tai lieu on thi vao lop 10 theo chu de mon dai so

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (271.86 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
I . Kiến thức kỹ năng cơ bản

1. Kĩ năng về nhân đơn thức, đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức đáng nhớ, tìm điều
kiện biểu thức chứa căn có nghĩa, kĩ năng biến đổi biểu thức chứa căn ( trục căn thức ở mẫu, khử mẫu của biểu thức
lấy căn, qui tắc khai phương …), kĩ năng qui đồng mẫu, kĩ năng rút gọn phân thức,

2. Các dạng bài toán cơ bản về biểu thức chứa căn
Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa căn.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức khi cho biết giá trị của biến số.

Dạng 3: Giải phương trình và bất phương trình liên quan đến biểu thức rút gọn.
Dạng 4: Tìm giá trị nguyên của đối số để giá trị của biểu thức là giá trị nguyên.
Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức rút gọn.

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức với biểu thức rút gọn.
II

. Một số bài tập
A. Biểu thức chứa căn số:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

2

3

2

3

2

3

2

3 P











HD: nhân cả tử và mẫu với 2
Bài 2: Rút gọn biểu thức :

)

3 2 2

6 4 2

)

2

3

2

3 a

A

b B













c)C 2 2 2 1  2 2 2 1

Bài 3: Chứng minh đẳng thức

3 

5 

3 

5 

2

Bài 4: Thực hiện phép tính:

)

3

13

48

2 )

2 a

A

b B













Bài 5:Tính giá trị của biểu thức:



 











4

15

10

6

4

15

1 5 1

5 3

10

5 A

B















1

5

2

5

2 D







4 5 2

3 8 2 18

2 C









3

1

2

3

1

2 E











Bài 6-1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

2 1

1 ;

2 3

2 2

1

3 2 1

A

B

C

















Bài 6-2: CMR



 







3 3 3

1

11 ...

135

2

5

8 2006

2009

A







</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

HD:Số hạng thứ n của tổng trên bằng

























2 2 2 2

1 1, 2,...,669

3

1

3

2 x y ta có

0

2

4

1 dó

4 3

1. 3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

2

3

1

12 4 3

1. 3

2 3

1

3

1

3

2

1 ...

12

2

5

8 2006

2009

12

2

200 n

x y

x

y

xy

x y

xy

do

n

Suy ra

n

A











 

























 



















 







































1

11

135

9 12 2

( ì11.12. 2 132 2 132.14 135)

v



















B- Các bài tập chứa căn thức
Bài 7: Cho biểu thức :

3 1 4

4 (

0;

4)

4

2 a

P

a



















a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P với a = 9.

Bài 8: Rút gọn biểu thức :

A



x



2 x



1 

x



2 x



1

Bài 9: Cho biểu thức:

A x



2 

2 x

 

1 x

8

a) Rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A = -3?

Bài 10: Rút gọn biểu thức:





1

2 0;

1

2 2 2

2

1 x

P

x



















Bài 11: Cho biểu thức

1 :

1 A

x



 









 



















 



a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi

x

 

7 4 3

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 12: Cho biểu thức

1

2 :

2 a a

a

A

a

































a) với giá trị nào của a thì A xác định
b) Rút gọn biểu thức A.

c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên.

Bài 13: Cho biểu thức

2

1

2 :

1 x x

x

A

x x

x





 













 

 











 



a) Rút gọn biểu thức.

b) Tính giá trị của A khi

x

 

4 2 3

Baì 14: Cho biểu thức 2

1 :

x

A

x x x

x x

x





 



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thị hàm số A.

Bài 15: Cho biểu thức:

1 a

A

a

















 



a) Rút gọn biểu thứcA.

b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a ( a thuộc TXĐ của A)

Bài 16: Cho biểu thức:

2 2

1 .

1

2

1 x

A

x























a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thứcA

c) Giải phương trình theo x khi A = -2

Bài 17: Cho biểu thức:

3

6

4

1 x

P

x











a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x để

1

2 P



Bài 18: Cho biểu thức

1

2

1

9

6

1 :

3

2

3

1

9

1

3

1 x

P

x





 













 











 







 



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x để

5

6 P



c) Cho m > 1. Chứng minh rằng ln có hai giá trị của x thỏa mãn P = m

Bài 19: Cho biểu thức

1

6

1

2 :

2

3

2

3

1 x

P

x





 













 

 













 



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P khi

3 2 3

4 x





c) So sánh P với

3

2

Bài 20: Cho biểu thức

10

2

3

1

3

4

1 x

P

x

















a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh P > -3
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài 21: Cho biểu thức

1

2

1 x

P

x

x x

x









a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 Q

x

P





Bài 22: Cho biểu thức:

3

9

3

2

1

9 6 2

3 x

P

x





 











 









 









</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P > 0

c) Với x > 4, x



9

, tìm giá trị lớn nhất của P.(x+1)

Bài 23: Cho biểu thức

2 :

1 x

P

x

x x x



















 



















a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P > 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 24: Cho biểu thức









1

3

4

1 :

1

4

1 x

P

x

x x x

x





























 







a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P = 2.

c) Tìm m để P = m có nghiệm.

Bài 25: Cho biểu thức

1

2

1 :

1 x

P

x

x x x

x

x x x

x



 













 

 















 





 



a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để

P



x



2

c) Tìm m để có x thỏa mãn



x



1



P m x

 

Bài 26: Cho các biểu thức:

2

3

2 à

2 x

A

v

B

x













a) Rút gọn A và B

b) Tìm giá trị của x để A = B

Bài 27: Cho biểu thức

2

9 3 2

1

5

6

2

3 x

A

x













a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A < 1

c) Tính giá trị của biểu thức A với

x



29 12 5





29 12 5



d) Tìm giá trị nguyên x để giá trị của biểu thức A cũng nguyên.

Bài 28: Cho biểu thức

2 2

1 a

M

a















.

Rút gọn biểu thức

P



M a

  

1 1

Bài 29: Cho biểu thức

2

1 xy x

xy y

:

xy

P

x

y

x

xy

y

xy





 



 





 

 











 



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm m để phương trình P = m-1 có nghiệm x, y thỏa mãn x y 6

Bài 30: Cho biểu thức

1 1 : 1

1 xy

x

xy

x

A

xy





 













 

 















 



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) Cho

1

6 x



y



, tìm giá trị lớn nhất của A

(Đs:P 1 xy Gợi ý: vì

,

0

2

9

1

2 9 2

2 11)

x

y

x

y

xy

P m

m

xy

m

 







 

  



 

  



Bài 31: Cho biểu thức

2

3

2 : 2

5 6 2

3

1 x

P

x





 











 

 

















 



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x để

1

5

2 P



Bài 32: Cho biểu thức

3

2 : 1

2 3

5

6

1 x

A

x





 









 











 







 



a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A < 0

c) Tìm x để biểu thức

1 A

đạt GTNN

Bài 33: Cho biểu thức

2 x

2 x x

1 x x

1 P

x















a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5

c) Với mọi giá trị của x làm cho P có nghĩa, chứng minh biểu thức

8 P

chỉ nhận đúng một giá trị nguyên

Bài 34: Cho biểu thức

1

2

1 :

1 x

P

x

x x



 











 

 



















 



a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

Q P

 

x

nhận giá trị nguyên

Bài 35: Cho biểu thức

3

4

5

4

2 : (

)

9

3 x

M

x

x x





































a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tìm điều kiện của x để M  M
c) Tìm x để M2 = 40M

Bài 36: Cho biểu thức



2



4

8

32

2

: 1

2

4

2

8

2 x

x

P

x

x x

x



















































</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bµi37: Cho biểu thức

2

3

2

4 (

) : (

)

4

2 x

P

x













a) Rót gọn biểu thức P

b) Cho 2

3

11.

4 x

HÃy tính giá trị cña P

Bài 38: Cho biểu thức:





:

2 ,

0,

a

b

a b

b

a

P

a b

a

b

ab

a

ab

a b





































a) Rút gọn P

b) Tìm a và b sao cho





1 ;

1 b



a



P



Bµi 39 :Rót gän biĨu thøc:

3

2 :

1

2 x

A

x





 











 









 

Bài 40: Tìm giá trÞ cđa biĨu thøc

2

1 n x

A

x







biÕt

1

2 m

n

x

n

m





















víi m> n > 0
(®s: A = m-n)

Bài 41:CMR số:

x



2 

3 

6 3 2





3

là một nghiệm của phương trình

x



16 x



32 0



Bài 42: rút gọn biểu thức



,

0 

1 y x

x x y

y

P

x y

xy









Bài 43 : Cho biểu thức

1

2

1

2 :

1 x

A

x

x x

x

















 











 













a) Rút gọn A.

b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị là số nguyên
CHUYÊN ĐỀ II :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I.Kiến thức kĩ năng

1.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1.1 Định nghĩa:

, , ,

ax

by c

a x b y c















1.2 Cách giải:

- phương pháp cộng

- Phương pháp thế
- Phương pháp đồ thị

2. Hệ phương trình chứa tham số
2.1 Giải và biện luận theo tham số

2.2 Tìm tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn một số điều kiện
I. Các bài tập

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1 1

1

3

2

8

5 )

3

2

5

3

4 3 4

5

2

1

3

2

1 )

2

3

2

3

1

2

1 x

y

x y

x

y

a

b

x

c

x

y

x

y

x

y

x y

d

e

x

y

x y





































  























































Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị

3

2

12

6

4

12

9

6 )

4

5

7

9

6

18

20

15

10 x

y

x

y

x

y

a

b

c

x

y

x

y

x

y































Bài 3: Cho hệ phương trình:

2

1

2

1 x my

mx

y















a) Giải và biện luận theo tham số m

b) Tìm các giá trị nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất(x; y) với x, y là số nguyên
Bài 4: cho hệ phương trình

4

10

4 mx

y

m

x my

















(m là tham số)

a) Giải phương trình theo m

b) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương

Bài5: cho hệ phương trình:



1 

3

1

2

5 m

x my

m

x y m















 





Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà
S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài6: cho hệ phương trình:





1

2

1

2 m

x my

m

mx y m























Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệmduy nhất (x ; y)

mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất

Bài7: cho hệ phương trình:

2

3

2

5 x y m

x

y















( m là tham số nguyên)
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0, y < 0

Bài 8: cho hệ phương trình:

2

3

5 mx y

x my















a) Giải hệ phương trình đã cho theo m

b) Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn hệ thức :

2
2

1

3 m

x y

m



 



Bài9:cho hệ phương trình:





2

1

2 mx

my m

x

m

y



 















a) Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố
định khi m thay đổi.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 10: Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình

1 mx y n

nx my















có nghiệm là





1; 3



.

Bài 11: Cho hệ phương trình:





2

3

2

3

2 x

y

m

x y

m



 

















a) Giải hệ phương trinh khi thay m = - 1

b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x ;y). tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 12: Cho hệ phương trình

2

4

6 x my

m

mx

y m











 



Gọi cặp (x ;y) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Tìm giá trị của m để 3(3x + y – 7) = m

Bài 13: Cho hệ phương trình

3

1

2 mx y

x y



















(1)

a) Giải hệ phương trình (1) khi

3

2 m



b) Tìm m để hệ có nghiệm

2 x

y











Bài 14: Cho hệ phương trình

2

3

4 x y m

x

y

m



 













a) Giải hệ phương trình với m = 1

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = 10

Bài 15: Cho hệ phương trình

2

1 mx y

m

x my m











 



a) Giải hệ phương trình khi m = -1

b) Tìm m để hệ phương trình có vơ số nghiệm, trong đó có nghiệm(1 ; 1)

Bài 16: Cho hệ phương trình

2

1 x my

mx

y















a) Giải hệ khi m = 2

b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên

Bài 17: Cho hệ phương trình

1

2 x my

mx y















a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 18:Giải các hệ phương trình sau

3

5

2 1 3

2 2

1 3

12

1

2 )

1

2 1 5

2 15

2 1 5

12 9

2

15 x

y

x

y

x y

a

b

c

x

y

x

y

x y



















 



















 





















Bài 19: Cho hệ phương trình:









1

2 m

x y m

x

m

y























</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
b) Tìm giá trị của m thỏa mãn 2x2- 7y = 1

c) Tìm các giá trị của m để biểu thức

2 x

3 y

x y





nhận giá trị nguyên.

Bài 20: : Cho hệ phương trình

3

4

1 mx y

x my















a) Giải hệ phương trình với m = 3

b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm? vơ nghiệm?

Bài21: Cho hệ phương trình









1

2 a

x y a

x

a

y























có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào a

b) Tìm các giá trị của a thỏa mãn 6x2 -17y = 5.

c) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức

2 x

5 y

x y





nhận giá trị nguyên.
Bài 22:Tìm a, b để hệ phương trình









2

3 a b x ay

a b x by



















có nghiệm x = -1; y = 1

Bài 23:Cho hệ phương trình
2

2 0

0 x

y

x y m









 





(m là tham số)

a) Giải hệ phương trình với m = -4

b) Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt



x y1; 1

 

; x y2; 2



thỏa mãn
x1.x2 + y1y2 > 0

Bài 24: Cho hệ phương trình 2

2

3

1 x y

x

y m

m

















a) Giải hệ phương trình với m = 0

b) Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm
(x0 ; y0)thỏa mãn x0 = y0

c) Xác định giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có nghiệm
(a ; b), với a, b là các số nguyên.

CHUYÊN ĐỀ III:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN – ĐỊNH LÝ VI-ET
I.Kiến thức cơ bản:

1/ Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (1),

x là ẩn ; a, b, c, là các hệ số, a khác 0

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn(1)
Đặt :

 

b



4 ac

Nếu

2
1,2

4

0

2 b

ac

x

a

 



  



Nếu

0

1 2

2 b

x

a

  





</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2/Định lí Vi- et.

a) Định lí thuận :Phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (1),

a



0

có nghiệm

(

 

0)

thì:

Nhẩm nghiệm:

1 2 1 2

1 2

;

.

0 1;

b

c

S

x

P x x

a

c

a b c

x

a

c

a b c

x

a









   





  



b) Định lý đảo:

Nếu hai số

x x v

;

à

x



x



S x x

; .

1 2



P

thì

x x

;

2là nghiệm của phương trình

X



SX P





0

II. Bài tập áp dụng :

Bài 1:Cho phương trình:





 

2 2 1 1 0; 1

mx  m x m  

(m là tham số).
a) Giải phương trình với m = -2

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Bài 2: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:

mx



2 m x

 

1 0

Bài 3: Cho phương trình:





4x  2 a b x ab  0

(1) (a, b là tham số)
a) Giải pương trình với

a



1;

b



2

b) Chứng minh rằng phương trình (1) ln ln có nghiệm với mọi a, b
c) Giải phương trình (1) nói trên.

Bài 4 : Phương trình x2 – 2x + m =0 có một trong các nghiệm bằng1 2

a) Xác định hệ số m.

b) Tìm nghiệm cịn lại của phương trình

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m, n.







 











2 2

)

0 ) 2

3

1

0 a x x m

x x n

x m x n

b

x

m n x

m























Bài 6: Cho các phương trình:x2 + 3x +2 = 0 và :x2 - 3x +m = 0

Xác định số m để hai phươnh trình có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 7: Tính nhẩm nghiệm các phương trình sau













) 3

3 2

2

0 )

1 1 0

)

1

5 5 0

a

x

m x

m

b mx

m x

c x

x

















Bài 8: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm:
a) 2 và 1 b) 5 và -3
c) 2 và

2 3

2 à1

v



2

Bài 9: Tìm hai số a, b biết :

a) a + b =5 và a2 + b2 = 13;

b) a – b =2 và ab = 80;
c) a2 + b2 = 29 và ab = 10

Bài 10:Cho phươnh trình bậc hai: x2 – 6x + 8 = 0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2

1 ;

A x

x

B

C x

x













Bài 11: Cho phương trình: m(x2 – 4x +3) + 2(x – 1) = 0

a) Giải phương trình khi m =

1

2 

b) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) Tìm m ngun để phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên phân biệt.
Bài 12:Cho phương trình: x2 + 2(m – 2)x – 2m + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 13: Cho phương trình : x2 – 3x + k - 1 = 0

Xác định k để phương trình có hai nghiệm

x x

;

2thỏa mãn:

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

) 2

5

8 )

15 )

3 a x



x



b x



x



c x



x



Bài 14: Cho phương trình:m x2 + 2(m – 4)x + m + 7 = 0 (1)

Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm phương trình.

x x

;

2thỏa mãn

x



2 x



0

Bài 15: Cho phương trình: x2 - 2(m – 1)x + 2m - 4 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi

x x

;

2là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2
1 2

;

A x





x

Bài 16: Cho phương trình: x2 - (k – 1)x + k + 1 = 0 (1)

a) Giả sử phương trình có các nghiệm

x x

;

2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa 
1

;

x x

độc lập đối với k

c) Hãy biểu thị

x

2 theo

x

1.

Bài 17: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m.

b) Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm phân biệt của phương trình.

x x

;

2thỏa mãn

2 2
1 2

10 x



x



c) Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn

2 2
1 2

E



x



x

đạt giá trị nhỏ

nhất

Bài 18: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0

a) Chứng minh rằng vói mọi m phương trình ln có nghiệm. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm
nghiệm kép đó.

b) Xác định m để phương trình có nghiệm x = 4 tìm nghiệm cịn lại.

Bài 19: Cho phương trình:

x



3. x



5 0



và gọi hai nghiệm của phương trình là

x x

;

2. Khơng giải phương 
trình hãy tính gía trị của các biểu thức sau:

2 2

1 2 1 2

2 2 3 3

1 2 1 2

1 )

a

b x

x

c

d

x



x



x



x



Bài 20: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 2m + 3 = 0

a) Giải phương trình với m = 1

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm cịn lại?
Bài 21: Cho phương trình (m2 + m + 1) x2 – (m2 + 8m + 3)x - 1 = 0

a) Chứng minh

x x

.



0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a) Gọi

x x

;

2là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức.

2 2
1 2

2 2

1 2 1 2

1 x

M

x x









. Từ đó tìm m để M 
>0

b) Tìm giá trị của tham số m để biểu thức

2 2
1 2

1 P x





x



đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 23: Cho phương trình: x2 – 2(m+n)x +4 mn = 0

a) Giải phương trình khi m = 1; n = 3.

b) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m, n
c) Gọi

x x

;

2là hai nghiệm của phương trình. Tính

2 2
1 2

E



x



x

theo m, n.

Bài 24: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3m + 2 = 0

a) Tìm giá trị của tham số m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của m thỏa mãn

2 2
1 2

24 x



x



( trong đó

x x

1

;

2 là hai nghiệm của phương trình)
Bài 25: Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m -3 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình ln có hai nghiệm trái dấu.

c) Gọi

x x

;

2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để









2 2 2 2

1

2 2

1

4 x



x



x



x



Bài 26: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m -23 = 0

a) Giải phương trình khi thay m = 5.

b) Gọi

x x

;

2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m thỏa mãn

x



5 x



4

Bài 27: Cho phương trình: x2 –6x + 1 = 0. Gọi

x x

;

2 là hai nghiệm của phương trình. Khơng giải phương trình hãy
tính giá trị của biểu thức sau:

a x

)



x

22

b x x

)

1 1



x

2









2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

(

)

1 x

x x x

x

c

x x









Bài 27: Cho phương trình: 2x2 –7x + 1 = 0. Gọi

x x

;

2 là hai nghiệm của phương trình. Khơng giải phương trình 
hãy tính giá trị của biểu thức sau:

1 2 2 1

x x



x

Bài 28: Cho phương trình: x2 –4x + 1 = 0.(1)

a) Giải phương trình (1)

b)Gọi

x x

;

2 là hai nghiệm của phương trình(1). Tính 
3 3
1 2

x



x

Bài29: Gọi

x x

;

2 là hai nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2+ 4m + 3 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Ax x1 2 2x1 2x2 
Bài 30: Cho phương trình: x2 + bx + c = 0.(1)

a) Giải phương trình (1)khi b = -3 và c = 2.

b) Tìm b, c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1

Bài 31: Cho phương trình: x2 –2x - 1 = 0. Gọi

x x

1

;

2 là hai nghiệm của phương trình.Tính giá trị của biểu thức

2 1
1 2

x



x

Bài 32: Cho phương trình: x2 –2(3 +m)x + 4m +8 = 0 (x là ẩn). Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

;

x x

thỏa mãn

x

1

 

3 x

2

Bài 33: Cho ba số a, b, c khác nhau và

c



0

, chứng minh rằng nếu các phương trình

 

0 1

0 2

x

ax bc

x

bx ac





</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

0

x



cx ab





Bài 34: Cho phương trình: x2 – (m2+ 1)x + m = 2

a)Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

x x

;

2thỏa mãn

1 2

2 1 1 2

2 x

1 2

x

1

55 x x

x

x x









Bài 35: Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + m2- 4 = 0, với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?

Bài 36: Cho phương trình: x2 – 2x - 2m = 0 Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm phân biệt

x x

;

2thỏa 
mãn:



 



2 2

1 2

1 

x

1 

x



5

Bài 37: Cho phương trình: x2 – (m + 4)x + 3m + 3 = 0, m là tham số

a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng 2, tìm nghiệm cịn lại.
b) Xác định m để phương trình bậc hai có hai nghiệm

x x

;

2thỏa mãn

3 3

1 2

x



x



0

Bài 38: Chứng tỏ phương trình x2 – 4x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt

x x

;

2.Lập phương trình bậc hai có nghiệm
2 2

à

x v x

Bài 39: Gọi

y v

à y

2là hai nghiệm của phương trình: y2 + 5y + 1 = 0. Tìm a và b sao cho phương trình x2 + ax + b

= 0 có hai nghiệm phân biệt là:

x



y



3 y v x

à



y



3 y

1
Bài 40: Cho

x x

;

2là hai nghiệm của phươnh trình x2 – 7x + 3 = 0

a) Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là

2 x



x v

à 2

x



x

1
b) Tìm giá trị của A2x1 x2  2x2 x1

---@---CHUYÊN ĐỀ IV

HÀM SỐ - ĐỒ THỊ
I/ Hàm số bậc nhất và đồ thị của nó.

1.1Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số thực và a



0

1.2 Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R.

Trên tập số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.

1.3 Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm (0;b) và song song với đường thẳng y = ax
nếu b = 0.

1.4 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b với

a



0 à

v b



0

.
Cách 1 : xác định hai điểm bất kỳ thuộc đồ thị, chẳng hạn: 
Cho x = 1, tính được y = a + b, ta có điểm A(1 ; a + b).

Cho x =- 1, tính được y = -a + b, ta có điểm B(1 ; -a + b).Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B
Cách 2: Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ

Cho x = 0 thì y = b, ta có điểm P(0;b);

Cho y = 0 thì

b

x

a



, ta có điểm

;0

b

Q

a















vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được đồ thị hàm số.

1.4 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax (a0) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(1;a)
Chú ý : Hàm số bậc nhất y = ax + b, (a



0

) ; a là hệ số góc, b là tung độ gốc

1.5 Hai đường thẳng y = ax + b (D)và y = a’x + b’ (D’) a và a’ khác 0:

(D) // (D’)



a a b b



;



(D) cắt (D’)



a a



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 

aa

1

D



D





II/ Bài tập

Bài 1:Cho hai hàm số y = x và y = 3x.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ Oxy;

b) Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng y = x và y = 3x
lần lượt tại A và B. Tìm tọa độ A và B, tính chu vi, diện tích tam giác AOB.

Bài 2:Cho hàm số y = (m + 4)x – m + 6 (d )
a) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến;

b) Tìm m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;2).Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 3: Cho hàm số y = (m2 – 2m + 3)x + 8

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên tập số thực R? vì sao?
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;14)

Bài 4:Xác định hàm số y = ax + b, biết đồ thị của nó là đường thẳng song song với đường thẳng

y





3 1





x

và
đi qua điểm

A



1; 3 1





Bài 5: Cho đường thẳng (d) y = -2x + 3.

a) Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng với hai trục tọa độ, tính khoảng cách từ O(0;0) đến
đường thẳng (d)

b) Tính khoảng từ điểm C(0;-2) đến đường thẳng (d).
Bài 6: Cho hai đường thẳng:

y = (m + 2)x + 2 (d) và y = (m2 + 2m)x – 1 (d’)

a) Hai đường thẳng (d) và(d’) có thể trùng nhau khơng?

b)Tìm m để(d) và(d’) song song với nhau.

Bài 7: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng :
y = -2x +3 (

d

1)

y = 3x – 2 (

d

2) đồng qui trong mặt phẳng tọa độ.
y = kx – k – 5 (

d

3)

Bài8: Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(2;3), B(-1;-3), C(0;-1).
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng AB;

b) Chứng tỏ ba điểm A, B, C thẳng hàng
Bài9: Cho các hàm số sau:

y = -x -5 (

d

1)

y = 3x + 7 (

d

2)

a) Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Gọi giao điểm của đường thẳng (

d

1) và (

d

2) với trục Oy lần lượt
là A và B. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB;

c) Gọi J là giao điểm của đường thẳng (

d

1) và (

d

2). Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vng. Tính diện tích 
tam giác đó.

Bài10: Cho hai đường thẳng:

y = (k-3)x – 3k +3 (

d

1)

y = (2k + 1)x + k +5 (

d

2) Tìm các giá trị của k để:
a) (

d

1) và (

d

2) cắt nhau;

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

d) (

d

1) và (

d

2) vng góc với nhau;
e) (

d

1) và (

d

2) trùng nhau.

Bài11: Cho hàm số: y = (m + 3)x + n (

m



3

) (d) 
Tìm giá trị của m, n để đường thẳng (d):

a) Đi qua hai điểm A(1 ; -3) và B(-2 ; 3)

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

1 

3

, cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ

3 

3

c) Cắt đường thẳng 3y – x – 4 = 0

d) Song song với đường thẳng 2x + 5y = - 1.
e) Trùng với đường thẳng y – 3x – 7 = 0.

Bài12: Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng:
(D1): y = x + 1, (D2): x + 2y + 4 = 0

a) Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và(D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán

b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A. Vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được.

c) Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A.

Bài13 Chứng minh rằng khi k thay đổi các đường thẳng sau luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.









)

1

2

1 )

1

3

2 a k

x

y

b y

k

x

k













Các bài tập trong đề thi vào PTTH của các năm:

Bài14: a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (2 ; 1) và (-1; 5)

b)Tìm tọa độ giao điểm của dường thẳng nói trên với trục tung và trục hoành.
Bài15: Cho hàm số y = (m - 2)x + m +3.

a) Tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.

b) Tìm điều kiện của m để đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3.
c) Tìm điều kiện của m để đồ thị của hàm số y = -x + 2, y = 2x – 1 và

y = (m – 2)x +m +3 đồng qui.

Bài16 : Cho hai điểm A(1 ; 1) và B(2 ; -1)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

b)Tìm giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m +2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua

điểm có tọa độ (0 ; 2).

Bài17: Cho hàm số y = (m - 1)x + m +2

a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị y = 2x – 1
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -3)

c) Tìm điểm cố định mà hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

d) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2 (đơn
vị diện tích).

Bài18: Cho hàm số y = (2m - 1)x + m -3
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm (2 ; 5)

b) Chứng minh rằng đồ thị hàm luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi, tìm điểm cố định ấy.
c) Tìm m để đồ thị cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x 2 1

Bài19 Tìm các giá trị của k để các đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm:

6

4

5 ;

1

4

3 x

y





y





y kx k



 

Bài20: Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy cho các đường thẳng

d1: y = x + m – 1 và d2: y = x + 3m + 5 tìm m để d1 cắt d2tại một điểm trên (P): y = x2.

II/ Hàm số y = ax2và đồ thị của nó

1.Hàm số y = ax2 ,(a0)

-Nếu a > 0 thì Hàm số y = ax2nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x >0

-Nếu a < 0 thì Hàm số y = ax2nghịch biến khi x > 0, đồng biến khi x <0

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- Đỉnh: O(0 ; 0);
- Trục đối xứng: Oy;

- Nếu a > 0: parabol quay bề lõm lên phía trên, nhận gốc tọa độ O(0;0) làm điểm cực tiểu.
- Nếu a < 0: parabol quay bề lõm xuốngphía dưới, nhận gốc tọa độ O(0;0) làm điểm cực đại.
3.Vị trí tương đối giữa parabol y = ax2 (

a



0

) và đường thẳng y = mx + n

Tọa độ giao điểm của parabol y = ax2 (a0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ phương trình:

ax

mx n y

y

 









Phương trình các hoành độ giao điểm là ax2 – mx – n = 0 (1)

a) Nếu phương trình (1) có

 

0

thì (1) có hai nghiệm phân biệt,đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt 
b) Nếu phương trình (1) có  0thì (1) có nghiệm kép,đường thẳng tiếp xúc với parabol ( đường thẳng có một 
điểm chung duy nhất với parabol và parabol nằm về cùng một phía của đường thẳng)

c) Nếu phương trình (1) có  0thì (1) vơ nghiệm ,đường thẳng không cắt parabol

Chú ý: Đường thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung với parabol nhưng không được gọi là tiếp xúc với parabol.

Bài21 : Cho parabol

4 x

y



và đường thẳng y = mx + n. Xác định hệ số m, n để đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 2)
và tiếp xúc với parabol. Tìm tọa độ giao điểm và vẽ đồ thị của parabol và đường thẳng.

Bài22: Cho parabol 
2

2 x

y



và đường thẳng y =

1

2

x + n
a) Tìm giá trị của n để đường thẳng tiếp xúc với parabol

b) Tìm giá trị của n để đường thẳng cắt parabol tại hai diểm phân biệt .

c) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol nếu n = 1 vẽ đồ thị của đường thẳng và parabol trong
trường hợp ấy.

Bài 23:Cho hàm số y = (m2 + 2m + 3)x2.

a) Chứng tỏ hàm số nghịch biến với mọi x < 0, đồng biến với mọi x > 0
b) Biết rằng khi

x



1 ì

th y



4

, tìm m.

Bài24 :Cho hàm số y = ax2.

a) Xác định hệ a, biết đồ thị hàm số đi qua điểm

4 2;

3 A















. Vẽ đồ thị với giá trị tìm được của a;
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt đồ thị hàm số tại điểm B có hồnh độ bằng -3.
Bài25: Cho hàm số y = (m2 - 6m + 12)x2.

a) Chứng tỏ hàm số nghịch biến trong khoảng (-2009 ; 0), đồng biến trong khoảng (0 ; 2009);
b) Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8 ; y = 2 và y = -2;

c) Khi m = 5 tính giá trị của y, biết

1

2

1 2,

1 2 à

1

2 x

 

x

 

v x







d) Tìm các giá trị của m khi x = 1, y = 5.

Bài26: Đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm A(-2 ; -2).

a) Xác định hệ số a.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.

c) Ngoài điểm A, trên parabol cịn có những điểm nào cách đều hai trục tọa độ?

Các bài tập có trong đề thi vàoPTTH 
Bài 27: Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P).

a) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18) và C( 2 ; -4)có thuộc đồ thị hay khơng?
b) Xác định giá trị của m để điểm D(m ; m – 3) thuộc đồ thị (P).

Bài 28: Cho hàm số 
2

2 x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Gọi A, B là hai điểm trên đồ thị có hồnh độ là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
c) Đường thẳng y = -x + m – 3 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hồnh độ của hai giao điểm

ấy. Tìm m để

2 2 2 2

1 2

4

1 2

x



x

 

x x

Bài 29: Cho hàm số

 

1

2 y



f x



x

a) Với giá trị nào của x hàm số nhận các giá trị 0 ; - 8 ;

1

9 

; 2.
b) A và B là hai điểm trên đồ thị của đồ thị có hồnh độ lần lượt là -2
và 1.Viết phươmg trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

Bài 30: Cho hàm số

 

3

2 y



f x



x

a) Hãy tính



2 ,



 

3 ;

 

5 ,

2

3 f



f



















b) Các điểm A(2 ; 6),









1 3

2;3 ,

4; 24 ,

;

4

2 B



C



D













có thuộc đồ thị hàm số không?

Bài 31: Cho hàm số y = f(x) = 2x2 – x + 1. Tính

 

1 0 ;

;

3

2 f











f





Bài 32: Cho hàm số

 

1

2 y



f x



x

a) Tính f(-1)

b) Điểm M( 2 ; 1)có nằm trên đồ thị hàm số khơng? Vì sao?

Bài 33: Cho hàm số

 

1

2 y



f x



x

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.

b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hồnh độ lần lượt là -2 ; 1. Viết phương trình đường thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại một

điểm.

Bài 34: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

y = (2m + 1)x – 4m – 1 và điểm A(-2 ; 3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng trên là lớn nhất.

Bài 35: Cho parabol y =
2

1

4 x

và đường thẳng y = mx +1 (d)

a) Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi A và B là hai giao điểm của (d) và (P) tính diện tích tam giác OAB theo m (O là gốc tọa độ)

Bài 36: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0) Tìm m sao cho chu vi tam giác 
ABC nhỏ nhất.

Bài 37: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng y = (m – 1)x + 2. 
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.

Bài 38: Cho parabol 
2

2 x

y



và điểm M(-1 ; 2).

a) Chứng minh rằng phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và
B với mọi giá trị của k.

b) Gọi xA, xB lần lượt là hoành độ của A và B tìm giá trị của k để





2 2

A B A B A B

x x  x x x x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bµi 41:Cho parabol (P)

1

4 y



x

và đờng thẳng d :

1

2.

2 y



x



a) Vẽ đồ thị (P), (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Gọi A, B là các giao điểm của (P) và (d); H, K lần lợt là hình chiếu của A, B trên Ox. Xác định tọa độ của hai
điểm A, B và tính diện tích tứ giác AHKB

Bµi 42:Cho parabol (P): y = ax2

a) Xác định a để (P) đI qua điểm M(-4;4).

b) Lấy điểm A(0;3) và điểm B thuộc (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB

Bµi 43: Cho hµm sè y = 2x2

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và tìm trên parabol (P) các điểm cách đều hai trục tọa độ
b) Tùy theo m, tìm số giao điểm của đờng thẳng y = mx - 1 với parabol (P).

c) Lập phơng trình đờng thẳng

 

 đI qua điểm A(0; -2) và có đúng một điểm chung với (P).

d) Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = -2x + 2009 sao (d) có đúng một điểm chung với
(P).

Bµi44: Cho parabol (P) : y = x2.

a) Tìm trên (P) hai điểm A và B sao cho tam giỏc OAB u.

b) Tìm trên (P) hai điểm M và N sao cho tam giác OMN cân tại O và có diện tích bằng 8.

Bi 45: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d) y = mx + 1 và parabol (P) y = x2.
a) Vẽ đờng thẳng (d) khi m = 1 và parabol (P).

b) Chứng minh rằng vớ mọi giá trị của tham số m, đờng thẳng (d) luôn đi quamột điểm cố định I và luôn cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

c) Gọi hoành độ của A và B lần lợt là x1;x2. Chứng minh rằng x1 x2 2.
d) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo m. Từ đó tìm m để độ dài đoạn thẳng
AB =

2 10

e) Tính hệ số góc của đờng thẳng OA theo x1và hệ số góc của đờng thẳng OB theo x2. Từ đó chứng minh

OA OB



.

f) Tìm giá trị tham số m để diện tích tam giác OAB bằng 2 (đơn vị diện tích).

g) Gäi H,K theo thø tù lµ hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại
I.

Bài 46:

1.Chứng minh r»ng 3 ®iĨm A (2 ; -1) B(-1 ; 5) và

2; 2 1

C

thẳng hàng.

2.Tỡm a, b để đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ là

3

2

, cắt trục tung tại điểm Q có tung độ
là 3. Vẽ đồ thị hàm số tìm đợc và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đờng thẳng PQ.

3.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(-1;1) và vng góc với đờng thẳng y = 2x - 1 tại một điểm nằm trên
đ-ờng phân giác của góc phần t thứ hai và thứ t.

Bài 47:Cho hàm số y = x2có đồ thị là parabol (P)và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm I(1;m+1)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

b) Chứng minh đồ thị (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
CHUYấN ĐỀ V:

PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I/ Kiến thức cơ bản

1. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

 Tìm điều kiện xác định

 Qui đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
 Giải phương trình vừa tìm được

 Loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định.

2. Giải phương trinh tích:

 Biến đổi phương trình về dạng A.B = 0 (A, B là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai) rồi giải phương

trình này để tìm nghiệm của phương trình đã cho.

3. Giải phương trình trùng phương:ax4 + bx2 + c = 0 (

a



0

)

 Đặt x2 = t, t0;

 Với mỗi giá trị tìm được của thỏa mãn điều kiện, t



0

, lại giải phương trình x2 = t.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 1: Giải phương trình:

a) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 b) x4 – 3x2 + 225 = 0 c) x4 – 8x2 - 144 = 0

d) x4 – 13x2 + 36 = 0 e) 16x4 + 7x2 – 9 = 0

Bài2 : Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu:
a)

70

3 x



x



b)

60

4

60

3

4 x

 

x



2 2

2

1 ;

)

1 x

d

x

















Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

1

1 x



















; b)

x



4 x

 

3 0



 



2 2

)

3 6 4

3 6 0

)

4 4 4

4

1 )

4 10 3

2

6

0 c x

x

d x

x

e x

x













 













Bài 4:
2

1 )

3

16 26 0

a

x

































3
3

1 )

6

2 b x

x



















Bài5: giải các phương trình sau :
a)2x3 – 11x2 + 2x + 15 = 0

b) (x – 1)x(x + 1)(x + 2) = 3

c ) (x + 1) (x + 4) (x2 + 5x + 6) = 24;

CHUYÊN ĐỀ VI:

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1. Kiến thức cơ bản:

Bước 1: Lập phương trình:

 Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn;

 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
 Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình vừa lập.
Bước 3: Chọ kết quả thích hợp và trả lời.
2. Bài tập

A. Dạng toán chuyển động

Bài 1: Một người đi từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, người đó đi theo đường khác dài hơn lúc đi 5 
km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h nên thời gian về thời gian đi là 40 phút. Tính quãng đường AB lúc đi?

Bài 2; Một ô tô đi từ A đến B. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 
50 km/h, thì đến B lúc 11 giờ trưa. Tính độ dài AB và thời điểm xuất phát tại A.

Bài 3: Một ô tô dời A lúc 6 giờ 15 phút, với vận tốc 50km/h, đến B ô tô nghỉ 1 giờ rưỡi rồi quay trở về A với vận 
tốc 40 km/h, ô tô đến A lúc 14 giờ rưỡi. Tính quãng đường AB?

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 5: Xe máy và ô tô khởi hành từ A đến B. Vận tốc xe máy 30km/h, ô tô là 45km/h. Sau khi đi được

3

4

quãng 
đường AB, ô tô tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường cịn lại. Tính qng đường AB, biết ơ tơ đến sớm hơn
xe máy 2 giờ 20 phút.

Bài 6: Bác An dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ bác An 
nghỉ 10 phút. Do đó để đến B đúng hẹn, bác phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của bác An?
Bài 7: Một ô tô dự định đi hết quãng đường AB dài 120 km trong một thời gian. Đi được nửa quãng đường AB thì 
xe nghỉ 3 phút, nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng đường còn lại. Tính thời gian
xe chạy?

Bài 8: Một tàu hỏa qua cái cầu dài dài 450 m mất 45 giây và qua cái cột mất 15 giây. Tính chiều dài và vận tốc của 
tầu.

HD: gọi chiều dài của tàu hỏa là x (m)đk (x > 0) ta có phương trình

450

45

15 x





Đs:x = 225m

Bài 9: Một ơ tơ đi từ Hà Nội đến Hải Phòng đường dài 100 km. Người lái xe tính rằng nếu tăng vận tốc thêm 10 
km/h thì đến Hà Nội sớm nửa giờ. Tính vận tốc của ơ tơ (nếu khơng tăng).

Bài 10; Một ca nơ xi dịng 30 km rồi ngược dịng 36 km. Vận tốc của ca nơ xi dịng lớn hơn vận tốc ca nơ 
ngược dịng 3 km/h. Tính vận tốc ca nơ lúc ngược dịng. (Biết rằng thịi gian ca nơ ngược dịng lâu hơn thời gian ca
nơ xi dịng 1 giờ).

Bài 11: Một ca nơ đi từ A đến B mất 5 ngày đêm và đi ngược lại mất 7 ngày đêm. Hỏi một bè nứa trôi tự do từ A 
đến B mất mấy ngày đêm?

Bài 12; hai bến sông A và B cách nhau 126 km. Một tàu thủy khỏi hành từA xi dịng về B. Cùng lúc đó có một 
đám bèo trôi tự do theo cùng chiều với tàu. Khi tàu về đến B, liền quay lại ngay và khi tàu về đến A, tính ra hết 16
giờ. Trên đường trở về A, khi còn cách A 28 km thì gặp đám bèo trơi trên. Tính vận tốc riêng của tàu thủy và vận
tốc của dòng nước?

Dạng2: loại tốn làm chung cơng việc- Tìm thời gian mỗi đơn vị làm một mình xong cơng việc

Bài 13: hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 gời 12 phút thì song. Nếu người thứ nhất làm trong 5 gời và 
người thứ hai làm trong 6 gời thì được

3

4

bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình bao lâu xây xong bức tường?
Bài 14: Hai vịi cùng chảy thì sau 5 giờ 50 phút sẽ đầy bể. Nếu để hai vòi cùng chảy trong 5 giờ rồi khóa vịi thứ 
nhất lại thì vịi thứ hai phải chảy trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Tính xem nếu mỗi vịi chảy một mình thì trong bao lâu
đầy bể?

Bài 15: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể trong 1 giờ được 3/10 bể. nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ , vòi thứ hai
chảy trong 2 giờ thì cả hai vịi chảy được 4/5 bể. Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể?

Bài 16: Hai máy bơm cùng làm việc thì bơm hết lượng nước cần bơm trong 3 giờ. Người ta cho máy thứ nhất bơm 
trong một giờ rồi chuyển làm việc khác, máy thứ hai làm trong 1 giờ 20 phút. Thì cả hai làm được 40% cơng việc.
Hỏi mỗi máy làm một mình thì bao lâu bơm hết lượng nước cần bơm?

Bài 17: Nếu hai người làm chung một công việc mất 3 giờ. Người thứ nhất làm được nửa công việc người thứ hai 
làm nốt cho tới khi hoàn thành cả thảy hết 8 giờ. Hỏi mỗi người làm riêng thì mất mấy giờ?

Bài 18: Để hồn thành một cơng việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ 2 được điều đi 
làm việc khác, tổ một hoàn cơng việc cịn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì bao lâu xong cơng việc đó?
Dạng tốn: Năng suất – phần trăm

Bài 19: Hai công nhân phải làm một số dụng cụ như nhau trong cùng một thời gian. Người thứ nhất mỗi ngày làm 
vượt định mức 3 dụng cụ, nên làm xong công việc trước thời hạn 2 ngày. Người thứ hai làm kém định mức mỗi
ngày 3 dụng cụ nên làm lâu hơn thời hạn 3 ngày. Tính số dụng cụ mỗi người được giao?

Bài 20: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ.Nhưng thực tế xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 
10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí

nghiệp phải làm theo kế hoạch?

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 22:Theo kế hoạch mỗi cơng nhân phải hồn thành 60 sản phẩm (sp) trong một thời gian nhất định, nhưng do cải
tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm được 2 sp. Vì vậy chẳng những đã hoàn thành kế hoạch
sớm 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Bài 23:theo kế hoạch một đội công nhân phải cưa 216 m3 gỗ trong một số ngày nhất định. Trong 3 ngày đầu tiên,

đội hoàn thành kế hoạch mỗi ngày, sau đó đội vượt mức kế hoạch mỗi ngày 8 m3và cưa được 232m3trước kế hoạch

thời gian 1 ngày. Hỏi đội cơng nhân đó phải cưa bao nhiêu m3 gỗ mỗi ngày theo kế hoạch?

Bài 24: Một người mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT)với 
10%đối với loại hàng thứ nhất,và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT đều là 9%đối với cả hai loại hàng thì
người đó phải trả tổng cộng là 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu khơng kể thuế VAT người đó phải trả bao nhiêu tiền cho
mỗi loại hàng?

Dạng 3: Tốn có nội dung số học, hình học, lí, hóa học

Bài 25:Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 
2 và số dư là124.

Bài 26: a)Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 55. Tìm hai số đó?

b)Một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số
đã cho

Bài 27Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 và nếu đổi chỗ hai 
chữ số cho nhau thì ta được số mới bằng

17

5

số ban đầu.

Bài28:Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1cm. Nếu tăng thêm cho chiều dài 1/4 của nó thì diện 
tích hình chữ nhật tăng thêm 3 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật lúc đầu

Bài 29: Một hình chữ nhật có chu vi 70m, nếu ta giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài 5m thì diện tích vẫn như 
cũ. Hãy tìm chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ấy?

Bài 30: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì 
diện tích tăng 45 m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Bài 31:Một vườn hình chữ nhật có diện tích 1200m2. Tính các kích thước của vườn đó, biết rằng nếu tăng chiều dài

thêm 5m và giảm chiều rộng 10m, thì diện tích vườn giảm đi 300m2.

Bài 32:a) Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m2. Tính cạnh đáy của thửa ruộng đó, biết rằng nếu tăng

cạnh đáy thêm 4m và giảm chiều cao tương ứng đi 1m thì diện tích của nó khơng đổi.
b) Một tam giác vng ABC có cạnh huyền dài 20cm và diện tích

S = 96 cm2(AB > AC). Tính hai cạnh AB, AC và đường cao AH

Bài 33:Một vườn hình chữ nhật có chu vi 450m. Nếu giảm chiều dài đi 1/5 chiều dài cũ, tăng chiều rộng lên 1/4 
chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật khơng đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của vườn.

Bài 34:Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác, có khối lượng riêng nhỏ hơn là 0,2g/cm3để được một

hỗn hợp có khối lượng riêng nhỏ hơn là 0,7g/cm3.Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Bài 35: Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5g kẽm. Nếu thêm 15g kẽm vào hợp kim này thì được một hợp 
kim mới mà trong hợp kim đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim.
Bài 36:Biết m kg nước giảm toC thì tỏa nhiệt lượng là Q = mt(kcal). Hỏi phải dùng bao nhiêu lít nước sơi100oC và

bao nhiêu lít nước 20oC để được 10 lít nước ở 40oC.

Dạng 4: Tốn luân chuyển – thêm bớt.

Bài 37:Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ hs được trao nhiệm vụ trồng 56 cây. Vì có 1 bạn trong tổ được 
phân công làm việc khác, nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây so
với dự định lúc đầu. Hỏi tổ hs đó có bao nhiêu bạn? biết rằng số cây phân cho mỗi bạn trồng đều bằng nhau.
Bài 38; Trong một buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh(cả nam và nữ) đã trồng được tất cả 80 cây. Biết 
rằng số cây các bạn nam trông được và số cây các bạn nữ trồng được là bằng nhau; mỗi bạn nam trồng được nhiều
hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số hs nữ của tổ?

Bài 39: Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 cn đi làm 
việc khác nên mỗi cơng nhân cịn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sp. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu cn? Biết rằng
năng suất lao động của mỗi cn như nhau.

Bài 40 : Tổng số công nhân của hai đội sản suất là 125 người. Sau khi điều 13 người từ đội thứ nhất sang đội thứ hai
thì số cơng nhân của đội thứ nhất bằng

2

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 41:Một tam giác có chiều cao bằng 0,75 cạnh đáy tương ứng. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm, cạnh đáy giảm 
2dm thì diện tích tăng thêm 8%. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác biết cạnh đáy có độ dài lớn hơn 10dm.
Bài 42: Tìm một số có hai chữ số, nếu chia số đó cho tổng hai chữ số được thương là 6. Nếu cộng tích hai chữ số 
với 25 thì được số đảo ngược

Bài 43:Tìm hai số lẻ liên tiếp, biết rằng tổng các bình phương là 514.

Các bài tập ra thêm

Bài44:Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc của ô tô giảm
10 km/h thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận tốc ơ tơ tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút.Tính vận tốc và thời
gian dự định của ơ tơ.

Bài 45:Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ.Thực tế xí nghiệp I vượt 10%, xí nghiệp II 
vượt mức15%, do đó cả 2 xn đã làm được 404 dc. Tính số dụng cụ mỗi xn phải làm theo kế hoạch.

Bài 45: Một khu vườn hình chữ nhật, chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài lên 3 lần thì chu 
vi của vườn sẽ là 162 m. Hãy tính diện tích của khu vườn ban đầu.

Bài 46: Một người đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định 45 phút nên người đó 
tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km. Tính vận tốc mà người đó dự định đi, biết rằng quãng đường AB dài 90 km.
Bài 47: Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định, đến khi làm việc hai xe phải 
điều đi làm việc khác, nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu.

Bài 48: Tìm hai số biết tổng hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 
đơn vị thì tích của chúng bằng105 đơn vị.

Bµi49: Tìm hai số biết hiệu bằng 10 và có tích b»ng 144.

</div>

tai lieu on thi vao lop 10 theo chu de mon dai so

2

3

2

3

2

2

3

2

2

3

<i>P</i>

















)

3 2 2

6 4 2

)

2

3

2

3

<i>a</i>

<i>A</i>

<i>b B</i>

















3



5



3



5



2

)

3

13

48

2

2

)

2

2

2

2

2

2

<i>a</i>

<i>A</i>

<i>b B</i>





















 









