Phân tích và tính toán hệ số kép a trong công thức xác định mô đun đàn hồi bằng cần benkenmen theo tiêu chuẩn 22 TCN 251 98

1

CHƯƠNG I
1.

MỞ ĐẦU

Sự cần thiết của đề tài :

Áo đường được xem là đủ cường độ nếu như dưới tác dụng của tải trọng trùng phục
do xe chạy trong suốt thời hạn đã định nó vẫn giữ tính tồn khối và độ bằng phẳng của bề mặt
tầng phủ .
Cường độ mặt đường mềm sẽ bị phá hoại theo các điều kiện sau :
1, Phát sinh các biến dạng dư khi xảy ra phá hoại sự cân bằng giới hạn về trượt trong
nền đất và các lớp vật liệu kém dính kết của áo đường ( Như cát , sỏi , . . . )
2, Phát sinh ứng suất kéo khi vượt quá giới hạn bền gây ra các vết nứt trong các lớp
toàn khối của áo đường ( Như bê tông nhựa , đất , đá giá cố chất liên kết vô cơ, . . .)
Các điều kiện về trạng thái giới hạn đó đều có liên quan với độ võng đàn hồi dưới tải
trọng . Đây là một đại lượng mà qua nhiều nghiên cứu , đặc trưng cho cường độ của áo đường
mềm . Vì thế qui trình thiết kế áo đường mềm 22TCN 211-93 hiện đang áp dụng phương pháp
tính tốn áo đường dựa theo ba tiêu chuẩn về trạng thái giới hạn : Độ võng đàn hồi (hay mô
đun đàn hồi) của áo đường dưới tải trọng , sức chịu uốn của các lớp toàn khối và sức chống
trượt của đất nền và các lớp vật liệu kém dính kết .
Tuy nhiên khi đánh giá cường độ thực tế của kết cấu áo đường mềm người ta vẫn
dùng chủ yếu là độ võng đàn hồi (hay mơ đun đàn hồi) vì tuy độ võng đàn hồi lớn nhất trong
bản thân nó khơng phải là đặt trưng cho cường độ , nhưng lại có quan hệ chặt chẽ với hai chỉ
tiêu kia.
Ở nước ta hiện nay , đo độ võng đàn hồi ( hay mô đun đàn hồi) là một tiêu chuẩn
trạng thái giới hạn chủ yếu của áo đường khi thử nghiệm chúng . Điểm cơ bản của tiêu chuẩn
này là việc đo được các trị số đó khá đơn giản trong những điều kiện hiện trường .
Để đánh giá năng lực chịu tải của kết cấu áo đường thường dùng hai phương pháp

chính là : Phương pháp phá hoại mẫu và phương pháp không phá hoại mẫu.
Phương pháp phá hoại mẫu :
Theo phương pháp này , người ta tiến hành khoan lấy mẫu trong các lớp kết cấu của
các lớp kết cấu mặt đường rồi thơng qua các thí nghiệm trong phịng để xác định các thơng số
tính tốn , từ đó dự báo năng lực chịu tải của kết cấu . Do không thể lấy quá nhiều mẫu trên
mặt đường nên các thông số phản ánh tình trạng mặt đường thơng qua các thí nghiệm thường
mang tính cục bộ nhất định .
Phương pháp đánh giá không phá hoại mẫu :
Đánh giá theo phương pháp không phá hoại mẫu thường được tiến hành bằng cách đo
độ võng trên bề mặt đường để dự tính khả năng chịu tải của kết cấu mặt đường . Phương pháp


2

đo độ võng thường dùng là : đo bằng tấm ép cứng , bằng cần Benkenmen , bằng thiết bị FWD
(Falling Weight Deflectormeter) (Chi tiết xem phụ lục kèm theo ).
Phương pháp xác định mô đun đàn hồi phổ biến hiện nay là dùng cần Benkenmen để
đo độ võng đàn hồi dưới bánh xe kép của tải trục đơn-bánh kép.
Theo đó sau khi xác định được độ võng đặc trưng của cả kết cấu áo đường _ LDT , ta
tiến hành thay vào công thức (*) sau đây và xác định mô đun đàn hồi chung của cả kết cấu áo
đường:
p.D(1 − μ 2 )
E DH = α .
(*)
LDT

Trong đó :
P : áp lực tiêu chuẩn ; p = 6 daN/cm2
D : đường kính tương đương của diện tích vệt bánh xe tiêu chuẩn
D=33 cm

μ : Hệ số Poatxông ; μ = 0.30
LDT : độ võng đàn hồi dặt trưng của đoạn đường thử nghiệm.
α : hệ số xét đến ảnh hưởng do bánh kép gây ra ( Dương ngọc Hải , Nguyễn
Xuân Trục -Thiết Kế Đường Otô tập 2-Nhà Xuất bản Giáo Dục).
Trong thực tế nhiều nhà thầu than phiền về công thức (*) xác định mô đun đàn hồi
chung của cả kết cấu áo đường , vì theo họ hệ số a = 0.693 ( qui trình 22TCN-251-98 ) là quá
bé , nên dẫn đến E DH xác định được trên từng đoạn đường cũng quá nhỏ nên khó khăn để đạt
yêu cầu, mặt dù các nhà thi công làm đúng theo các yêu cầu thiết kế .
Ứng với mỗi qui trình khác nhau thì trị số α này cũng khác nhau ;
+Với qui trình Trung Quốc thì α = 0.712.
+ Với qui trình Việt Nam :
- Theo quyết định số 1047/QĐKT4 của Bộ GTVT ngày 10/5/1979, α =1.0
- Theo tiêu chuẩn 22-TCN-211-93 , a = 0.6 khi lđt <1.5cm , khi lđt >1.5cm thì hệ số
α sẽ được xác định bằng cách tiến hành thực nghiệm đối chiếu cường độ tính từ dưới lên và
0.6<α<1.0.
- Theo đề tài KC10-05-1995 của tập thể bộ môn cầu đường bộ trường ĐH. Xây
Dựng :
Về luý thuyết α = 0.6 , nhưng theo thực nghiệm thì khi độ võng lớn hơn 1.5cm,
nên dùng α= 0.6 - 0.88 ; (Dương ngọc Hải , Nguyễn Xuân Trục -Thiết Kế Đường Otô tập 2Nhà Xuất bản Giáo Dục ).
-Theo qui trình 22TCN -251- 98 ; Hệ số α = 0.693
Ỉ Như vậy theo qui trình Việt Nam hệ số α thay đổi theo quá trình phát triển của
thời gian, ứng với mỗi giai đoạn khác nhau nó có một giá trị khác nhau , hiện tại người ta lấy
giá trị α = 0.693 . Nhưng liệu giá trị ấy đã ổn chưa, vẫn còn nhiều vấn đề đáng bàn thêm để
đưa ra hệ số α này cho hợp lý .


3

Gần đây sinh viên Ngô Quốc Tùng làm luận văn thạc sỹ năm 2006 : ‘Nghiên cứu đánh
giá hệ số a trong phương pháp đo trực tiếp dưới bánh xe ‘ _ ĐH Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí

Minh . Luận văn đã đưa ra các giá trị về hệ số α bằng thực nghiệm ứng với một số đoạn
đường nhất định thông qua việc so sánh Ech đánh giá bằng hai phương pháp tấm ép và cần
Benkenmen, theo đó tác giả bằng thực nghiệm đưa ra các thông số ứng với các đoạn đường
khác nhau như sau :
Tên đường

Việt –Sing

KCN Hài
Mỹ

Huỳnh Văn Nghệ

Lê Hồng Phong

Giá trị a
tương ứng

0.68

0.89

0.82

0.75

Tên đường

Đoàn Thị Liên

Chợ Bún
QL13

An Thạnh _
Lái Thiêu

Bình Thuận _
Bình Nhâm

Giá trị a tương
ứng

1.05

1.18

0.89

1.06

Nhưng kết quả của luận văn này chưa thật thuyết phục vì chỉ mới khảo sát trên một số
đoạn đường nhất định , chưa đưa ra kết cấu áo đường kèm theo của từng đoạn đo ; do đó khó
kiểm chứng kết quả, ngồi ra chỉ dùng kết quả đo võng bằng cần Benkenmen để so sánh với
kết quả đo võng bằng tấm ép trong khi phương pháp đo võng bằng tấm ép chưa thật chính xác
và cần phải nghiên cứu thêm , đặc biệt luận văn chưa có kết luận về việc nên chọn hệ số α là
bao nhiêu cho hợp lý .
Chính vì vậy việc xác định mô đun đàn hồi đặc trưng của kết cấu áo đường một cách
chính xác để phản ánh đúng thực tế là hết sức cần thiết, và điều bức thiết đó đã thúc đẩy chúng
em nghiên cứu đề tài này .

2.

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài :

Như trên đã phân tích việc xác định mơ đun đàn hồi chung của cả kết cấu áo đường
một cách chính xác là rất cần thiết bởi vì :
- Trị số mơ đun đàn hồi chung của mặt đường cũ có ảnh hưởng rất nhiều đến chi phí
xây dựng cải tạo mặt đường cũng như các giải pháp kết cấu khi cao độ mặt đường bị khống
chế ( Như đường trong khu vực đô thị ).
- Trị số mô đun đàn hồi chung của lớp móng và cả kết cấu áo đường mới xây dựng là
tiêu chuẩn đánh giá chất lượng cơng trình khi thực hiện nghiệm thu cơng trình .
Ỉ Chính vì vậy mà mục tiêu của đề tài chúng em nghiên cứu hơm nay là : phân tích
và tính tốn hệ số α trong việc xác định mô đun đàn hồi mặt đường bằng cần Benkenman.
Qua đề tài này : Bằng những nghiên cứu lý thuyết chúng em đưa ra hệ số α mới để
xác định một cách tướng đối chính xác giá trị mô đun đàn hồi đặc trưng của kết cấu áo đường
bằng luý thuyết và chứng minh rằng hệ số α không phải là một số bất biến .
Đồng thời bằng kết quả của đề tài chúng em rút ra kết luận về điều than phiền kể trên
của các nhà thầu và qua đây đề nghị cần có những nghiên cứu cụ thể hơn để đưa ra giá trị α
chính xác hơn .


4

3.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài :

Với mục tiêu nghiên cứu ở trên đã đề cập thì đối tượng nghiên cứu chính của chúng
em là giải bài tốn bán không gian đàn hồi nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng bánh xe . Theo
đó tiến hành mơ phỏng tác dụng của trục xe đơn, bánh kép lên mặt đường . Từ đó giải bài tốn

bán khơng gian đàn hồi nhiều lớp xác định độ võng tại hai vị trí 1 ( l1) và 2 ( l2 ) như hình vẽ .

p

δ

δ

δ

p

l1

l2

l2

l2
, dựa vào kết quả của hàng loạt bài toán ta tiến hành dùng lý thuyết xác
l1
l
xuất thống kê lập hàm hồi qui để xác định hàm hồi qui của hàm số F( 2 ) từ đó có cơ sở để
l1

Lập tỷ số

nghiên cứu và đưa ra hệ số α như trên đã đề cập .
Một khó khăn rất lớn là : Hiện nay trên thế giới vẫn chưa có lời giải chính xác hệ đàn
hồi nhiều lớp , ở Trung Quốc người ta mới chỉ tiến hành giải một cách chính xác bài tốn

khơng giai đàn hồi hai lớp . Với số lượng lớp lớn hơn vẫn còn trong giai đoạn nghiên cứu .
Với hệ nhiều lớp bất kỳ người ta giải một cách gần đúng bằng máy tính điện tử và kết
quả với độ tin cậy chấp nhận được . Trong đó phần mềm ALIZE’-5 của Viện Thí Nghiệm cầu
đường trung tâm Pháp (LCPC) là một chương trình đã chấp nhận , chương trình cho phép nhập
số lớp kết cấu tối đa lên tới 10 lớp .
Chính vì vậy chúng em dùng phần mềm ALIZE’-5 để xác định l1và l2

4.

Phương pháp nghiên cứu :

Phương pháp chính mà chúng em nghiên cứu đề tài hôm nay là sử dụng cơ sở lý
thuyết tiến hành xác định hệ số α tương ứng với các lớp kết cấu áo đường khác nhau và mô
đun đàn hồi nền khác nhau .
Luý thuyết này được tổng hợp từ luý thuyết tính tốn nền-mặt đường của một số
nước : Liên Xơ (cũ) , Trung Quốc, Việt Nam , Pháp , . . .


5

5.

Độ tin cậy của đề tài :

Kết cấu áo đường là hệ đàn hồi nhiều lớp hết sức phức tạp , việc giải bài toán hệ đàn
hồi nhiều lớp để tìm ra hàm ứng suất – biến dạng là hết sức khó khăn.
Trước đây do cơng cụ tính tốn chưa phát triển , để đơn giản cho việc tính tốn người
ta thường qui đổi hệ nhiều lớp về hệ 2, 3 lớp để giải nên sai số rất lớn. Với việc phát triển của
khoa học – công nghệ như ngày nay, đặc biệt là máy tính điện tử đã góp phần giảm nhẹ khối
lượng tính tốn và có thể giải những bài toán gần đúng mà cho đến bây giờ bằng cách giải luý

thuyết con người vẫn bó tay .
Máy tính điện tử cùng với các phương pháp tính tốn hiện đại như : Phương pháp
phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn,...Cho phép ta mô phỏng kết cấu gần như thực , chính vì
vậy độ chính xác chấp nhận được .
Bằng việc áp dụng phần mền Alize -5’ viết bằng ngơn ngữ lập trình Visu-Basic , kết
hợp với phương pháp phần tử hữu hạn cho ta kết quả bài tốn khá chính xác .
Chương trình này đã được các tác giả nghiên cứu ứng dụng và chấp nhận một cách
thuyết phục :
- Theo tác giả: THS. NCS Lã Văn Chăm –‘Anh hưởng lớp móng đến mặt đường cứng
dưới tác dụng của tải trọng động’ , Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải , số 5-2003 ; Trong
bài bài báo này tác giả đã tự viết chương trình bằng ngơn ngữ lập trình VISU-BASIC đem
kiểm tra kết quả bằng chương trình Sap2000, Alize’-5 và cho kết quả đáng tin cậy.
- Theo đề tài nghiên cứu khoa học do 2 sinh viên lớp đường bộ khoá 40 :Trần Xuân
Hội , Đỗ Thị Xuân Mai : Ưng dụng chương trình Alize’ dưới sự hướng dẫn của thầy TH.S
Vũ Thế Sơn tháng 4 năm 2003 . Đã tự viết một chương trình tính tốn cho thiết kế áo đường
cứng bằng phần mềm VISU-BASIC và tiến hành chạy kết quả để so sánh với kết quả của
chương trình ALIZE’-5 cho kết quả khá chính xác .
-Theo PGS.TS Nguyễn Quang Chiêu – ‘Thiết kế mặt đường bêtông xi măng’ Nhà
xuất bản giao thong vận tải 2005 ; Trong đó với : Qui trình thiết kế áo đường cứng của Pháp
coi chương trình Alize’-5 như một phương pháp tính chính trong thiết kế.
Ngồi ra tác giả cũng đã sử dụng chương trình Alize’-5 để tính một số bài toán thiết
kế áo đường cứng .
Như vậy chương trình Alize’-5 mà ta sử dụng ở đây có độ chính xác khá tin cậy.
Mặt khác kết quả của hàng loạt bài toán Alize’-5 được tập hợp lại và dùng luý thuyết
xác suất thống kê để đưa ra giá trị α tương ứng với sự thay đổi cường độ đất nền .
Ỉ Với những điều đã đề cập ở trên cùng với sự cẩn thận trong qúa trình nghiên cứu,
mơ phỏng bài tốn , chúng em tin rằng độ chính xác của kết quả là đáng tin cậy .


6

6.

Ý nghĩa của đề tài :

Khắc phục những nhược điểm mà các đề tài trước đó mắc phải chúng ta sử dụng
chương trình máy tính điện tử để mơ phỏng kết cấu và đưa ra hệ số a xác với thực tế hơn.
Đồng thời với giá trị a mà chúng em đưa ra phần nào đáp ứng sự mong đợi của các
nhà thi công và các nhà thầu như phần trên đã đề cập.
Mặt khác với kết quả của đề tài nghiên của chúng em , mong các cơ quan chức năng
có những nghiên cứu sâu hơn và sớm đưa ra qui trình thử nghiệm bằng cần Benkenman mới
một cách chính xác để đáp ứng được yêu cầu mới hiện nay.
Một điều quan trọng là qua đề tài này giúp chúng em có những tư duy và phương
pháp nghiên cứu khoa học cho riêng mình .
Kết cấu của đề tài :
Nội dung của đề tài gồm có 5 chương như sau :
LỜI MỞ ĐẦU
Chương này trình bày một số vấn đề chung về nội dung đề tài cũng như sự cần thiết
và tính thời sự của đề tài nghiên cứu .
Chương I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
Chương này trình bày những lý thuyết cần thiết để phục vụ tính tốn cũng như thống
kê đưa ra gía trị α.
Chương II : PHÂN TÍCH KẾT QUẢ .
Chương này dựa trên kết quả của bài toán ta đưa ra những nhận xét và các giá trị α
khác nhau tương ứng với các điều kiện khác nhau .
Chương III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .
Một số kết luận của nhóm tác giả và các kiến nghị trong tương lai.
PHỤ LỤC KÈM THEO VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO .
Các phụ bảng của kết quả tính tốn , đây là cơ sở để đưa ra giá trị α cuối cùng và tài
liệu tham khảo trong quá trình thực hiện đề tài .

7

CHƯƠNG I :
I.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Như phần đặt vấn đề đã nêu, để xác định mô đun đàn hồi đặc trưng của đường chúng ta
cần xác định độ võng tại tim bánh xe (vị trí -1) , nhưng vị trí này ta khơng thể đưa đầu cần đo
Benkenmen vào được nên ta phải đo tại khoảng giữa bánh kép (vị trí -2) .

Lún

1

1
2

Hình 2.1: Lún đường dưới tác dụng của tải trọng bánh xe
1-vị trí cần đo; 2-vị trí thực tế đo
Theo qui trình Trung Quốc khi đo được độ võng bằng cần Benkenmen , thì coi kết cấu
bên dưới như hệ bán không gian đàn hồi một lớp và tiến hành giải bài toán : Bán không gian
đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều dạng bánh kép. Từ kết quả này ta lại suy ra mô
đun đàn hồi đặc trưng cho cả kết cấu.

δ

δ
p

δ

δ

δ
p

Edt,μ =0.25

Hình 2.2 Mơ hình bánh kép
Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều trên hình trịn , chuyển vị tại một vị trí ngồi
đường trịn sẽ được xác định theo công thức :
lr =

(

2 pδ 1 − μ 2
E

) ⎛⎜ m + m
⎜2
⎝

3

16

+

⎞
3.m 5
+ ... ⎟⎟
128
⎠

Với m = δ/r
Nếu xét tới tải trọng bánh kép thì :Tại vị trí tim bánh kép ta có :
r =1,5. δ Æ m = 2/3


8

Ưng với 2 tải ta có lr = 2.

(

2 pδ 1 − μ 2
E

) ⎛⎜ m + m

3

+

⎞

3.m 5
+ ... ⎟⎟
128
⎠

⎜ 2 16
⎝
m m 3 3.m 5
Kết quả ta có được trị số α = 2.δ .( +
+
+ ...) = 0.712 (với m =1.5 δ )
2 16 128

Vậy công thức xác định mô đun đàn hồi đặc trưng của cả kết cấu áo đường là :
p.D (1 − μ 2 )
E DH = 0.712.

LDT

Như vậy hệ số α theo luý thuyết với bài tốn bán khơng gian vơ hạn đàn hồi khơng cịn
là 0.6 (Trang 105_Qui trình thiết kế áo đường mềm 22TCN 211-93 và trang 107 ‘Thiết kế
đường ôtô tập 2’ –Nguyễn Xuân Trục, Dương Ngọc Hải ) và cũng khơng cịn 0.693 như qui
trình 22TCN-251-98 nữa .
Nhưng ở đây Qui trình Trung Quốc mới chỉ xét bài tốn bán không gian vô hạn đàn hồi
. Trong thực tế khi đo độ võng của kết cấu áo đường thì kết cấu thực là hệ đàn hồi nhiều lớp .
Bây giờ ta thành lập bài tốn để tìm giá trị α này với hệ không gian đàn hồi nhiều lớp
I.1 Mơ hình bài tốn :
Mơ hình áp lực tiếp xúc của bánh xe :
Tác dụng trọng lực của ôtô đối với nền đường và mặt đường thông qua mặt tiếp xúc
giữa bánh xe với mặt đường mà truyền trọng lực của nó vào mặt đường và từ mặt đường khếch

tán vào nền đường .
Áp lực đơn vị trên mặt tiếp xúc giữa bánh xe với mặt đường có quan hệ với sự lớn nhỏ
của tải trọng bánh xe , áp lực khơng khí trong bánh xe . Áp lực khơng khí trong bánh xe
thường từ 0.4 - 0.7 Mpa -Do sự khác nhau của độ cứng bản thân bánh xe mà sự phân bố áp lực
trên mặt tiếp xúc giữa bánh xe và mặt đường không đồng đều và cũng khơng hồn tồn bằng
áp lực hơi ở trong bánh xe . Khi thiết kế mặt đường thường xem áp lực hơi trong bánh xe làm
áp lực tiếp xúc giữa bánh xe và mặt đường .
Bánh xe thông qua hoa văn của mặt bánh mà tiếp xúc với mặt đường . Diện tích hoa văn
thường chỉ chiếm một bộ phận diện tích của vệt tiếp xúc bánh xe . Trên thực tế đều lấy diện
tích hình chiếu làm diện tích tiếp xúc . Diện tích tiếp xúc thường có dạng gần với hình trịn
hoặc hình elíp mà bán kính lớn và nhỏ (trục thực –trục ảo) gần bằng nhau. Trong thực tế thiết
kế mặt đường thường dùng diện tích tiếp xúc hình trịn , bán kính δ của nó có thể xác định theo
cơng thức sau:
δ=

Trong đó :
P ; tải trọng bánh xe (MN)

P
π.p


9

p ; áp lực hơi trong bánh xe (MPa)
Khi một bên trục xe có dạng bánh kép , có thể tính đổi diện tích tiếp xúc của nó thành
diện tích một vòng tròn tương đương , nếu mỗi bánh xe đổi thành một hình trịn tương đương
thì nhóm bánh kép có thể tính đổi thành hai diện tích hình trịn . Trường hợp đầu như sơ đồ
bánh đơn , trường hợp thứ hai như sơ đồ bánh kép .
D

d/2
d
d
p
p
p
3δ

a)

b)

Hình A.3 Diện tích vệt bánh và vịng trịn tương đương
a) Sơ đồ một hình trịn ; b) Sơ đồ hai vịng tròn δ = d/2
Việc xác định tải trọng tiêu chuẩn của các nước là không giống nhau . Đại bộ phận các
nước qui định tải trọng trục tiêu chuẩn để tính tốn là 100KN, cũng có nước qui định tải trọng
tính tốn là 130 KN . Anh và Mỹ thì dùng tải trọng tính tốn là 80 KN. Qui trình Trung Quốc
chọn nhóm trục đơn hai bánh 60 KN và 100 KN ( xe BZZ60 và BZZ100 ) làm tải trọng trục
tiêu chuẩn . Các tham số tính tốn có liên quan của tải trọng trục tiêu chuẩn của 2 loại xe mà
qui trình Trung Quốc sử dụng như bảng sau :
Bảng A.1
TẢI TRỌNG TRỤC TIÊU CHUẨN
Tải trọng trục P(KN)
Ap lực tiếp đất của vệt bánh xe (Mpa)
Đường kính đường tròn vệt bánh tương đương d,cm
Cự ly giữa hai tim vệt bánh xe

BZZ-100
100
0.7

21.30
1.5d

BZZ-60
60
0.5
19.50
1.5d

Với qui trình Việt Nam dùng xe tải trọng trục 100 KN và áp lực dưới bánh xe là 0.6
Mpa thì khi đó ta có bảng tham số tính tốn của tải trọng trục bánh xe như sau:
Bảng A.2
TẢI TRỌNG TRỤC TIÊU CHUẨN
Tải trọng trục P(KN)
Ap lực tiếp đất của vệt bánh xe (Mpa)
Đường kính đường trịn vệt bánh tương đương d, cm
Cự ly giữa hai tim vệt bánh xe

Xe
100
0.6
23.04
1.5d


10

I.2 Mơ hình bài tốn :
Trong thực tế ; kết cấu áo đường là hệ đàn hồi nhiều lớp , chịu tác dụng của tải trọng
bánh xe. Như trên đã phân tích tải trọng bánh xe có thể qui về tải trọng phân bố đều trên hình

trịn , hay phân bố đều trên hình elíp. Trên thực tế người ta thường sử dụng mơ hình bài tốn
hệ đàn hồi nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều trên hai hình trịn để tính tốn,
khoảng cách giữa hai mép tải trọng bằng bán kính của tải trọng phân bố (δ=d/2). Sau đây ta
dùng mơ hình này xét bài tốn của chúng ta như hình A.4.
δ

δ
p

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

p

h1 E1,μ 1
h2 E2,μ 2
hi

Ei,μ i

En,μ n

δ

Hình A.4 : Mơ hình bài tốn
Mỗi lớp vật liệu được đặc trưng bởi các thông số ; chiều dày của lớp hi, mô đun đàn hồi
của từng lớp Ei , hệ số nở hông μi, tất nhiên lớp dưới cùng cũng có En, μn và hn = ∞ (nền bán
không gian vô hạn đàn hồi ).
Các tham số liên quan đến tải trọng xem bảng A.2
Và liên kết giữa các lớp là trượt hay dính chặt .
I.3 Các thơng số đầu vào:
Như trên đã nói ; Mỗi lớp vật liệu được đặc trưng bởi các thông số Ei, μi,hi; Sau đây ta
xét từng thông số một để vận dụng nó vào bài tốn .
Mơ đun đàn hồi của các lớp kết cấu :
Tuỳ thuộc vào cấu tạo từng lớp kết cấu mà mô đun đàn hồi của lớp ấy khác nhau và
chịu ảnh hưởng của chế độ thuỷ nhiệt khác nhau.
Với các lớp mặt đường làm bằng BT átphan thì nhân tố ảnh hưởng lớn nhất đến E là
yếu tố nhiệt độ .
Với các lớp nền và móng đường khơng gia cố thì độ ẩm sẽ ảnh hưởng rất lớn đến E.
Theo AASHTO với lớp móng trên E phụ thuộc vào độ ẩm và trạng thái ứng suất θ(psi)


11

Bảng B.1 : Mơ đun đàn hồi của lớp móng trên
Bề dày lớp mặt
BT nhựa (inches)
<2
2-4

4-6
>6

Mô đun đàn hồi của nền móng phía dưới (psi)
3000
7500
15000
20
10
5
5

25
15
10
5

30
20
15
5

Theo kết quả thí nghiệm cũng đưa ra các quan hệ sau :
- Với vật liệu hat khô
:Ebs=8000.θ0.6 (psi)
- Với vật liệu hạt ẩm
: Ebs=4000.θ0.6 (psi)
- Với vật liệu hạt ướt
: Ebs=3200.θ0.6 (psi)
Còn với vật liệu làm lớp móng dưới :

Bảng B.2 Mơ đun đàn hồi của lớp móng dưới
Bề dày lớp mặt BT
nhựa(inhes)
<2
2-4
>4

θ (psi)
1.0
7.5
5.0

Esb cũng được xác định tương tự như Ebs với các giá trị θ như trên :
- Vật liệu ẩm ướt

:Esb=5400. θ0.6 (psi)

- Vật liệu ướt
: Esb=4600. θ0.6 (psi)
Với đất nền để xác định En người ta hay dùng phương pháp CBR với tương quan như
sau :
Hay

En=1500.CBR (psi)
En=10,342.CBR (Mpa)

Theo phương pháp SHELL (tác giả là Dorman và Edwards)
Quan hệ giữa môđun đàn hồi và CBR có một quan hệ theo đường cong :
CBR
4 – 40

>40
≤4
E
150.CBR
100.CBR
50.CBR
Theo kết quả nghiên cứu của bộ môn đường ơtơ và đường thành phố ĐH.Xây Dựng Hà
Nội thì quan hệ giữa trị số mơ đun đàn hồi thí nghiệm của đất Et n với độ ẩm tương đối W/Wnh
có thể biểu diễn bằng qui luật
Với đất á sét :

⎛ W
Etn = 24⎜⎜
⎝ Wnh

⎞
⎟⎟
⎠

−5


12

Với đất á cát :

⎛ W
Etn = 74⎜⎜
⎝ Wnh

⎞
⎟⎟
⎠

−3

Trong đó :W độ ẩm của đất (%) ; Wnh giới hạn nhão của đất (%).
Bảng B.3 : Trị số mô đun đàn hồi E(daN/cm2) của các loại đất tuỳ theo độ ẩm
và độ chặt [22TCN-211-93]
Độ ẩm tương đối a=W/Wnh
Loại đất
Độ chặt K
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0.950
0.95
440
340
270
220
190
Sét
0.90
420
320
250
200

160
0.95
470
370
300
250
220
A sét
0.90
440
340
270
230
200
0.95
520
430
360
320
280
260
A cát
0.90
490
400
330
290
250
240
Đất lẫn

0.95
650
570
500
460
420
sỏi sạn
0.90
620
540
480
440
400
Ba dan Tây
650-610
450-400 250-230
210-160
Nguyên
Bảng B.4 : Một số chỉ tiêu cơ học của đất các loại tuỳ thuộc trạng thái ẩm và chặt
(Kết quả nghiên cứu của đề tài KC10.05-1995)
K=0.95
K=0.98
Loại đất Chỉ tiêu
a=0.55
a=0.65
a=0.75
a=0.55
a=0.65
A=0.75
24-26

ϕ độ
24-26
23-25
25-27
25-27
24-26
300-285
C,daN/cm2
Sét
320-370
280-270 420-460 400-385 370-350
8-10
E,daN/cm2
10-16
7-8
14-18
12-15
10-12
CBR
26-28
25-26
25-26
25-26
25-26
26-28
ϕ độ
0.360.360.400.390.34C,daN/cm2 0.39-0.4
A sét
0.38
0.38

0.42
0.40
0.38
E,daN/cm2 360-390
350-385 345-355 425-370 400-420 400-390
12-18
CBR
10-12
8-10
15-19
13-18
10-15
28-30
28-30
27-29
29-31
29-31
28-30
ϕ độ
0.350.320.290.380.360.31C,daN/cm2
A cát
0.37
0.35
0.33
0.40
0.39
0.34
E,daN/cm2
370-460 365-420 340-195 340-195 410-430 415-420
CBR

14-19
12-14
16-20
13-20
14-28
12-18
29-32
29-32
29-33
29-33
28-33
29-32
ϕ độ
Sét , á
0.380.340.420.390.35C,daN/cm2 0.4-0.42
sét , lẫn
0.40
0.36
0.45
0.41
0.37
E,daN/cm2 380-460
sỏi sạn
370-450 360-440 465-480 440-470 410-445
16-20
CBR
13-18
17-22
17-22
15-19

13-19
30-32
30-32
30-32
30-33
30-32
30-32
ϕ độ
Cát đen
C,daN/cm2
hạt mịn
430
E,daN/cm2 370-440 380-430 380-460 476-500 465-480
,hạt nhỏ
12-18
10-13
9-11
15-18
13-17
11-14
CBR


13

I.4 Hệ số Pốt Xơng -μi :
Khi nghiên cứu vè vấn đề này ta thường gặp là : qui định của Liên Xô , Việt Nam,
Trung Quốc đều qui định chung chung rằng ; với các lớp kết cấu áo đường nói chung thì
μ=0.25 , cịn với nền thì lấu μ = 0.35.
Theo AASHTO giá trị μ này rất đa dạng và không giống nhau với từng vật liệu làm từ

các loại kết cấu và điều kiện thuỷ nhiệt khác nhau, cụ thể các giá trị của hệ số μ như sau :
Bảng 3.5 : Hệ số Pốt-xơng.
[GS.TS Dương Ngọc Hải ,TS Phạm Huy Khang-Thiết kế mặt đường ôtô theo
hướng dẫn AASHTO và ứng dụng ở Việt Nam ]
Vật liệu
Bê tơng xi măng
Bê tơng nhựa hỗn hợp
Móng gia cố xi măng
Móng vật liệu hạt
Lớp nền đất trên cùng

Phạm vi
0.10-0.2
0.15-0.45
0.15-0.3
0.3-0.4
0.3-0.5

Nhận xét
+ Phụ thuộc nhiệt độ lớp vật liệu
(0.15 ứng với 300F ; 0,45 ứng với
1200F)
+ 0.15 khi không bị nứt ; 0.3 khi nứt
nhiều .
+ Vât liệu nghiền : 0.3
Vật liệu khơng nghiền: 0.4
+ Đất khơng dính : 0.3
Đất dính dẻo: 0.50

Giá trị

điển
hình
0.15
0.35
0.2
0.35
0.4

I.5 Chiều dày lớp vật liệu hi:
Mỗi lớp vật liệu đều có một kích thước khác nhau , khi tính tốn ta có thể tuỳ chọn
nhưng cần phải tham khảo chiều dày hợp lý của lớp vật liệu trong thực tế sử dụng nó , chẳn
hạn như đảm bảo khả năng lu và điều kiện kinh tế .
I.6 Liên kết giữa các lớp kết cấu:
Theo PGS-TSKH Nguyễn Văn Liên –“Tấm và dầm nhiều lớp trên nền đàn hồi _ Bài
toán tiếp xúc“ ; khi kể tới lực ma sát giữa các lớp thì độ võng , nội lực trong các lớp giảm 1520%. Đây là một điều hết sức lưu ý khi tính tốn.
Với cấu tạo các lớp kết cấu , lớp liên kết giữa các lớp kết cấu khác nhau thì điều kiện
liên kết giữa các lớp cũng khác nhau.
Khi giải bài toán ta thường dùng hai loại liên kết giữa các lớp vât liệu là : dính chặt và
khơng dính – trượt .Tuỳ thuộc điều kiện thực tế mà ta chọn hình thức liên kết cho phù hợp .
Thông thường giữa các lớp kết cấu áo đường có tưới nhựa dính bám, hay giữa đá dăm
và cấp phối sỏi đo hay sét ta coi là : Dính chặt ( Colle ) . Còn giữa cấp phối sỏi đỏ với á cátcát hay giữa đá dăm và cát –á cát cũng được coi là : Khơng dính – trượt ( Glissante ) .


14

I.7 Cơ sở lý thuyết đàn hồi :
1. Bài toán bán không gian vô hạn đàn hồi :
Lời giải của Bussinét về bài tốn bán khơng gian vơ hạn đàn hồi chịu tác dụng của tải
trọng phân bố đều trên diện tích hình trịn .
Giả dụ trên bán khơng gian vơ hạn có lực phân bố đều trên một hình trịn bán kính a

với mật độ q (Hình 1.1). Ta tính chuyển vị w tại điểm M ở mặt tự do ở ngồi hìh trịn và cách
tâm hình trịn là r (Hình 2.6)
a

a
q

a
O

o

H

m
d

z

Hình C.1

K

n

M

1

s

d

Hình C .2

Tương ứng với một vi phân tải trọng trên mặt ds.ds tại điểm K chuyển vị dw :
1 − μ 2 qsdψds (1 − μ 2 )q
dw =
dψds
=
s
πE
πE
Và tương ứng với toàn bộ tải trọng trên hình trịn, chuyển vị w bằng :
(1 − μ 2 )q
(1.1)
w=
dψds
πE ∫∫
Vì s biến thiên trong đoạn dây cung mn, ta có :
mn = ∫ ds = 2 a 2 − r 2 sin 2 ψ
Do đó
4(1 − μ 2 )q ψ 1 2
a − r 2 sin 2 ψ dψ
(1.2)
∫
0
πE
1
Trong đó 1 và góc vẽ từ M có cạnh tiếp xúc với vịng trịn. Tích phân ở (2.3) là tích

2
w=

phân elliptic, việc tính có thể thực hiện bằng cách tra bảng đã tính sẵn hoặc một chương trình
phần mềm thích hợp.
Nếu ta sử dụng quan hệ
OH = r sin = a sin
(1.4)
Thì được
a cos θ
a cos θdθ
dψ =
=
(1.5)
r cosψ
a2
2
r 1 − 2 sin θ
r

Trong đó, khi 0≤ ≤ 1 giới hạn biến thiên của là :
π
0≤ ≤
2


15

Thay (1.4) và (1.5) vào (1.2), và sau một vài phép biến đổi đơn giản ta đi đến biểu
thức tính w qua phép tích phân elliptic theo biến .

⎡
⎢ π
π
4(1 − μ )qr ⎢ 2
a2
a2 2
dθ
2
θ
θ
1
sin
(
1
)
w=
d
−
−
−
2
2
∫
∫
⎢0
r
r 0
πE
a2
1 − 2 sin 2 θ

⎢
r
⎣
2

Chuyển vị ở mép vòng tròn đặt tải trọng (r= a) bằng :
4(1 − μ 2 )qa
( w) 2= a =
(1.6)
πE
Ta xét trường hợp điểm M ở phía trong vịng
trịn tải trọng : (Hình 1.3 ). Nếu ta nối OM và vẽ dây
cung mn tạo với OM góc thì vi phân tải trọng tại K
trên dây cung sẽ bằng qds.sd . Khi K chạy hết dây
a
cung mn với
mn = ∫ ds = 2a cosθ

Và và đi từ −

π

2

đến

m

ds

K
o
s

π
2

d

H

M

s r
n

thì tải trọng trải hết

hình trịn. Khi đó (2.6) thành
4(1 − μ 2 )q π2
w=
∫0 a cos θdψ
πE

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

Hình C.3

a2
Cũng với (1.3), ta rút θ = r 1 − 2 sin 2 ψ . Thay vào quan hệ ở trên ta lại được biểu
r

thức tính w qua phép tích phân elliptic sau đây :
4(1 − μ 2 )qa π2
a2
w=
1
−
sin 2 ψ dψ
(1.7)
2
∫
0
πE
r
Chuyển vị ở tâm vòng tròn (r=0) là lớn nhất và bằng
2(1 − μ 2 )qa
(1.8)
wmax =
E

I.8 Phép biến đổi tích phân và hàm Bessel:
Phép biến đổi tích phân:
Để giải bài tốn khơng gian hoặc bán khơng gian vơ hạn đàn hồi, một cơng cụ tốn
học thích hợp là dùng phép biến đổi tích phân. Phép biến đổi tích phân cho phép ta có thể giảm

số biến độc lập của phương trình vi phân đạo hàm riêng, điều này làm cho bài tốn dễ giải hơn.
Phép biến đổi tích phân có thể đưa một phương trình vi phân đạo hàm riêng thành một phương
trình vi phân thường, thậm chí có thể thành một phương trình đại số.
Trong phép biến đổi tích phân, từ một hàm f(x) nào đó, người ta lập hàm biến đổi tích
phân f* (ị) có quan hệ với hàm f(x) như sau :
∞

f * (ξ ) = ∫ f ( x) K (ξ , x)dx (1.9)
0


16

Trong đó K(ị,x) là một hàm cho trước của ị và x, gọi là nhân của phép biến đổi.
Thông thường, người ta giả thiết tích phân (3.3.9) là hội tụ. Nếu khoảng tích phân (0,∞) được
thay bằng khoảng hữu hạn (a, b) thì f*(ị) được gọi là hàm biến đổi hữu hạn của f(x).
Trong việc giải những bài toàn biên của Vật lý và kỹ thuật, người ta thường sử dụng
những phép biến đổi tích phân với nhân tương ứng dưới đây :
− ξx

Phép biến đổi Laplace có nhân e
Phép biến đổi Fourier có nhân sinịx hay cosịx,
Phép biến đổi Hanket có nhân Jδ (ξx)
Phép biến đổi Mellin có nhân x ξ −1
Trong các phép biến đổi tích phân trên đây, người ta có một định lý đảo tương đương
với việc tính tích phân tức là tính ngược lại f(x) khi biết f*(ị).
Khi sử dụng phép biến đổi tích phân thì trình tự giải một (hoặc một hệ) phương trình
vi phân đạo hàm riêng với các điều kiện biên đã cho là như sau :
1. Nhân phương trình vi phân và các điều kiện biên với nhân của phép biến đổi, rồi
tích phân từ 0 đến ∞

2. Giải những phương trình rút ra từ 1 để được hàm biến đổi của hàm cần tìm.
3. Sử dụng định lý đảo để rút ra được hàm cần tìm.
Bước cuối cùng là một phép tích phân nhiều khi lại là khó khăn cơ bản. Người ta đã
tính sẵn rất nhiều các tích phân có hàm biến đổi để khi cần thiết có thể tra tìm được.
Hiện nay, khi có những chương trình phần mềm mạnh để tính nhanh chóng các phép
tích phân xác định thì khó khăn nói trên khơng cịn nữa.
Hàm Bessel
Trong việc giải những bài toán của lý thuyết đàn hồi trong hệ tọa độ trụ ta thường đi
đến phương trình có dạng :
(1.10)
x2y’’ + xy’ + (x2 – í)y = 0
gọi là phương trình Bessel. Phương trình điều hịa với toán tử vi phân trong hệ tọa độ
trụ đối xứng trục là một ví dụ về phương trình Bessel (với v=0). Nghiệm của phương trình
Bessel có dạng chuổi, gọi là hàm Bessel.
Hàm Bessel loại 1, cấp (chỉ số) v được ký hiệu là Jx(v). Khi v=n (nguyên) thì
(−1) k ⎛ x ⎞
⎜ ⎟
k =0 k!( n + k )! ⎝ 2 ⎠
∞

J n ( x) = ∑

n−2 k

(1.11)

Khi n = 0, ta có
(−1) k ⎛ x ⎞
⎟
2 ⎜

k =0 ( k!) ⎝ 2 ⎠
∞

J 0 ( x) = ∑

2k

(1.12)

Dưới đây là các cơng thức tính đạo hàm của hàm Bessel :
m

J ( x)
⎛ d ⎞ J 0 ( x)
= (−1) m 0+0m+ m
⎜
⎟
0
x
⎝ xdx ⎠ x

(1.13)
m

[

]

⎛ d ⎞ v
v−m

⎜
⎟ x J v ( x) = x J v −m ( x)
⎝ xdx ⎠


17

Hai công thức trên đây cho ta thấy việc đạo hàm là sự tăng hoặc giảm cấp (chỉ số) của
hàm Bessel : nếu chia hàm Bessel cho xv thì việc lấy đạo hàm bậc m sẽ tăng cấp lên m lần,
ngược lại nếu nhân cho xv thì việc lấy đạo hàm bậc m sẽ giảm cấp m lần.
Từ quan hệ (7.45) ta thấy dễ dàng :
(1.14)
J’0(x) = - J1(x)
J0(x)

1

J1(x)
x

0

Hình C .4 là đồ thị của hàm Bessel J0(x) và J1(x)
Từ các quan hệ đạo hàm ở trên, ta có thể thấy một kết quả lý thú là mọi hàm Bessel
đều có thể tính bằng hai hàm có cấp đứng trước cấp của nó :
2n − 2
J n −1 − J n−2
(1.15)
x
2n

(1.16)
Hay J n−1 + J n+1 = J n
x
Jn =

Như vậy thì mọi hàm Bessel ở cấp nào cũng có thể viết theo J0 hay J1 :
2
⎫
J1 − J 0
⎪
x
⎪⎪
x
8
J 3 = ( 2 − 1) J 1 − J 0
⎬
x
4
⎪
48 8
24
J 4 = ( 3 − ) J 1 + (− 2 + 1) J 0 ⎪
⎪⎭
x
x
x

J2 =

(1.17)

………………..
Ta áp dụng phép biến đổi Hanket với hàm Bessel J0(ịx) để tìm hàm biến đổi tích
phân của biểu thức (hàm) sau đây :
d 2 f ( x) 1 df ( x)
+
dx 2
x dx

(1.18)

với các điều kiện biên :
Khi x = 0 và x = ∞ thì, xf(x) = 0, xf’(x) = 0
Hàm biến đổi tích phân của (3.3.16) có dạng :
2
∞ d f
∞ df
d 2 f 1 df
(
+
)
J
(
ξ
x
)
dx
=
x
J

(
ξ
x
)
dx
+
0
0
∫0 dx 2 x dx
∫0 dx 2
∫0 dx J 0 (ξx)dx
x

(1.19)

Bằng cách tích phân phân đoạn số hạng thứ nhất của (2.19) ta được

∫

∞

0

∞ df
∞ df
df
d2 f
xJ 0 (ξx) 2 dx = x J 0 (ξx) ∞0 − ∫
d [ xJ 0 (ξx)] = − ∫
d [ xJ 0 (ξx)]

0 dx
0 dx
dx
dx

Vì

d [ xJ 0 (ξx)] = J 0 (ξx)dx + xdJ 0 (ξx) = J 0 (ξx)dx − ξxJ1 (ξx)dx

do đó

∫

∞

0

xJ 0 (ξx)

∞
∞ df
d2 f
df
dx = ∫ ξx J 1 (ξx)dx − ∫
J 0 (ξx)dx
2
0
0 dx
dx
dx

hay sau khi lại áp dụng tích phân phân đoạn đối với số hạng thứ nhất của vế phải,


18

∫

∞

0

xJ 0 (ξx)

∞
∞ df
d2 f
dx = −ξ ∫ fd [ xJ1 (ξx)] − ∫
J 0 (ξx)dx
2
0
0 dx
dx

Đưa kết quả này vào (1.19), ta được :

∫

x

0

x(

∞
d 2 f 1 df
+
) J 0 (ξx)dx = −ξ ' ∫ fd [ xJ1 (ξx)]
2
0
dx
x dx

(1.20)

Từ công thức đạo hàm của (1.20) với m = 1 và v =1, ta có
d
[ xJ (ξx)] = J 0 (ξx)
ξxdx 1
Hay d [ xJ1 (ξx)] = ξxJ 0 (ξx)dx
−

(1.21)
Thay vào (2.13) ta được kết quả cuối cùng của phép biến đổi :

∫

∞

0

x(

d 2 f 1 df
+
) J 0 (ξx)dx = −ξ 2 f * (ξ )
dx 2 x dx

(1.22)

trong đó f’(ị) là hàm biến đổi của hàm f(x)
f * (ξ ) = ∫

∞

xf(a)J0(ξx)dx

0

(1.23)

Nghiệm của phương trình trùng điều hòa trong hệ tọa độ trụ đối xứng trục.
Để giải phương trình trùng điều hịa ∇ 2 ∇ 2ϕ = 0 , trước hết ta biến đổi phương trình
điều hịa :
⎛ ∂2 1 ∂
∂2 ⎞
⎜⎜ 2 +
⎟ϕ (r , z ) = 0
+
r ∂r ∂z 2 ⎟⎠

⎝ ∂r

bằng cách nhân hai vế với r J0 (mr)dr rồi tích phân từ 0 đến ∞. Ta được :
2
2
∞ ⎛ ∂ ϕ (r , z )
∞ ∂ ϕ (r , z )
1 ∂ϕ (r , z ) ⎞

∫

0

⎜⎜
⎝

+

∂r 2

r

∂r

⎟⎟rJ 0 (mr )dr + ∫
0
⎠

∂r 2

rJ 0 (mr )dr = 0

Áp dụng (2.22) và (2.23) ta được :
− m 2ϕ * (m, z ) +

∂2 *
ϕ (m, z ) = 0
∂z 2

⎛ ∂2
⎞
− m 2 ⎟⎟ ϕ * (m, z ) = 0
2
⎝ ∂z
⎠

Hay ⎜⎜

Tương tự, ta có kết quả của phép biến đổi đối với phương trình trùng điều hịa :
2

⎛ ∂2
⎞
⎜⎜ 2 − m 2 ⎟⎟ ϕ * (m, z ) = 0
⎝ ∂z
⎠
4
⎛∂
⎞
∂2

Hay ⎜⎜ 4 − 2m 2 2 + m 4 ⎟⎟ϕ * (m, z ) = 0
∂z
⎝ ∂z
⎠

Tìm nghiệm của ư*(m,z) dưới dạng tách biến :
ư* (m,z) = M* (m) Z*(z)
(1.24)
phương trình trên thành :
M*(m)[Z*IV – 2m2Z*n + m4Z*] = 0
Vì M*(m) ≠ 0, ta chỉ cịn phải giải phương trình vi phân thường :
Z*IV – 2m2Z*n + m4Z* = 0 (1.25)
Phương trình đặc trưng của (1.25) k4 – 2m2k2 + m4 = 0 cho 2 nghiệm +m và –m bội 2.
Do đó nghiệm của (1.25) có dạng :


19

Z* = Aemz + Bzemz + Ce-mz + Dze-mz
Vì vậy nghiệm (2.24) thành
ư*(m,z) = M*(m) (Aemz + Bzemz + Ce-mz + Dze-mz)
hoặc có thể viết dưới dạng sau đây :
ư*(m,z) = A(m)emz + B(m)zemz + C(m)e-mz + D(m)ze-mz
I.9 Với bài toán hệ nhiều lớp :
Xét bài toán hệ đàn hồi 2 lớp :
Hệ 2 lớp là trường hợp đơn giản nhất trong hệ đàn hồi nhiều lớp .Xem nền đường là
bán không gian vô hạn đàn hồi và kết cấu mặt đường nằm trên nó là một lớp đàn hồi khác với
nền đất , như vậy xem hệ nền mặt đường là một hệ hai lớp đàn hồi như thể hiện ở hìnhC.5

δ

δ
p

Lr(Wr)

h

E1,μ 1

r

E0,μ 0
Hình C.5 : Hệ hai lớp đàn hồi
Dưới đây trình dạng lời giải về ứng suất biến dạng và chuyển vị với ví dụ là chuyển vị
thẳng đứng Wr hoặc gọi là độ võng lr tại một điểm cách trục của tải trọng một khoảng cách r
dưới tác dụng của tải trọng thẳng đứng phân bố đều trên hình trịn .
I.10 Giả tiết tính tốn :
-Mỗi lớp đều do một loại vật liệu đồng nhất , đẳng hướng , đàn hồi và xem như
khơng có trọng lượng tạo ra thông số đàn hồi của vật liệu này được đặt trưng bởi mô
đun đàn hồi Ei và mi.
-Tầng dưới cùng là lớp bán không gian đàn hồi vô hạn và kéo dài vô hạn theo
phương ngang ;các lớp phía trên nó cũng kéo dài vơ hạn theo phương ngang nhưng
chiều dày nhất định hi.
-Tại mặt phân giới giữa các lớp , ứng suất và chuyển vị hoàn toàn liên tục (gọi
là hệ liên tục) ; hoặc chỉ có ứng suất và chuyển vị theo phương thẳng đứng là liên tục,
còn lực cản trở do ma sát giữa các lớp bằng không (trường hợp này gọi là hệ chuyển
dịch trượt tự do) ;
- Tại độ sâu vô hạn ở lớp dưới cùng , ứng suất và chuyển vị đều bằng không .
Vận dụng phương pháp cơ học đàn hồi ta tìm được lời giải như sau:

Wr =

(

2 pδ 1 − μ 2 0
E1

Trong đó :

) (Le
∫
∞

0

−ξh

) J (ξrξ).ΔJ (ξδ ) .dξ

− Me 2ξh − 4ξh .

0

1


20

Δ = 1 + 4ξ 2 .h 2 + ML − M .e 2ξ .h − L.e −2ξh
(3 − 4μ 0 ) − m(3 − 4μ1 )

L=
3 − 4μ 0 − m
m(3 − 4 μ1 ) + 1
M =
1− m
E 0 (1 + μ1 )
m=
E1 (1 + μ 0 )

J0 (ξr) hàm số Bessel loại 1 cấp 0
J1 (ξδ) hàm số Bessel loại 1 cấp 1
ξ là biến số
Eo,E1,μ0, μ1 lần lượt là mô đun đàn hồi và tỉ số Possion của lớp trên và lớp
dưới bán vô hạn .
Để tiện sử dụng , phương trình (*) được viết lại dưới dạng :
2 pδ
Wr =

E0

Trong đó W r =

Wr

(

)

2 1 − μ 2 0 E0
E1

∞

∫ (Le

−ξh

) J (ξrξ).ΔJ (ξδ ) .dξ

− Me 2ξh − 4ξh .

0

0

1

Bài toán này đã được Lục Đỉnh Trung và Trình Gia Câu ; ĐH. Đồng Tế - Trung Quốc
giải và lập thành bảng tra sẵn .
Như vậy theo lời giải này tác giả đã qui đổi hệ nhiều lớp về hệ hai lớp , trong đó các
lớp kết cấu áo đường được qui chung về một lớp là lớp trên, lớp còn lại là nền đường .
Khi qui đổi này đã khơng chính xác , chính vì vậy ta khơng thể áp dụng phương pháp
này để giải quyết bài toán mà các em đang nghiên cứu.
I.10.1

Xét bài tốn hệ đàn hồi 3 lớp :

Trong tính toán người ta cũng thường qui hệ nhiều lớp về dạng hệ 3 lớp : chẳng hạn
người ta có thể qui về hệ dạng 3 lớp gồm :
Lớp 1: Qui đổi tất cả các lớp kết cấu mặt đường về một lớp .

Lớp 2:Qui đổi tất cả các lớp kết cấu móng đường về một lớp .
Lớp 3 :Chính là lớp móng đường .
Với sơ đồ hệ 3 lớp ta có thể dùng sơ đồ hệ 3 lớp đàn hồi như thể hiện trên hình C.6 để
phân tích ứng suất , biến dạng và chuyển vị của chúng .