Sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa trong ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Vật lý là môn khoa học cơ bản nên việc dạy vật lý trong trường phổ thông
phải giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, trọng tâm của bộ môn, mối quan hệ
giữa vật lý và các môn khoa học khác để vận dụng các quy luật vật lý vào thực tiễn
đời sống. Vật lý biểu diễn các quy luật tự nhiên thơng qua tốn học vì vậy hầu hết
các khái niệm, các định luật, quy luật và phương pháp… của vật lý trong trường
phổ thông đều được mô tả bằng ngôn ngữ toán học, đồng thời cũng yêu cầu học
sinh phải biết vận dụng tốt toán học vào vật lý để trả lời nhanh, chính xác các dạng
bài tập vật lý nhằm đáp ứng tốt các yêu cầu ngày càng cao của các đề thi.
Đã từ lâu việc giải các bài tốn vật lí trong dao động điều hịa như tìm thời
gian, quãng đường, tốc độ trung bình... thì việc sử dụng vịng trịn lượng giác có
gắn trục tọa độ Ox (hay giản đồ véc tơ quay Fren-nen) để giải tỏ ra rất hiệu quả và
gần như không thể thay thế. Các bài toán dạng này trong các đề thi thử tốt nghiệp
THPT Quốc gia cũng như đề thi của Bộ xuất hiện ngày càng nhiều.
Vài năm gần đây việc sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để giải nhanh
các bài toán dạng này ngày càng được sử dụng nhiều. Vậy vịng trịn lượng giác đa
trục là gì, nó khác vịng trịn lượng giác thơng thường ở chỗ nào? Tại sao khi sử
dụng nó, ta có thể giải nhanh hơn các bài tốn tìm thời gian, qng đường, tốc độ
trung bình...so với vịng trịn lượng giác thơng thường.
Vịng trịn lượng giác đa trục là một “biến tướng” của vòng tròn lượng giác thơng
thường, nó được tạo ra khi xuất hiện những bài tốn địi hỏi việc tính tốn phải
nhanh để rút ngắn thời gian làm bài trắc nghiệm. Nếu như vịng trịn lượng giác
thơng thường chỉ sử dụng trục tọa độ Ox để xác định li độ của vật ở các thời điểm
khác nhau thì vịng trịn lượng giác đa trục lại có gắn thêm trục vận tốc Ov và trục
gia tốc Oa.
Trong q trình ơn thi đại học tơi thấy có những bài tốn vật lí khi HS sử
dụng vịng trịn lượng giác bình thường thì thời gian tính tốn lâu, cịn khi sử dụng
vịng trịn lượng giác đa trục cho kết quả nhanh và chính xác. Đặc biệt với việc thi
trắc nghiệm đòi hỏi các em HS làm phải nhanh để rút ngắn thời gian làm bài thi.
1

Chính vì vậy tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng vòng tròn
lượng giác đa trục để giải nhanh một số bài tốn dao động điều hịa trong ôn thi tốt
nghiệp THPT Quốc gia”. Với mong muốn giúp các em HS biết cách sử dụng vòng
tròn lượng giác đa trục và vận dụng nó để giải quyết nhanh những bài tốn vật lí
trong các đề thi nhằm đưa chất lượng dạy học của nhà trường ngày càng đi lên.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh biết cách sử dụng và hình thành kỹ năng giải nhanh một số bài
tốn vật lí sử dụng vịng trịn lượng giác đa trục
- Giúp học sinh nhận thức sâu sắc việc áp dụng kiến thức toán học phù hợp để
giải tốn vật lí.
- Chỉ ra các mối quan hệ trực quan của các đại lượng vật lý, phương pháp, thủ
thuật sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để giải nhanh nhất, chính xác nhất các
bài tập.
- Thơng qua đề tài rèn luyện, phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Vòng tròn lượng giác đa trục. Cách sử dụng và phân biệt với vịng trịn lượng
giác thơng thường trong chương trình SGK Vật lí 12 Cơ bản.
- Rèn luyện kĩ năng làm bài tập, cũng cố và khắc sâu kiến thức, định hướng cho
việc ôn luyện đội tuyển và ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu, xây dựng cơ sở lí thuyết, sưu tầm các tài liệu phục vụ cho
việc soạn thảo.
- Thực nghiệm trong giảng dạy. Thống kê và xử lí số liệu.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
- Giúp HS hiểu rõ về vòng tròn lượng giác đa trục và biết cách sử dụng nó khi
đã nhận dạng được bài tốn.
- Hướng dẫn HS cách nhận biết dạng bài tập sử dụng vịng trịn lượng giác đa
trục để có cách giải nhanh, gọn, chính xác.

2


- Xây dựng được hệ thống bài tập và đề xuất phương pháp giải nhanh gọn, dễ
hiểu.

3


- Hệ thống bài tập trong đề tài là nguồn tài liệu quan trọng để ôn đội tuyển học
sinh giỏi, cũng như ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

4


5


2. NỘI DUNG

6


2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

7


2.1.1. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

8


-A

O

A

x

(+)

Cho một vật dao động điều hịa với phương trình x = A cos(ω t + ϕ ) , với x là li

ω.tϕ

độ của vật ở thời điểm t, A là biên độ dao động, ω là tần số góc, ω t + ϕ là pha dao
động ở thời điểm t, ϕ là pha ban đầu.
Để biểu diễn dao động điều hòa x = A cos(ω t + ϕ ) người ta dùng một véc tơ

uuuur
OM có độ dài là A (biên độ), quay đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục
uuuur

Ox với tốc độ góc ω . Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và OM là ϕ (pha
ban đầu).

uuuur

Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM là ω t + ϕ . Độ dài đại số của độ dài hình
uuuur
OM
chiếu véc tơ quay
trên trục Ox là:
OP = OM cos(ω t + ϕ ) = A cos(ω t + ϕ ) = x

uuuur
Như vậy, độ dài đại số của hình chiếu trên trục Ox của véc tơ quay OM biểu
diễn dao động điều hịa chính là li độ x của dao động
2.1.2. Bài tốn tìm thời gian sử dụng véc tơ quay thông thường

9


Đối với bài tốn sử dụng véc tơ
quay thơng thường (hay cịn gọi là giản
đồ Fren-nen) trong SGK Vật lí 12 thì
phương pháp cơ bản vẫn là tính li độ
của vật ở hai thời điểm khác nhau thông
x
=n
qua biên độ bằng cách lập tỉ số A
,n
1
2
3
0, ±1, ± , ±
,±
2

2
2
thường có các giá trị

. Từ đó suy ra li độ x thường có các giá
A A 2 A 3
x = 0, ± A, ± , ±
,±
2
2
2 . Sau đó
trị

xác định các giá trị li độ x trên vòng tròn lượng giác, rồi áp dụng các cơng tính
nhanh tìm các đại lượng cần tìm thơng qua các bước giải mà GV cung cấp cho HS.
Phương pháp này gần như đa số các em đã nắm vững để giải các bài toán tìm thời
gian, qng đường…trong dao động điều hịa.
2.1.3. Vịng trịn lượng giác đa trục
Xét bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hịa với phương trình
x = A cos(ω t + ϕ ) . Tại thời điểm t1 vật qua vị trí có li độ x1 (hoặc vận tốc v1 hay gia
tốc a1 ), tại thời điểm t2 vật qua vị trí có li độ x2 (hoặc vận tốc v2 hay gia tốc a2 ).
Xác định khoảng thời gian ∆ t .

10


Nhận xét: Nếu bài toán cho các li độ
x1 , x2 ở các thời điểm khác nhau thì ta
có thể sử dụng vịng trịn lượng giác
thơng thường để tính. Nhưng ở đây

với điều kiện cho trước ( v1 hay a1 ) và
( v2 hay a2 ), nếu sử dụng vòng trịn
lượng giác thơng thường ta phải sử
dụng các cơng thức độc lập thời gian
A2 = x 2 +

v2
2
ω 2 hay a = −ω x để tính các li độ x1 , x2 . Và như vậy ta phải tốn thêm thời

gian để làm bài.

11


Từ đây, muốn giải nhanh bài toán dạng này mà không cần sử dụng công thức
độc lập thời gian, người ta xây dựng vòng tròn lượng giác đa trục, trên vịng trịn
ngồi trục tọa độ Ox, ta đưa thêm vào trục vận tốc Ov và trục gia tốc Oa như hình

3
v = - 2 vmax
2π
2
v=vmax3
2
3π
4
1
v = - 2 vmax

π
2 v = -vmax

π
3
π
4
π
6

5π
6

a

π

v=0

a = - amax

-A − A 3 − A 2 − A
2
2

a = amax

A
2

2

−

5π
6

−

3
a = 2 amax
a=

A

A 2 A 3
2
2

3π
−
4
2
amax

−

2

−

1
a = 2 amax 2π
−
3

v = vmax

π
3

v=

π
4

π
6

v=

v=

2

2

x

1

2vmax
vmax

3
2 vmax

v
vẽ:
Vì ta biết khi vật dao động điều hịa với phương trình x = A cos(ω t + ϕ ) thì vận
π
π
v = −ω A sin(ω t + ϕ ) = ω A cos(ω t + ϕ + )
2 biến đổi sớm pha 2 so với li độ,
tốc tức thời
2
2
còn gia tốc tức thời a = −ω A cos(ωt + ϕ ) = ω A cos(ωt + ϕ + π ) biến đổi ngược pha so

với li độ x.

12


Để giải các bài tốn sử dụng vịng trịn lượng giác đa trục ta cũng phải có
các bước tính tốn giống như khi sử dụng vịng trịn lượng giác thơng thường, chỉ
khác là khơng phải trải qua bước tính tốn sử dụng công thức độc lập với thời gian.
- Nếu bài toán cho đại lượng vận tốc

v

ở một thời điểm t nào đó, ta cần phải tính:

+ Vận tốc cực đại: vmax = ω A .
v

+ Lập tỉ số vmax

=n

1
2
3
n = 0, ± 1, ± , ±
,±
2
2
2 .
, với n thường có các giá trị

+ Vẽ vịng trịn lượng giác đa trục, xác định các giá trị vận tốc trên trục Ov đường
trịn rồi tính tốn như bình thường.
- Nếu bài toán cho đại lượng gia tốc

a

ở một thời điểm t nào đó, ta cần phải tính:

2
+ Gia tốc cực đại: amax = ω A .

a

+ Lập tỉ số amax

=n

1
2
3
n = 0, ± 1, ± , ±
,±
2
2
2 .
, với n thường có các giá trị

+ Vẽ vịng trịn lượng giác đa trục, xác định các giá trị gia tốc trên trục Oa đường
trịn rồi tính tốn như bình thường.
Chú ý quan trọng: Khi xác định giá trị vận tốc trên trục Ov của đường trịn thì véc
uuuur
OM
tơ quay
có độ dài là OM = vmax = ω A . Còn khi xác định giá trị gia tốc trên trục
uuuur
2
OM
Oa thì véc tơ quay
có độ dài là OM = amax = ω A . Ngoài ra cũng cần chú ý tới

chiều chuyển động của vật thông qua giá trị vận tốc được cho trong bài.

Ví dụ:
Con lắc lị xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 250 g và lị xo nhẹ có độ cứng 100
N/m dao động điều hịa dọc theo trục Ox với biên độ 4 cm. Khoảng thời gian ngắn
nhất để vận tốc của vật có giá trị từ - 40 cm/s đến 40 3 cm/s là
π
A. 40 s.

π
B. 120 s.

π
C. 20 s.
13

π
D. 60 s.


- Cách giải 1: Sử dụng vòng tròn lượng giác thơng thường:
Tần số góc của con lắc
M1

k
100
=
0, 25 = 20 rad/s;
ω= m

Thời điểm t1 , khi vật có vận tốc - 40 cm/s thì

−A

A 3
2 −A

A 3 x
A 2 A

O

2

2

vật có li độ:
M2

v
−40 2
A 3
x = ± A2 − ( )2 = ± 42 − (
) = ±2 3 = ±
ω
20
2

Thời điểm t2 , khi vật có vận tốc 40 3 cm/s thì vật có li độ:
v
40 3 2
A

x = ± A2 − ( ) 2 = ± 4 2 − (
) = ±2 = ±
ω
20
2

Vẽ vòng tròn lượng giác, xác định các vị trí này trên đường trịn như hình vẽ. Ta
uuuur

thấy khoảng thời gian ngắn nhất ứng với OM quay từ vị trí M1 đến vị trí M2.
Góc quét

∆ϕ =

π
2 , tương ứng với khoảng thời gian cần tìm:
∆t =

T 1 2π 2π π
= . =
= (s)
4 4 ω 20 10

- Cách giải 2: Sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục
Tần số góc của con lắc

-vm

k
100

=
0, 25 = 20 rad/s;
ω= m

vm
2

M1

Vận tốc cực đại: vmax = vm = ω A = 80cm / s
vm
v
=
−
40
cm
/
s
=
−
2
Thời điểm t1 ,
M2

vm 3
2
vm
v

14

v = 40 3cm / s =
Thời điểm t2 ,

vm 3
2

Vẽ vịng trịn lượng giác, xác định các vị trí này trên đường trịn như hình vẽ. Ta
uuuur
OM
thấy khoảng thời gian ngắn nhất ứng với
quay từ vị trí M1 đến vị trí M2.

Góc qt

∆ϕ =

π
2 , tương ứng với khoảng thời gian cần tìm:
∆t =

T 1 2π 2π π
= . =
= (s)
4 4 ω 20 10

Nhận xét: Qua cách giải 2, sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục ta thấy:
+ Các bước tính tốn giảm đi do khơng phải tính li độ của vật ở hai thời điểm.
+ Số lượng véc tơ quay trên hình vẽ giảm, dễ nhìn, dễ xác định góc qt.

+ Thời gian làm bài tốn ngắn hơn.
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất phương pháp giải
π
x = 10 cos(π t + )cm
2
Bài tập 1. Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình
,

thời gian t đo bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có vận tốc 5π cm / s
lần đầu tiên vào thời điểm:
2
s
A. 3

5
s
B. 6

1
s
C. 3

4
s
D. 3

Hướng dẫn giải:
Vận tốc cực đại: vmax = ω A = 10π cm / s
uuuur

Lúc t=0, véc tơ quay OM ở vị trí M.

Ở

thời

điểm

v = 5π cm / s =

t:

vm
2 , lúc này

véc tơ quay đến vị trí N
Thời điểm đầu tiên ứng

với góc quét
15

∆ϕ =

2π
3 ,


tương ứng với thời điểm cần tìm:

t=

T 1 2π 2
= . = s
3 3 π 3

Đáp án A
Nhận xét: Qua bài toán này ta thấy để giải bài toán nhanh ta phải kết hợp cả trục
tọa độ Ox và trục vận tốc Ov trên vòng tròn lượng giác
Bài tập 2. Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 10cos(π t )cm , thời gian t
được tính bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật có vận tốc

v = 5π cm / s lần đầu tiên, tốc độ trung bình của vật gần nhất giá trị nào sau đây?
A. 10cm/s

B. 15cm/s

C.20cm/s

D. 25cm/s

Hướng dẫn giải:
Tốc độ cực đại của vật

vmax = ω A = 10π cm / s

uuuur
OM
Lúc đầu véc tơ
đang ở vị trí M

Khi vật có vận tốc

v = 5π cm / s =

vmax
2 và đang chuyển động theo chiều dương thì lúc

uuuur
OM
này véc tơ
đang đi qua vị trí N1 trên đường trịn

Từ hình vẽ ta có góc quét

∆ϕ =

7π
6 .

Suy ra thời gian vật đi đươc:
t=

7T 7 2π 7
= . = s
12 12 π 6

Quãng đường vật đi được:
s = 2A+ A−

A 3

= 30 − 5 3 ≈ 21,34cm
2

Tốc độ trung bình của vật:

s 21,34
vtb = =
≈ 18, 29cm / s
t 7/6
Đáp án C
16


π
x = 4cos(π t + )cm
3
Bài tập 3. Một vật dao động điều hịa với phương trình
, thời gian

t được tính bằng giây. Tại thời điểm t 1 vật qua vị trí có vận tốc v = − 4π cm / s , đến
2
thời điểm t2 = t1 + ∆ t ngay sau đó vật đi qua vị trí có gia tốc a = 20cm / s theo chiều
2
dương. Lấy π = 10 . Giá trị của ∆ t là

2
s
3
A.

5
s
6
B.

1
s
3
C.

4
s
3
D.

Hướng dẫn giải:
Vận tốc cực đại: vmax = ω A = 4π cm / s
Ở thời điểm t1: v = − 4π cm / s = − vm , lúc này véc

amax
2

tơ quay đến vị trí M1
2
2
2
Gia tốc cực đại: amax = ω A = 4π = 40cm / s

Ở thời điểm t2:

a = 20cm / s 2 =

amax
2 , lúc này

véc tơ quay đến vị trí M2
Thời điểm đầu tiên ứng với góc qt
tương ứng với thời điểm cần tìm:

∆ϕ =

5π
6 ,

t=

5T 5 2π 5
= . = s
12 12 π 6

Đáp án B
Nhận xét: Ở bài toán này ta cần tính tốn và xác định giá trị trên cả hai trục Ov và
Oa
Bài tập 4. Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20cm. Sau khoảng thời gian
∆t =

1
s
12 kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được 10cm mà chưa đổi chiều chuyển động

và đến vị trí có li độ 5cm theo chiều dương. Vận tốc của vật ở thời điểm ban đầu là
17


A. 20π 2cm / s

B. 20π 3cm / s

C. 20π cm / s

D. 40π cm / s

Hướng dẫn giải:
Biên độ dao động A = 10 cm
Sau khoảng thời gian ∆ t vật đến vị trí có li độ

x = 5cm =

A
2 theo chiều dương được

biểu diễn bằng điểm M2 trên đường trịn
Từ hình vẽ dễ dàng suy ra luc t=0 vật có li độ
x = − 5cm = −

A
2 và được biểu diễn bằng điểm M1

trên đường tròn

vm 3
2

π
∆ϕ =
3 suy ra
Góc quét
∆t =

T 1
= ⇒ T = 0,5s ⇒ ω = 4π rad / s
6 12

Từ điểm M1 hạ đường vn góc lên trục Ov, dễ dàng suy ra
v=

vmax 3 ω A 3
=
= 20 3π cm / s
2
2

Đáp án B
Nhận xét: Bài này sau khi vẽ hình và suy luận ta sẽ biết được ngay được góc quét.
Sau đó tính chu kì. Từ điểm M1 hạ đường vn góc lên trục Ov, dễ dàng suy ra
được giá trị vận tốc cần tìm. Bài tốn tính rất nhanh mà khơng cần phải dùng cơng
v2
A =x + 2
ω để tính vận tốc. Từ đây ta lại thấy rõ ưu thế của vịng trịn lượng
thức

2

2

giác đa trục
Bài tập 5. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc v theo thời gian t
của một vật dao động điều hịa. Phương trình dao động
của vật là

18


A.

C.

x=

3
π
 40π
cos 
t + ÷(cm)
8π
6
 3

x=

3

π
 40π
cos 
t − ÷(cm)
8π
6
 3

B.

D.

x=

3
π
 20π
cos 
t + ÷(cm)
4π
6
 3

x=

3
π
 20π
cos 
t − ÷(cm)

4π
6
 3

Hướng dẫn giải
Từ đồ thị dễ dàng suy ra chu kì T = 0,3s và vmax =5cm/s
ω=

Tần số góc
Biên độ

A=

2π 2π 20π
=
=
rad / s
T 0,3
3

-vm

vmax
5
3
=
=
cm / s
ω
20π / 3 4π

Lúc t=0, vật có vận tốc

v = 2,5m / s =

vmax
2 và giá trị

vận tốc đang giảm

A 3
2

vm
2

x

M

Vẽ vòng tròn lượng giác, ta thấy thời điểm ban
đầu được xác định bởi điểm M trên đường trịn.
uuuur
OM
Khi đó
hợp với trục Ox một góc chính là pha

ban đầu

ϕ=−

vm
v

π
6.

Suy ra đáp án D
Nhận xét: Với bài tốn đồ thị này, ta sử dụng vịng tròn lượng giác đa trục cho kết
quả khá nhanh.
Bài tập 6. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 8 cm. Biết
trong một chu kì, khoảng thời gian để chất điểm có tốc độ khơng nhỏ hơn 40π 3
T
cm/s là 3 . Chu kì dao động của chất điểm là

A. 2s.

B. 0,1s.

C. 1s.

Hướng dẫn giải:

19

D. 0,2s.


T
Khoảng thời gian 3 ứng với M2

-vm

Khi

vật

có

tốc

độ

vm 3
2

của

vật

có

giá

trị

M1

góc quét

∆ϕ =

v ≤ 40π 3cm / s

2π
3

thì vận tốc

v ≤ − 40π 3cm / s

hoặc

v ≥ 40π 3cm / s

Vẽ vòng tròn lượng giác ta
phải quay từ vị trí M1 đến
Suy

M3

ra

vm 3
2
vm

uuuur
OM
dễ dàng suy ra véc tơ

M2 và M3 đến M4

v

v max 3 ω A 3
=
= 40π 3 ⇒ ω = 10π rad / s
2
2

Chu kì dao động của chất điểm
T=

2π 2π
=
= 0, 2 s
ω 10π

2.3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong năm học 2020 – 2021, tôi được Ban giám hiệu nhà trường phân công
giảng dạy ở lớp 12C1. Là một lớp chọn nhưng không phải học lực của HS nào
cũng từ khá trở lên. Là một ngôi trường làng đũng nghĩa, nên học lực của các em
không đồng đều, dẫn đến tơi phải làm một giáo án hợp lí để làm sao các em có học
lực trung bình khá cũng có thể tiếp thu được kiến thức của người giáo viên truyền
đạt.
Trong q trình ơn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia tơi nhận thấy dạng bài tập
tìm thời gian, quãng đường...trong dao động điều hòa xuất hiện khá nhiều trong
các đề thi thử của các trường cũng như đề thi của Bộ giáo dục. Chính vì vậy dạng
bài tập này rất quan trọng, nếu các em HS nắm vững kiến thức của phần này ở

chương dao động điều hòa thì có thể làm tốt các bài tập dạng này ở các chương
tiếp theo. Là một giáo viên có kinh nghiệm trong ôn thi đại học, tôi biết rằng cần
phải ln đổi mới phương pháp giảng dạy, ln tìm tịi các phương pháp giải bài
20


tập ngắn gọn, dễ hiểu để rút ngắn thời gian làm bài, đáp ứng tốt với kiểu bài thi
trắc nghiệm và ôn tập thật kĩ dạng bài tập này để phát huy kĩ năng làm bài và phát
huy khả năng tư duy trừu tượng của các em. Khi các em học sinh được GV cung
cấp đủ kiến thức, với sự cố gắng chăm chỉ của bản thân học tập và rèn luyện, các
em khơng những nắm vững được lí thuyết mà cịn hồn thành khá tốt dạng bài tập
sử dụng vịng trịn lượng giác đa trục
Để kiểm tra tính hiệu quả của đề tài SKKN, tôi đã chọn lớp 12 C1 có 44 HS
để làm thực nghiệm sư phạm. Lúc đầu tơi dạy dạng bài tập này sử dụng vịng trịn
lượng giác thơng thường chung cho cả lớp để các em HS có cái nhìn tổng qt và
kĩ năng làm bài tập tìm thời điểm, quãng đường…trong dao động điều hịa. Sau
thời gian 2 tháng, tơi tách lớp 12C1 thành 2 nhóm có năng lực tương đương.
- Nhóm 2 là nhóm đối chứng (ĐC) làm theo phương pháp sử dụng vịng trịn
lượng giác thơng thường (hay cịn gọi là giản đồ Fren-nen).
- Nhóm 1 là nhóm thực nghiệm (TN), tơi đã sử dụng phương pháp vòng tròn
lượng giác đa trục để dạy thêm cho các em trong 1 buổi với thời gian 2 tiếng đồng
hồ. Có thể nói các em trong nhóm 1 tiếp thu rất nhanh và hình thành kĩ năng làm
bài bằng phương pháp này khá tốt. Sau đó tơi cho 2 nhóm làm 1 bài kiểm tra nhỏ
có 10 câu để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
Đề kiểm tra
Câu 1. Một vật dao động điều hồ có vận tốc thay đổi theo qui luật: v =
10πcos(2πt + ) cm/s. Kể từ lúc t=0. Thời điểm vật đi qua vị trí x = -5cm là
A. s

B. s

C. s

D. s

π

x = 2cos 2πt + ÷
6  (cm). Trong 17/12s

Câu 2. Một vật dao động có phương trình là
2
đầu tiên vật đi qua vị trí có gia tốc 4π cm/s2 bao nhiêu lần ?

A. 2 lần.

B. 3 lần.

C.4 lần.

21

D. 5 lần.


π

x = 8cos  2πt − ÷( cm )
6


Câu 3. Một dao động điều hoà với
. Kể từ lúc t=0. Thời điểm

thứ 2014 vật qua vị trí có vận tốc v= - 8π cm/s là
A. 1006,5s.

B. 1005,5s.

C. 2014 s.

D. 1007s.

π
Câu 4. Một vật dao động điều hịa với chu kì dao động là 10 s và biên độ dao

động là 4cm. Khoảng thời gian ngắn nhất để vận tốc của vật có giá trị từ − 40 cm/s
đến 40 3 cm/s là
π
A. 20 s.

π
B. 120 s.

π
C. 40 s.

π
D. 60 s.

Câu 5. Một vật dao động điều hồ với phương trình x = 4cos5πt (cm). Kể từ lúc

t=0. Thời điểm đầu tiên vật có vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại là
A. s

B. s

C. s

D. s

Câu 6. Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T và biên độ 8 cm. Biết trong
một chu kì, khoảng thời gian để chất điểm có tốc độ khơng nhỏ hơn 40π 3 cm/s
T
là 3 . Chu kì dao động của chất điểm là

A. 2s.

B. 0,1s.

C. 1s.

D. 0,2s.

Câu 7. Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm và tần số 2 Hz. Tại thời điểm
t = 0 vật chuyển động ngược chiều dương và có li độ dương và đến thời điểm t =
2
1/8s vật có gia tốc 80π 3 (cm/s2). Tốc độ trung bình của vật từ lúc t = 0 đến khi t

= 2,625s bằng
A. 81,4 cm/s

B. 61,4 cm/s

C. 80,3 cm/s

D. 83,7 cm/s.

Câu 8. Một vật nhỏ dao động điều hịa theo phương trình x = Acos4π t (t tính bằng
s). Tính từ t = 0; khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn bằng một
nửa gia tốc cực đại là:
22


A. 0,104 s

B. 0,083 s

C. 0,167 s

D. 0,125 s.

Câu 9: Vật dao động điều hịa có v max = 3 m/s và gia tốc cực đại bằng a max = 30π
m/s2. Thời điểm ban đầu vật có vận tốc v = + 1,5 m/s và thế năng đang tăng. Trong
các thời điểm sau, thời điểm vật có gia tốc bằng a = + 15π m/s2 là
A. 0,15 s

B. 0,20 s

C. 0,183 s

Câu 10. Một vật dao động điều hòa với phương trình

D. 0,05 s
x = 8cos ( 2π t ) ( cm )

. Khoảng

thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x = 4 2 đến vị trí vật có vận tốc là
8π cm / s là
1
s
12
A.

5
s
24
B.

7
s
24
C.

1
s
24
D.

Đáp án
Câu

Đ/án

1
C

2
B

3
A

4
C

5
A

6
D

7
A

8
B

9
A

10

D

Kết quả của nhóm đối chứng (ĐC) và nhóm thực nghiệm (TN )tính theo thời gian
làm bài và số câu làm sai
NHÓM TN
ST
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Họ và tên
Vũ Văn Nam
Vũ Văn Việt
Lê Mai Anh
Hoàng Thị Châu
Trần Văn Thi
Nguyễn Minh Quân

Trần Thị Mỹ Duyên
Phạm Cơng Dương
Trần Thùy Dương
Lê Đình Giáp
Nguyễn Thị Hiệp
Nguyễn Đức Hồng
Lê Minh Hồng
Nguyễn Thị Mơ
Hồng Khánh Huyền

NHĨM ĐC
Thời gian

Số

làm bài

câu

(Phút)
8
7
10
14
9
12
10
20
15
24

9
11
22
14
12

sai
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
2
0
1
0
0

Thời gian

Số

Họ và tên

làm bài

câu

Nguyễn Văn Hùng
Nguyễn Ngọc An
Đặng Thị Minh Nguyệt
Phạm Văn Nghĩa
Phạm Văn Nhân
Lâm Tâm Như
Lê Khánh Duy
Ngô Văn Quân
Nguyễn Anh Quốc
Phạm Thị Thanh
Lê Việt Thanh
Ngô Xuân Thanh
Nguyễn Khắc Thành
Phùng Xuân Chiến
Đồng Lê Huy Thịnh

(Phút)
19
36
18
32
15
35
38
14
37
21

29
38
32
39
35

sai
0
1
0
1
0
2
3
0
0
1
0
2
0
1
2

23


16
17
18
19

20
21
22

Nguyễn Mạnh Hưng
Hà Quang Khải
Nguyễn Thế Kiên
Nguyễn Thị Lam
Nguyễn Thùy Linh
Trần Đức Mạnh
Ngô Quang Minh

18
16
8
16
8
9
17

0
3
0
2
0
0
1

Vũ Quang Thịnh
Nguyễn Thị Thơm

Lê Minh Tiến
Nguyễn Thị Trang
Trần Thị Thu Trang
Ngô Thị Vân
Ngô Thị An

35
30
28
37
40
35
38

0
0
1
0
2
0
0

Từ kết quả thu được ở trên, tơi có thể rút ra kết luận: sáng kiến kinh nghiệm của tơi
có tính khả thi cao. Phương pháp sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục đã giúp các
em rút ngắn thời gian làm bài và hạn chế sai sót trong q trình làm bài tập.

3. KẾT LUẬN. KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Khi tôi đưa ý tưởng của mình là cần làm một đề tài sáng kiến kinh nghiệm
về dạng bài tập này trước tổ bộ mơn, tơi đã được các đồng chí trong tổ hồn tồn

ủng hộ và giúp đỡ tơi rất nhiều trong việc chọn lựa bài tập cũng như tìm kiếm tài
liệu tham khảo. Vòng tròn lượng giác chỉ sử dụng hiệu quả, cho kết quả nhanh nếu
như đề bài cùng lúc cho các đại lượng li độ x và vận tốc v hoặc vận tốc v và gia tốc
a. Do đó cần phải làm nhiều dạng bài tập này để có khả năng phát hiện nhanh dạng
bài tập và áp dụng phương pháp này vào từng bài tập cụ thể.
Toán học là cơng cụ để giải bài tập vật lí, nhưng để hiểu sâu về tốn học phải
phải có tư duy tốt về vật lí. Do đó các em HS để sử dụng tốt phương pháp này cần
phải có kiến thức tốt về phần lượng giác trong mơn tốn học. “Học, học nữa, học
mãi” đó là chân lí xun suốt cho thầy và trị ln phải cố gắng học tập không
ngừng. Với mục tiêu nâng cao chất lượng dạy học, những sáng kiến kinh nghiệm
mà tôi làm từ trước tới bây giờ với mong muốn đưa những kinh nghiệm trong suốt
quá trình giảng dạy truyền đạt tới những học sinh thân yêu của mình cũng như các
đồng nghiệp trong trường nhằm đưa chất lượng chuyên môn nhà trường ngày càng
đi lên.
3.2. Kiến nghị
Trong quá trình giảng dạy cũng như làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi
nhận thấy môn vật lí là một một khoa học đặc thù, để học tốt được mơn vật lí các
24


em HS ngồi kiến thức tốt về mơn tốn, cịn phải có tư duy trừu tượng cao để hiểu
bản chất vật lí của bài tồn và phải có niềm đam mê đối với bộ môn này. Một số
HS kiến thức lượng giác trong mơn tốn học chưa tốt nên đã ảnh hưởng đến việc
sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để giải bài tốn tìm thời gian, qng đường…
trong dao động điều hịa. Ngược lại những HS có tố chất tốt về tốn học thì việc
giải bài tập này lại rất nhanh và khá dễ dàng. Khi các em đã nắm vững phần bài tập
dạng này thì việc học tập các chương: sóng cơ học, điện xoay chiều và dao động
điện từ càng trở nên dễ dàng hơn.
Người giáo viên trong q trình giảng dạy trên lớp ln phải là người biết
truyền lửa cho các em sự đam mê đối với bộ mơn này thì các em mới có niềm vui,

sự hứng phấn khi học. Sau mỗi bài học nếu có thể hãy lấy kiến thức để giải thích
các hiện tượng thiên nhiên xảy ra trong cuộc sống. Khi đó các em sẽ u thích bộ
mơn vật lí nhiều hơn, càng cố gắng đi tìm lời giải cho vấn đề trong bài toán đặt ra.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tơi đã trình bày, tơi hy vọng nó sẽ có ích
cho cơng tác giảng dạy của giáo viên và cho việc học của các em HS trong các
chương trình đổi mới hiện nay. Vì thời gian có hạn nên lượng bài tập mà tơi đưa ra
cịn chưa đa dạng và phong phú. Đề tài này có thể mở rộng và áp dụng nó vào giải
bài tập tương tự ở các chương sau. Việc làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm này hồn
tồn mang tính chủ quan nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự góp
ý của bạn đọc và các bạn đồng nghiệp để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Nông Cống, ngày 19 tháng 05 năm 2021

ĐƠN VỊ

CAM KẾT KHÔNG COPY.

Nguyễn Mạnh Hùng
25