Định lý điểm bất động trong không gian metric tvs nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
——————————–

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHƠNG GIAN METRIC
TVS-NÓN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

NGUYỄN THỊ HỢP - LỚP: 16ST - KHOA TOÁN

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Đà Nẵng - Năm 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
——————————–

NGUYỄN THỊ HỢP

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN METRIC
TVS-NĨN
Chun ngành: Giải tích

Người hướng dẫn nghiên cứu:

TS. Lương Qc Tuyển

Đà Nẵng - Năm 2020


LỜI CAM ĐOAN

Chúng tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu cưa riêng
chúng tơi. Các số liệu, kết quả nêu trong đề tài là trung thực và chưa từng
được ai cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Hợp


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của đề tài tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được luận văn này.
Tác giả

Nguyễn Thị Hợp


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTOR TOPO . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian topo

.................................................4

1.2. T1 -không gian và T2 -không gian
1.3. Ánh xạ liên tục

.....................................6

..................................................7

1.4. Không gian vector topo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN METRIC TVS-NÓN . . . . . . . . . 13
2.1. TVS-nón trong khơng gian vector topo
2.2. Khơng gian metric TVS-nón

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

CHƯƠNG 3. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG
GIAN METRIC TVS-NĨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Dãy trong khơng gian metric TVS-nón

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Định lí điểm bất động trong khơng gian metric TVS-nón

. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920 và được phát triển
mạnh mẽ cho đến tận hơm nay. Nó là cơng cụ chính để chứng minh sự tồn
tại và duy nhất nghiệm của nhiều lớp phương trình xuất phát từ Tốn học
và khoa học.
Các định lý điểm bất động trong không gian với mêtric là một ánh xạ
nhận giá trị trong một nón của khơng gian vector được bắt đầu nghiên
cứu từ những năm 1950 để phục vụ việc nghiên cứu các phương trình vi
phân và q trình tính tốn gần đúng.
Có rất nhiều tác giả nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động trong khơng
gian metric nón được xây dựng trên cơ sở không gian Banach và hàng chục
bài báo viết về đề tại này được công bố [5] [8] [7].
Trong thời gian gần đây, Du [5] đã giới thiệu khơng gian metric TVS-nón
bằng cách thay thế khơng gian Banach bởi không gian vector topo trong
định nghĩa không gian metric nón của Huang và Zhang (xem [7]). Trên cơ
sở đó các tác giả bắt đầu nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động trong
khơng gian metric TVS-nón một khơng gian rộng hơn so với các nghiên cứu
trước đó và thu đước rất nhiều kết quả đáng ghi nhận (xem [3], [4]).
Nhằm hiểu rõ thêm vấn đề, cùng với sự định hướng của thầy giáo TS.
Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Định lý điểm bất
động trong không gian metric TVS-nón”. Chúng tơi hi vọng đây là một tài

liệu tham khảo tốt cho các học giả quan tâm đến vấn đề này.
2. Mục đích nghiên cứu


2

Nhằm hiểu thấu đáo về Định lí điểm bất động trong khơng gian metric
TVS-nón. Ngồi ra chúng tơi mong muốn đưa ra những kết quả mới phục
vụ cho lĩnh vực nghiên cứu này.
3. Đối tượng nghiên cứu
Trong bài báo cáo nầy chúng tơi nghiên cứu về khơng gian metric TVSnón, trên cơ sở khơng gian metric TVS-nón chúng tơi tìm hiểu về định lý
điểm bất động trong khơng gian đó.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian vector topo, khơng gian metric TVS-nón và
định lý điểm bất động trong khơng gian metric TVS-nón.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình
thực hiện đề tài. Trước tiên, chúng tôi thu thập các bài báo khoa học của
những tác giả đi trước liên quan đến khơng gian TVS-nón và định lý điểm
bất động trong khơng gian đó. Sau đó, bằng cách tương tự hóa, khái qt
hóa những kết quả đó, chúng tơi mong muốn đưa ra những kết quả mới
cho đề tài.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, là tài liệu tham khảo cho những ai
quan tâm đến mảng nghiên cứu này.
7. Cấu trúc bài nghiên cứu


3

Trong đề tài này, chúng tơi trình bày về khơng gian vector topo, cụ thể
là khơng gian TVS-nón được xây dựng trong khơng gian vecto topo, đồng
thời tơi trình bày và chứng minh Định lý điểm bất động trong không gian
metric TVS-nón. Nội dung đề tài được trình bày trong ba chương. Ngồi
ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần
Kết luận, Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày về khơng gian vector topo và một số tính chất
trong khơng gian đó
Chương 2. Trình bày về khơng gian metric TVS-nón. Mục 2.1 trình bày
về TVS-nón được xây dựng trong khơng gian vector topo. Mục 2.2 trình
bày cụ thể về khơng gian metric TVS-nón.
Chương 3. Trình bày và chứng minh Định lý điểm bất động trong khơng
gian metric TVS-nón.


4

CHƯƠNG 1

KHƠNG GIAN VECTOR TOPO

Trong chương này trước tiên tơi dành cho việc trình bày một sơ khái
niệm và tính chất của khơng gian topo [1]. Sau đó, chúng tơi trình bày
khái niệm và chứng minh chi tiết một số kết quả của không gian vector
topo [4], [6] nhằm phục vụ và hiểu thấu đáo hơn việc chứng minh ở chương
sau

1.1. Không gian topo
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp và τ là họ gồm các tập con
của X thỏa mãn các điều kiện sau

1) ∅, X ∈ τ .
2) Nếu U, V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ .
3) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ thì

Uα ∈ τ .
α∈Λ

Khi đó,

• τ được gọi là một topo trên X .
• Cặp (X, τ ) được gọi là một khơng gian topo.
• Mọi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.
• Mọi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.
Nhận xét 1.1.2. Đối với không gian topo (X, τ ), ta có
1) ∅, X là các tập mở.


5

2) Giao hữu hạn các tập mở là tập mở.
3) Hợp tùy ý các tập mở là tập mở.
4) Giao tùy ý các tập mở có thế khơng mở.
Định nghĩa 1.1.3. Cho A là tập con khác rỗng của không gian topo

(X, τ ). Khi đó, tập con U của X đượcc gọi là một lân cận của tập A nếu
tồn tại V ∈ τ sao cho
A⊂V ⊂U
Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt,
nếu A = x, thì ta nói rằng A là lân cận của x.
Nhận xét 1.1.4. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó,

1) Lân cận của một điểm khơng nhất thiết là một tập mở, nhưng mọi
tập mở bất kì là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
2) Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của x. Tuy nhiên,
giao tùy ý các lân cận của x có thể khơng là lân cận của x.
3) U ∈ τ khi và chỉ khi với mọi x ∈ U , tồn tại một lân cận V của x sao
cho x ∈ V ⊂ V , khi và chỉ khi U là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
Định nghĩa 1.1.5. Tập con A của khơng gian topo (X, τ ) được gọi là
tập hợp đóng trong X nếu X \ A ∈ τ .
Nhận xét 1.1.6.

1) ∅, X là các tập hợp đóng.

2) Hợp hữu hạn các tập hợp đóng là tập hợp đóng.
3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là tập hợp đóng.
4) Hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể khơng đóng.
Định nghĩa 1.1.7. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ).
Khi đó,
1) Phần trong của A là hợp của tất cả các tập con mở nằm trong A. Ta
kí hiệu IntA.


6

2) Bao đóng của A là giao tất cả các tập con đóng trong X chứa A. Ta
kí hiệu A.
Nhận xét 1.1.8. Giả sử A, B là các tập con của khơng gian topo (X, τ ).
Khi đó các khẳng định sau đây là đúng.
1) IntA là tập con mở lớn nhất nằm trong A;
2) A là tập mở khi và chỉ khi IntA = A;
3) Nếu A ⊂ B , thì IntA ⊂ IntB ;

4) A là tập con đóng nhỏ nhất chứa A;
5) A đóng khi và chỉ khi A = A;
6) Nếu A ⊂ B , thì A = B .

1.2. T1 -không gian và T2 -không gian
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian topo (X, τ ). Khi đó,
1) X được gọi là T1 - khơng gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x = y , tồn tại
các lân cận U của x và V của y sao cho x ∈
/ V và y ∈
/ U.
2) X được gọi là T2 -không gian hay không gian Hausdorff nếu với mọi

x, y ∈ X mà x = y , tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho
U ∩ V = ∅.
Định lí 1.2.2. Đối với khơng gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là
đúng.
1) X là T1 -không gian khi và chỉ khi tập một điểm {x} là đóng trong X
với mọi x ∈ X .
2) Mọi T2 -không gian là T1 -không gian. Tuy nhiên, điều ngược lại nói
chung khơng đúng.


7

1.3. Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không gian
topo (X, τ ) vào không gian (Y, σ). Khi đó,
1) f đựoc gọi là ánh xạ liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi lân cận

V của f (x0 ) trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho

f (U ) ⊂ V .
2) f gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu f liên tục tới mọi điểm
của X .
Định lí 1.3.2. Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không gian topo
(X, τ ) vào không gian (Y, σ). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
1) f liên tục.
2) Tạo ảnh cửa mọi tập hợp mở trong Y là một tập hợp mở trong X .
3) Tạo ảnh của mọi tập hợp đóng trong Y là một tập hợp đóng trong X .
4) f (A) ⊂ f (A).
5) f −1 (B)) ⊂ f −1 (B) với mọi B ⊂ Y .
6) f −1 (IntB) ⊂ Intf −1 (B) với mọi B ⊂ Y .
Định lí 1.3.3. Giả sử X, Y, Z là các không gian topo và

f : X → Y ;g : Y → Z
là các ánh xạ liên tục. Khi đó,

h=g◦f :X →Z
cũng là một ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ không gian topo

X vào khơng gian topo Y . Khi đó,


8

1) f được gọi là một ánh xạ mở nếu f (A) là tập hợp mở trong Y với
moị tập hợp mở A trong X .
2) f được gọi là một ánh xạ đóng nếu f (A) là tập hợp đóng trong Y với
mọi tập hợp đóng A trong X .
3) f đựoc gọi là một phép đồng phôi nếu f là một song ánh đồng thời

f và f −1 là các ánh xạ liên tục.
1.4. Không gian vector topo
Định nghĩa 1.4.1. Cho Φ = R hoặc Φ = C, E là không gian vector trên
trường Φ với phần tử được kí hiệu là θ ∈ E và τ là một topo trên E .
Khi đó, E được gọi là một không gian vector topo nếu
1) Phép cộng (x + y) → x + y liên tục, nghĩa là với mọi lân cận W của

x + y , tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho
U + V ⊂ W.
2) Phép nhân vô hướng (α, x) → αx liên tục, nghĩa là với moị lân cận

W của αx, tồn tại lân cận U của x và r > 0 sao cho
B(α, r)U = {βx : x ∈ U, β ∈ Φ sao cho |β − α| < r} ⊂ W .
3) E là T1 không gian.
Bổ đề 1.4.2. Giả sử E là không gian vector topo, a ∈ E và α ∈ Φ mà
α = 0. Khi đó, phép tịnh tiến x → x + a và phép vị tự x → αx là các
phép đồng phôi.
Chứng minh. (1) Giả sử a ∈ E và

f :E→E
x → f (x) = x + a


9

là phép tịnh tiến. Khi đó,

• f là đơn ánh. Giả sử x, y ∈ E sao cho f (x) = f (y). Khi đó,
x + a = f (x) = f (y) = y + a,

kéo theo x = y . Như vậy, f là một đơn ánh.

• f là một toàn ánh.
Thật vậy, giả sử y ∈ E . Khi đó nếu ta chọn x = y − a, thì

f (x) = x + a = (y − a) + a = y
Suy ra f là một toàn ánh.

• f liên tục.
Thật vậy, giả sử W là lân cận của f (x) = x + a. Khi đó, vì ánh xạ
cộng (x, y) → x + y liên tục tại (x, a) nên tồn tại các lân cận U của
x và V của a sao cho

U +V ⊂W
Suy ra

f (U ) = U + a ⊂ U + V ∈ W
Do đó, f là ánh xạ liên tục.

• f −1 liên tục.
Thật vậy, ta có

f −1 : E → E
x → f −1 (x) = x − a.
Giả sử W là lân cận của f −1 (x) = x − a. Khi đó, vì ánh xạ cộng

(x, y) → x + y liên tục tại (x, −a) nên tồn tại các lân cận U của x
và V của −a sao cho
U + V ⊂ W.

10

Điều này kéo theo rằng

f −1 (U ) = U − a ⊂ U + V ⊂ W.
Như vậy, f −1 là một ánh xạ liên tục.
(2) Giả sử rằng α ∈ Φ sao cho α = 0 và

g:E→E
x → g(x) = αx
là phép vị tự. Khi đó,

• g là đơn ánh. Giả sử x, y ∈ E sao cho g(x) = g(y), kéo theo αx = αy .
Lại có α = 0 nên x = y . Suy ra g là một đơn ánh.
• g là một tồn ánh. Giả sử y ∈ E . Khi đó, nếu ta lấy x = αy , thì
g(x) = α

y
= y.
α

Suy ra g là một tồn ánh.

• g liên tục. Giả sử W là lân cận của g(x) = αx. Ta có phép nhân vô
hướng (α, x) → αx liên tục tại (α, x) nên tồn tại r > 0 và lân cận U
của x sao cho
B(α, r)U ⊂ W.
Suy ra

g(U ) = αU ⊂ B(α, r)U ⊂ W.
Điều này chứng tỏ rằng g là ánh xạ liên tục.

• g −1 liên tục. Thật vậy, ta có
g −1 : E → E
x → g −1 (x) =

x
.
α


11

x
Giả sử W là lân cận của g −1 (x) = . Khi đó, vì phép nhân vơ hướng
α
1
x → λx liên tục tại
, x nên tồn tại r > 0 và một lân cận U của
α
x sao cho
1
B , x U ⊂ W.
α
Suy ra rằng
1
1
g −1 (U ) = U ⊂ B , x U ⊂ W.
α

α
Do đó, g −1 là ánh xạ liên tục.
Như vậy, g là phép đồng phôi.
Hệ quả 1.4.3. Giả sử E là không gian vector topo, a ∈ E , α ∈ Φ, α = 0
và A ⊂ E . Khi đó,
1) αA = αA, a + A = a + A;
2) Int(αA) = αIntA; Int(a + A) = a + Int(A);
3) A mở khi và chỉ khi a + A mở;
4) U là một lân cận mở của θ trong E khi và chỉ khi αU là một lân cận
mở của θ.
Định nghĩa 1.4.4. Giả sử E là không gian vector topo và A ⊂ E . Khi
đó, A được gọi là đối xứng nếu −A = A.
Nhận xét 1.4.5. Giả sử E là khơng gian vector topo. Khi đó,
1) Nếu A ⊂ E , α, β ∈ Φ, thì

(α + β)A ⊂ αA + βA.
Điều ngược lại nói chung khơng đúng.
2) Nếu A, B ⊂ E và α ∈ Φ, thì

α(A + B) = αA + αB.


12

.
Chứng minh. (1) Giả sử x ∈ (α + β)A. Khi đó, tồn tại a ∈ A sao cho

x = (α + β)a = αa + βa ∈ αA + βA.
Như vậy, (α + β)a ⊂ αA + βA.
Bây giở, ta lấy

A = {x, y}, α = β = 1.
Rõ ràng rằng x + y ∈ A + A nhưng x + y ∈
/ 2A.
(2) Ta có x ∈ α(A + B) khi và chỉ khi tồn tại a ∈ A và b ∈ B sao cho

x = α(a + b) = αa + αb ∈ αA + αB.
Như vậy nhận xét được chứng minh.


13

CHƯƠNG 2

KHƠNG GIAN METRIC TVS-NĨN

Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu khái niệm và một số tính chất
của TVS-nón trong khơng gian vector topo. Nhờ đó, chúng tơi trình bày
khái niệm metric TVS-nón, khơng gian metric TVS-nón [6].

2.1. TVS-nón trong khơng gian vector topo
Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và tính chất của
TVS-nón trong khơng gian vector topo nhằm phục vụ cho việc trình bày
khơng gian metric TVS-nón trong mục sau.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử E là không gian vector topo trên trường Φ với
phần tử khơng được kí hiệu là θ ∈ E và P ⊂ E . Khi đó, P được gọi là
một TVS-nón trong E nếu thỏa mãn các điều kiện sau.
1) P là một tập con đóng trong E và IntP = ∅;
2) αx + βy ∈ P với mọi x, y ∈ P và α, β ≥ 0;
3) P ∩ (−P ) = {θ}.

Ví dụ 2.1.2. Cho E = R2 với các phép tốn thơng thường. Khi đó, rõ
ràng ràng R2 là một không gian vector thực. Nếu trên E ta xét topo thơng
thường, thì R2 là khơng gian vector topo thực. Bây giờ, ta xét các tập con
của R2 như sau.

• P1 = {(x, y) : x ≥ 0; y ≥ 0};
• P2 = {(0, 0)};
• P3 = {(x, y); x > 0, y ≥ 0};


14

• P4 = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} \ {(1, 1)};
• P5 = R2 .
Khi đó,
1) P1 là một TVS-nón;
2) P2 , P3 , P4 và P5 khơng là các TVS-nón.
Chứng minh. (1) Ta chứng minh P1 là một TVS-nón

• Bởi vì R2 ta xét là topo thông thường nên
IntP1 = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} = ∅.

• Giả sử α, β > 0, (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ P1 . Khi đó, x1 , x2 , y1 , y2 ≥ 0,
kéo theo
αx1 + βx2 ≥ 0, αy1 + βy2 ≥ 0.
Điều này suy ra rằng

α(x1 , y1 ) + β(x2 , y2 ) = (αx1 + βx2 , αy1 + βy2 ) ∈ P1 .
• Giả sử (x, y) ∈ P1 ∩ (−P1 ). Khi đó, vì (x, y) ∈ P1 nên x ≥ 0, y ≥ 0.
Mặt khác, vì (x, y) ∈ −P1 nên x ≤ 0, y ≤ 0. Suy ra (x, y) = (0, 0).

Như vậy, P1 là một TVS-nón trên E .
(2) Tiếp theo ta chứng minh P2 , P3 , P4 và P5 khơng là các TVS-nón.

• Ta có IntP2 = ∅ nên P2 khơng thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1.
• P2 khơng đóng trong E . Thật vậy, ta xét
1 1
,
n n

⊂ P3 .


15

1 1
,
→ (0, 0) khi n → ∞ và (0, 0) ∈
/ P3 nên P3 không thỏa
n n
mãn Định nghĩa 2.1.1.
Bởi vì

• Trong P4 lấy hai phần tử (0, 0), (2, 2). Khi đó, với mọi α, β ≥ 0 ta
1
chọn α = 0, β = . Lúc này, ta có
2
α(0, 0) + β(2, 2) = (1, 1) ∈
/ P4 .
Do vậy, P4 khơng thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1.

• Bởi vì −P5 = R2 nên
P5 ∩ (−P5 ) = R2 = {(0, 0)}.
Suy ra P5 không thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1.
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Ta nói dãy
{xn } hội tụ đến x trong X nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại N ∈ N∗
sao cho

xn ∈ U với mọi n ≥ N.
Bổ đề 2.1.4. Giả sử X, Y là hai không gian topo, f : X → Y là ánh xạ
liên tục, {xn } ⊂ X hội tụ đến x ∈ X . Khi đó,
1) Nếu X là T2 -khơng gian, thì x duy nhất;
2) {f (xn )} hội tụ đến f (x) trong Y .
Chứng minh. (1) Giả sử ngược lai rằng {xn } cũng hội tụ đến y với y = x.
Bởi vì X là T2 -khơng gian nên tồn tại lân cận U của x và lân cận V của

y sao cho
U ∩ V = ∅.
Mặt khác, vì xn → x trong X nên tộn tại n1 ∈ N∗ sao cho


16

xn ∈ U với mọi n ≥ n1 .
Hơn nữa, vì xn → y trong X nên tồn tại n1 ∈ N∗ sao cho

xn ∈ V với mọi n ≥ n2 .
Nếu ta lấy n > max{n1 , n2 }, thì xn ∈ U ∩V . Điều này dẫn đến mâu thuẫn
vì U ∩ V = ∅.
(2) Giả sử W là lân cận của f (x). Khi đó, vì f liên tục nên tồn tại lân

cận V của x trong X sao cho f (V ) ⊂ W . Mặt khác, vì V là lân cân của

x, xn → x nên tồn tại N ∈ N∗ sao cho
xn ∈ V với mọi n ≥ N .
Điêu này suy ra rằng

f (xn ) ∈ f (V ) ⊂ W với mọi n ≥ N .
Như vậy f (xn ) → f (x) trong Y . Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.1.5. Giả sử E là không gian vector topo và P là TVS-nón trong
E . Khi đó,
1) θ ∈ P ;
2) θ ∈
/ IntP .
Chứng minh. (1) Theo Định nghĩa 2.1.1, ta có IntP = ∅, Mặt khác, vì
IntP ⊂ P nên P = ∅. Khi đó, tồn tại z ∈ P . Bây giờ, nếu ta lấy

x = y = z, α = β = 0,
thì ta có θ = αx + βy ∈ P .
(2) Lấy x ∈ E \ {θ}, khi đó vì


17

1
→ 0 khi n → ∞
n
và phép nhân ngoài (α, x) → αx liên tục nên theo Bổ đề 2.1.4 ta có

x
x

→ θ và − → θ khi n → ∞.
n
n

(2.1)

Bây giờ, giả sử ngược lại rằng θ ∈ IntP . Khi đó, IntP là một lân cận mở
của θ trong E . Theo 2.1 ta suy ra tồn tại n ∈ N∗ sao cho

x x
,−
n n
Do đó, theo 2.1.1 ta có

∈ IntP ⊂ P.

x
= θ, kéo theo x = θ. Điều này dẫn đến mâu
n

thuẫn với x = θ.
Định nghĩa 2.1.6. Giả sử E là một không gian vector topo và P là một
TVS-nón trên E . Ta xét một quan hệ trên E được định nghĩa như sau: Giả
sử x, y ∈ E . Khi đó,
1) x ≤ y hay x ≥ y nếu y − x ∈ P ;
2) x < y hay y > x nếu x ≤ y và x = y ;
3) x

y hay y

x nếu y − x ∈ IntP .

Bổ đề 2.1.7. “ ≤” là quan hệ thứ tự trên E .
Chứng minh. Với mọi x, y, z ∈ E ta có

• Theo Bổ đề 2.1.5 ta suy ra x − x = θ ∈ P . Do đó, x ≤ x.
• Giả sử x ≤ y và y ≤ x. Khi đó,
x − y, −(x − y) ∈ P.
Theo Định nghĩa 2.1.1, x − y = θ, kéo theo x = y .


18

• Giả sử x ≤ y và y ≤ x. Khi đó,
x − y ∈ P ; y − z ∈ P.
Ta lấy α = β = 1, theo Định nghĩa 2.1.1, ta thu được

x − z = (x − y) + (y − z) ∈ P.
Khi đó, ta có x ≤ z .
Như vậy “ ≤” là một quan hệ thứ tự trên E .
Bổ đề 2.1.8. Giả sử E là không gian vector topo và P là một TVS-nón
trên E . Khi đó, với mọi α, β ∈ E ta có
1) x ≥ y ⇐⇒ x − y ∈ P ⇐⇒ x − y ≥ 0;
2) x > y ⇐⇒ x − y ∈ P \ {θ} ⇐⇒ x − y > 0;
3) x

y ⇐⇒ x − y ∈ IntP ⇐⇒ x − y

4) x

y =⇒ x > y =⇒ x ≥ y .

Chứng minh.

θ;

1) Ta có

x ≥ y ⇐⇒ x − y ∈ P
⇐⇒ (x − y) − θ = x − y ∈ P
⇐⇒ x − y ≥ θ.
2) Theo Định nghĩa 2.1.6 và khẳng định (1), ta có

x > y ⇐⇒

x≥y
x=y

⇐⇒

x−y ≥θ
x=y

⇐⇒

Từ đó suy ra x − y ∈ P \ {θ} ⇐⇒ x − y > θ.

x−y ∈P
x − y = θ.

19

3) Theo Định nghĩa 2.1.6, ta có

y ⇐⇒ x − y ∈ IntP

x

⇐⇒ (x − y) − θ ∈ IntP
⇐⇒ x − y

θ.

4) Theo Bổ đề 2.1.5, ta có θ ∈
/ IntP . Do đó, từ khẳng định (2) và Định
nghĩa 2.1.6, ta có

x

y ⇐⇒ x − y ∈ IntP ⊂ P
⇐⇒ x − y ∈ P \ {θ}
=⇒ x > y.

Như vậy, Bổ đề đã được chứng minh xong.
Định lí 2.1.9. Giả sử E là khơng gian vector topo và P là một TVS-nón
trong E . Khi đó,
1) Nếu x
2) Nếu x1
3) Nếu x

θ thì rx

θ với mọi r > 0;

y1 và x2 ≥ y2 thì x1 + x2
θ và y

θ thì tồn tại z

y1 + y2 ;
θ sao cho z

x và z

y;

4) Nếu x ∈ P, y ∈ IntP , thì x + y ∈ IntP . Do đó, nếu x ≤ y và y
hoặc x
y và y ≤ z , thì x
z;
5) Nếu x, y ∈ IntP , thì tồn tại α, β > 0 sao cho αy
Chứng minh. (1) Giả sử x

x và βx

z

y.

θ, nghĩa là
x = x − θ ∈ IntP.

Ta có IntP là tập mở nên IntP là lân cận mở của x. Do đó, tồn tại lân
cận mở V của x trong E sao cho V ⊂ P . Bây giờ,theo Định nghĩa 2.1.1
ta suy ra

rv ∈ P với mọi r > 0, v ∈ V.


20

Do đó, ta có

rV = {rv : v ∈ V } ⊂ P với mọi r ≥ 0.
Bởi vì x ∈ V nên rx ∈ rV . Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2, ánh xạ x → rx là
phép đồng phôi nên rV là tập con mở trong E . Hơn nữa, IntP là tập con
mở lớn nhất trong P và rV là một tập con mở nằm trong P nên

rx ∈ rV ⊂ IntP.
Suy ra rx

θ.

(2) Giả sử x1

y1 và x2 ≥ y2 . Khi đó,
x1 − y1

θ và x2 − y2 ≥ θ.

Suy ra

x1 − y1 ∈ IntP và x2 − y2 ∈ P.
Bởi vì x1 − y1 ∈ IntP nên tồn tại một lân cận mở V của x1 − y1 trong E
sao cho

x1 − y1 ∈ V ⊂ P.
Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2, phép tịnh tiến x → a + x là đồng phôi nên
tập hợp

(x2 − y2 ) + V = {(x2 − y2 ) + z : z ∈ V }
là tập con mở trong E . Hơn nữa, vì x1 − y1 ∈ V nên

(x2 − y2 ) + (x1 − y1 ) ∈ (x2 − y2 ) + V ⊂ P.
Như vậy, ta có

(x2 − y2 ) + (x1 − y1 ) ∈ IntP,
kéo theo

(x2 − y2 ) + (x1 − y1 )

θ.

(x1 + x2 ) − (y1 + y2 )

θ.

Do đó,