Hướng dẫn học sinh nhận dạng và giải bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ GIẢI BÀI TỐN
TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM ẨN

Người thực hiện:
Chức vụ:

Lê Diễm Hương
Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học

THANH HÓA NĂM 2021
MỤC LỤC


Mục
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3

2.3.1
2.3.2
2.3.2.1

Nội dung
Mở đầu
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lý luận
Thực trạng của đề tài
Giải pháp thực hiện
Hệ thống kiến thức liên quan
Các dạng bài toán thường gặp
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

y = f ( x)

y = f ′( x)

2.3.2.2

biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
Dạng 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
g ( x ) = f u ( x ) 

y = f ′( x)

2.3.2.3

8

khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm

số
Dạng 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
g ( x ) = f u ( x )  + v ( x )

y = f ′( x)

2.3.2.4

khi

Trang
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
6
6

13

khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của

hàm số
Dạng 4: Tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn liên quan đến
tham số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số

19

y = f ′( x)

2.3.2.5
2.4
3

Bài tập tương tự
Kết quả nghiên cứu
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo

21
23
24

2


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năng
động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự
nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp
giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi
mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy học mơn Tốn.
Mục tiêu Giáo dục phổ thơng đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm
từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh.”
Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
tốt nghiệp THPT. Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệu của hàm số có
những nội dung hay, khó và thường liên quan đến đồ thị hàm ẩn khi biết đồ thị hoặc
bảng xét dấu đạo hàm . Với lượng kiến thức khá rộng và cần sự tư duy nhiều hơn từ
học sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trong những phần kiến thức quan trọng
của học sinh thi tốt nghiệp THPT .
Trong những năm trước đây, bài tốn tìm các khoảng đơn điệu của hàm số liên
quan đến hàm ẩn rất hiếm gặp thậm chí khơng có trong sách giáo khoa và trong các đề
thi THPTQG . Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụng phương thức thi trắc
nghiệm cho mơn tốn thì bài toán hàm số liên quan đến hàm hợp đã được coi là bài
tốn khơng thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia và bài tốn tìm khoảng đơn điệu cùa
hàm số là cốt lõi để từ đó học sinh có thể giải quết các bài tốn liên quan đến cực trị,
max,min,… của hàm ẩn. Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của
đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với
học sinh khơng cịn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn cả
là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ. Để thành công trong việc giải
quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Tốn thì ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ
nhiều các dạng tốn.
Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài tốn tìm khoảng đơn điệu của
hàm số và các bài toán liên quan đến hàm ẩn thường nằm ở mức độ kiến thức vận dụng

và vận dụng cao, là bài toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10. Cái khó ở
bài tốn này được đa phần các thầy cơ giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu
tố: yếu tố thứ nhất là đề bài được cho biết bởi đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
y = f ′( x)

y = f ( x)

, nếu học sinh không nắm chắc kiến thức sẽ rất dễ sai lầm sang hàm số
; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy tính đạo hàm hàm hợp, tư duy xét dấu, tư duy đồ
thị hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, bài tốn
địi hỏi sự biến đổi phức tạp không phụ thuộc biến số dễ gây sai sót, nhầm lẫn trong tính
3


toán cho học sinh. Đây là bài toán mới, được áp dụng vào thi cử chưa nhiều, trên thị
trường sách các tài liệu tham khảo cịn ít, cịn hạn chế cũng như chưa được đầu tư kĩ
lưỡng về nội dung và hình thức. Việc có một tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia các
dạng tốn khoa học ln là một nhu cầu cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải quyết tốt các
bài tốn tìm khoảng đơn điệu của hàm số
y = f ′( x)

y = f ( x)

liên quan đến hàm ẩn và đồ thị hoặc

bảng biến thiên của hàm số
. Từ đó sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài
tốn tương tự liên quan như tìm cực trị, GTLN,NN của hàm số liên quan đến đồ thị

y = f ′( x)

hoặc bảng biến thiên của hàm số
.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Nội dung là các bài tốn về tìm các khoảng đơn điệu của hàm ẩn xuất hiện trong
chương trình ơn thi tốt nghiệp mơn Tốn của THPT.
- Một số bài tập vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi học chọn học sinh giỏi tỉnh
và các đề thi tốt nghiệp THPT và minh họa các năm gần đây của Bộ GD & ĐT.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các đề thi
thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh và
khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng của một số giảng viên
toán,…).
- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học
của trò. Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững những kiến
thức Toán phổ thơng nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nội dung, tạo ra mối liên hệ
mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cần thiết. Muốn học tốt mơn Tốn, học
sinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở mơn Tốn một cách có hệ thống, biết vận
dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài tốn cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học
đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt.
Khi gặp một bài toán về hàm số liên quan đến hàm ẩn khi biết đồ thị hoặc bảng xét
dấu đạo hàm chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên với
những bài toán hay và khó, lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của
chương hay kiến thức của cấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướng

giải quyết. Vì tính chất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài này đã đặt ra
một yêu cầu cao hơn ở học sinh. Để giải quyết được bài toán, học sinh cần nắm vững
những kiến thức cơ bản của chương hàm số, các phép biến đổi đồ thị đã biết và kiến
4


thức về đạo hàm hàm hợp, bất phương trình và hệ bất phương trình . Tạo ra một mối
liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận và thực tiễn giúp
học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự hứng thú tích cực trong
học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu và lĩnh hội tri thức, giúp các em
khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm
bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng, khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp
dạng tốn khó. Đây là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo
viên.
2.2. THỰC TRẠNG
Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng như các
trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn)
cho thấy học sinh thường không mặn mà lắm với các bài tốn liên quan đến hàm ẩn . Lí
do được các bạn đưa ra là bài tốn này khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề,
quá trình biến đổi phức tạp, sử dụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và hay gây
nhầm lẫn, trong khi điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có khoảng 0,4 điểm.
Một phần khó cịn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán dành cho
học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm. Điều này đã dẫn đến
một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thi trắc
nghiệm tốn đều bỏ qua hồn tồn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong khi bài tốn
này khơng phải bài tốn q khó, bài tốn mấu chốt nhất của đề. Từ thực tiễn đó đã thúc
đẩy tơi nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh nhận dạng và giải bài tốn tìm
khoảng đơn điệu của hàm ẩn”.
2.3. GIẢI PHÁP
2.3.1. Hệ thống các kiến thức liên quan:

a) Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
y = f ( x)

xác định trên K. Ta nói:

+ Hàm số đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp
f ( x1 ) < f ( x2 )

+ Hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp
f ( x1 ) > f ( x2 )

x1 , x2

thuộc K mà

x1 , x2

thuộc K mà

x1 < x2

x1 < x2

thì

thì

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
b) Định lý:
Cho hàm số

a. Nếu
trên

y = f ( x)

có đạo hàm trên

f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ K

và

f ′( x) = 0

K

chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến

K

5


f ′( x) < 0, ∀x ∈ K

b. Nếu
trên

f ′( x) = 0

và

chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến

K

* Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

y = f ( x)

là:

+ Bước 1: Tìm tập xác định.
+ Bước 2: Tính đạo hàm
hoặc khơng xác định.

f ′( x)

+ Bước 3: Sắp xếp các điểm

xi

. Tìm các điểm

xi ( i = 1, 2,3,.., n )

mà tại đó đạo hàm bằng 0

theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

+ Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

c) Đạo hàm của hàm số hợp
+ Hàm số hợp: Giả sử
trị trên khoảng
trên
trên

¡

( c; d )

u = g ( x)

; hàm số

là hàm số của x, xác định trên khoảng

y = f ( u)

. Khi đó ta lập một hàm số

¡

y = f  g ( x ) 

.Ta gọi hàm

là hàm số của

u

y = f (u ) = f  g ( x ) 

xác định trên
xác định trên

là hàm hợp của hàm số

y = f ( u)

với

( a; b )

( c; d )

( a; b )

và lấy giá

và lấy giá trị
và lấy giá trị

u = g ( x)

.

+ Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số
hàm hợp

u = g ( x)

có đạo hàm tại x là

y = f  g ( x ) 

u′x

có đạo hàm tại x là:

và hàm số

y = f ( u)

u

có đạo hàm tại là

yu′

thì

y′x = yu′ .u′x

d) Sự tương giao của các đồ thị
Giả sử hàm số

y = f ( x)

có đồ thị là

( C1 )

và hàm số

hồnh độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị
f ( x) = g ( x)

( C1 )

và

; Giả sử

( C2 )

là

x0 , x1 ,...

và

( C2 )

có đồ thị là

( C2 )

. Khi đó

là nghiệm của phương trình

là các nghiệm của phương trình thì tọa độ các giao điểm của

M 0 ( x0 ; f ( x0 )), M 1 ( x1; f ( x1 )),...

* Sự tương giao giữa đồ thị hàm số
thị hàm số

( C1 )

y = g ( x)

y = f ( x)

y = f ( x)

và trục hoành: Hoành độ giao điểm của đồ

với trục hồnh là nghiệm của phương trình

f ( x) = 0

2.3.2. Các dạng bài toán thường gặp:
6


2.3.2.1. Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
hoặc bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

khi biết đồ thị

y = f ′( x )

Phương pháp:
Bước 1: Tìm nghiệm

xi ( i = 1, 2,..., n )

độ giao điểm của đồ thị hàm số
Bước 2: Xét dấu

của phương trình

y = f ′( x)

f ′( x) = 0

(là các hoành

với trục hoành)

f ′( x)

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số, suy ra kết quả tương ứng
* Chú ý:
+ Nếu đồ thị hàm số
trình:

y = f ′( x )

cắt trục hồnh ta gọi đó là các nghiệm đơn của phương

f ′( x) = 0

+ Nếu đồ thị hàm số

y = f ′( x )

tiếp xúc với trục hồnh ta gọi đó là các nghiệm kép

(nghiệm bội chẵn) của phương trình:
+ Nếu đồ thị hàm số
với phần đồ thị đó

y = f ′( x )

nằm trên trục hồnh suy ra khoảng đồng biến tương ứng

y = f ′( x )

+ Nếu đồ thị hàm số
ứng với phần đồ thị đó
Ví dụ 1: Cho hàm số
y = f ′( x)

y = f ( x)

f ′( x) = 0

nằm dưới trục hồnh suy ra khoảng nghịch biến tương

có đạo hàm liên tục trên

¡

và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

y = f ( x)
y = f ( x)
y = f ( x)
y = f ( x)

nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

( −1;1)

( 1; 2 )

.

( −2;1)

nghịch biến trên khoảng

.

.

( 0; 2 )

.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
7


+ Từ đồ thị hàm số

y = f ′( x)

f ′( x) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ (0; 2)

ta có

f ′( x) > 0 ⇔ x ∈ ( −2;0 ) ∪ (2; +∞)

và
Ta có bảng biến thiên:

x

−∞

f ′( x)

-2
-

0

0

2

+

0

+

-

0

∞

+

f ( x)

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D
Ví dụ 2: Cho hàm số
x

−∞

f ′( x)

Hàm số

y = f ( x)

-2
+

y = −2 f ( x ) + 2021

A.

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
-1

0

-

0

2

+

0

+∞

4
-

0

+

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

( −1; 2 )

B.

( −2; −1)

C.

( 2;4 )

D.

( −4; 2 )

Hướng dẫn: Chọn A

+ Tính đạo hàm
+ Hàm số

y′ = −2 f ′( x)

y = −2 f ( x ) + 2021

+ Từ bảng xét dấu ta thấy

nghịch biến

y = −2 f ( x) + 2021 ⇔ −2 f ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′( x) > 0

f ′( x) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; 2 ) ∪ ( 4; +∞ ) .

2.3.2.2. Dạng 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
thị hoặc bảng biến thiên của hàm số

y = f ′( x )

Ta chọn đáp án A

g ( x) = f u ( x ) 

khi biết đồ

Phương pháp:
Cách 1:
8

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
Bước 2: Sử dụng đồ thị của

f ′( x)

g ( x)

g ′ ( x ) = u′ ( x ) . f ′ u ( x ) 

,

, lập bảng xét dấu của

g′( x)

.
.

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số.
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
Bước 2: Hàm số
⇔ g′ ( x ) ≤ 0

g ( x)

đồng biến

g ( x)

g ′ ( x ) = u′ ( x ) . f ′ u ( x ) 

,

⇔ g′( x ) ≥ 0

; (Hàm số

g ( x)

.

nghịch biến

) (*)

( *)

Bước 3: Giải bất phương trình
(dựa vào đồ thị hàm số
luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Cho hàm số

y = f ( x)

y = f ′( x)

) từ đó kết

.
Hàm số

y = f ′( x)

y = f ( 2 − x)

có đồ thị như hình bên. Hàm số

đồng biến trên khoảng

A.
C.

( 2;+∞ )

B.

( −∞; −2 )

D.

( −2;1)

( 1;3)

Hướng dẫn: Chọn B
Cách 1:

Từ đồ thị hàm số
trên khoảng
khoảng
( −2;1)

( 1; 4 )

(−4; −1)

và

và

y = f '( x)

ta thấy

và trên khoảng

( 1; +∞ )

f '( x ) < 0

( −∞; −1)

. Khi đó: hàm số

với

suy ra

 x ∈ (1; 4)
 x < −1


g ( x) = f ( − x)

f (2 − x )

nên

f ( x)

nghịch biến

đồng biến trên các

đồng biến biến trên khoảng

( 3; +∞ )
9


Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số
Ta có

ta có

( f ( 2 − x) ) ′ = ( 2 − x) ′ . f ′( 2 − x) = − f ′( 2 − x)

Để hàm số

y = f ( 2 − x)

đồng biến thì

 2 − x < −1
x > 3
⇔
⇔
1 < 2 − x < 4
 −2 < x < 1

Ví dụ 2: Cho hàm số

Hàm số
A.

y = f ′( x)

 x < −1
f ′( x) < 0 ⇔ 
1 < x < 4

( 3; 4 )

f ( x)

.

.

( f ( 2 − x) )′ > 0 ⇔ f ′( 2 − x) < 0

.

, bảng xét dấu của

y = f ( 5 − 2x )

.

f ′( x)

như sau:

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

( 1;3)

.

C.

( −∞ ; − 3)

.

D.

( 4;5 )

.

Hướng dẫn: Chọn D

Ta có

5 − 2 x = −3
x = 4

⇔ 5 − 2 x = −1 ⇔  x = 3
y′ = f ′ ( 5 − 2 x ) = −2 f ′ ( 5 − 2 x ) ⇒ y′ = 0 ⇔ −2 f ′ ( 5 − 2 x ) = 0 5 − 2 x = 1
 x = 2

5 − 2 x < −3
x > 4
⇔
⇔
f ′ ( 5 − 2 x ) < 0  −1 < 5 − 2 x < 1  2 < x < 3

;

.

5 − 2 x > 1
x < 2
⇔
⇔

f ′ ( 5 − 2x ) > 0
 −3 < 5 − 2 x < −1
3 < x < 4

.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số
chọn đáp án D
Ví dụ 3: Cho hàm số

f ′( x)

y = f ( 5 − 2x )

đồng biến trên khoảng

( 4;5 )

. Ta

có bảng xét dấu như sau:

10


Hàm số
A.

( −2;1)

y = f ( x2 + 2x )

.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

( −4; −3)

.

C.

( 0;1)

.

D.

( −2; −1)

.

Hướng dẫn: Chọn D
Ta có: Đặt:

y = g ( x) = f ( x 2 + 2 x )

;

g ′( x) =  f ( x 2 + 2 x)  ′= ( 2 x + 2 ) . f ′( x 2 + 2 x)

g ′( x) = 0 ⇔ ( 2 x + 2 ) . f ′( x 2 + 2 x) = 0
 x = −1
x
=
−
1


 x = −1 − 2
 2
x
+
2
x
=
−
2(
VN
)
2 x + 2 = 0
⇔
⇔ 2
⇔  x = −1 + 2
2

x + 2x = 1

 f ′( x + 2 x) = 0
x = 1


 x 2 + 2 x = 3
 x = −3

(Trong đó:

x = −1 − 2 ; x = −1 + 2

là các nghiệm bội chẵn của PT:

x2 + 2x = 1

)

+ Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số

( −2; −1)

y = f ( x2 + 2x )

nghịch biến trên khoảng

. Ta chọn D.

Chú ý: Cách xét dấu

g ′( x)

:

11


Chọn giá trị
dấu của hàm

(

)

x = 0 ∈ −1; −1 + 2 ⇒ x 2 + 2 x = 0 ⇒ g ′(0) = f ′(0) > 0

f ′( x)

). Suy ra

(

g ′( x ) > 0 ∀x ∈ −1; −1 + 2

đa thức “ lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của
Ví dụ 4: Cho hàm số

Hàm số
A.

y = f '( x)

y = f ( 2 − x2 )

( −∞;0 )

g ′( x)

)

( dựa theo bảng xét

, sử dụng quy tắc xét dấu

trên các khoảng cịn lại

có đồ thị như hình vẽ

đồng biến trên khoảng nào dưới đây

.

B.

( 0;1)

.

C.

( 1; 2 )

.

D.

( 0; +∞ )

.

Hướng dẫn: Chọn B
Hàm số

y = f ( 2 − x2 )

y ' = −2 x. f ' ( 2 − x 2 )

có

y ' = −2 x. f ' ( 2 − x 2 )

 x > 0
 x > 0


2
 1 < 2 − x < 2
 −1 < x < 1
0 < x < 1

> 0 ⇔  x < 0
⇔  x < 0
⇔


 x < −1
2 − x2 < 1
   x < −1

 x > 1
2
   2 − x > 2


Do đó hàm số đồng biến trên
Ví dụ 5: Cho hàm số

Hàm số

y = f ( x)

g ( x) = f ( 3 − 2x )

( 0;1)

.

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

đồng biến trên khoảng nào sau đây

12


A.

( 3; +∞ )

.

B.

( −∞; −5)

.

C.

( 1; 2 )

.

D.

( 2;7 )

.

Hướng dẫn: Chọn C
Ta có

g ' ( x ) = −2 x ln 2. f ' ( 3 − 2 x )

g ( x) = f ( 3 − 2 x )

. Để

đồng biến thì

g ' ( x ) = −2 x ln 2. f ' ( 3 − 2 x ) ≥ 0 ⇔ f ' ( 3 − 2 x ) ≤ 0 ⇔ −5 ≤ 3 − 2 x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3

Vậy hàm số đồng biến trên
Ví dụ 6: Cho hàm số

y = f ( x)

( 1;2)

.

.

.
Biết rằng hàm số
bên. Hàm số
A.
C.

y = f ′( x)

y = f ( 3− x

( 0;1)
( 2;3)

2

)

có đồ thị như hình vẽ
đồng biến trên khoảng

.

B.

.

D.

( −1;0 )

.

( −2; −1)

.

Hướng dẫn: Chọn B
Cách 1:

Đặt

y = g ( x ) = f ( 3 − x2 )

g ′ ( x ) = 0 ⇔ −2 x. f ′ ( 3 − x 2 )

Bảng xét dấu của

Suy ra hàm số

g′ ( x)

. Ta có:

x = 0
⇔
2
=0
 f ′ ( 3 − x )

g ′ ( x ) = −2 x. f ′ ( 3 − x 2 )

.

x = 0
x = 0

2
 x = ±3
3

−
x
=
−
6
⇔

 3 − x 2 = −1 ⇔  x = ± 2


=0
3 − x 2 = 2
 x = ±1

.

:

y = f ( 3 − x2 )

( −3; −2 ) , ( −1;0 ) , ( 1; 2 ) , ( 3; +∞ )

đồng biến trên mỗi khoảng:
.
13


Vậy hàm số

y = f ( 3 − x2 )

đồng biến trên khoảng

( −1;0 )

.

Cách 2:
Dựa vào đồ thị của
Đặt

y = f ′( x)

y = g ( x ) = f ( 3 − x2 )

x = 0
 x = ±3
⇔
 x = ±2

g′ ( x ) = 0
 x = ±1

Bảng xét dấu của

Suy ra hàm số

. Ta có:

Ví dụ 7: Cho hàm số

y = f ′ ( x ) = ( x + 6 ) ( x + 1) ( x − 2 )

.

g ′ ( x ) = −2 x. f ′ ( 3 − x 2 ) = −2 x ( 9 − x 2 ) ( 4 − x 2 ) ( 1 − x 2 )

.

.

g′( x)

:

y = f ( 3 − x2 )

( −3; −2 ) , ( −1;0 ) , ( 1; 2 ) , ( 3; +∞ )
Vậy hàm số

ta chọn

y = f ( 3 − x2 )

y = f ( x)

đồng biến trên mỗi khoảng:
.

đồng biến trên khoảng

. Biết đồ thị hàm số

( −1;0 )

y′ = f ′ ( x )

.

có đồ thị như hình vẽ bên

g ( x ) = f ( 2 x − 3x 2 )

Hàm số
khoảng nào dưới đây?
A.
C.

1 1
 ; ÷
3 2

.

1

 −∞ ; ÷
3


.

B.
D.

đồng biến trên

1

 ;+ ∞÷
2

1

 −2; ÷
2


.

.

Hướng dẫn: Chọn C

14


Cách 1. Ta có

g ′ ( x ) = ( 2 − 6 x ) . f ′( 2 x − 3x 2 )

g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 2 − 6 x ) . f ′( 2 x − 3x 2 )

2 − 6 x = 0
1

= 0 ⇔ 2 x − 3x 2 = 1 ⇔ x =
3
 2 x − 3x 2 = 2


g′ ( x )

Bảng xét dấu của

Từ bảng trên ta có hàm số
Cách 2:

g ′ ( x ) = ( 2 − 6 x ) . f ′( 2 x − 3 x 2 ) .

g ( x ) = f ( 2 x − 3x 2 )

Để hàm số

đồng biến trên khoảng

g ( x ) = f ( 2 x − 3x 2 )

1


 −∞ ; ÷
3


đồng biến thì

 2 − 6 x ≥ 0
 2 − 6 x ≤ 0
g ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ ( 2 − 6 x ) . f ′( 2 x − 3x 2 ) ≥ 0 ⇔ 
∪
 ′
2
2
′
 f ( 2 x − 3 x ) ≥ 0
 f ( 2 x − 3x ) ≤ 0

 2 − 6 x ≥ 0
 ′
2
 f ( 2 x − 3x )

Trường hợp 1.

Trường hợp 2.

1

x ≤ 3
1


⇔
⇔x≤
2
2 x − 3x ≤ 1
3
≥0

2
  2 x − 3x ≥ 2

1


2 − 6 x ≤ 0
x ≥
⇔
3
 ′
2
f
2
x
−
3
x
≤
0
(
)

2



1 ≤ 2 x − 3 x ≤ 2

g ( x ) = f ( 2 x − 3x

2

)

hệ vô nghiệm

đồng biến trên khoảng

1

 −∞ ; ÷
3


Vậy hàm số
2.3.2.3. Dạng 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số

y = f ′( x )

g ( x ) = f u ( x )  + v ( x )

khi biết

15


Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
f ′( x)

Bước 2: Sử dụng đồ thị của

g ( x)

g ′ ( x ) = u ′ ( x ) . f ′ u ( x )  + v′ ( x )

,

, lập bảng xét dấu của

g′( x)

.

.

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số.
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

g ( x)

Bước 2: Hàm số
⇔ g′ ( x ) ≤ 0

đồng biến

g ( x)

g ′ ( x ) = u ′ ( x ) . f ′ u ( x )  + v′ ( x )

,

⇔ g′( x ) ≥ 0

; (Hàm số

g ( x)

.

nghịch biến

) (*)

( *)

Bước 3: Giải bất phương trình
(dựa vào đồ thị hàm số
luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

y = f ′( x)

) từ đó kết

Cách 3: (Trắc nghiệm)
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
Bước 2: Hàm số
nghịch biến trên

g ( x)

g ( x)

g ′ ( x ) = u ′ ( x ) . f ′ u ( x )  + v′ ( x )

,

′
K ⇔ g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K

đồng biến trên

′
K ⇔ g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K

x

−∞
−

f ′( x)

Hàm số
A.

f ( x)

g′ ( x)

để loại các

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
1
2
3
4
0

+

y = 3 f ( x + 2 ) − x3 + 3x

( −∞; −1) .

; (Hàm số

B.

0

g ( x)

) (*)

Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào
phương án sai.
Ví dụ 1: Cho hàm số

.

+

0

−

0

+∞
+

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( −1;0 ) .

C.

( 0; 2 ) .

D.

( 1; +∞ ) .
16


Hướng dẫn: Chọn B
Ta có:
Với

y ′ = 3  f ′ ( x + 2 ) − ( x 2 − 3) 

x ∈ ( −1;0 ) ⇒ x + 2 ∈ ( 1; 2 ) ⇒ f ′ ( x + 2 ) > 0

Vậy hàm số

y = 3 f ( x + 2 ) − x 3 + 3x

, lại có

x 2 − 3 < 0 ⇒ y′ > 0; ∀x ∈ ( −1;0 )

đồng biến trên khoảng

( −1;0 ) .

Chú ý:
+) Ta xét

x ∈ ( 1; 2 ) ⊂ ( 1; +∞ ) ⇒ x + 2 ∈ ( 3; 4 ) ⇒ f ′ ( x + 2 ) < 0; x 2 − 3 > 0

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

( 1; 2 )

nên loại hai phương án

A, D.

+) Tương tự ta xét
x ∈ ( −∞; −2 ) ⇒ x + 2 ∈ ( −∞;0 ) ⇒ f ′ ( x + 2 ) < 0; x 2 − 3 > 0 ⇒ y′ < 0; ∀x ∈ ( −∞; −2 )

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
Ví dụ 2 : Cho hàm số

f ( x)

. Hàm số

y = f '( x)

( −∞; −2 )

nên loại hai phương án

có đồ thị như hình bên.

g ( x ) = f ( 1− 2x) + x2 − x

Hàm số

biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
C.

B.

 3
 1; ÷
 2

.

( −2; −1)

B.
.

D.

nghịch
 1
 0; ÷
 2

.

( 2;3)

.

Hướng dẫn: Chọn A
Ta có :
Đặt

g ( x ) = f ( 1 − 2 x ) + x 2 − x ⇒ g ' ( x ) = −2 f ' ( 1 − 2 x ) + 2 x − 1

t
g
'
x
=
0
⇒
f
'
t
=
−
(
)
(
)
′
′
t = 1 − 2 x ⇒ g ( x ) = −2 f ( t ) − t
2

’
y=−

Vẽ đường thẳng

x
2

và đồ thị hàm số

f '( x)

trên cùng một hệ trục

17


Hàm số

g ( x)

nghịch biến

 −2 ≤ t ≤ 0
t
⇒ g '( x) ≤ 0 ⇒ f '( t ) ≥ − ⇒ 
2 t ≥ 4

3
1
≤x≤

 −2 ≤ 1 − 2 x ≤ 0

1− 2x
2
f ′( 1− 2x) ≥
⇒
⇒ 2
−2
4 ≤ 1 − 2 x
 x≤−3

2

Như vậy

g ( x) = f ( 1 − 2x ) + x − x

.

2

Vậy hàm số

Mà

 3 1 3
1; ÷ ⊂  ; ÷
 2 2 2

nên hàm số
y = f ( x)

g ( x ) = f ( x − 1) +

Hàm số

( 2 ; 3)

g ( x) = f ( 1− 2x) + x − x

3

 −∞; − 2 ÷



và

.

2

Ví dụ 3: Cho hàm số

A.

nghịch biến trên các khoảng

1 3
 ; ÷
2 2

.

liên tục trên

2019 − 2018 x
2018

B.

¡

nghịch biến trên khoảng

. Hàm số

y = f ′( x)

 3
1; ÷
 2

có đồ thị như hình vẽ.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( 0 ; 1)

.

C.

( -1 ; 0 )

.

D.

( 1 ; 2)

.

Hướng dẫn: Chọn C

Ta có

 x − 1 ≤ −1  x ≤ 0
⇔
⇔
.
g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) − 1 ⇒ g ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ f ′ ( x − 1) − 1 ≥ 0 ⇔ f ′ ( x − 1) ≥ 1
 x −1 ≥ 2
x ≥ 3
g ( x ) = f ( x − 1) +

Từ đó suy ra hàm số

2019 − 2018 x
2018

đồng biến trên khoảng

( -1 ; 0 )

.
18


f ( x)

Ví dụ 4: Cho hàm số đa thức
y = f ′( x)

có đạo hàm trên

như hình sau.

¡

. Biết

g ( x) = 4 f ( x ) + x2

Hàm số
nào dưới đây?
A.
C.

f (0) = 0

và đồ thị hàm số

đồng biến trên khoảng

( 4; +∞ ) .

B.

( −∞; −2 ) .

D.

( 0; 4 ) .

( −2; 0 ) .

Hướng dẫn: ChọnB
Xét hàm số
Vì

f ( x)

h ( x ) = 4 f ( x ) + x2

trên

là hàm số đa thức nên
Ta có

¡

h ( x)

h′ ( x ) = 4 f ′ ( x ) + 2 x

.
cũng là hàm số đa thức và

. Do đó

1
h′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = − x
2

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số

y = f ′( x)

h ( 0) = 4 f ( 0) = 0

.

.

y=−

và đường thẳng

1
x
2

, ta có

h′ ( x ) = 0 ⇔ x ∈ { −2;0; 4}

Suy ra bảng biến thiên của hàm số

h ( x)

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số

như sau:

g ( x) = h ( x)

như sau:
19


Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số
Ví dụ 5: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

¡

g ( x)

đồng biến trên khoảng

có đồ thị hàm số

y = f ′( x )

Hàm số
trên khoảng nào?

C.

(0;1)
(1;3)

.

B.

.

D.

.

cho như hình vẽ

g ( x) = 2 f ( x − 1 ) − x 2 + 2 x + 2020

A.

( 0; 4 )

(−3;1)

đồng biến
.

( −2;0)

.

Hướng dẫn: Chọn A
Ta có đường thẳng

y=x

cắt đồ thị hàm số

y = f ′( x )

x = −1; x = 1; x = 3

tại các điểm
như hình vẽ bên
Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có
 x < −1
f ′( x) > x ⇔ 
1 < x < 3

+ Trường hợp 1:

và

 −1 < x < 1
f ′( x) < x ⇔ 
x > 3

x −1 < 0 ⇔ x < 1

g ( x) = 2 f ( 1 − x ) − x 2 + 2 x + 2020

Ta có

.

, khi đó ta có

.

g ′( x) = −2 f ′ ( 1 − x ) + 2(1 − x)

.

 −1 < 1 − x < 1  0 < x < 2
g ′( x) > 0 ⇔ −2 f ′ ( 1 − x ) + 2(1 − x) > 0 ⇔ f ′ ( 1 − x ) < 1 − x ⇔ 
⇔
1 − x > 3
 x < −2

Kết hợp điều kiện ta có

0 < x < 1
g ′( x) > 0 ⇔ 
 x < −2

.

.
20


+ Trường hợp 2:

x −1 > 0 ⇔ x > 1

, khi đó ta có

g ( x) = 2 f ( x − 1) − x 2 + 2 x + 2020

.

g ′( x) = 2 f ′ ( x − 1) − 2( x − 1)
 x − 1 < −1
x < 0
g ′( x ) > 0 ⇔ 2 f ′ ( x − 1) − 2( x − 1) > 0 ⇔ f ′ ( x − 1) > x − 1 ⇔ 
⇔
1 < x − 1 < 3
2 < x < 4

Kết hợp điều kiện ta có

g ′( x) > 0 ⇔ 2 < x < 4

g ( x) = 2 f ( x − 1 ) − x 2 + 2 x + 2020

Vậy hàm số

.

.
đồng biến trên khoảng

(0;1)

.

Ví dụ 6:
f ′( x)

Cho hàm số

có đồ thị như hình bên. Hàm số

g ( x ) = f ( 3x + 1) + 9 x 3 +

9 2
x
2

đồng biến trên khoảng

nào dưới đây?
A.
C.

( −1;1)

.

( −∞;0 )

B.
.

D.

( −2;0 )
( 1;+∞ )

.
.

Hướng dẫn: Chọn D
g ( x ) = f ( 3x + 1) + 9 x 3 +

9 2
x ⇒ g ′ ( x ) = 3 f ′ ( 3x + 1) + 27 x 2 + 9 x
2

Xét hàm số

g ′ ( x ) > 0 ⇔ 3 f ′ ( 3x + 1) + 27 x 2 + 9 x > 0

Hàm số đồng biến tương đương
⇔ f ′ ( 3 x + 1) + 3x ( 3x + 1) > 0 ( *)

Đặt

.

t = 3x + 1 ( *) ⇔ f ′ ( t ) + ( t − 1) t > 0 ⇔ f ′ ( t ) > −t 2 + t

Vẽ parabol

y = − x2 + x

và đồ thị hàm số

f ′( x)

trên cùng một hệ trục

21


Dựa vào đồ thị ta thấy
 −2
 3 −
1
<

t
<
1
−
1
<
3
x
+
1
<
1


2
′
f ( t ) > −t + t ⇔ 
⇔
⇔
t > 2
3x + 1 > 2
x > 1

3

Chọn đáp án D

2.3.2.4. Dạng 4: Tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn liên quan đến tham số khi biết
đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số

y = f ′( x)

Phương pháp:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
Bước 2: Sử dụng đồ thị của

f ′( x)

g ( x)

g ′ ( x ) = u′ ( x ) . f ′ u ( x ) 

,

, lập bảng xét dấu của

g′( x)

.
.

Bước 3: Dựa vào bảng dấu và khoảng đơn điệu của hàm số ta tìm được tham
số thỏa mãn bài tốn.
Ví dụ 1: Cho hàm số

y = f ( x)

thị như hình vẽ. Gọi
g ( x ) = f ( x + m)

S

có đạo hàm liên tục trên

( 1;2 )

S

. Hỏi

3

4

. Biết hàm số

là tập hợp các giá trị nguyên

nghịch biến trên khoảng

A. .

R

m ∈ [ −5;5]

có đồ

để hàm số

có bao nhiêu phần tử?

6

B. .

y = f ′( x)

C. .

5

D. .

Hướng dẫn: Chọn D
Ta có
trên

g′( x ) = f ′ ( x + m)

R

. Vì

y = f ′( x)

. Căn cứ vào đồ thị hàm số

liên tục trên

y = f ′( x)

R

nên

g′( x ) = f ′ ( x + m)

cũng liên tục

ta thấy

22


 x + m < −1
 x < −1 − m
⇔
⇔
g′ ( x ) < 0 ⇔ f ′( x + m) < 0
1 < x + m < 3 1 − m < x < 3 − m

Hàm số
Mà

m

g ( x) = f ( x + m)

nghịch biến trên khoảng

là số nguyên thuộc đoạn
Vậy

S

[ −5;5]

 2 ≤ −1 − m

⇔  3 − m ≥ 2
 m ≤ −3
⇔

( 1;2 )  1 − m ≤ 1 0 ≤ m ≤ 1

S = { −5; −4; −3;0;1}

.

.

có 5 phần tử.

Ví dụ 2: Cho hàm số
vẽ sau:

y = f ( x)

có đạo hàm trên

Có bao nhiêu số nguyên
khoảng

nên ta có

.

( −1;1)

3

A. .

m

để hàm số

¡

và bảnng xét dấu đạo hàm như hình

y = f ( x3 + 4 x + m )

nghịch biến trên

?
0

1

B. .

2

C. .

D. .

Hướng dẫn: Chọn C
Đặt

t = x3 + 4 x + m ⇒ t ′ = 3x 2 + 4

u cầu bài tốn trở thành tìm

m

t

nên đồng biến trên
để hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta được
Ví dụ 3: Cho hàm số
hình vẽ

f ( t)

( −1;1)

và

t ∈ ( m − 5; m + 5 )

nghịch biến trên khoảng

( m − 5; m + 5)

.

m − 5 ≥ −2  m ≥ 3
⇔
⇔m=3

m + 5 ≤ 8
m ≤ 3

y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, a ≠ 0

. Hàm số

y = f '( x)

có đồ thị như

23


Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng

g ( x) = f ( 3 − 2x + m) + x2 − ( m + 3) x + 2m2

để hàm số
Khi đó, tổng giá trị các phần tử của S là
A. 12.
B. 9.
C. 6.

( −6;6)

của tham số

nghịch biến trên

m

( 0;1)

.

D. 15.

Lời giải
Hướng dẫn: Chọn B
Xét

g '( x) = −2f '( 3 − 2x + m) + 2x − ( m + 3)

t = 3 − 2x + m

Từ đó,


−t 
−2.  f '( t) −  = 0 ⇔
2


thì phương trình trở thành

g '( x) = 0 ⇔ x1 =

thời lưu ý nếu

. Xét phương trình

x > x1

5+ m
m+ 3
−1 + m
, x2 =
, x3 =
2
2
2

thì

t < t1

nên

f ( x) > 0

nghiệm đều làm đổi dấu đạo hàm nên suy ra
Vì hàm số nghịch biến trên

( 0;1)

nên

g '( x) = 0

 t = −2

t = 4
t = 0


, đặt

.

. Lập bảng xét dấu, đồng

. Và các dấu đan xen nhau do các
g '( x) ≤ 0 ⇔ x ∈  x2; x1  ∪ ( −∞; x3 

g '( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1)

3 + m
5+ m
 2 ≤ 0<1≤ 2

1 ≤ −1 + m

2

và giải ra các giá trị nguyên thuộc
3; 4; 5. Từ đó chọn câu B

( −6;6)

.

từ đó suy ra

của

m

là -3;

2.3.2.5.BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Câu 1. Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị hàm số

f ′( x)

như hình vẽ.
24


Hàm số

y = f ( cos x ) + x 2 − x

A.
C.

Câu 2. Cho hàm số

f ( x)

. Hàm số

( −2;1)
( 1; 2 )

y = f ′( x)

.

B.

.

D.

Hàm số
khoảng nào dưới đây.

A.

C.
f ( x)

Hàm số

( −∞ ; −2)

Câu 4. Cho hàm số

.

2 3
x − 8x + 5
3

B.

y = f ( x) .

( 1; +∞ )

( −1;0 )

9 4
x + 3x2
2

 2 3 − 3
;
 −
÷
3
3 ÷



( 1; 2 )

.

. B.

.

D.

đồng biến trên

 2 3
 0;
÷
3 ÷




.


3 3
;
 −
÷
÷
 3 3 

.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

.

Đồ thị hàm số

(

y = f ¢( x)

A.
C.
y = f ( x) .

( 1;2

)

2 2.

)

2- 1 .

Đồ thị hàm số

.

D.

1

 −1; ÷
2


.

như hình bên dưới

)

x2 + 2x + 2

Hàm số

trong các khoảng sau ?

( - ¥ ;- 1-

( −1; 7 )

C.

g( x) = f

Câu 5. Cho hàm số

.

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

y = f ( 2 x + 1) +

A.

( 0;1)

có đồ thị như hình vẽ.

g ( x) = f ( 3 x 2 − 1) −

Câu 3. Cho hàm số

đồng biến trên khoảng

B.
D.
y = f ¢( x)

nghịch biến trên khoảng nào

( - ¥ ;1) .

(2

)

2 - 1;+¥ .

như hình bên dưới
25