Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT môn toán theo các chuyên đề

ÔN thi vo lớp 10 theo Chuyên đề

WWW.VNMATH.COM
Mục lục

Mục lục 1
Phần I: đại số 2
Chuyên đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức 2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. 2
Dạng 3: Bi toán tổng hợp kiến thức v kỹ năng tính toán 3
Chuyên đề 2: Phơng trình bậc hai v định lí Viét. 5
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
5
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm 5
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc
hai cho trớc.
6
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. 7
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trớc 8
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số 8
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số 9
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai 9
Chuyên đề 3: Hệ phơng trình 11
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: 11
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản v đa đợc về dạng cơ bản 11
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ 11
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc 11

Một số hệ bậc hai đơn giản: 12
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 12
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 13
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số 13
Chuyên đề 4: Hm số v đồ thị 14
Dạng 1: Vẽ đồ thị hm số
14
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 14
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng v parabol 15
Chuyên đề 5: Giải bi toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình. 15
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)
15
Dạng 2: Toán lm chung ln riêng (toán vòi nớc) 16
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. 16
Dạng 4: Toán có nội dung hình học. 16
Dạng 5: Toán về tìm số 16
Chuyên đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai.
17
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu.
17
Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức 17
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 17
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng 17
Dạng 5: Phơng trình bậc cao. 17
Phần II: Hình học 20
Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình. 20
Chuyên đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. .20
Chuyên đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hng, các đờng thẳng đồng quy. 22
Chuyên đề 4: Chứng minh điểm cố định 23
Chuyên đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng v chứng minh đẳng thức hình học 24

Chuyên đề 6: Các bi toán về tính số đo góc v số đo diện tích 25
Chuyên đề 7: Toán quỹ tích. 26
Chuyên đề 8: Một số bi toán mở đầu về hình học không gian 26

www.vnmath.com

2
Phần I: đại số



Chuyên đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bi 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
3x16x 14)
x2x
1
)7
x5
3x
3x
1
13)
x7
3x
6)
65xx
1
12)
27x

x3
5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2

Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bi 1: Đa một thừa số vo trong dấu căn.
22
x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c) 0);x (với
x
2
x b) ;
3
5
5
3
a)



Bi 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33

3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)





Bi 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57
1
:)
31
515
21
714
b)
6
1
)
3
216
28
632
( a)

Bi 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )


a

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

3

Bi 5: Rút gọn các biểu thức sau:
53
53
53
53
d)
65
625

65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1
1247
1
a)
















Bi 6: Rút gọn biểu thức:

10099
1

43
1
32
1
21
1
c)
34710485354b) 4813526a)









Bi 7: Rút gọn biểu thức sau:
4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1
d)

;
4a
a42a8aa
c)
1.a v 0a với,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a v 0b 0,a với,
ba
1
:
ab
abba
a)
22
22
24

Bi 8: Tính giá trị của biểu thức

a.)y)(1x(1xybiết , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biết , x2x9x2x16D d)
3;3yy3xxbiết , yxC c)
;1)54(1)54(x với812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
33
3
2









Dạng 3: Bi toán tổng hợp kiến thức v kỹ năng tính toán.
Bi 1: Cho biểu thức
21x
3x
P

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3 ).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bi 2: Xét biểu thức
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2






a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

4

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bi 3: Cho biểu thức
x1
x
2x2
1
2x2
1
C






a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với
9
4
x
.
c) Tính giá trị của x để
.
3
1
C

Bi 4: Cho biểu thức
222222
baa

b
:
ba
a
1
ba
a
M














a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
.
2
3
b
a

c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bi 5: Xét biểu thức
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2

















a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bi 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q










a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng l số nguyên.
Bi 7: Xét biểu thức


yx
xyyx
:

yx
yx
yx
yx
H
2
33

















a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H 0.
c) So sánh H với
H .
Bi 8: Xét biểu thức
.

1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A

a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu
200622007a
.
Bi 9: Xét biểu thức
.
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3x
M










a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng l số nguyên.
Bi 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2

x1
2x3
3x2x
11x15
P










a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P

c) So sánh P với
3
2
.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

5

Chuyên đề 2: Phơng trình bậc hai v định lí Viét.
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.

Bi 1: Giải các phơng trình
1) x
2
6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2
2x 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2 3 x
2
+ x + 1 = 3 (x + 1) ;
9) x

2
2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bi 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x
2
11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
17x + 12 = 0 ;
3) x
2
(1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x
2
2(1 + 2 )x + 1 +
3
2 = 0 ;
5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3 + 1)x
2
+ 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2

10x + 21 = 0.

Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bi 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 =
0 ;
5) x
2
(2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
2x (m 1)(m 3) = 0 ;
7) x
2
2mx m
2
1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2

2(2m 1)x
3 + m = 0
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
Bi 2:
a) Chứng minh rằng với a, b , c l các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm:
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm
phân biết:
x) (ẩn 0
cx
1
bx
1
ax
1







c) Chứng minh rằng phơng trình: c
2
x
2
+ (a
2

b
2
c
2
)x + b
2
= 0 vô nghiệm với a, b, c
l độ di ba cạnh của một tam giác.
d) Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:
(a + b)
2
x
2
(a b)(a
2
b
2
)x 2ab(a
2
+ b
2
) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bi 3:
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)

cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x
2
+ 2ax + 4b
2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)
x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

6
c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):

(3) 0
c
b
1
x
b
a
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac
1
x
cb
cb2b
ax
2
2
2

với a, b, c l các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bi 4:
a) Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a 0 v 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của

phơng trình bậc hai cho trớc.
Bi 1: Gọi x
1
; x
2
l các nghiệm của phơng trình: x
2
3x 7 = 0.
Tính:

4
2
4
1
3
2
3
1
1221
21
21
2
2
2
1
xxF ;xxE
;x3xx3xD ;
1x
1
1x

1
C
;xxB ;xxA








Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm l
1x
1
v
1x
1
21

.
Bi 2: Gọi x
1
; x
2
l hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
3x 1 = 0. Không giải phơng
trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
.
x4xx4x

3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x
x
B
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2
221
2
1
2
211
2
1

2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1
3
1

Bi 3:
a) Gọi p v q l nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phơng
trình hãy thnh lập phơng trình bậc hai với hệ số bằng số m các nghiệm của nó l
1p
q
v
1q
p

.
b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm l
2610
1
v
7210
1

.
Bi 4: Cho phơng trình x
2
2(m -1)x m = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
www.VNMATH.com

www.vnmath.com

7
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn
1
22
2
11
x
1
xy v
x
1
xy
.
Bi 5: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x

2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
B ;2x3x2x3xA









Bi 6: Cho phơng trình 2x
2
4x 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phơng
trình hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2

thoả mãn: y
1
= 2x
1
x
2
; y
2
=
2x
2
x
1

Bi 7: Cho phơng trình 2x
2
3x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng
trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:

1
2
2
2
2
2
1
1
22
11
x
x
y
x
x
y
b)
2xy
2xy
a)

Bi 8: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình
ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
















0.5x5xyy

xxyy
b) ;
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
a)
21
2
2
2
1
2
2
2
121
21
1
2
2
1
1
2
2

1
21

Bi 9: Cho phơng trình 2x
2
+ 4ax a = 0 (a tham số, a 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy
lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
21
2121
21
xx
y
1
y
1
v
x
1
x
1
yy

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô
nghiệm.
Bi 1:
a) Cho phơng trình (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép ny.
b) Cho phơng trình (2m 1)x
2
2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
a) Cho phơng trình: (m 1)x
2
2mx + m 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phơng trình: (a 3)x
2
2(a 1)x + a 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bi 2:
a) Cho phơng trình:


06mm
1x
x12m2
12xx
4x

2
224
2





.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phơng trình: (m
2
+ m 2)(x
2
+ 4)
2
4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x
2
= 0. Xác
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

8
định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.

Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả mãn

điều kiện cho trớc.
Bi 1: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện no của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện no của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm ny gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
x
2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
sao cho A = 2x
1
2
+ 2x
2
2
x
1

x
2
nhận
giá trị nhỏ nhất.
Bi 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
2(m + 1)x + m 3 = 0 ; (4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx
2
(m 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2

c) (m 1)x
2
2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2

+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2

d) x
2
(2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1
x
2
5(x
1
+ x
2
) + 7 = 0.
Bi 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x
2
+ 2mx 3m 2 = 0 ; 2x
1
3x
2

= 1
b) x
2
4mx + 4m
2
m = 0 ; x
1
= 3x
2

c) mx
2
+ 2mx + m 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2
+ 1 = 0
d) x
2
(3m 1)x + 2m
2
m = 0 ; x
1
= x
2
2

e) x
2
+ (2m 8)x + 8m

3
= 0 ; x
1
= x
2
2

f) x
2
4x + m
2
+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bi 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x
2
(2m 1)x 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để
phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho nghiệm ny gấp đôi nghiệm
kia.
b) Ch phơng trình bậc hai: x
2
mx + m 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai

nghiệm x
1
; x
2
sao cho biểu thức
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2
2
1
21



đạt giá trị lớn nhất. Tìm
giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx
2
(m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bi 5: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần v đủ để phơng trình có hai nghiệm m nghiệm ny
gấp đôi nghiệm kia l 9ac = 2b
2
.

Bi 6: Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng điều kiện cần
v đủ để phơng trình có hai nghiệm m nghiệm ny gấp k lần nghiệm kia (k > 0) l :
kb
2
= (k + 1)
2
.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Bi 1:
a) Cho phơng trình x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0. Xác định m để phơng trình có
hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 1 < x
1
< x
2
< 6.
b) Cho phơng trình 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0. Xác định m để phơng trình có
hai nghiệm phân biệt x
1

; x
2
thoả mãn: - 1 < x
1
< x
2
< 1.
Bi 2: Cho f(x) = x
2
2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

9
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) =
0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bi 3: Cho phơng trình bậc hai: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị no của tham số a, phơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bi 4: Cho phơng trình: x
2
+ 2(m 1)x (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 v một nghiệm lớn hơn
1.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bi 5: Tìm m để phơng trình: x
2

mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x
1
- 2 x
2
.

Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bi 1:
a) Cho phơng trình: x
2
mx + 2m 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của
phơng trình không phụ thuộc vo tham số m.
b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x
2
2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phơng
trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vo tham số
m.
c) Cho phơng trình: 8x
2
4(m 2)x + m(m 4) = 0. Định m để phơng trình có
hai nghiệm x
1
; x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các
nghiệm đối với hai số 1 v 1.
Bi 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)
2
x

2
(m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng
trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vo tham số m.
Bi 3: Cho phơng trình: x
2
2mx m
2
1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vo m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2
5
x
x
x
x
1

2
2
1

.
Bi 4: Cho phơng trình: (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải v biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
x
2
| 2.
Bi 5: Cho phơng trình (m 4)x
2
2(m 2)x + m 1 = 0. Chứng minh rằng nếu
phơng trình có hai nghiệm x
1
; x

2
thì: 4x
1
x
2
3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.

Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phơng trình ny có một nghiệm bằng k (k 0) lần một
nghiệm của phơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
ax
2
+ bx + c = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vo tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của
phơng trình (1), ta có thể lm nh sau:
i) Giả sử x
0
l nghiệm của phơng trình (1) thì kx
0
l một nghiệm của phơng trình

(2), suy ra hệ phơng trình:
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

10
(*)
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0








Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vo hai phơng trình (1) v (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (3)

ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) v (4) tơng đơng với nhau khi v chỉ khi hai phơng trình có cùng
1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm l rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với
nhau ta xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức l:







0
0
)4(
)3(

Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:

(4)(3)
(4)(3)
(4)
(3)
PP
SS
0
0

Chú ý: Bằng cách đặt y = x
2
hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2
ẩn nh sau:





c'ya'xb'
caybx

Để giải quyết tiếp bi toán, ta lm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x
2
.
- Kiểm tra lại kết quả.

-
Bi 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x
2
(3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
(9m 2)x + 36 = 0
Bi 2: Với giá trị no của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x 9 = 0; 6x
2
+ (7m 1)x 19 = 0.
b) 2x
2
+ mx 1 = 0; mx
2
x + 2 = 0.
c) x
2
mx + 2m + 1 = 0; mx
2
(2m + 1)x 1 = 0.
Bi 3: Xét các phơng trình sau:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2

+ bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c l điều kiện cần v đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm
chung duy nhất.
Bi 4: Cho hai phơng trình:
x
2
2mx + 4m = 0 (1)
x
2
mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một
nghiệm của phơng trình (1).
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

11
Bi 5: Cho hai phơng trình:
x
2
+ x + a = 0
x
2
+ ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị no của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bi 6: Cho hai phơng trình:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x

2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bi 7: Cho các phơng trình:
x
2
5x + k = 0 (1)
x
2
7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các
nghiệm của phơng trình (1).

Chuyên đề 3: Hệ phơng trình.
A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản v đa đợc về dạng cơ bản
Bi 1: Giải các hệ phơng trình

1815y10x
96y4x
6) ;
142y3x
35y2x
5) ;
142y5x

024y3x
4)
106y4x
53y2x
3) ;
53y6x
32y4x
2) ;
5y2x
42y3x
1)

Bi 2: Giải các hệ phơng trình sau:

5
6y5x

103y-6x
8
3yx
2-5y7x
4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
3)
;
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)

Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau

13.44yy548x4x2

72y31x5
5) ;
071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;
9
4y
5
1x
2x
4
4y
2
1x
3x
2) ;
1
2xy

3
2yx
4
3
2xy
1
2yx
2
1)
22
2
2


Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

12
Bi 1:
a) Định m v n để hệ phơng trình sau có nghiệm l (2 ; - 1).

32m3nyx2m
nmy1n2mx

b) Định a v b biết phơng trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm l x = 1 v x = -2.
Bi 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x y = m ; x = y = 2m ; mx (m 1)y = 2m 1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x (3m + 5)y = m 5 ; (2 - m)x 2y = - m
2
+ 2m
2.
Bi 3: Cho hệ phơng trình
số) thaml (m
4myx
m104ymx






a) Giải hệ phơng trình khi m =
2 .
b) Giải v biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên no của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y l các số nguyên dơng.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x

2
y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
(câu hỏi tơng tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên
một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bi 4: Cho hệ phơng trình:






5my2x
13mmyx1m

a) Giải v biện luận hệ theo m.
b) Với các giá trị nguyên no của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) m P = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x
2
+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho
M (x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).

e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm
trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bi 5: Cho hệ phơng trình:





12ymx
2myx

a) Giải hệ phơng trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) m x > 0 v y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) m x, y l các số nguyên.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) m S = x y đạt giá trị lớn nhất.

B - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
Ví dụ: Giải hệ phơng trình






28yx3yx
11xyyx
22

Bi tập tơng tự:

Giải các hệ phơng trình sau:
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

13

35yyxx
30xyyx
10)
5xyyx5
6yxyx
9)
yx7yxyx
yx19yxyx
8)
6yx
232yxyx
7)
31xyyx
101y1x
6)

17xy1yy1xx
81y1x
5)
133yxy3x
1y3xyx
4)
84xyyx
19yxxy
3)
2yxyx
4yxyx
2)
7xyyx
8yxyx
1)
22
2
22
2
22
22
22
22
22
22
22
22
22

Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phơng trình







x21y
2y1x
3
3

Bi tập tơng tự:
Giải các hệ phơng trình sau:

8x3yy
8y3xx
8)
y
3
x
1
2y
x
3
y
1
2x
7)

y
x
43xy
x
y
43yx
6)
x2y2xy
y2x2yx
5)
1yxyx
1yxyx
4)
x2yy
y2xx
3)
x2xy
y2yx
2)
3x1y
3y1x
1)
3
3
22
22
2
2
3
3

22
22
2
2















3x7yy
3y7xx
10)
x3yy
y3xx
9)
3
3
2
2

Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số
Giải các hệ phơng trình sau:
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

14

141y5y8x2x
61y3y8xx
15)
084y4xyx
084y4xyx
14)
5y3xxy
1yxxy
13)
02y3xxy
02y2xxy
12)
183y2x
362y3x
11)
40yx
53y2x
10)
0222
12
9)
02
0
8)
02
022
7)

1232
835
6)
05
0532
5)
4
01122
4)
452
442
3)
8
12
2)
03
01
1)
22
22
22
22
22
2
2
22
2
2
22
22

2
yxyyx
xyyx
yx
yx
xy
yx
yx
yxyx
yx
yxyx
xyxy
xyyx
xyxyx
xxxy
yxxy
yxyx
xyx
yx


Chuyên đề 4: Hm số v đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hm số
Bi 1: Vẽ đồ thị các hm số sau:
a) y = 2x 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bi 2: Vẽ đồ thị hm số y = ax
2
khi:
a) a = 2 ; b) a = - 1.

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng
Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1 ; 2) v B(- 2 ; - 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) v song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5.
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) v vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + 3.
d) (d) đi qua D(1 ; 3) v tạo với chiều dơng trục Ox một góc 30
0
.
e) (d) đi qua E(0 ; 4) v đồng quy với hai đờng thẳng
f) (): y = 2x 3; (): y = 7 3x tại một điểm.
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) v cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị di).

Bi 2: Gọi (d) l đờng thẳng y = (2k 1)x + k 2 với k l tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) no đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

15
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng v parabol
Bi 1:
a) Biết đồ thị hm số y = ax
2
đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a v vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A v B l hai điểm lần lợt trên (P) có honh độ lần lợt l 2 v - 4. Tìm toạ độ

A v B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB.
Bi 2: Cho hm số
2
x
2
1
y
a) Khảo sát v vẽ đồ thị (P) của hm số trên.
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) v tiếp xúc với (P).
Bi 3:
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y v đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bi 4: Cho hm số
2
x
2
1
y
a) Vẽ đồ thị (P) của hm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M v N lần lợt có honh độ l - 2; 1. Viết phơng trình
đờng thẳng MN.
c) Xác định hm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng
MN v chỉ cắt (P) tại một điểm.

Bi 5:
Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) v đờng thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k v b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) v B(0; - 1).
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1).
3)Vẽ (D) v (P) vừa tìm đợc ở câu 1) v câu 2).
4) Gọi (d) l đờng thẳng đi qua điểm






1;
2
3
C
v có hệ số góc m
a) Viết phơng trình của (d).
b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) v
vuông góc với nhau.

Chuyên đề 5: Giải bi toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.

Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)
Bi 1:
Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ.
Tính quãng đờng AB v thời gian dự định đi lúc đầu.

Bi 2:
Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau
khi đợc
3
1
quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng
còn lại. Tìm vận tốc dự định v thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến
B sớm hơn dự định 24 phút.
Bi 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại
ngợc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

16
khoảng cách giữa hai bến A v B. Biết rằng vận tốc dòng nớc l 5 km/h v vận tốc
riêng của canô lúc xuôi v lúc ngợc bằng nhau.
Bi 4:
Một canô xuôi một khúc sông di 90 km rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi
dòng sông nhiều hơn thời gian ngợc dòng l 2 giờ v vận tốc khi xuôi dòng hơn vận
tốc khi ngợc dòng l 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi v lúc ngợc dòng.
Dạng 2: Toán lm chung ln riêng (toán vòi nớc)
Bi 1:
Hai ngời thợ cùng lm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu ngời
thứ nhất lm trong 5 giờ v ngời thứ hai lm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ lm đợc
4
3
công việc. Hỏi một ngời lm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bi 2:
Nếu vòi A chảy 2 giờ v vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc

5
4
hồ. Nếu vòi A chảy trong 3
giờ v vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc
2
1
hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi
chảy trong bao lâu mới đầy hồ.
Bi 3:
Hai vòi nớc cùng chảy vo một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một
mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I l 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi
chảy một mình đầy bể?
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bi 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức
15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng
giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?.
Bi 2:
Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A v B l 4 triệu ngời. Dân số tỉnh A năm nay tăng
1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay l 4 045 000 ngời.
Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái v năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học.
Bi 1:
Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi l 280 m. Ngời ta lm lối đi xung quanh vờn
(thuộc đất trong vờn) rộng 2 m. Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong
vờn để trồng trọt l 4256 m
2
.

Bi 2:

Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều di lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện
tích tăng 500 m
2
. Nếu giảm chiều di 15 m v giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm
600 m
2
. Tính chiều di, chiều rộng ban đầu.
Bi 3:
Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm v 3 cm thì diện tích
tam giác tăng 50 cm
2
. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm
2
.
Tính hai cạnh góc vuông.
Dạng 5: Toán về tìm số.
Bi 1:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hng
chục v hng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

17
Bi 2:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hng đơn vị của nó v nếu số
cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng l 4 v số d l 3.
Bi 3:
Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi v mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng
4
1

. Nếu tử số thêm 7 v mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng
24
5
. Tìm phân số đó.
Bi 4:
Nếu thêm 4 vo tử v mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vo
cả tử v mẫu, phân số tăng
2
3
. Tìm phân số đó.

Chuyên đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai.

Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu.
Giải các phơng trình sau:
1
t
5t2t
t
1
t
t
c)
12x
3x
3
x
12x
b)
6

1x
3x
2x
x
a)
22















Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức.

2
BA
0B
BALoại
BA
0)(hayB 0A
BALoại

Giải các phơng trình sau:



3xx1x e)
9x32x1x d) 1x53x2x c)
145x3x2x b) 1x113x2x a)
2
2
2
2
22




Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giải các phơng trình sau:

3x44xx1x d) 4x xxx22xx c)
32xx12x2x b) 3xx1x a)
224224
22



Dạng 4: Phơng trình trùng phơng.
Giải các phơng trình sau:
a) 4x
4
+ 7x
2
2 = 0 ; b) x
4
13x
2
+ 36 = 0;
c) 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0 ; d) (2x + 1)
4
8(2x + 1)
2
9 = 0.
Dạng 5: Phơng trình bậc cao.
Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình
bậc hai:

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

18
Bμi 1:
a) 2x
3
– 7x
2
+ 5x = 0 ; b) 2x
3
– x
2
– 6x + 3 = 0 ;
c) x
4
+ x
3
– 2x
2
– x + 1 = 0 ; d) x
4
= (2x
2
– 4x + 1)
2
.
Bμi 2:
a) (x
2

– 2x)
2
– 2(x
2
– 2x) – 3 = 0 c) (x
2
+ 4x + 2)
2
+4x
2
+ 16x + 11 = 0

7.3xx53xxk) 6
3x2x
13x
35x2x
2x
i)
0
x
4
3
x
10
x
48
3
x
h) 02433x2x513x2x3 g)
064xx

104xx
21
f) 04
5xx
3x
x
5xx
e)
023
x
1
x16
x
1
x4 d) 03xx2x xc)
22
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
222



































Bμi 3:
a) 6x
5
– 29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
– 29x +6 = 0
b) 10x
4
– 77x
3
+ 105x
2
– 77x + 10 = 0
c) (x – 4,5)
4
+ (x – 5,5)
4
= 1
d) (x
2
– x +1)
4
– 10x
2
(x

2
– x + 1)
2
+ 9x
4
= 0
Bμi tËp vÒ nhμ:
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

8
23xx
22x
9x
32xx
d)
4x
2x
x
4
22x
c)
6
x
3x
1x
4x
b)
4
1
1x

3
1x2
1
a) 1.
2
2
2
2
2



















2.
a) x

4
– 34x
2
+ 225 = 0 b) x
4
– 7x
2
– 144 = 0
c) 9x
4
+ 8x
2
– 1 = 0 d) 9x
4
– 4(9m
2
+ 4)x
2
+ 64m
2
= 0
e) a
2
x
4
– (m
2
a
2
+ b

2
)x
2
+ m
2
b
2
= 0 (a ≠ 0)
3.
a) (2x
2
– 5x + 1)
2
– (x
2
– 5x + 6)
2
= 0
b) (4x – 7)(x
2
– 5x + 4)(2x
2
– 7x + 3) = 0
c) (x
3
– 4x
2
+ 5)
2
= (x

3
– 6x
2
+ 12x – 5)
2

d) (x
2
+ x – 2)
2
+ (x – 1)
4
= 0
e) (2x
2
– x – 1)
2
+ (x
2
– 3x + 2)
2
= 0
4.
a) x
4
– 4x
3
– 9(x
2
– 4x) = 0 b) x

4
– 6x
3
+ 9x
2
– 100 = 0
c) x
4
– 10x
3
+ 25x
2
– 36 = 0 d) x
4
– 25x
2
+ 60x – 36 = 0
5.
a) x
3
– x
2
– 4x + 4 = 0 b) 2x
3
– 5x
2
+ 5x – 2 = 0
c) x
3
– x

2
+ 2x – 8 = 0 d) x
3
+ 2x
2
+ 3x – 6 = 0
e) x
3
– 2x
2
– 4x – 3 = 0
6.
a) (x
2
– x)
2
– 8(x
2
– x) + 12 = 0 b) (x
4
+ 4x
2
+ 4) – 4(x
2
+ 2) – 77 = 0
c) x
2
– 4x – 10 - 3

6x2x  = 0 d)

03
2x
12x
4
2x
12x
2



















e)

5x5xx5x 

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

19
7.
a) (x + 1)(x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 24 b) (x + 2)
2
(x
2
+ 4x) = 5
c)
026
x
1
x16
x
1
x3
2
2















 d) 02
x
1
x7
x
1
x2
2
2
















8.
1xx1xx f) 3x2x14x4x e)
2x43xx d) 2x16x2x c)
1x9x2x b) 14x4xx a)
32322
32
22




9. §Þnh a ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm
a) x
4
– 4x
2
+ a = 0 b) 4y
4
– 2y
2
+ 1 – 2a = 0
c) 2t
4
– 2at
2
+ a
2
– 4 = 0.

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

20
Phần II: Hình học



Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình.
Bi 1:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. D v E lần lợt l điểm chính giữa
của các cung AB v AC. DE cắt AB ở I v cắt AC ở L.
a) Chứng minh DI = IL = LE.
b) Chứng minh tứ giác BCED l hình chữ nhật.
c) Chứng minh tứ giác ADOE l hình thoi v tính các góc của hình ny.
Bi 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có các đờng chéo vuông góc với nhau tại I.
a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đờng vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì
đờng vuông góc ny qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó.
b) Gọi M, N, R, S l trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS
l hình chữ nhật.
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ny đi qua chân các đờng vuông
góc hạ từ I xuống các cạnh của tứ giác.
Bi 3:
Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH l đờng cao. Hai đờng tròn đờng kính
AB v AC có tâm l O
1
v O
2
. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đờng tròn (O

1
) v
(O
2
) lần lợt tại M v N.
a) Chứng minh tam giác MHN l tam giác vuông.
b) Tứ giác MBCN l hình gì?
c) Gọi F, E, G lần lợt l trung điểm của O
1
O
2
, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4
điểm E, G, A, H.
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đờng nh thế no?
Bi 4:
Cho hình vuông ABCD. Lấy B lm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía trong hình
vuông.Lấy AB lm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P l điểm
tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A v C). H v K lần lợt l hình chiếu của P trên
AB v AD, PA v PB cắt nửa đờng tròn lần lợt ở I v M.
a) Chứng minh I l trung điểm của AP.
b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui.
c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH l hình thang cân.
đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB l đều.

Chuyên đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng
nằm trên một đờng tròn.
Bi 1:
Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt
(O'), (O) lần lợt tại các điểm E, F. Gọi I l tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF.

a) Chứng minh tứ giác OAO'I l hình bình hnh v OO'//BI.
b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đờng tròn.
c) Kéo di AB về phía B một đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

21
Bi 2:
Cho tam giác ABC. Hai đờng cao BE v CF cắt nhau tại H.Gọi D l điểm đối xứng của
H qua trung điểm M của BC.
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.Xác định tâm O của
đờng tròn đó.
b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 l I. Chứng minh rằng 5 điểm
A, I, F, H, E cùng nằm trên một đờng tròn.
Bi 3:
Cho hai đờng tròn (O) v (O') cắt nhau tại A v B. Tia OA cắt đờng tròn (O') tại C, tia
O'A cắt đờng tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OO'CD nội tiếp.
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một
đờng tròn.
Bi 4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC v BD
cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc AD. Gọi M l trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc.
b) Tia CA l tia phân giác của góc BCF.
c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc.
Bi 5:
Từ một điểm M ở bên ngoi đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng
tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD
AB, CE MA, CF MB.

Gọi I l giao điểm của AC v DE, K l giao điểm của BC v DF. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc.
b) CD
2
= CE. CF
c)* IK // AB
Bi 6:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn. Vẽ
hai đờng cao BD v CE.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA
DE.
Bi 7:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M.
Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N.
a) Chứng minh rằng tam giác AMN l tam giác đều.
b) Chứng minh rằng MA + MB = MC.
c)* Gọi D l giao điểm của AB v CM. Chứng minh rằng:
MD
1
MB
1
AM
1


Bi 8:
Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A v C. Một đờng tròn (O) thay đổi đi
qua B v C. Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia
AN cắt đờng tròn (O) Tại một điểm thứ hai l F. Hai dây BC v MF cắt nhau tại E.

Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc.
b) AD. AE = AF. AN
c) Đờng thẳng MF đi qua một điểm cố định.
Bi 9:
Từ một điểm A ở bên ngoi đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Gọi
M l trung điểm của AB. Tia CM cắt đờng tròn tại điểm N. Tia AN cắt đờng tròn tại điểm D.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

22
a) Chứng minh rằng MB
2
= MC. MN
b) Chứng minh rằng AB// CD
c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC l hình thoi. Tính diện tích cử hình
thoi đó.
Bi 10:
Cho đờng tròn (O) v một dây AB. Gọi M l điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đờng
kính MN Cắt AB tại I. Gọi D l một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đờng tròn (O) tại C.
a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp đợc
b) Chứng minh rằng tích MC. MD có giá trị không đổi khi D di động trên dây AB.
c) Gọi O' l tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD.
Chứng minh rằng
MAB =
2
1
AO'D.
d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hng v MA l tiếp tuyến của đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ACD.

Bi 11:
Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D
sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E
AD).
a) Chứng minh rằng AHEC l tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AB l tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC.
c) Chứng minh rằng CH l tia phân giác của góc ACE.
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH v cung nhỏ AH của
đờng tròn nói trên biết AC= 6cm,
ACB = 30
0
.
Bi 12:
Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC. Gọi A l Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC),
D l điểm thuộc bán kính OC. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.
a) Chứng minh rằng ADCF l tứ giác nội tiếp.
b) Gọi M l trung điểm của EF. Chứng minh rằng
AME = 2 ACB.
c) Chứng minh rằng AM l tiếp tuyến của đờng tròn (O).
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA v cung nhỏ AC của đờng
tròn (O) biết BC= 8cm,
ABC = 60
0
.
Bi 13:
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đờng tròn. Vẽ
đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H l tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với
đờng tròn (M) ( C, D l tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hng
b) Chứng minh rằng CD l tiếp tuyến của đờng tròn (O).

c) Tính tổng AC + BD theo R.
d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết
AOM = 60
0
.
Bi 14:
Cho tam giác vuông cân ABC (
A = 90
0
), trung điểm I của cạnh BC. Xét một điểm D
trên tia AC. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm tơng
ứng M, N, P.
a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hng.
c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần lợt l H, K. Tam giác HNK l tam giác
gì, tại sao?
d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC.

Chuyên đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hng, các đờng thẳng đồng quy.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

23
Bi 1:
Cho hai đờng tròn (O) v (O') cắt nhau tại hai điểm A v B. Đờng thẳng AO cắt
đờng tròn (O) v (O') lần lợt tại C v C'. Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) v (O')
lần lợt tại D v D'.
a) Chứng minh C, B, D' thẳng hng
b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp
c) Đờng thẳng CD v đờng thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp.

Bi 2:
Từ một điểm C ở ngoi đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ l đờng kính vuông
góc với AB. Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M, N.
a) Chứng minh rằng IN, JM v AB đồng quy tại một điểm D.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M, N đi qua trung điểm E
của CD.
Bi 3:
Cho hai đờng tròn ( O; R) v ( O'; R' ) tiếp xúc ngoi tại A ( R> R' ). Đờng nối tâm OO'
cắt đờng tròn (O) v (O') theo thứ tự tại B v C ( B v C khác A). EF l dây cung của
đờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đờng tròn (O') tại D.
a) Tứ giác BEFC l hình gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hng.
c) CF cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh ba đờng EG, DF v CI đồng quy.
d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O).
Bi 4:
Cho đờng tròn (O) v (O) tiếp xúc ngoi tại C. AC v BC l đờng kính của (O) v
(O), DE l tiếp tuyến chung ngoi (D
(O), E (O)). AD cắt BE tại M.
a) Tam giác MAB l tam giác gì?
b) Chứng minh MC l tiếp tuyến chung của (O) v (O).
c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh D, N, C thẳng hng.
d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB v OO.
Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK.

Chuyên đề 4: Chứng minh điểm cố định.

Bi 1:
Cho đờng tròn (O ; R). Đờng thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoi (O). Từ điểm
chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ
hai I, AB cắt IQ tại K.

a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp.
b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD.
c) Chứng minh IC l phân giác ngoi của tam giác AIB.
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn
đi qua điểm cố định.
Bi 2:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của
tia CA sao cho BM = CN.
a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A v D. Chứng minh rằng D cố định.
b) Tính góc MDN.
c) MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuông góc với MN.
d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN l lớn nhất.
Bi 3:
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

24
Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoi (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A v B. Tiếp
tuyến của (O) tại A v B cắt nhau tại C.
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K.
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định l O v H khi cát tuyến quay quanh M.
c) CH cắt AB tại N, I l trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN.
d) Chứng minh: IM.IN = IA
2
.
Bi 4:
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O. C l điểm chính giữa cung AB. M di động
trên cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN.
a) So sánh tam giác AMC v BCN.
b) Tam giác CMN l tam giác gì?

c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN l hình bình hnh.
d) Đờng thẳng d đi qua N v vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định.
Bi 5:
Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C v D. Điểm M tuỳ ý trên
d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I l trung điểm của CD.
a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đờng tròn.
b) Gọi H l trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB l hình gì?
c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định.
d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt tại E v K. Chứng minh
EC = EK.

Chuyên đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng v chứng minh đẳng thức
hình học.

Bi 1:
Cho đờng tròn (O) v dây AB. M l điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C.
a) Chứng minh MA
2
= MC.MD.
b) Chứng minh MB.BD = BC.MD.
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B.
d) Gọi R
1
, R
2
l bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD v ACD. Chứng
minh R
1
+ R
2

không đổi khi C di động trên AB.
Bi 2:
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R v một điểm M trên nửa đờng tròn
(M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của nửa đờng tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lợt
ở C v E.
a) Chứng minh rằng CE = AC + BE.
b) Chứng minh AC.BE = R
2
.
c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE.
d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB v CE cắt nhau tại F. Gọi H l hình chiếu
vuông góc của M trên AB.
+ Chứng minh rằng:
FB
FA
HB
HA
.
+ Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đờng tròn.
Bi 3:
Trên cung BC của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì. Các
đờng thẳng AP v BC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng:
PC
1
PB
1
PQ
1
.
Bi 4:

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

25
Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với
Ox tại A v cắt Oy tại hai điểm B, C. Chứng minh các hệ thức:
a)
222
a
1
AC
1
AB
1
.
b) AB
2
+ AC
2
= 4R
2
.

Chuyên đề 6: Các bi toán về tính số đo góc v số đo diện tích.
Bi 1:
Cho hai đờng tròn (O; 3cm) v (O;1 cm) tiếp xúc ngoi tại A. Vẽ tiếp tuyến chung
ngoi BC (B
(O); C (O)).
a) Chứng minh rằng góc OOB bằng 60
0

.
b) Tính độ di BC.
c) Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC v các cung AB, AC của hai đờng tròn.
Bi 2:
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một phía
của AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự l AB, AC, CB v có tâm theo
thứ tự l O, I, K. Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) ở E. Gọi M, N
theo thứ tự l giao điểm của EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K).
a) Chứng ming rằng EC = MN.
b) Chứng minh rằng MN l tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K).
c) Tính độ di MN.
d) Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn.
Bi 3:
Từ một điểm A ở bên ngoi đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB v AC với đờng tròn. Từ
một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P v Q.
a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác
APQ có giá trị không đổi.
b) Cho biết BAC = 60
0
v bán kính của đờng tròn (O) bằng 6 cm. Tính độ di của tiếp
tuyến AB v diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC v
cung nhỏ BC.
Bi 4:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I l tâm đờng tròn nội tiếp , K l tâm đờng tròn
bng tiếp góc A, O l trung điểm của IK.
a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng: AC l tiếp tuyến của đờng tròn (O).
c) Tính bán kính của đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.
Bi 5:
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. E l một điểm trên đờng tròn m AE >

EB. M l một điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB.
a) Chứng minh
AOM vuông tại O.
b) OM cắt đờng tròn ở C v D. Điểm C v điểm E ở cùng một phía đối với AB.
Chứng minh
ACM đồng dạng với AEC.
c) Chứng minh AC l tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM.
d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm v AEC l
3
2
. Tính AC, AE, AM, CM theo R.