Tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối bằng phương pháp phương trình động lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (969.24 KB, 51 trang )
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA VẬT LÝ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
TÍNH TỐN HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN
SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ TỰ DO
TRONG BÁN DẪN KHỐI BẰNG PHƢƠNG PHÁP
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ
Người thực hiện
Lớp
Khóa
Ngành
Người hướng dẫn
: TRẦN THỊ THU HÀ
: 11CVL
: 2011 – 2015
: CỬ NHÂN VẬT LÝ
: TS. NGUYỄN VĂN HIẾU
Đà Nẵng, 5/2015
LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành được khóa luận này, em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo
đã giảng dạy em trong suốt bốn năm học vừa qua, truyền đạt cho em nhiều kiến thức
chung cũng như những kiến thức chuyên ngành.
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hiếu đã tận tình hướng
dẫn, giảng giải những thắc mắc, củng cố lại cho em nhiều kiến thức để hoàn thành đề
tài luận văn này.
Ngoài ra, em xin gửi lời cám ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã
giúp đỡ, động viên em rất nhiều trong suốt quá trình làm đề tài cũng như trong học tập.
Mặc dù đã rất cố gắng thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất, nhưng do sự
hạn chế về thời gian và trình độ kiến thức nên khơng tránh khỏi những thiếu sót nhất
định. Em rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ giáo và toàn thể các bạn để đề
tài của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cám ơn !
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Trần Thị Thu Hà
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
A.
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 3
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................... 3
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 3
3. Mục đích nghiên cứu.............................................................................................. 3
4. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 3
5. Cấu trúc và nội dung của khóa luận ....................................................................... 4
B.
NỘI DUNG ................................................................................................................. 5
CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN ............................................................. 5
1. Cấu trúc của chất bán dẫn ...................................................................................... 5
2. Sự khác biệt giữa kim loại, bán dẫn, điện môi....................................................... 5
3. Hàm sóng của electron trong tinh thể .................................................................... 8
4. Năng lượng của điện tử trong bán dẫn ................................................................... 9
4.1.
Vùng năng lượng trong phép gần đúng điện tử gần tự do ........................... 9
4.2.
Vùng năng lượng trong phép gần đúng liên kết mạnh ................................ 9
5. Mật độ trạng thái .................................................................................................. 10
6. Sơ lược tính chất của chất bán dẫn ...................................................................... 10
7. Phân loại chất bán dẫn ......................................................................................... 11
7.1.
Bán dẫn thuần (bán dẫn tinh khiết) ............................................................ 11
7.2.
Bán dẫn pha tạp.......................................................................................... 12
7.2.1. Bán dẫn loại n: ...................................................................................... 12
7.2.2. Bán dẫn loại p: ...................................................................................... 12
7.2.3. Bán dẫn pha tạp chất donor có mật độ tạp chất Nd. .............................. 13
7.2.4. Bán dẫn pha tạp chất acceptor với mật độ Na. ...................................... 14
8. Một số hiệu ứng cổ điển trong chất bán dẫn ........................................................ 14
8.1.
Phương trình động Boltzmann ................................................................... 14
8.2.
Tán xạ hạt dẫn ............................................................................................ 15
8.2.1. Tán xạ trên ion tạp chất ......................................................................... 15
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 1
Khóa luận tốt nghiệp
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
8.2.2. Tán xạ trên tạp trung hòa và trên lệch mạng ......................................... 16
8.2.3. Tán xạ trên dao động mạng tinh thể...................................................... 16
8.3.
Các hiệu ứng nhiệt điện ............................................................................. 17
8.3.1. Hiệu ứng Seeback ................................................................................. 17
8.3.2. Hiệu ứng Peltier và Thompson ............................................................. 17
CHƢƠNG II: PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ELECTRON
TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CĨ SĨNG ĐIỆN TỪ NGỒI ............................. 18
1. Tốn tử Hamiltonian của hệ electron – phonon trong bán dẫn khi có sóng điện
từ ngồi. ..................................................................................................................... 18
Thiết lập phương trình động lượng tử cho electron trong bán dẫn khối. ............. 19
CHƢƠNG III: TÍNH TỐN HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SĨNG ĐIỆN TỪ
BỞI ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG BÁN DẪN KHỐI ................................................. 29
1. Mật độ dịng electron trong bán dẫn khi có sóng điện từ ngồi........................... 29
2. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi electron trong bán dẫn khối ............... 33
2.1.
Hấp thụ xa ngưỡng..................................................................................... 35
2.2.
Hấp thụ gần ngưỡng................................................................................... 36
2.2.1. Tại nhiệt độ thấp ................................................................................... 44
2.2.2. Tại nhiệt độ cao ..................................................................................... 46
C.
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 48
D.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 49
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 2
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay công nghệ bán dẫn đã khơng cịn xa lạ đối với cuộc sống của chúng
ta, chất bán dẫn được ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành công nghiệp sản xuất, xây
dựng, dịch vụ,v.v… Người ta đã bắt đầu tìm hiểu về bán dẫn từ khi nghiên cứu về lý
thuyết chất rắn và đề tài về bán dẫn vẫn luôn hấp dẫn các nhà khoa học. Trong số các
tính chất vật lý của bán dẫn, sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn được nhiều người
quan tâm hơn cả, nhất là từ khi xuất hiện các sóng điện từ ngồi, đặc biệt là laser. Khi
chiếu một chùm bức xạ (sóng điện từ) vào tinh thể bán dẫn, một phần bức xạ bị phản
xạ trở lại, một phần được truyền qua và một phần còn lại được hấp thụ bởi tinh thể bán
dẫn. Sự hấp thụ sóng điện từ của vật chất đã và đang nghiên cứu và phát triển cả về lý
thuyết lẫn thực nghiệm với nhiều ứng dụng mạnh mẽ trong khoa học và kỹ thuật.
Bên cạnh sự phát triển về cơng nghệ chế tạo vật liệu, thì sự ra đời của laser với
cường độ lớn, khi tương tác với vật liệu làm cho các tính chất quang của vật liệu
khơng những phụ thuộc vào bản chất của vật liệu mà cịn phụ thuộc vào cường độ
trường laser. Từ đó, các hiệu ứng mới xuất hiện gọi là hiệu ứng quang phi tuyến. Hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn đã từng được nghiên cứu trước đây bởi V. V.
Pavlovich và E. M. Epshtein bằng phương pháp phương trình động lượng tử. Tuy
nhiên, để có một kết quả đánh giá chi tiết hơn về sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào
các tham số của vật liệu cũng như trường laser bên ngồi chúng tơi chọn đề tài khóa
luận với tiêu đề “Tính tốn hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử tự do trong
bán dẫn khối bằng phương pháp phương trình động lượng tử”. Với đề tài khóa luận
này, sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối sẽ được khảo sát chi tiết hơn.
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử tự do trong
bán dẫn khối
Phạm vi nghiên cứu: Các đặc điểm về cấu trúc, phổ năng lượng, mật độ trạng
thái của bán dẫn, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn khối.
3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các đặc điểm về cấu trúc, phổ năng lượng, mật độ trạng thái của
bán dẫn, nghiên cứu về sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối khi có trường ngồi
để thu được biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ. Từ đó đánh
giá định tính sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào các tham số
bên ngồi như nhiệt độ của hệ, biên độ và tần số sóng điện từ.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Để thực hiện bài toán này có nhiều phương pháp khác nhau được sử dụng. Trên
quan điểm cổ điển, phương pháp được sử dụng là phương trình động cổ điển
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 3
Khóa luận tốt nghiệp
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Boltzmann. Trên quan điểm lượng tử, các phương pháp được sử dụng chủ yếu là: Lý
thuyết nhiễu loạn; phương trình động lượng tử; phương pháp hàm Green; phương pháp
Kubo-Mori. Công cụ để giái quyết bài tốn trong khóa luận này là phương pháp
phương trình động lượng tử, mang lại hiệu quả cao trong q trình tính tốn. Đồng
thời sử dụng phần mềm Matlab được sử dụng nhiều trong vật lý cũng như trong các
ngành khoa học kỹ thuật để tính số và vẽ đồ thị lý thuyết cho hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ.
5. Cấu trúc và nội dung của khóa luận
A. Mở đầu
B. Nội dung
Chƣơng 1: Tổng quan về bán dẫn
Chƣơng 2: Phương trình động lượng tử cho electron trong bán dẫn khối có mặt điện từ
mạnh
Chƣơng 3: Tính tốn hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ ngoài bởi electron trong
bán dẫn
C. Kết luận
D. Tài liệu tham khảo
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 4
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
B. NỘI DUNG
CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN
1. Cấu trúc của chất bán dẫn
Cấu trúc của bán dẫn có dạng tinh thể.
Tinh thể là dãy tuần hồn trong khơng gian ba chiều của các nguyên tử. Tinh
thể được hình thành khi các nguyên tử hay các nhóm nguyên tử tiến lại gần
nhau và sắp xếp có trật tự, tuần hồn trong khơng gian.
Các nhóm ngun tử gọi là cơ sở.
Hình hộp nhỏ nhất được xây dựng bằng 3 vectơ ⃗, ⃗⃗, ⃗ gọi là ơ cơ sở.
Các điểm tuần hồn gọi là nút mạng. Tập hợp các nút mạng gọi là mạng khơng
gian.
Ơ cơ sở chỉ chứa các nút mạng gọi là ô nguyên thủy.
Mạng + cơ sở = cấu trúc tinh thể
Mạng có thể được tạo ra nhờ tịnh tiến các vectơ đơn vị: ⃗, ⃗⃗, ⃗ dọc theo 3 trục.
Vị trí của bất kỳ mạng nào cũng được xác định bởi vectơ:
⃗
⃗
⃗⃗
⃗ với m, n, p là các số nguyên
Mạng Bravais là một tập hợp các điểm tạo thành từ một điểm duy nhất theo các
bước tịnh tiến xác định bởi các vectơ cơ sở. Các vật liệu có cấu trúc tinh thể đều
thuộc mạng Bravais.
Các chất bán dẫn có thể là đơn tinh thể, đa tinh thể, vơ định hình. Các chất bán
dẫn thơng thường (Si, Ge, hợp chất AIII BV, AII BVI) thường kết tinh theo mạng
tinh thể hệ lập phương tâm mặt. Trong đó, mỗi nút mạng được gắn với một gốc
gồm hai nguyên tử cùng loại nếu là bán dẫn đơn chất; hai nguyên tử khác loại
nếu là bán dẫn hợp chất.
Hình 1.1 biểu diễn một ô mạng cơ bản của hệ lập phương
tâm mặt, trong đó mỗi chấm đen là một nút mạng, khoảng
cách giữa 2 nút mạng trên một cạnh của hình lập phương là
hằng số mạng a.
Chúng ta có thể mơ tả mạng này bằng một ơ ngun thủy
Hình 1.1: Ơ mạng
cơ bản.
có thể xây dựng từ 3 vectơ cơ sở.
2. Sự khác biệt giữa kim loại, bán dẫn, điện môi
Căn cứ vào cấu trúc vùng năng lượng và mức độ bị chiếm của các mức, người
ta chia vật rắn thành 3 loại cơ bản:
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 5
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Vùng dẫn
E
Eg lớn
EF
Eg
Vùng hóa
trị
(a)
(b)
c
Ev
(c)
Hình 1.2: Cấu trúc vùng năng lượng của kim loại, điện mơi, bán dẫn.
Kim loại: (a)
Khơng có vùng cấm, vùng dẫn và vùng hóa trị chồng lên nhau. Do đó ln có
điện tử trên vùng dẫn, điện tử ở vùng hóa trị dễ dàng di chuyển dưới tác dụng của điện
trường ngoài, ngay cả khi điện trường ngoài yếu, để tham gia dẫn điện.
Điện môi: (b)
Sơ đồ vùng năng lượng có độ rộng vùng cấm đủ lớn (Eg > 3eV). Do đó, các
điện tử ở vùng hóa trị không thể nhảy lên vùng dẫn.
Điện trường không đủ mạnh sẽ không thể truyền cho electron một năng lượng
đủ để nó phá vỡ cấu trúc vùng năng lượng, do đó điện tử khơng chuyển động có
hướng để tạo ra dịng điện. Chất rắn loại này khơng dẫn điện.
Bán dẫn: (c)
Độ rộng vùng cấm không quá lớn (Eg ≈ 0,3÷3 eV), chỉ thật sự cách điện ở T =
0K.
Ở T ≠ 0K, chuyển động nhiệt trong chất rắn có thể truyền cho electron một
năng lượng đủ để nó chuyển từ vùng hóa trị lên vùng dẫn tham gia vào qua
trình dẫn điện.
Theo phân bố Fermi, nồng độ electron trong vùng dẫn nhỏ hơn nhiều so với nồng độ
electron trong kim loại.
Khi các electron chuyển từ vùng dẫn lên vùng hóa trị thì trong vùng hóa trị xuất
hiện các trạng thái trống. Dưới tác dụng của điện trường yếu, các electron trong vùng
hóa trị đến chiếm các trạng thái trống dẫn đến sự chuyển dời có hướng của các điện tử
ở vùng dẫn và của lỗ trống ở vùng hóa trị, tạo thành dịng điện khác khơng. Số trạng
thái trống trong vùng hóa trị bằng số electron trong vùng dẫn.
Nhiệt độ tăng thì số electron và trạng thái trống tăng.
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 6
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Ta có thể so sánh các chất thơng qua bảng 1.1:
Tính dẫn điện
Kim loại
Bán dẫn
Điện môi
10-8 – 10-6 (Ωm)
10-4 – 1010 (Ωm)
> 108 (Ωm)
Tỷ lệ với T
T tăng → ⍴ giảm
Tương tự bán dẫn
điện trở suất (⍴)
Sự phụ thuộc của
⍴ theo nhiệt độ
⁄
nhưng ⍴0, B có giá
trị khác
Độ rộng
cấm (Eg)
vùng
Khơng có
Nhỏ
(Eg< 4 eV)
Không cần cung cấp
Phải cung cấp năng
năng lượng
lượng
Loại hạt dẫn
Electron
Electron và lỗ trống
Loại dẫn điện
Dẫn điện tinh khiết
Dẫn điện tinh khiết
Năng lượng cung
cấp cho tinh thể
Lớn
(Eg ≥ 4 eV)
(năng lượng kích
hoạt)
Dẫn điện tạp chất
Độ linh động
Hầu như khơng đổi
Thay đổi rất lớn
Ảnh hưởng tạp
chất
Có tạp chất thì dẫn
điện kém
Có tạp chất thì dẫn
điện tốt
Bảng 1.1: Một số điểm khác biệt giữa kim loại, bán dẫn và điện môi.
Nhận xét:
Khơng có ranh giới rõ ràng giữa 3 loại vật liệu này.
Trong kim loại ln có electron tự do và số electron này không phụ
thuộc vào nhiệt độ nên để tạo ra electron tự do thì khơng cần cung cấp
năng lượng cho tinh thể.
Với bán dẫn, tại T ≈ 0K, bán dẫn không dẫn điện. Khi nhiệt độ tăng,
trong bán dẫn xuất hiện các hạt mang điện (lỗ trống, electron). Như vậy,
để tạo ra hạt mang điện, ta phải cung cấp năng lượng cho nó. Có nhiều
cách làm xuất hiện các hạt mang điện, ngồi làm nóng tinh thể cịn có
thể cho các loại bức xạ khác nhau (ánh sáng, bức xạ hạt nhân v.v…)
hoặc điện trường, từ trường mạnh tác dụng lên tinh thể.
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 7
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
3. Hàm sóng của electron trong tinh thể
Tinh thể là một hệ các hạt nhẹ, electron và các hạt nhân. Trạng thái ổn định của
hệ hạt được mơ tả bằng phương trình Schrodinger:
Hàm sóng của tinh thể phụ thuộc vào tọa độ của tất cả các hạt. Phương trình (S)
chứa 3(Z+1)N biến số. Trong đó N là số nguyên tử trong tinh thể. Việc giải phương
trình gồm nhiều biến số như vậy là khơng thể. Nếu hamiltonian của hệ có thể biểu diễn
dưới dạng tổng các halmiltonian:
̂
∑̂
trong đó ̂ chỉ phụ thuộc vào tọa độ hạt thứ k:
̂
̂
thì hàm sóng của hệ có thể tìm dưới dạng tích các hàm sóng của các hạt và năng lượng
của hệ bằng tổng năng lượng của các hạt:
∑
Tuy nhiên, phương trình này cũng chưa giải được, do đó phải đưa về phương
trình đối với một electron bằng cách chuyển hệ các electron tương tác với nhau thành
hệ các electron khơng tương tác, xét bài tốn gần đúng một electron: tức là xét chuyển
động của từng electron riêng rẽ trong trường lực tuần hoàn của các lõi nguyên tử và
các electron còn lại, trường lực tuần hồn này tạo ra thế năng tuần hồn có dạng:
(⃗
⃗⃗ )
⃗ . Với ⃗⃗ là vecto tịnh tiến.
Từ đó, ta chỉ quan tâm đến phương trình Schrodinger đối với một electron bất
kỳ.
*
⃗ +
⃗
⃗
⃗ là hàm tuần hồn.
Đây là phương trình của một electron chuyển động trong một trường tuần hoàn.
Hàm sóng của electron chuyển động trong tinh thể chính là nghiệm của phương trình
này.
với
Hàm sóng của điện tử tự do là một hàm sóng phẳng:
⃗⃗
⃗
⃗⃗ ⃗
với phổ năng lượng:
( ⃗⃗ )
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 8
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Block đã chứng minh
⃗ là hàm tuần hoàn với chu kỳ tuần hồn bằng chu kỳ
mạng tinh thể, hàm sóng của điện tử thỏa mãn phương trình Schrodinger có dạng hàm
Block
⃗⃗
⃗ :
⃗⃗
trong đó,
⃗⃗
⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗
⃗
⃗ là hàm tuần hồn với chu kỳ là chu kỳ tuần hoàn của mạng tinh thể.
Như vậy, hàm sóng Block là hàm sóng phẳng có biên độ
chu kỳ tuần hoàn của mạng tinh thể (với ⃗⃗ khác nhau thì có
Mặt khác:
̂ ⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗
⃗ biến điệu theo
⃗ khác nhau).
Do vậy năng lượng của điện tử E phải là hàm số của vecto sóng ⃗⃗ ,
⃗⃗ .
4. Năng lƣợng của điện tử trong bán dẫn
Với quy ước chỉ lấy các vecto sóng trong vùng Brillouin thứ nhất làm chuẩn
xung lượng của hạt trong trường thế tuần hồn thì các điện tử thường có nhiều hàm
sóng khác nhau với năng lượng khác nhau song với cùng một chuẩn xung lượng.
4.1.
Vùng năng lượng trong phép gần đúng điện tử gần tự do
Xuất phát từ các trạng thái electron tự do với phổ năng lượng liên tục, coi
trường tinh thể với thế năng tuần hoàn như nhiễu loạn nhỏ, ta chứng minh được tác
dụng của trường này dẫn đến hệ quả là sự xuất hiện các vùng cấm trong phổ năng
lượng của điện tử.
Năng lượng của electron khơng thể có giá trị giữa vùng cấm (khe năng lượng).
Để có thể tồn tại trong trạng thái với năng lượng nằm trong các vùng năng lượng. Đó
là các trạng thái được phép. Ngược lại, khơng thể có trạng thái của electron mà năng
lượng nằm trong vùng cấm.
4.2.
Vùng năng lượng trong phép gần đúng liên kết mạnh
Nghiên cứu phổ năng lượng bằng việc xuất phát từ hàm sóng của electron vành
ngồi trong từng ngun tử riêng biệt, nghĩa là của electron liên kết mạnh với ion của
mạng tinh thể, rồi coi như trạng thái của electron trong tinh thể được hình thành do sự
phủ lên nhau bởi hàm sóng của các electron vành ngồi các nguyên tử lân cận.
Ta thu được công thức:
̅ ∑
∑
Khi k thay đổi trong vùng Brillouin thì E(k) có giá trị gần ̅, thay đổi từ một giá
trị cực tiểu Emin đến giá trị cực đại Emax. Vậy do có sự phủ hàm sóng các electron trong
tinh thể, nhất là các electron của các nguyên tử lân cận nhau, mỗi mức năng lượng ̅
trong nguyên tử (mức năng lượng gián đoạn) trở thành một vùng năng lượng từ Emin
đến Emax gần giá trị ̅.
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 9
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Sự mở rộng mỗi mức thành một vùng bắt đầu xảy ra khi khoảng cách giữa các
nguyên tử lân cận trở nên nhỏ đến mức mà hàm sóng các electron vành ngồi của
chúng phủ lên nhau. Khoảng cách càng nhỏ thì sự phủ càng nhiều và do đó mỗi vùng
càng mở rộng ra. Khoảng trống giữa các vùng năng lượng là các khe năng lượng, còn
gọi là vùng cấm.
5. Mật độ trạng thái
Mật độ trạng thái là số trạng thái điện tử trong một đơn vị năng lượng và một
đơn vị thể tích tinh thể.
Mật độ trạng thái trong vùng dẫn:
⁄
(
)
√
gọi là khối lượng hiệu dụng mật độ trạng thái vùng dẫn.
Mật độ trạng thái hiệu dụng của vùng dẫn:
⁄
(
)
Mật độ trạng thái trong vùng hóa trị:
⁄
(
)
√
gọi là khối lượng hiệu dụng mật độ trạng thái của vùng hóa trị.
Mật độ trạng thái hiệu dụng của vùng hóa trị:
⁄
(
)
Số điện tử trong một đơn vị thể tích trên vùng dẫn:
(
)
Số lỗ trống trong một đơn vị thể tích dưới vùng hóa trị:
(
)
6. Sơ lƣợc tính chất của chất bán dẫn
Tinh thể bán dẫn là tinh thể mà về mặt cấu trúc năng lượng có một vùng hóa trị
bị lấp đầy và trên nó là một vùng trống (gọi là vùng dẫn), năng lượng vùng cấm
Eg có giá trị không lớn lắm (dưới vài eV), nhỏ hơn năng lượng vùng cấm của
các chất cách điện (điện môi).
Giá trị điện trở suất nằm giữa chất cách điện và kim loại, tuy nhiên không ranh
giới rõ ràng giữa ba loại vật liệu này.
Bán dẫn có điện trở suất phụ thuộc nhiệt độ theo biểu thức:
⁄
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 10
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Trong một khoảng nhiệt độ xác định, điện trở suất tăng khi nhiệt độ giảm.
Tính chất điện, quang phụ thuộc chủ yếu vào cấu trúc tinh thể.
Bán dẫn có thể là các nguyên tố hóa học như: Ge, Si, B, C, Sn, v.v… cũng có
thể là các hợp chất hóa học hai hay ba thành phần v.v…
Cấu trúc tinh thể, thành phần, tính chất liên kết trong tinh thể của mỗi loại bán dẫn là
khác nhau nên chúng có tính chất khác nhau. Do đó người ta sử dụng từng loại vật
liệu vào mục đích khác nhau.
7. Phân loại chất bán dẫn
7.1.
Bán dẫn thuần (bán dẫn tinh khiết)
Bán dẫn tinh khiết là các bán dẫn sạch, khơng có hoặc có rất ít tạp chất.
Cấu trúc năng lượng của bán dẫn tinh khiết: Khi T = 0K, vùng hóa trị bị lấp đầy và
vùng dẫn bị bỏ trống. Hai vùng được ngăn cách bằng vùng cấm không lớn lắm.
Khi T > 0K, một số electron nhận thêm năng lượng chuyển từ đỉnh vùng hóa trị lên
vùng dẫn trở thành electron tự do, làm xuất hiện lỗ trống ở vùng hóa trị. Nhiệt độ càng
cao, số electron dẫn và lỗ trống càng lớn.
Lấy gốc tính năng lượng ở đáy vùng dẫn: Ec = 0; Ev = -Eg. Ta tính được mật độ
electron:
⁄
(
)
Mật độ lỗ trống:
⁄
(
)
Tích số:
(
)
⁄
Biểu thức (1.19) là biểu thức của định luật khối lượng hiệu dụng.
Trong bán dẫn tinh khiết, mỗi electron khi chuyển từ vùng hóa trị lên vùng dẫn
đều tạo thành lỗ trống, do đó mật độ electron và lỗ trống bằng nhau:
ni = pi
Từ đó, ta tính được vị trí mức Fermi
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
:
Trang 11
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
0 Ec
Nếu mh = me thì
me < mp
(mức Fermi nằm giữa vùng cấm).
- Eg
me > mp
T
Hình 1.3
7.2.
Bán dẫn pha tạp
Khi bán dẫn pha một loại tạp chất vào thì nó trở thành bán dẫn tạp chất hay còn
gọi là bán dẫn ngoại lai. Một số tạp chất và một số loại sai hỏng của mạng tinh thể có
thể ảnh hưởng rất quan trọng đến tính chất điện của bán dẫn.
Ec
Ed
Eg
Ea
Ev
Hình 1.4: Các mức năng lượng
tạp chất trong bán dẫn
7.2.1 Bán dẫn loại n:
Bán dẫn pha tạp chất donor (các nguyên tố nhóm V có khả năng cho một
electron) → mức năng lượng donor ở rất gần đáy vùng dẫn.
Trong bán dẫn loại n: Nồng độ electron phụ thuộc vào năng lượng ion hóa
donor và tăng nhanh khi nhiệt độ tăng .
⁄
√
(
)
7.2.2 Bán dẫn loại p:
Bán dẫn pha tạp chất acceptor (các nguyên tố nhóm III có khả năng nhận thêm
electron) → mức năng lượng acceptor ở rất gần đỉnh vùng hóa trị.
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 12
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Trong bán dẫn loại p: Nồng độ lỗ trống trong bán dẫn p phụ thuộc mạnh vào
nhiệt độ.
⁄
(
√
)
7.2.3 Bán dẫn pha tạp chất donor có mật độ tạp chất Nd.
Mật độ electron trên mức donor (mật độ donor chưa bị ion hóa):
Mật độ ion donor dương:
Mức Fermi:
Tại nhiệt độ thấp:
|
|
Tại nhiệt độ cao:
Tại nhiệt độ cao, mọi nguyên tử tạp chất đều bị ion hóa.
Nhận xét:
Vậy:
o
(Nd >> Nc) thì mức Fermi nằm trên đáy vùng dẫn.
(Nd < Nc)thì mức Fermi ở phía dưới đáy vùng dẫn.
| | thì mức Fermi trùng với mức donor.
Nếu
Nếu
Nếu
Mức Fermi dịch chuyển khi nhiệt độ thay đổi.
o Khi T
0K,
|
|.
o Khi T tăng,
tiến gần đến đáy vùng dẫn, sau đó đi xuống.
o Nhiệt độ tiếp tục tăng thì mức Fermi tiếp tục đi xuống và tiến tới vị trí ở giữa
vùng cấm
giống như trong bán dẫn riêng.
Nếu tiếp tục tăng nhiệt độ thì một số electron ở vùng hóa trị chuyển lên được vùng
dẫn, nhiệt độ càng tăng thì số electron này càng nhiều. Lúc nhiệt độ đủ cao thì mọi
nguyên tử tạp chất đều bị ion hóa, khi đó dù nhiệt độ có tăng nữa thì số electron dẫn do
tạp chất tạo nên cũng không tăng thêm.
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 13
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
7.2.4 Bán dẫn pha tạp chất acceptor với mật độ Na.
Mật độ lỗ trống trên mức acceptor:
Mật độ electron trên mức acceptor (mật độ acceptor đã bị ion hóa):
Mức Fermi:
Tại nhiệt độ thấp:
Tại nhiệt độ cao:
Vậy:
o Ở nhiệt độ rất thấp, mức Fermi nằm giữa đỉnh vùng hóa trị và mức tạp chất
acceptor.
o Nhiệt độ tăng thì mức Fermi tiến đến gần tới đỉnh vùng hóa trị. Nhưng sau đó
lại tiến về mức acceptor.
o Nếu nhiệt độ tiếp tục tăng dần thì mức Fermi chuyển dịch dần về giữa vùng
cấm.
8. Một số hiệu ứng cổ điển trong chất bán dẫn
8.1.
Phương trình động Boltzmann
Hiệu ứng động là q trình khơng thuận nghịch tn theo phương trình động
hay cịn gọi là phương trình Boltzmann trong trường hợp tác động bên ngoài là nhỏ.
Phương trình động học Boltzmann:
∫
[
]
phương trình động học diễn tả quá trình dừng tại điểm r bất kỳ trong khơng gian thật
và cho mỗi giá trị K bất kỳ, vận tốc thay đổi toàn phần của hàm f bằng 0. Hay:
∫
[
]
Biểu thức trên cho thấy, trong trạng thái dừng, sự biến đổi của hàm phân bố gây
ra do chuyển động của hạt tải điện và bằng tác dụng của lực bên ngoài được cân bằng
với va chạm của hạt tải và sai hỏng của mạng tinh thể.
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 14
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
8.2.
Tán xạ hạt dẫn
Trong tinh thể lý tưởng, chuyển động có hướng của điện tử sẽ giữ nguyên lâu
tùy ý kể cả khi khơng có điện trường ngồi. Ngược lại, trong tinh thể thực, dịng
chuyển động có hướng của điện tử sẽ tắt ngay sau cỡ 10-13 s kể từ khi ngắt điện trường.
Quá trình làm cho hệ điện tử trở lại trạng thái cân bằng đó chính là sự tán xạ của điện
tử trên các khuyết tật của tinh thể. Các khuyết tật hay những sai lệch khỏi trường tinh
thể tuần hoàn, gọi là các tâm tán xạ. Các tâm tán xạ có thể là những ion tạp chất,
nguyên tử tạp chất trung hòa, các nút khuyết, lệch mạng, các khuyết tật điểm khác,
cũng như dao động mạng tinh thể.
̅
̅
Hình 1.5: Sự biến đổi của vecto sóng điện từ khi tán xạ
Vì bản chất của sự sai hỏng khác nhau nên sự tán xạ của hạt tải trên tinh thể
cũng khác nhau. Thời gian phục hồi:
∫
*
+
[
∫
]
8.2.1 Tán xạ trên ion tạp chất
Trong bán dẫn tạp chất, mỗi ion tạp chất tạo xung quanh nó một điện trường.
Dưới tác dụng của nó, hạt tải lệch hướng chuyển động. Các hạt tải chuyển động trong
trường Colomb của ion dương theo quỹ đạo là các đường hypecbol.
Góc tán xạ phụ thuộc vào khoảng cách ngắn nhất giữa ion và quỹ đạo chuyển
động của hạt tải (kí hiệu: b).
Với: Ze: điện tích ion.
: khối lượng hiệu dụng của hạt tải.
v: vận tốc chuyển động của hạt tải.
: góc tán xạ.
Thời gian hồi phục khi hạt tải tán xạ trên ion tạp chất:
[
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
(
⁄
) ]
Trang 15
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Với:
⁄
⁄
(
)
Quãng đường tự do trung bình:
̅
8.2.2 Tán xạ trên tạp trung hòa và trên lệch mạng
Tán xạ hạt tải trên tạp trung hòa là rất bé so với tán xạ trên ion tạp chất.
Nếu tán xạ của hạt tải trên nguyên tử tạp trung hòa được xem xét như tán xạ của các
điện tử chậm trên nguyên tử hydro nằm trong môi trường với hệ số điện môi
và các
nguyên tử tạp chất khơng bị ion hóa thì thời gian hồi phục:
Với: NA là nồng độ nguyên tử tạp chất.
không phụ thuộc nhiệt độ, năng lượng hạt tải.
Tán xạ hạt tải trên sai hỏng của mạng tinh thể:
Thời gian hồi phục:
8.2.3 Tán xạ trên dao động mạng tinh thể
Năng lượng điện tử thay đổi do dao động mạng. Phonon cũng là chuẩn hạt mô
tả các dao động mạng. Tương tác điện tử phonon thể hiện qua việc sinh hủy phonon
với sự biến đổi đồng thời trạng thái điện tử K sang K’.
Khi điện tử tương tác và cho năng lượng làm sinh ra một phonon với năng
lượng
; ngược lại, điện tử nhận năng lượng và làm mất một phonon với năng
lượng
.
Với các chuẩn hạt của điện tử và phonon thỏa mãn hai định luật: định luật bảo
toàn năng lượng và định luật bảo toàn chuẩn xung lượng.
Đối với các mạng phức tạp, trong đó có các nguyên tử cơ sở có điện tích khác
nhau như các tinh thể ion thì sự phân cực sẽ liên kết với các dao động quang của mạng
mà sự phân cực này dẫn đến tương tác mạnh hơn nhiều của điện tử với các phonon âm.
Vì tần số phonon quang ít phụ thuộc vào chuẩn xung lượng q, nên với va chạm năng
lượng của điện tử không tăng cũng không giảm và luôn bằng
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 16
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Ở nhiệt độ cao:
Tán xạ có thể coi hồn tồn đàn hồi.
Ở nhiệt độ thấp:
Tán xạ có thể khảo sát như quá trình trao đổi
phonon, bởi vì năng lượng của điện tử khơng đổi, nhưng hướng của chuẩn xung
lượng thì thay đổi mạnh. Điện tử tương tác của phonon quang của mạng là va
chạm đàn hồi.
8.3.
Các hiệu ứng nhiệt điện
8.3.1 Hiệu ứng Seeback
Hiệu ứng Seeback là sự xuất hiện hiệu điện thế nhiệt điện trong mạch gồm 2
dây dẫn mà ở chỗ nối chúng có nhiệt khác nhau.
Trong mẫu bán dẫn đồng nhất với gradien nhiệt độ, suất điện động nhiệt điện xuất hiện
do hiệu nhiệt độ là 1oC, được gọi là hệ số nhiệt điện (ký hiệu: α).
| (
|
)|
|
: gradien thế điện hóa.
: gradien nhiệt độ.
Hệ số nhiệt điện của kim loại thường rất nhỏ so với bán dẫn. (ví dụ: kim loại
, bán dẫn
).
8.3.2 Hiệu ứng Peltier và Thompson
Hiệu ứng Peltie: Là sự thoát ra hoặc hấp thụ nhiệt ở nơi tiếp xúc của hai dây
dẫn khi có dịng điện chạy qua. Hiệu ứng này xuất hiện khi có dịng điện chạy
qua giữa 2 chất phụ thuộc vào hướng của dòng, nhiệt lượng ở chỗ tiếp xúc có
thể thốt ra hoặc hấp thụ.
Nhiệt lượng do hiệu ứng Peltie gây ra:
Với:
là hệ số Peltier
Hiệu ứng Thompson: Là hiệu là sự thoát ra hay hấp thụ nhiệt trong thể tích của
dây dẫn khi có dịng điện chạy qua và tồn tại gradient nhiệt độ.
Nhiệt Thompson:
∫
Với:
là hệ số Thompson.
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 17
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
CHƢƠNG II: PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO
ELECTRON TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CĨ SĨNG ĐIỆN
TỪ NGỒI
Trong chương này, khóa luận sẽ thiết lập phương trình động lượng tử cho
electron trong bán dẫn khối khi có trường sóng điện từ ngồi ngồi dựa vào toán tử
Hamiltonian của hệ electron – phonon, để từ đó tính tốn được hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ trong bán dẫn khối.
1. Tốn tử Hamiltonian của hệ electron – phonon trong bán dẫn khi có sóng điện
từ ngồi.
Bán dẫn khối đặt trong trường laser là sóng điện từ phẳng có vecto cường độ
điện trường ⃗⃗ thì ứng với thế vecto ⃗⃗
.
Giả sử cường độ sóng điện trường
⃗⃗
⃗
Thế vector tương ứng
⃗
∫⃗
⃗
Hamiltonian của hệ electron - phonon:
trong đó:
He: Năng lượng của hệ electron.
⃗
∑*⃗
+
⃗
⃗
⃗
Hph: Năng lượng của phonon.
∑
⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
He-ph: Năng lượng tương tác giữa electron và phonon.
∑
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗
⃗⃗ là xung lượng của electron.
m là khối lượng hiệu dụng của electron.
là năng lượng của phonon với chuẩn xung lượng q.
Cq là hằng số tương tác giữa electron và phonon.
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 18
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
⃗⃗
⃗⃗
và
lần lượt là toán tử sinh và huỷ của electron và phonon trong bán
⃗⃗
⃗⃗
dẫn.
Dựa vào tốn tử Halmitonian. Thiết lập phương trình động cho số điện tử (trung
bình) theo thời gian.
〈
⃗〉
〈
⃗〉
⃗
〈 〉 : kí hiệu trung bình thống kê.
2. Thiết lập phƣơng trình động lƣợng tử cho electron trong bán dẫn khối.
Trung bình thống kê của tốn tử số hạt theo thời gian:
〈
⃗〉
⃗
〈
⃗〉
Thiết lập phương trình động lượng tử cho hàm phân bố, sử dụng phương trình
Heisenberg:
〈
⃗
⃗〉
⃗
〈[
⃗
⃗
]
[
⃗
]〉
Ta có:
[
⃗
]
⃗
[
[
⃗
⃗
⃗
]
⃗
]
[
⃗
∑*⃗
⃗
⃗
+ [
⃗
⃗
⃗]
⃗
]
⃗
[
⃗
]
⃗
⃗]
⃗
⃗
[
[
⃗
⃗
⃗
⃗]
⃗
⃗]
⃗
⃗
⃗[
⃗
⃗]
⃗
+ (
⃗[
⃗
⃗[
⃗]
⃗
⃗
⃗
∑*⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗)
⃗
⃗)
⃗ ⃗
⃗
*⃗
[
⃗
⃗
⃗
+ (
]
∑
⃗
⃗
⃗⃗
[
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ]
⃗⃗
[
]
⃗
⃗
∑
⃗⃗
[
⃗⃗ [
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗]
⃗[
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
[
⃗
⃗
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ]
⃗
⃗
[
⃗
⃗
⃗
∑
⃗⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗⃗ ]
⃗⃗
⃗
⃗]
⃗
⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗ [
⃗
⃗⃗
⃗
⃗]
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
∑
⃗
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗⃗
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 19
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
∑
⃗⃗
[
(
⃗
⃗⃗ )
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
(
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
(
⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗
⃗ ⃗⃗
(
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗⃗ )
⃗ ⃗⃗
⃗
]
⃗⃗
Thay SH1, SH2, SH3 vào (2.8)
〈
⃗〉
⃗
∑
⃗⃗
[
⃗
⃗⃗
[
⃗ ⃗⃗
⃗⃗
(
⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗
⃗⃗ )
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗⃗ )
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
(
⃗
⃗ ⃗⃗
⃗⃗ )
]
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
(
⃗ ⃗⃗
⃗
⃗⃗ )
]
⃗
⃗
⃗⃗
〈
⃗〉
⃗
∑
⃗⃗
∑
⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗⃗ )
⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗⃗
Để giải (2.9) ta giải phương trình động lượng tử cho
〈
⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗ 〉
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
với:
⃗⃗
]
Bằng cách sử dụng phương trình Heisenberg:
⃗ ⃗ ⃗⃗
〈[
]〉
Ta có:
[
⃗
⃗
]
⃗⃗
[
⃗
[
⃗
⃗
⃗⃗
[
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
]
]
[
]
⃗
⃗
]
⃗⃗
⃗
∑*⃗
[
+ [
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
]
⃗
⃗
[
⃗
⃗
vì
nên [
⃗⃗
]
⃗
⃗
[
⃗
⃗
[
⃗
⃗
[
⃗
(
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
]
⃗
⃗ ⃗
]
⃗⃗
⃗
⃗
)
[
⃗
⃗
(
⃗
⃗
⃗
⃗
]
⃗
⃗
(
⃗ ⃗
⃗⃗
⃗
⃗
]
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
[
⃗
⃗
]
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
∑*⃗
]
(
⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗
)
⃗⃗
+ (
⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗
)
⃗⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗
[
⃗
⃗
⃗
)
⃗
)
]
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
∑*⃗
+
⃗
⃗
⃗
+
⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
*⃗
[
⃗
∑*⃗
⃗⃗
⃗
+
⃗
⃗
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
⃗
⃗
⃗
*⃗
⃗⃗
]
⃗
⃗
+
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
Trang 20
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
[
⃗
⃗
]
⃗⃗
∑
[
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
]
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
[
⃗
⃗
∑
⃗⃗
⃗⃗
]
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
[
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
]
⃗
⃗
[
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
]
⃗
⃗
(
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗
[
⃗⃗
[
]
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
[
⃗
⃗
⃗
⃗
[
⃗⃗
⃗⃗
]
]
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗
[
⃗
⃗
]
⃗⃗
∑
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
]
⃗ ⃗⃗
∑
[
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ]
⃗⃗
∑
[
⃗⃗
⃗
(
⃗
⃗⃗
(
⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗⃗
)
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗
⃗⃗
)
⃗ ⃗⃗
⃗
∑
[
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ ⃗
)
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗
⃗⃗ ]
⃗⃗
)
⃗⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗ ⃗
⃗⃗
)
⃗ ⃗⃗
⃗
∑
{
⃗⃗
⃗ ⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗
)
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗ ]
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗
∑
{
⃗⃗
⃗
⃗
[(
⃗⃗ ⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗⃗
)]}
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗
∑
{
⃗⃗
⃗
⃗
[
⃗⃗ ⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ]}
⃗⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗
)
⃗ ⃗⃗
⃗
∑
⃗⃗
⃗
⃗
[
⃗
⃗⃗ ]}
⃗⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗
)
∑
⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
∑
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 21
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
∑
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
∑
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
(
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗⃗
⃗⃗
∑
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
Thay ba số hạng vừa tìm được vào (2.10), ta được phương trình:
⃗ ⃗ ⃗⃗
{*
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ +
∑
⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗⃗
〈
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
)〉 ]}
⃗
⃗
〉
⃗
∑
⃗⃗
[〈
⃗
(
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗⃗ 〉
〈
⃗
⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
Với
⃗
⃗
⃗
⃗
Phương trình (2.11) là phương trình vi phân bậc nhất khơng thuần nhất. Để giải
phương trình này trước hết chúng ta giải phương trình vi phân thuần nhất.
Ta có phương trình vi phân thuần nhất
*
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ +
Lấy tích phân 2 vế:
∫
∫
(
⃗
*
⃗
⃗
⃗⃗ )
⃗
∫
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ +
∫ ⃗
⃗
⃗
Chọn
*
(
⃗
⃗
⃗⃗ ) ∫
∫
⃗
⃗
⃗
+
Nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất có dạng:
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
Trang 22
Lớp 11CVL – Khoa Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
[
*
(
*
⃗
(
⃗
⃗⃗ ) ∫
⃗
⃗
*
*
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
+
∫
⃗
⃗
⃗
+
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ ) ∫
⃗
⃗
∫
⃗⃗
⃗
⃗
]
⃗
⃗
+
+
Thay (2.12) vào (2.11), ta được:
*
(
⃗
*
{*
⃗
⃗⃗ ) ∫
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
∫
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ +
+
+
∑
⃗⃗
〈
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
〉
⃗
∑
⃗⃗
[〈
⃗
⃗
⃗⃗
(
⃗⃗
)
⃗⃗
⃗⃗ 〉
〈
⃗
⃗⃗
)〉 ]}
⃗⃗
∫ { ∑
⃗⃗
〈
⃗
⃗
(
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
〉
⃗
∑
⃗⃗
[〈
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗⃗ 〉
〈
⃗
⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
)〉 ]}
⃗⃗
)〉 ]}
⃗⃗
* (
⃗
⃗⃗ ) ∫
⃗
∫
⃗
⃗
⃗
+
Ta có:
∫ { ∑
⃗⃗
〈
⃗
⃗
(
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
〉
⃗
∑
⃗⃗
[〈
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗⃗ 〉
〈
⃗
⃗
⃗⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
* (
⃗
⃗
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hiếu
SVTH: Trần Thị Thu Hà
⃗⃗ ) ∫
∫
⃗
⃗
⃗
+
Trang 23
