Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT lê lợi giải một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu của các hàm số có chứa tham số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT LÊ
LỢI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH
ĐƠN ĐIỆU CỦA CÁC HÀM SỐ CĨ CHỨA THAM SỐ.

Người thực hiện:
Lê Thị Lịch
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2021

1


MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài..............................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.......................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.................................................................2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm........................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.........................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.........2

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề................................
…………………………………………………………………………17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường...................................................18
3. Kết luận, kiến nghị.............................................................................19
3.1. Kết luận..........................................................................................20
3.2. Kiến nghị........................................................................................20
Tài liệu tham khảo...................................................................................21
Các sáng kiến kinh nghiệm đã được xếp loại………………………….22
Phụ lục ( in đóng thành quyển nộp kèm theo SKKN)

2


1. Mở đầu.
1. 1. Lí do chọn đề tài .
Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các
đề thi tốt nghiệp THPT. Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệu của hàm
số có những nội dung hay, khó và có thể giải quyết các bài tốn giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình. Với lượng kiến thức khá rộng và cần sự tư
duy nhiều hơn từ học sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trong những phần
kiến thức quan trọng của học sinh THPT [13].
Tính đơn điệu của hàm số lớp 12 là một cách nhìn bao quát và sâu rộng của
hàm số so với cách nghiên cứu hàm số đồng biến, nghịch biến của lớp 10, 11. Dựa
vào tính đơn điệu của hàm số thì ta có thể biết được hình dáng đồ thị, các khoảng
đồng biến, nghịch biến và các tính chất của đồ thị hàm số. Trong những năm gần
đây thì tính đơn điệu của hàm số trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là phần học sinh đặc biệt quan tâm để đạt kết quả
tốt trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Đặc biệt trong các kỳ thi cuối chương I, thi học
kỳ I, các kỳ thi thử đại học của các trường THPT có sử dụng nhiều đến tính đơn

điệu của hàm số [13]. Trong các đề thi thì các bài tốn liên quan đến tính đơn điệu
của hàm số có chứa tham số là học sinh hay bị sai xót và dẫn đến chọn đáp án sai.
Do đó việc giảng dạy phần bài tập dạng này là rất quan trọng và cần thiết. Vì vậy,
tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Lê Lợi giải một số
bài tốn liên quan đến tính đơn điệu của các hàm số có chứa tham số” để phần
nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách
học tích cực hơn đối với dạng tốn này.
1.2.Mục đích nghiên cứu .
Trong q trình cơng tác và giảng dạy mơn Tốn ở trường THPT Lê Lợi tôi
thấy. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia các năm trước đã có khơng ít học sinh trong đó
có cả các em có học lực khá, giỏi nhưng khi làm các bài tập về tính đơn điệu của
hàm số có chứa tham số ở mức độ vận dụng vẫn bị sai xót và dẫn đến kết quả sai.
Khác với thi tự luận thi trắc nghiệm thì kết quả cuối cùng quyết định đáp án nên
học sinh dể bị mất điểm ở các câu này. Lí do vì sao? Có một số em không chú ý
học nhưng nguyên nhân chủ yếu là các em chưa có phương pháp học tập đúng,
khả năng suy luận, khái qt cịn yếu, chưa có phương pháp giải phù hợp với các
dạng tốn trên. Vì vậy tơi chọn đề tài này nhằm mục đích hướng dẫn các em học
sinh có thể tiếp cận với các bài tốn về tính đơn điệu của các hàm số có chứa tham
số để các em học sinh có hứng thú, say mê học tập mơn tốn và đáp ứng một phần
câu hỏi khó trong các kỳ thi học kỳ, thi khảo sát chất lượng và đặc biệt là kỳ thi
Tốt nghiệpTHPT sắp tới.
1.3. Đối tượng nghiên cứu :Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp,
kỹ năng để giải quyết các bài tốn tính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết
quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạy dạng tốn này, với kiến thức đã tích lũy và học
hỏi được, trong đề tài này tôi chủ yếu nghiên cứu: Các bài tốn tìm giá trị của
tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định hoặc trên một tập
nào đó. Ở đây tôi chỉ xét đến các hàm đa thức bậc ba, bậc bốn và hàm phân thức
hữa tỷ bậc nhất trên bậc nhất trong chương
3

trình Tốn THPT mà trọng tâm là trong các kì thi Tốt nghiệp THPT để giúp học sinh
và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao hơn trong học tập và trong giảng dạy.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết [6].
Nghiên cứu các tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài như: Sách giáo khoa giải
tích lớp 12, các sách tham khảo, các bộ đề trắc nghiệm mơn Tốn lớp 12, cấu trúc
đề thi Tốt nghiệp THPT các năm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các đề thi minh họa theo
cấu trúc trên, đề thi thử tốt nghiệp THPT và đề thi học kỳ của một số trường.
1.4.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Phương pháp thống kê sử lí số liệu.
Phân tích, tổng hợp, thu thập tài liệu và các thông tin.
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm [13]
Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa,
người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp
suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học sinh có
được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên. Hướng dẫn học sinh khai thác,
mở rộng bài toán, biết nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng
tổng hợp, khái qt hố các vấn đề, đặc biệt là các bài tập vận dụng và có chứa tham số
về tính đơn điệu của hàm số. Để cụ thể hố điều trên, tơi sẽ trình bày trong đề tài này.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1.Thuận lợi.
Trường THPT Lê Lợi đa số là các em chăm ngoan, chịu khó học tập và có học lực
khá giỏi ở các trường THCS. Các em được học với các thầy cơ có chun mơn tốt,
nhiệt tình trong giảng dạy nên kiến thức mơn Tốn của nhiều em học sinh khá tốt.
Sách giáo khoa, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ.
Đa số các em nắm vững những kiến thức cơ bản ở các lớp dưới và các kiến thức
liên quan, chủ động, tích cực trong học tập.
2.2.2. Khó khăn.

Bên cạnh những thuận lợi trên thì do hiện nay thi trắc nghiệm khách quan nên
nhiều em học sinh khơng nghiên cứu kỹ lý thuyết, khơng trình bày bài cẩn thận,
quá lệ thuộc vào máy tính, nắm kiến thức hời hợt và chủ quan nên khi gặp các bài
toán chứa tham số, khơng sử dụng máy tính được là các em hay bị mắc sai xót
đáng tiếc dẫn đến đáp án sai. Để khắc phục những nhược điểm trên thì trong q
trình dạy cho học sinh tơi có nhấn mạnh cho các em hệ thống các bài tập có chứa
tham số, đặc biệt là các bài tốn về tính đơn điệu của hàm số.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề .
Để khắc phục các thực trạng như tôi đã nêu ở trên và đặc biệt là giúp các em có
thể đạt được các điểm cao trong các kỳ thi tôi đã đưa ra hệ thống bài tập về giải
các bài tốn về tính đơn điệu có chứa tham số ở mức độ vận dụng và đã áp dụng
giảng dạy vào các lớp 12 tôi dạy trong 2 năm học 2019-2020, 2020-2021.
2.3.1. Các kiến thức trọng tâm.
2.3.1.1. Một số kiến thức liên quan [1].
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K , với K là một khoảng ,nửa
khoảng hoặc một đoạn.
4


+Hàm số y = f ( x) đồng biến trên K nếu: ∀x1, x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1) < f ( x2 )
+Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K nếu : ∀x1, x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1) > f ( x2 )
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng.
+ Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K .
+ Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ K .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu [1]. Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .
+ Nếu f '( x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
+ Nếu f '( x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
+ Nếu f '( x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số khơng đổi trên tập K .
*Chú ý : + Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm
số y = f ( x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.Chẳng hạn: Nếu hàm số

y = f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo hàm f '( x) > 0 trên khoảng ( a; b ) thì
hàm số đồng biến trên đoạn  a; b  .
+ Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K ( hoặc f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f '( x) = 0 chỉ tại một số hữu
hạn điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K ).
*Nhắc lại định lý về dấu của tam thức bậc hai [8].
Cho tam thức bậc hai f ( x) = a x2 + bx + c(a ≠ 0)
- Nếu ∆ < 0(∆ ' < 0) thì f ( x) ln cùng dấu với dấu của hệ số a, ∀x ∈¡
 −b 
- Nếu ∆ ≤ 0(∆ ' ≤ 0) thì f ( x) ln cùng dấu với dấu của hệ số a, ∀x ∈¡ \  

 2a 
-Nếu ∆ > 0(∆ ' > 0) thì f ( x) cùng dấu với dấu của hệ số a, ∀x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞)

và f ( x) trái dấu hệ số a, ∀x ∈ ( x1; x2 ) , với x1; x2 là 2 nghiệm phân biệt của f ( x).
* Đặc biệt : Cho tam thức bậc hai f ( x) = a x2 + bx + c(a ≠ 0)
a > 0
f ( x) ≥ 0, ∀x ∈¡ ⇔
∆≤ 0
a > 0
f ( x) > 0, ∀x ∈¡ ⇔
∆< 0
a < 0
f ( x) ≤ 0, ∀x ∈¡ ⇔
∆≤ 0
a < 0
f ( x) < 0, ∀x ∈¡ ⇔
∆< 0

2.3.2. Các bài tập có hướng dẫn giải .
Dạng I. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên

các khoảng xác định của nó.
* Phương pháp giải:
Trường hợp 1:
Với hàm bậc ba: Xét hàm số f ( x) = a x3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) .Tìm điều kiện của
tham số (giả sử tham số m ) để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định
Bước 1: Tìm tập xác định : D = ¡
Bước 2: Tính đạo hàm: f '( x) = 3a x 2 + 2bx + c
5


 a > 0
,
⇒
Bước 3: Để hàm số đồng biến trên tập ¡ ⇔ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
,
 ∆ ≤ 0(∆ ≤ 0)
tham số m
 a < 0
,
⇒ tham số m
-Để hàm số nghịch biến trên tập ¡ ⇔ f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
,
 ∆ ≤ 0(∆ ≤ 0)
.
Bước 4: Dựa vào điều kiện khác của tham số mà đề bài cho để kết luận và chọn đáp án đúng.
Chú ý : Khi hàm số f ( x) = a x3 + bx 2 + cx + d mà hệ số a chưa khác 0 thì ta phải
xét hai trường hợp a = 0, a ≠ 0 .
ax + b
Trường hợp 2: Với hàm phân thức y =
. Tìm điều kiện của tham số để hàm

cx + d
số đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
 d
Bước 1: Tìm tập xác định D = ¡ \  − 
 c
ad − bc
Bước 2: Tính đạo hàm y ' =
(cx + d )2
,
Bước 3: Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định ⇔ y > 0, ∀x ∈ D ⇒ tham số m
,
-Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định ⇔ y < 0, ∀x ∈ D ⇒ tham số m .
Bước 4: Dựa vào điều kiện của bài toán để chọn đáp án.
Bài tập áp dụng:
3
Bài 1. Tìm m để hàm số y = x + mx 2 − mx − m luôn đồng biến trên tập ¡ ?
3
 m ≤ −1
 m < −1
A. −1 ≤ m ≤ 0
B. −1 < m < 0
C. 
D. 
m ≥ 0
m > 0

Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán ở mức độ vận dụng thấp, có rất nhiều học sinh có thể làm được
chỉ cần nhớ lí thuyết đã học , giáo viên không cần phải hướng dẫn quá chi tiết.
Giáo viên yêu cầu học sinh nêu các bước giải:

Bước 1: Tính đạo hàm .
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên tập ¡ .
Học sinh cần nhớ đến định lý về dấu tam thức bậc hai f ( x) = a x2 + bx + c(a ≠ 0)
Lời giải .
Ta có: y ' = x 2 + 2mx − m để hàm số đồng biến trên ¡ thì ta phải có:
 a = 1 > 0
2
⇔
⇔ −1 ≤ m ≤ 0 .

y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ x + 2mx − m ≥ 0, ∀x ∈ ¡
2
∆ ' = m + m ≤ 0


Chọn đáp án: A
-Giáo viên cũng cần lưu ý các em giải bất phương trình ẩn m cần nắm chắc về kiến
thức giải bất phương trình bậc hai một ẩn hoặc dùng máy tính để giải.
6


- Học sinh cũng có thể thử các đáp án để tìm ra đáp án đúng. Tuy nhiên với bài tốn
này thì giáo viên hướng dẫn các em khơng nên làm theo thử đáp án vì rất dài, mất thời gian.
Bài 2. Cho hàm số y = 1x3 - mx2 + (2m + 3)x + 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên
3
của tham số thực m để hàm số đồng biến trên ¡ ?
A. Vô số.
B. 5.
C. 3.
D. 7.

Hướng dẫn giải:
Bài này phương pháp giải giống bài toán 1. Giáo viên chỉ cần lưu ý cho học sinh là
m lấy giá trị nguyên để học sinh chọn đúng đáp án.
Lời giải :
2
Tính đạo hàm : y¢= x - 2mx + 2m + 3
u cầu bài tốn Û y¢= x2 - 2mx + 2m + 3 ³ 0, " x Ỵ ¡
ìï a = 1> 0
ï
Û ïí
Û - 1£ m £ 3.
ùù D Â= m2 - 2m - 3 Ê 0
ùợ

Do m ẻ Â ị m ẻ {- 1;0;1;2;3}.
Vy cú 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa bài toán. Chọn đáp án: B
3
Bài 3.Cho hàm số y = ( m + 2 ) x − ( m + 2 ) x 2 + ( m − 8 ) x + m2 − 1 . Tìm tất cả các giá
3
trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên ¡ .?
A. m < −2 .
B. m > −2 .
C. m ≤ −2 .
D. m ≥ −2 .
Hướng dẫn giải:
Giáo viên yêu cầu học sinh nêu hướng giải của bài toán. Học sinh cần chỉ ra các bước giải:
Bước 1: Tính đạo hàm .
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên tập ¡ .
- Học sinh cần đưa ra xét 2 trường hợp: m + 2 ≠ 0 và m + 2 = 0
Lời giải:

2
Ta có: y ' = ( m + 2 ) x − 2 ( m + 2 ) x + m − 8 .
Yêu cầu bài toán ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm):
Trường hợp 1: m + 2 = 0 ⇔ m = −2 , khi đó y ' = −10 ≤ 0, ∀x ∈ ¡ (thỏa mãn).
a = m+2<0
m + 2 < 0
Trường hợp 2: 
⇔
⇔ m < −2


2

10 ( m + 2 ) ≤ 0
∆ ' = ( m + 2 ) − ( m + 2 ) ( m − 8) ≤ 0


Từ hai trường hợp trên ta được m ≤ −2. Chọn đáp án: C
*Phân tích các sai lầm của học sinh dẫn đến các phương án nhiễu:
-Với nhiều học sinh không nhớ xét trường hợp khi hệ số a = 0 , tức là m + 2 = 0
⇔ m = −2 thì sẽ chọn đáp án A.
Bài 4. Cho hàm số: y = − x3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5. Các giá trị nguyên của tham
m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Tính tổng các giá trị đó của m ?
A. 42 .
B. 7 .
C. −42 .
D. 0 .
7

Hướng dẫn giải:
Giáo viên yêu cầu học sinh cần nắm chắc:
- Khoảng (−∞; +∞) = ¡
-Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên ¡ .
- Tìm các giá trị nguyên của m. .Tính tổng các giá trị đó, chọn đáp án.
Lời giải:
Ta có: y′ = −3x 2 − 2mx + 4m + 9 . Để hàm số nghịch biến trên ¡ .
a = −3 < 0
2
⇔ −3x − 2mx + 4m + 9 ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
2
′
∆ y′ = m + 12m + 27 ≤ 0
⇔ −9 ≤ m ≤ −3
Do m∈¢ ⇒ m ∈ { −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3} .
Vậy tổng các giá trị của m bằng −42 .Chọn đáp án : C
-Với bài tốn này có một số học sinh khơng phải học sinh các em khơng nhớ được
khoảng (−∞; +∞) chính là tập ¡ nên các em không biết hướng làm. Dẫn đến đưa
ra đáp án khơng chính xác. Một số em thì khơng xác định được các giá trị ngun
của m vì lẫn lộn tập số nguyên với tập số tự nhiên nên chọn đáp án sai.
Do đó giáo viên cần nhấn mạnh các sai lầm cho học sinh nhớ để làm các bài sau.
1
Bài 5. Cho hàm số y = (m2 −1) x3 + (m + 1) x 2 + 3x −1 . Số giá trị m nguyên và
3
m ∈  −2018;2018 để hàm số đồng biến trên ¡ là:
A.4035.
B. 4037.
C. 4036.
D. 4034.
Hướng dẫn giải:

Học sinh cần nêu được các bước giải:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
Bước 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ¡ .
-Chú ý xét 2 trường hợp: m2 −1 = 0, m2 −1 ≠ 0
Bước 3: Kết hợp với điều kiện m ∈  −2018;2018 , m ∈ ¢
Tìm số các giá trị của m, chọn đáp án.
Lời giải:
Ta có: y ' = (m2 − 1) x 2 + 2(m + 1) x + 3 . Hàm đã cho đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi
(m2 −1) x2 + 2(m + 1) x + 3 ≥ 0, ∀x ∈¡ . Xét 2 trường hợp:
m = 1

2
-Trường hợp 1: Nếu m − 1 = 0 ⇔ 
y, = 3 ≥ 0, ∀x ∈¡

 m = −1

+Nếu m = −1 thì
nên hàm số đồng biến trên ¡ . Vậy m = −1 thỏa
mãn yêu cầu bài tốn (1).
3
,
+Nếu m = 1 thì y = 4 x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ − (không thỏa mãn với mọi x∈¡ ) nên hàm
4
số không đồng biến trên ¡ . Vậy m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
8


-Trường hợp 2: Nếu m2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 .Khi đó:
(m2 −1) x2 + 2(m + 1) x + 3 ≥ 0, ∀x ∈¡

  m < −1
  m < −1

m2 − 1 > 0
 m < −1
  m > 1
 m > 1
⇔ 
⇔
⇔

m ≥ 2
∆ ' ≤ 0

  m ≤ −1
2
2
(
m
+
1)
−
3(
m
−
1)
≤
0
m ≥ 2



Theo giả thiết : m ∈  −2018;2018 , nên m ∈ [ −2018; −1) ∪ [ 2; 2018] ,mà

m nguyên

nên m nhận 4034 giá trị (2).
+Từ (1) và (2) suy ra m nhận 4035 giá trị.Chọn đáp án : A
*Phân tích sai lầm của học sinh:
Với bài tốn trên rất nhiều học sinh bỏ quên trường hợp 1 chỉ giải trường hợp 2
nên chọn đáp án D hoặc học sinh lấy cả 2 giá trị của trường hợp 1 và kết hợp
trường hợp 2 nên chọn đáp án C. Với nhiều học sinh xét được cả 2 trường hợp
nhưng khơng biết cách chọn xem có bao nhiêu giá trị của m thỏa mãn bài tốn. Vì
vậy với bài tốn này khi dạy cho học sinh lớp tơi phải giảng giải chi tiết cho các
em, đặc biệt nhắc lại cho học sinh cách tìm số số hạng của m.
x−m+2
Bài 6. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
nghịch
x +1
biến trên các khoảng xác định của nó?
A. m > 3
B. m ≥ 1
C. m ≤ 1
D. m < 1
Hướng dẫn giải.
-Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại các bước giải bài tốn trên .
- Học sinh trình bày lời giải và đưa ra đáp án.
Lời giải:
- Tập xác định: D = ¡ \ { −1} .

Đạo hàm: y ' =

m −1
.
( x + 1)2

Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định thì ta phải có:
m −1
y'=
< 0, ∀x ≠ −1 ⇔ m −1 < 0 ⇔ m < 1 Chọn đáp án D.
( x + 1)2
* Phân tích cho học sinh sai lầm mắc phải:
Với bài toán trên học sinh cần nắm chắc lí thuyết thì sẽ dể dàng giải quyết được
vấn đề. Tuy nhiên có nhiều học sinh vẫn sai lầm là hàm số nghịch biến trên các
khoảng xác định thì ta phải có: y ' = m −1 ≤ 0, ∀x ≠ −1 ⇔ m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ 1
( x + 1)2
Dẫn đến chọn đáp án: C.
Giáo viên cần nhấn mạnh và lưu ý cho học sinh hàm số y =

a.x + b
cx + d

( đồng biến trên từng khoảng xác định thì y’ >0, nghịch biến trên từng khoảng
xác định thì y’ < 0 ).
9


x + (m + 3)
Bài 7 . Số giá trị nguyên của tham số m ∈  −10;10  để hàm số y =
x+2

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó là :
A. 21 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 11 .
Hướng dẫn giải:
Giáo viên yêu cầu học sinh nêu các bước giải:
Bước1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm
Bước 2: Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến các khoảng xác định.
Bước 3: Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải:
−m − 1
-Tập xác định: D = ¡ \ { −2} . Đạo hàm: y′ =
.
( x + 2)2

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
⇔ y′ > 0, ∀x ∈ D ⇔ − m − 1 > 0 ⇔ m < −1 .
Mặt khác, ta có: m ∈  −10;10  và m nguyên nên ta có:
m∈ { −10; −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2} .
Do đó ta chọn đáp án B.
*Phân tích sai lầm của học sinh: Một số học sinh không chắc lý thuyết đưa ra lời
giải hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì:
y′ ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ − m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ −1 .vậy chọn đáp án C
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số ( giả sử tham số m ) để hàm số đồng biến
hoặc nghịch biến trên tập K là tập con của tập xác định.
Phương pháp giải .
Trường hợp 1: Với hàm f ( x) hàm đa thức bậc 3 hoặc bậc 4
Bước 1: Tính đạo hàm f '( x)
Bước 2: Để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập K thì ta phải có:

f '( x) ≥ 0 ( hoặc f '( x) ≤ 0) với mọi x ∈ K . Ta có 2 cách làm:
Cách 1.
Bước 1: Từ f '( x) ≥ 0 ( hoặc f '( x) ≤ 0) với mọi x ∈ K . Cô lập tham số m (tức là rút
m sang một vế và vế còn lại chỉ chứa x ) đưa về dạng h ( m ) ≤ g ( x) , hoặc
h ( m ) ≥ g ( x ) với ∀x ∈ K .
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng tập K .
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm
của tham số m (Một số bài tốn có thể sử dụng máy tính mà không cần
dùng đến bảng biến thiên).
Cơ sở lý thuyết:
f ( x)
+ Giả sử tồn tại xm∈ax
K
f ( x) < g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) < g (m); f ( x) ≤ g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) ≤ g (m)
x∈K
x∈K
min
f
(
x
)
+ Giả sử tồn tại x∈K
10


f ( x) > g (m), ∀x ∈ K ⇔ min f ( x) > g (m); f ( x) ≥ g (m), ∀x ∈ K ⇔ min f ( x) ≥ g (m)
x∈K
x∈K
* Cách 2: Khi không cô lập được tham số m , ta sử dụng định lí về dấu
tam thức bậc hai hoặc tìm nghiệm của f '( x) = 0 , lập bảng xét dấu f '( x)

rồi suy ra điều kiện cần thiết để thỏa mãn bài toán .
ax + b
* Với hàm phân thức y =
cx + d
d
Bước 1: Tìm điều kiện xác định: cx + d ≠ 0 ⇔ x ≠ −
c
ad − bc
Bước 2: Tính đạo hàm: y ' =
(cx + d )2

- Để hàm số đồng biến trên tập K
giá trị của tham số m .

 ad − bc > 0

⇒ Tìm
ta cần có: y ' > 0, ∀x ∈ K ⇔  d
−
∉
K

 c

 ad − bc < 0

⇒
- Để hàm số nghịch biến trên tập K ta cần có: y ' < 0, ∀x ∈ K ⇔  d
− ∉ K
 c

Tìm giá trị của tham số m .
Bước 3: Chọn đáp án.
Bài 1. Cho hàm số y = x3 + 3x2 − mx − 4 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
biến trên khoảng (−∞;0) ?
B.m < −3
C.m ≥ −3
D.m ≥ 3
A. m ≤ −3
Hướng dẫn giải:
*Học sinh cần nắm chắc các bước giải.
Bước 1: Tính đạo hàm.
Bước2: Tìm điều kiện của m để hàm số thỏa mãn bài toán.
Bước 3: Kết luận. Chọn đáp án.
Lời giải:
Ta có: y ' = 3x2 + 6 x − m .Hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (−∞;0)
⇔ 3x2 + 6 x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞,0) ⇔ m ≤ 3x 2 + 6 x = g ( x), ∀x ∈ (−∞,0)
⇔ m ≤ min g ( x)
(−∞,0)
Ta có: g '( x) = 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1
min g ( x) = g (−1) = −3
Vẽ bảng biến thiên ta có (−∞
nên m ≤ −3
,0)
Kết luận: Chọn đáp án A
* Phân tích sai lầm của học sinh:
- Với bài tốn này thì rất nhiều học sinh sẽ nhầm m ≤ max g ( x)
(−∞,0)

- Giáo viên cũng cần hướng dẫn chi tiết cách cô lập m và đưa ra điều kiện

m ≤ min g ( x)
min g ( x)
. Cịn việc tìm (−∞
thì học sinh có thể dùng bảng biến thiên
(−∞,0)
,0)
hoặc bấm máy tính.
11


Bài 2. Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 + mx − 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
biến trên đoạn [ 0; 2] ?
B.m ∈φ
A. m ≤ −3

C. m ≥ 0
D.m ≥ −3
Hướng dẫn giải
Giáo viên đặt vấn đề và hướng dẫn học sinh giải như bài 1 ở trên.
Lời giải:
2
- Đạo hàm: y ' = −3x + 6 x + m . Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; 2]
⇔ −3x 2 + 6 x + m ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ m ≥ 3x 2 − 6 x = g ( x), ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ m ≥ max g ( x) T
[ 0;2]

a có: g '( x) = 6 x − 6 = 0 ⇔ x = 1
Vẽ bảng biến thiên ta có m ≥ max g ( x) = 0 . Chọn đáp án: C
[ 0;2]

* Phân tích sai lầm của học sinh.

- Sai lầm 1: Tương tự bài 8 thì bài tốn này thì rất nhiều học sinh nhầm với dạng 1,
tức là học sinh sẽ giải:
 a = −3 > 0
Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] khi y ' ≥ 0 ⇔ 
.(Không xảy ra).
 ∆ ' = 9 + 3m ≤ 0
Chọn đáp án: B
- Sai lầm 2: Học sinh giải.
Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] khi y ' ≥ 0 ⇔ ∆ ' = 9 + 3m ≤ 0 ⇔ m ≤ −3 .Chọn đáp án:A.
-Sai lầm 3: Học sinh dể nhầm lẫn:
m ≥ 3x 2 − 6 x = g ( x), ∀x ∈ [ 0; 2]
⇔ m ≥ min g ( x) ⇔ m ≥ −3 . Chọn đáp án: D
[ 0;2]

g ( x) thì
- Giáo viên cho học sinh nêu cách cơ lập m trong ví dụ .Cịn việc tìm max
[ 0;2]
học sinh có thể dùng bảng biến thiên hoặc bấm máy tính.
3
2
2
Bài 3. Cho hàm số y = x + 3x − m − 3m + 2 x + 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên

(

)

của tham số m để hàm số đồng biến [ 0; 2] ?
A. 3 .
B. 2 .

C. 4 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải.
- Với bài này thì giáo viên có thể cho các em trình bày hướng giải, thảo luận theo nhóm và
giáo viên gợi ý cho học sinh giải. Sau đó gọi 1 học sinh lên bảng trình bày lời giải.
Lời giải:
3
2
2
2
2
Ta có : y = x + 3x − m − 3m + 2 x + 5 ⇒ y′ = 3x + 6 x − m − 3m + 2 .

(

)

(

)

Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; 2] và dấu '' = '' chỉ xảy ra tại hữu
2
2
hạn điểm trên [ 0; 2] ⇔ 3x + 6 x − m − 3m + 2 ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; 2]

(

)

⇔ 3x2 + 6 x ≥ m2 − 3m + 2 ( *) ∀x ∈ [ 0; 2] .Xét hàm số g ( x ) = 3x 2 + 6 x, x ∈ [ 0; 2] .
Ta có g ′ ( x ) = 6 x + 6 > 0, ∀x ∈ [ 0; 2] .
12


Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện để ( *) xảy ra là: m2 − 3m + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2 .
Do m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 1; 2} . Chọn đáp án: B
Phân tích sai lầm của học sinh:
-Sai lầm 1: Học sinh không biết cách cô lập m vì thấy bậc của tham số m là cả bậc
2 và bậc 1 trong biểu thức y′ ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; 2]
- Sai lầm 2: Từ bảng biến thiên thì điều kiện của m là:
3 − 97
3 + 97
m2 − 3m + 2 ≤ 24 ⇔ m2 − 3m − 22 ≤ 0 ⇔
≤m≤
2

2

Dẫn đến học sinh không chọn được đáp án .
1 3
1
2
Bài 4. Cho hàm số y = mx − ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) x + . Tìm giá trị nguyên nhỏ
3
3
nhất của tham số m để hàm số đồng biến trên [ 2;+∞ ) ?
A.m = 0

C.m = 2
D.m = −2
B. m = 1
Hướng dẫn giải:
Giáo viên cần cho học sinh:- Tính đạo hàm.
- Từ điều kiện: y ' ≥, ∀x ≥ 2 . Cho học sinh cơ lập m và tìm ra điều kiện của m.
- Dựa vào đề bài, chọn đáp án.
Lời giải:
2
Ta có: y' = mx − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 )
Hàm số đồng biến trên  2; +∞ ) ⇔ mx 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x ≥ 2


⇔ m ( x 2 − 2x + 3) + 2x − 6 ≥ 0, ∀x ≥ 2 ⇔ m ≥
(vì x2 – 2x + 3 > 0)
Bài tốn trở thành: Tìm m để hàm số f ( x ) =
Ta có: f ' ( x ) =

2x 2 − 12x + 6

(x

2

− 2x + 3)

2

6 − 2x
, ∀x ≥ 2

x − 2x + 3
2

6 − 2x
≤ m, ∀x ≥ 2
x − 2x + 3
2

, f ' ( x ) = 0 ⇔ 2x 2 − 12x + 6 = 0 ⇔ x = 3 ± 6

Bảng biến thiên:
x

f’( x )
f( x )

2
-

2
3

3+ 6
0

+∞

+
0
13

2
Ta cần có: max f (x) ≤ m ⇔ m ≥ . Do đó m ∈ ¢ , m nhỏ nhất thì m =1.
3
[ 2;+∞)
Chọn đáp án: B
-Với bài tốn trên thì việc cơ lập m là quan trọng, giáo viên nên hướng dẫn chi tiết
để học sinh hiểu và là được các bài tương tự. Giáo viên cũng lưu ý cho học sinh
2
max f (x) ≤ m ⇔ m ≥ . Học sinh cũng có thể dùng máy tính để tính giá trị lớn
3
[ 2;+∞ )
nhất của f(x) mà không cần dùng đến bảng biến thiên. Giáo viên cũng phân tích
các sai lầm có thể mắc phải của học sinh.
Bài 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  −9;11 sao cho
1
1
hàm số y = x3 − (2m +1) x 2 + (m2 + m) x +1 đồng biến trên khoảng (0; +∞)? .
3
2
A.9
B.10
C.13
D.15
Hướng dẫn giải.
- Với bài tốn này thì giáo viên nên cho học sinh nháp và hỏi xem các em có cô
lập m để làm như các bài trên không? Khi học sinh khơng thể cơ lập m thì giáo
viên có thể gợi ý cho các em tìm nghiệm của f '( x) = 0 . Sau đó gợi ý cho các em
xét dấu f '( x) . Từ đó cho học sinh thảo luận và đưa ra điều kiện để hàm số đồng

biến trên khoảng (0; +∞).

Lời giải:

x = m
2
2
Tacó: y ' = x 2 − (2m + 1) x + (m2 + m) , y ' = x − (2m + 1) x + (m + m) = 0 ⇔ 
 x = m +1
Ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) ⇔ m + 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ −1 .
Mà m ∈ ¢, m ∈ −9;11 nên có 9 giá trị nguyên của m .Chọn đáp án: A
- Bài toán trên là bài toán học sinh rất dể mắc các sai lầm nên giáo viên cần hướng dẫn
chi tiết.
3
2
2
Bài 6. Cho hàm số y = x − mx − 2m − 7m + 7 x + 2 ( m − 1) ( 2m − 3) . Có bao

(

)

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) ?
A.4
B. 0.
C. 4.
D. 2.

Hướng dẫn giải
14


Ở bài toán này cách giải giống như bài toán 5. Tuy nhiên có một điều là học sinh
khơng thể tìm được nghiệm của phương trình y ' = 0 giống như bài 5. Đến lúc này
thì giáo viên cần dẫn dắt gợi ý cho các em sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai
và định lý đảo của nó.Với nhiều học sinh thì đây là bài tốn khó vì sử dụng khá
nhiều kiến thức ở lớp 10 mà các em lâu ngày đã quên.
Lời giải:
2
2
Ta có: y′ = 3 x − 2mx − 2m − 7 m + 7 .

)

(

Hàm số đồng biến trong khoảng ( 2;+∞ ) thì ta phải có :
y′ = 3x 2 − 2mx − 2m 2 − 7m + 7 ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

)

(

)

(

2

2
Ta thấy phương trình: y ' = 3x − 2mx − 2m − 7m + 7 = 0

có: ∆ ' = m2 − 3m + 3 > 0, ∀m ∈¡ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

(

)

Giả sử x1, x2 , x1 < x2 là hai nghiệm của phương trình y ' = 0 , để hàm số đồng
biến trong khoảng ( 2;+∞ ) thì ta phải có:
m
S
 <2
3 <2
x1 < x2 ≤ 2 ⇔  2
⇔
3.f(2) ≥ 0 3.(12 − 4m − 2m 2 + 7 m − 7) ≥ 0

m < 6
m < 6
5

⇔
⇔
⇔ −1 ≤ m ≤ .Vậy có 4 giá trị nguyên của m thì
5
2
2
−2m + 3m + 5 ≥ 0 −1 ≤ m ≤ 2

hàm số đồng biến trong khoảng ( 2;+∞ ) .Chọn đáp án : A
Bài 7. Cho hàm số y = x 4 − 2 ( 4m − 1) x 2 + 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên
m∈ ( −10;10 ) để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) ?
A.10 .
B. 8 .
C. 7 .
D. 9 .
Hướng dẫn giải:
Khác với các bài toán trước thì bài tốn này thì hàm sơ đã cho là hàm bậc 4.
Giáo viên lưu ý học sinh cách làm tương tự các bài tập trên.
Lời giải:
Học sinh có thể giải theo 2 cách sau:
Cách 1. Ta có: y′ = 4 x3 − 4 ( 4m −1) x = 4 x  x 2 − ( 4m −1) 


Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ )
⇔ 4 x  x 2 − ( 4m − 1)  ≥ 0, x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ x 2 − ( 4m − 1) ≥ 0








1
⇔ 4m − 1 ≤ x 2 , x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ 4m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ , m ∈ (−10;10) ⇒ m ∈ ( −10; 0 ] , m ∈ ¢
2

Nên có 10 giá trị m thoả mãn.
Cách 2:

15


y′ = 4 x3 − 4 ( 4m −1) x = 4 x  x 2 − ( 4m −1) 




1
+ Trường hợp 1: 4m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ .
4
Khi đó: y′ > 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) .Vì
m∈ ( −10;10 ) và m nguyên nên có 10 giá trị m thoả mãn.
x = 0

1
+Trường hợp 2: 4m − 1 > 0 ⇔ m > : y′ = 0 ⇔  x = 4m − 1 .
4

 x = − 4m − 1
2
Lập bảng xét dấu y′ = 4 x  x − ( 4m −1) 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) ⇔

1
4m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ .
2



Vì ⇒ m ∈  ;  và m nguyên nên khơng có giá trị m nào thoả mãn (Loại).
 4 2
1 1

Vậy có tất cả 10 giá trị m nguyên thoả mãn bài toán. Chọn đáp án: A.
-Giáo viên phân tích cho học sinh khơng nên chọn cách giải 2. Vì khá dài, mất
nhiều thời gian và nhiều em không biết lập bảng xét dấu của của biểu thức bậc 3
khi các nghiệm có chứa tham số, cũng như khơng biết tìm điều kiện để hàm số
đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) sau khi có bảng xét dấu y′.
- Tuy nhiên cách 1 giáo viên nhấn mạnh cho các em điều kiện x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ x > 1
Bài 8. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

p
y = − x 4 + (2m − 3) x 2 + m nghịch biến trên khoảng (1;2) là  −∞; q  trong đó phân


p
số q tối giản và q > 0 . Hỏi tổng p + q bằng:
A. 5
B. 9
C. 7
D. 13
Hướng dẫn giải:
Giáo viên cho học sinh nháp bài và đưa ra hướng giải phù hợp:
Lời giải.
y ' = −4 x3 + 2(2m − 3) x . Hàm số y = − x 4 + (2m − 3) x 2 + m nghịch biến trên khoảng
(1;2) thì : y ' ≤ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇔ −4 x3 + 2(2m − 3) x ≤ 0 ⇔ m ≤ x 2 + 3 = g ( x), ∀x ∈ (1;2)

2
Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1; 2)
Bảng biến thiên:
x
1
2
g’( x )
+
11
g( x )
2
5
2

16


5 p =5
⇒ p+q =7
Dựa vào bảng biến thiên ta có: m ≤ ⇒ 
2 q = 2
Chọn đáp án: C
* Phân tích các sai lầm của học sinh:
- Sai lầm 1: Nhiều học sinh giải.
y ' ≤ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇔ −4 x3 + 2(2m − 3) x ≤ 0 ⇔ 2 x(−2 x 2 + 2m − 3) ≤ 0
Sau đó lập bảng xét dấu y’, rồi tìm ra điều kiện của m. Cách giải này các em
phải xét nhiều trường hợp, làm bài toán phức tạp và dể sai xót.
-Sai lầm 2: Sau khi lập bảng biến thiên xong thì học sinh chọn điều kiện :
 p = 11
11

m≤ ⇒
⇒ p + q = 13
2 q = 2
Dẫn đến học sinh chọn đáp án: D
mx + 4
Bài 9. Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
luôn nghịch
x+m
biến trên (−∞;1) ?
A. −2 < m < 2
B. −2 < m < −1
C. −2 < m ≤ −1
D. −2 ≤ m ≤ 2
Hướng dẫn giải:
-Giáo viên yêu cầu học sinh trình bày các bước giải:
- Cho học sinh thảo luận nhóm và đưa ra đáp án.
- Giáo viên sẽ sữa nếu học sinh hướng làm và đáp án sai.
Lời giải:
m2 − 4
-Điều kiện xác định: x ≠ −m .Đạo hàm: y ' =
( x + m)2
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) ta phải có:
 m2 − 4 < 0
 y ' < 0, ∀x ∈ (−∞;1)
 −2 < m < 2
⇔
⇔
⇔ −2 < m ≤ −1



 m ≤ −1
 − m ∉ (−∞;1)
 − m ≥ 1

Đáp án: −2 < m ≤ 1 . Chọn đáp án: C
* Phân tích sai lầm của học sinh:
- Sai lầm 1: Học sinh có thể giải: Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) ta
phải có: y ' < 0, ∀x ∈ (−∞;1) ⇔ m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2. Chọn đáp án: A
- Sai lầm 2: Học sinh giải: Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) ta phải có:
 m2 − 4 < 0
 y ' < 0, ∀x ∈ (−∞;1)
−2 < m < 2
⇔
⇔
⇔ −2 < m < −1


m
<
−
1
−
m
>
1

−m ∉ (−∞;1)

.Chọn đáp án : B.
- Sai lầm 3: Học sinh giải: Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) ta phải có:

y ' ≤ 0, ∀x ∈ (−∞;1) ⇔ m 2 − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2. Chọn đáp án: D.
17


- Qua các sai lầm trên giáo viên cần củng cố lại các kiến thức liên quan cho học sinh.
mx − 4
Bài 10. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
đồng biến trên
x−m
khoảng ( 0;2 ) là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải:
- Sau khi làm xong bài 9 thì bài 10 học sinh có thể giải tốt hơn nên giáo viên
không cần hướng dẫn chi tiết, học sinh tự giải được.
Lời giải:
4 − m2
′
y
=
- Điều kiện xác định: x ≠ m . Đạo hàm:
. Để hàm số đồng biến trên
( x − m) 2
khoảng ( 0;2 ) . Khi và chỉ khi:
m ∈ ( −2;2 )

 y ' > 0, ∀x ∈ (0;2)


4 − m2 > 0
⇔
⇔  m ≤ 0
⇔ m ∈ ( −2;0 , m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −1;0}

m
∉
0;2
m ∉ (0;2)
(
)



m ≥ 2
Chọn đáp án: A
* Phân tích sai lầm học sinh:
- Sai lầm 1: Học sinh giải.
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) ⇔ y′ > 0 ⇔ 4 − m2 > 0 ⇔ m ∈ ( −2;2 )
Chọn đáp án: B.
- Sai lầm 2: Học sinh nhầm
m ∈  −2;2
4 − m2 ≥ 0
 y ' ≥ 0, ∀x ∈ (0;2)

⇔
⇔  m ≤ 0
⇔ m ∈  −2;0 ∪ { 2} .Nên chọn C.

m ∉ (0;2)

m ∉ ( 0;2 )

m ≥ 2
- Sai lầm 3:
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) ⇔ y′ ≥ 0 ⇔ 4 − m2 ≥ 0 ⇔ m ∈  −2;2  .
Nên chọn D.
Bài 11. Các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x +1 nghịch biến trên
x − 2m

khoảng (3; +∞) thuộc nửa khoảng ( a; b  . Tính P = 2a + 3b ?
A. P = 2.

7
B. P > 2 .

C. P = 5 .

D. P = 1

Hướng dẫn giải:
- Giáo viên cho học sinh nêu các bước giải.
- Học sinh trình bày lời giải và đưa ra đáp án . Chọn đáp án. C
Lời giải:
- Điều kiện xác định :
Đạo hàm: y′ = −2m −1
x ≠ 2m
2
( x − 2m )
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞) ta phải có:

18


−1

−2m − 1 < 0
−
2
m
−
1
m >
y′ < 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ⇔
< 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ⇔ 
⇔
2
2
2
m
∉
3;
+∞
(
)



( x − 2m )
 2m ≤ 3
−1

3
1
3
⇔ < m ≤ ⇒ a = − ; b = ⇒ P = 2a + 4b = 5
2
2
2
2
Bài 12. Cho hàm số y = mx + 4. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham
x +m
số m sao cho hàm nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;0) . Tính tổng các phần tử của
S?
A. 3 .
B. 0 .
C. - 3.
D. - 1.
Hướng dẫn giải:
- Khi tơi dạy đến bài này thì học sinh hồn tồn có thể làm chính xác đáp án.
Lời giải:
- Điều kiện xác định: x ≠ −m . Đạo hàm: y ' =

m2 - 4

( x + m)

2

.Hàm số nghịch biến trên

m2 − 4 < 0

⇔ −2 < m ≤ 0
khoảng (−∞;0) ⇔ y ' < 0 ∀x ∈ ( −∞;0 )
m ( ;0 )

Do m ẻ Â ị m Ỵ { - 1;0 } .Vậy tập : S = { - 1;0} .Vậy có tổng các phần tử của
tập S bằng −1 .Chọn đáp án: D
2.3.3. Bài tập tự luyên: Có in trong phụ lục kèm theo.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sáng kiến kinh nghiệm là một phần kinh nghiệm của bản thân tơi được rút ra
trong q trình tự học, tự bồi và thông qua tài liệu tập huấn, Internet, và sự góp ý
xây dựng từ các đồng nghiệp đã tạo ra một đơn vị kiến thức nhỏ mặc dù chưa
được hoàn thiện một cách tốt nhất. Nhưng cũng là tài liệu tham khảo dùng để kiểm
tra, đánh giá học sinh khối 12 trong chương I (giải tích lớp 12), các kỳ thi học kỳ I,
các kỳ thi thử xét tuyển đại học của trường THPT Lê Lợi, đồng thời cũng là tư liệu
để các đồng nghiệp tham khảo một cách có hiệu quả.
2.4.1. Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đạt được
- Sáng kiến kinh nghiệm này tuy chỉ là một đề tài nhỏ bé của tôi nhưng đây
cũng là phần nghiên cứu của tôi trong suốt năm học 2019 - 2020 và được áp dụng
cho các kỳ thi ở lớp 12 năm học 2020-2021.
- Trong thời gian thử nghiệm năm học 2020 – 2021 tôi đã thu được những kết
quả nhất định, được thể hiện thông qua các Lớp 12A6, 12A8, 12A9 trường THPT
Lê Lợi như sau: (Bài kiểm tra khảo sát chất lượng vào buổi chiều 45 phút - 25 câu
trắc nghiệm ). Sau đây là số liệu ghi nhận lại từ các lần kiểm tra:
Khi chưa sử dụng sáng kiến kinh nghiệm (Năm học: 2019-2020)

Kiểm tra lần 1 ở học kì 1 (Bài 45 phút thứ nhất học kì 1)
19

Đối tượng
Tổng 8.0 – 10.0
Lớp
Số bài SL
%
12A3 40
6 15.0
12A4 44
9 20.5
12A8

Kết quả kiểm tra (điểm số bài kiểm tra)
6,5 – 7,9
5.0 – 6.4
3.5 – 4.9
0.0 – 3.4
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8
20.0 11 27.5 10 25.0 5
12.5
6
13.6 9
20.5 14 31.8 6

13.6

43

6

14.0

5

11.6

14

32.6

10

23.2

8

18.6

Tổng 127

21

16.4

19

15.0

34

26.8

34

26.8

19

15.0

Kiểm tra lần 2 ở học kì 1 (Bài 45 phút thứ hai học kì 1)
Đối tượng
Kết quả kiểm tra (điểm số bài kiểm tra)
5.0 – 6.4
3.5 – 4.9
0.0 – 3.4
Tổng 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9
Lớp
Số bài SL
%
SL
%
SL
%

SL
%
SL
%
12A3 40
3
7.5
6
15.0 16 40.0 11 27.5 4
10.0
12A4 44
3
6.8
7
15.9 14 31.8 14 31.8 6
13.6
12A8

43

6

14.0

4

9.3

14

32.6

15

34.9

4

9.3

Tổng 127 12 9.4 17 13.4 44 34.6 40 31.6 14
11.0
Tổng hợp sau 2 lần kiểm tra chưa áp dung sáng kiến kinh nghiệm
Đối tượng
Kết quả kiểm tra (điểm số bài kiểm tra)
12 A3
Tổng 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9
5.0 – 6.4 3.5 – 4.9 0.0 – 3.4
12A4
Số
SL
%
SL
%
SL
%
SL % SL %
12A8
bài
29.

Tổng
254 33 13.0 36 14.2 78 30.7 74
33 13.0
1
Khi đã sử dụng sáng kiến kinh nghiệm (Năm học 2020-2021)
Bài 45 phút lần thứ nhất ở học kì 1)
Đối tượng
Kết quả kiểm tra (điểm số bài kiểm tra)
5.0 – 6.4
3.5 – 4.9
0.0 – 3.4
Tổng 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9
Lớp
Số bài SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A6 38
10 26.3 15 39.5 13 34.2 0
0
0
0
12A8 41
12 29.3 17 41.4 11 26.8 1

2.5
0
0
12A9

43

16

Tổng 122

38

37.2

18

41.8

8

18.6

1

2.4

0

0

31.1 50 41.0 32 26.2 2
1.7
0
0
Bài 45 phút lần thứ 2 học kì 1
Đối tượng
Kết quả kiểm tra (điểm số bài kiểm tra)
5.0 – 6.4
3.5 – 4.9
0.0 – 3.4
Tổng 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9
Lớp
Số bài SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A6 38
14 36.8 19 50.0 5
13.2 0
0
0
0
12A8 41

15 36.6 20 48.9 6
14.5 0
0
0
0
20


12A9

43

20

46.5

20

46.5

3

7.0

0

0

0

0

Tổng 122 49 40.1 59 48.4 14 11.5 0
0
0
0
Tổng hợp sau 2 lần kiểm tra khi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Đối tượng
Kết quả kiểm tra (điểm số bài kiểm tra)
12 A6 Tổng 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9
5.0 – 6.4
3.5 – 4.9
0.0 – 3.4
12A8 Số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A9 bài
Tổng 244 87 35.6 109 44.6 46 18.9 2
0.9
0
0
Đối chiếu trước và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Kết quả bài kiểm tra 15 phút
Trước khi áp dụng SKKN
Sau khi áp dụng SKKN
Điểm
Tỉ lệ %
Tỉ lệ %
Dưới 3.5
13.0
0.0
3.5 đến 4.9
29.1
0.9
5.0 đến 6.4
30.7
18.9
6.5 đến 7.9
14.2
44.6
8.0 đến 10.9
13.0
35.6
Trên T.bình
57.9
99.1
Rõ ràng, qua thực tế cho thấy sự thành công bước đầu của đề tài nghiên cứu, cụ
thể là việc nâng cao hiệu quả giảng dạy ở các lớp 12 mà tôi dạy. Ban đầu những bài
tốn về tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số học sinh khơng hề có hứng thú vì
phải tính tốn mà ít sử dụng được máy tính. Nhưng qua quá trình học các em đã hào
hứng giải bài tập và đưa ra đáp án chính xác.
2.4.2. Khả năng phổ biến ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm

Hiện nay tôi mạnh dạn đưa nội dung đề tài này cho các đồng nghiệp của tổ bộ
môn và được một số đồng nghiệp đã áp dụng giảng dạy cho khối lớp 12 của
trường tôi trong việc ôn tập củng cố kiến thức cuối chương, cuối học kì, cuối năm,
đặc biệt là kì thi Tốt nghiệp THPT năm 2021 sắp tới .
3. Kết luận và kiến nghị.
3.1. Kết luận.
[14] Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được
Đảng, Nhà nước coi giáo dục là quốc sách hàng đầu thì việc đổi mới phương pháp
giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện
một cách có hiệu quả. Muốn làm tốt cơng việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự
học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chun mơn, từ đó tìm ra cho
mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm
tin ở học trị nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Một trong những cách
để tạo sự chuyển biến tích cực trong cơng tác giảng dạy đó là giáo viên viết các
chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học. Từ những nhận
thức đó, tơi đã chọn một số đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết
21


thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chun mơn, góp phần chia
sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và
học được tốt hơn.
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một phần rất nhỏ nó là kinh nghiệm bản
thân tiếp thu và tích lũy được qua q trình dạy và học. Vì vậy sự phát hiện những
ưu nhược điểm chưa được đầy đủ và sâu sắc. Mong rằng qua báo cáo sáng kiến
kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm những ý kiến và phản hồi những
ưu, nhược điểm của cách dạy nội dung này. Cuối cùng tôi mong rằng nội dung này
sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút ra
những điều bổ ích. Bài viết chắc chắn cịn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng
góp ý kiến, phê bình, phản hồi của các đồng nghiệp.

3.2. Kiến nghị. Để việc mở rộng và phát triển của sáng kiến có hiệu quả cao hơn
tơi xin đề xuất một số kiến nghị sau.
3.2.1 Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa:
Cần tổ chức tập huấn bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên, đặc biệt là tập huấn
về phương pháp dạy học và ra đề trắc nghiệm thế nào cho phù hợp với năng lực
của học sinh và đáp ứng yêu cầu thi hiện nay. Cần có một hệ thống ngân hàng câu
hỏi trắc nghiệm với sự huy động tồn bộ kiến thức, cơng sức của các thầy cô dạy
trong các trường THPT của tỉnh.
3.2.2. Đối với trường trung học phổ thông và các thầy cô giáo:
Nhà trường cần tổ chức cho giáo viên có cơ hội được trao đổi, học tập nâng cao
kiến thức và phương pháp dạy học. Tạo điều kiện cho học sinh được đề xuất các ý
kiến tích cực của mình với các thầy cô để các thầy cô phát huy các ưu điểm và
hạn chế các nhược điểm của các thầy cô trong công tác giảng dạy. Chú trọng đến
các công tác ra đề thi trắc nghiệm phù hợp với cấu trúc đề thi của Bộ Giáo Dục.
Nâng cao tinh thần tự học, tự nghiên cứu của học sinh. Về phía nhà trường cần tạo
đều kiện cho giáo viên đưa ra các phương pháp giáo dục mới để áp dụng cho từng
học sinh cụ thể và để khuyến khích các giáo viên viết nhiều SKKN hay và hiệu
quả ở nhiều lĩnh vực trong nhà trường, đưa qua thư viện làm tư liệu tham khảo và
ứng dụng Tôi xin chân thành cảm ơn!

22


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021

ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh

nghiệm do tôi viết, không sao chép nội
dung của người khác.

Lê Thị Lịch

TÀI LIỆU THAM KHẢO
*********

[1]. Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 12 của Bộ Giáo Dục - Nhà xuất bản
Giáo Dục, năm 2009
[2]. Sách giáo khoa thí điểm lớp 12 của Bộ Giáo Dục - Nhà xuất bản Giáo Dục
,năm 2009.
[3]. Trần Vui,Nâng cao chất lượng dạy học Toán theo những xu hướng mới-Nhà
xuất bản giáo dục năm 2006
[4]. Bộ sách chìa khóa vàng-Tốn học, Nhà xuất bản Quốc Gia Hà Nội, năm
2012.
[5]. Bộ sách các chuyên đề toán hay ở lớp 12-Toán học- Nhà Xuất bản khoa học
kỷ thuật, năm 2013
[6]. Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 của Bộ Giáo Dục, Nhà xuất bản Giáo
Dục, năm 2009
[7]. Sách giáo khoa và sách Ứng dụng đạo hàm khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ
thị hàm số - Lê Hồng Đức – Nhà xuất bản Giáo Dục.
[8]. Bộ đề ôn thi trắc ngiệm môn Toán - Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội
năm 2019
[9]. Bộ đề ơn thi trắc ngiệm mơn Tốn - Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 2019
[10] .Các đề thi trắc nghiệm về Tốt nghiệp THPT Quốc gia đã thi – trang weside
math.vn
[11].Các đề thi thử tốt nghiệp của các trường THPT trong tỉnh Thanh Hóa và các
tỉnh khác.
[12]. Đề minh họa lần 1 và lần 2 của Bộ Giáo Dục năm 2020 và cấu trúc đề thi,

giảm tải chương trình do ảnh hưởng của Covid-19.
[13].Các tài liệu về các chuyên đề tính đơn điệu của hàm số.
[14]. Luật Giáo dục Việt Nam, năm 2005

23


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP
LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ
C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Lịch
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Lợi

Cấp đánh giá xếp
loại (Phòng, Sở,
Tỉnh...)

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Ứng dụng bảng biến thiên Sở Giáo Dục và Đào
của
Tạo Thanh Hóa
hàm số để hướng dẫn học
sinh lớp 12 THPT Lê Lợi

giải và khai thác một số bài
toán chứa tham số.

Kết
quả
đánh
giá
Năm học
xếp
đánh giá xếp
loại
loại
(A,
B,
hoặc
C)
C 2010-2011

2.
Hướng dẫn học sinh lớp 11, Sở Giáo Dục và Đào
12 trường THPT Lê Lợi áp Tạo Thanh Hóa
dụng phương pháp véc tơ
để giải một số bài tốn hình
học không gian

C

2011-2012

24

3

Giúp học sinh lớp 11, 12
nâng cao năng lực tư duy
tốn học thơng qua việc
giải một số bài tốn đại số
ở các kỳ thi tốt nghiệp
THPT Quốc Gia dựa vào
phương pháp lượng giác.

Sở Giáo Dục và Đào
Tạo Thanh Hóa

C

2014-2015

3.

Một số giải pháp để nâng
Sở Giáo Dục và Đào
cao công tác giáo dục
Tạo Thanh Hóa
hướng nghiệp, dạy nghề
cho học sinh trường THPT
Lê Lợi

C

2015-2016

4.

Hướng dẫn học sinh lớp 12
trường THPT Lê Lợi giải
một số bài tập hình nâng
cao có ứng dụng thực tiến
trong các kỳ thi trung học
phổ thông Quốc Gia

Sở Giáo Dục và Đào
Tạo Thanh Hóa

C

2016-2017

Nâng cao năng lực tư duy
Tốn học qua việc hướng
dẫn học sinh lớp 10 trường
THPT Lê Lợi giải một số
bài tốn áp dụng phương
pháp phân tích véc tơ

Sở Giáo Dục và Đào
Tạo Thanh Hóa

C

2017-2018

6

25