Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán tìm tính chất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

MỤC LỤC
Mục
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.
2.1.
1.2.1.
1.2.2.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.2.1
.
2.3.2.2
.

2.3.2.3
.

2.3.2.4
.

2.4.
3.

Nội dung
Trang

MỞ ĐẦU
1
Lý do chọn đề tài
1
Mục đích nghiên cứu
2
Đối tượng nghiên cứu của đề tài
2
Phương pháp nghiên cứu của đề tài
2
NỘI DUNG
3
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
Giả thuyết của đề tài
3
Mục tiêu của đề tài
3
Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
3
Các giải pháp sử dụng của sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết
4
vấn đề
Một số giải pháp
4
Biện pháp thực hiện
4
Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng
4
f ( x)

Lớp các bài tốn tìm khoảng đơn điệu của hàm số
,
f [ u ( x )]
f ( x) .
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
f ( x ) f u ( x ) 
Lớp các bài tốn tìm số điểm cực trị của hàm số
,
f ( x) .
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
f ( x) = m
Lớp các bài tốn tìm số nghiệm của phương trình
,
f u ( x )  = m
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
f ( x) .
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT CÔNG
NHẬN

5

11

17

18
20

1


2


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết 29 của Ban Chấp hành Trung ương Đảng khẳng định: “Phát
triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài.
Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn
diện năng lực và phẩm chất người học”. Trong đó, đổi mới về phương thức kiểm
tra đánh giá là một yêu cầu bức thiết trong giai đoạn hiện nay. Bộ GD&ĐT đã
quyết định hình thức thi trắc nghiệm đối với mơn Tốn trong kỳ thi THPT Quốc
Gia (nay là kỳ thi Tốt nghiệp THPT) bắt đầu từ năm 2017.
Với phương thức kiểm tra đánh giá mơn Tốn từ hình thức tự luận sang hình
thức trắc nghiệm là một bước ngoặt quan trọng. Từ sự thay đổi đó dẫn đến cách
dạy của thầy cô và cách học của học sinh phải thay đổi. Hơn ai hết, các thầy cơ
giảng dạy bộ mơn Tốn đều nhận ra một điều đó là: Lượng kiến thức, lượng bài
tập trong hai, ba năm qua đã tăng lên một cách nhanh chóng. Điều đó, khiến chúng
ta phải thay đổi về cách tiếp cận vấn đề, về cách dạy… Theo tôi để phù hợp với xu
thế hiện nay chúng ta phải chuyển từ cách dạy truyền thống sang cách dạy nhằm
phát triển tư duy, phát triển năng lực học sinh… từ đó các em có thể tự tin xử lý
các tình huống thực tiễn.
Nhiệm vụ quan trọng của người thầy nói chung và nguời thầy giảng dạy bộ
mơn Tốn nói riêng đó là: Phải tìm được phương pháp truyền đạt phù hợp với
năng lực của từng đối tượng học sinh, để các em biết vận dụng, biết khai thác các

kiến thức mới đã được lĩnh hội vào giải Toán; Giúp các em rèn luyện và dần thơng
thạo kĩ năng giải Tốn.
Để làm được điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Tốn phải tìm hiểu thật
kĩ về tính cách, tâm lí, năng lực tiếp nhận… của từng đối tượng học sinh. Đặc biệt,
trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải một bài tốn thì người giáo viên
phải tự mình nghiên cứu, phân tích kỹ bài tốn đó rồi mới hướng dẫn cho các em.
Hoạt động này rất quan trọng, nó vừa giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ
chặt chẽ giữa các kiến thức khác nhau, thấy được nhiều phương pháp để giải quyết
một bài toán, vừa gợi được động cơ cho các em học tập kiến thức mới. Bởi tôi
nhận thấy khơng có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng học
sinh, thậm chí có những q trình phân tích -Tổng hợp rất hiệu quả đối với học
sinh này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thông qua ứng dụng của đạo hàm
là một chủ đề lớn xun suốt khơng thể thiếu trong các kì thi. Việc hoàn thiện các
kỹ năng từ việc đọc bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số đến việc dựa vào đồ thị để
giải quyết các bài toán khác đã đặt ra cho người học một nhu cầu phù hợp. Muốn
giải được dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các lý thuyết về đơn
điệu, cực trị, đồ thị… của hàm số và phải “đọc” được các tính chất đó trên đồ thị.

3


Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng
tạo, gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp dạng Toán này và những dạng
Tốn liên quan. Tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phát
triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài tốn tìm tính
chất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số nhằm nâng
cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi Tốt nghiệp
THPT” để giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:

Người giáo viên dạy Tốn cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu,
phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh; giúp các em tiếp cận nhanh
nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về xác định một số tính chất của
hàm số. Đồng thời, rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển một
số năng lực cho các em như:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio).
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu, tìm tịi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc
nghiệm về chủ đề “ Hàm số”.
1.4. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Để có cơ sở tiến hành nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tơi
đã:
- Tìm hiểu việc đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn, đặc biệt là phương
pháp truyền đạt nội dung kiến thức mơn tốn Giải tích.
- Tìm hiểu về thực trạng giải bài tập mơn tốn Giải tích ở học sinh trường
THPT Triệu Sơn 3.
- Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập tốn Giải
tích
- Tổ chức thực hiện đề tài, áp dụng đề tài vào thực tế dạy ở một số lớp 12
trường THPT Triệu Sơn 3.
- Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng.

4


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1.2.1. Giả thuyết của đề tài

Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, tôi đã đặt ra các giả thuyết sau:
- Đề tài có tìm ra phương pháp phù hợp với học sinh 12 khi giải các bài tập
về hàm số khơng?
- Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh khi áp dụng vào việc giải các đề
thi minh hoạ và các đề thi Toán THPTQG và Tốt nghiệp THPT qua các năm hay
khơng?
- Đề tài có rèn luyện, phát triển tư duy logic – khoa học và có nâng cao được
kết quả học tập bộ mơn Giải tích cho học sinh hay khơng?
1.2.2. Mục tiêu của đề tài
Từ các giả thuyết đã nêu trên, mục tiêu của đề tài cần phải đạt được đó là:
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh khi giải
các bài tập về hàm số.
- Tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập Giải tích; đồng thời giúp
các em nâng cao kết quả học tập bộ môn này.
- Rèn luyện, nâng cao, phát triển được tư duy logic – khoa học cho học sinh.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
- Trong quá trình giảng dạy, tơi thấy khả năng đọc bảng biến thiên, đọc đồ
thị, khả năng biến đổi đồ thị là các nội dung quan trọng mà nếu học sinh hiểu và
vận dụng được thì chắc chắn sẽ rất thuận lợi khi tiếp cận các bài toán về hàm số.
Tuy nhiên, trong thực tế những nội dung trên là những vấn đề mà đa số học sinh
thường gặp rất nhiều khó khăn, ngay cả những em học sinh có học lực khá, giỏi.
- Khi ôn tập, đặc biệt là khi các em làm bài kiểm tra tôi nhận thấy: Một số em
mặc dù nắm được kiến thức, biết cách làm bài nhưng kỹ năng tính tốn cịn chậm,
việc tốn học hóa các tình huống thực tiễn thường lúng túng hoặc vận dụng khơng
linh hoạt.
- Đối với người dạy thì phần lớn mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và
giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán
ở nhiều dạng khác nhau; chưa tìm được phương pháp dạy học phù hợp với từng
nội dung và năng lực của học sinh.
- Vẫn có khơng ít giáo viên cịn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng

phương tiện, công cụ, thiết bị và đồ dùng dạy học bộ môn…
- Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học
sinh tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát
hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát hiện và giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câu
hỏi. Kết quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ năng
vận dụng vào thực tế chưa cao. Đặc biệt, sau một thời gian không thường xuyên
ôn tập hoặc khi tiếp tục học thêm các nội dung tiếp theo thì học sinh khơng cịn
nắm vững được các kiến thức đã học trước đó.
5


Từ các nguyên nhân trên dẫn đến học sinh cảm thấy học các bài tốn về hàm
số rất khó. Dẫn đến kết quả học tập chưa cao.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Một số giải pháp
* Đưa ra các quy tắc, các bước cũng như yêu cầu khi giải một bài toán về hàm
số để dễ dàng giải quyết các bài tập.
* Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững các mối quan hệ giữa các
tính chất của hàm số tương ứng với đồ thị hoặc bảng biến thiên của nó.
* Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như phần mềm giảng dạy như
Cabir, GSPS, Geogebra….
* Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ
khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các
kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
* Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh.
2.3.2. Biện pháp thực hiện:
2.3.2.1. Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng:
y = f ( x)
( C)
D

* Đồ thị hàm số: Đồ thị
của hàm số
xác định trên tập là tập hợp
M ( x; f ( x ) )
x∈D
tất cả các điểm
trong mặt phẳng tọa độ với mọi
.
y = f ( x)
* Giao điểm của đồ thị và trục hoành (Sự tương giao giữa đồ thị hàm số
y = f ( x)
và trục hoành): Giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hồnh là nghiệm
f ( x ) = 0.
của phương trình hoành độ giao điểm
M ( x; f ( x ) )

* Điểm
M ( x; f ( x ) )

( C)

f ( x) > 0

thuộc đồ thị
và nằm trên trục hoành thì
f ( x) < 0
( C)
thuộc đồ thị
và nằm dưới trục hồnh thì

.

;

* Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp:
Công thức đạo hàm của hàm hợp
u = u ( x)
y = f (u )
x0
a) Nếu hàm số
có đạo hàm tại
và hàm số
có đạo hàm
u0 = u ( x0 )
g ( x) = f [u ( x)]
x0
tại
thì hàm số hợp
có đạo hàm tại
và
g ′( x0 ) = f ′(u0 ).u′( x0 )

6


b) Nếu giả thiết trong a) thoả mãn với
g ′( x) = f ′[u ( x)].u′( x)
D
và
[4]

∀x ∈ D

thì

y = g ( x)

có đạo hàm trên

*) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng

f

I
có đạo hàm trên khoảng .

Giả sử hàm số
a) Nếu
b) Nếu
c) Nếu

f '( x ) > 0
f '( x ) < 0

f '( x ) = 0

mọi
mọi
mọi

x∈I
x∈I

x∈I

f

I
đồng biến trên khoảng .

f

I
nghịch biến trên khoảng .

f

I
khơng đổi trên khoảng .

thì hàm số
thì hàm số
thì hàm số

f
Nhận xét. Điều kiện trên có thể mở rộng như sau: Giả sử hàm số có đạo
f '( x ) ≥ 0
f '( x ) ≤ 0
x∈I
x∈I

I
hàm trên khoảng . Nếu
mọi
(hoặc
mọi
) và
f '( x ) = 0
f
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số
đồng biến (hoặc
I
nghịch biến) trên khoảng .[4]
*) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

f
Giả sử hàm số
liên tục trên khoảng
( a; x0 ) ( x0 ; b )
trên các khoảng
và
. Khi đó
a) Nếu

f '( x ) < 0

x ∈ ( a; x0 )

f '( x ) > 0

x ∈ ( a; x0 )

với mọi
f
x0
số đạt cực tiểu tại điểm .
b) Nếu

với mọi
f
x0
số đạt cực tiểu tại điểm . [4]

và

và

( a; b )

chứa điểm

f '( x) > 0

với mọi

f '( x ) > 0

với mọi

x0

và có đạo hàm

x ∈ ( x0 ; b )

x ∈ ( x0 ; b )

thì hàm

thì hàm

Nhận xét.
7


f
Với giả thiết như trên, nếu hàm số
x0
hàm số f đạt cực trị tại điểm .

có đạo hàm đổi dấu qua điểm

2.3.2.2. Lớp các bài tốn tìm khoảng đơn điệu của hàm số
f ( x) .
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
y = f ( x)

Ví dụ 1. Cho hàm số

f ( x)

x0

thì

,

f [ u ( x)]

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

( −2; +∞ )

.

B.

( −∞;2 )

.

C.

( −2;3)

.

D.

( 3;+∞ )

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đồng trên khoảng
chọn đáp án C
y = f ( x)

Ví dụ 2. Cho hàm số
xác định, liên tục trên
dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?

¡

. [1]

( −2;3)

. Vậy ta

và có đồ thị như hình vẽ

8


A. Hàm số đồng biến trên khoảng
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
D. Hàm số đồng biến trên khoảng

( −∞ ;1)

.

( −∞ ; − 1)
( 0;+ ∞ )

.
.

( −3; + ∞ )

. [1]

Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
chọn đáp án B

( −∞ ; − 1)

. Vậy ta

Phân tích và hướng dẫn cách giải:
Từ 2 ví dụ trên học sinh có thể nhận ngay ra khoảng đồng biến, nghịch biến của
y = f ( x)
y = f ( x)
hàm số
từ BBT hoặc đồ thị hàm số
trên cơ sở:
1. Xác định tính đơn điệu của hàm số

dựa theo nguyên tắc sau:
Trên khoảng
Trên khoảng

( a; b )
( a; b )

đạo hàm
đạo hàm

f '( x) < 0
f '( x) > 0

2. Xác định tính đơn điệu của hàm số
dựa theo nguyên tắc sau:
Trên khoảng

( a; b )

đồ thị hàm số

y = f ( x)

từ BBT của hàm số

thì hàm số nghịch biến trên
thì hàm số đồng biến trên
y = f ( x)

y = f ( x)

( a; b )

( a; b )

từ đồ thị của hàm số

ta

.

.
y = f ( x)

ta

y = f ( x)

có hướng “đi lên” thì trên khoảng đó
( a; b )
hàm số đồng biến (tức là đạo hàm nhận giá trị dương ) và trên khoảng
đồ
y = f ( x)
thị hàm số
có hướng “đi xuống” thì trên khoảng đó hàm số nghịch biến
(tức là đạo hàm nhận giá trị âm)
9


y = f ( x)

Câu hỏi đặt ra như sau:Vậy từ BBTcủa hàm số
hoặc từ đồ thị của hàm
y = f ( x)
y = f [ u ( x)]
số
, muốn xét tính đơn điệu của hàm số
ta làm như thế
nào?
Vấn đề cần giải quyết trong trường hợp này là phải dựa vào BBT hoặc đồ thị của
y ' = [ f (u ( x)) ] ' = f '(u ).u '( x)
y = f ( x)
hàm số
ta phải xác định dấu của
.
Các ví dụ sau sẽ thể hiện rõ hơn về vấn đề này.
Ví dụ 3. Cho hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như sau

y = ( f ( x ) ) − 3( f ( x ) )
3

Hàm số
A.

( 2;3)

.

B.

( 1;2 )

2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? [2]
.

C.

( 3;4 )

.

D.

( −∞ ; − 1)

.

Lời giải
y′ = 3 ( f ( x ) ) . f ′ ( x ) − 6 f ( x ) . f ′ ( x )
2

Ta có

.

 f ′( x ) = 0

⇒ y′ = 0 ⇔  f ( x ) = 0
f x =2
y′ = 3 f ′ ( x ) . f ( x )  f ( x ) − 2 
 ( )

.

10


+)

x =1
x = 2
f ′( x ) = 0 ⇔ 
x = 3

x = 4

 x = x2 ∈ ( x1;1)

x = x3 ∈ ( 1;2 )
f ( x) = 2 ⇔ 
x = x > 4
 x = x1 < 1
4


f ( x) = 0 ⇔ 
 x = 3
x = 4
;
;
.

y′
+) Bảng xét dấu của

y = ( f ( x ) ) − 3( f ( x ) )
3

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số
( 2;3)
. Vậy ta chọn đáp án A
Ví dụ 4. Cho đồ thị hàm số

nghịch biến trên khoảng

y = f ( 2 − x)

y = f ( x 2 − 3)

như hình vẽ. Hàm số

2

nghịch

biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
C.

( −1;2 )

.

( −∞; −1)

B.
.

D.

( 0;3)
( 0;1)

.
[3]
Lời giải

Gọi

( C)

là đồ thị hàm số

y = g ( x) = f ( 2 − x)

.

11


Tịnh tiến

( C)

sang trái 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số

Lấy đối xứng đồ thị hàm số
Ta có

y = f ( −x)

y = g ( x + 2) = f ( − x )

qua Oy ta được đồ thị hàm số

y = f ( x 2 − 3) ⇒ y′ = 2 x. f ′ ( x 2 − 3)

.

y = f ( x)

.

.

x = 0
x = 0
x = 0

 2
y′ = 0 ⇔ 
⇔
x
−
3
=
0
⇔
x = ± 3
2

 f ′ ( x − 3) = 0
x = ± 6
 x2 − 3 = 3



.

y′
Bảng xét dấu

Vậy hàm số

y = f ( x 2 − 3)

nghịch biến trên khoảng

( 0;1)

. Vậy ta chọn đáp án D

y = f ( x)

¡
Ví dụ 5. Cho hàm số
có đạo hàm trên
và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Nhận xét nào
g ( x) = f 2 ( x)
đúng về hàm số
?
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

g ( x)

g ( x)
g ( x)

g ( x)

đồng biến trên khoảng

( −∞; +∞ )

nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

( −∞;1)

( 2;+∞ )
( −∞;2 )

.

.

.
. [3]

Lời giải
Từ đồ thị hàm số

y = f ( x)

ta có:
12


Phương trình

Phương trình

f ( x) = 0

f ′( x ) = 0

(dựa vào đồ thị hàm số

có hai nghiệm

có hai nghiệm

 x = −1
x = 2

 x = −1
x =1


trong đó

và

x = −1

f ′( x ) > 0

là nghiệm kép.

khi

−1 < x < 1

y = f ( x)

ta thấy hàm số đạt cực trị tại 2 điểm
 x = −1
x =1
f ′( x ) = 0

phương trình
có 2 nghiệm
.)
Xét hàm số

g ( x) = f 2 ( x)

Giải phương trình

có

g′( x ) = 2 f ( x ) . f ′( x )

.

x = ±1

nên

;

 x = −1
x = 2
 f ( x) = 0
g′( x ) = 0 ⇔ 
⇔
 x = −1
′
f
x
=
0
 ( )

x = 1

.

Ta có bảng xét dấu

x

−∞

−1

1

+∞

2

f ( x)

+

0

+

|

+

0

−

f ′( x )

−

0

+

0

−

|

−

g′( x )

−

0

+

0

−

0

+

g′ ( x ) > 0

x ∈ ( −1;1) ∪ ( 2; +∞ )

Từ bảng xét dấu ta có
khi
( 2;+∞ )
biến trên khoảng
. Vậy ta chọn đáp án C
Ví dụ 6. Cho hàm số

f ( x)

nên hàm số

g ( x)

đồng

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
13


Hàm số

y = 6 f ( x + 3) − 2 x 3 − 9 x 2 − 6 x

A.

( −∞; −2 )

.

B.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây? [3]

( −2; −1)

.

C.

( −1;1)

.

D.

( 0;+∞ )

.

Lời giải
Đặt

g ( x ) = 6 f ( x + 3) − 2 x3 − 9 x 2 − 6 x

Ta có

g ' ( x ) = 6 f ' ( x + 3) − 6 x 2 − 18 x − 6

Lập bảng xét dấu:

Từ bảng ta chọn đáp án B
Phân tích để sáng tạo:
f ' ( x ) = a ( x − 1) ( x − 2 )

2

( x − 3) ( x − 4 )

a>0
+) Ta có thể chọn
( với
) như vậy ta
h ( x ) = bf ( x + c ) + g ( x )
g '( x )
có thể chọn hàm
sao cho
có chung các nghiệm với
f '( x + c )
( x − m) ( x − n)
. Giả sử nó có nghiệm chung là
khi đó
bf ' ( x + c )
g '( x )
+
= k ( x)
k ( x)
( x − m) ( x − n) ( x − m) ( x − n)
và
luôn âm hay dương trên đoạn cần
k ( x)
tìm. Như vậy, ta có thể chọn trước
.

+) Ví dụ cụ thể:
14

g '( x )
y = a ( x + 1) x 2 ( x − 1) ( x − 2 ) + g ' ( x )
c = 2 b =1
Nếu ta
;
thì
. Chọn
và
f '( x + 2)
x =1
có nghiệm chung là
; Xét hàm còn lại là
g '( x )
q ( x ) = a ( x + 1) x 2 ( x − 2 ) +
a ( x + 1) x 2 ( x − 2 ) < 0
x −1
. Nhận thấy
với mọi
g '( x )
 3
 3
x ∈ 1; ÷
∀x ∈ 1; ÷
<0
 2
 2
x −1
. Do vậy ta chỉ cần chọn một hàm
với
. Có vơ số

g '( x )
= −x
x −1
hàm như vậy. Ví dụ
chẳng hạn. Khi đó ta có một bài tốn khác như
sau:
1 3 1 2
⇒
h
x
=
f
x
+
2
−
x + x
(
)
(
)
h ' ( x ) = f ' ( x + 2 ) − x ( x − 1)
3
2

+) Như vậy ta có thể sáng tạo ra vơ số bài toán dạng như trên. [3]
Nhận xét: Với mỗi dạng toán ta cần xây dựng các thuật giải; Thực chất là các
quy trình, các bước thực hiện cố định để tìm ra đáp số của một lớp các bài tốn
có u cầu tương tự nhau. Thơng qua việc hình thành và xây dựng thuật giải giúp
cho học sinh phát triển tư duy thuật giải – một loại hình tư duy rất quan trọng

khơng chỉ trong Tốn học mà cả trong nhiều lĩnh vực khoa học khác; Tạo tâm lý
hứng thú, tự tin cho học sinh khi giải nhiều loại bài tập đặc biệt là bài tập về hàm
số.
f ( x ) f u ( x ) 
2.3.2.3. Lớp các bài tốn tìm số điểm cực trị của hàm số
,
khi
f ( x) .
biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
15


y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡

)

Ví dụ 7. Cho hàm số
, đồ thị
như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A.

2
0

.

C. .

1
B. .

3

D. .

Lời giải
Dựa vào đồ thị, hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Vậy ta chọn đáp án D
y = f ( x)
¡
Ví dụ 8. Hàm số
xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như
hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại

x = −1

.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

1

và giá trị nhỏ nhất bằng

−1

.

C. Hàm số có đúng hai cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại

x = 0 x =1
x=2
,
và đạt cực tiểu tại
.
Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

ta có kết luận sau:

x = 1 yCD = 1
+ Hàm số đạt cực đại tại
,
nên D sai.
x = 2 yCT = −1
+ Hàm số đạt cực tiểu tại
,
nên A sai.

+Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1 và hàm số không có giá trị nhỏ nhất
¡
trên
nên B sai. Vậy ta chọn đáp án C [2]
16

y = f ( x)

¡
Ví dụ 9. Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị
như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
C.

4

2

.

5
B. .

.

3
D. .
Lời giải

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

Vậy ta chọn đáp án B

Phân tích và hướng dẫn cách giải:
Từ 3 ví dụ trên học sinh có thể nhận ngay ra điểm cực trị của hàm số
y = f ( x)
BBT hoặc đồ thị hàm số
trên cơ sở:

y = f ( x)

từ

y = f ( x)

1. Xác định điểm cực trị của hàm số
từ BBT (đồ thị ) của hàm số
y = f ( x)
x0 ∈ D
ta dựa theo nguyên tắc sau: Với
Qua

x0

đại tại
Qua

x0

tiểu tại

f '( x)
đạo hàm

x = x0

đổi dấu từ

f '( x)
đạo hàm
x = x0

đổi dấu từ

( +)

( −)

sang

sang

( −)

( +)

ta nói hàm số

ta nói hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

đạt cực

đạt cực

17


2. Xác định số điểm cực trị của hàm số
dựa theo nguyên tắc sau:

y = f ( x)

từ đồ thị hàm số

y = f ( x)

ta

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là “điểm nối” giữa nhánh đồ thị có hướng “đi
lên” và nhánh đồ thị có hướng “đi xuống” theo chiều từ trái qua phải.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là “điểm nối” giữa nhánh đồ thị có hướng “đi
xuống” và nhánh đồ thị có hướng “đi lên” theo chiều từ trái qua phải (chiều
Ox
dương của trục
).
y = f [ u ( x) ]

Câu hỏi đặt ra: Số điểm cực trị của hàm số

có phụ thuộc vào số

y = f ( x)

điểm cực trị của hàm số
khơng? Phụ thuộc như thế nào? Để hiểu rõ thì
ta xét thêm các ví dụ, bài tập sau đây.
y = f ( x)

( C)

Ví dụ 10. Cho hàm số bậc ba
có đồ thị
như
a
S
hình dưới đây. Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số
y = f ( x) + a
( −23;23)
trong khoảng
để hàm số
có đúng 3
S
điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của .
A.

−3

.

B.

250

.

0
C. .

D.

−253

.

[3]

Lời giải

y = f ( x) + a =

(

f ( x ) + a ) ⇒ y′ =

Để tìm cực trị của hàm số

2

( f ( x ) + a ) f ′( x )
( f ( x) + a)

y = f ( x) + a

2

x

.
y′ = 0

, ta tìm
để thỏa mãn
y′
x
khơng xác định đồng thời qua nghiệm đó
phải đổi dấu. Khi đó:

y′
hoặc

18


y′ = 0 ⇔

( f ( x ) + a ) f ′ ( x ) = 0 ⇔  f ′ ( x ) = 0 ( 1)

 f ( x ) = −a ( 2 )
( f ( x) + a)
2

.

x1 x2
Dựa vào đồ thị, hàm số bậc ba có hai điểm cực trị trái dấu giả sử ,
nên
( 1)
x1 x2
phương trình
ln có hai nghiệm ,
trái dấu.
Vậy để hàm số có đúng ba cực trị thì phương trình

( 2)

có 1 nghiệm khác

( 2)

x1 , x2

.

( C)

Số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị
với đường
( 2)
y = −a

thẳng
. Dựa vào đồ thị thì để
có một nghiệm khi và chỉ khi:
 −a ≥ 1
 a ≤ −1
 −a ≤ −3 ⇔  a ≥ 3


.
a ∈ ( −23;23) a ∈ ¢
S = { −22; −21...; −1;3;4....21,22}
Theo bài ra
,
nên
.
Tổng các giá trị của

S

là:

( −22 ) + ( −21) + ... + ( −1) + 3 + 4 + ... + 21 + 22 =

22 ( ( −22 ) + (−1) )
2

+

20 ( 3 + 22 )
= −3

2

.
Vậy ta chọn đáp án A
Nhận xét:
y = f ( x)
1. Số điểm cực trị của hàm số
bằng số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x)
f ( x) = 0
cộng với số nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình

y = f ( x) + a y = f ( x + a)
2. Số điểm cực trị của hàm số
,
bằng số điểm cực trị
y = f ( x)
của hàm số
19


Ví dụ 11. Cho đồ thị hàm số y = f ( x) có dạng hình vẽ
m
bên. Tính tổng tất cả giá trị nguyên của
để
7
hàm số y = f ( x) − 2m + 5 có điểm cực trị.
6

3

A. .

B. .

5
C. .

D.

2

.

[3]
Lời giải

y = f ( x) − 2m + 5

Để đồ thị hàm số

có

7

điểm cực trị thì đồ thị hàm số

y = f ( x)

2

tịnh tiến lên trên hoặc xuống không quá đơn vị. Vậy
3
7
−2 < 5 − 2m < 2 ⇔ < m < ⇒ m ∈ { 2;3}
2
2
Vậy tổng tất cả các số nguyên của
y = f ( x)

Ví dụ 12. Cho hàm số

m

5
là . Vậy ta chọn đáp án C

có đạo hàm trên

và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

y = ( f ( x) )

¡

2

có

bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

[3]
Lời giải

Xét

 f ( x) = 0
 x = { 0;1;3}
y ' = 2 f ( x ) . f '( x ) = 0 ⇔ 
⇔
 f ' ( x ) = 0  x = { a;1; b}
x =1

f ( x)

với

0 < a < 1;2 < b < 3

.

x =1

Dựa vào đồ thị ta thấy

là nghiệm kép nên
không đổi dấu qua
f '( x )
nhưng
vẫn đổi dấu qua đó. Cịn tất cả nghiệm còn lại đều là nghiệm đơn

20


nên
trị.

f ( x ) va f ' ( x )

đều đổi dấu. Như vậy hàm số

y = ( f ( x) )

2

có tất cả 5 điểm cực

Vậy ta chọn đáp án A
Ví dụ 13. Cho hàm số

Hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như hình sau.

g ( x) = 2 f 3 ( x) − 6 f 2 ( x) −1

3
A. .

B.

4

có bao nhiêu điểm cực đại?
6
C. .

.

8
D. .

Lời giải
 f ( x) = 0

g ′ ( x ) = 6 f 2 ( x ) f ′ ( x ) − 12 f ( x ) f ′ ( x ) ⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔  f ′ ( x ) = 0
f x =2
 ( )

Từ bảng biến thiên của
+)
+)
+)

f ( x) = 0
f ( x) = 2

f ′( x ) = 0

f ( x)

ta thấy:

có ba nghiệm phân biệt.
có ba nghiệm phân biệt khác với ba nghiệm trên.
có hai nghiệm phân biệt

Nên phương trình

g′( x ) = 0

x=0

và

x=3

khác với các nghiệm trên.

có tất cả 8 nghiệm phân biệt.

Cũng từ bảng biến thiên của hàm số

f ( x)

ta thấy khi

x → +∞

thì
21


 f ( x ) → −∞

⇒ g '( x ) < 0
 f ′( x ) < 0

 f ( x ) − 2 → −∞

Ta có bảng xét dấu của

g′( x )

như sau:

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số

g ( x)

có 4 điểm cực đại.Vậy ta chọn đáp án B
f ( x) = m

4. Lớp các bài tốn tìm số nghiệm của phương trình
2.3.2.
f u ( x )  = m
f ( x) .
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số

,

Phân tích:
f ( x) = m

Số nghiệm của phương trình
y = f ( x)
y=m
với đường thẳng
.

là số giao điểm của đồ thị hàm số

f u ( x )  = m

Để xác định số nghiệm của phương trình
, từ đồ thị hàm số
y = f u ( x ) 
y = f ( x)
ta cần lập BBT (hoặc vẽ đồ thị ) hàm số
để từ đó xác định
số nghiệm của phương trình
Ví dụ 14. Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

¡

có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị
ngun của

m

để phương trình

f ( 6sinx + 8cosx ) = f ( m ( m + 1) )

có nghiệm
22


x∈¡

? [2]
6

A. .
C.

4

B.

2

.

5
D. .

.

Lời giải

y = f ( x)
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số
Do đó

( *)

đồng biến trên

¡

f ( 6sinx + 8cosx ) = f ( m ( m + 1) ) ⇔ 6 sinx + 8cosx = m ( m + 1) ( *)
62 + 82 ≥ m 2 ( m + 1) ⇔
2

có nghiệm khi

−1 − 41
−1 + 41

≤m≤
2
2

m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −3; −2; −1;0;1;2}
Vậy có

6

giá trị

m

ngun thỏa mãn. Ta chọn A

Ví dụ 15. Cho hàm số

f ( x)

vẽ bên. Bất phương trình
có nghiệm
m>−
A.

x ∈ ( 0;1)

4
1011

f ( e x ) < m ( 3e x + 2019 )

khi và chỉ khi
m≥−

.

có đồ thị như hình

B.

4
3e + 2019

m>−
.

C.

2
1011

m>
.

D.

f ( e)
3e + 2019

.

Lời giải

t = ex 0 < x < 1 ⇒ 1 < t < e
Đặt
,
.

23


x ∈ ( 0;1)

Bất phương trình đã cho có nghiệm
khi và chỉ khi bất phương trình
f ( t)
t ∈ ( 1; e )
3t + 2019
có nghiệm
. Ta lập bảng biến thiên của hàm số
f ′ ( t ) ( 3t + 2019 ) − 3 f ( t )
f ( t)
′
y
=
2
y=
3
t

+
2019
D
=
1;
e
(
)
(
)
3t + 2019
trên
. Ta có:
.
f ( x)

Dựa vào đồ thị của hàm số
ta có:
f ( t ) < 0, f ′ ( t ) > 0 ∀t ∈ D ⇒ y′ > 0 ∀t ∈ D

.

Dưa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài
−2
m>
1011
toán thỏa khi và chỉ khi
.

Vậy ta chọn C

Nhận xét: Cơ sở để xác định số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm
của đồ thị hai hàm số. Vì vậy, muốn biện luận hay tìm số nghiệm của phương
trình ta cần có bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số tương ứng.
Ta có thuật giải:
- Biến đổi phương trình

f ( x , m) = 0 ⇔ g ( x ) = h ( m )

- Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số
- Biện luận sự tương giao của đồ thị hàm số

(cô lập tham số)

y = g ( x)
y = g ( x)

dựa vào giả thiết đã cho

và đường thẳng

y = h( m)

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua q trình định hướng một bài tốn với nhiều hướng giải quyết khác
nhau; đồng thời nêu cho học sinh nhìn nhận được lớp các bài tốn nên lựa chọn
cách giải nào là phù hợp với năng lực của từng học sinh tôi thấy học sinh thoải
24

mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính nhanh và độ chính xác cao hơn.Từ đó kết quả
kiểm tra tốt hơn rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12B35
và 12D35 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn nhưng thời gian làm bài
ngắn hơn và kết quả tốt hơn rõ rệt. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như
sau:
Kết quả kiểm tra lần 1

Lớp
12B35
12D35

Số HS Điểm dưới 5
thực
nghiệ
SL
%
m
14,28
42
6
%

Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

SL

SL

SL

42

17

3

19

7,15%

%
45,24
%
40,48
%

15
18

%
35,72
%
42,85
%

2
4

%
4,76
%
9,32
%

Kết quả kiểm tra lần 2
Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

Lớp

Số HS Điểm dưới 5
thực
nghiệ
SL
%
m

SL

SL

SL

12B35

42

0

0

10

12D35

42

0

0

6

%
23,82
%
14,28
%

24
22

%
57,14
%
52,38
%

8
14

%
19,04
%
33,34
%

So sánh kết quả thi Tốt nghiệpTHPT năm học 2019-2020 và kết quả khảo sát chất
lượng các môn thi Tốt nghiệp THPT năm học 2020-2021 đề bám sát đề tham khảo
của Bộ GD&ĐT của hai lớp học tương ứng:
Năm học 2019-2020
Lớp
12E2
12E5

Điểm trung bình
7,10
7,94

Lớp
12B35
12D35

Kết quả khảo sát
Năm học 2020-2021
Điểm trung bình
7,75
8,25

25