Về Một Số Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức Và Ứng Dụng.

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆●
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✲✲✲✲✲✯✲✲✲✲✲

✣■◆❍ ❚❍❆◆❍ ❍➬◆●

❱➋ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❈❍Ù◆● ▼■◆❍ ❇❻❚
✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

✣➔ ♥➤♥❣ ✲ ✷✵✷✵


✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆●
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✲✲✲✲✲✯✲✲✲✲✲

✣■◆❍ ❚❍❆◆❍ ❍➬◆●

❱➋ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❈❍Ù◆● ▼■◆❍ ❇❻❚
✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❱⑨ Ù◆● ❉Ư◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❈❍❯❨➊◆ ◆●⑨◆❍✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ P


ữớ ữợ ồ ✣Ù❈ ❚❍⑨◆❍

✣➔ ♥➤♥❣ ✲ ✷✵✷✵

✶

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ❦➳t
q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷đ❝ ❛✐ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t
❦➻ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳
✣➔ ♥➤♥❣✱ t


ỗ


✷

▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➔② t→❝ ❣✐↔ ❜➔② tä
❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❚❤➛② ❣✐→♦ ❚❙✳ ❚r➛♥ ✣ù❝ ❚❤➔♥❤✱ ữớ ữợ
t t tr q tr ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â✱
t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ s÷ ♣❤↕♠✲✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣✱
✣↕✐ ❤å❝ ◗✉↔♥❣ ❇➻♥❤ ✤➣ t↕♦ ợ s ữỡ t sỡ ❝➜♣
t↕✐ ◗✉↔♥❣ ❇➻♥❤✱ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ỗ tổ ừ
ở ú ù tr s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ tỉ✐ t❤❛♠ ❣✐❛ ❤å❝ ❈❛♦ ❤å❝ ✈➔ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ tr♦♥❣ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➔② ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❦➼♥❤
♠♦♥❣ ❝→❝ ❚❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝ õ ỳ ỵ õ ỵ
t ỡ
t


ỗ

✸

▼ư❝ ❧ư❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

✶

▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✶

▼ð ✤➛✉

✸

✶

▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

✼

✶✳✶
✶✳✷

✼
✾

✷

▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭ ❬✼❪✮ ✳
▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸

✹✻

❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ t➻♠ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t✱ ♥❤ä ♥❤➜t ✭ ❬✼❪✮✳
✹✻
❙û ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✭ ❬✺❪✱ ❬✽❪✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✷
❙û ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ✭ ❬✺❪✱ ❬✽❪✮ ✺✽

❑➳t ❧✉➟♥

✻✹

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✻✺

✹

▼Ð ✣❺❯
✶✳ ▲Þ ❉❖ ❈❍➴◆ ✣➋ ❚⑨■

❚♦→♥ ❤å❝ ❧➔ ♠ët ♠æ♥ ❦❤♦❛ ❤å❝ tü ♥❤✐➯♥✱ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá r➜t q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣
❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ tr♦♥❣ ❝✉ë❝ sè♥❣ ❤➔♥❣ ♥❣➔②✳ Ð ❜➟❝ ❤å❝ ♣❤ê
t❤æ♥❣✱ t♦→♥ ❤å❝ ✤÷đ❝ ❝♦✐ ❧➔ ♠ët ♠ỉ♥ ❤å❝ ❝ì ❜↔♥✱ ❧➔ ♥➲♥ t↔♥❣ ✤➸ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝
s✐♥❤ ♣❤→t ❤✉② ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❜↔♥ t❤➙♥✱ ❧➔ t✐➲♥ ✤➲ ✤➸ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ tèt ❝→❝ ❜ë ♠æ♥ ❦❤♦❛
❤å❝ ❦❤→❝✳
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧➔ ♠ët ❝❤õ ✤➲ ❦❤â ✈➔ ❝ơ♥❣ ❧➔ ❞↕♥❣ t♦→♥ r➜t q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣
❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② r➜t
❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤✱ ✤➛② ✤õ ð ♥❤ú♥❣ t tr ữợ ố t t tr
❦➻ t❤✐ t✉②➸♥ s✐♥❤ ✣↕✐ ❤å❝✲❈❛♦ ✤➥♥❣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ❦➻ t❤✐ ❍å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ t❛
✈➝♥ ❤❛② ❣➦♣ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✣➸ ❣✐ó♣ ❤å❝ s✐♥❤ ♣❤ê t❤ỉ♥❣
t➻♠ ❤✐➸✉ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ởt số t ỗ tớ ữủ ❝→❝ ❦➽ t❤✉➟t
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ö t❤➸ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝❤ó♥❣ t❤❡♦ ♠ët ❧♦❣✐❝
♥❤➜t ✤à♥❤ ❧➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♠➔ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣
ợ ử ự ữỡ ự t tự ự
ử ụ ữ ữợ sỹ ữợ ừ t r ự ú tổ
qt ✤à♥❤ ❝❤å♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐✿ ✏ ❱➲ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣✑ ✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❤② ✈å♥❣ t↕♦ ✤÷đ❝ ♠ët t➔✐
❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tèt ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳
✷✳ ▼Ư❈ ✣➑❈❍ ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯

◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❧➔♠ rã ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿
✭✶✮ ❑❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳

✺

✭✷✮ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
✭✸✮ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ♥❤÷ ❣✐↔✐
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❤❛② ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝
trà✳
✸✳ ✣➮■ ❚×Đ◆● ❱⑨ P❍❸▼ ❱■ ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯

✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛
❝❤ó♥❣✳
P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ♠è✐ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤è✐ t÷đ♥❣ tr➯♥❀ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣
✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✳
✹✳ ◆❍■➏▼ ❱Ư ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯

◆❤✐➺♠ ✈ư ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝❀ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t➟♣ ù♥❣
❞ư♥❣✳
✺✳ P❍×❒◆● PP

Pữỡ ự ỵ tt ồ t ❧✐➺✉✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ s♦ s→♥❤✱ tê♥❣ ❤đ♣
✈➔ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s✉② ❧✉➟♥ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝✳
✻✳ ❈❻❯ ❚❘Ĩ❈ ❈Õ❆

ố ử ỗ ữỡ
ữỡ ởt sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱
s❛✉ ✤â ❧➔ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
✶✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
▼ư❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳

✶✳✷✳ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
▼ư❝ ♥➔② ❞➔♥❤ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
♥❤÷✿ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✱
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤↔♥ ❝❤ù♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ♥↕♣ t♦→♥ ❤å❝✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠
t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ♥❤÷ ❆▼✲●▼✱
❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③✱ ❇❡r♥♦✉❧✐✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ❤❛② ♣❤÷ì♥❣ ỗ


✻

❝ị♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ❦❤→ ✤❛ ❞↕♥❣ ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤â✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐
t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤❀ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❤❛②
❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà✳
✷✳✶✳ ❉ò♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ t➻♠ ❝ü❝ trà
▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ✈✐➺❝ sû ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐
t♦→♥ ❝ü❝ trà✳
✷✳✷✳ ❉ị♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ✈✐➺❝ sû ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ ✳
✷✳✸✳ ❉ị♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥
▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ✈✐➺❝ sû ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥✳


✼

❈❤÷ì♥❣ ✶

▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝✱ s❛✉ ✤â ❧➔ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳

✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭ ❬✼❪✮
▼ư❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
●✐↔ sû ❆ ✈➔ ❇ ❧➔ ❤❛✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❜➡♥❣ sè ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ❝❤ú✳
✰✮ ❆ ✤÷đ❝ ồ ợ ỡ ỵ ♥➳✉ ❤✐➺✉ ❆ ✕ ❇ ❧➔ ♠ët sè ❞÷ì♥❣✳

✶✳✶✳✶ ✣à♥❤

ữủ ồ ợ ỡ ỵ A B ❇ ❧➔
♠ët sè ❦❤ỉ♥❣ ➙♠✳
✰✮ ❆ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❤ä ỡ ỵ ✕ ❇ ❧➔ ♠ët sè ➙♠✳
✰✮ ❆ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ọ ỡ ỵ A B ✱ ♥➳✉ ❤✐➺✉ ❆ ✕ ❇ ❧➔
♠ët sè ❦❤ỉ♥❣ ❞÷ì♥❣✳
❑❤✐ ✤â A > B; A < B; A ≥ B; A ≤ B ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
✶✳✶✳✷ ▼➺♥❤ ✤➲✳

❛✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥✿ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❆ ✈➔ ❇ ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝â

A ≤ B ⇔ B ≥ A.
❜✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❜➢❝ ❝➛✉✿ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❆✱ ❇✱ ❈ ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝â

A ≤ B, B ≤ C ⇔ A ≤ C.


✽

❝✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ ❤➺ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✿
✰✮ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❆✱ ❇ ✈➔ ▼ ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝â

A ≤ B ⇔ A + M ≤ B + M.
✰✮ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❆✱ ❇✱ ❈✱ ❉ ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝â

A ≤ B, C ≤ D ⇒ A + C ≤ B + D.
A ≤ B, C ≤ D ⇒ A − D ≤ B − C.
❞✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ ❤➺ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥✿
✰✮ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❆✱ ❇ ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝â

A ≥ B; M > 0 ⇒ AM ≥ BM ;
A ≥ B; M < 0 ⇒ AM ≤ BM.
✰✮ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❆✱ ❇✱ ❈✱ ❉ ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝â

0 < A < B, 0 < C < D ⇒ AC ≤ BD.
❡✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ ❤➺ ✈ỵ✐ ❧ơ② t❤ø❛✿
✰✮ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❆✱ ❇ ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝â

A ≥ B ≥ 0 ⇔ An ≥ B n ≥ 0,
✈ỵ✐ ♥ ❧➔ sè tỹ ữỡ

A B An B n ,
ợ ♥ ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧➫✳

|A| ≥ |B| ⇔ An ≥ B n ≥ 0,
✈ỵ✐ ♥ ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝❤➤♥✳

m ≥ n > 0; A ≥ 1 ⇒ Am ≥ An ;

m ≥ n > 0; 0 < A < 1 ⇒ Am ≤ An .
❢✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ ❤➺ ✈ỵ✐ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✿ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❆✱ ❇ ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝â

A≤B⇔

1
1
≥ ,
A B

✈ỵ✐ ♥ ❧➔ sè t❤ü❝ ữỡ
ợ số tỹ t õ

||a| |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|.


✾

✶✳✷ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
▼ư❝ ♥➔② ❞➔♥❤ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ♥❤÷✿ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✱
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤↔♥ ❝❤ù♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ♥↕♣ t♦→♥ ❤å❝✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠
t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ♥❤÷ ❆▼✲●▼✱
❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③✱ ❇❡r♥♦✉❧✐✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ❤❛② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ỗ
ũ ử ❤å❛ ❝❤♦ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤â✳

✶✳✷✳✶ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ A > B ✱ t❛ ①➨t A B rỗ ự A B > 0✳
✶✳✷✳✶ ❱➼ ❞ư✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè t❤ü❝ x, y, z t❛ ❝â

x2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 2(x + y + z).
❚❛ ❝â

K = x2 + y 2 + z 2 + 3 − 2(x + y + z)
= x2 + y 2 + z 2 + 3 − 2x − 2y − 2z
= (x2 − 2x + 1) + (y 2 − 2y + 1) + (z 2 − 2z + 1)
= (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 .

❉♦ (x − 1)2 ≥ 0✱(y − 1)2 ≥ 0✱(z − 1)2 ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y, z ♥➯♥ K ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐
x, y, z. ❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z = 1.
✶✳✷✳✷ ❱➼ ❞ö✳

❈❤♦ a, b, c, d, e ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e).
❳➨t ❤✐➺✉

K = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 − a(b + c + d + e)
a2
a2
a2
a2
− ab + b2 +
− ac + c2 +
− ad + d2 +
− ae + e2
=
4

4
4
4
2
2
2
2
a
a
a
a
=
−b +
−c +
−d +
−e .
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
❉♦
− b ≥ 0❀

− c ≥ 0❀
− d ≥ 0 ✈➔
− e ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐
2
2
2
2


✶✵

a, b, c, d, e ♥➯♥ K ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ a, b, c, d, e✳
a
❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ⇔ b = c = d = e = ✳
2
✶✳✷✳✸ ❱➼ ❞ö✳

❈❤♦ a, b ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

a2 + b2
(a + b)2
≥
.
2
2
❳➨t ❤✐➺✉

a2 + b2 (a + b)2
(a2 + b2 ) − (a2 + 2ab + b2 )
K=

−
=
2
2
4
2
2
2
2
2
(2a) + 2b − a − 2ab − b
a − 2ab + b2
=
=
4
4
2
(a − b)
≥ 0,
=
4
✈ỵ✐ ♠å✐ a, b✳ ❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ a = b✳

✶✳✷✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
❇✐➳♥ ✤ê✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ự tữỡ ữỡ ợ t tự
ú ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ ✤ó♥❣✳
✶✳✷✳✹ ❱➼ ❞ư✳

❈❤♦ ❛✱ ❜✱ ❝ ❧➔ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ a + b + c = 4✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤

r➡♥❣

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3 b3 c3 .
❇ð✐ ✈➻ (a + b)2 ≥ 4ab ♥➯♥ t❛ ❝â

(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 ≥ 4(a + b)c ⇒ 16 ≥ 4(a + b)c.
❙✉② r❛

16(a + b) ≥ 4(a + b)2 c ≥ 16abc.
✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦

a + b ≥ abc.
❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝ơ♥❣ ❝â b + c ≥ abc ✈➔ c + a ≥ abc. ❱➻ ✈➟②

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3 b3 c3 .


✶✶

✶✳✷✳✺ ❱➼ ❞ö✳

❈❤♦ ✷ sè ❛✱ ❜ t❤ä❛ ♠➣♥ ❛ ✰ ❜ ❂ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣

1
a3 + b3 + ab ≥ .
2
❚❛ ❝â

a3 + b3 + ab ≥

1
2

⇔ a3 + b3 + ab −

1
≥0
2

⇔ (a + b)(a2 − ab + b2 ) + ab −
⇔ a2 − ab + b2 + ab −

1
≥0
2

1
≥0
2

1
≥0
2
⇔ 2a2 + 2b2 − 1 ≥ 0

⇔ a2 + b2 −

⇔ 2a2 + 2(1 − a)2 − 1 ≥ 0
⇔ 4a2 − 4a + 1 ≥ 0
⇔ (2a − 1)2 ≥ 0.

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧✉ỉ♥ ✤ó♥❣✳ ❱➟②

1
a3 + b3 + ab ≥ .
2
1
❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ a = b = .
2
✶✳✷✳✻ ❱➼ ❞ö✳

❈❤♦ a, b > 0✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

a3 + b3
(a + b)3
≥
.
2
2
❱ỵ✐ a, b > 0 t❛ s✉② r❛ a + b > 0✳
❚❛ ❝â

a3 + b3
(a + b)3
≥
2
2
a+b 2
a+b a+b
⇔
.(a − ab + b2 ) ≥

2
2
2
2
a+b
⇔ a2 − ab + b2 ≥
2

2


✶✷

⇔ 4a2 − 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2
⇔ 3(a2 − 2ab + b2 ) ≥ 0
⇔ 3(a − b)2 ≥ 0.
a3 + b 3
(a + b)3
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✤ó♥❣✳ ❱➟②
≥
.
2
2
❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❛ ❂ ❜✳
❈❤♦ x > y ✈➔ xy = 1✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣

✶✳✷✳✼ ❱➼ ❞ö✳

(x2 + y 2 )2
≥ 8.

(x − y)2
❚❛ ❝â

x2 + y 2 = (x − y)2 + 2xy = (x − y)2 + 2, (xy = 1).
❉♦ ✤â

(x2 + y 2 )2 = (x − y)4 + 4(x − y)2 + 4.
❱➻ ✈➟②✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ự tữỡ ữỡ ợ

(x y)4 + 4(x − y)2 + 4 ≥ 8(x − y)2
⇔ (x − y)4 − 4(x − y)2 + 4 ≥ 0
⇔ (x − y)2 − 2]2 ≥ 0.
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ✤ó♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✭ ❬✼❪✮ ❈❤♦ x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
x ≥ y ≥ z ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
✶✳✷✳✽ ❱➼ ❞ö✳

xy + yz + zx x + z
≥
.
y 2 + yz + z 2
y+z
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦ t÷ì♥❣ ữỡ ợ

xy + yz + zx y 2 + yz + z 2
≥
x+z
y+z
xy + yz + zx
y 2 + yz + z 2

⇔
−y ≥
−y
x+z
y+z
zx
z2
≥
⇔
x+z
y+z
⇔ z x(y + z) − z(x + z) ≥ 0
⇔ z(xy − z 2 ) ≥ 0.


✶✸

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ✤ó♥❣✳
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z ❤♦➦❝ z = 0, x = y ✳

✶✳✷✳✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤↔♥ ❝❤ù♥❣
●✐↔ sû ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔♦ ✤â ✤ó♥❣✱ t❛ ❤➣② ❣✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ✤â s❛✐✱ s❛✉ ✤â ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ✈➔ tt ừ
s r ổ ỵ
ổ ỵ õ t tr ợ tt ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ tr→✐ ♥❣÷đ❝ ♥❤❛✉ tø
✤â s✉② r❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ ✤ó♥❣✳
▼ët sè ❤➻♥❤ t❤ù❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤↔♥ ❝❤ù♥❣✿
✰✮ ❉ò♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ ✤↔♦✳
✰✮ P❤õ ✤à♥❤ rỗ s r tr ợ tt
Pừ rỗ s r tr ợ ú

Pừ rỗ s r tr ữủ
Pừ rỗ s r t
ự r ổ õ sè ❞÷ì♥❣ a, b, c ♥➔♦ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝↔
❜❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

✶✳✷✳✾ ❱➼ ❞ö✳

1
1
1
< 2; b + < 2; c + < 2.
b
c
a
sỷ tỗ t số ữỡ ❛✱ ❜✱ ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝↔ ❜❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
1
1
1
a + < 2; b + < 2; c + < 2.
b
c
a
❈ë♥❣ t❤❡♦ tø♥❣ ✈➳ ❝õ❛ ✸ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ✤÷đ❝
1
1
1
a+ +2+b+ +c+ <6
✭✶✳✶✮
b
c

a
❱➻ a, b, c > 0 ♥➯♥ t❛ ❝â
1
1
1
a + ≥ 2; b + ≥ 2; c + ≥ 2.
a
b
c
❉♦ ✤â
1
1
1
a + + b + + c + ≥ 6.
a
b
c
✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✶✳✶✮✳ ❱➟② ổ tỗ t số ữỡ t❤ä❛
♠➣♥ ❝↔ ❜❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦✳
a+


✶✹

❈❤♦ a, b, c ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❜➜t ❦➻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝â ➼t ♥❤➜t
♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤ó♥❣
✶✳✷✳✶✵ ❱➼ ❞ư✳

a2 + b2 ≥ 2bc; b2 + c2 ≥ 2ca; c2 + a2 ≥ 2ab.
●✐↔ sû ❜❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝ò♥❣ s❛✐✱ tù❝ t❛ ❝â ❝↔ ❜❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

a2 + b2 < 2bc; b2 + c2 < 2ca; c2 + a2 < 2ab.
❈ë♥❣ t❤❡♦ ✈➳ ❜❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ✤÷đ❝

a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 < 2bc + 2ca + 2ab
⇔ (a2 − 2ab + b2 ) + (b2 − 2bc + c2 ) + (c2 − 2ca + a2 ) < 0
⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 < 0.
✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0✳
❱➟② ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣✳
❈❤♦ ❤❛✐ sè ❞÷ì♥❣ a, b t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ a3 + b3 = a − b✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿
✶✳✷✳✶✶ ❱➼ ❞ö✳

a2 + b2 < 1.
❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ ❝â a > b > 0✳ ●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ s❛✐✱ tù❝
❧➔ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ a2 + b2 ≥ 1✳ ❑❤✐ ✤â ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ ✤÷đ❝

a3 + b3 ≤ (a − b)(a2 + b2 )
⇔ a3 + b3 ≤ a3 + ab2 − a2 b − b3
⇔ ab2 − a2 b − 2b3 ≥ 0
⇔ b(ab − a2 − 2b2 ) ≥ 0
⇔ b[a(b − a) − 2b2 ] ≥ 0.
❱➻ a > b > 0 ♥➯♥ t❛ ❝â a(b − a) < 0✳ ❙✉② r❛ a(b − a) − 2b2 < 0✱ tù❝ ❧➔
b[a(b − a) − 2b2 ] < 0. ❉♦ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ①↔② r❛✱ tù❝ ❧➔ ❜➔✐
t♦→♥ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➟② ✤✐➲✉ ❣✐↔ sû ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ①↔② r❛✱ tù❝ ❧➔ a2 + b2 < 1✳
✶✳✷✳✶✷ ❱➼ ❞ö✳

✭■▼❖ ✷✵✵✶✮ ❈❤♦ a, b, c ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣

√

a
b
c
+√
+√
≥ 1.
a2 + 8bc
b2 + 8ac
c2 + 8ba


✶✺

✣➦t

x=√

a
b
c
;y = √
,z = √
, x, y, z ∈ (0; 1) .
a2 + 8bc
b2 + 8ac
c2 + 8ba

ỵ r

x2
b2
y2
c2
z2
a2
=
;
=
;
=
.
8bc 1 − x2 8ac 1 − y 2 8ba 1 − z 2

❙✉② r❛

1
x2
y2
z2
=
.
512
1 − x2 1 − y 2 1 − z 2
❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ x + y + z ≥ 1 ✈ỵ✐ x, y, z ∈ (0; 1) ✈➔
(1 − x2 )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) = 512(xyz)2 .

✭✶✳✷✮

●✐↔ sû ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ x + y + z < 1✳ ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❆▼✲●▼ t❛ ❝â

(1 − x2 )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) > [(x + y + z)2 − x2 ][(x + y + z)2 − y 2 ][(x + y + z)2 − z 2 ]
= (x + x + y + z)(y + z)(x + y + z + y)(z + x)(z + z + x + y)(x + y)
√
√
√
≥ 4 4 x2 yz.2 yz.4 4 y 2 zx.2 xz.4 4 z 2 xy.2 xy
= 512(xyz)2 .
✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✶✳✷✮✳ ❱➟② ✤✐➲✉ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ s❛✐ ✈➔ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✭■▼❖ ✶✾✽✸✮ ❈❤♦ ❝→❝ sè a, b, c ∈ N∗ ✤æ✐ ♠ët ♥❣✉②➯♥ tè ❝ị♥❣
♥❤❛✉✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

✶✳✷✳✶✸ ❱➼ ❞ư✳

xbc + yca + zab = 2abc − ab − bc − ca

✭✶✳✸✮

❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ t➟♣ ❤đ♣ sè tü ♥❤✐➯♥✳
✳
●✐↔ sû ✭✶✳✸✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✭①✱②✱③✮∈ N3 ✳ ❚ø ✭✶✳✸✮ t❛ ❝â (z + 1)ab✳✳c✳ ▼➔ (a; c) =
✳
(b; c) = 1 s✉② r❛ (z + 1)✳✳c✱ ♠➔ z + 1 > 0 ♥➯♥ tø ✤â z + 1 ≥ c✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝ô♥❣
❝â x + 1 ≥ a, y + 1 ≥ b✳ ❚ø ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ♥➔② t❛ ✤÷đ❝

V T ✭✶✳✸✮ ≥ (a − 1)bc + (b − 1)ca + (c − 1)ab
= 3abc − ab − bc − ca
> 2abc − ab − bc − ca = V P .
ổ ỵ ự tọ sỷ ừ t❛ ❧➔ s❛✐✱ tù❝ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✸✮ ❦❤ỉ♥❣ ❝â

♥❣❤✐➺♠ tü ♥❤✐➯♥✳


✶✻

✶✳✷✳✹ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ♥↕♣ t♦→♥ ❤å❝
●✐↔ sû t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ A(n) ≥ 0 ✈ỵ✐ A(n) ởt
tự õ ự số ữỡ ợ n ≥ n0 .
❚❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉② ữ s
ự t tự ú ợ ❣✐→ trà ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ♥ ❧➔ n0 ✳
✰✮ ●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = k ≥ n0 tù❝ ❧➔ A(k) ≥ 0✳
✰✮ ❙❛✉ ✤â ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ A(k + 1) ≥ 0 ❞ü❛ ✈➔♦ A(k) ≥ 0✳
✰✮ ❑➳t ❧✉➟♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣✳
❈❤♦ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n ≥ 5✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ 2n > n2 ✳
❱ỵ✐ n = 5 t❛ ❝â 25 = 32 > 52 = 25✳ ❱➟② ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = 5✳
●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = k > 5 tù❝ ❧➔ 2k > k 2 ✳
❑❤✐ ✤â

✶✳✷✳✶✹ ❱➼ ❞ö✳

2k+1 = 2.2k > 2k 2

= (k + 1)2 + k 2 − 2k − 1
= (k + 1)2 + k(k − 5) + 3k − 1
> (k + 1)2 .
❱➟② ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = k + 1 ỵ q t õ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❈❤♦ a, b ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣

✶✳✷✳✶✺ ❱➼ ❞ư✳

an + bn
≥
2

a+b
2

n

.

❱ỵ✐ n = 1✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = k > 1 tù❝ ❧➔

ak + bk
≥
2

a+b
2

❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

ak+1 + bk+1
≥
2
❚❛ ❝â

a+b
2

k+1

a+b
2

k

.

k+1

a+b a+b
=
2
2

.
k

.


✶✼

❱➟② t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

ak+1 + bk+1

a + b ak + bk
≥
2
2
2
k+1
⇔a
+ bk+1 ≥ abk + bak
⇔ a(ak − bk ) − b(ak − bk ) ≥ 0
⇔ (a − b)(ak − bk ) ≥ 0.
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❧✉ỉ♥ ✤ó♥❣✳ t ỵ q t õ
ự ♠✐♥❤✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b✳
✭❱▼❖ ✷✵✶✶✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ x ✈➔ ♠å✐
sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n t❛ ❝â
✶✳✷✳✶✻ ❱➼ ❞ö✳

xn (xn+1 + 1)
≤
xn + 1

x+1
2

2n+1

.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ♥➔♦❄
❱ỵ✐ n = 1 ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤
3

x+1
2

x(x2 + 1)
≥
x+1
⇔ (x + 1)4 − 8x(x2 + 1) ≥ 0
⇔ (x − 1)4 ≥ 0.

❱➟②✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = 1✳ ●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = k ✱ tù❝
❧➔

xk (xk+1 + 1)
≤
xk + 1

x+1
2

2k+1

✭✶✳✹✮

.

❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

xk+1 (xk+2 + 1)
≤

xk+1 + 1

x+1
2

2k+3

.

❚ø ✶✳✹ ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

x+1
2

2

.

xk (xk+1 + 1)
xk+1 (xk+2 + 1)

.
xk + 1
xk+1 + 1

tữỡ ữỡ ợ

(x + 1)2 xk (xk+1 + 1)2 − 4(xk + 1)xk+1 (xk+2 + 1) ≥ 0.

✶✽

❚ù❝ ❧➔

⇔ (x − 1)2 (xk+1 − 1)2 ≥ 0.
❇➜t tự ổ ú t ỵ q t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 1✳
✭❚❤✐ ✈➔♦ ❧ỵ♣ ✶✵ ❈❤✉②➯♥✱
ự r ợ ồ số ữỡ n t❛ ❝â

✶✳✷✳✶✼ ❱➼ ❞ư✳

✳
A(n) = (n3 + 5n)✳✳6.
✳
❱ỵ✐ n = 1 t❛ ❝â A(1) = 6✳✳6 ♥➯♥ ❜➔✐ t♦→♥ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = 1✳
✳
●✐↔ sû ❜➔✐ t♦→♥ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♥❂❦✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ A(k)✳✳6 ✈ỵ✐ A(k) = k 3 + 5k ✱ t❛ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = k + 1✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ n = k + 1 t❤➻

A(k + 1) = (k + 1)3 + 5(k + 1)
= k 3 + 3k 2 + 8k + 6
= k 3 + 5k + 3k(k + 1) + 6
= A(k) + 3k(k + 1) + 6.
✳
✳
❚❛ ❝â A(k)✳✳6 ✭t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣✮✱[3k(k + 1) + 6]✳✳6 ✭✈➻ t➼❝❤ ❤❛✐ sè tü ♥❤✐➯♥
✳
❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✷✮ s✉② r❛ A(k + 1)✳✳6 ♥➯♥ ❜➔✐ t♦→♥ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = k + 1

ỵ q t õ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❈❤♦ a, b, c ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❝â c ❧➔
❝↕♥❤ ❤✉②➲♥✳ ự ợ ồ số ữỡ n t õ
❱➼ ❞ư✳

a2n + b2n ≤ c2n .
❱ỵ✐ n = 1 t❛ ❝â a2 + b2 = c2 ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♥❂❦❃✶ tù❝ ❧➔✿

a2k + b2k ≤ c2k .
❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

a2(k+1) + b2(k+1) ≤ c2(k+1) .

✭✶✳✺✮


✶✾

❚ø ✶✳✺ ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

c2 (a2k + b2k ) ≥ a2(k+1) + b2(k+1)
⇔ (a2 + b2 )(a2k + b2k ) ≥ a2(k+1) + b2(k+1)
⇔ a2 b2k + b2 a2k ≥ 0.
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧✉ỉ♥ ✤ó♥❣✳ ❱➟② t❤❡♦ ỵ q t õ ự


Pữỡ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐
❳➨t t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ f (x) = ax2 + bx + c ✈ỵ✐ ∆ = b2 − 4ac.
✣à♥❤ ❧➼ ✶✿

f (x) > 0, ∀x ⇔
f (x) ≥ 0, ∀x ⇔
f (x) < 0, ∀x ⇔
f (x) ≤ 0, ∀x ⇔

a>0
∆ < 0.
a>0
∆ ≤ 0.
a<0
∆ < 0.
a<0
∆ ≤ 0.

✣à♥❤ ❧➼ ✷✿
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❢✭①✮ ❂ ✵ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ x1 < α < x2 ⇔af (α) < 0.

af (α) > 0



P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❢✭①✮❂✵ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ x1 < x2 < α ⇔ ∆ > 0


S

 < α.
2


af (α) > 0



P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❢✭①✮❂✵ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ α < x1 < x2 ⇔ ∆ > 0


S



2

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❢✭①✮❂✵ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠

> α.

α < x1 < β < x2
⇔ f (α).f (β) < 0.
x1 < α < x2 < β


✷✵

✶✳✷✳✶✾ ❱➼ ❞ö✳

✭ ❬✼❪✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣

f (x, y) = x2 + 5y 2 − 4xy + 2x − 6y + 3 > 0.
❚❛ ❝â f (x, y) = x2 − 2x(2y − 1) + 5y 2 − 6y + 3 > 0✳

❚❛ ①❡♠ f (x, y) ♥❤÷ ❧➔ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ ❜✐➳♥ x✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â

∆ = (2y − 1)2 − 5y 2 + 6y − 3
= 4y 2 − 4y + 1 − 5y 2 + 6y − 3
= −(y − 1)2 − 1 < 0.
❱➟② f (x, y) > 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y.
✶✳✷✳✷✵ ❱➼ ❞ư✳

✭ ❬✼❪✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè t❤ü❝ ❛ ✈➔ ❜ t❛ ❝â

3(1 − a + a2 )(1 − b + b2 ) ≥ 2(1 − ab + a2 b2 ).
t t tự ữợ

(a2 3a + 3)b2 − (3a2 − 5a + 3)b + 3a2 − 3a + 1 ≥ 0.
❱➳ tr→✐ ❧➔ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ b ❝â a2 − 3a + 3 > 0, ∀a ∈ R ✈➔

∆b = (3a2 − 5a + 3)2 − 4(a2 − 3a + 3)(3a2 − 3a + 1)
= −(a2 − 3a + 1)2 ≤ 0, ∀a ∈ R.
❉♦ ✤â ✈➳ tr→✐ ❧✉æ♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✣➥♥❣
t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐✿

√

(a2 − 3a + 1)2 = 0
3
±
5
2
.

⇔a=b=
3a
−
5a
+
3

2
b =
2(a2 − 3a + 3
✶✳✷✳✷✶ ❱➼ ❞ö✳

✭ ❬✸❪✮ ❈❤♦ ❛✱ ❜✱ ❝ ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ t❤✉ë❝ ✤♦↕♥

1
; 3 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤
3

r➡♥❣

a
b
c
7
+
+
≥ .
a+b b+c c+a 5
❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❣✐↔ sû a = max{a, b, c}✳
❑❤✐ ✤â✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ tữỡ ữỡ ợ

(3a 2b)c2 + (2a2 ab − 3b2 )c + 3a2 b − 2ab2 ≥ 0.


✷✶

❱➻ 3a − 2b > 0 ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

∆c = (2a2 − ab − 3b2 )2 − 4(3a − 2b)(3a2 b − 2ab2 ) ≤ 0
⇔ (a − b)(a − 9b)(4a2 + b2 ) ≤ 0.
1
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ✤ó♥❣ ❞♦ a − b ≥ 0; a − 9b ≤ 3 − 9. = 0; 4a2 + b2 > 0.
3
❉♦ ✤â✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➔ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ a = 3,
1
b = , c = 1.
3
✭❚❙✣❍ ❦❤è✐ ❆ ✷✵✶✶✮
❈❤♦ ❝→❝ sè t❤ü❝ x, y, z ∈ [1; 4] t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x ≥ y, x ≥ z ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤
r➡♥❣
✶✳✷✳✷✷ ❱➼ ❞ö✳

x
y
z
34
+
+
≥ .
2x + 3y y + z z + x
33

❚❛ ❝â

x
y
z
34
+
+
≥
2x + 3y y + z z + x
33
⇔ (31x − 3y)z 2 + (96y 2 − 35x2 − 5xy)z + 31x2 y − 3xy 2 ≥ 0.

❱➳ tr→✐ ❧➔ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ z ✈ỵ✐ ❤➺ sè ❝õ❛ z 2 ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤

(96y 2 − 35x2 − 5xy)2 − 4(31x − 3y)(31x2 y − 3xy 2 ) ≤ 0
⇔ (x − y)(x − 4y)(1125x2 + 2631xy + 2304y 2 ) ≤ 0.

❱➻ (x − y) ≥ 0✱ (x − 4y) ≤ 0 ✈➔ (1125x2 + 2631xy + 2304y 2 ) ≥ 0 ♥➯♥ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ❝✉è✐ ❧✉ỉ♥ ✤ó♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✭ ❬✼❪✮ ❈❤♦ ❛✱❜✱❝ ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
a + b + c = 2✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿

✶✳✷✳✷✸ ❱➼ ❞ö✳
2

2

2

1 + 2ac ≥ ab + bc + ca.
2
✳
3
✣➦t S = a + b, P = ab t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ❜➔✐ t♦→♥ t❛ ❝â
●✐↔ sû c = max{a, b, c}✳ ❑❤✐ ✤â c ≥

S 2 + c2 − 2
S − 2P + c = 2 ⇒ P =
.
2
2

2