Nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư phạm toán về dạy học phần kiến thức quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.44 MB, 40 trang )
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----------
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
Nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư phạm toán về dạy học
phần kiến thức quan hệ vng góc trong hình học khơng gian lớp
11
Giảng viên hướng dẫn: Ths. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện
: Lê Văn Trung
Lớp
: 15ST
Đà Nẵng, tháng 6 năm 2019
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cơ trong khoa Tốn của
Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều
kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt cho phép tôi được gửi lời
cảm ơn sâu sắc đến cơ Ngơ Thị Bích Thủy là người đã trực tiếp hướng dẫn tôi
trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những ý kiến
góp ý quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, các
thầy cơ, bạn bè, nhất là lớp 15ST trong q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp
này.
Trong suốt thời gian nghiên cứu, bản thân tôi đã cố gắng khắc phục mọi khó
khăn để hồn thành khóa luận. Tuy nhiên vì thời gian có hạn, kiến thức cịn hạn
chế nên khơng tránh khỏi những sai sót. Vì vậy kính mong các thầy cơ giáo và
các bạn góp ý, bổ sung, giúp đỡ để bản thân tơi hồn thiện hơn nữa đề tài
ngun cứu của mình.
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!
Đà nẵng, tháng 6 năm 2020
Sinh viên
Lê Văn Trung
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 2
MỤC LỤC ........................................................................................................................ 3
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 4
1.
Lý do chọn đề tài: ................................................................................................... 5
2.
Mục đích nghiên cứu: ............................................................................................. 5
3.
Nhiệm vụ nghiên cứu: ............................................................................................. 5
4.
Phương pháp nghiên cứu: ...................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ..................................................................................... 7
1.1.
Hai đường thẳng vuông góc ................................................................................ 7
1.1.1.
Định nghĩa ..................................................................................................... 7
1.1.2.
Nhận xét ........................................................................................................ 7
1.2.
Đường thẳng vuông góc mặt phẳng .................................................................... 7
1.2.1.
Định nghĩa. .................................................................................................... 7
1.2.2.
Định lí ............................................................................................................ 8
1.2.3.
Tính chất ........................................................................................................ 8
1.2.4.
Sự liên quan giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc........................ 8
1.2.5.
Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc ................................ 9
1.3.
Hai mặt phẳng vng góc .................................................................................. 10
1.3.1.
Định nghĩa. .................................................................................................. 10
1.3.2.
Tính chất. ..................................................................................................... 10
1.4.
Khoảng cách ...................................................................................................... 11
1.4.1.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. ....................................... 11
1.4.2.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. .......................................... 12
1.4.3.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. .......................................... 12
1.4.4.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. .......................... 12
1.4.5.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. .............................................. 12
1.4.6.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. .......................................... 13
CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ
PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 ............................................................. 13
2.1.
Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng. ........................................................... 13
2.2.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc ............................................ 14
2.3.
Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng ................................ 16
2.4.
Dạng 4: Xác định thiết diện đi qua một điểm và vng góc với một
đường thẳng .................................................................................................................... 17
2.5.
Dạng 5: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ........................................... 18
2.6.
Dạng 6: Tính góc giữa hai mặt phẳng ............................................................... 21
2.7.
Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc. ............................................... 23
2.8.
Dạng 8: Ứng dụng cơng thức hình chiếu........................................................... 25
2.9.
Dạng 9: Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vng góc với
một mặt phẳng ................................................................................................................ 25
2.10. Dạng 10: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ .............................. 27
2.11. Dạng 11: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ........................... 29
2.12. Dạng 12: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .................................. 32
2.13. Dạng 13: Ứng dụng phép chiếu vng góc để tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau .................................................................................................. 36
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 38
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình tốn phổ thơng, hình học khơng gian là một mơn
chiếm một lượng kiến thức lớn. Nó đòi hỏi người học phải rèn luyện các thao
tác tư duy, đặc biệt là phân tích bài tốn để tìm ra lời giải. Do tính trừu tượng
của hình học khơng gian, nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải các dạng toán,
đặc biệt là các dạng tốn liên quan đến quan hệ vng góc.
Để giúp các sinh viên nghành sư phạm tốn có cái nhìn tổng quan về các
dajnng tốn thường gặp trong chương trình hình học khơng gian lớp 11, tơi chọn
đề tài nghiên cứu của khóa luận là: “Nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư
phạm toán về dạy học kiến thức hình khơng gian lớp 11” nhằm nâng cao năng lực
cho sinh viên ngành sư phạm tốn để có thể dạy tốt hơn trong tương lai
2. Mục đích nghiên cứu:
- Nghiên cứu một số dạng toán và cách giải để hỗ trợ GV trong q
trình dạy học tốn, giúp cho HS lĩnh hội và kiến tạo các tri thức toán một
cách tốt nhất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu cơ sở lí luận.
- Nghiên cứu các ví dụ tốn có sẵn trong dạy học toán.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới phần hình
học khơng gian trong dạy học tốn ở THPT, nhằm hiểu rõ những phương pháp
để từ đó xây dựng bài dạy đạt hiệu quả.
5. Bố cục luận văn: Luận văn gồm có 2 chương sau:
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN.
1.1. Hai đường thẳng vng góc
1.2. Đường thẳng và mặt phẳng vng góc
1.3. Hai mặt phẳng vng góc
1.4. Khoảng cách
CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ
PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VNG
GĨC TRONG KHƠNG GIAN LỚP 11.
2.1. Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng. Phương pháp và ví dụ minh
họa.
2.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc. Phương pháp và
ví dụ minh họa.
2.3. Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng. Phương
pháp và ví dụ minh họa.
2.4. Dạng 4: Xác định thiết diện đi qua 1 điểm và vng góc với đường
thẳng. Phương pháp và ví dụ minh họa.
2.5. Dạng 5: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Phương pháp và ví
dụ minh họa.
2.6. Dạng 6: Tính góc giữa hai mặt phẳng. Phương pháp và ví dụ minh họa.
2.7. Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc. Phương pháp và ví dụ
minh họa.
2.8. Dạng 8: Ứng dụng cơng thức hình chiếu. Phương pháp và ví dụ minh
họa.
2.9. Dạng 9: Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vng góc với
một mặt phẳng. Phương pháp và ví dụ minh họa.
2.10. Dạng 10: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆. Phương
pháp và ví dụ minh họa.
2.11. Dạng 11: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Phương
pháp và ví dụ minh họa.
2.12. Dạng 12: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp
và ví dụ minh họa.
2.13. Dạng 13: Ứng dụng phép chiếu vng góc để tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp và ví dụ minh họa.
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Hai đường thẳng vuông góc
1.1.1. Định nghĩa
a. Định nghĩa 1: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song với a và
b
* Lưu ý: 0𝑜 < 𝛼 < 900
b. Định nghĩa 2: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc
giữa chúng bằng 900
1.1.2. Nhận xét
a. Nhận xét 1: Nếu u
⃗ và v
⃗ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường
thẳng a và b vng góc nhau thì: u⃗ ⊥ v⃗
b. Nhận xét 2: Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông
góc với đường thẳng này thì cũng sẽ vng góc với đường thẳng kia
c. Nhận xét 3: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc
chéo nhau
1.2. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng
1.2.1. Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu
nó vng góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α)
Vậy d ⊥(α) ⇔ d ⊥ a, ∀a ∈ (α)
SVTH: Lê Văn Trung
Page 7
1.2.2. Định lí: Đường thẳng d được gọi là vng góc với mặt phẳng (𝛼) nếu nó
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (𝛼)
d⊥a
d⊥b
=> d ⊥ (α)
{
a ⊂ (α), b ⊂ (α)
a∩b = M
1.2.3. Tính chất:
a. Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 1 điểm cho trước và
vuông góc với một đường thẳng cho trước
b. Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và
vuông góc với đường một mặt phẳng cho trước
1.2.4. Sự liên quan giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc.
a//b
a.{
=> (α) ⊥ b
(α) ⊥ a
a≠b
b. {a ⊥ (α)=> a∕∕b
b ⊥ (α)
(α)//(β)
c. {
=> a ⊥ (β)
a ⊥ (α)
SVTH: Lê Văn Trung
Page 8
(α) ≠ (β)
d. { a ⊥ (α) =>(α)//(β)
a ⊥ (β)
a ∕∕ (α)
e. {
=> b ⊥ a
b ⊥ (α)
a ⊄ (α)
f. { a ⊥ b => a//(α)
(α) ⊥ b
1.2.5. Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc
a. Định nghĩa: Cho đường thẳng d ⊥ (α). Phép chiếu song song điểm M theo
phương d lên mặt phẳng (α) được M’ gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt
phẳng (α). Nói cách khác M’ là hình chiếu của M trên (α)
b. Định lí ba đường vng góc
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (𝛼) và b là đường thẳng khơng
thuộc (𝛼) đồng thời khơng vng góc với (𝛼). Gọi b’ là hình chiếu của b lên
(𝛼). Khi đó: a ⊥ b ⟺ a ⊥ b'
SVTH: Lê Văn Trung
Page 9
c. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (𝛼):
• Nếu d vng góc với mặt phẳng (𝛼) thì ta nói góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng (𝛼) bằng 900
• Nếu d khơng vng góc với mặt phẳng (𝛼) thì góc giữa d với hình chiếu
d’ của nó trên (𝛼) được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (𝛼)
1.3. Hai mặt phẳng vng góc.
1.3.1. Định nghĩa.
a. Định nghĩa 1: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vng
góc với hai mặt phẳng đó
a ⊥ (P)
̂ ) = (a,b
̂)
=>((P),(Q)
{
(Q)
b⊥
b. Định nghĩa 2: Hai mặt phẳng vng góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 90o
̂ ) = 900
(P)⊥(Q) =>((P),(Q)
1.3.2. Tính chất.
a. Tính chất 1: Hai mặt phẳng vng góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt
phẳng này có một đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia
a ⊂ (P)
=> (P) ⊥ (Q)
{
a ⊥ (Q)
b. Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau thì bất cứ đường
thẳng nào nằm trong mặt phẳng và vng góc với giao tuyến cũng vuông góc
với mặt phẳng kia
SVTH: Lê Văn Trung
Page 10
(P) ⊥ (Q)
a ⊂ (P)
=> a ⊥ (Q)
{
(P)∩(Q) = b
a⊥b
c. Tính chất 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau. Nếu từ
một điểm thuộc mặt phẳng (P) dựng một đường thẳng vng góc với mặt (Q) thì
đường thẳng này nằm trong (P)
(P) ⊥ (Q)
{ A ∈ (P) => a ⊂ (P)
A ∈ a ⊥ (Q)
d. Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt
phẳng thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng đó
(P)⊥(R)
{ (Q)⊥(R) =>△ ⊥(R)
(P)∩(Q)=△
1.4. Khoảng cách
1.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH, với H là hình chiếu của M
trên đường thẳng.
M
a
H
Kí hiệu: d(M,a) = MH.
SVTH: Lê Văn Trung
Page 11
1.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) là MH với H là hình chiếu của M
trên mặt phẳng (α).
M
H
Kí hiệu: d(M,(α)) = MH.
1.4.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất
kì thuộc đường này đến đường kia.
b
a
M
H
Kí hiệu: d(a, b) = d(M, b)= MH (M ∈ a)
1.4.4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (𝛼) song song với nhau là
khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng(𝛼):
a
M
H
Kí hiệu: d[a,(α)] = d[M,(α)] = MH (M ∈ a)
1.4.5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
A
Ba
H
K
SVTH: Lê Văn Trung
Page 12
Ký hiệu: d[(α),(β)] = d[a,(β)] = d[A,(β)] =AH (a ∈ (α),A ∈ a)
1.4.6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và cùng vng góc với mỗi đường
thẳng ấy gọi là đường vng góc chung của a, b. IJ gọi là đoạn vng góc
chung của a, b.
c
I
a
J
b
I
a
J
b
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vng góc
chung của hai đường thẳng đó.
CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ
PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VNG
GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11
Để nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư phạm tốn về dạy học phần kiến
thức quan hệ vng góc trong khơng gian lớp 11, tơi hệ thống các dạng tốn giải
liên quan qua việc phân tích các bài tốn.
2.1. Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.
2.1.1. Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 trong khơng gian
ta có thể thực hiện 2 cách
Cách 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 bằng cách chọn một điểm O thích
hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Từ O dựng các đường thẳng d1 ′, d2 ′ lần lượt song song (có thể trùng nếu
O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2 . Góc giữa hai đường thẳng
d1 , d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1 ′, d2 ′.
*Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cơsin trong tam giác
b 2 + c2 - a2
cosA =
2bc
Cách 2: Tìm hai vecto chỉ phương ⃗⃗⃗⃗
u1 , của hai đường thẳng d1 , d2
|u
⃗⃗⃗⃗ .u
⃗⃗⃗⃗ |
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 xác định bởi cos(𝑑1 , 𝑑2 ) = |u⃗⃗⃗⃗ 1|.|u⃗⃗⃗⃗2
1
2
|
*Lưu ý 2: Để tính ⃗⃗⃗⃗
u1 . u
⃗⃗⃗⃗2 , |u
⃗⃗⃗⃗1 |, |u
⃗⃗⃗⃗2 | ta chọn ba vecto a, b⃗ , c khơng đồng phẳng
mà có thể tính được độ dài và tính góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vecto
⃗ , c rồi thực hiện tính tốn.
u⃗⃗⃗1 , u⃗⃗⃗2 qua các vecto a, b
SVTH: Lê Văn Trung
Page 13
2.1.2. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và
a√3
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giải:
Gọi I là trung điểm của AC. Ta có:
IM∕∕AB
̂ )=(IM,IN
̂)
{
⇒ (AB,CD
IN∕∕CD
̂ = 𝛼. Xét ∆IMN có:
Đặt MIN
AD, biết AB = CD = a, MN =
AB
a
CD
2
a
IM =
= , IN =
= , MN =
2
2
2
2
Theo định lí cơsin, ta có:
cosα =
IM2 + IN2 - MN2
2.IM.IN
=
a√ 3
2
𝑎
𝑎
𝑎√3 2
( )2 + ( )2 − (
)
2
2
𝑎𝑎
2. .
22
2
1
= <0
2
0
̂ ) = 60
̂ = 120 suy ra (AB,CD
⇒ MIN
2.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc
2.2.1. Phương pháp: Để chứng minh d1 ⊥ d2 ta có thể thực hiện theo các cách
sau:
Cách 1: Chứng minh d1 ⊥ d2 ta chứng minh u⃗⃗⃗1 .u⃗⃗⃗2 = 0 trong đó ⃗⃗⃗⃗
u1 , u
⃗⃗⃗⃗2 lần lượt
là các vecto chỉ phương của d1 và d2
b ∕∕ c
Cách 2: Sử dụng tính chất {
⇒a⊥b
a⊥c
Cách 3: Sử dụng định lý Pitago hoặc xác định góc giữa d1 , d2 và tính trực tiếp
góc đó
0
2.2.2. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều.
Chứng minh: AB ⊥ CD
Giải:
Đặt AB = AD = AC = a
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có: CD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos600 -|AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos600
=|AB
1
1
= a.a. - a.a.
2
2
=0
Vậy AB ⊥ CD
SVTH: Lê Văn Trung
Page 14
4
2.2.3. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có CD= AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung
5
3
điểm của BC, AC, BD. Cho biết JK = AB. Chứng minh góc giữa đường thẳng
6
CD với các đường thẳng IJ và AB bằng 90𝑜
Giải.
1
Ta có: IJ = AB (Vì IJ là đường trung bình trong ∆ABC )
2
1
2
IK = CD = AB. (Vì IK là đường trung bình trong ∆BCD )
3
2
1
2
4
2
IJ2 + IK2 = AB + AB =
5
4
Mà JK = AB ⇒ JK2 =
6
25
36
9
AB2
25
36
AB2 (1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra IJ2 + IK2 = JK2
⟹ JI ⊥ IK (Theo ĐL Pytago đảo)
IJ//AB
Mặt khác ta có {
⇒ AB ⊥ CD
IK//CD
IJ//AB
Tương tự: {
⇒ IJ ⊥ CD
AB ⊥ CD
2.2.4. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a.
Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP.
Giải :
SVTH: Lê Văn Trung
Page 15
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH ⊥ AD
Ta có (SAD) ⊥ (ABCD) suy ra SH ⊥ (ABCD)
⇒SH ⊥ BP (1)
Dễ thấy hai tam giác vng BPC và CHD bằng nhau, nên ta có:
̂ = DCH
̂ ⇒ CBP
̂ + HCB
̂ = 900 ⇒ BP ⊥ CH (2)
CBP
Từ (1) và (2) suy ra: BP ⊥ (SHC) (3)
Do HC//AN, MN//SC nên (SHC)//(MAN)
(4)
Từ (3) và (4) suy ra BP ⊥ (MAN)⇒ BP ⊥ AM (dpcm)
2.3. Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng
2.3.1: Phương pháp: Muốn chứng minh đường thẳng d ⊥ (𝜶) ta có thể dung
một trong 2 cách sau.
Cách 1: Chứng minh d vng góc gới hai đường thẳng a, b cắt nhau trong (𝛼)
d⊥a
d⊥b
⇒ a ⊥ (α)
{
a ⊂ (α), b ⊂ (α)
a∩b=I
Cách 2: Chứng minh d vng góc với đường thẳng a mà a vng góc với (α)
d // a
⇒ d ⊥ (α)
{
a ⊥ (α)
2.3.2: Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD tâm O và
có SA ⊥ (ABCD). Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
Giải
Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC
BC ⊥ AB (Vì ABCD là hình vng)
Vậy {
BC ⊥ SA
(Vì SA ⊥ (ABCD)
⇒ BC ⊥ (SAB)
CD ⊥ AD (Vì ABCD là hình vng)
Tương tự: {
CD ⊥ SA
(Vì SA ⊥ (ABCD))
⇒ CD ⊥ (SAD)
Ta có BD và AC là 2 đường chéo của hình vng ABCD
Nên BD ⊥ AC
Mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC)
SVTH: Lê Văn Trung
Page 16
2.4. Dạng 4: Xác định thiết diện đi qua một điểm và vng góc với một
đường thẳng
2.4.1. Phương pháp: Để xác định thiết diện của mặt phẳng (𝜶) đi qua điểm O
và vng góc với đường thẳng d của một hình chóp ta thực hiện một trong hai
cách sau:
Cách 1: Tìm tất cả các đường thẳng vng góc với d, khi đó (𝛼) sẽ song song
hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như
đã biết.
Cách 2: Ta dựng mặt phẳng (𝛼) như sau: Dựng hai đường thẳng a, b cắt nhau
cùng vng góc với d trong đó có một đường thẳng đi qua O, khi đó (𝛼) chính
là mp(a, b)
2.4.2. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A, B; SA ⊥ (ABCD). Gọi M là một điểm trên cạnh AB, (𝜶) là mặt phẳng đi
qua M và vng góc với AB. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (𝜶)
Giải:
B ∉ (α)
Ta có {BC ⊥ AB⇒ BC//(α)
(α) ⊥ AB
A ∉ (α)
Tương tự {SA ⊥ AB⇒ SA//(α)
(α) ⊥ AB
M∈(ABCD)
Do {BC⊂(ABCD)⇒ (α)∩(ABCD) = MQ//BC, Q ∈ CD
BC//(α)
M∈(ABCD)∩(α)
Tương tự { SA⊂(ABCD) ⇒ (α)∩(SAB) = MN//SA, N ∈ SB
SA//(α)
N∈(SBC)∩(α)
{ BC⊂(SBC) ⇒ (α)∩(SBC) = NP//BC, P ∈ SC
BC//(α)
Thiết diện là tứ giác MNPQ
2.4.3. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều,SA ⊥ (ABC).
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Xác định thiết diện của
hình chóp S.ABC khi cắt bởi (α).
SVTH: Lê Văn Trung
Page 17
Giải.
Gọi I là trung điểm của AC, dựng IH ⊥ SC, H ∈ SC.
BI ⊥ AC (Vì ∆ABC là tam giác đều)
Ta có: {
BI ⊥ SA
(Vì SA ⊥ (ABC)
⇒ BI ⊥ (SAC)
Mặt khác IH ⊥ SC nên (BIH) ⊥ SC.
Vậy (BIH) chính là mặt phẳng (α) đi qua B và vuông góc với SC
Thiết diện là tam giác IBH
2.5. Dạng 5: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.5.1. Phương pháp: Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta
thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (α)
Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)
̂ =φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)
Bước 3: AOA'
Lưu ý:
Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥
(α) khi đó AA’//b
Để tính góc 𝜑 ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vng của
△OAA'. Ngồi ra nếu khơng xác định góc 𝜑 thì ta có thể tính góc giữa đường
|u
⃗ .n
⃗|
thẳng a và mặt phẳng (α) theo công thức sinφ=
trong đó 𝑢
⃗ là vecto chỉ
|u
⃗ ||n
⃗|
phương của a cịn 𝑛⃗ là vecto pháp tuyến (α)
2.5.2. Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a,
SA ⊥ (ABCD) và SA = a√6. Tính
a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC)
b. Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC)
SVTH: Lê Văn Trung
Page 18
Giải
a. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình vng ABCD
BO ⊥ AC (Vì ABCD là hình vng)
Ta có: {
BO ⊥ SA
(Vì SA ⊥ (ABCD))
⇒ BO ⊥ (SAC)
Suy ra: SO là hình chiếu của SB trên (SAC)
̂ ) = BSO
̂=φ
Vậy (SB,(SAC)
Trong ∆SBO vng tại O có:
a√2
BO
BO
√14
sinφ=
=
= 2 =
SB √AB2 +AS2 a√7 14
1
⇒ φ = arcsin
√14
b. Trong (SAB) gọi H là hình chiếu của A trên SB
BC ⊥ AB (Vì ABCD là hình vng)
Vì {
BC ⊥ SA
(Vì SA ⊥ (ABCD))
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH
AH ⊥ SB
Từ đó ta có {
⇒ AH ⊥ (SBC), hay CH là hình chiếu của AC trên
AH ⊥ BC
(SBC)
̂ ) = ACH
̂ =α
Vậy (AC,(SBC)
Trong ∆SAB vng tại A có
1
AH
2
=
1
2
AS
+
1
1
2
AB
= 2+
a
1
6a
2
⇒ AH = a√
6
7
Trong ∆AHC vng tại H có
sinα =
AH
AC
=
6
7
a√
a√2
=
√21
7
⇒ α = arcsin
√21
7
2.5.3. Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, O là tâm
của đáy, SO ⊥ (ABCD); M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc
giữa MN và (ABCD) bằng 600 . Tính góc giữa MN và (SBD).
Giải.
SVTH: Lê Văn Trung
Page 19
Cách 1: Kẻ MH//SO, H ∈ OA.
MH//SO
Do {
⇒ MH ⊥ (ABCD)
SO ⊥ (ABCD)
⇒ NH là hình chiếu của MN trên (ABCD)
̂ là góc giữa đường thẳng MN và (ABCD)
⇒ MNH
Ta có: MH là đường trung bình trong ∆SAO
⇒ H là trung điểm của AO
3
3
⇒ CH= CA= √2a=
4
4
∆CNH có:
a 2
( ) +(
2
3√2a
4
⇒ HN=
2
3√2a
4
̂=
HN2 = CN2 + CH2 - 2CN.CH.cosNCH
a 3√2a
) - 2. .
2
4
.cos450
a√5
2√2
Xét ∆MHN có MN=
HN
cos60
0
=
a √5
2√2
1
2
=
a√5
√2
a√15
MH = NH.tan600 =
2√2
Gọi I là trung điểm của OB, J là trung điểm của SO thì MJ//IN, MJ = IN và
1
̂ là góc giữa
JO = MH. Gọi K = IJ ∩ MN ⇒ JK = IJ và MJ ⊥ (SBD) ⇒ MKJ
2
MN và (SBD)
∆OIJ vng tại O có: IJ2 = JO2 + OI2 =
15a2
8
+
a2
8
= 2a2
a√2
⇒IJ = a√2 và JK =
2
Ta có: MJ là đường trung bình trong ∆SAO ⇒ MJ // AO (1)
AO ⊥ SO
(vì SO⊥(ABCD))
Lại có: {
⇒ AO ⊥ (SBD) (2)
AO ⊥ BD (Vì ABCD là hình vng)
Từ (1) và (2) ⇒ MJ ⊥ (SBD)
⇒ MJ ⊥ JK
SVTH: Lê Văn Trung
Page 20
MJ
̂=
∆MJK vng tại J có: tanMKJ
JK
=
a√2
4
a√2
2
=
1
2
̂ = arctan
Vậy góc giữa MN và (SBD) là MKJ
1
1
1
2
⃗⃗⃗⃗⃗ +AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (SO
⃗⃗⃗⃗⃗ +OC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 1 (SO
⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (SC
Cách 2: Ta có MN
2
2
2
1
1
MN2 = (SO2 +AC2 +OB2 ) = (SO2 +
4
4
5a2
2
) ⇒ MN =
1
2
√SO2 +
5a2
2
Do góc giữa MN và (ABCD) nên ta có:
sin60
𝑜
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AO
|MN
= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
|MN||SO|
⇔
√3
2
=
2
1
SO
2
2
1
√SO2 +5a .SO
2
2
⇔ 8SO2 = 3(2SO2 + 5a2 )
⇔ 2SO2 =15a2
Gọi φ là góc giữa MN và (SBD) nên ta có sinφ=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .n
|MN
⃗|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|MN|.|n
⃗|
(n⃗ là vecto có giá
vng góc với (SBD))
AC ⊥ SO
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Do {
⇒ AC ⊥ (SBD) nên chọn n⃗ = AC
AC ⊥ BD
Từ đó, ta có: sinφ=
1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| (SO
+AC+OB).AC|
2
2
1
√SO2 +5a .a√2
2
2
⇒ sinφ =
1
=
2
1
AC
2
2 5a2
1
√SO
2
+
2
=
.a√2
⇒ φ = arcsin
2a
√2SO2 +5a2
=
2a
√15a2 +5a2
1
√5
√5
1
Vậy góc giữa MN và (SBD là φ = arcsin
√5
2.6. Dạng 6: Tính góc giữa hai mặt phẳng
2.6.1. Phương pháp: Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực
hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1: Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt vng góc với hai mặt phẳng
(α) và (β). Khi đó góc giữa hai đường thẳng a, b chính là góc giữa hai mặt
phẳng (α) và (β)
a ⊥ (α) ̂
⇒(α),(β) =a,̂b
{
b ⊥ (β)
Cách 2: Tìm hai vecto n⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
n2 có giá lần lượt vng góc với hai mặt phẳng
(α) và (β), khi đó góc 𝜑 giữa hai mặt phẳng (α) và (β) xác định bởi:
|n
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
n |
cosφ = |n 1||n2 |
⃗⃗⃗1 ⃗⃗⃗2
Cách 3: Sử dụng cơng thức hình chiếu S' =Scosφ, từ đó để tính cosφ thì ta
cần tính S và S’
Cách 4: Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức
lượng trong một tam giác để tính. Ta thường xác định góc giữa hai mặt phẳng
theo một trong hai cách sau:
1) - Tìm giao tuyến ∆ = (α) ∩ (β)
- Chọn mặt phẳng (γ)⊥∆
- Tìm các giao tuyến a = (γ) ∩ (α), b = (γ) ∩ (β)
SVTH: Lê Văn Trung
Page 21
̂ =a,̂b
- (α),(β)
2) - Tìm giao tuyến ∆ = (α) ∩ (β)
- Lấy M ∈ (β). Dựng hình chiếu H của M trên (α)
- Dựng HN⊥ ∆ ⇒ MN ⊥ ∆
Phương pháp này có ý nghĩa là tìm hai đường thẳng nằm trong hai mặt
phẳng (α), (β) và vng góc với giao tuyến ∆ tại một điểm trên giao tuyến
2.6.2. Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa hai mặt
phẳng (A’BC) và (A’CD).
Giải.
Cách 1: Ta có (A’BC) ∩ (A’CD) = A'C. Gọi O là tâm hình vng ABCD và H
là hình chiếu vng góc của O trên A’C.
BD ⊥ AC (Vì ABCD là hình vng)
Do {
BD ⊥ AA'
(Vì AA' ⊥ (ABCD))
⇒ BD ⊥ (ACA') ⇒ BD ⊥ A'C
A'C ⊥ OH
Vậy {
⇒ A'C ⊥ (BDH)
A'C ⊥ BD
(BDH) ∩ (A’CD) = HD
Ta có: {
(BDH) ∩ (A’BC) = BH
̂
̂ )
⇒ ((A'BC),(A'CD)
) = (HB,HD
∆BCA’ vuông tại B có đường cao BH, do đó:
1
1
1
1
1 3
2
√
=
+
=
+
=
⇒
BH
=
a
3
BH2 BA'2 BC2 (a√2)2 a2 2a2
Tương tự ∆DCA’ vuông tại D có đường cao DH, do đó:
1
1
1
1
1 3
2
√
=
+
=
+
=
⇒
DH
=
a
3
DH2 DA'2 DC2 (a√2)2 a2 2a2
Áp dụng định lý cosin cho ∆HBD ta có:
̂=
cosBHD
HB2 +HD2 -BD2
2.HB.HD
=
2a2 2a2
+ -2a2
3
3
2a2
2.
=-
3
1
2
̂
̂ ) = 600
̂ = 1200 . Vậy ((A'BC),(A'CD)
⇒BHD
) = (HB,HD
AB' ⊥ A'B
Cách 2: Do {
⇒ AB' ⊥ (A'BC)
AB' ⊥ BC
AD' ⊥ A'D
Tương tự {
⇒ AD' ⊥ (A'CD)
AD' ⊥ CD
̂
̂ ) = 600
Nên ((A'BC),(A'CD)
) = (AB',AD'
(Vì ∆AB'D' đều)
SVTH: Lê Văn Trung
Page 22
2.6.3. Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB =
a, AD = a√3. Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = a. Tính:
a) Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
b) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)
Giải.
a. Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD
CD ⊥ SA
(Vì SA ⊥ (ABCD))
{
CD ⊥ AD (Vì ABCD là hình vng)
⇒ CD ⊥ (SAD)
(SAD) ∩ (ABCD) = AD, (SAD) ∩ (SCD) = SD
̂
̂ ) = SDA
̂
⇒ ((SCD),(ABCD)
) = (DA,SD
SA
a
1
̂ = = = ⇒ SDA
̂ = 300
Trong ∆SDA có: tanSDA
AD a√3 √3
̂
Vậy ((SCD),(ABCD)
) = 300
AD ⊂ (SAD)
b. Ta có: { BC ⊂ (SBC) ⇒ (SAD) ∩ (SBC) = d // AD // BC
AD // BC
SA ⊥ AD (Vì SA ⊥ (ABCD))
Lại có: {
d // AD
⇒ SA ⊥ d
(1)
BC ⊥ AB (Vì ABCD là hình vng)
Ta có: {
BC ⊥ SA (Vì SA ⊥ (ABCD))
⇒ BC ⊥ SB
BC ⊥ SB
{
⇒ SB ⊥ d (2)
d // BC
Từ (1) và (2) ta có (SAB) ⊥ d
(SAB) ∩ (SBC) = SB
Vì: {
(SAB) ∩ (SAD) = SA
̂
̂ ) = ASB
̂
Nên ((SBC),(SAD)
) = (SB,SA
̂
̂ = 600
∆SAB vuông cân tại A nên ((SBC),(SAD)
) = ASB
2.7. Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
2.7.1. Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) vng góc với
nhau ta có thể dung một trong các cách sau:
Cách 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng, rồi tính trực tiếp góc đó bằng 900
̂ = 900 ⇒ (𝛼) ⊥ (𝛽)
(𝛼),(β)
SVTH: Lê Văn Trung
Page 23
Cách 2: Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vng góc với
mặt phẳng kia.
a ⊂ (α)
⇒ (𝛼) ⊥ (𝛽)
{
a ⊥ (β)
Cách 3: Tìm hai vecto ⃗⃗⃗
n1 , n⃗⃗⃗2 lần lượt vng góc với các mặt phẳng (α) và
(β) rồi chứng minh n⃗⃗⃗1 . ⃗⃗⃗
n2 =0
2.7.2. Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = a, các cạnh còn lại bằng
b.
Chứng minh: (SAC) ⊥ (ABCD), (SAC) ⊥ (SBD).
Giải.
Gọi O là giao điểm của AC và BD, vì tứ giác ABCD có các cạnh bằng nhau
(=b) nên tứ giác ABCD là hình thoi
Suy ra: AC ⊥ BD và O là trung điểm BD
Mặt khác SB = SD = b
⇒ ∆SBD cân tại S
⇒ SO ⊥ BD
BD ⊥ AC
Ta có: {
⇒ BD ⊥ (SAC)
BD ⊥ SO
BD ⊂ (SBD)
Có: {
⇒ (SBD) ⊥ (SAC)
BD ⊥ (SAC)
BD ⊂ (ABCD)
⇒ (ABCD) ⊥ (SAC)
{
BD ⊥ (SAC)
2.7.3. Ví dụ 13: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng của A
qua BC. Trên đường thẳng d ⊥ (ABCD) tại D lấy điểm S sao cho SD =
Chứng minh (SAB)⊥(SAC).
Giải
Gọi I là trung điểm của BC thì BC ⊥ AI và
I cũng là trung điểm của AD
BC ⊥ AD
( Vì AI ⊥ BC)
Ta có: {
BC ⊥ SD ( Vì SD ⊥ (ABCD))
⇒ BC ⊥ (SAD)
⇒ BC ⊥ SA
Dựng IH ⊥ SA, H ∈ SA
SA ⊥ IH
Khi đó ta có: {
SA ⊥ BC
⇒ SA ⊥ (HCB)
̂
̂
Suy ra ((SAB),(SAC)
) = BHC
IH IA
Ta có: ∆AHI~∆ADS (g - g) ⇒ =
SD
Mà AI =
a√3
2
Suy ra IH =
a√6
2
SA
2
2
a√6
, AD = 2AI = a√3, SA = √AD2 +SD2 = √(a√3) +( ) =
2
AI.SD
SA
=
a√3 a√6
.
2 2
3a√2
2
SVTH: Lê Văn Trung
a
BC
2
2
= =
.
3a√2
2
⇒∆BCH vuông tại H
Page 24
̂ = 900
⇒BHC
⇒ BH ⊥ HC
BH ⊥ HC
Ta có: {
⇒ BH ⊥ (SAC)
HC ⊂ (SAC)
BH ⊥ (SAC)
Mặt khác: {
⇒ (SAB) ⊥ (SAC)
BH ⊂ (SAB)
2.8. Dạng 8: Ứng dụng công thức hình chiếu
2.8.1. Lý thuyết: Giả sử S là diện tích đa giác (H) nằm trong (P) và S’ là diện
tích của hình chiếu (H’) của (H) trên (P’) thì S’=Scosφ trong đó φ là góc giữa
hai mặt phẳng (P) và (P’)
2.8.2. Ví dụ 14: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (𝜶)
hợp với mặt phẳng dáy (ABCD) một góc 45o và cắt các cạnh bên của lăng trụ tại
M, N, P, Q. Tính diện tích thiết diện, biết cạnh đáy của lăng trụ bằng a.
Giải.
Gọi S là diện tích thiết diện MNPQ.
Ta có hình chiếu của MNPQ xuống (ABCD) là
hình vng ABCD.
S' = SABCD = a2
̂
Gọi φ = ((α),(ABCD)
) ⇒ φ = 45o
Do S' = Scosφ = S
√2
2
⇒ S =√2S' = √2a2
2.9. Dạng 9: Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vng góc với
một mặt phẳng
2.9.1. Phương pháp: Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng a khơng vng góc với
(α). Xác định mặt phẳng (β) chứa a và vng góc với (α)
Để xác định (β) ta làm theo các bước sau:
- Chọn một điểm A ∈ a
- Dựng đường thẳng b đi qua A và vng góc với (α). Khi đó mp(a, b)
chính là mặt phẳng (β)
2.9.2. Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,
cạnh SA ⊥ (ABCD) và SA = a√3. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vng góc
với mặt phẳng (SCD). Xác định và tính thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt
bởi (α)
Giải.
Kẻ AH ⊥ SD
Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD
Lại có CD ⊥ AD
Nên CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH
AH ⊥ SD
Ta có: {
⇒ AH ⊥ (SCD)
AH ⊥ CD
SVTH: Lê Văn Trung
Page 25
