Sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
THPT LÊ XOAY
CHUYÊN ĐỀ:
SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO
ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ ĐIỆN XOAY CHIỀU
GIÁO VIÊN: CAO VĂN TUẤN
TỔ : LÝ- HÓA- CN
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
A. NỘI DUNG CHÍNH
Chủ đề 1. Sử dụng Shift Sin và Shift Cos
Shift SIN = Shift COS =
1. Giải nhanh một số toán dao động điều hòa
1.1. Phương pháp giải và các ví dụ
1.2. Bài tập vận dụng
2. Điện xoay chiều
Chủ đề 2. Ứng dụng số phức trong dao động điều hòa và điện xoay chiều
Mode 2
2.1. Các khái niệm liên quan đến số phức
2.2. Viết phương trình dao động điều hòa
a) Cơ sở lý thuyết
b) Phương pháp giải
c) Các ví dụ
2.3. Ứng dụng số phức để tổng hợp dao động điều hòa
a) Phương pháp chung
b) Các dạng bài tập
c) Bài tập vận dụng
2.3. Điện xoay chiều
a) Cơ sở lý thuyết
b) Các dạng bài tập
* Dạng 1: Tính tổng trở Z và ϕ
*Dạng 2: Viết biểu thức cường độ dòng điện khi biết biểu thức điện áp ở hai đầu

một mạch điện
* Dạng 3: Viết biểu thức điện áp ở hai đầu một mạch điện khi cho biểu thức cường
độ dòng điện trong mạch
* Dạng 4: Viết biểu thức điện áp ở hai đầu một đoạn mạch thành phần khi biết điện
áp ở hai đầu mạch chính và ngược lại
* Dạng 5: Viết biểu thức điện áp hai đầu mạch chính khi biết điện áp hai đầu từng
đoạn mạch thành phần
-Trang -
2
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
* Dạng 6: Tìm các thành phần R, L, C trong một đoạn mạch điện xoay chiều
* Dạng 7: Bài toán tổng hợp
c) Bài tâp vận dụng
B. Dự kiến thời gian giảng dạy: 6 ca= 12 tiết.
-Trang -
3
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Chủ đề 1. Sử dụng Shift Sin và Shift Cos
Shift SIN = Shift COS =
1. Giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa
1.1 Phương pháp giải và các ví dụ
* Bài toán liên quan đến thời gian
Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x
1
đến vị trí cân bằng và đến vị trí biên
Cách 1: dùng sử dụng mối liên hệ chuyển động tròn đều và dao động điều hòa:
+ Xác định góc quét tương ứng với sự dịch chuyển
+ Thời gian
t
∆ϕ

∆ =
ω
Cách 2: Sử dụng máy tính
+ Thời gian đị từ 0 đến x
1
là
1
1
1 x
t arcsin( )
A
=
ω
+ Thời gian vật đi từ x
1
đến A là
1
2
1 x
t arccos( )
A
=
ω
* Trong một chu kì khoảng thời gian vật cách vị trí cân bằng một khoảng
+ Nhỏ hơn x
1
là
1
1
4 x

t 4t arcsin( )
A
∆ = =
ω
+ Lớn hơn
1
x
là
1
2
4 x
t 4t arccos( )
A
∆ = =
ω

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm và tần số góc 10 rad/s. Khoảng
thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ 3,5 cm đến vị trí cân bằng là
A. 0,036 s. B. 0,121 s. C. 2,049 s. D. 6,951 s.
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
1
1 x 1 3,5
t arcsin arcsin
A 10 10
∆ = =
ω
t 0,036∆ =
s Chọn A
MODE 1 và SHIFT MODE 4
1

10
SHIFT SIN (
3,5
10
)=0,036
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa có phương trình
x 8cos(7t / 6)= + π
cm (t tính bằng
giây). Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ 7cm đến 2 cm là
A.1/24 s. B. 5/12 s. C. 6,65s. D. 0,12 s.
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
1 2
1 x 1 x
t arcsin arcsin
A A
∆ = −
ω ω
1 7 1 2
t arcsin arcsin
7 8 7 8
∆ = −
t 0,12∆ =
s Chọn D
MODE 1 và SHIFT MODE 4
1
7
SHIFT SIN (
7
8
)-

1
7
SHIFT SIN (
2
8
)=0,12
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình
x 8cos(7 t / 6)= π + π
cm. Khoảng
thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
4 2
cm đến
4 3−
cm là
A. 1/24s. B. 1/12 s. C. 1/6 s. D. 1/12 s.
-Trang -
4
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
1 2
x 4 2 0 x 4 3= → → = −
2
1
x
1 x 1
t arcsin arcsin
A A
∆ = +
ω ω
1 4 2 1 4 3

t arcsin arcsin
7 8 7 8
∆ = +
π π
1
t
12
∆ =
(s) Chọn D
MODE 1 và SHIFT MODE 4
1
7
π
SHIFT SIN (
4 2
8
)+
1
7
π
SHIFT SIN (
4 3
8
)=
1
12
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa có biên độ A, thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí
có li độ x
1
= -A đến ví trí có li độ x

2
= A/2 là 1s. Chu kì dao động của vật là
A. 6 s. B. 1/3s C. 2s D. 3s.
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
Vật đi từ
1 2
A
x A 0 x
2
= − → → =
2
1 0 1 x
t arccos arcsin
A A
∆ = +
ω ω
1 1 1
t arccos0 arcsin 1
2
∆ = + =
ω ω
1 3
t . 1
2
π
∆ = =
ω
2
T 3
π

⇒ = =
ω
s
Chọn D
MODE 1 và SHIFT MODE 4
SHIFT COS (0)+ SHIFT SIN (
1
2
)=
3
2
π
* Thời gian liên quan đến vận tốc
Ví dụ 5: Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu
kỳ để vật có tốc độ nhỏ hơn 1/3 tốc độ cực đại là:
A.T/3 B. 2T/3 C. 0,22T D. 0,78 T
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
1 1
max max
v v4 2T
t arcsin( ) arcsin( )
v v
∆ = =
ω π
2T 1
t arcsin( )
3
∆ =
π
t 0,22T∆ =

Chọn C
MODE 1 và SHIFT MODE 4
2
π
SHIFT SIN (
1
3
)=0,22
Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu
kì để vật có tốc độ lớn hơn 0,5 tốc độ cực đại
A. T/3 B. 2T/3 C.T/6 D. T/2
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
1 1
max max
v v4 2T
t arccos( ) arccos( )
v v
∆ = =
ω π
2T 1
t arccos( )
2
∆ =
π
MODE 1 và SHIFT MODE 4
2
π
SHIFT COS (
1
2

)=
2
3
-Trang -
5
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
2T
t
3
∆ =
Chọn B
Ví dụ 7: (ĐH 2012)
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi v
TB
là tốc độ trung bình của chất điểm
trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian
mà
4
TB
v v
π
≥
là
A.
6
T
B.
2
3
T

C.
3
T
D.
T
2

Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
Tốc độ trung bình trong 1 chu kì

tb
4A 4 A 2 A
v
T 2
ω ω
= = =
π π

max
1 tb
v
4A A
v v .
4 4 T 2 2
π π ω
= = = =

1
v v≥ ⇒
1 1

max max
v v4 2T
t arccos( ) arccos( )
v v
∆ = =
ω π
2T 1
t arccos( )
2
∆ =
π

2T
t
3
⇒ ∆ =
Chọn B
MODE 1 và SHIFT MODE 4
2
π
SHIFT COS (
1
2
)=
2
3

Ví dụ 8: Một vật nhỏ dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 8 cm. Biết trong một
chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ có độ lớn vận tốc không vượt quá 16 cm/s là T/3. Tần
số góc của dao động

A. 4 rad/s. B. 3 rad/s C. 2 rad/s D. 5 rad/s.
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
1
v v 16 cm/s≤ = ⇒
1 1
max max
v v4 2T
t arcsin( ) arcsin( )
v v
∆ = =
ω π
1
max
vT 2T
arcsin( )
3 v
=
π
max
16
arcsin( )
v 6
π
⇒ =

max
v A 32= ω =
cm/s
32
4

8
⇒ ω = =
rad/s.
Chọn A.
MODE 1 và SHIFT MODE 4

16
32
SIN( :6)
=
π
* Thời gian ngắn nhất liên quan đến gia tốc, lực
Ví dụ 9: (ĐH 2010)
Một co lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5cm. Biết trong một chu kì,
khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100cm/s
2
là
T/3. Lấy
2
10π =
. Tần số dao động của vật là
A. 4 Hz B. 3Hz C. 2 Hz D. 1 Hz.
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
2
1
a a 100cm/s≤ = ⇒
1 1
max max
a a4 2T
t arcsin( ) arcsin( )

a a
∆ = =
ω π
MODE 1 và SHIFT MODE 4

-Trang -
6
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
1
max
aT 2T
arcsin( )
3 a
=
π
max
100
arcsin( )
a 6
π
⇒ =

2
max
a A 200= ω =
200
2 f 2
5
⇒ ω = π = = π
(rad/s)

f 1
⇒ =
Hz.
100
200
SIN( :6)
=
π
Ví dụ 10: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang. Lực đàn hồi cực đại tác dụng
vào vật là 12 N, Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật chịu tác dụng của lực kéo lò
xo là
6 3
N là 0,1 s. Chu kì dao động của vật là
A. 0,4 s. D. 0,3 s. C. 0,6 s. D. 0,2 s.
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
Lực kéo của lò xo
1
F F =6 3≥ ⇒
1 1
max max
2 F T F
t arccos( ) arccos( )
F F
∆ = =
ω π
T 6 3
arccos( )=0,1
12π
0,1
T=

6 3
arccos( )
12
π
⇒

Vậy T= 0,6 s. Chọn C.
MODE 1 và SHIFT MODE 4

0,1
6 3
SHIFTCOS ( )
12
π
=
0,6
1.2. Bài tập vận dụng
Câu 1: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên đoạn thẳng xung quanh vị trí cân
bằng O. Gọi M, N là hai điểm trên đường thẳng cùng cách đều O. Biết cứ 0,05 s thì chất
điểm lại đi qua các điểm M, O, N và tốc độ của nó lúc đi qua các điểm M, N là
20π

cm/s. Biên độ dao động của vật
A. 4 cm B. 6cm C.
4 2
cm D.
4 3
cm.
Câu 2: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó
có bảy điểm theo đúng thứ tự M

1
, M
2
, M
3
, M
4
, M
5
, M
6
, M
7
. Biết cứ 0,05 chất điểm đi qua
các điểm M
1
, M
2
, M
3
, M
4
, M
5
, M
6
, M
7
tốc độ của chất điểm đi qu điểm M
3

là
20π
cm/s.
Biên độ dao động bằng
A. 4cm B.6cm C. 12 cm. D.
4 3cm
Câu 3: Một vật dao động điều hòa chu kì T biên độ A. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ
ví trí có li độ cực đại đến điểm có li độ x=A/2 theo chiều dương.
A. T/3 B. 5T/6 C. 2T/3 D. T/6.
Câu 4: Một vật dao động điều hòa với tần số 2 Hz. Tính thời gian trong một chu kì thế
năng không lớn hơn 2 hai lần động năng
A. 0,196 s. B. 0,146 s. C.0,096 s D. 0,304s.
Câu 5: Một vật dao động điều hòa với chu kì T trên trục Ox với O là vị trí cân bằng. Thời
gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x=0 đến điểm có tốc độ bằng nửa tốc độ cực đại là:
A. T/8 B. T/16 C.T/6 D.T/12.
Câu 6: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Biết trong một chu kì khoảng thời
gian để tốc độ dao động không nhỏ hơn
(m / s)π
là 1/15 s. Tần số góc của dao động đó
A. 6,48 rad. B. 43,91 rad/s C, 6,36 rad/s. D. 39,95 s.
-Trang -
7
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Câu 7: Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 250g và lò xo nhẹ có độ cứng 100
N/m dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 4 cm. Khoảng thời gian ngắn nhất
để vận tốc của vật có giá trị từ -40 cm/s đến 40
3
cm/s là
A.
40

π
s. B.
120
π
s. C.
20
π
. D.
60
π
s.
Câu 8: Vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại bằng 3 m/s và gia tốc cực đại bằng
30
π
(m/s
2
). Lúc t=0 vật có vận tốc v
1
=+1,5 m/s và thế năng đang giảm. Hỏi sau thời gian
ngắn nhất là bao nhiêu thì vật có gia tốc
15− π
(m/s
2
)
A. 0,05s B.0,15s. C. 0,1 s D. 1/12 s.
Câu 9: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì
/ 2π
(s), tốc độ cực đại của vật là
40 cm/s. Tính thời gian trong một chu kì gia tốc của vật không nhỏ hơn 96 cm/s
2

là bao
nhiêu
A. 0,78s. B. 0,71 s. C. 0,87s D. 0,93 s.
Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu
kì để vật có độ lớn gia tốc bé hơn
1/ 2
gia tốc cực đại là:
A. T/3 B. 2T/3 C. T/6 D. T/2.
1. Giải nhanh bài toán điện xoay chiều
* Thời gian thiết bị hoạt động
Một thiết bị điện đặt dưới điện áp xoay chiều
0
u U cos( t )= ω + ϕ
V. Thiết bị chỉ hoạt
động khi điện áp không nhỏ hơn b. Vậy thiết bị chỉ hoạt động khi u nằm ngoài khoảng (-
b, b)
Thời gian hoạt động trong nửa chu kì:
1
0
2 b
2t arccos( )
U
=
ω
Thời gian hoạt động trong một chu kì
T 1
0
4 b
t 4t arccos( )
U

= =
ω
Thời gian hoạt động trong một giây:
T
0
4f b
f.t arccos( )
U
=
ω

Thơi gian hoạt động trong t s.
a
0
4ft b
t arccos( )
U
=
ω
Ví dụ 1: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120 V tần số 60 Hz vào hai đầu một
bóng đèn huỳnh quang. Biết đèn chỉ sáng lên khi điện áp đặt vào hai đầu đèn không nhỏ
hơn
60 2
V. Thời gian đèn sáng trong mỗi giây là
A. 1/2 s. B. 1/3 s. C. 2/3 s. D. 0,8 s.
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
Thời gian hoạt động trong 1 s.
T
0
4f b

t f.t arccos( )
U
∆ = =
ω
4.60 60 2
t arccos( )
120
120 2
∆ =
π

2
t
3
∆ =
s
⇒
Chọn C
MODE 1 và SHIFT MODE 4
4.60
120
π
SHIFT COS (
60 2
120
)=
2
3
-Trang -
8

Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Ví dụ 2: Một đèn ống sử dụng điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 220 V. Biết đèn
sáng khi điện áp đặt vào đèn không nhỏ hơn 155 V. Tỷ số giữa khoảng thời gian đèn sáng
và thời gian đèn tắt trong một chu kì
A. 0,5 lần. B. 2 lần. C.
2
lần. D. 3 lần
Cách giải Hưỡng dẫn sử dụng máy tính
Thời gian hoạt động trong 1 chu kì
s
0
4 b
t arccos( )
U
∆ =
ω
Thời gian đèn tối trong 1 chu kì
t
0
4 b
t arcsin( )
U
∆ =
ω
Tỉ số
s 0
t 0
t arccos(b / U ) arccos(155 / 220 2)
t arcsin(b / U )
arcsin(155/220 2)

∆
= =
∆
s
t
t
2
t
∆
=
∆
Chọn B
MODE 1 và SHIFT MODE 4
155
SHIFTCOS( )
220 2
2,01
155
SHIFTSIN( )
220 2
=
Chủ đề 2. Ứng dụng số phức trong dao động điều hòa và điện xoay chiều
Chọn chế độ làm việc với số phức: Mode 2
2.1. KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC
Khởi động chế độ số phức (CMLPX): Mode 2
a) Số phức z là số có dạng
i= +z a b
a là phần thực: Re(z)=a
b là phần ảo: Im(z) = b
i đơn vị ảo:

2
1= −i

(trong văn bản này ta kí hiệu chữ i “in đậm”)
b) Biểu diễn số phức
z i= +a b
trên mặt phẳng phức
r: mođun của số phức,
2 2
r a b= +
ϕ
: argumen của số phức,
tan
b
a
ϕ
=
c) Dạng lượng giác của số phức

(cos sin )z a b r
ϕ ϕ
= + = +i i
với
* cos
* sin
a r
b r
ϕ
ϕ
=



=

Theo công thức Ơle:
cos sin
i
i e
ϕ
ϕ ϕ
+ =
(cos sin ) .z a b r r e
ϕ
ϕ ϕ
= + = + =
i
i i
- Biểu diễn dạng số mũ: z = r e
i
ϕ

hay z = r ∠ ϕ, trong máy tính fx570ES thể hiện ở dạng r
∠ θ. (MODE 2 và SHIFT 2 3)
d) Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức
-Trang -
9
O
x
a
b

y
ϕ
r

y
b A
ϕ
O a x
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Hàm điều hòa
cos( . )x A t
ω ϕ
= +
Nếu biểu diễn dưới dạng vectơ quay tại t = 0:
0
| |
cos( . ) :
( , )
t
A OA A
x A t A
Ox OA
ω ϕ
ϕ
=

= =

= + ¬ →


∠ =


uu
u
uuu
Ta thấy: a = A.cosϕ, b = A.sinϕ
Tại t = 0 có thể biểu diễn x bởi số phức z:
(cos sin ) .
i
z a bi A i A e
ϕ
ϕ ϕ
= + = + =
Vậy một hàm điều hòa (xét tại t = 0) có thể viết dưới các dạng số phức như sau:
cos( . ) . (cos sin )
t o
x A t x A e a b A A
ϕ
ω ϕ ϕ ϕ ϕ
=
= + ¬→ = = + = + = ∠
i
i i
Với:
2 2
cos , sin ,
tan
A a b
a A b A

b
a
ϕ ϕ
ϕ

= +

= =

=



e) Cách chuyển từ một hàm điều hòa từ dạng cực (A∠ ϕ) sang hàm số phức (a+bi)
bằng máy tính
Ở đây ta đề cập đến máy tính Casio 570 ES hoặc Casio 570ES PLUS, các máy tính khác
ta cũng có cách làm tương tự ta không đề cập ở đây.
Khởi động chế độ làm việc với số phức:
MODE 2: Chọn chế độ làm việc với số phức CMPLX (complex).
SHIFT MODE 4: Chọn chế độ Radian khi tính các hàm số liên quan đến góc.
Ta có hàm
.
cos( . ) .
i
x A t x A e a b
ϕ
ω ϕ
= + ↔ = = + i
hay z =
x A

ϕ
= ∠

Để nhập kí hiệu số ảo i ta nhấn phím ENG.
Để nhập kí hiệu dấu góc ∠ ta nhấn 2 phím SHIFT (−)
Để cài mặt định hiển thị số phức dạng a+ib: SHIFT MODE  3 1
Để cài mặt định hiển thị số phức dạng r∠ϕ hay r∠θ: SHIFT MODE  3 2
Chuyển đổi nhanh giữa hai dạng trên ta nhấn các phím:
SHIFT 2 3 hoặc SHIFT 2 4
Ví dụ: Biểu diễn
4 3 cos(100 . )
3
x t
π
π
= −
sang dạng phức là
4 3
3
x
π
−
= ∠
Chuẩn bị: Nhấn MODE 2 và SHIFT MODE 4
Bấm: A SHIFT (−) (∠) ϕ hay
4 3
SHIFT (−) (∠)
3
π
−

SHIFT 2 4 =
⇒ kết quả hiển thị: a + bi là
2 3 6i−
Bấm: A SHIFT (−) (∠) ϕ hay
4 3
SHIFT (−) (∠)
3
π
−
SHIFT 2 3 =
⇒ kết quả hiển thị: A∠ϕ hay r∠θ là
4 3
3
π
∠−
Tương tự:
*
2 3 cos(10. ) 3 3
6
s t s i
π
= − ↔ = −
hay
2 3
6
s
π
−
= ∠
*

5 3 cos(10. ) 5 3x t x
π
= + ↔ = −
hay
5 3x
π
= ∠
*
100 2 cos100 . 100 2u t u
π
= ↔ =
hay
100 2 0u = ∠
-Trang -
10
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
2.2 Viết phương trình các dao động điều hòa
a) Cơ sở lý thuyết
(cos sin ) .
i
x a bi r i r e
ϕ
ϕ ϕ
= + = + =
trong máy tính ta nhập số phức dạng
x r
θ
= ∠
Biểu diễn dao động điều hòa x=Acos(ωt+ϕ) bằng số phức thì modul số phức r là biên độ
dao động A, góc θ là pha ban đầu ϕ, nghĩa là

x A
ϕ
= ∠
(0)
(0)
0
(0)
(0)
cos
cos
cos( . )
sin( . ) sin
sin
t
x A a
x A
x A t
v
v A t v A
A b
ϕ
ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ ω ϕ
ϕ
ω
=
= =

=


= +

 
→ ⇔
  
= − + = −
− = =
 



Vậy
(0)
0
(0)
cos( )
t
a x
x A t x a bi
v
b
ω ϕ
ω
=
=


= + ¬ → = + →


= −


b) Phương pháp giải
Lúc t=0 ta có tọa độ ban đầu x
0
=x(0) và vận tốc ban đầu v
0
=v(0).
Biết lúc t = 0 có:
(0)
(0)
(0)
(0)
cos( )
a x
v
x x A x A t
v
b
ϕ ω ϕ
ω
ω
=


⇒ = − → ∠ ⇒ = +

= −



i
Thao tác trên máy tính
Chuẩn bị MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập:
(0)
(0)
v
x
ω
− i
SHIFT 2 3 = máy sẽ hiện kết quả dạng
A
ϕ
∠
, đó là biên độ A và pha
ban đầu ϕ.
Nhập đơn vị ảo i (chữ i in đậm): nút ENG
c) Ví dụ
Ví dụ 1: ( ĐH 2011): Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian
31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm
đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là
40 3
cm/s. Lấy π = 3,14. Phương
trình dao động của chất điểm là
A.
x 6cos(20t ) (cm)
6
π
= −

B.
x 4cos(20t ) (cm)
3
π
= +
C.
x 4cos(20t ) (cm)
3
π
= −
D.
x 6cos(20t ) (cm)
6
π
= +
Giải tóm tắt Thao tác nhập máy và kết quả
Chu kì
t 31,4
T 0,314
N 100
= = =
s
Tần số góc
2
20
T
π
ω = =
rad/s
Bấm MODE 2 và SHIFT MODE 4

Nhập: 2 −
2 3
ENG SHIFT 2 3 =
KQ:
4
3
∠
π
-Trang -
11
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
(0)
(0)
(0)
(0)
2
0 : 2 2 3
2 3
= =


= ⇒ = − = +

= − =


i i
a x
v
t x x

v
b
ω
ω
4cos( )
3
⇒ = +x t cm
π
π
Chọn B.
Ví dụ 2: Vật nặng của con lắc lò xo dao động điều hoà dọc theo trục Ox, có vận tốc khi
qua vị trí cân bằng O là
π
20
cm/s. Gia tốc cực đại 2
2
sm
. Gốc thời gian được chọn lúc
vật qua điểm
0
M
có
210x
−=
cm hướng về vị trí cân bằng. Coi
10
2
=π
. Phương trình
dao động của vật là

A.






π
+π=
4
tsin10x
(cm). B.






π
−
π
=
4
3
t
10
cos20x
(cm).
C.







π
−
π
=
4
3
t
10
sin20x
(cm). D.






π
+
π
=
4
t
10
cos20x
(cm).

Giải tóm tắt Thao tác nhập máy và kết quả
Tần số góc
max
a
20
T
ω = =
rad/s
Biên độ
2
max
max
v
A 20
a
= =
cm
(0)
(0)
2 2
0
10 2
0 :
10 2

= = −

=

= − = − − = −



a x
t
v
b A x
ω
2 2
(0) 0
10 2 10 2⇒ = − − = − −i ix x A x
3
20cos( )
10 4
⇒ = −x t cm
π π
Chọn B.
Bấm MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập:
10 2 10 2− −
ENG
SHIFT 2 3 =
3
20
4
−
∠
π
KQ:
3
20

4
−
∠
π
Ví dụ 3 : Một con lắc lò xo gồm lò xo có khối lượng không đáng kể, có độ cứng k =
100N/m, khối lượng của vật m = 1 kg. Kéo vật khỏi vị trí cân bằng x = +3cm, và truyền
cho vật vận tốc v = 30cm/s ngược chiều dương, chọn t = 0 là lúc truyền vận tốc cho vật.
Lấy
2
10π =
. Phương trình dao động của vật là
A. x = 3
2
cos(10t +3π/4) cm. B. x = 3
2
cos(10t +π/3) cm.
C. x = 3
2
cos(10t -π/4) cm. D. x = 3
2
cos(10t +π/4) cm.
Giải tóm tắt Thao tác nhập máy và kết quả
Tần số góc
k
10
m
ω = =
rad/s
Bấm MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập:

3 3+
ENG
-Trang -
12
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
(0)
(0)
(0)
(0)
3
0 : 3 3
3
= =


= ⇒ = − = +

= − =


i i
a x
v
t x x
v
b
ω
ω
SHIFT 2 3 =
3 2

4
π
∠
KQ:
3 2
4
∠
π
V í dụ 4 : Vật nhỏ m =250g được treo vào đầu dưới một lò xo nhẹ theo phương thẳng
đứng có độ cứng k = 25N/m. Từ vị trí cân bằng người ta kích thích dao động bằng cách
truyền cho vật một vận tốc tức thời 40cm/s theo phương của trục lò xo. Chọn gốc tọa độ
ở vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng ngược chiều dương, hãy viết
phương trình dao động.
Giải tóm tắt Thao tác nhập máy và kết quả
10
k
m
ω
= =
(rad/s),
Lúc t=0 có x
0
=0, v
0
=−40cm/s
(0)
(0)
0
0 :
4

a x
t
v
b
ω
= =


=

= − =


(0)
(0)
4
v
x x
ω
⇒ = − =i i
Bấm MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập: 4i SHIFT 2 3 =
KQ:
4 4cos(10 )
2 2
x t cm
π π
∠ ⇒ = +
(Nhập đơn vị ảo i (chữ i in đậm): nút
ENG)

Nhận xét: tiện lợi, nhanh, học sinh chỉ cần tính ω, xác định đúng các điều kiện ban đầu
và vài thao tác bấm máy.
2.3 Ứng dụng số phức để tổng hợp dao động điều hòa
a. Phương pháp chung
Biểu diễn các đại lượng, phương trình sang dạng số phức
Đại lượng thực Biểu diễn dạng số phức
Phương trình thành phần
x
1
=Acos(ωt+ϕ
1
)
x
2
=Acos(ωt+ϕ
2
)
Phương trình tổng hợp
x = x
1
+ x
2

x=Acos(ωt+ϕ)
Phương trình thành phần
1 2 1
x A
ϕ
= ∠

2 2 2
x A
ϕ
= ∠

Phương trình tổng hợp
1 1 2 2
x A A
ϕ ϕ
= ∠ + ∠

x A
ϕ
= ∠

b) Các dạng bài tập
Dạng 1: Cho hai dao động thành phần, viết phương trình dao động tổng hợp
Viết phương trình dao động tổng hợp khi biết các phương trình dao động thành
phần.
Chuẩn bị MODE 2 và SHIFT MODE 4 chọn chế độ Radian
Nhập máy:
1 1 2 2
A A
ϕ ϕ
∠ + ∠
SHIFT 2 3 =
Kết quả thể hiện ở dạng:
A
ϕ
∠

Nhập dấu góc: SHIFT − (∠)
Dạng 2: Bài toán ngược tổng hợp dao động điều hòa
-Trang -
13
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Giả sử cho x và x
1
tìm x
2
: x
2
= x − x
1
⇒
2 1 1
x A A
ϕ ϕ
= ∠ − ∠

Chuẩn bị MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập máy:
1 1
A A
ϕ ϕ
∠ − ∠
SHIFT 2 3 =
Kết quả thể hiện ở dạng:
2 2
A

ϕ
∠

* Dạng 1: Viết phương trình dao động tổng hợp
Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương có các phương trình
1
4 os(20 )
2
x c t
π
= +
cm và
1
4 os(20 )
6
x c t
π
= −
cm. Phương trình dao động tổng hợp là:
A.
4 2 os(20 )
6
x c t
π
= +
cm. B.
4 os(20 )
6
x c t
π

= +
cm.
C.
1
8 os(20 )
3
x c t
π
= +
cm. D.
1
4 3 os(20 )
3
x c t
π
= +
cm.
PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC
(Dùng máy tính CASIO fx – 570ES)
Thao tác bấm máy
Số phức của dao động tổng hợp có dạng:
1 1 2 2
x A A A
ϕ ϕ ϕ
= ∠ = ∠ + ∠
x
=
4 4
2 6
π π

−
∠ + ∠
SHIFT 2 3 =
Kết quả:
4
6
π
∠
⇒ A=4cm,
6
π
ϕ
=
Chọn đáp án B.
4 os(20 )
6
x c t
π
= +
cm.
MODE 2 và SHIFT MODE 4
4 SHIFT (−) (∠)
2
π
+ 4 SHIFT (−) (∠)
6
π
−

 SHIFT 2 3 =

Màn hình hiển thị
4 4
2 6
π π
−
∠ + ∠
r∠θ
Kết quả:
4
6
π
∠
Ví dụ 2: (Câu 16- Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009 - Mã đề 629)
Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao
động này có phương trình lần lượt là
1
x 4cos(10t )
4
π
= +
(cm) và
2
3
x 3cos(10t )
4
π
= −
(cm).
Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là
A. 100 cm/s. B. 50 cm/s. C. 80 cm/s. D. 10 cm/s.

Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
Sử dụng số phức
1 1 2 2
x A A
ϕ ϕ
= ∠ + ∠

3
4 3 1
4 3 4
π π π
−
∠ + ∠ = ∠
10 /
o
v A cm s
ω
= =
Chọn đáp án D.
MODE 2 và SHIFT MODE 4
4 SHIFT (-) + 3 SHIFT (-) SHIFT 2 3 =
Kết quả 1∠
4
π
cho biết A=1 cm suy ra
-Trang -
14
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Ví dụ 3: Chuyển động của một vật là tổng hợp của ba dao động điều hòa cùng phương.
Ba dao động này có phương trình lần lượt là

1
x 2 3 cos 2 t (cm)
3
π
 
= π +
 ÷
 
;
2
x 4cos 2 t (cm)
6
π
 
= π +
 ÷
 
và
3
x 8cos 2 t (cm)
2
π
 
= π −
 ÷
 
. Phương trình của dao động tổng hợp
là
A.
x 4cos 2 t (cm)

6
π
 
= π +
 ÷
 
B.
x 6cos 2 t
6
π
 
= π −
 ÷
 
(cm)
C.
x 8 cos 2 t (cm)
6
π
 
= π π +
 ÷
 
D.
x 12 cos 2 t (cm)
6
π
 
= π π −
 ÷

 
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả

1 1 2 2 3 3
x A A A
ϕ ϕ ϕ
= ∠ + ∠ + ∠

2 3 4 8 6
3 6 2 6
π π π π
− −
∠ + ∠ + ∠ = ∠
Vậy
x 6cos 2 t (cm)
6
π
 
= π −
 ÷
 
MODE 2 và SHIFT MODE 4
2 SHIFT (-) + 4 SHIFT (-)
6
π
+ 8 SHIFT
(-)  SHIFT 2 3 =
Kết quả: 6∠
Dạng 2: Bài toán ngược trong tổng hợp dao động điều hòa cùng phương
* Giả sử cho x và x

1
tìm x
2
: x
2
= x − x
1
⇒
2 1 1
x A A
ϕ ϕ
= ∠ − ∠

Chuẩn bị MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập máy:
1 1
A A
ϕ ϕ
∠ − ∠
SHIFT 2 3 =
Kết quả thể hiện ở dạng:
2 2
A
ϕ
∠
* Khoảng cách giữa hai vật dao động điều hòa cùng phương cùng vị trí cân bằng

2 1
x x x= −

Ví dụ 4: (Câu 24 - Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010 - Mã đề 48)
Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình
li độ
5
3cos( )
6
= −
x t
π
π
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). Dao động thứ hai có phương trình li độ là
A.
2
8cos( )
6
= +
x t
π
π
(cm). B.
2
2cos( )

6
= +
x t
π
π
(cm).
C.
2
5
2cos( )
6
= −
x t
π
π
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm).
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
2 1 1 1
x x x A A
ϕ ϕ
= − = ∠ − ∠

5 5
3 5 8
6 6 6
π π π
− −
∠ − ∠ = ∠
MODE 2 và SHIFT MODE 4
3 SHIFT (-) (∠)
5
6
π
−
− 5 SHIFT (-) (∠) 
SHIFT 2 3 =
Kết quả: 8∠
5
6
π
−
có nghĩa
-Trang -
15
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
2
5
8cos( )
6
x t
π

π
= −
cm đáp án D
Ví dụ 5: Hai chất điểm M và N dao động dọc theo hai trục song song nhau sát nhau, gốc
toạ độ coi như trùng nhau, cùng chiều dương, cùng mốc thời gian lúc bắt đầu dao động.
Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x
M
=2cos(2
π
t)cm; x
N
=4cos(2
π
t-
π
/3)cm. Khoảng cách cực đại giữa hai chất điểm khi dao động đó là:
A. 6cm. B.
3
cm. C. 2/
3
cm. D. 2
3
cm.
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
Khoảng cách x= x
2
– x
1
2
1 2 2 1 1

= − = ∠ − ∠x x x A A
ϕ ϕ

2 0 4
3
−
= ∠ − ∠
x
π
Khoảng cách cực đại là
A 2 3⇒ =
Chọn D
MODE 2 và SHIFT MODE 4
2SHIFT (-) (∠)0 − 4 SHIFT (-) (∠)
3
−
π

SHIFT 2 3 =
2 3
∠
2
π
A 2 3⇒ =
và
1
2
=
π
ϕ

Ví dụ 6: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương. Dao động
thành phần thứ nhất có biên độ là A, pha ban đầu là π/4. Biết dao động tổng hợp có biên
độ là A
2
và pha ban đầu là π/2. Xác định biên độ và pha ban đầu của dao động thành
phần thứ hai.
A. A
2
=2A và
2
3
4
π
ϕ
=
. B. A
2
=A và
2
3
2
π
ϕ
=
.
C. A
2
=A và
2
5

6
π
ϕ
=
. D. A
2
=A và
2
3
4
π
ϕ
=
.
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
2 1 1 1
x x x A A
ϕ ϕ
= − = ∠ − ∠

Ở đây ta gán cho A=1.
3
2 1 1
2 4 4
π π π
∠ − ∠ = ∠
MODE 2 và SHIFT MODE 4
2
SHIFT (-) (∠)
2

π
− 1 SHIFT (-) (∠)
4
π

SHIFT 2 3 =
Kết quả: 1∠
3
4
π
: có nghĩa là biên độ A
1
=A và
pha ban đầu
1
3
4
π
ϕ
=

Chọn đáp án D
Ví dụ 7 : Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai trục tọa độ song song, cùng chiều,
gốc tọa độ nằm trên đường vuông góc chung. Biết dao động thứ nhất có phương trình
1
π
x =2 3cos(5πt+ )
3
cm, dao động thứ hai có phương trình
2

π
x =3cos(5πt+ )
6
cm. Cho g=
10 m/s
2
. Khoảng thời gian trong một chu kỳ mà khoảng cách giữa hai vật nhỏ hơn
3
cm
2

là
-Trang -
16
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
A.
2
15
s
. B.
1
6
s
. C.
1
15
s
. D.
1
3

s
.
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
Khoảng cách
2 1
x x x= −
2
1 2 2 1 1
= − = ∠ − ∠x x x A A
ϕ ϕ

2 3 3
3 6
= ∠ − ∠
x
π π
2
x 3cos(5 t )
3
π
= π +
cm
1
3
x x
2
≤ =

1
4 x

t arcsin
A
⇒ ∆ =
ω
3
4
2
t arcsin
5
3
⇒ ∆ =
π
Chọn A
MODE 2 và SHIFT MODE 4
2 3
SHIFT (-) (∠)
3
π
− 3 SHIFT (-) (∠)
6
π

SHIFT 2 3 =
3
∠
2
3
π
:
A 3⇒ =

và
1
2
3
=
π
ϕ
MODE 1 và SHIFT MODE 4
4
5
π
SHIFT SIN (
1
2
)=
2
15
c) Bài tập vận dụng
Câu 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc
π=ω
5
rad/s, với biên độ: A
1
=
3
/2 cm và A
2
=
3
cm; các pha ban đầu tương ứng là

1
φ = π/2
và
2
φ = 5π/6
. Phương trình dao động tổng hợp là
A.
x = 2,3cos(5πt + 0,73π)
cm. B.
x = 3,2cos(5πt - 0,27π)
cm.
C.
x = 2,3cos(5πt - 0,27π)
cm. D.
x = 2,3cos(5πt + 0,87π)
cm.
Câu 2: Một vật đồng thời thực hiện ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, biểu
thức có dạng
( )
cm
6
t2cos32x
1






π

−π=
;
( )
cm
3
t2cos4x
2






π
−π=
và
( )( )
cmt2cos8x
3
π−π=
.
Phương trình của dao động tổng hợp là
A.
( )
cm
4
t2cos26x







π
−π=
. B.
( )
cm
3
2
t2cos6x






π
−π=
.
C.
( )
cm
6
t2sin26x







π
−π=
. D.
( )
cm
3
2
t2sin6x






π
−π=
.
Câu 3: Một vật thực hiện đồng thời bốn dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có
biên độ và pha ban đầu là A
1
= 8 cm; A
2
= 6 cm; A
3
= 4 cm; A
4
= 2 cm và ϕ
1
= 0; ϕ

2
= π/2;
ϕ
3
= π; ϕ
4
= 3π/2. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp là
A.
π
4 2 cm; rad.
4
B.
3π
4 2 cm; rad.
4
C.
π
4 3 cm; - rad.
4
D.
3π
4 3 cm; - rad.
4
Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có
phương trình
)cm()4/t10cos(4x
1
π+π=
;
)cm()12/11t10cos(4x

2
π+π=
và
)cm()12/t10sin(6x
3
π+π=
. Phương trình dao động tổng hợp của vật là
A.
)cm()12/5t10cos(2x
π+π=
. B.
)cm()12/t10sin(2x
π+π=
.
C.
)cm()12/5t10sin(2x
π−π=
. D.
)cm()12/5t100cos(2x
π−π=
.
Câu 5: Một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng phương, có các phương trình dao
động thành phần: x
1
= 8cos(10t – π/3) (cm) và x
2
= 8cos(10t + π/6) (cm) . Phương trình
dao động tổng hợp là
-Trang -
17

Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
A. x = 8
2
sin(10t + 5π/12) (cm). B. x = 8
3
cos(10t - π/12) (cm).
C. x = 8
2
sin(10t - π/12) (cm). D. x = 8
2
cos(10t + π/12) (cm).
Câu 6: Hai chất điểm M
1
và M
2
cùng dao động điều hòa trên một trục Ox, quanh điểm O
theo các phương trình : x
1
= Acos2πft và x
2
= Acos(2πft + π). Trong 5 chu kì đầu tiên
chúng gặp nhau bao nhiêu lần
A. 5 lần. B. 10 lần. C. 20 lần. D. 40 lần.
Câu 7: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương.
Hai dao động này có phương trình lần lượt là
1
2
x 4cos 10t (cm)
5
π

 
= +
 ÷
 
và
2
3
x 3cos 10t (cm)
5
π
 
= −
 ÷
 
. Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là:
A. 100 cm/s B. 10 cm/s C. 80 cm/s D. 50 cm/s
Câu 8: Cho hai dao động điều hòa cùng phương: x
1
=2asin(100πt+π/3); x
2
= - asin(100πt).
Phương trình dao động tổng hợp là
A. x=a
3
sin(100πt+π/2) B. x=asin(100πt+π/2)
C. x=a
7
sin(100πt+
41
180

π
) D. x=a
7
sin(100πt+
4
π
)
-Trang -
18
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
2.4. Điện xoay chiều
a. Cơ sở lý thuyết
Để ghi các biểu thức dạng số phức và thực hiện các thao tác tính toán trước hết ta gán các
đại lượng như sau
Đại lượng vật lí thực Biểu diễn bằng số phức
R
R R=
Z
L
Z .
L L
Z= i
Z
c
Z .
C C
Z= −i
2 2
z ( )
L C

R Z Z= + −

L C
Z R Z Z= + +
hay
. .
L C
Z R Z Z= + −i i

0
cos( )
i
i I t
ω ϕ
= +
0 i
i I
ϕ
= ∠
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
0 u
u U
ϕ
= ∠
U

I
Z
=
Biểu thức cường độ dòng điện
u
i
Z
=
hay
0
. .
u
L C
U
i
R Z Z
ϕ
∠
=
+ −i i
⇒
C AN
R L
L C AN
u u
u u
i
R Z Z Z
= = = =
Biểu thức điện áp

0
. ( ).( . . )
i L C
u i Z hay u I R Z Z
ϕ
= = ∠ + −i i
Các dạng toán
- Tính tổng trở Z và góc lệch pha ϕ cùng một lúc
- Viết phương trình cường độ dòng điện tức thời, phương trình điện áp của mạch
- Viết phương trình điện áp của một đoạn khi biết phương trình điện áp của một đoạn
khác.
- Tìm trở kháng của đoạn mạch có hai phần tử khi biết phương trình i và u của đoạn
mạch đó
Dạng 1: Tính tổng trở Z và ϕ
Bằng phép chuyển đổi số phức dạng a+bi sang dạng r∠θ hay A∠ϕ là ta có kết quả
biên độ A và góc lệch pha của u và i.
Ví dụ 1: Mạch RLC có R=40Ω, L=1/π (H), C=10
−
3
/6π (F). Điện áp hai đầu mạch là
u 50 2 cos100 t
= π
(V). Tính tổng trở và góc lệch pha của điện áp và cường độ dòng điện
trong mạch.
A.
40 2

Ω
và
4

π
ϕ =
. B.
60
Ω
và
3
π
ϕ =
.
C.
40 2

Ω
và
2
π
ϕ =
C.
60 2
Ω
và
4
π
ϕ =
Giải tóm tắt Thao tác với máy tính và kết quả
-Trang -
19
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Z

L
=ωL=100Ω,
1
60
C
Z
C
ω
= =
Ω
. .
L C
Z R Z Z= + −i i
= 40 + 100.i − 60.i
Z
=
40 2
4
π
∠
(Dấu góc ∠ SHIFT (-); chữ i nút ENG)
Chọn A.
MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập máy
40+100 ENG−60 ENG SHIFT 2 3 =
Kết quả:
40 2
4
π
∠

Vậy
40 2Z =
Ω và
4
π
ϕ
=
Dạng 2: Viết biểu thức cường độ dòng điện khi biết biểu thức điện áp ở hai đầu một
mạch điện
Phép chia hai số phức:
0
. .
u
L C
U
u
i
Z R Z Z
ϕ
∠
= =
+ −i i

Ví dụ 2 (ĐH 2013):
Đặt điện áp
220 2 cos100u t
π
=
(V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở

100R
= Ω
, tụ điện có
4
10
2
C
π
−
=
F và cuộn cảm thuần có
1
L
π
=
H. Biểu thức cường độ
dòng điện trong đoạn mạch là
A.
2,2 2 cos 100
4
i t
π
π
 
= +
 ÷
 
(A) B.
2,2cos 100
4

i t
π
π
 
= −
 ÷
 
(A)
C.
2,2cos 100
4
i t
π
π
 
= +
 ÷
 
(A) D.
2,2 2 cos 100
4
i t
π
π
 
= −
 ÷
 
(A)
Cách giải Thao tác với máy tính và kết quả

:
L
Z
= 100Ω; Z
C
= 200Ω =>
Tổng trở phức
L C
z R (Z Z )i= + −
= 100+ (100-200)i
=100-100i.
220 2 0
100 -100i
∠
= =
u
i
Z

Vậy
2,2cos(100 t )
4
π
= π +
i
A Chọn C
(Dấu góc ∠ SHIFT (-); chữ i nút ENG)
MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập máy
220 2 0

100 100 ENG
∠
−
 SHIFT 2 3 =
Kết quả:
11
5 4
∠
π

Ví dụ 3 : Câu 21- Đề tuyển sinh đại học khối A 2009-Mã đề 629
Khi đặt hiệu điện thế không đổi 30V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần mắc nối
tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm
1
4
π
(H) thì dòng điện trong đoạn mạch là dòng điện
một chiều có cường độ 1 A. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch này điện áp
u 150 2 cos120 t
= π
(V) thì biểu thức của cường độ dòng điện trong đoạn mạch là
A.
i 5 2cos(120 t )
4
π
= π −
(A). B.
i 5cos(120 t )
4
π

= π +
(A).
-Trang -
20
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
C.
i 5 2cos(120 t )
4
π
= π +
(A). D.
i 5cos(120 t )
4
π
= π −
(A).
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với điện áp không đổi:
U
1
= 30V (DC):
1
30
30
1
U
R
I
= = = Ω
- Đối với dòng xoay chiều có ω=120π

rad/s: R= 30Ω;
30
L
Z = Ω
; tổng trở
phức là
30 30Z i= +
- Suy ra
u
i
Z
=
=
150 2
5
30 30 4
π
= ∠ −
+
i
5 os 120 t
4
i c A
π
π
 
= −
 ÷
 
Chọn D

MODE 2 và SHIFT MODE 4
Nhập máy
150 2
30 30
+
i



SHIFT 2 3 =
Kết quả:
5
4
π
∠−
có nghĩa là
5 os 120 t
4
i c A
π
π
 
= −
 ÷
 
(Dấu góc ∠ SHIFT (-); chữ i nút ENG)
Dạng 3: Viết biểu thức điện áp ở hai đầu một mạch điện khi cho biểu thức cường
độ dòng điện trong mạch
Ví dụ 4 : Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm điện trở thuần
R 15 = Ω

, cuộn cảm
thuần có cảm kháng
L
Z 25 = Ω
và tụ điện có dung kháng
C
Z 10 = Ω
. Nếu dòng điện
trong mạch là
i 2 2cos(100 t )
6
π
= π +
thì biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch là
A.
5
u 60cos(100 t )
12
π
= π +
V B.
u 30 2cos(100 t )
4
π
= π +
V
C.
u 60cos(100 t )
4
π

= π −
V D.
5
u 30 2cos(100 t )
12
π
= π −
V
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
25 = Ω
L
Z
↔
25= i
L
Z
;
10 10= Ω ↔ = − i
C C
Z Z
→
15 25 10 15 15
= + − = +
i i iZ
(2 2 ) (15 15 )
6
= ∠ × +
u i
π
Vậy

5
60 100 ( )
12
 
= +
 ÷
 
u cos t V
π
π
Chọn A
MODE 2 và SHIFT MODE 4
2
2
► SHIFT (-) × (15+15 ENG ) SHIFT 2 3 =
Kết quả:
5
60
12
∠
π
Ví dụ 5: Dòng điện chạy qua một đoạn mạch, gồm cuộn dây thuần cảm có
1
10
=
L H
π
,
mắc nối tiếp với một tụ điện
4

2.10
−
=
C F
π
có biểu thức
2 2 100 ( )
6
 
= −
 ÷
 
i cos t A
π
π
Biểu thức điện áp hai đầu mạch là
A.
80 2 100 ( )
6
 
= +
 ÷
 
u cos t V
π
π
B.
80 2 100 ( )
3
 

= +
 ÷
 
u cos t V
π
π
-Trang -
21
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
C.
2
80 2 100 ( )
3
 
= −
 ÷
 
u cos t V
π
π
D.
80 2 sin 100 ( )
6
 
= +
 ÷
 
u t V
π
π

Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
10
L
Z = Ω
↔
10
L
Z = i
;
50 50
C C
Z Z= Ω ↔ = − i
→
10 50 40Z
= − = −
i i i
(2 2 ) ( 40 )
6
u i
π
−
= ∠ × −
=
2
80 2
3
π
−
∠
Vậy

2
80 2 100 ( )
3
 
= −
 ÷
 
u cos t V
π
π
MODE 2 và SHIFT MODE 4
2 ► SHIFT (-) × (−40 ENG ) SHIFT
2 3 =
Kết quả:
2
80 2
3
π
−
∠
có nghĩa là
2
80 2 100 ( )
3
 
= −
 ÷
 
u cos t V
π

π
Dạng 4: Viết biểu thức điện áp ở hai đầu một đoạn mạch thành phần khi biết điện
áp ở hai đầu mạch chính và ngược lại
Đối với dạng toán này một trong cách giải phổ biến là học sinh phải đi tìm biểu
thức tức thời của cường độ dòng điện, tổng trở của đoạn mạch cần viết biểu thức điện áp,
tính độ lệch pha của điện áp của đoạn này đối với cường độ dòng điện.
Ví dụ 6: Một đoạn mạch gồm cuộn dây có điện trở thuần
100 3
Ω
, có độ tự cảm
1
π
(H)
nối tiếp với tụ điện có điện dung
50
( F)µ
π
. Biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch
u 200 2cos(100 t )
4
π
= π −
. Biểu thức giữa hai đầu đoạn mạch
A.
cd
u 200 2cos(100 t )
12
π
= π +
V. B.

cd
u 100 2cos(100 t )
6
π
= π +
C.
cd
u 200 2cos(100 t )
6
π
= π +
V. D.
cd
u 100 2cos(100 t )
12
π
= π +
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
Ta có
L
Z L 100= ω =

Ω
;
C
1
Z 200
C
= =
ω

Ω
Tổng trở phức của đoạn mạch
( ) 100 3 100
= + − = −
i i
AB L C
Z R Z Z
Tổng trở phức của cuộn dây:
100 3 100
= + = +
i i
cd L
Z R Z
Biểu thức điện áp cuộn dây
= × = ×
cd cd cd
u
u i Z Z
Z
=
200∠−
nghĩa là
200 2 100
12
 
= +
 ÷
 
cd

u cos t
π
π
V
Đáp án A
MODE 2 và SHIFT MODE 4
W
W
200
2
► SHIFT (-) × (100
3
+100 ENG )
▼ 100
3
-100 ENG
SHIFT 2 3 =
200 2
12
π
∠
Kết quả:
200 2
12
π
∠
-Trang -
22
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
Ví dụ 7:

Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ có
R=100Ω; L= 0,318H; C=15,91μF. Điện áp hai đầu
mạch có dạng
7
200 2 100
12
AB
u cos t
π
π
 
= −
 ÷
 
V. Điện
áp hai đầu mạch MB là
A.
7
200 2 100
12
MB
u cos t
π
π
 
= +
 ÷
 
V. B.
7

200 100
12
MB
u cos t
π
π
 
= +
 ÷
 
V.
C.
5
200 100
6
MB
u cos t
π
π
 
= −
 ÷
 
V. D.
5
200 100
12
MB
u cos t
π

π
 
= −
 ÷
 
V.
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
Tính được ;
Tổng trở phức của đoạn AB:
( ) 100 100
AB L C
Z R Z Z
= + − = −
i i
Tổng trở phức của đoạn MB:
( ) (100 200) 100
MB L C
Z Z Z
= − = − = −
i i i
Biểu thức điện áp
AB
MB MB MB
AB
u
u i Z Z
Z
= × = ×
=
200∠−

nghĩa là
5
200 100
6
MB
u cos t
π
π
 
= −
 ÷
 
V
Đáp án C
MODE 2 và SHIFT MODE 4
W
W
200 ► SHIFT (-) × (−100 ENG )
▼ 100 −100 ENG SHIFT 2 3 = 200∠−
SHIFT 2 3 =
Kết quả: 200∠−
Ví dụ 8: (Câu 15- Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009- Mã đề 629)
Câu 15: Đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Biết R =
10Ω, cuộn cảm thuần có L =
1
10
π
(H), tụ điện có C =
3
10

2
−
π
(F) và điện áp giữa hai đầu
cuộn cảm thuần là
L
u 20 2 cos(100 t )
2
π
= π +
(V). Biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn
mạch là
A.
u 40cos(100 t )
4
π
= π +
(V). B.
u 40cos(100 t )
4
π
= π −
(V)
C.
u 40 2 cos(100 t )
4
π
= π +
(V). D.
u 40 2 cos(100 t )

4
π
= π −
(V).
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả

20 2
2
L
u
π
⇒ = ∠
Tổng trở phức
10 (10 20) 10 10Z
= + − = −
i i
Điện áp hai đầu mạch:
.
L
L
u
u i Z Z
Z
= =
MODE 2 và SHIFT MODE 4
20 ► SHIFT (-) × (10-10ENG ) ▼
(10 ENG ) = 20 -20 SHIFT 2 3 =
Kết quả: 40∠ có nghĩa là
-Trang -
23

A B
C
L
R
N
M
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều
( )
20 2
2
10 10
10
u
π
∠
= × −
i
i

40 40cos 100
4 4
 
= ∠ ⇔ = −
 ÷
 
u u t V
π π
π
40cos(100 )
4

= −
u t
π
π
(V)
Dạng 5: Viết biểu thức điện áp hai đầu mạch chính khi biết điện áp hai đầu từng
đoạn mạch thành phần.
Nếu dùng số phức với sự trợ giúp của máy tính cầm tay thì phương pháp giống
như tổng hợp các dao động điều hoà bằng số phức.
Ví dụ 9:
Một mạch điện gồm một điện trở R mắc nối tiếp với một cuộn dây. Biết điện áp giữa hai
đầu điện trở và hai đầu cuộn dây lần lượt là
( )
120 100
R
u cos t
π
=
V và
120 100
3
L
u cos t
π
π
 
= +
 ÷
 
V.

Kết luận nào dưới đây không đúng?
A. cuộn dây có điện trở r khác không.
B. Điện áp hai đầu cuộn dây sớm pha so với điện áp hai đầu mạch.
C. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch là U=60 V
D. Hệ số công suất của mạch là 0,5
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
R L
u u u
= +
↔
120 0 120 207.8460969
3 6
π π
∠ + ∠ = ∠
Vì u
R
cùng pha với i: ϕ
i
=0
Hệ số công suất của mạch là
3
6 2
cos cos
π
ϕ
= =

 D là không đúng
MODE 2 và SHIFT MODE 4
120∠0 + 120∠ SHIFT 2 3 =

KQ:
207.8460969
6
π
∠
Ví dụ 10: Đặt vào hai đầu AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số
không đổi. Đoạn mạch AB gồm đoạn mạch AM nối tiếp đoạn mạch MB. Đoạn mạch AM
gồm cuộn cảm thuần có cảm kháng 50
Ω
và điện trở thuần
1
R 50=
(
Ω
) mắc nối tiếp.
Điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch AM và MB lần lượt là
AM
u 200cos(100 t )
6
π
= π +

(V) và
MB
5
u 100cos(100 t )
12
− π
= π −
(V). Tính hệ số công suất của đoạn mạch AB.

A.
0,96
B. 0,92 C. 0,98 D. 0,92
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết
quả
= +
AM MB
u u u
↔
5
200 100 199.116 0,01711
6 12
−
∠ + ∠ = ∠
π π
Pha ban đầu của u là
u
0,01711ϕ =
rad.
MODE 2 và SHIFT MODE 4
5
200 100
6 12
−
∠ + ∠
π π

-Trang -
24
Sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa và điện xoay chiều

AM
AM
200
u
6
i 2 2
50 50i 12
z
π
∠
−π
= = = ∠
+
Pha ban đầu của i
i
12
−π
ϕ =
rad.
Độ lêch pha
u i
0,01711 0,2789
12
−π
ϕ = ϕ − ϕ = − =
rad.
Hệ số công suất
cosϕ
=0,96. Chọn Đán áp A.
SHIFT 2 3 =

199.116 0,01711∠
200
6
50 50i
π
∠
=
+
SHIFT 2 3
2 2
12
−π
∠
Dạng 6: Tìm các thành phần R, L, C trong một đoạn mạch điện xoay chiều
Nếu biết được biểu thức điện áp và cường độ dòng điện trong một mạch, nhờ máy
tính cầm tay ta dễ dàng tìm ra được tổng trở phức của đoạn mạch, dựa vào điều kiện khác
của bài toán ta có thể suy ra các đại lượng còn lại như điện trở R, cảm kháng Z
L
và dung
kháng Z
C
.
( )
L C
u
Z R Z Z
i
= = + −
i
Lưu ý phải cài đặt dạng hiển thị số phức dạng a+bi :

SHIFT MODE ▼ 3 1
Ví dụ 11: Cho mạch điện xoay chiều gồm có điện trở R, cuộn dây cảm thuần có
0,5
L
π
=
H và tụ điện C. Điện áp hai đầu đoạn mạch
160 (100 )u cos t
π
=
V. Biết biểu thức cường độ
dòng điện trong mạch là
2 2 100
4
i cos t
π
π
 
= +
 ÷
 
A. Tìm R và điện dung C của tụ điện.
Giải tóm tắt Hướng dẫn bấm máy và kết quả
50
L
Z L
ω
= = Ω
;
160 100 160 0u cos t u

π
= ↔ = ∠
;
2 2 100 2 2
4 4
 
= + ↔ = ∠
 ÷
 
i cos t i
π π
π
Tổng trở phức có dạng:
( ) 40 (50 )
= + − = + −
i i
L C C
Z R Z Z Z
(1)
Mặt khác
160 0
40 40
2 2
4
u
Z
i
π
∠
= = = −

∠
i
(2)
So sánh (1) và (2) rút ra
1
50 40 90
9000
− = − ⇔ = Ω ⇔ =
C C
Z Z C F
π
MODE 2 và SHIFT MODE 4
W
W
160 ▼ 2 ► SHIFT (-) SHIFT
2 4 =
KQ: 40−40i (2)
⇒ R=40Ω và Z
L
−Z
C
=−40
⇒
1
90
9000
= Ω ⇔ =
C
Z C F
π

Ví dụ 12: Cho một đoạn mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có điện trở r, độ tự cảm L
mắc nối tiếp với một điện trở thuần R=20 Ω, biết hiệu điện thế giữa hai đầu mạch và
cường độ dòng điện qua mạch có biểu thức u= 80
2
cos(100 πt +
2
π
) (V); i=2cos(100 πt
+
4
π
) (A) giá trị của r và Z
L
bằng bao nhiêu?
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
-Tìm tổng trở phức: MODE 2 và SHIFT MODE 4
-Trang -
25