CHUYEN DE CHUNG MINH BA DUONG THANG DONG QUY

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG</b>

<b>ĐỒNG QUY</b>

<b>Bài tập 1.13:</b>

Cho tam giác ABC dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền
ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai
đường thẳng ấy bằng 600_{, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.}

<b>Giải:</b>

<b>Bước 1: Phân tích bài tốn – Tìm tòi lời giải:</b>

GT: Tam giác ABC, MAB, NBC, PAC là các tam giác đều

Kl: a) MC = NA = PB

b)



 

 



0

. , , 60

<i>AM MC</i>  <i>MC BP</i>  <i>BP NA</i> 

<b>c) </b>

MC, NA, PB đồng quy

Đầu bài chỉ cho ta các tam giác đều nên ta phải tận

dụng triệt để các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng 60

0

do việc dựng tam giác đều để chứng minh bài toán.

- Để chứng minh các đoạn thẳng MC, NA, PB bằng nhau

có nhiều cách ta có thể gắn các đoạn thẳng vào các tam

giác để chứng minh các tam giác bằng nhau. Từ đó suy ra

các đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

còn lại.... Ở bài này ta thấy các đường thẳng này không

phải là các đường thẳng đặc biệt của tam giác nào nên ta

có thể sử dụng một số phương pháp khác như: đường

thẳng thứ 3 đi qua giao điểm của 2 đường thẳng còn lại,

phép quay ...

<b>2. Trình bày lời giải:</b>

<b>2.1:Cách 1: </b>Xét các tam giác bằng nhau

<b>* Chứng minh AN = MC = BP</b>
<b> </b>Xét hai tam giác ABN và MBC có:

AB = MB; BC = BN (Các cạnh của tam
giác đều)

<i>ABN</i> <i>MBC</i> _{( cùng bằng}600<i>ABC</i>₎
 _ ABN = _ MBC (c.g.c)  AN = MC (*)
Tương tự: _ ABP = _ AMC (c.g.c)

AB = AM; BC = BN (Các cạnh của tam giác
đều)

 
<i>BAP MAC</i>

( cùng bằng 600<i>BAC</i>₎
 BP = MC (**)

Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm).

<b>* Chứng minh </b>

   ₆₀0

<i>AKP PKC CKN</i>  

<b> </b>

_Trong



APC có <i>A C</i>1 2 <i>P P</i>1 2 1800

   

mà <i>P C</i>1  1




Trong _ PCK có <i>C C</i>1 2<i>P K</i>2 2 1800

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 600(<i>C</i>1<i>P</i>2)<i>K</i>2 1800

  

 600600<i>K</i> 2 1800  <i>K</i> 2 600

(1)

Tương tự: ABN = _ _ MBC  <i>N</i> 1 <i>C</i> 3 mà <i>N</i> 1<i>N</i> 2 600

 <i>N</i>2<i>C</i> 3 600 mà <i>C</i> 4 600

 NKC có _ <i>N</i> 2<i>C</i> 3<i>C</i> 4<i>K</i> 3 1800  <i>K</i> 3 600 (2)

Tương tự: _ AC N = _ PCB  <i>P</i>2 <i>A</i>2 mà  

0
2

1 60

<i>P P</i> 
 <i>P A</i>1 2 600 mà 

0

1 60

<i>A</i>  _{ Trong}__{AKP có}<i>K</i> ₁ 600₍₃₎

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh

<b>* Chứng minh AN. MC, BP đồng quy</b>

Giả sử MC  BP = K ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng

Theo chứng minh trên ta có: <i>K</i> 2 60 ,0 <i>K</i> 3 60 ,0 <i>K</i> 1600  <i>K</i> 1<i>K</i> 2<i>K</i> 3 1800

 A,K,N thẳng hàng

Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm)

<b>2.2.Cách 2</b>: Dùng phương pháp biến hình

<b>* Chứng minh MC = NA = BP</b>

Do các tam giác thuộc miền
ngoài cua tam giác ABC là tam giác
đều nên ta có thể dùng phép quay.
Q (A, 600_{): M}__B

C _ P



MC _ BP
 MC = BP (1)
Q (B, 600_{): N}



</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 NA = CM (2)

Từ (1) và (2) ta có: MC = NA = BP (đpcm)

<b>* Chứng minh </b>



<i>AM MC</i>.

 

 <i>MC BP</i>,

 

 <i>BP NA</i>,



600<b>.</b>

Do phép quay Q ( A,600_{) : MC}__{BP }



<i>MC BP</i>,



600

Q (B, 600_{) : NA}



CM  <b>( , ) = </b>600
Tương tự: Q (C, 600_{) : BP}



NA  ( , ) = 600
vậy góc tạo bởi các đường thẳng AN, MC, BP bằng 600_{. (Đpcm)}

<b>* Chứng minh ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.</b>

Gọi K = MC  BP (1) ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng

 <i>MKB</i> 600_mà

<i>MAB</i>





60

0 ___{MAKB nội tiếp}



<i>AKB</i>₌<i>ABM</i>_{= 60}0_{( cùng chắn cung}

<i>AM</i>

).
Tương tự ta có tứ giác BKCN nội tiếp

<i>BKN</i> <i>BCN</i> 600(cùng chắn cung <i>CN</i> )

 <i>AKN</i> ₌<i>_AKB</i>₊<i>_MKB</i> ₊<i>BKN</i> _600_{+ 60}0_{+ 60}0_{= 180}0
Do đó A, K, N thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) ta có MC  BP  NA = K
Vậy MC, NA, BP đồng quy (đpcm).

<b>2.3. Cách 3: </b>Dùng các đường tròn ngoại
tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Gọi O, I, H lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
AMB, BNC, CPA.

Ta có (AMB) và (BNC) có điểm chung là B nên hai đường trịn này có một
điểm chung nữa. Gọi K là điểm chung thứ 2 (K có thể trùng với B).

 _ AMBK và _ BNCK nội tiếp

 <i>AMB</i>₊<i>AKB</i>₌1800_và<i>_{BKC BNC}</i> ₁₈₀0

 

Mà <i>AMB BNC</i>  600  <i>AKB BKC</i> 1800 600 1200
Mặt khác :<i>BKN</i> <i>BCN</i> 600_{(cùng chắn cung}<i>CN</i> ₎

 <i>AKN</i>₌<i>_AKB</i>₊<i>_BKN</i> _{= 120}0 _{+ 60}0 _{= 180}0

Do đó A, K, N thẳng hàng. (1)

Tương tự: <i>CKB</i> ₌<i>_CAP</i> _{= 60}0_{( cùng chắn cung}<i>_CP</i> _).
 <i>BKP</i> ₌<i>BKC</i>₊<i>CKP</i> _{= 120}0 _{+ 60}0 _{= 180}0

Do đó B, K, P thẳng hàng (2)

Do <i>AKB</i>₌<i>BKC</i>_{= 120}0_<i>_AKC</i>_{= 120}0_mà<i>_APC</i>_{= 60}0_nên

 AKCP
nội tiếp đường tròn tâm H.

<i>AKB</i>₌<i>ABM</i>_{= 60}0_{( cùng chắn cung}

<i>AM</i>

).

 <i>MKC</i>₌<i>_MKA</i> ₊<i>_AKP</i>_{= 120}0 _{+ 60}0 _{= 180}0_{do đó M, K, C thẳng hàng}
(3)

Từ (1), (2), (3) ta co AM, NC, BP đồng quy tại K (đpcm).

Và <i>AKM</i> ₌<i>_MKB</i>₌<i>_BKC</i>_{= 60}0_{( Các góc tạo bởi hai trong ba đường}
thẳng AN, MC, BP).

<b>* Chứng minh AN = MC = BP</b>
<b> </b>Xét hai tam giác ABN và MBC có:

AB = MB; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)



</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

 _ ABN = _ MBC (c.g.c)  AN = MC (*)

Tương tự: _ ABP = _ AMC (c.g.c)  BP = MC (**)
Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm).

<b>2.4:Cách 4</b> : <b>Dùng các tứ giác nội tiếp đường tròn</b>
<b>* Chứng minh AN = MC = BP</b>

<b> </b>Xét hai tam giác ABN và MBC có:

AB = MB; BC = BN (Các cạnh của
tam giác đều)



<i>ABM</i> ₌<i>MBC</i> _{(cùng bằng}₆₀0 <i>_ABC</i>
 ₎

 _ ABN = _ MBC (c.g.c)  AN = MC (*)
Tương tự: _ ABP = _ AMC (c.g.c)

AB = AM; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)



<i>BAP</i>₌<i>MAC</i> _{(cùng bằng}₆₀0 <i>_BAC</i>

 ₎

 BP = MC (**)

Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm).

<b>*Chứng minh AN, MC, BP đồng quy và các góc tạo bởi hai đoạn</b>
<b>thẳng ấy bằng 600</b>

Gọi O = AN  MC

Ta có <i>C</i>1<i>N</i>2

 

(do _ ABN = _ MBC )  _ BNCK nội tiếp ( Hai đỉnh cùng
nhìn một đoạn thẳng dưới một góc khơng đổi)

 <i>O</i>1<i>B</i>2

 

= 600_{( góc nội tiếp cùng chắn cung NC)}
<i>O</i>2 <i>C</i>2 600

 

( góc nội tiếp cùng chắn cung BN)
Vì <i>O</i>1



= 600 _{nên góc tạo bởi AN và MC bằng 60}0_{. (1)}
Tương tự: ta có các tứ giác AOBM và AOCP nội tiếp
 <i>O</i>1 <i>O</i>2 <i>O</i>3 <i>O</i>4 <i>O</i>5 <i>O</i>6

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

 <i>O</i>1<i>O</i>2<i>O</i>6

  

=1800₌<i>BOP</i>_{ B, O, P thẳng hàng}

Vậy AN, MC, BP đồng quy
và <b>(, )=( , ) = ( , )= 600</b>

<b>4). Nhìn lại bài tốn và lời giải - Khai thác bài toán</b>

Qua cách giải số 1 và số 2 ta thấy việc chứng minh MC = NA = PB và
góc tạo bởi hai đoạn thẳng bằng nhau ấy bằng 600_{là để gợi ý cho việc}
chứng minh 3 đường thẳng này đồng quy  Ta có thể rút ngắn bài tốn
như sau:

<i><b>Bài 1</b>: Cho tam giác ABC dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC</i>
<i>thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh MC, NA, PB đồng quy.</i>

Qua cách giải số 3 ta có thể đưa ra bài toán khác nhưng với cách giải
vẫn vậy:

<i><b>Bài 2</b>: Cho tam giác ABC dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC và</i>
<i>có tâm lần lượt là O1, O2, O3. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp 3 tam</i>

<i>giác đều trên đều đồng quy tại một điểm.</i>

<b>MỘT SỐ BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐỒNG QUY</b>

<i><b>I. Một số phương pháp chứng minh các đường thẳng đồng quy</b></i>

1. Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác: 3
đường cao; 3 đường trung tuyến; 3 đường phân giác; 3 đường trung trực; 2
đường phân giác góc ngồi và 1 đường phân giác góc trong khơng kề;....

2.Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng nằm trên đường thẳng thứ 3.
3. Dựa vào định lí Cé va

Định lí Céva

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

AP, BQ, CR đồng quy 

PB QC RA

. . 1

PC QA RB  _.

<i><b>II. Một số bài tập chứng minh đồng quy</b></i>

<i><b>* Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác</b></i>
<b>Bài1:</b> Vẽ ra phía ngồi ABC các hình vng ABDE và ACFK. Chứng
minh rằng:

<i><b>a)</b></i> EK vng góc với trung tuyến AM của ABC và EK = 2AM.

<i><b>b)</b></i> Nếu I là đỉnh thứ tư của hình bình
hành EAKI thì I thuộc đường cao
AH của ABC.

<i><b>c)</b></i> CD = BI và CD  BI; BF = CI và
BF  CI.

<i><b>d)</b></i> CD, BF, AH đồng quy.
Hướng dẫn:

Chứng minh CD, BF, AH là 3 đường cao của IBC. Suy ra CD,
BF,AH đồng quy.

<i><b>*Sử dụng tứ giác nội tiếp</b></i>

<b>Bài 2:</b> Cho ABC nội tiếp đường tròn (O)
và có H là trực tâm. Gọi A', B', C' là điểm
đối xứng của H qua BC, CA, AB. Qua H,
vẽ đường thẳng d bất kì. Chứng minh rằng:
Các đường thẳng đối xứng của d qua các
cạnh của ABC đồng quy tại một điểm trên
(O).

Hướng dẫn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Chứng minh tứ giác A'B'C'I là tứ giác nội tiếp. Suy ra A'B'C'I là nội tiếp
(O).

Chứng minh I thuộc d3.

<i><b>*Áp dụng định lí Céva</b></i>

<b>Bài 3:</b> Gọi A', B', C' là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC với các
cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy.

Hướng dẫn:

Chứng minh

A'B B'C C'A

. . 1

A'C B'A C'B  _{ AA', BB',}

CC' đồng quy

<i><b>* Các phương pháp khác</b></i>

<i><b>Bài 4.</b></i> Cho hình thang ABCD (AB > CD). Gọi E là
giao điểm hai cạnh bên AD và BC; F là trung điểm
của AB. Chứng minh rằng: AC, BD, CF đồng quy.
Hướng dẫn:

<i><b>Bài 5:</b></i> Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao
AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là

trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB,

IC. Chứng minh PD, QE, RF

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Hướng dẫn</b>:

</div>

<!--links-->