hướng dẫn học sinh nhận dạng và hình thành phương pháp giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU







TÊN ĐỀ TÀI :


HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ HÌNH THÀNH
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯNG TỈ
LỆ NGHỊCH

NĂM HỌC : 2009- 2010

Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

2
A.ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong những năm gần đây vấn đề đổi mới phương pháp giảng dạy được đặc
biệt quan tâm, một trong những điều cốt lõi cuả sự đổi mới phương pháp này là phát
huy tính tích cực học tập của HS trong việc học bộ môn toán, khơi dậy sự chủ động
tìm hiểu nhận thức của HS biến học sinh từ một đối tượng thụ động tiếp thu kiến
thức thành đối tượng chủ động tư duy học tập và phát huy hứng thú học tập trong bộ
môn toán để nắm vững được kiến thức và sáng tạo dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
Chính những câu hỏi ‘’ cái gì ‘’. ‘’tại sao’’, “vì nguyên nhân gì’’đã kích thích óc tìm
tòi của học sinh. Từ bản chất của nội dung các môn học và việc xác đònh những
phương thức hoạt động tiềm ẩn trong nội dung các môn học nói chung và môn đại số
7 nói riêng hình thành ở người giáo viên nhận thức và kỹ năng xác đònh các hoạt
động dạy, các hoạt động học khi tiếp cận với môn đại số 7.
Trong quá trình dạy và học toán, có nhiều bài toán chưa có hoặc không có
thuật toán để giải giáo viên cần hướng dẫn học sinh phương hướng suy nghó, cách
tìm tòi lời giải bài toán với những gợi ý như đònh hướng phạm vi kiến thức sử dụng
nên xuất phát từ đâu, nên suy nghó theo những trình tự nào nếu gặp khó khăn thì cần
làm gì, nhất là đối với các bài toán có nội dung liên hệ thực te á?
Vì không có phương pháp tổng quát nào, không có thuật toán nào để giải mọi
bài toán nên việc truyền thụ, học tập kinh nghiệm, giải toán là một việc làm khó
khăn ,phía học sinh thường chỉ chú ý đến mặt toán học và xử lý tính toán trên các
con số, đến những hình vẽ mà ít quan tâm đến ý nghóa, đến quá trình mô tả mối
quan hệ dẫn tới những con số mà chưa thấy được mối quan hệ giữa toán học với các

khoa học khác, với đời sống thực tế và lao động sản xuất .
Để giúp HS thực hiện tốt điều này, đòi h GV cần xây dựng cho HS những kỹ
năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán,đặc biệt là kỹ năng giải toán, kỹ
năng vận dụng bài toán, tùy theo từng đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải
cho phù hợp với yêu cầu của bài toán
Với những bài toán có nội dung thực tế trong chương trình nói chung và trong
môn Đại số 7 nói riêng ,trong qúa trình thực tế giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy
học sinh rất lúng túng trong việc:
- Xác đònh hai đại lượng tỉ lệ nghòch
- Tìm ra mối quan hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ nghòch
- Xây dựng đường lối giải toán về đại lượng tỉ lệ nghòch
Nên việc giải được các bài toán liên quan đến thực te ácó vận dụng đại lượng tỉ lệ
nghòch, học sinh gặp rất nhiều khó khăn
Do đó tôi đã mạnh dạn lựa chọn đề tài “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN
DẠNG VÀ HÌNH THÀNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI
LƯNG TỈ LỆ NGHỊCH’’nhằm đưa ra một số giải pháp của bản thân để giúp học
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

3
sinh nắm vững hơn về giải các bài toán đến thực tếà liên quan kiến thức tỉ lệ nghòch
đối với bộ môn đại số 7 với mục đích:
- Trang bò cho học sinh lớp 7 một cách có hệ thống phương pháp giải các bài
toán về tỉ lệ nghòch, nhằm giúp học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán
này
- Phát huy khả năng tư duy, phân tích, tìm tòi, suy luận, phán đoán và tính linh
hoạt của học sinh
- Thấy được vai trò của dạng toán này trong thực tế cuộc sống va ølao động sản
xuất, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh .
*Phạm vi đề tài:Đề tài không đi sâu vào nghiên cứu tất cả các phương pháp hay các
dạng bài quá khó không phù hợp với học sinh mà chỉ nhn dng v hình thnh

phương pháp gii mt số bi toán về Đi lưng tỉ l nghòch ở lớp 7
*Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu các tài liệu,giáo trình về phương pháp dạy học Toán,các tài liệu
có liên quan đến đề tài
- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức liên quan về đại lượng tỉ lệ nghòch. Cụ
thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông như :
- Sách giáo khoa Toán lớp 7, 8, 9
- Sách giáo viên Toán lớp 7, 8, 9
- Sách Bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên và học
sinh







Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

4
 B. NỘI DUNG:
I.Cơ sở lý luận:
Phương pháp tìm tòi lời giải cho bài toán có liên quan đến nhiều mảng kiến
thức, không chỉ đơn thuần là tìm ra đáp số của bài toán mà còn quan trọng là tìm ra
cách giải, đường lối giải toán như thế nào và vận dụng vào các bài tập như thế nào.
II.Thực trạng:
Trong khi giảng dạy Toán 7 năm 2003-2004 về đại lượng tỉ lệ nghòch , bản
thân tôi quá tuân thủ theo nội dung ở sách giáo khoa, không có sự vận dụng sáng
tạo trong bài giảng dẫn đến học sinh hay lẫn lộn với kiến thức về đại lượng tỉ lệ
thuận với đại lượng tỉ lệ nghòch hoặc không tìm ra được lời giải , chưa vận dụng được

mối quan hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ nghòch trong những bài toán thực tế, hầu hết học
sinh đều cho rằng các bài toán về tỉ lệ nghòch rất khó , ít hứng thú học.
Ví dụ1:
Bài 14 /SGK (tập I)
Cho biết 35 công nhân xây một ngôi nhà hết 168 ngày. Hỏi 28 công nhân xây ngôi
nhà đó hết bao nhiêu ngày?( giả sử năng suất làm việc của mỗi người là như nhau)
Nhiều học sinh đã thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, chỉ vài HS khá giỏi giơ
tay phát biểu nêu cách làm
Một số em làm như sau:
- Số ngày mà 28 người công nhân xây là:
28. 168 : 35 = 134,4 ngày (lời giải sai)
HS đã nhầm số ngày làm việc và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ thuận và không
chú ý đến giả thiết của b toán.
Sau khi giáoviên gợi ý năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số công
nhân tỉ lệ nghòch với số ngày, vì càng nhiều người thì số ngày làm càng ít và ngược
lại ít người thì số ngày lamø phải nhiều hơn ,nên số công nhân và số ngày là hai đại
lượng tỉ lệ nghòch, thì học sinh đã đưa ra lời giải nhưng nhiều em vẫn chưa thể hiện
khả năng trình bày bài toán. Vẫn có lời giải như sau:
- Số ngày mà 28 người công nhân xây là:
35 . 168 : 28 = 210 ngày ( trình bày như một bài toán ở tiểu học)
Hoặc một số em khác không biết giải hoặc trình bày như thế nào?
Ví dụ 2:
Bài 16/ SGK:Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghòch với nhau hay không nếu:
a/
x 1 2 4 5 8
y 120 60 30 24 15

b/
x 2 3 4 5 6
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

5
y 30 20 15 12,5

10
Một số em học sinh yếu không làm được bài này, vì chưa còn quên tính chất của hai
đại lượng tỉ lệ nghòch. Một số em khác có trả lời được nhưng không giải thích được(
do không biết cách diễn đạt hai đại lượng tỉ lệ nghòch thông qua đònh nghóa hoặc qua
tính chất như thế nào?)
III.Nội dung vấn đề:
Nhằm giúp các em xác đònh đúng về đại lượng tỉ lệ nghòch và nắm vững phương
pháp giải loại toán này một cách có hệ thống ,tôi đã đònh hướng cho các em thông
qua các hoạt động sau:
1. Xác đònh hai đại lượng tỉ lệ nghòch
Ngoài việc hình thành khái niệm về hai đại lượng tỉ lệ nghòch thông qua các
hoạt động ?1 là mô tả bằng công thức ở sách giáo khoa .Sau đây là một số các bài
tập giúp các em nắm vững hơn về sự tương quan giữa hai đại lượng (sự biến đổi của
đại lượng này phụ thuộc vào sự biến đổi của đại lượng kia) và nhận biết được hai
đại lượng tỉ lệ nghòch
Bài toán 1:Thời gian để đi hết quãng đường150 kmlà bao nhiêu nếu đi với
vận tốc sau: 30 km/h; 40 km/ h; 50km/h; 60km/ h; 80km/ h; 100km/h
Giáo viên: Gọi v là vận tốc và t là thời gian tương ứng để đi hết quãng đường
150 km . Ta có: v.t = 150
Cho học sinh tính giá trò của t trong từng trường hợp . Ghi vào bảng
v(km/h)

30 40 50 60 80 100
t(h) 5 3,75 3 2,5 1,875 1,5
+Giáo viên hỏi: Qua bảng số ta thấyvới cùng một quãng đường khi vận tốc
tăng lên thì thời gian như thế nào?

-Học sinh:ta thấy với cùng một quãng đường khi vận tốc tăng lên thì thời gian
giảm xuống
Sau khi học sinh trả lời giáo viên chốt lại bằng nhận xét:
-Ta thấy với cùng một quãng đường khi vận tốc tăng lên thì thời gian giảm đi
nghóa là khi đi với vận tốc càng lớn thì thời gian đi hết quãng đường càng nhỏ.
-Nhìn vào công thức càng thấy rõ : tích v.t = 150 không đổi trong khi v tăng
t giảm và ngược lại v giảm thì t tăng lên.Cụ thể v tăng bao nhiêu lần thì t giảm
xuống bấy nhiêu lần, ta nói v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghòch.
Sau khi học sinh nêu được đònh nghóa
+ Gv chốt lại: Hai đại lượng tỉ lệ nghòch có thể cho bằng bảng hoặc công
thức.Sau đó hỏi: Giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghòch có gì khác nhau?
Học sinh trả lời , giáo viên tóm lại:
+ Khi y = ax, ta nói y và x là hai đại lượng tỉ lệ thuận
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

6
+ Khi y=
a
x
hay x.y =a ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch( a là hệ số tỉ
lệ).
Dựa vào công thức giáo viên hỏi thêm: Muốn tìm y ta cần biết các yếu tố
nào? Muốn tìm x ta cần biết các giá trò nào? Muốn tìm a ta cần biết các yếu tố nào?
Từ những gợi ý trên giáo viên cho học sinh làm bài 12/ sgk khi đó học sinh dễ dàng
tìm được hệ số tỉ lệ avà biểu diễn y theo xvà có thể giải bài toán 2
Bài toán 2: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch hãy điền số thích hợp
vào ô trống:
x 4 5 6 12 15
y 15 2 1

HS dựa vào tích x.y= 4.15 = 60 có thể tính tiếp x theo y hoặc y theo x
Việc khai thác các yếu tố của bài toán cũng là một vấn đe àcó thể giúp cho học
sinh khắc sâu hơn kiến thức nên giáo viên hỏi thêm: với bảng trên nếu bớt đi số nào
thì bài toán không giải được?
( bớt đi số 4 hoặc số 15 thì bài toán không giải được, vì khi đó không thể tính
tiếp được các số ở ô khác. Như vậy là khi cho biết cặp số x= 4 và y= 15 tức là người
ta cho biết a, biết a rồi mới tính các cặp giá trò tương ứng x và y)
Bài toán 3: Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghòch với nhau hay không nếu:


a) b)
x 2 3 4 5 6
y 30 20 15 12,5 10
Hướng dẫn : Khi x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch thì x.y = a
Khi cho x lấy các giá trò x
1
, x
2
, x
3
… thì y sẽ lấy cácgiá trò tương ứng y
1
, y
2,
y
3
sao cho x
1
.y
1

=a , x
2
.y
2
=a , x
3
.y
3
= a ,…( a là hệ số tỉ lệ).
Giải: Bảng a) 1.120 = 2.60 = 4. 30 =. . . = . . .
vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch
Bảng b) 4.15 =60 ; 5.12,5 = 62,5
60

62,5 vậy 4.15

5.12,5
vậy x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghòch
*GV chốt lại :để chứng tỏ x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch cần chứng tỏ tất
cả tích các gia ùtrò tương ứng của chúng bằng nhau (một số không đổi).
Để chứng tỏ x, y không là đại lượng tỉ lệ nghòch thì chỉ cần chỉ ra hai tích x.y
nào đó không bằng nhau
x 1 2 4 5 8
y 120 60 30 24 15
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

7
Bài toán 4:Cho ba đại lượng x, y, z. Hãy tìm mối liên hệ giữa các đại lượngx,
z. Biết :
a/ xvà y tỉ lệ nghòch, y và z cũng tỉ lệ nghòch

b/ xvà y tỉ lệ nghòch , y và z tỉ lệ thuận
c/ xvà y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ nghòch
GV: Để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng x, z cần chú ý đến giả thiết của bài
toán và vận dụng kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượngtỉ lệ nghòch .
Biết xvà y tỉ lệ nghòch thì xvà y liên hệ nhau bằng công thức nào?
Biết yvà z tỉ lệ nghòch thì yvà z liên hệ nhau bằng công thức nào?
Biết yvà z tỉ lệ thuận thì y và z liên hệ nhau bằng công thức nào?
Giải: a/ xvà y tỉ lệ nghòch nên xy = a (a

0 ) (1)
yvà z tỉ lệ nghòch nên y z = b ( b

0)


b
y
z

thay vào (1)được:

.
b
x a
z
a
x z
b



Vậy x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ
a
b

b/ xvà y tỉ lệ nghòch

x.y= a (a

0)
yvà z tỉ lệ thuận

y=b z (b

0)
Từ đó xy = x. b z =a

xz =
a
b

Vậy x và z tỉ lệ nghòch, hệ số là
a
b

c/ x và y tỉ lệ thuận

x = a. y
yvà z tỉ lệ nghòch


y.z =b (b

0)
Từ đó x= ay = a.
b
z


x.z = ab
Vâïy x và z tỉ lệ nghòch, hệ số là ab
GV: dựa vào đònh nghóa đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghòch ta có thể biểu diễn
một đại lượng này(x) theo đại lượngkia(y) và hệ số tỉ lệ(a) rồi dựa vào mối quan hệ
trung gian(y) va øđại lượng (z)để suy ra quan hệ giữa (x) và (z)
2. Xây dựng phương pháp giải bài toán về đại lượng tỉ lệ nghòch
Ở SGK trang 59(toán 7- tập 1 )bài “Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ
nghòch”đã đưa ra 2 bài toán giải mẫu sẵn rất đầy đủ và rõ ràng nhưng sau khi đọc
xong phần giải nhiều học sinh vẫn không hình dung được vì sao ta phải giải như vậy
nên giáo viên cần giúp học sinh tìm hiểu kỹ phương pháp giải một bài toán tỉ lệ
nghòch và sau mỗi phần đều chốt lại những điều cần thiết nhằm tận dụng cơ hội để
củng cố, khắc sâu nội dung trước, đồng thời dựa vào nội dung đã biết để dạy một nội
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

8
dung mới, từ đó khi gặp bài toán tương tự hoặc một bài toán về tỉ lệ nghòch học sinh
sẽ có những gợi ý về cách giải. Cụ thể họcsinh:
- Cần biết vận dụng đònh nghóa ,tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghòch:
Giả sử x và y tỉ lệ nghòch ta có x.y = a hay y = a/x
- Khi cho x lấy các giá trò x
1
, x

2
, x
3
… thì y sẽ lấy cácgiá trò tương ứng y
1
, y
2,
y
3
sao cho x
1
.y
1
=a , x
2
.y
2
=a , x
3
.y
3
=a ,…
hay y
1
=
1
a
x
, y
2

=
2
a
x
, y
3
=
3
a
x
,
1 2
2 1
y x
y x

,
3
1
3 1
x
y
y x


Giáo viên chốt lại: nếu x,y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch và với bất ky øhai cặp
giá trò tương ứng x
1
.y
1

, x
2
.y
2
của hai đại lượng đó ta phải có
x
1
.y
1
= x
2
.y
2
hoặc
1 2
2 1
y x
y x

Ta sẽ sử dụng công thức này để giải các bài toán tỉ lệ nghòch
- Cần phải làm cho học sinh hiểu rõ có thể chuyển hai đại lượng tỉ lệ nghòch
sang hai đại lượng khác tỉ lệ thuận và ngược lại, chuyển hai đại lượng tỉ lệ thuận
sang hai đại lượng khác tỉ lệ nghòch thông qua một mối quan hệ trung gian . GV
hướng dẫn cụ thể như bài toán 2 /trang 59-SGK sau đây:
Bài toán 4:( bài toán 2- trang 59/ SGK)Bốn đội máy cày có 36 máy (có cùng
năng suất) làm việc trên bốn cánh đồng có diên tích bằng nhau.Đội thứ nhất hoàn
thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày, đội thứ ba trong 10 ngày và
đội thứ tư trong 12 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy?
Giáo viên hỏi để học sinh nắm chắc giả thiết: Trong bài toán ta cần chú ý đến
các giả thiết nào? Các giả thiết đó giúp cho ta có suy nghó gì?

Học sinh trả lời ( có thể chưa đầy đủ)
Giáo viên : chú ý 2 giả thiết:
- 4 cánh đồng có diện tích bằng nhau nói lên rằng khối lượng công việc môó đội như
nhau
- các máy có cùng năng suất.
Từ 2 giả thiết ta suy ra rằng:
Nếu cùng hoàn thành một khối lượng công việc với những chiếc máy có năng
suất như nhau thì :
- Đội nào có nhiều máy hơn sẽ làm việc ít ngày hơn.
- Đội nào ít máy hơn sẽ làm việc nhiều ngày hơn.
Như vậy số máy và số ngày làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghòch . Số máy
tăng lên bao nhiêu lần thì số ngày làm việc giảm đi bấy nhiêu lần
Giáo viên: Nếu gọi x, y, z, t lần lượt là số máy 4 đội thì từ nội dung và giả
thiết bài toán ta có thể ghi ra được các hệ thức nào?
Có thể tính x, y, z, t từ các hệ thức trên như thế nào?
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

9
Từ các gợi ý trên học sinh dễ dàng viết ra được các hệ thức cần thiết

36
4 6 10 12
x y z t
x y z t
   


  


Từ 4x= 6y = 10 z = 12t có thể chuyển thành dãy tỉ số bằng nhau không?
Gợi ý : Từ 4x= 6y = 10 z = 12t suy ra:

1 1 1 1
4 6 10 12
x y z t
  

Giáo viên: Như vậy ta đã chuyển bài toán về dạng tính các số x, y, z,t biết
tổng của chúng và tỉ số giữa các số của chúng . Từ đó học sinh dễ dàng áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau để giải tiếp và tìm ra x,y, z, t.
Hỏi thêm: (sau khi giaiû xong) trong bài toán trên , ta đã vận dụng các kiến
thức gì?
* Chốt lại :Ta có các số x,y, z, t tỉ lệ nghòch với 4; 6;10; 12 chuyển thành các
số x,y, z, t tỉ lệ thuận với các số
1 1 1 1
; ; ;
4 6 10 12
hay có thể phát biểu thành một bài toán
đơn giản hơn là:
B toán*:Chia số 36 thành các số x,y, z, t tỉ lệ nghòch với 4; 6;10; 12.
Vậy nếu gặp dạng toán chia tỉ lệ ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghòch) tương tự như
bài toán* trên học sinh dễ dàng làm được ngay
*Tóm tắt : Khi x,y, z tỉ lệ thuận với a, b, c ta viết x: y: z =a: b : c
hay
x y z
a b c
 
.
Khi x,y, z tỉ lệ nghòch với a, b, c ta viết a.x= b.y = c. z

hay
1 1 1
x y z
a b c
 
.
Như vậy nhiều học sinh có thể đã xác đònh được hai đại lượng tỉ lệ nghòch
nhưng không thể diễn đạt được bằng công thức thì với tóm tắt trên các em có thể ghi
nhớ để vận dụng vào một số bài tập khác nhau ví dụ học sinh có thể giải bài 21/sgk
trang 61tương tự như trên
Sau khi giải xong bài toán giáo viên cho học sinh nêu lại các bước giải:
Bước 1: Đọc kỹ đề, phân tích đề để chỉ ra hai đại lượng tỉ lệ nghòch
Bước 2: Gọi x, y, z … là các số liệu cần tìm rồi lập dãy tỉ số bằng nhau giữa hai
giá trò tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghòch
Bước 3:Áp dụng các tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để làm
xuất hiện cácchưa biết, số liệu đã biết từ đó tính ra các số liệu x, y, z … chưa biết
cần tìm
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

10

Từ việc hướng dẫn kỹ phương pháp giải một bài tập về toán tỉ lệ nghòch như
trên và khai thác hết các mối quan hệ của bài tập với các kiến thức liên quan như
tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đại lượng tỉ lệ thuận , học sinh đã bước đầu nhận thức
được việc giải toán tỉ lệ nghòch không phải là một việc khó nếu giáo viên đưa ra hệ
thống bài tập hợp lý, phù hợp với trình độ của các em và có những bài tập liên quan
đến thực tế phong phú sinh động giúp các em có hứng thú hơn với dạng toán này.
Sau đây là một số bài toán thực tế có liên quan đến tỉ lệ nghòch:
Bài toán 5: ( Bài toán1/sgk trang 59)
Một ô tô đi từ A đến B hết 6 giờ. Hỏi ô tô đó đi từ A đến B hết bao nhiêu giờ

nếu nó đi với vận tốc mới bằng 1,2 lần vận tốc cũ ?
Tóm tắt: Ô tô đi với vận tốc v
1
thì thời gian t
1

Ô tô đi với vận tốc v
2
thì thời gian t
2

Gợi ý : Với cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng có
quan hệ như thế nào? Vậy ta lập được tỉ số nào?
Quan hệ giữa v
1,
v
2
là gì? Từ đó ta tìm t
2
như thế nào?

Giải: gọi vân tốc cũ và vận tốc mới của ô tô lần lượt là v
1
(km/h) và v
2
(km/h);
thời gian tương ứng của ô tô đi từ A đến Blần lượt là t
1
(h) t
2

(h)
Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghòch nên:
1 2
2 1
t v
t v

mà v
2
= 1,2 v
1

nên
2
1
1,2
v
v

hay
2
6
1,2
t


t
2
=
6

5
1,2

.
Vậy nêu đi với vận tốc mới v
2
thì ô tô đi từ A đến B hết 5 (giờ)
Bài toán 6
Hai vận động viên cùng đua xe đạp trên một quãng đường. Vận động viên
thắng cuộc về đích sau 6,25 giờ, vận động viên kia về đích chậm hơn 1 phút rưỡi.
Hỏi vận tốc trung bình của mỗi vận động viên, biết rằng trung bình người thắng cuộc
phóng nhanh hơn người kia là 0,2km trong một giờ. (cho biết 1,5phút = 0,025giờ)
GiáoViên : Gọi vận động viên thắng cuộc là vận động viên 1 (VĐV1)
Vận động viên thứ 2 là vận động viên 2(VĐV2)
Tóm tắt:
Gọi V
1
,t
1
là vân tốc và thời gian đi của VĐV1
VĐV1: về đích sau 6,25 giờ
VĐV2: về đích chậm hơn 1,5 phút=0,025giờ
VĐV1 nhanh hơn VĐV2 0,2 km/ h
Tính vận tốc trung bình của mỗi VĐV
Gợi ý: Trong bài toán này có các đại lượng nào? Đại lượng nào không thay đổi.
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

11

Quan hệ giữa vận tốc của VĐV1 và VĐV2 với quãng đường và thời gian như thế

nào? Từ đó tính vận tốc trung bình của mỗi động viên như thế nào?
Chốt lại:Trong bài toán có 3 đại lượng là:quãng đường S; vận tốc xe V; thời gian t ta
có S = V.t , mà S không đổi nên V và t là hai đại lượng tỉ lệ nghòch với nhau.
Vận động viên nào đi với vân tốc lớn hơn sẽ tốn ít thời gian hơn, do đó về sớm hơn
.Gọi V
1
,t
1
là vân tốc và thời gian đi của VĐV1
Gọi V
2
,t
2
là vân tốc và thời gian đi của VĐV2 thì từ giả thiết bài toán ta có thể
ghi ra được các hệ thức nào?

V
1
- V
2
= 0,2
t
1
= 6,25
t
2
– t
1
=0,25 giờ
Ta đã biết, trong bài toán này, V và t là hai đại lượng tỉ lệ nghòch V

1
,t
1
và V
2
,t
2
là
các cặp giá trò tương ứng của hai đại lượngđó. Vậy các em hãy sử dụng điều đó để
tính V
1
và V
2

Giải: Gọi vận động viên thắng cuộc là vận động viên 1 (VĐV1)
Vận động viên thứ 2 là vận động viên 2(VĐV2)
Vì V và t là hai đại lượng tỉ lệ nghòch nên ta có:
1 2
2 1
V t
V t


Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:
1 2 2 1
2 1
V V t t
V t
 


Thay bằng số ta có:
2
0,2 0,025
6,25
V
 do đó
2
0,2.6,25 1,250 1250
50
0,025 0,025 25
V
   

V
1
=V
2
+0,2=50,2
Trả lời: Vận tốc của VĐV2 là 50km/h
Vận tốc của VĐV1 (người thắng cuộc) là 50,2km/h
Bài toán 7 (bài 19/61/SGK)
Với cùng số tiền để mua 51 mét vải loại I có thể mua được bao nhiêu mét vải loại
II, biết rằng giá tiền 1 mét vải loại II chỉ bằng 85% giá tiền 1 mét vải loại I ?
Gợi ý:
+ Cùng một số tiền mua hai loại vải khác nhau thì do giá cả khác nhau nên số mét
vải mua được mỗi loại phải khác nhau cụ thể là:
*Giá tiền loại vải nào đó càng cao thì số mét vải mua được càng ít và ngược lại, giá
tiền loại vải nào thấp thì số mét vải mua được càng nhiều.
* Vậy giá tiền vải tỉ lệ nghòch với số mét vải.

Lời giải:
Vì cùng một số tiền mua hai loại vải khác nhau có giá tiền khác nhau, nên giá tiền
vải từng loại vải tỉ lệ nghòch với số mét vải từng loại mua được.
Gọi x
1
là giá tiền vải loại 1, y
1
là số mét vải loại 1 mua được
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

12

x
2
giá tiền vải loại 2, y
2
là số mét vải loại 2 mua được
Ta có:
1 2
2 1
y x
y x
 (1)
theo giả thiết: y
1
= 51(mét vải loại I)
x
2
=85% x
1

Ta có:
1
2 1
85%
51 85
85%
100
x
y x
  

vậy y
2
=
51.100
60
85

( mét)
Trả lời: Số mét vải loại 2 là 60 (mét)
Với một tiết lên lớp không thể truyền tải hết các nội dung như hoạt động 1,hoạt
động 2 đã nêu trên , bản thân tôi đã lồng ghép hoạt động 1vào tiết dạy 1( bài Đại
lượng tỉ lệ nghòch) và dành thời gian phân tích kỹ ở bài toán 2/sgk trong hoạt động 2
vào tiết 2(Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghòch)tôi đãcho các em làm quen,
nghiên cứu để hiểu bài toán, hướng dẫn các em cách suy nghó tìm ra chương trình
giải , hướng dẫn học sinh tự trình bày lời giải rồi cho bài tập tương tự về nhà .Ỏû tiết
luyện tập sau có điều kiện để củng cố , khắc sâu hơn nữa cách giải
3.Thực hiện chương trình giải
Khi trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra , đối với học sinh khá

giỏi thì tương đối dễ dàng nhưng đối với các đối tượng khác nhiều em rất lúng túng
,trình bày thiếu logic, không khoa học.
Để phát huy lòng ham muốn giải toán, có hứng thú trong việc khám phá bài
toán với mọi đối tượng, giúp hiểu rõ bản chất bài toán .Trên cơ sở vận dụng việc đổi
mới phương pháp cho bản thân, tôi đã cho học sinh sử dụng phiếu học tập cho từng
học sinh hoặc theo nhóm nhỏ . Phiếu học tập là một hệ thống những công việc mà
học sinh phải tiến hành để tự mình chiếm lónh kiến thức mới, bài toán mới. Phiếu
học tập là một trong những công cụ cho phép cá thể hoá hoạt động học tập của học
sinh, tiết kiệm được thời gian trong việc tổ chức các hoạt động học tập đồng thời là
công cụ hữu hiệu trong việc thu thập và xử lý thông tin ngược. Đó là những tờ giấy
in sẵn những công việc độc lập làm theo nhóm hoặc cá nhân được phát cho học sinh
và hoàn thành trong thời gian ngắn của tiết học. Mỗi phiếu học tập có thể giao cho
học sinh hệ thống bài tập cụ thể nhằm dẫn dắt tới một kiến thức, tập dượt một kỹ
năng, rèn luyên một thao tác tư duy hoặc thăm dò thái độ trước một vấn đề để tự
mình hình thành những kỹ năng mới . Ví dụ
Để nhiều học sinh được làm quen với cách giải bài toán tỉ lệ nghòch tôi sử
dụng phiếu học tập trong bài toán sau:
Bài toán 8:
Cho biết 3 người làm cỏ một cánh đồng hết 6 giờ.Hỏi 12 người (với cùng năng suất
như thế) làm cỏ xong cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?
Giải:
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

13

Cách 1: goiï x là số người làm cỏ một cánh đồng và y là thời gian( tính bằng
giờ) để làm xong cánh đồng đó.
Vì năng suất của mọi người như nhau và diện tích làm cỏ như nhau( cùng một cánh
đồng) nên x và y là hai đại lượng . . . . . . . . . . . . . . . . …
Do đó x liên hệ với y theo công thức x.y = a (a là một số không đổi)

Theo đầu bài khi x= 3 thì y = . . . . nên ta có
a = . . . . . . .= . . . . . . . .
Công thức biểu thò mối quan hệ giữa x và y là . . . . . . . . .
Khi x =. . . . . . thì y = . . . . . . . . .
Vậy 12 người làm cỏ xong cánh đồng hêt . giờ
Cách 2:
Vì năng suất của mọi người như nhau và diện tích làm cỏ như nhau( cùng một
cánh đồng) nên số người làm cỏ xong cánh đồng và thời gian( tính bằng giờ) để làm
cỏ xong cánh đồng đó là hai đại lượng . . . . . . . . . . . . . . . . …
Gọi x là thời gian (tính bằng giờ) để 12 người làm cỏ xong cánh đồng , theo
tính chất của hai đại lượng . . . . . . . . . . . . . . . . … ta có:
3 .6 = x. . …. hay x = . . . .
Vậy 12 người làm cỏ xong cánh đồng hết . giờ
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Các em thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thoã
mãn, ít đi sâu kiểm tra lời giải, xét xem có sai lầm không? Ít khi đi sâu nghiên cứu
cải tiến lời giải,khai thác lời giải, nghiên cứu những bài toán tương tự , mở rộng hay
lật ngược vấn đề nhất là trong các bài toán liên hệ thực tế thì những điều nói trên
càng quan trọng hơn. Vì vậy , bên cạnh việc cho học sinh giải những bài toán có vừa
đủ dữ kiện (không thừa, không thiếu) có câu hỏi, có yêu cầu rõ ràng tôi đã đề ra
cho học sinh nhiều yêu cầu khác phù hợp với đòi hỏi trong thực tế như
+ Những bài toán thừa dữ kiện, học sinh phải chọn lựa trong đó những dữ
kiện thiết yếu để giải, hoặc những đề toán thiếu dữ kiện, học sinh phải tìm trong
thực tế , trong sách vở để bổ sung các dữ kiện . Giáo viên nên cho các em tự đặt ra
câu hỏi nếu thiếu dữ kiện này hoặc thừa dữ kiện kia thì bài toán có giải được
không?Hoặc khi đó nên giaiû theo trình tự nào? Có thể đưa bài toán đó về một bài
toán đơn giản hơn, đã quen thuộc cách giải hay không?
+Cần kiểm tra lại kết quả tìm được có phù hợp với yêu cầu bài toán hay
không?
5. Một số bài toán áp dụng:

Bài1: Trong hai bảng dưới đây, bảng nào cho ta các giá trò của hai đại lượng tỉ lệ
nghòch
a.
x -5 -3 2 4 17
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

14

y -4 -6 11 4,75 1
b.
x -18 -9 3 4,5 114
y 2 4 -12 -8 -0,25

Bài 2 : Cho biết xvà y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch với nhau và khi x= -3 , y= 6.
a. Tìm hệ số tỉ lệ nghòch của y đối với x.
b. Hãy biểu diễn y theo x.
c. Tính giá trò của y khi x = - 15 , x =6
Bài 3: Cho biết x,y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch; x
1
, x
2
là hai giá trò của x; y
1
, y
2
là
hai giá trò tương ứng của y
a/ Tìm x
1
; x

2
biết 2x
1
= 5y
1
và 2x
1
– 3y
1
=12
b/ x
1
= 2x
2
, y
2
= 10 . Tính y
1

Bài 4:Cho hai đại lượng tỉ lệ nghòch x và y; x
1
và x
2
là hai giá trò của x, y
1
và y
2
là
hai giá trò tượng ứng của y
a. Biết x

1
y
1
= 45 và x
2
= 9. Tính y
2
b. Biết x
1
= 2 ; x
2
=4 , và y
1
+ y
2
= 12 . Tính y
1
và y
2

c. Biết x
2
= 3 ; x
1
+ 2y
2
= 18 và y
1
= 12. Tính x
1

, y
2

Bài 5: Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc và đi về phía nhau từ hai tỉnh A, B cách
nhau 544 km. Tính xem hai xe gặp nhau cách A bao nhiêu km, Biết rằng xe thứ nhất
đi cả quãng đường AB hết 12 giờ còn xe thứ hai phải hết 13h 30 phút.
Bài 6:Một xe hơi phải đi từ A đến B trong một thời gian nhất đònh.
1
3
đoạn đường AB
, xe đi với vận tốc đã đònh.
Trong đoạn đường còn lại vận tốc của xe hơi tăng lên được 20% vận tốc của nó, do
đó đến B sớm hơn thời gian dự đònh 20 phút. Hãy tính thời gian xe đi từ A đến B
Bài 7: Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5 phút,
người thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian như nhau cả hai cùng làm
việc thì tiện được cả thảy 84 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được.
Bài 8: 12 người may xong một lô hàng hết 5 ngày. Muốn may hết lô hàng đó sớm
hơn 1 ngày thì cần thêm mấy người?( với năng suất máy như nhau)
Bài 9:Để làm một công việc trong 12 giờ cần 45 công nhân. Nếu số công nhântăng
lên 15 người thì thời gian để hoàn thành công việc giảm được mấy giờ?
Bài 10:Năm công nhân đào đất trong 3 ngày, mỗi ngày làm 8 giờ thì đào được 24 m
3

đất. Hỏi 7 công nhân dào trong 4 ngày, mỗi ngày làm 10 giờ thì đào được bao nhiêu
m
3
đất?

Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

15

Bài 11 :Ba đơn vò cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu. Đơn vò thứ nhất
có 8 xe và ở cách cầu 1,5 km. Đơn vò thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3km. Đơn vò thứ
ba có 6 xe và cách cầu 1km.
Hỏi mỗi đơn vò phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu, biết rằng số tiền phải
trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghòch với khoảng cách từ các đơn vò.
Bài 12 :Một bánh xe răng có 75 răng, mỗi phút quay 56 vòng. Một bánh xe khác có
35 răng ăn khớp với các răng của bánh xe trên thì trong 1 phút quay được bao nhiêu
vòng?
Bài 13: Tìm hai số dương biết tổng và tích của chúng tỉ lệ nghòch với 35, 210 và 12
Bài 14: Chia số 393 thành những phần tỉ lệ nghòch với các số 0,2;3
1
3
,
4
5

Bài 15 : Gía hàng hạ 20%. Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu %
hàng?
Bài 16: Một người mua vải để may ba áo sơ mi như nhau. Người ấy mua ba loại vải
khổ rộng 0,7m; 0,8m và 1,4m với tổng số vải là 5,7m. Tính số mét vải mỗi loại
người ấy đã mua.
 Biện pháp thực hiện:
 Để thực hiện tốt kỹ năng giaiû các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghòch nêu trên
thành thạo trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các
kiến thức cơ bản sau:
- Củng cố lại về tỉ lệ thức,tìm số chưa biết trong một tỉ lệ thức,tính chất dãy tỉ số
bằng nhauvà đại lượng tỉ lệ thuận
- Ngay từ đầu, giáo viên cần chú ý dạy tốt cho HS nắm vững chắc các kiến thức

trên và đặc biệt cần nắm vững cách giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ
thuận
- Khi gặp bài toán về đại lượng tỉ lệ nghòch, học sinh cần:
+Quan sát đặc điểm của bài toán:
1) Dạngbài toán đã biết hai đại lượng tỉ lệ nghòch,cần tìm hệ số tỉ lệ hoặc tìm các
gía trò tương ứng x
1
, x
2
, y
1
, y
2
,….
2) Dạng bài toán có lời văn:
- Đọc kỹ đề bài, phân tích đề bài, tóm tắt đề bài
- Nhận xét quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán để tìm ra hai đại lượng tỉ lệ
nghòch
+Diễn đạt mối quan hệ đó bằng quan hệ toán dựa vào tính chất hoặc đònh nghóa
hai đại lượng tỉ lệ nghòch thông qua tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
+Trên cơ sở quan sát đặc điểm của bài toán để có hướng giải , trình bày bài cho
phù hợp.
-Xây dựng cho HS thói quen học tập,biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận xét,
đánh giá bài toán theo quy trình nhất đònh, biết lựa chọn phương pháp thích hợp
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

16

vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán , rèn luyện
khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ,

nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác

III. KẾT QUẢ:
Qua việc áp dụng phương pháp tìm lời giải cho bài toán tỉ lệ nghòch như trên
tôi đã giúp cho học sinh từ việc làm quen với hai đại lượng tỉ lệ nghòch đến việc
nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghòch, kết hợp các kiến thức liên quan để tìm tòi cách
giải bài toán và trình bày bài toán hợp lý nhất, góp phần nâng cao chất lượng học
tập của học sinh đối với môn Đại số 7 . Thông qua một số biểu hiện cụ thể như:
- Đã hạn chế việc học sinh lúng túng trong việc tìm tòi cách giải, cách trình bày
bài toán giải về đại lượng tỉ lệ nghòch
- Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ
số bằng nhau biết vận dụng các kiến thức này vaò bài toán tỉ lệ nghòch một
cách hợp lý, nhưng chỉ còn một vài học sinh quá yếu, kém không thực hiện tốt
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

17

- Học sinh đã có hứng thú hơn khi giáo viên cho bài tập về nhà, các em đã hiểu
ra những bài toán có liên hệ thực tế trong đó có toán về tỉ lệ nghòch là không
thể thiếu trong việc học tập bộ môn vì nó rèn luyệân tư duy thực tế cho các em
.Đây là một phẩm chất cần thiết trong cuộc sống cho mọi người , nhất là trong
nền kinh tế thò trường hiện nay.
- Trong năm học 2005- 2006 tôi đã áp dụng giải pháp trên thì số học sinh nắm
vững phương pháp giải toán về tỉ lệ nghòch là 70% cao hơn nhiều so với hai năm học
trước đó ( chỉ 45%).Điều đáng phấn khởi không phải chỉ ở chỗ các em đã biết giải
bài toán về đại lượng tỉ lệ nghòch và có hứng thú hơn trong việc học tập bộ môn mà
kết quả học tập của các em được nâng cao .

IV. KẾT LUẬN
Dạy học sinh giải một bài toán không chỉ đơn thuần là giúp học sinh có được
lời giải của bài toán đó, mà cần giúp cho học sinh cách tìm tòi lời giải bài toán thông
qua dạy tri thức,truyền thụ phương pháp . Với cách làm như vậy, dần dần học sinh tự
đúc kết phương pháp giải toán, tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn nói
chung và giải toán về tỉ lệ nghòch nói riêng.Mặc dù chỉ là bước đầu thể nghiệm,
những thiếu sót hạn chế vẫn còn nhiều, cần phải tiếp tục rút kinh nghiệm.
Qua thực tiễn vận dụng cách giải bài toán thực tế về đại lượng tỉ lệ nghòch bản
thân tôi rút ra được một số bài học kinh nghiệm sau:
- Việc giải được các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghòch sẽ giúp cho các em có
sự thuận lợi hơn khi học một số kiến thức ở các lớp trên như :giải bài toán bằng cách
lập phương trình , đồ thò hàm số y =
a
x
…nên giáo viên cần khắc sâu kiến thức cho
học sinh thông qua việc củng cố lý thuyết và các bài tập rèn luyện kỹ năng từ dễ
đến khó. Qua đó giúp học sinh phát triển năng lự tư duy, nhận xét, phân tích, phán
đoán, tổng hợp.
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

18

- Để khắc sâu kiến thức cho học sinh người giáo viên không nhất thiết áp đặt
học sinh tuân thủ theo phương pháp dạy như sách giáo khoa mà phải có sự tìm tòi
sáng tạo trong dạy học

- Khi dạy học giáo viên phải căn cứ vào trình độ của học sinh để có phương
pháp dạy học phù hợp, kích thích hứng thú học tập cả ba đối tượng :khá , giỏi trung
bình và yếu.
- Khi sử dụng phiếu học tập trong từng bài toán, giáo viên cần có sự đầu tư
đúng mức để học sinh yếu, học sinh trung bình có thể trình bày được bài giải của
mình. Trình bày bài giải trên phiếu học tập giúp học sinh giải bài toán trong thời
gian ngắn của tiết học nhưng cũng cần sự đầu tư về thời gian và công sức để thiết
kế.
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ mà bản thân tôi đúc rút được qua
thực tế dạy học về đại lượng tỉ lệ nghòch. Trong khi trình bày đề tài của mình không
tránh khỏi nhiều khiếm khuyết. Mong đồng nghiệp góp ý và xây dựng thêm .Bản
thân tôi sẽ luôn tiếp tục học hỏi, tìm hiểu thêm trong lónh vực dạy học để nâng cao
hơn nữa chất lượng bộ môn.
Xin chân thành cảm ơn !

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tác giả :Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng Khanh- Nguuyễn Anh Dũng