẫn bị lượng tử
hóa. Tuy nhiên, có thể tạo nên những cấu trúc với hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích
thước đối với cả hai loại hạt dẫn. Đó là các tiếp xúc kép dị chất với lớp mỏng ở giữa, hay
các hố lượng tử.
Dùng phương trình Poisson có thể dễ dàng thấy thế có dạng hàm Parabol đối với a
có biên độ:
∆߮ =

ߨ݁ܰ஽ ܽ ଶ
2ߝ

Khi a tiếp tục giảm, mức chênh lệch năng lượng e∆߮ cũng giảm tới giá trị
nhỏ hơn kT, do đó, cho phép ta bỏ qua sự uốn cong vùng năng lượng. Trong thực tế người
ta thường tạo các cấu trúc tiếp xúc dị chất nhiều lớp, với một số các hố thế giống nhau
được lặp lại một cách tuần hồn thay vì chỉ có một hố thế duy nhất. Các cấu trúc như trên
được chia thành hai loại, phụ thuộc vào chiều dày b lớp bán dẫn vùng cấm rộng (ngưỡng

năng lượng). Đối với các giá trị b ≥ 100Å, hệ số truyền qua ngưỡng năng lượng của hạt

dẫn bởi hiệu ứng xuyên hầm nhỏ không đáng kể, các hố thế lân cận không ảnh hưởng lẫn
nhau, và hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích thước mạnh lên đơn giản là do các phần
SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp 2015

đóng góp từ mỗi hố thế riêng biệt. Những cấu trúc như trên được gọi là cấu trúc nhiều hố
lượng tử MQW (multi-quantum-well), được áp dụng để khuếch đại biên độ các hiệu ứng

trong đo lường. Ví dụ, trong các thực nghiệm về hấp thụ quang học khi biên độ tín hiệu từ
một hố lượng tử đơn khơng đủ mạnh để thu các giá trị có độ tin cậy thấp được.
Với chiều dày b của các ngưỡng năng lượng nhỏ hơn, phổ năng lượng của hệ sẽ bị
thay đổi. Xác suất chuyển tiếp theo cơ chế đường hầm tăng lên sẽ dẫn đến sự tách mức,
biến các mức lượng tử hóa do giảm kích thước thành các vùng năng lượng. Loại cấu trúc
này biến chuyển hoàn toàn thành các cấu trúc mới với tên gọi siêu mạng.
Siêu mạng là hố lượng tử đa lớp nhưng độ rộng rào thế là đủ nhỏ để electron có thể
chui hầm từ hố này qua hố kia.
Trong siêu mạng các lớp được sắp xếp một cách tuần hoàn nên ngoài chu kì của
tinh thể cịn có thêm chu kì của siêu mạng
Chu kì của siêu mạng lớn hơn rất nhiều so với chu kì của tinh thể. Tính chất của
siêu mạng khác hẳn so với tính chất của các hố lượng tử đơn.
Hệ một chiều
Dây lượng tử thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều . Trong dây lượng tử, chuyển
động của các hạt tải bị giới hạn theo hai chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển
động tự do theo chiều còn lại. Sự giam cầm điện tử trong dây lượng tử làm xuất hiện các
hiệu ứng giảm kích thước, hàm sóng và phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử
theo hai chiều.
Dây lượng tử được chế tạo bằng nhiều phương pháp khác nhau. Dây lượng tử được
chế tạo nhờ phương pháp epitaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một
cách chế tạo khác là sử dụng các cổng trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này,
có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều.
Người ta có thể tạo ra các dây lượng tử có hình dạng khác nhau, như dây hình trụ,
dây hình chữ nhật,... Mỗi dây lượng tử được đặc trưng bởi một thế giam giữ khác nhau.
SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp 2015

Bài tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể được giải dễ
dàng nhờ giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều:
HΨ={-

ћమ

ଶ௠∗

ߘ ଶ + ܸ(‫)ݎ‬+U(r)}Ψ=EΨ

Trong đó, U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng giam giữ điện
tử do sự giảm kích thước.
Trong luận án này, ta xét dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn
Hệ không chiều
Chấm lượng tử có kích thước bé nên tính chất của chấm lượng tử ngồi yếu tố do
kích thước vật lý thì tính chất của bề mặt rất quan trọng.
Một chấm lượng tử tiêu chuẩn thường có kích thước nhỏ hơn bán kính của exciton
(10nm), và lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tinh thể (~ 0.5nm).
Chấm lượng tử thường được chế tạo nằm trong một tinh thể khác, trong ma trận
thủy tinh (1nmhố lượng tử…..
1.1.3 Hàm sóng và phổ năng lượng của lượng tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật
• Trường hợp vắng mặt của từ trường ngồi
Với các cấu trúc dây lượng tử được chế tạo bằng cách đặt các cổng trên hệ hai
chiều, dây lượng tử thường có dạng hình học khơng xác định và tùy thuộc vào công nghệ
chế tạo. Do yêu cầu thực nghiệm, mơ hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề
cập đến trong các cơng trình mang tính lý thuyết. Chúng ta xét trường hợp đơn giản, thế
giam giữ điện tử là cao vơ hạn, lúc này việc tìm hàm sóng và phổ năng lượng trở nên đơn

giản nhờ sử dụng phương pháp phân ly biến số. Hàm sóng và phổ năng lượng điện tử là
nghiệm của phương trình Schrodinger và được viết dưới dạng:

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp 2015

Ψn,l,Pz(x,y,z) =

‫ۓ‬ට௅ ݁ ௜௣೥௭ ට௅ sin ቀ
‫۔‬
‫ە‬

ଵ

೥

ଶ

௡గ௫

೥

0

ߝ n,l(p)=

௣೥ మ
ଶ௠

+

௅೥

గమ

(

ቁ ට sin ൬

௡మ

ଶ௠ ௅మೣ

ଶ

௅೤

+

௟మ

௅మ೤

௟గ௫
௅೤

0 < ‫ܮ < ݔ‬௫
൰ , ൜0 < ‫ܮ < ݕ‬
‫ܮ > ݔ‬௫
൜‫ܮ > ݕ‬
௬

௬

)

(1.1)

(1.2)

Trong đó, n, l là các số lượng tử, n=0,±1,±2,…,l=1,2,3…;Lx,Ly là kích thước của dây
lượng tử theo hai phương x,y.
• Trường hợp có mặt của từ trường
Giả sử dây lượng tử hình chữ nhật với thế giam giữ điện tử được đặt trong từ trường
yếu, hàm sóng của điện tử như trong trường hợp khơng có từ trường:
Ψn,l,Pz(x,y,z)= ට ݁ ௜௣೥௭ ට sin ቀ
ଵ

௅೥

ଶ

௅೥

௡గ௫
௅೥

ቁ ට sin ൬
ଶ

௟గ௫

௅೤

௅೤

൰

(1.3)

Tuy nhiên, cấu trúc của phổ năng lượng của điện tử dưới ảnh hưởng của từ trường
có thay đổi, nó đặt thêm một sự giam hãm đi ện tử bên cạnh sự giam hãm do kích thước.
Phổ năng lượng của điện tử lúc này được viết như sau:
ߝ N,n,l(p)=

௣೥ మ

ଶ௠

+ ߱௖ ቀܰ + ቁ +
ଵ
ଶ

గమ

ଶ௠

(

௡మ
௅మೣ

+

௟మ

௅మ೤

),

(1.4)

trong đó, N=1,2…là chỉ số vùng Landau.
1.2. Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện tử trong bán dẫn khối.
1.2.1. Sự hấp thụ sóng điện từ.
Khi chiếu một chùm bức xạ lazer (sóng điện từ) vào tinh thể bán dẫn, một phần
bức xạ bị phản xạ trở lại, một phần được truyền qua và phần còn lại được hấp thụ bởi tinh
thể bán dẫn.

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp 2015

1

2

4

3
Hình 1.6 :Tương tác giữa vật chất và sóng điện từ
(1) sóng tới,(2) sóng phản xạ,(3)sóng truyền qua,(4)sóng hấp thụ.
Phổ hấp thụ sóng điện từ của bán dẫn rất phức tạp, bao gồm ba phần chính: Chuyển
dịch trực tiếp, chuyển dịch gián tiếp giữa các vùng hóa trị hoặc chuyển dịch nội vùng. Sự
hấp thụ do chuyển dịch trực tiếp giữa các vùng dẫn và vùng hóa trị xuất hiện khi điện tử
vùng hóa trị hấp thụ một phonon có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm và chuyển
ሬԦ gần như khơng đổi, khi đó vùng hóa trị xuất hiện một
dịch lên vùng dẫn với vectơ sóng ݇

lỗ trống có vectơ sóng –݇ሬԦ. Sự hấp thụ này xảy ra đối với những chất bán dẫn có khe vùng
cấm trực tiếp như InSb, InAs, GaAs, GaSb. Sự hấp thụ do chuyển dịch gián tiếp giữa

vùng dẫn và vùng hóa trị được thực hiện với sự hấp thụ hay phát xạ một phonon. Điện tử
vùng hóa trị hấp thụ một photon, đồng thời nó hấp thụ hoặc phát xạ một phonon để có thể
di chuyển tới đáy vùng dẫn. Chuyển dịch gián tiếp của điện tử thường xuất hiện ở tinh thể
bán dẫn có khe vùng cấm gián tiếp như Si, Ge, GaP, …
Ngoài hấp thụ do chuyển dịch giữa các vùng, sự hấp thụ sóng điện từ còn phụ thuộc
vào chuyển dịch nội vùng, được thể hiện rõ khi tần số sóng điện từ nhỏ hơn độ rộng vùng
cấm. Sự chuyển dịch nội vùng là sự hấp thụ sóng điện từ bởi các điện tử tự do có sự đóng
góp của phonon. Khi đó các điện tử tự do hấp thụ hay phát xạ phonon liên tục để có thể
chuyển dịch lên các trạng thái khác.

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp 2015

Như vậy, sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn có đóng góp đáng kể các phonon,
cụ thể là tương tác giữa điện tử và phonon.
Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ xảy ra khi chiếu một bức xạ điện từ mạnh (trường
laze) vào tinh thể bán dẫn. Lúc này phổ hấp thụ sóng điện từ phụ thuộc vào bậc cao của
cường độ sóng điện từ mạnh.
1.2.2. Lý thuyết lượng tử về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử tự do trong
bán dẫn khối
Xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử-phonon (phonon quang) trong bán dẫn khối
khi có mặt sóng điện từ
H(t)=

ଵ

ଶ௠

௘
ା
∑௣Ԧ ቔ‫݌‬Ԧ − ‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬ቕ ܿ௣ାԦ ܿ௣Ԧ + ∑௤ሬԦ ߱௤ሬԦ ܽ௤ାሬԦ ܽ௤ሬԦ + ∑௤ሬԦ,௣Ԧ ‫ܥ‬௤ሬԦ ܿ௣ାԦା௤ሬԦ ܿ௣Ԧ ൫ܽି௤
ሬԦ + ܽ௤ሬԦ ൯
ଶ

௖

(1.5)

Trong đó: ܿ௣ାԦ , ܿ௣Ԧ là toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái ‫݌‬Ԧ, ܽ௤ାሬԦ , ܽ௤ሬԦ là toán tử sinh hủy

phonon ở trạng thái ‫ݍ‬Ԧ, ‫݌‬Ԧ, ‫ݍ‬Ԧ là xung lượng của điện tử và phonon trong bán dẫn khối, ߱௤ሬԦ là

tần số của phonon, ‫ܥ‬௤ሬԦ là hằng số tương tác giữa điện tử và phonon trong bán dẫn

khối, ‫ܣ‬Ԧ(‫ )ݐ‬là thế vectơ của trường điện từ được xác định như sau:
−

݀‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬
ሬሬሬሬԦ଴ sin(ߗ‫) ݐ‬
=‫ܧ‬
ܿ݀‫ݐ‬

ሬሬሬሬԦ଴ và ߗ là vectơ cường độ
Trong đó, c là vận tốc ánh sáng(vận tốc truyền sóng điện từ), ‫ܧ‬

và tần số của sóng điện từ mạnh.

Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố khơng cân bằng của điện tử cho bán dẫn

khối ݊௣Ԧ (‫ܿ = )ݐ‬௣ାԦ ܿ௣Ԧ có dạng:

డ௡೛
ሬሬԦ(೟)

i

డ௧

= i 〈ܿ௣ାԦ ܿ௣Ԧ 〉௧ = 〈ൣܿ௣ାԦ ܿ௣Ԧ , ‫)ݐ( ܪ‬൧〉௧ =
డ

డ௧

= i∑௞ ‫ܥ‬௞ሬԦ ቂ‫ܨ‬௣Ԧା௞ሬԦ,௣Ԧ,௞ሬԦ (‫ )ݐ‬+ ‫ܨ‬௣∗Ԧ,௣Ԧା௞ሬԦ,ି௞ሬԦ (‫ )ݐ‬− ‫ܨ‬௣Ԧ,௣Ԧି௞ሬԦ,௞ሬԦ (‫ )ݐ‬− ‫ܨ‬௣∗Ԧି௞ሬԦ,௣Ԧ,ି௞ሬԦ (‫)ݐ‬ቃ
Trong đó:
SV: Trần Thị Phương Trúc

(1.6)

ା
(‫ܿ〈 = )ݐ‬ሬሬሬሬԦ
‫ܨ‬ሬሬሬሬԦ,௣
௣భ ሬሬሬሬԦ,௤
௣మ ܽ௤ሬԦ 〉௧
௣భ ܿሬሬሬሬԦ
మ ሬԦ

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp 2015

Thiết lập phương trình cho ‫ܨ‬ሬሬሬሬԦ,௣
(‫ )ݐ‬và giải phương trình đó ta đươc:
௣భ ሬሬሬሬԦ,௤
మ ሬԦ
(‫ =)ݐ‬i∑௞ሬሬሬሬԦ ‫ܥ‬ሬሬሬሬԦ

‫ܨ‬ሬሬሬሬԦ,௣
‫ݐ݀ ׬‬ଶ x
௣భ ሬሬሬሬԦ,௞
మ ሬԦ
భ ௞భ ିஶ
௧

ା
ା
ା
ା
[〈ܿሬሬሬሬԦା௞
ܿ௣మ ቀܽሬሬሬሬԦ
(ܽሬሬሬሬԦ
ሬԦ 〉௧మ − 〈ܿሬሬሬሬԦ
ሬԦ 〉௧ଶ
ሬሬሬሬԦ ቁ ܽ௞
ሬሬሬሬԦ )ܽ௞
௣భ ܿሬሬሬሬԦି௞
௞భ + ܽି௞
௣మ ሬሬሬሬԦ
௞భ + ܽି௞
௣ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ
భ
భ

భ

భ

x exp ቂi൫εሬሬሬሬሬԦ
ሬԦ ൯(t − t ଶ ) −
୮భ − εሬሬሬሬሬԦ
୮ మ − ω୩

భ

భ
ሬሬሬሬԦଵ − p
ሬሬሬሬԦଶ )ሬAԦ(tଵ )dtଵ ቃ dt ଶ
‫( ׬‬p
୫ୡ ୲

୧ୣ

୲

మ

(1.7)

Thay biểu thức (1.7) vào phương trình (1.6) và sử dụng phép khai triển:
exp(±izsin(߮)) = ∑ିஶ ‫ܬ‬௡ (‫ )ݖ‬exp(±݅݊߮)

Và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác điện tử -phonon, ta thu được phương
trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ được
viết dưới dạng:
డ௡೛
ሬሬԦ (௧)
డ௧

= 2ߨ ∑ሬ௞Ԧ ห‫ܥ‬ሬ௞Ԧ ห ∑௟ୀିஶ ‫ܬ‬ଵଶ ቀ
ଶ

௘ாሬԦబ ሬ௞Ԧ
௠ఆమ

ቁ { ൣ݊௣Ԧା௞ሬԦ (‫)ݐ‬൫ܰሬ௞Ԧ + 1൯ − ݊௣Ԧ (‫ܰ)ݐ‬ሬ௞Ԧ ൧ x

x δ ቀε୮ሬԦା୩ሬԦ − ε୮ሬԦ − ωሬ୩Ԧ − lΩቁ + ൣ݊௣Ԧା௞ሬԦ (‫ܰ)ݐ‬௞ሬԦ − ݊௣Ԧ (‫)ݐ‬൫ܰ௞ሬԦ + 1൯൧
x δ(ε୮ሬԦା୩ሬԦ − ε୮ሬԦ + ωሬ୩Ԧ − lΩ)

(1.8)

Ta có mật độ dịng hạt tải:
‫ܬ‬Ԧ(‫= )ݐ‬

௘

௠

௘
∑௣Ԧ ൬‫݌‬Ԧ − ‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬൰ ݊௣Ԧ
௖

(1.9)

Thay (1.8) vào (1.9) và tiến hành giải phương trình này ta được:
ሬଔԦ(‫ = )ݐ‬−

௘ మ ௡బ ா೚
௠ఆ

cos(ߗ‫ )ݐ‬+ 2ߨ

௘

௠ఆ

∑௣Ԧ ∑௤ሬԦห‫ܥ‬௤ሬԦ ห

ଶ

൫2ܰ௤ሬԦ + 1൯‫ݍ‬Ԧ݊௣Ԧ ‫ܬ‬௞ (‫ܬ‬௞ାଵ + ‫ܬ‬௞ିଵ )‫ݔ‬

x δ ൫ε୮ሬԦା୯ሬԦ − ε୮ሬԦ + ω୯ሬԦ − kΩ൯

(1.10)

Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ được cho bởi công thức:
SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp 2015

ߙ=
=

ଵ଺గమ ఆ

௖√୶ಮ ா೚మ

8ߨ

ܿඥ߯ஶ ‫ܧ‬଴ଶ

〈ଔԦ(‫ܧ)ݐ‬଴ sin(ߗ‫〉)ݐ‬
ሬԦ
ሬԦబ ୩
ୣ୉

∑௣Ԧ,௤ሬԦ |‫ܥ‬௤ሬԦ |ଶ ܰ௤ሬԦ ݊௣Ԧ x ∑୩ kJ୩ଶ ൬

୫ஐమ

൰ δ(ε୮ሬԦା୯ሬԦ − ε୮ሬԦ + ω୯ሬԦ − kΩ)

(1.11)

Như vậy từ hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong hố lượng tử, ta đã tính được
mật độ dịng của điện tử trong bán dẫn, từ đó thu được hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện
từ trong bán dẫn. Biểu thức (1.11) cho thấy hệ số hấp thụ sóng điện từ phụ thuộc phi
tuyến vào cường độ và tần số của trường sóng điện trường.

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 17

Khóa luận tốt nghiệp 2015

CHƯƠNG 2:
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CỦA ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế
cao vơ hạn
2.1.1.Trường hợp vắng mặt của từ trường.
Chúng ta xét mơ hình dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế giam giữ điện tử cao vơ
hạn. Hàm sóng và phổ năng lượng được xác định bởi 2 công thức (1.1) và (1.2). Bỏ qua
tương tác của các hạt cùng loại, Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử
hình chữ nhật hố thế cao vô hạn được viết như sau:

௘
ା
ା
‫∑ = ܪ‬௡,௟,௣Ԧ ߝ௡,௟ (‫݌‬Ԧ − (‫ܣ‬Ԧ(‫ܽ))ݐ‬௡,௟,௣
Ԧ ܽ௡,௟,௣Ԧ + ∑௤ሬԦ ߱௤ሬԦ ܾ௤
ሬԦ ܾ௤ሬԦ +
௖

ା
ା
+ ∑௡,௟,௡ᇲ,௣Ԧ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡,௟,௡ᇲ,௟ ᇲ (‫ݍ‬Ԧ)ܽ௡,௟,௣
ሬԦ + ܾି௤ሬԦ )
Ԧା௤ሬԦ ܽ௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧ (ܾ௤

(2.1)

௘
Trong đó ߝ௡.௟ ቀ‫݌‬Ԧ − ‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬ቁ được xác định theo biểu thức (1.2), ‫ܮ‬௫ ‫ݒ‬à ‫ܮ‬௬ là kích thước của
௖

ା
dây theo hai chiều bị giới hạn, ܽ௡,௟,௣
Ԧ, (ܽ௡,௟,௣Ԧ ) là toán tử sinh (hủy) của một electron trong

dây lượng tử, ܾ௤ାሬԦ (ܾ௤ሬԦ ) là toán tử sinh (hủy) một phonon ở trạng thái có vecto sóng ‫ݍ‬Ԧ, ߱௤ሬԦ là
tần số của phonon, ‫ܫ‬௡,௟,௡ᇲ ,௟’ (‫ݍ‬Ԧ ) là thừa số được xác định như sau:
=

‫ܫ‬௡,௟,௡ᇲ ,௟ ᇲ(௤ሬԦ)

32ߨ ସ (‫ݍ‬௫ ‫ܮ‬௫ ݊݊′)ଶ (1 − (−1)௡ା௡ cos ‫ݍ‬௫ ‫ܮ‬௫ ))
ᇲ

[(‫ݍ‬௫ ‫ܮ‬௫ )ସ − 2ߨ ଶ (‫ݍ‬௫ ‫ܮ‬௫ )ଶ (݊ଶ + ݊ᇱ ଶ + ߨ ସ ൫݊ଶ + ݊ᇱ ଶ ൯ ]ଶ
x

మ

ᇲ

ଶ

x

ଷଶగర ൫௤೤௅೤ ௟௟ᇱ൯ (ଵି(ିଵ)೗శ೗ ୡ୭ୱ ௤೤ ௅೤))
మ

మ మ

(2.2)

[(௤೤ ௅೤ )ర ିଶగమ (௤೤ ௅೤)మ (௟ మ ା௟ ᇲ ାగర ቀ௟ మ ା௟ ᇲ ቁ ]మ

2.2.2. Trường hợp có mặt của từ trường ngồi
Ta xem xét một dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn đặt trong một từ
trường, để đơn giản chúng ta chọn một từ trường đều yếu đặt song song với trục của dây.

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp 2015

Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử khi có mặt của từ trường được viết
như sau:

݁
ା
ା
‫ = ܪ‬෍ ߝఊு (‫݌‬Ԧ − ‫ܣ‬Ԧ(‫ܽ))ݐ‬ఊ,௣
Ԧ ܽఊ,௣Ԧ + ෍ ߱௤ሬԦ ܾ௣Ԧ ܾ௤ሬԦ +
ܿ
ఊ,௣Ԧ

௤ሬԦ

+ ∑ఊ,ఊᇲ ,௣Ԧ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡,௟,௡ᇲ ,௟ ᇲ (‫ݍ‬Ԧ )‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫ܽ)ݑ‬ఊାᇲ,௣Ԧା௤ሬԦ ܽఊ,௣Ԧ (ܾ௤ାሬԦ + ܾି௤ሬԦ )

(2.3)

Trong đó ߛ và ߛ ᇱ lần lượt là các bộ số lượng tử (N,n,l) và (N’,n’,l’) của điện tử dưới

tác dụng của từ trường ngoài, N, N’ là các chỉ số vùng Landau (N= 0,1,2..), ߝఊு ൬‫݌‬Ԧ −

௘
௖

‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬൰ là phổ năng lượng của điện tử dưới tác dụng của sóng điện từ với thế vectơ ‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬

khi có mặt của từ trường được xác định theo biểu thức (1.4) như sau:
ߝఊு (‫݌‬Ԧ

− ‫ܣ‬Ԧ(‫= ))ݐ‬
௘
௖

೐
೎

(௣Ԧି ஺Ԧ(௧))మ
ଶ௠

+ ߱௖ ቀܰ + ቁ +
ଵ
ଶ

గ మ ௡మ

ଶ௠ ௅ೣమ

(

+

௟మ

௅೤ మ

)

ା
Trong đó, ߱௖ là tần số cyclotron, ܽఊ,௣
Ԧ (ܽఊ,௣Ԧ ) là toán tử sinh (hủy) của một electron trong

dây lượng tử khi có mặt từ trường ngồi, ܾ௤ାሬԦ (ܾ௤ሬԦ ) là toán tử sinh (hủy) của một phonon ở

trạng thái vecto sóng ‫ݍ‬Ԧ, ߱௤ሬԦ là tần số của phonon, ‫ܥ‬௤ሬԦ là hệ số tương tác điện tử-

phonon, ‫ܫ‬௡,௟,௡ᇲ,௟ ᇲ (‫ݍ‬Ԧ) là thừa số dạng đặc trưng cho sự giam giữ điện tử trong dây lượng tử,

với hàm sóng được xác định ở (1.2), thừa số hạng có thể được lấy như (2.2), ‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫ )ݑ‬là

tích phân được xác định như sau:

‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫ି׬ = )ݑ‬ஶ ݀‫∅ݎ‬ேᇲ (‫ݎ‬ୄ − ܽ௖ଶ (‫݌‬௭ − ‫ݍ‬ୄ ))݁ ௜௤ୄ௣೥ ∅ே (‫ݎ‬ୄ -ܽ௖ଶ ‫݌‬௭ )

ஶ

(2.4)

ở đây, ‫ܽ = ݑ‬௖ ‫ݍ‬ୄଶ /2 , ‫ݎ‬ୄ và ܽ௖ =c/eB lần lượt là vị trí và bán kính quỹ đạo cyclotron.
2.2.Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ
nhật hố thế cao vơ hạn.
Ở đây ta chỉ đi sâu vào phần trường hợp có mặt của từ trường ngồi.
Phương trình động lượng tử cho điện tử:
SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp 2015
డ௡೙,೗,೛
ሬሬԦ (௧)
డ௧

i

ା
= 〈ൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ‫ܪ‬൧〉௧

(2.5)

Thay (2.5) vào (2.1) ta được:
ା
〈ൣܽே,௡,௟,௣

Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ‫ܪ‬௘ + ‫ܪ‬௣௛ + ‫ܪ‬௘_௣௛ ൧〉௧ =

ା
ା
ା
= 〈ൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ‫ܪ‬௘ ൧〉௧ +〈ൣܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ‫ܪ‬௣௛ ൧〉௧ + 〈ൣܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ‫ܪ‬௘_௣௛ ൧〉௧

=〈‫ݏ‬ℎଵ 〉௧ + 〈‫ݏ‬ℎଶ 〉௧ + 〈‫ݏ‬ℎଷ 〉௧

Tính:
Số hạng 1:
ା
〈‫ݏ‬ℎ1〉௧ = 〈ቂܽே,௡,௟,௣
Ԧ−
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ∑ேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ௣Ԧᇲ ߝேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ௣Ԧᇲ ൬‫݌‬

= ∑ேᇲ ,௡ᇲ,௟ ᇲ௣Ԧᇲ ߝேᇲ,௡ᇲ ,௟ ᇲ௣Ԧᇲ ൬‫݌‬Ԧ −

Ta có:

௘
௖

௘
௖

ା
‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬൰ ܽே,௡
ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ܽே ᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ቃ〉௧

ା
ା
‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬൰ ൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽ௡,௟,௣Ԧ , ܽே ᇲ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ൧

ା
ା
ൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܽே ᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ௣Ԧᇲ ൧

ା
ା
ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ൣܽ௡,௟,௣Ԧ , ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ൧ +ൣܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ௣Ԧᇲ ൧ܽே,௡,௟,௣Ԧ

ା
ା
ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ൣܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܽே,௡ᇲ ,௟ ᇲ௣Ԧᇲ ൧ + ܽே,௡,௟,௣Ԧ ൣܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܽே,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ൧ܽே,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ
ା
ା
ା
ା
+ ܽே,௡
ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ൣܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܽே,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ൧ܽே,௡,௟,௣Ԧ + ൣܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܽே,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ ൧ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡ᇲ ,௟ ᇲ ௣Ԧᇲ

ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ௣Ԧᇲ ߜே,ேᇲ ߜ௡,௡ᇲ ߜ௟,௟ ᇲ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ −ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ,௣
ሬሬሬԦᇲ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ߜே,ேᇲ ߜ௡,௡ᇲ ߜ௟,௟ ᇲ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ

Vậy: :

〈‫ݏ‬ℎଵ 〉௧ = 0

=0
(2.6)

Số hạng thứ 2:
ା
ା
ା
ା
〈‫ݏ‬ℎଶ 〉௧ = 〈ൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ∑௤ሬԦ ߱௤ሬԦ ܾ௣Ԧ ܾ௤ሬԦ ൧〉௧ =〈∑௤ሬԦ ߱௤ሬԦ ൣܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܾ௣Ԧ ܾ௤ሬԦ ൧〉௧

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp 2015
ା
ା

ା
ା
ା
ା
ൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܾ௣Ԧ ܾ௤ሬԦ ൧ = ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾ௣Ԧ ܾ௤ሬԦ − ܾ௣Ԧ ܾ௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ

Ta có:

Vậy: :

〈‫ݏ‬ℎଶ 〉௧ = 0

ା
ା
ା
=ܾ௣ାԦ ܾ௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ – ܾ௣Ԧ ܾ௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ = 0

(2.7)

Số hạng thứ 3:
ା
〈‫ݏ‬ℎ3〉௧ =ൻൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ∑ேభ,௡భ ,௟భ,ேమ ,௡మ ,௟మ ,௣Ԧᇲ ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡భ ,௟భ ,௡మ ,௟మ (‫ݍ‬௭ )‫ܬ‬ே,ே ᇲ (‫) ݑ‬
ା
ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧᇲା௤ሬԦ ܽேభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤
ሬԦ ൯൧඀

= ∑ேభ,௡భ ,௟భ,ேమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧᇲ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡భ,௟భ,௡మ ,௟మ (‫ݍ‬௭ )

ା
ା
〈ൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܽே

ᇲ ሬԦ
మ ,௡మ ,௟మ ,௣Ԧ ା௤

Ta có:

ା
ܽேభ,௡భ,௟భ,௣Ԧᇲ (ܾ௤ሬԦ + ܾି௤
ሬԦ )൧〉௧

ା
ା
ା
ൣܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ , ܽேమ ,௡మ ,௟మ ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯൧ =

ା
ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽ௡మ ,௟మ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯

ା
ା
−ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧᇲା௤ሬԦ ܽேభ,௡భ,௟భ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤

ሬԦ ൯ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ

ା
ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ൫ߜே,ேమ ߜ௡,௡మ ߜ௟,௟మ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ − ܽேమ ,௡మ ,௟మ ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ൯ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯ ା
ା
−ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧᇲା௤ሬԦ ܽேభ,௡భ,௟భ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤
ሬԦ ൯ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ

ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ߜே,ேమ ߜ௡,௡మ ߜ௟,௟మ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯
ା
ା
−ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧᇲା௤ሬԦ ܽேభ,௡భ,௟భ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤
ሬԦ ൯ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ

ା
ା
ା
−ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேమ ,௡మ ,௟మ ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯

ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ,௣Ԧᇲ ߜே,ேమ ߜ௡,௡మ ߜ௟,௟మ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯

ା
ା
−ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧᇲା௤ሬԦ ܽேభ,௡భ,௟భ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤
ሬԦ ൯ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp 2015
ା
ା
−ܽேାమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯

ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ߜே,ேమ ߜ௡,௡మ ߜ௟,௟మ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯
ା
ା
−ܽேାమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ܽேభ,௡భ,௟భ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤
ሬԦ ൯ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ

ା
ା
−ܽேାమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧᇲା௤ሬԦ ൫ߜே,ேభ ߜ௡,௡భ ߜ௟,௟భ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ − ܽேభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧᇲ ܽ௡,௟,௣
Ԧ ൯ܽே,௡,௟,௣Ԧ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯

ା
ା
= ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ߜே,ேమ ߜ௡,௡మ ߜ௟,௟మ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯
ା
− ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧᇲା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ߜே,ேభ ߜ௡,௡భ ߜ௟,௟భ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤
ሬԦ ൯

=> 〈‫ݏ‬ℎ3〉௧ = ൻ∑ேభ,௡భ ,௟భ,௡మ ,௟మ,௣Ԧᇲ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡భ,௟భ,௡మ ,௟మ (‫ݍ‬௭ )‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫)ݑ‬
ା
ା
ቀܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧᇲ ߜே,ேమ ߜ௡,௡మ ߜ௟,௟మ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ ା௤ሬԦ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤ሬԦ ൯ቁ

+ ∑ேభ,௡భ ,௟భ,ேమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧᇲ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡భ,௟భ,௡మ ,௟మ (‫ݍ‬௭ ) ‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫)ݑ‬

ା
ቀ− ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧᇲା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ߜே,ேభ ߜ௡,௡భ ߜ௟,௟భ ߜ௣Ԧ,௣Ԧᇲ ൫ܾ௤ሬԦ + ܾି௤
ሬԦ ൯ቁ඀

= ൻ∑ேభ,௡భ ,௟భ,ேమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧᇲ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡భ,௟భ,௡మ ,௟మ (‫ݍ‬௭ )‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫)ݑ‬

ା
ା
ା
ൣ൫ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧି௤ሬԦ ܾ௤ሬԦ ൯ + ൫ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧି௤ሬԦ ܾି௤ሬԦ ൯

ା
−൫ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾ௤ሬԦ ൯ − ൫ܽேାమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾି௤

ሬԦ ൯൧ൿ

Chuyển chỉ số ݊ଶ thành ݊ଵ , ݈ଶ thành ݈ଵ , N2 thành N1 ta có:

௧

௧

ൻ∑ேభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧᇲ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡భ,௟భ (‫ݍ‬௭ )‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫) ݑ‬

∗

ା
ା
൫ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧି௤ሬԦ ܾ௤ሬԦ ൯ + ൫ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧି௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾି௤ሬԦ ൯

∗

ା
−൫ܽேାభ,௡భ,௟భ,௣Ԧା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾ௤ሬԦ ൯ − ൫ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧା௤ሬԦ ܾି௤ሬԦ ൯

Do ta có:
ା ା

ା
ା
ା
ା

ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧି௤ሬԦ ܾି௤ሬԦ = ቂ൫ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧି௤ሬԦ ܾି௤ሬԦ ൯ ቃ
ା ା

∗

ା
ା
ା
= ቂܾି௤ሬԦ ൫ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧି௤ሬԦ ൯ ቃ = ൫ܽேభ ,௡భ ,௟భ ,௣Ԧି௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾି௤ሬԦ ൯

Tương tự:

SV: Trần Thị Phương Trúc

∗

ା
ା
ା
൫ ܽேାమ,௡మ,௟మ,௣Ԧା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾି௤
ሬԦ ൯ = ൫ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܽேమ ,௡మ ,௟మ ,௣Ԧା௤ሬԦ ܾି௤ሬԦ ൯

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp 2015

Chuyển chỉ số ݊ଵ thành ݊ᇱ , ݈ଵ thành ݈ᇱ , N1 thành N’ ta có:

= ൻ∑ேᇲ௡ᇲ,௟ ᇲ,௣Ԧᇲ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡ᇲ,௟ ᇲ (‫ݍ‬௭ )‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫)ݑ‬

∗

ା
ା
ൣ൫ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேᇲ,௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧି௤ሬԦ ܾ௤ሬԦ ൯ +൫ܽே ᇲ,௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧି௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾି௤ሬԦ ൯

∗

ା
−൫ܽேାᇲ,௡ᇲ,௟ ᇲ,௣Ԧା௤ሬԦ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ܾ௤ሬԦ ൯ − ൫ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ,௣Ԧା௤ሬԦ ܾି௤ሬԦ ൯ ൧ൿ

=− ∑௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧᇲ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡ᇲ,௟ ᇲ (‫ݍ‬௭ )‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫)ݑ‬
ൣ‫ܨ‬ேᇲ,௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧା௤ሬԦ,௡,௟,௣Ԧ,௤ሬԦ (‫ )ݐ‬+

௧

∗
( )
‫ܨ‬௡,௟,௣
Ԧ,ே ᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ,௣Ԧା௤ሬԦ,ି௤ሬԦ ‫ݐ‬

∗
( )
− ‫ܨ‬௡,௟,௣Ԧ,ேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧି௤ሬԦ,௤ሬԦ (‫ )ݐ‬− ‫ܨ‬௡,௟,௣
Ԧ,ேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧି௤ሬԦ,௤ሬԦ ‫ ݐ‬൧

Trong đó:

(2.8)

‫ܨ‬ேభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧభ,ேమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧమ,௤ሬԦ (‫ܽ〈 = )ݐ‬ேାభ,௡భ,௟భ,௣Ԧభ ܽேమ,௡మ,௟మ,௣Ԧమ ܾ௤ሬԦ 〉௧

Thay (2.6),(2.7),(2.8) vào (2.5) ta được:
డ௡೙,೗,೛
ሬሬԦ (௧)

i

డ௧

= − ∑௡ᇲ,௟ ᇲ,௣Ԧᇲ,௤ሬԦ ‫ܥ‬௤ሬԦ ‫ܫ‬௡ᇲ,௟ ᇲ (‫ݍ‬௭ )‫ܬ‬ே,ேᇲ (‫)ݑ‬

ൣ‫ܨ‬ேᇲ,௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧା௤ሬԦ,௡,௟,௣Ԧ,௤ሬԦ (‫ )ݐ‬+

∗
( )
‫ܨ‬௡,௟,௣
Ԧ,ே ᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ ,௣Ԧା௤ሬԦ,ି௤ሬԦ ‫ݐ‬

∗
( )
− ‫ܨ‬௡,௟,௣Ԧ,ேᇲ,௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧି௤ሬԦ,௤ሬԦ (‫ )ݐ‬− ‫ܨ‬௡,௟,௣
Ԧ,ேᇲ ,௡ᇲ ,௟ ᇲ,௣Ԧି௤ሬԦ,௤ሬԦ ‫ ݐ‬൧

(2.9)

‫ܨ‬ேభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧభ,ேమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧమ,௤ሬԦ (‫)ݐ‬

Tính:

Ta có: i

డிಿ ,೙ ,೗ ,೛
ሬሬԦమ,೜
ሬԦ (௧)(௧)
భ భ భ ሬሬԦభ ,ಿమ ,೙మ ,೗మ ,೛
డ௧

= 〈[ܽேାభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧభ ܽேమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧమ ܾ௤ሬԦ , ‫〉]ܪ‬௧

௘
ା
〈‫ݏ‬ℎ‫ݐ‬1〉௧ = 〈[ܽேାభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧభ ܽேమ,௡మ ,௟మ,௣Ԧమ ܾ௤ሬԦ , ∑ே,௡,௟,௣Ԧ ߝே,௡,௟,௣ ቀ‫݌‬Ԧ − ‫ܣ‬Ԧ(‫)ݐ‬ቁ ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ]〉௧
௖

௘
ା
= 〈∑ே,௡,௟,௣Ԧ ߝே,௡,௟,௣ (‫݌‬Ԧ − (‫ܣ‬Ԧ(‫))ݐ‬ൣܽேାభ,௡భ,௟భ,௣Ԧభ ܽேమ,௡మ,௟మ,௣Ԧమ ܾ௤ሬԦ , ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ൧〉௧
௖

Ta tính:

ା

ൣܽேାభ,௡భ,௟భ,௣Ԧభ ܽேమ,௡మ,௟మ,௣Ԧమ ܾ௤ሬԦ , ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ൧

ା
=ܽேାభ,௡భ ,௟భ,௣Ԧభ ܽேమ,௡మ,௟మ,௣Ԧమ ൣܾ௤ሬԦ , ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ൧

ା
+ൣܽேାభ,௡భ,௟భ,௣Ԧభ ܽேమ,௡మ,௟మ,௣Ԧమ , ܽே,௡,௟,௣
Ԧ ܽே,௡,௟,௣Ԧ ൧ܾ௤ሬԦ

SV: Trần Thị Phương Trúc

Trang 23