Cac toan tu trong co hoc luong tu

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Các toán tử trong cơ học lượng tử

Lý Lê

Ngày 20 tháng 7 năm 2009

Tóm tắt nội dung

Hóa học lượng tử được phát triển từ cơ học lượng tử. Trong cơ
học lượng tử, có thể nói, nhìn chổ nào chúng ta cũng thấytốn tử vì
mỗi thuộc tính vật lí được đặc trưng bởi một tốn tử. Vì vậy, hiểu rõ
khái niệm tốn tử cũng như những tính chất của toán tử là một trong
những yêu cầu cơ bản nhất đối người học lượng tử.

1

Các khái niệm

1.1 Toán tử

Chúng ta bắt đầu bằng việc viết lại phương trình Schrăodinger khụng ph
thuc thi gian cho h mt ht trong không gian một chiều

−~

2

2m

d2ψ(x)

dx2 +V(x)ψ(x) =Eψ(x) (1)

hay

h

− ~

2

2m
d2

dx2 +V(x)

i

ψ(x) =Eψ(x) (2)

Biểu thức trong dấu móc vng h− ~

2

2m
d2

dx2 +V(x)

i

được gọi là tốn tử

(operator). Nó tác dụng lên hàmψ(x) cho ta hàmEψ(x).

Như vậy, toán tử là một qui luật mà nhờ đó từ một hàm số cho trước ta
có thể tìm được một hàm số mới.

b

Af(x) =g(x) (3)
Trong đó, Abđược gọi là tốn tử. Hai hàm sốf(x)và g(x)khơng nhất thiết

phải khác nhau, chúng có thể giống nhau.

Ví dụ: GọiDb là tốn tử đạo hàm bậc nhất theox

b
D= d

dx hay Dfb (x) =
d

dxf(x) =f

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nếuf(x) =x2+ 3ex, thì ta có

b

Df(x) =f0(x) = 2x+ 3ex

Tương tự, nếub3 là toán tử nhân một hàm số với 3, thì ta có
b

3f(x) = 3(x2+ 3ex) = 3x2+ 9ex
1.2 Tổng của hai toán tử

Tổng của hai toán tử Abvà Bb được xác định như sau

(Ab+B)fb (x) =Afb (x) +Bfb (x) (4)
Ví dụ: Tốn tửCb được xác định bởi

b

C=x+ d
dx
TìmCfb (x)nếu f(x) =asin(bx).

Ta có
(x+ d

dx)asin(bx) =xasin(bx) +
d

dx[asin(bx)] =axsin(bx) +abcos(bx)
1.3 Tích của hai tốn tử

Tích của hai toán tửAbvàBb được xác định như sau
b

ABfb (x) =A[bBfb (x)] (5)
Ví dụ: ChoCb =x

d

dx. TìmCfb (x)nếu f(x) = (x

2_{+ 3e}x₎_.
Ta có

x d
dx(x

2_{+ 3e}x_{) =}_x[ d
dx(x

2_{+ 3e}x_{)] =}_x(2x_{+ 3e}x_{) = 2x}2_{+ 3xe}x ₍₆₎
Thơng thường, AbBb6=BbAb. Ví dụ, xét hai tốn tử Db =

d

dx vàxb=x. Ta

có

b

D_bxf(x) =D[xfb (x)] =f(x) +xf0(x) (7)

Trong khi đó

b

xDfb (x) =x[_bDfb (x)] =xf0(x) (8)

Chúng ta nói hai tốn tử bằng nhau, Ab= Bb, nếu Afb (x) = Bfb (x) với

mọi hàmf(x). Ví dụ, từ phương trình (7), ta có

b

Dxfb (x) =f(x) +x
d

dxf(x) = (b1 +bxD)f(x)b (9)

Như vậy

b

Dxb= (b1 +bxD) = (1 +b bxD)b (10)

Toán tửb1 (nhân với 1) được gọi là toán tử đơn vị. Chúng ta thường khơng

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1.4 Tốn tử tuyến tính

Tốn tửAbđược gọi làtốn tử tuyến tính nếu nó thỏa các điều kiện sau

b

A[f(x) +g(x)] =Afb (x) +Ag(x)b (11)
b

Acf(x) =cAfb (x) (12)

trong đó f và g là những hàm bất kì, cịnc là hằng số. Ví dụ, tốn tử đạo
hàm là tốn tử tuyến tính nhưng tốn tử căn bậc hai thì khơng tuyến tính.
Thật vậy, ta có

b

D[f(x) +g(x)] =Dfb (x) +Dfb (x) =f0(x) +g0(x)
b

D[cf(x)] =cDfb (x) =cf0(x)

Trong khi đó

p

f(x) +g(x)6=pf(x) +pg(x)
NếuA,b Bb và Cb là những tốn tử tuyến tính, thì

(Ab+Bb)Cb=AbCb+BbCb (13)

Để chứng minh (13), ta phải chứng minh (Ab+B)b Cb và AbCb+BbCb cho

cùng một kết quả khi được áp dụng lên một hàmf(x) tùy ý. Nghĩa là
[(Ab+B)b C]fb (x) = (AbCb+BbC)f(x)b

Ta xét vế phải

[(Ab+B)b C]fb (x) = (Ab+B)(b Cfb (x)) = (Ab+B)g(x) =b Ag(x) +b Bg(x)b

Tiếp theo, ta xét vế trái

(AbC+b BbC)fb (x) =AbCfb (x)+BbCfb (x) =A(b Cfb (x))+B(b Cf(x)) =b Ag(x)+b Bg(x)b

Như vậy

[(Ab+B)b C]fb (x) = (AbCb+BbC)f(x) =b Ag(x) +b Bg(x)b

Tương tự, ta có

b

A(Bb+C) =b AbBb+AbCb (14)
Ví dụ: Tính(Db+x)_b 2

Cách 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Cách 2

(Db+x)_b 2f = (Db+_bx)[(Db+x)f_b = (Db +x)(f_b 0+xf)

= D(fb 0+xf) +x(f_b 0+xf) =Dfb 0+D(xfb ) +xf0+x2f
= Db2f+xDfb +fDxb +xf0+x2f

= Db2f+xDfb +f +xDfb +x2f
= (Db2+ 2

b

xDb+x2+ 1)f

⇒(Db+x)_b 2 =Db2+ 2x_bDb+x2+ 1

2

Tính chất của tốn tử

2.1 Phép nhân các toán tử

Phép nhân các toán tử tuân theo luật kết hợp

b

A(BbC) = (b AbBb)Cb (15)
Ví dụ: Đặt Ab=Db;Bb=_bx;Cb=b3, ta có

b

ABfb =Db_bxf = (1 +x_bD)fb

Vậy

(AbB)b Cfb = (1 +
b

xD)3fb = 3f+ 3xf0= (3 + 3xD)fb

suy ra

(AbB)b Cb= 3 + 3xDb

Mặt khác, ta có

(BbC)fb = 3_bxf = 3xf

Vậy

b

A(BbC)fb =D(3xfb ) = 3f + 3xf0= (3 + 3xD)fb

hay

b

A(BbC) = 3 + 3xb Db = (AbB)b Cb

vậy phù hợp với (15).

2.2 Các toán tử giao hoán

Hai toán tửAbvàBb được gọi làgiao hoán (commute) với nhau nếu
b

ABb=BbAb hay AbBb−BbAb= 0

Hiệu AbBb −BbAb được kí hiệu là [A,b B]b và được gọi là phép giao hốn

(commutator). NếuAbvàBb khơng giao hốn với nhau thìAbBb =−BbAb. Thật

vậy, ta có

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 1: Tính[b3,D]b . Ta có

[3,b D]fb =b3Dfb −Dbb3f = 3Dfb −3Dfb = 0

Như vậy,b3 vàDb là hai tốn tử giao hốn.
Ví dụ 2: Tính[D,b x_b2];[_bx2,D]b

[D,b _bx2]f =Dbx_b2f−x_b2Dfb = 2xf +x2Dfb −x2Dfb = 2xf

⇒ [D,b x_b2] = 2x

[x_b2,D]fb =x_b2Dfb −Dbx_b2f =x2Dfb −2xf−x2Dfb =−2xf

⇒ [_bx2,D] =b −2x

Như vậy, _bx2 và Db khơng giao hốn với nhau. Ta thấy [D,b x_b2] = −[_bx2,D]b ,

phù hợp với (16).

NếuA,b Bb là những tốn tử tuyến tính và k là hằng số, ta có

[A, kb B] = [kb A,b Bb] =k[A,b B]b (17)

Thật vậy

[A, kb B] =b A(kb Bb)−kBbAb=kAbBb−kBbAb (18)

Do đó

[A, kb Bb] =kAbBb−kBbAb=k(AbBb−BbA) =b k[A,b B]b (19)

Tương tự

[kA,b B] =b kAbBb−B(kb A) =b kAbBb−kBbAb=k(AbBb−BbA) =b k[A,b B]b (20)

Từ (19) và (20), ta có

[A, kb B] = [kb A,b Bb] =k[A,b B]b (21)
2.3 Một số phép giao hoán quan trọng

2.3.1 Công thức 1:

[A,b BbC] = [b A,b Bb]Cb+B[b A,b C]b (22)
Chứng minh:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2.3.2 Công thức 2:

[AbB,b C] =b A[bB,b C] + [b A,b C]b Bb (23)
Chứng minh:

Ta có thể chứng minh tương tự như trên hoặc theo cách sau. Ta có
[AbB,b C]b = (AbB)b Cb−C(b AbB)b

= (AbB)b Cb−C(b AbB) + (b AbC)b Bb−A(b CbB)b
= (AbB)b Cb−A(b CbB) + (b AbC)b Bb−C(b AbB)b
= A(b BbC)b −A(b CbB) + (b AbC)b Bb−(CbA)bBb
= A(b BbCb−CbB) + (b AbCb−CbA)bBb

= A[bB,b C] + [b A,b C]bBb

Trong trường hợp, Bb =Ab=Cb, ta có

[Ab2,A] = [b AbA,b A] =b A[bA,b A] + [b A,b A]bAb=Ab×0 + 0×Ab= 0 (24)

Tương tự

[Ab3,A] = [b AbAb2,A] =b A[bAb2,A] + [b A,b A]bAb2 =Ab2×0 + 0×Ab= 0 (25)

2.3.3 Cơng thức 3:

Từ (24) và (25), ta có

[Abn,A] = 0b (26)

Tương tự

[A,b Abn] = 0 (27)
2.3.4 Công thức 4:

[A,b Bb+C] = [b A,b Bb] + [A,b C]b (28)
Chứng minh:

[A,b Bb+C]b = A(b Bb+C)b −(Bb+C)b Ab
= AbBb+AbCb−BbAb−CbAb
= (AbBb−BbA) + (b AbCb−CbA)b
= [A,b B] + [b A,b C]b

Tương tự, ta có

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

3

Đặc hàm và đặc trị

Giả sử tác dụng lên hàm f(x) bởi một toán tử Ab, ta thu được kết quả là

chính hàm f(x) đó nhân với một hằng sốk. Khi đó, ta nói rằng hàm f(x)
là đặc hàm (eigenfunction) của toán tử Ab, vớiđặc trị (eigenvalue) là k.

Phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa tốn tửAb, đặc hàmf(x)và đặc trị
kđược gọi làphương trình đặc trị (eigenvalue equation)

b

Af(x) =kf(x) (30)

Ví dụ 1

b

De2x = d
dxe

2x _{= 2e}2x
ta nóie2x _{là đặc hàm của toán tử}

b

Dvới đặc trị là 2. Phương trình đặc trị

b

De2x= 2e2x

Ví dụ 2
b

D2sin(ax) =D[b Dbsin(ax)] =D[ab cos(ax)] =−a2sin(ax)

vậy sin(ax) là đặc hàm của toán tử Db2 với đặc trị là −a2. Ta có, phương

trình đặc trị

b

D2sin(ax) =a2sin(ax)

Nh vy, phng trỡnh Schrăodinger (1) cho h mt ht trong khơng gian
một chiều cũng là một phương trình đặc trị.

Sau đây, chúng ta thử tìm tất cả những đặc hàm và đặc trị cho toán tử
đạo hàmDb. Từ phương trình (30), ta có

b

Df(x) = df(x)

dx =kf(x) (31)

Phương trình (31) tương đương với
df(x)

f(x) =kdx (32)

Lấy tích phân (32) ta được

lnf(x) =kx+constant
f(x) =econstantekx
vậy

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

đúng đối với những đặc hàm của mọi tốn tử tuyến tính. Thật vậy, nếuf(x)
là đặc hàm củaAb, với đặc trị k, nghĩa là

b

Af(x) =kf(x)
vàAblà toán tử tuyến tính, ta có

b

A[cf(x)] =cAfb (x) =ckf(x) =k[cf(x)] (34)

Như vậy

b

A[cf(x)] =k[cf(x)] (35)
Với mỗi giá trị ktrong (31), chúng ta có một đặc hàm; những đặc hàm
với cùng giá trịk nhưng giá trị c khác nhau thì khơng độc lập tuyến tính1

với nhau, chúng phụ thuộc lẫn nhau.

4

Mối liên hệ giữa toán tử và cơ học lượng tử

Tiếp theo, ta xét mối liên hệ giữa toán tử và cơ hc lng t. Chỳng ta so
sỏnh phng trỡnh Schrăodinger cho hệ một hạt trong không gian một chiều

[−~

2

2m
d2

dx2 +V(x)]ψ(x) =Eψ(x)

với phương trình đặc trị

b

Af(x) =kf(x)

Ta thấy, rõ ràng các giá trị năng lượng E là các đặc trị; các đặc hàm là
những hàm sóngψ(x); tốn tử của những đặc hàm và đặc trị này là

b

H=−~

2

2m

d2

dx2 +V(x) (36)

và được gọi làtoán tử Hamiltonian hay toán tử năng lượng của hệ.
Năng lượng của hệ bằng tổng động năng và thế năng. Trong (36) thì
V(x) là thế năng, nên−~

2

2m
d2

dx2 là tốn tử mơ tả động năng của hệ. Theo

cơ học cổ điển, động năng của một hạt theo phươngx được xác định bởi
Ex=

1
2mv

2

x (37)

1

Hàmf1, f2vàf3được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trìnhc1f1+c2f2+c3f3= 0
chỉ xảy ra khi các hằng sốc1=c2=c3= 0. Ví dụ, các hàmf1= 3x, f2= 5x2−x, f3=x2
là những hàm phụ thuộc tuyến tính, vì f1 + 3f2 −15f3 = 0; trong khi đó, các hàm

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Mặt khác, ta có mối liên hệ giữa khối lượngm, vận tốcvx và động lượngpx
như sau

px =mvx ⇒vx=
px
m
Do đó, ta có

Ex=
1
2mv

2

x=
p2_x

2m (38)

Như vậy, theo cơ học cổ điển năng lượng của hệ được tính như sau
H= p

2

x

2m +V(x) (39)
Phương trình (39) được gọi là hàm Hamiltonian cho hạt có khối lượngmdi
chuyển trong khơng gian một chiều và phụ thuộc vào thế năng V(x).

So sỏnh phng trỡnh Schrăodinger khụng ph thuc thi gian

h

~

2

2m
d2

dx2 +V(x)

i

ψ(x) =Eψ(x)

với phương trình (39), ta thấy hàm Hamiltonian (39) trong cơ học cổ điển
được thay thế bởi toán tử Hamiltonian trong cơ học lượng tử

~2

2m
d2

dx2 +V(x)↔

p2_x

2m +V(x) (40)
Động năng p

2

x

2m trong cơ học cổ điển cũng được thay thế bởi toán tử động
năng trong cơ học lượng tử

b
T =−~

2

2m
d2
dx2

Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lí trong cơ học cổ điển và cơ học lượng
tử như thế này là rất phổ biến. Do đó, trong cơ học lượng tử có một định
đề quan trọng như sau:

Mỗi thuộc tính vật lí như năng lượng, động lượng, tọa độ,
mơ-men góc . . . sẽ có một tốn tử tương ứng.

Các thuộc tính như tọa độx, y, zvà thế năngV trong cơ học lượng tử và
cơ học cổ điển có dạng giống nhau. Những thuộc tính khác thì khơng giống
nhau. Ví dụ, các thành phần động lượngpx được thay bằng các tốn tử

b
px= ~

i
∂

∂x =−i~
∂

∂x (41)

với 1

i =−i vì

1
i =

i
i2 =

i

−1 =−i

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bảng 1.1: Những toán tử thường được sử dụng trong cơ học
lượng tử

Thuộc tính Cơ học cổ điển Cơ học lượng tử
Tọa độ x, y, z, r x, y, z, r

Thế năng V(x), V(y), V(z) V(x), V(y), V(z)
Động lượng

x px pbx =−i~

∂
∂x

y py pby =−i~

∂
∂y

z pz pbz =−i~

∂
∂z
Động năng
x p
2
x

2m Tbx=−

~2
2m
∂2
∂x2
y p
2

y

2m Tby =−

~2
2m
∂2
∂y2
z p
2
z

2m Tbz=−

~2

2m
∂2
∂z2

Mô-men góc Lz Lbz =−i~(x ∂

∂y−y
∂
∂x)

Những tốn tử khác có thể được xây dựng từ những toán tử đã cho trong
bảng trên. Ví dụ, tốn tửp_b2_x được xây dựng từ p_bx như sau

b

p2_x=p_bxpbx=

~
i
∂
∂x
_~
i
∂
∂x

=−h2 ∂

2

∂x2 (42)

Tương tự, ta có

b

p2_y =−h2 ∂

2

∂y2 pb

2

z=−h2
∂2

∂z2 (43)

5

Tốn tử và những thuộc tính vật lí

Xét sự chuyển động của hạt trong hộp một chiều được mô tả bởi hàm sóng
ψn=

r
2
l sin(

nπx

l ) (n= 1,2,3, . . .)
Ta thấyψn là đặc hàm của toán tử năng lượngHb với đặc trị là

E = n

2_h2

8ml2

Thật vậy, đối với bài tốn hạt trong hộp thì thế năngV(x) = 0, nên ta
có

b

H =Tb_x+Vb(x) =−

~2

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Do đó

−~

2

2m
d2
dx2

hr2
l sin(

nπx
l )

i
= n

2_h2

8ml2

hr2
l sin(

nπx
l )

i

Như vậy, nếu thực hiện phép đo năng lượng của một hạt trong hộp một
chiều, ta sẽ thu được kết quả là đặc trị năng lượng E của toán tử năng
lượngHb.

Một cách tổng qt,nếu Bb là tốn tử mơ tả một thuộc tính vật lí
B thì mỗi phép đo thuộc tính B cho ra một đặc trị βi của toán tử

b

B.Đây cũng là một định đề của cơ học lượng tử. Ví dụ, nếu ψi là các đặc
hàm củaHb, thì ta có

b

Hψi=Eiψi (44)

Nghĩa là mỗi phép đo thuộc tính vật lí được mơ ta bởi tốn tử năng lượng

b

H sẽ cho ta một giá trịEi. Nếuψi là hàm chỉ phụ thuộc tọa độ, khơng phụ
thuộc thời gian thì (44) l dng tng quỏt ca phng trỡnh Schrăodinger
khụng ph thuc thời gian.

Tiếp theo, chúng ta xét hàm trạng thái phụ thuộc thời gian

Ψ = Ψ(x, t) (45)
Nếu trạng thái của một hệ được mơ tả bởi hàm sóngΨ, thì hàm sóng Ψđó
sẽ chứa tất cả những thơng tin mà chúng ta cần biết về hệ đó. Vậy Ψ sẽ
cung cấp cho chúng ta những thơng tin gì về một thuộc tính B? Bây giờ,
chúng ta giả định rằng nếu Ψlà đặc hàm của Bb với đặc trị βi, khi đó một

phép đo thuộc tính B sẽ cho ta giá trị βi. Chẳng hạn, chúng ta xét thuộc
tính năng lượng. Giả sử hệ ở trạng thái tĩnh với hàm trạng thái

Ψ(x, t) =e−iEt/~_ψ(x) ₍₄₆₎

ta có

b

HΨ(x, t) =H[eb −iEt/~ψ(x)] =e−iEt/~Hψ(x)b (47)

áp dụngHψ(x) =b Eψ(x), ta được
b

HΨ(x, t) =e−iEt/~_{Eψ(x) =}_Ee−iEt/~_{ψ(x) =}_{EΨ(x, t)}

vậy

b

HΨ =EΨ (48)

Do đó, ở trạng thái tĩnh,Ψ(x, t) là một đặc hàm củaHb, chúng ta chắc chắn

tìm được giá trịE khi thực hiện phép đo năng lượng. Phương trình (48) là
một cỏch vit khỏc ca phng trỡnh Schrăodinger ph thuc thi gian.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Bài tập

1. ChoDb =
d

dx và hàm f(x) được xác định bởi
f(x) = sinx+eix
Hãy tính

(Db2+Db_bx)f(x)

2. Chứng minh

[Ab+B,b Cb+D] = [b A,b C] + [b A,b D] + [b B,b C] + [b B,b D]b

Từ đó, tính

[x+ d
dx,

d2
dx2 +x]

3. Cho biết

b

x=x pbx =−i~
d
dx
Chứng minh

[x,b pbx] =i~; [x,b pb

2

x] = 2~2
d
dx
4. Tìm những hàmg(x) là đặc hàm củap_bx với đặc trịk

b

pxg(x) =kg(x)

Chứng tỏ rằng hàm sóng của hạt trong hộp một chiều khơng phải là đặc
hàm củap_bx.

5. Tìm những hàm f(x) là đặc hàm của pb

2

</div>

<!--links-->