thu suc 21

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (326.83 KB, 0 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THPT THANH BÌNH 2 ĐỀ THI TH Đ I H C NĂM 2011 
Mơn: Tốn, khối A

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm):

Cho hàm số 3 2 2

y x = - x +m x m+ (m là tham số) (1)

1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

( )

C của hàm số khi m=0.

2). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu đồng thời hai điểm đó đối xứng nhau qua đường
thẳng

( )

d x : -2 y- =5 0.

Câu II (2 điểm):

1). Giải hệ phương trình

2 2

6
5
x y xy
x y

ì + =

ï
í

+ =

ïỵ .

2). Giải phương trình: 2

(

)

(

)

sin x 1 tan + x =3sin x cos x -sin x +3.

Câu III (1 điểm):

Tính tích phân:

sin cos
1 sin 2

x x

I dx

x

ị

Câu IV (1 điểm):

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao
cho AM = 3MD. Tính thể tích khối chóp M.AB’C và khoảng cách từ M đến mp(AB’C).

Câu V (1 điểm):

Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn các điều kiện sau:

x y z

+ + =

0

;

x

+ >

1 0

;

y

+ >

1 0

;

z

+ >

1 0

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

1 1 1

x y z

Q

x y z

= + +

+ + +

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1. Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn 2 2

2 6 6 0

x +y + x - y+ = và điểm M

(

-2; 2

)

. Viết phương
trình đường thẳng đi qua M cắt đường trịn tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB .
2. Trong không gian Oxyz cho A(6; – 2;3), B(0;1;6), C(2;0; –1), D(4,1,0).

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.

Câu VII.a (1 điểm)

Giải phương trình 3 .2 x x =3 x+2 x+1.
2. Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1. Cho đường thẳng

( )

d x : -2 y- =2 0 và hai điểm A

( ) ( )

0;1 , B 3; 4 . Hãy tìm toạ độ điểm M trên 
(d) sao cho 2MA 2 +MB2có giá trị nhỏ nhất.

2. Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 3 = 0 và (Q): 2x – 6y + 3z – 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm nằm trên đường thẳng : 3

1 1 2

x y + z

D = =

- đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Câu VII.b (1 điểm)

Tìm số hạng chứa 2

x trong khai triển biểu thc 1 x 2 x3 n
x

ổ ử

ỗ ữ

ố - + ø , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức

6 2

4 454

n

n n

C -- +nA =

- - - HẾT - - -

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Câu Ý Nội dung lời giải vắn tắt Điểm

I 2

1 1

· Với m=0 ta có hàm số: y= x3-3x2
· Tập xác định: ¡

(

)

3 6 3 2

y¢ = x - x= x x

-0 0; 2

y¢ = Û =x x=

Ã Gii hn : lim

(

3 3 2

)

xđ+Ơ x - x = +Ơ

;

(

3 2

)

xlimđ Ơ- x -3x = -¥

0.25

· Bảng biến thiên

x -¥ 0 2 +Ơ

yÂ + 0 - 0 +

y

-¥

- +¥

0.5

· Đồ thị:

- Giao với trục Ox tại: O

( ) ( )

0;0 ,A 3;0
2

-2

-4

0.25

2 Cách 1: y¢ =3x2-6x+m2, D = -¢ 9 3m2 1

· Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực đại và cực tiểu là

0 9 3m 0 3 m 3

D > Û - > Û - < < 0.25

· Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cú phng trỡnh

( )

dÂ :

2 2

3 3

m m

y=ổỗ - ửữx+ +m

ố ứ .

tỡm

( )

dÂ ta chia y cho y¢ và viết y về dạng:

( )

, đó chính là

p/trình đ/thẳng đi qua 2 cực trị (Vì r x

( )

là biểu thức bậc nhất theo x)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

·Điều kiện cần để hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua

( )

1 5

2 2

d y= x- là

( ) ( )

d ^ dÂ

2 1

2 . 1

3 2

m

ổ ử

ỗ - ữ =

-è ø

0 0

m m

Û = Û = 0.25

·Điều kiện đủ (thử lại xem

( )

d có đi qua trung điểm của hai điểm cực trị

hay không):

Với m=0 ta có hàm số: y=x3-3x2 có điểm cực đại là O

( )

0;0 , điểm cực
tiểu B

(

2; 4-

)

Trung điểm của OB là I

(

1; 2-

)

thuộc

( )

d .

· Vậy O và B đối xứng nhau qua

( )

d . Do đó giá trị của m thỏa mãn ycbt là
0

m= .

0.25

Cách 2: Gọi

(

x y1; 1

) (

, x y2; 2

)

lần lượt là tọa độ các điểm cực trị.

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trỡnh

( )

dÂ :

2 2

3 3

m m

y=ổỗ - ửữx+ +m

ố ø .

Nên ta có

2 2

1 1

3 3

m m

y =ổỗ - ửữx + +m

ố ứ ;

2 2

3 3

m m

y =ổỗ - ửữx + +m

ố ứ .

Suy ra

2 2

1 2 2 2 1 2

2 3 2 3

y y m x x m

m

ỉ ư

+ = - + + +

ỗ ữ

ố ứ .

Vỡ x x1, 2 l hai nghiệm của p/trình y¢ =3x2-6x+m2 =0 nên theo đ/lý

Viet ta có 1 2 6 2

3
b

x x

a

-+ = - = - = .
Tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị

1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

2
1

2 2

2 2 .1

2 3 2 3 3 3

x x
x

I

y y m x x m m m

y m m

ì = = =

ï
ï

í + ỉ ư + ỉ ư

ï = =ỗ - ữ + + =ỗ - ữ + +

ï è ø è ø

ỵ

2
x

I

y m m

=
ìï
í

= +

-ïỵ

·Điều kiện cần để hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua

( )

d :x-2y- =5 0là IỴ

( )

d Û -1 2

(

m2+ - - =m 2

)

5 0

2 0

1
m

m m

m
=
é
Û + = Û ê =

-ë

·Điều kiện đủ (thử lại xem đ/thẳng nối 2 cực trị có vng góc với

( )

d¢ ):

- Với m=0: thỏa mãn (theo cách 1)

- Với m= -1 ta có hàm số y=x3-3x2+ -x 1

Hàm số có hai cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm
số có p/trình

2 2

2 4 2

3 3 3 3

m m

y=ổỗ - ửữx+ + = -m x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

gúc 4
3

k¢ = - ; đ/thẳng

( )

: 1 5

2 2

d y= x- có hệ số góc 1
2
k= .
Ta có . 4 1. 2 1

3 2 3

k kÂ = - = - ạ - nờn đường thẳng nối hai cực trị khơng vng
góc với

( )

d . Do đó hai điểm cực trị khơng đối xứng nhau qua

( )

d .

Vậy trường hợp m= -1 khơng thỏa mãn ycbt.
· Tóm lại: m=0

· Cách 3: Dùng điểm uốn (tâm đ/xứng của đồ thị) và cịn có thể giải theo
các cách khác.

II 2

1 1

2 2

6
5
x y xy

x y

ì + =

ï
í

+ =

ïỵ

(

)

(

)

2 5

xy x y

x y xy

ì + =

ï
í

+ - =

ïỵ

· Đặt S = +x y P; = xy. Hệ trở thành

( )

. 6 1

2 5 2

P S

S P

ì =

ï
í

- =

ïỵ
Từ (2) suy ra

5
2
S

P= - thay vào (1) được:

. 6 5 12 0

2
S

S S S

- = Û - - =

3
S

Û = . Suy ra P=2

0.5

· Vậy ta có hệ 3
2
x y
xy

+ =
ì

í =

ỵ . Hệ này có hai nghiệm

1 2

;

2 1

x x

y y

= =

ì ì

í = í =

ỵ ỵ 0.5

2 1

· Điều kiện: cos 0

(

)

xạ ạx p +kp kẻÂ

Pt ó cho sin2 sin cos 3sin cos 3sin2 3
cos

x x

x x x x

x
+

ổ ử

ỗ ữ= - +

ố ứ

2 sin cos 2

sin 3sin cos 3cos

cos

x x

x x x x

x
+

ỉ ư

Û ỗ ữ = +

ố ứ

(

)

(

)

2 2

sin x sinx cosx 3cos x sinx cosx

Û + = +

(

)

(

2 2

)

sinx cosx sin x 3cos x 0

Û + - =

0.25

2 2

sin cos 0 sin cos

sin 3cos 0 sin 3 cos

x x x x

+ = é =

-é

Ûê Û ê

- = = ±

ë ë

(

)

tan 1 4

, ,

tan 3

x l

x

l n
x

x n

p p

é = - +
ê

=
-é

Ûê Û ê Ỵ

= ± ê

ë = ± +

êë

0.5

· Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy P/trình đã cho có các nghiệm:

-+ +

ò

0.5

(

)

( )

ln sin cos ln 1 ln 2 ln 2 ln 2

I = - x+ x pp = - + = = 0.5

· Cách khác:

Học sinh có thể đặt ẩn phụ t =sinx+cosx để biến đổi

( )

1 2

2
1
1

ln ln 2

dt

I dt t

t t

ò

= =

IV 1

0.25

Cách 1: Phương pháp tọa độ

Đặt hình hộp vào hệ tọa độ Oxyz sao cho

(

0;0;0 ,

)

x

z

y
M

D'

D

C'
A'

B

C
A

B'

Vì M thuộc cạnh AD và AM =3MD nên ta có uuuurAM =3MDuuuur

3 1

4 4

OM OD OA

Ûuuuur = uuur+ uuur

Suy ra tọa độ của M là

3 1

. .

4 4

3 1 3

.2 .0

4 4 2

3 1

.0 .0 0

4 4

x a a a

a

y a

z

ì = + =

ï
ï

ï = + =

í
ï

ï = + =

ïỵ
Vậy ;3 ;0

2
a
M aổỗ ửữ

ố ứ

0.25

P/trỡnh mt phng

(

AB CÂ

)

viết theo đoạn chắn:

1 2 2 2 0

x y z

x y z a

a+ a+ = Ûa + + - =

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

(Nên chú ý cách chọn tọa độ để mp(AB’C) có thể viết theo đoạn chắn)
Khoảng cách từ M đến mp

(

AB C¢

)

bằng:

2 2 2

2. 2.0 2

3
2

2
2. 9

2 1 2

a

a a

h

+ +

-= = =

+ +

· 1. .

3 AB C

V = S ¢ h (xem cách 2)

0.25

Cách 2: Phương pháp hình học

I

M

D'

D

C'

A'

B

C

A

B'

Xem khối chóp M.AB’C như là khối tứ diện. Đáy là tam giác MAC và

đường caoBB¢ =a. Chú ý tam giác MAC có đường cao là CD=a, đáy là

3 3 3

4 4 2

a
AM = AD= a= .
· Diện tích tam giác MAC:

1 1 3 3

. . .

2 2 2 4

MAC

a a

S = AM CD= a=

· Thể tích khối chóp M AB C. ¢ :

2 3

1 1 3

. . . .

3 AMC 3 4 4

a a

V = S BB¢= a=

Gọi I là trung điểm của AB¢. Tam giác AB C¢ có CA=CB¢=a 5,
2

AB¢ =a nên cân tại C. Đường cao

2 2 2 3 2

2 2

a a

CI = CA -IA = a - =
Diện tích tam giác AB C¢ :

1 1 3 2 3

. . . 2

2 2 2 2

AB C

a a

S ¢ = CI AB¢= a =
· Gọi h là khoảng cách từ M đến mp AB C

(

)

ta có:

. .

3 AB C

V = S ¢ h . Suy ra

3 4

2
3

2
AB C

a

V a

h

S ¢ a

= = =

· Nhận xét: Tất nhiên bài tốn có nhiều cách nhìn nhưng điều quan trọng 
là dùng PP nào cũng cần chú ý đến tính chặt chẽ, dễ tính tốn là điều quan

trọng. Ở PP tọa độ, cách chọn hệ trục sao cho ba đỉnh A, B’, C nằm trên

ba trục tọa độ sẽ có lợi rất nhiều so với cách chọn khác. CỊn với PP hình

học, việc chọn đáy phù hợp để khai thác tối đa giả thiết sẽ giúp chúng ta

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chúc các em thành công !.

V 1

Với 3 số dương a, , c ta có:

a b

b+ ³a , 2
b c

c+ ³b , 2
a c
c+ ³a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= =b c.
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được

a b b c a c

b+ + + + + ³a c b c a

1 1 1 9

a c b a b c

b b c c a a

ổ ử ổ ử ổ ử

ỗ + + +ữ ỗ + + +ữ ỗ + + ³÷

è ø è ø è ø

9
a b c a b c a b c

b c a

+ + + + + +

Û + + ³

(

)

1 1 1

9
a b c

a b c

ổ ử

+ + ỗ + + ữ

ố ứ

1 1 1 9

a b c a b c
Û + + ³

+ + (*)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= =b c.

0.25

1 1 1

x y z

Q

x y z

= + +

+ + + 3 x11 y11 z11

æ ử

= -ỗ + + ữ

+ + +

ố ứ

p dng kt quả (*) cho ba số dương a= +x 1;b= +y 1; c= +z 1 ta có

1 1 1 9 9 9

1 1 1 1 1 1 3 0 3

x+ + y+ + z+ ³ x+ + + + +y z = x+ + +y z = + =

Do đó 3 1 1 1 3 3 0

1 1 1

Q

x y z

ổ ử

= -ỗ + + ữÊ - =

+ + +

è ø .

1 1 1

0 0

x y z

Q x y z

x y z

+ = + = +
ì

= Ûí + + = Û = = =

ỵ

0.5

x- +6

) (

2 y+2

) (

+0 z- =3

)

2 2 0

x y

Û + - =

Thay tọa độ điểm D(4,1,0) vào vế trái P/trình mp(ABC) ta được
4+2.1 2- = ¹4 0. Chứng tỏ DÏ

(

ABC

)

Vậy 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

0.25

Đường cao DH bằng khoảng cách từ đỉnh D đến mp(ABC)

2 2 2

4 2.1 2 4 4 5

5
5

1 2 0

DH = + - = =

+ +

0.5

VII.a 1

Ta có 3 .2x x=3x +2x+1Û

(

2x-1 .3

)

x =2x+1 (1)
· Với 1

x= , thay vào (1) ta được 0. 3=2. Không được thỏa mãn. Nên
1

x= không nghiệm đúng (1)
· Với 1

x¹ ta có

( )

1 3 2 1

2 1

x x

x
+

Û =

- (2)

Xét hàm số

( )

2 1

x
y f x

x
+

= =

- , ta có

(

)

2 1

y

x

-¢ = <

- nên hàm số liên tc
v nghch bin trờn cỏc khong ;1

2
ổ-Ơ ử

ỗ ữ

ố ứ,
1

;
2
ổ +Ơử

ỗ ữ

ố ứ.
Cũn hm s y= g x

( )

=3x liên tục và đồng biến trên ¡.

0.25

· Ta có f

( )

1 = g

( )

1 =3 nên x=1 là một nghiệm của (2).
Và

( )

1 1

f - = g - = nên x= -1 là một nghiệm của (2). 0.25
· Với mọi x>1 ta có g x

( )

0.25

</div>

thu suc 21

( )

( )

(

)

(

)

ị

<i>x y z</i>

+ + =

0

<i>x</i>

+ >

1 0

<i>y</i>

+ >

1 0

<i>z</i>

+ >

1 0

(

)

( )

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

) (

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(