NHỮNG SAI lầm của học SINH KHI học CHƯƠNG ỨNG DỤNG đạo hàm vào KHẢO sát hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH
KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ.

Người thực hiện: Nguyễn Ngọc sơn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT ĐẶNG THAI MAI
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2013
1


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết
có trong chương trình. Là một cơng cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những
bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề
thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán
liên quan đến khảo sát hàm số.
Trong q trình giảng dạy năm học 2011-2012 tơi nhận thấy các em học
sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà
các em sẽ khơng tự mình khắc phục được nếu khơng có sự hướng dẫn của người

thầy.
Chẳng hạn, với bài tập
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đạt cực đại tại x = 1 .
1
f ( x ) = x 3 − mx 2 + ( m 2 − m + 1) x + 1
3

Đa số các em khi giải thường mắc sai lầm sau:
+) Tập xác định: D = R
2
2
+) Ta có: f ′ ( x ) = x − 2mx + m − m + 1 và f ′′ ( x ) = 2 x − 2m
 f ′ ( 1) = 0

+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 1 là:  f ′′ 1 < 0 ⇔
 ( )
 m 2 − 3m + 2 = 0
⇒m=2

 2 − 2m < 0

+) Vậy để hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì m = 2 .
 f ′ ( 1) = 0

Sai lầm ở đây là : nếu  f ′′ 1 < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 . Điều
 ( )
ngược lại nói chung khơng đúng. Vì vậy kết luận trên chưa hẳn đã chính xác.
Đây chỉ là một sai lầm trong số rất nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc
phải, việc khắc phục những sai lầm này trong kỳ ôn thi tốt nghiệp năm học
2011-2012 diễn ra mất rất nhiều thời gian. Sang năm học 2012-2013 này, nhằm

giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo
hàm để giải các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số, tơi đã đầu tư thời gian
để phân tích kỹ những sai lầm mà học sinh thường gặp và trong kỳ ôn thi tốt
nghiệp vừa qua những vấn đề tồn tại của năm học trước được khắc phục một
cách có hiệu quả. Vì vậy tơi viết sáng kiến kinh nghiệm " NHỮNG SAI LẦM CỦA
HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ "

2


với hy vọng giúp các em học sinh học tập tốt hơn và các giáo viên dạy mơn tốn
có một kinh nghiệm bổ ích.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
1. Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học
sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
2. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải tốn. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Về nhiệm vụ:
Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc
ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài tốn liên quan để có
được bài giải tốn hồn chỉnh và chính xác.
2. Về phương pháp:
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 .

3


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến.
3. Cơng thức tính đạo hàm.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số .
5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số.
6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D.
7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x).
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Trong thực tế, khi học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
thường gặp phải những khó khăn sau:
1. Khơng nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một
khoảng,
khơng hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
2. Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
3. Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
4. Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
hàm số trên một miền D.
5. Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm
thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên

cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm
được
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa,
định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống
và khác nhau giữa chúng.
4


- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử
kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực
tiếp tới bài giảng.
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn
điệu của hàm số.
Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x ) =

Ví dụ minh họa 1:

x −1
x +1

Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D = ¡ \ { 1}
2

+) Ta có: f ′ ( x ) = x + 1 2 > 0, ∀x ∈ D
(
)
+) Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta khơng chú ý đến kết luận của bài
tốn. Chú ý rằng: nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên tập D thì với mọi
x1 , x2 ∈ D ta có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

5


Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = −2 ∈ D và x2 = 2 ∈ D thì x1 < x2
nhưng f ( x1 ) = 3 và f ( x2 ) =

1
3

Lời giải đúng:
Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng
biến trên từng khoảng ( −∞;1) và ( 1; +∞ ) .
 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc
xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x ) = x − 1 + 4 − x 2

Ví dụ minh họa 2:

Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D = [ −2; 2]
+) Ta có: f ′ ( x ) = 1 −

x
4 − x2

Cho f ′ ( x ) = 0 ⇔ 1 −

x
4− x

2

= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 4 − x2 = x2 ⇒ x = ± 2

+) Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng
(- 2; - 2) và ( 2; 2) .
Phân tích:

Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn [ −2; 2]
giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây - 2 không phải là
điểm tới hạn của hàm số.
Mặt khác , đạo hàm không xác định tại x = ±2
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: D = [ −2; 2]
+) Ta có: f ′ ( x ) = 1 −

x
4 − x2

Đạo hàm không xác định tại x = ±2

6


Cho f ′ ( x ) = 0 ⇔ 1 −

 x≥0
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 
⇒x= 2
2
2
4 − x2
4 − x = x
x

+) Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng  −2; 2 ) và nghịch biến trên nửa khoảng

(

2; 2 

2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải sai lầm là khơng nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ
 π
bản). Chứng minh rằng: tan x > x , với x ∈  0; ÷


2

Một số học sinh trình bày như sau:
π



+) Xét hàm số f ( x ) = tan x − x , với x ∈  0; ÷.
 2
1
 π
− 1 = tan 2 x > 0, ∀x ∈  0; ÷, suy ra hàm số f ( x ) đồng biến
2
cos x
 2
 π

trên khoảng  0; ÷.
 2

+) Ta có: f ′ ( x ) =

 π
+) Từ x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( 0 ) hay tan x − x > 0 ⇔ tan x > x, ∀x ∈  0; ÷


2

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau

 π
khi kết luận f ( x ) đồng biến trên khoảng  0; ÷ thì vì sao từ x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( 0 ) ?
2




 π
Sai lầm ở đây là 0 ∉  0; ÷.


2

Nhớ rằng: nếu f ( x ) đồng biến trên đoạn [ a; b] (tức là f ( x ) liên tục trên [ a; b] và
f ′ ( x ) >, ∀x ∈ ( a; b ) ) thì ∀x1 , x2 ∈ [ a; b ] : x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
Lời giải đúng là:
7

π



+) Xét hàm số f ( x ) = tan x − x , với x ∈ 0; ÷.
 2

+) Ta có: f ′ ( x ) =

1
 π
− 1 = tan 2 x ≥ 0, ∀x ∈ 0; ÷ , dấu “=” chỉ sảy ra tại x = 0
2
cos x
 2

 π
suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng 0; ÷ .
2




 π
+) Khi đó ∀x ∈  0; ÷ thì x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( 0 ) hay tan x − x > 0 ⇔ tan x > x


2

 Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm
đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4:

1
e

Chứng minh rằng nếu với ∀x ∈ ¡ , x > −1 thì x.e x > − .

Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số f ( x ) = x và g ( x ) = e là các hàm đồng biến trên ¡ . Suy ra hàm
x
số h ( x ) = xe là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡ . Vì vậy ,
x

1
e

từ x > −1 ⇒ h ( x ) > h ( −1) hay xe x > − .
Phân tích:
Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng
biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!).
Lời giải đúng là:
x
+) Xét hàm số f ( x ) = xe trên [ −1; +∞ )
x
x
x
+) Ta có f ′ ( x ) = e + xe = ( 1 + x ) e ≥ 0, ∀x ∈ [ −1; +∞ ) , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = −1 .

Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ −1; +∞ ) .

1
e

+) Từ x > −1 ⇒ f ( x ) > f ( −1) hay x.e x > − .
3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
 Sai lầm khi vận dụng các cơng thức tính đạo hàm.
Ví dụ minh họa 5:

Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1) .
x

Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có f ′ ( x ) = x ( 2 x + 1) x −1 ( 2 x + 1) ′ = 2 x ( 2 x + 1) x −1 .
Phân tích:
Lời giải trên đã vận dụng cơng thức ( uα ) ′ = α uα −1u′ . Vận dụng như vậy là sai, vì
8


công thức này chỉ áp dụng cho số mũ α là một hằng số.
Lời giải đúng là:
1

x > −
2 khi đó f ( x ) > 0
+) Điều kiện: 
 x ≠ 0

+) Ta có f ( x ) = ( 2 x + 1) ⇔ ln f ( x ) = x ln ( 2 x + 1)

x

f ′( x)

2x

′
′
+) Do đó ln f ( x )  =  x ln ( 2 x + 1)  ⇔ f x = ln ( 2 x + 1) + 2 x + 1
( )
⇔ f ′ ( x ) = ( 2 x + 1) ln ( 2 x + 1) + 2 x ( 2 x + 1)
x

x −1

 Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức

( u ) ′ = αu
α

u′ , α ∈ ¡ , nhưng quên rằng nếu như α khơng ngun thì cơng thức

α −1

này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số y = f ( x ) = 3 x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình
tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x = −1 .
Một số học sinh trình bày như sau:
2

+) Với x = −1 thì y = f ( −1) = 3 ( −1) = 1
2

2
3

+) Ta có f ( x ) = 3 x 2 = x 3 ⇒ f ′ ( x ) = x

−

1
3

1

2
2
2
+) Hệ số góc của tiếp tuyến là k = f ′ ( −1) = ( −1) − 3 = ( −1) 2  6 =
1

−

3

3

3

2

3

2
3

5
3

+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 1 = ( x + 1) hay y = x + .
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số
2

1

mũ khơng ngun thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết f ( x ) = 3 x 2 = x 3 và ( −1) − 3 là
không đúng (!).
Lời giải đúng là:
2
+) Với x = −1 thì y = f ( −1) = 3 ( −1) = 1
3 2
2
+) Ta có f ( x ) = x ⇔  f ( x )  = x ⇔ 3  f ( x )  f ′ ( x ) = 2 x ⇔ f ′ ( x ) =
3

2

+) Hệ số góc của tiếp tuyến là k = f ′ ( −1) =

9

2
2
=−
3
3 −1
3

2x
3 3 x4

=

2
33 x


2
3

2
3

1
3

+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 1 = − ( x + 1) hay y = − x + .
4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó
là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:

 f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) .
 f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) .
Điều ngược lại nói chung là khơng đúng (!).
Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
f ( x ) = x 3 − mx 2 + x − 1 đồng biến trên ¡ .
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D = ¡ .
2
+) Ta có : f ′ ( x ) = 3x − 2mx + 1 .

a >0



3>0

+) Hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ′
hay  2
∆ < 0
m − 3 < 0
⇒− 33
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số f ( x ) = x đồng biến trên ¡ , nhưng
f ′ ( x ) = 3 x 2 ≥ 0, ∀x ∈ ¡ , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0 .

Nhớ rằng: nếu hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) ,
f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( a; b )
thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) .
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: D = ¡ .

2
+) Ta có : f ′ ( x ) = 3x − 2mx + 1 .

a >0



3>0

+) Hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ′
hay  2
∆ ≤ 0
m − 3 ≤ 0
⇒− 3≤m≤ 3

 Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng qn
rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ khơng phải là điều kiện cần.
Quy tắc:

10


 f ′ ( x0 ) = 0

⇒ x0 là điểm cực tiểu
  ′′
 f ( x0 ) > 0
 f ′ ( x0 ) = 0

⇒ x0 là điểm cực đại

  ′′
 f ( x0 ) < 0

Điều ngược lại nói chung là khơng đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y = f ( x ) = mx . Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?
4

Một số học sinh trình bày như sau:
3
2
+) Ta có: f ′ ( x ) = 4mx và f ′′ ( x ) = 12mx

 f ′ ( 0 ) = 0

 4m.0 = 0

+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là:  f ′′ 0 < 0 ⇔ 
hệ vô
 ( )
12m.0 < 0
nghiệm
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
Phân tích:
4
Chẳng hạn, với m = −1 , hàm số có dạng y = f ( x ) = − x .
3
Ta có: y′ = f ′ ( x ) = −4 x = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
 f ′ ( x0 ) = 0
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn  f ′′ x < 0 ⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số, còn
 ( 0 )

điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể
f ′′ ( x0 ) = 0 Lí do là điều kiện f ′′ ( x0 ) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số
g ( x ) = f ′ ( x ) nghịch biến trong lân cận ( x0 − h; x0 + h ) , h > 0 , khi đó:
 f ′ ( x ) > f ′ ( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 − h; x0 )
⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số.

 f ′ ( x ) < f ′ ( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 ; x0 + h )

11


Lời giải đúng là:
3
+) Ta có: f ′ ( x ) = 4mx

+) Nếu m = 0 thì f ′ ( x ) = 0 . Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng y = f ( x ) = 0 nên
không cực trị.
+) Nếu m ≠ 0 thì f ′ ( x ) = 4mx = 0 ⇔ x = 0
 Với m > 0 ta có bảng biến thiên:
3

 Với m < 0 ta có bảng biến thiên:

+) Vậy với m < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0
4
3
Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f ( x ) = x + mx + 1 . Tìm tất cả các giá trị của

tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D = ¡
3
2
2
+) Ta có: f ′ ( x ) = 4 x + 3mx và f ′ ( x ) = 12 x + 6mx

 f ′ ( 0 ) = 0
 4.03 + 3m.02 = 0
+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:  f ′′ 0 > 0 ⇔  2
hệ
 ( )
12.0 + 6m.0 > 0

trên vô nghiệm m.
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
Phân tích:
4
Chẳng hạn , với m = 0 , hàm số có dạng y = f ( x ) = x + 1

Ta có f ′ ( x ) = 4 x = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên:
3

12


Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: D = ¡
3
2
2
+) Ta có: f ′ ( x ) = 4 x + 3mx = x ( 4 x + 3m )

 x=0
+) Cho f ′ ( x ) = 0 ⇔ x ( 4 x + 3m ) = 0 ⇔ 
3m trong đó x = 0 là nghiệm bội bậc
x=−

4
2

chẵn
 Nếu m = 0 thì x = 0 trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến
thiên:

 Với m < 0 thì 0 < −

3m
nên ta có bảng biến thiên:
4

 Với m > 0 thì 0 > −

3m
nên ta có bảng biến thiên:
4

13


+) Vậy với m = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
5. Sai lầm khi giải bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
 Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất
(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ minh họa 10:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x ) = cos 2 x +

1
1 

+ 2  cos x +
÷− 1 .
2
cos x
cos x 


Một số học sinh trình bày như sau:
+) Đặt cos x +

1
1
= t ⇒ cos 2 x +
= t2 − 2 .
2
cos x
cos x

+) Ta được hàm số: g ( t ) = t 2 + 2t − 3 = ( t + 1) − 4 ≥ −4, ∀t ∈ ¡
2

+) Vậy min g ( t ) = −4 khi t = −1 hay min f ( x ) = −4 khi cos x +

1
= −1
cos x

Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài tốn khơng tương đương. Giá trị nhỏ
nhất của hàm f ( x ) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g ( t ) , ∀t ∈ ¡ .
1
= −1 (!)
Có thể thấy ngay khi t = −1 thì khơng tồn tại giá trị của x để cos x +
cos x

 f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D


f ( x) ⇔ 
Nhớ rằng, số m = min
D

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m

Lời giải đúng là:
+) Đặt cos x +

1
π

= t với x ∈ D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
cos x
2


+) Ta có t = cos x +

1
cos 2 x + 1
1
=
= cos x +
≥ 2.
cos x
cos x
cos x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cos x = 1

+) Mặt khác  cos x +


2

1 
1
2
2
= t2 − 2
÷ = t ⇒ cos x +
2
cos x 
cos x

2
+) Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( t ) = t + 2t − 3 với t ≥ 2

14


+) Ta có g ′ ( t ) = 2t + 2 = 0 ⇔ t = −1
+) Bảng biến thiên:

+) Vậy min g ( t ) = −3 khi t = −2 hay min f ( x ) = −3 khi cos x +

1
= −2
cos x

⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢

6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ví dụ minh họa 11:

3
2
Cho hàm số y = f ( x ) = − x + 3x , có đồ thị (C).

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A ( −1; 4 )
Một số học sinh trình bày như sau:
2
+) Ta có: f ′ ( x ) = −3x + 6 x .
+) Vì điểm A ( −1; 4 ) ∈ ( C ) nên suy ra phương
trình tiếp tuyến là:
y − 4 = f ′ ( −1) ( x + 1) hay y = −9 x − 5 .

Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến y = −9 x − 5 là
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể
có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
+) Phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( −1; 4 ) và có hệ số góc k là:
y = k ( x + 1) + 4

+) Điều kiện để đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có
nghiệm:
− x 3 + 3x 2 = k ( x + 1) + 4

−3 x 2 + 6 x = k


15


x = 2
 x = −1
và 
k = 0
 k = −9
+) Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4 và y = −9 x − 5

+) Giải hệ bằng phương pháp thế ta được : 

 Trên đây là một số ví dụ minh họa cho sáng kiến của mình. Cịn rất nhiều bài
tập nữa mà qua đó học sinh luyện tập để khắc phục những sai lầm đáng tiếc,
nhưng trong khuôn khổ của sáng kiến này tơi khơng chỉ hết ra được. Vì vậy,
phần dưới này tôi đưa ra một số dạng bài tập để các em học sinh có thể luyện
tập và giáo viên có thể làm tài liệu dạy học…
7. Bài tập tương tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. y =

2x + 3
1− x

b. y =

x2 + x + 1
x +1

c. y = cos x − sin x

Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: y =

x 2 + 2mx − 3
x−m

Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. y = ( 7 − x ) 3 x + 5

b. y = cos x − sin x

c. y = sin 2 x

Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x = 1 :
2

y = x 3 − mx 2 +  m − ÷x + 5
3


Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau luôn đồng biến trên ¡ :
y=

m −1 3
x + mx 2 + ( 3m − 2 ) x
3

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
3

2
a. y = x + 3x − 72 x + 90

trên đoạn [ −5;5]

b. y = 2sin x + sin 2 x


trên đoạn 0;

3π 
 2 

Bài tập 7: Cho hàm số y = ( x + 1) ( 2 − x ) , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M ( 2;0 ) .
Bài tập 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2

(

)

x2
x
−x
2
a. e + cos x ≥ 2 + x − , ∀x ∈ ¡
b. e − e ≥ 2 ln x + 1 + x , ∀x ≥ 0
2
1

1
Bài tập 9: Cho hàm số y = x 3 − ( m − 1) x 2 + ( m − 3) x + 4
(m là tham số). Xác
3
2
9
định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −3x + tại 3 điểm phân biệt.
2
x

16


Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình:
x 2 − 2 x = m ( x − 1) có 4 nghiệm thực phân biệt.
III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết
quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi
khảo sát tình hình giải bài tập toán ở 2 lớp 12C1, 12C2 năm học 2011-2012 và ở
2 lớp 12C3, 12C9 năm học 2012-2013 như sau:

1. Các bài tập khảo sát:
Bài số 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − 24 ) x + 4

đạt cực tiểu tại x = 2 .

Bài số 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y =

x+2

.
1− 2x

2. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2011-2012 ở hai lớp
12C1 và 12C2
Lớp 12 C1 (sĩ số 50)
Mức độ
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
06
12 %
Giải sai phương pháp
32
64 %
Giải đúng phương pháp
12
24 %
Lớp 12 C2 (sĩ số 46)
Mức độ
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
13
28 %
Giải sai phương pháp
29
63 %
Giải đúng phương pháp
04

9%
3. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2012-2013 ở hai
lớp 12C3 và 12C9
Lớp 12 C3 (sĩ số 50)
Mức độ
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
2
4%
Giải sai phương pháp
5
10 %
Giải đúng phương pháp
43
86 %
Lớp 12 C9 (sĩ số 46)
Mức độ
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
3
7%
Giải sai phương pháp
5
11 %
17


Giải đúng phương pháp

38
82 %
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của
học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp
phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong
thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong
nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được
trong quá trình thực nghiệm.

PHẦN 3: KẾT LUẬN
Polya đã viết "con người phải biết học những sai lầm và những thiếu sót
của mình". Thơng qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời
uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng
thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư
duy.
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học
sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và
các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái
nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời,
qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp
giải tốn cho riêng mình ; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí
thuyết đã được trang bị để làm tốn. Từ đó thấy được sự lơgic của tốn học nói
chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là
một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán ; hơn nữa, những bài
tốn được giải bằng cơng cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp
hơn.
Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối
khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường
quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa,

định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách
giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và
thậm chí mang tính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận
thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học).
Ở cấp độ trường trung học phổ thơng Đặng Thai Mai, đề tài có thể áp dụng
để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải tốn, góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của
các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được
học, giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc
phải những sai lầm thường gặp.
Trong khuôn khổ của bài viết này, tơi khơng có tham vọng sẽ phân tích
được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ khơng tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học
18


trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, của Hội đồng khoa học Sở Giáo
dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày tháng năm 2013
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Về nhiệm vụ
2. Về phương pháp
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

01
02
02
02
02

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
5. Sai lầm khi giải bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số
6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
7. Bài tập tương tự
III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.

1. Các bài tập khảo sát:
2. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2011-2012 ở
hai lớp 12C1 và 12C2
19

03
03

03
04
04
04
06
08
09
13
14
15
16
17


3. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2012-2013 ở
hai lớp 12C3 và 12C9

PHẦN 3: KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo:
1. Sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp 12 cơ bản và nâng cao.
2. Tuyển tập bộ đề thi đại học.

20

17
18