Giup HS hoc tot phan Gioi han HS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (305.95 KB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỤC LỤC

STT Nội Dung Trang

1 Mục lục 1

2 Phần thứ nhất: Mở Đầu 2

3 1. Lý do chọn đề tài 2

4 2. Mục đích nghiên cứu 2

5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 4. Đối tượng nghiên cứu 3

7 5. Phương pháp nghiên cứu 3

8 6. Thời gian nghiên cứu 3

9 Phần thứ hai: Nội dung 3

10 Phần I: Giới hạn dãy số 3

11 A. Kiến thức cơ bản 3

12 B. Phương pháp giải toán 4

13 C. Các ví dụ 5

14 Bài tập tự giải 7

15 Phần II: Giới hạn hàm số 7

16 A. Kiến thức cơ bản 7

17 B. Phương pháp giải toán 8

18 C. Các ví dụ 9

19 Bài tập tự giải 12

20 Phần III: Hàm số liên tục 15

21 A. Kiến thức cơ bản 15

22 B. Phương pháp giải tốn 16

23 C. Các ví dụ 17

24 Bài tập tự giải 21

25 Phần ba: Kết luận 24

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phần thứ nhất: Mở Đầu

1. Lý do chọn đề tài :

I. Lý do pháp chế:

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục ở bậc học phổ thông.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh trung học phổ thông trong việc học tâp

bộ môn Đại số và Giải tích.

II. Cơ sở lý luận:

Kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và học hỏi một số giáo viên khác
III. Cơ sở thục tiễn:

Những thuận lợi và khó khăn trong q trình giảng dạy bộ mơn Đại số và Giải tích
và nhất là phần giới hạn.

2. Mục đích nghiên cứu:

Nhằm nâng cao nghiệp vụ chun mơn và rút ra kinh nghiệm trong q trình giảng
dạy.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
I. Nhiệm vụ:

Những nội dung chính của phần giới hạn:
- Giới hạn dãy số

- Giới hạn hàm số

- Hàm số liên tục của hàm số
II. Yêu cầu:

Học sinh nắm rõ các định nghĩa, các công thức tính giới hạn đã học
Học sinh nắm rõ các phương pháp đã học

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phương pháp tìm giới hạn hàm số

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số và chứng minh phương trình có nghiệm
Áp dụng để giải bài tập

4. Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh khối 11 bậc trug học phổ thông
5. Phương pháp nghiên cứu:

- Tham khảo tài liệu, mạng internet

- Thạm gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do Sở tổ chức, các buổi sinh hoạt HĐBM,
tổ chuyên môn.

6. Thời gian nghiên cứu:

Trong suốt q trình được phân cơng giảng dạy khối 11 bậc trung học phổ thông

Phần thứ hai: Nội Dung

PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:

a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vơ cực, nếu

un

có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:





lim un 0 hay un 0 khi n + .

n     

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô
cực (n ), nếu n

lim

 



u

n



a





0.

Kí hiệu:

 

lim n hay u khi n + .

n  u a  a  

 Chú ý: n

lim

 

 

u

n



lim

 

u

n .
2. Một vài giới hạn đặc biệt.

*
k

1 lim

0 , lim

0 , n

n





 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b) lim

 

0
n

q 

với q 1.

c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.

a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có :

*
n

v



u

n



w

n

n

  

và

 





 

lim vn lim wn a  lim u a
.
b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:









 



 

 

lim

u

n

v

n

lim

u

n

lim

v

n

a b





lim u vn. n lim .limun vn a b.

 





*
n

lim

, v

0 n

;

0 lim

n
n

n n

u

a

b

v



v



b

  





 





lim

u

n



lim

u

n



a u

,

n



0 ,a 0



4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có cơng bội q ,với q 1.

lim

1

n

u

S

q





5. Dãy số dần tới vơ cực:

a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực



un  



khi n dần tới vơ cực



n 



nếu
un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)=



hay un   khi n .

b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là   khi n  nếu lim



un



.Ký hiệu:
lim(un)=  hay un

  

khi n .

c) Định lý:

o Nếu :

 





*
n

lim

u

n



0 u



0 , n

  

thì

1 lim

n

u



o Nếu : lim

 

un  thì

1 lim

0

n

u



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1. Giới hạn của dãy số (un) với

 

n

P n

u

Q n



với P,Q là các đa thức:

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì rút

nk ra đơn giản và đi đến kết quả:

 

0
0

lim

u

n

a

b



o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(u
n)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(u

n)=.

2. Giới hạn của dãy số dạng:

 

n

f n

u

g n



, f và g là các biển thức chứa căn.

o Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

C. CÁC VÍ DỤ:

2

2 2 2

2

2
2

2 5 2 5

n 3 + + 3+ +

n

3n + 2n + 5 n n n 3

lim = lim lim =

1 8 7

7n + n - 8 1 8 7 +

-n 7 +

-n -n
n n

 

 

 

 

 

 

2

2 2

1 1

1+ + 4 1+ + 4

n

n + 1 + 4n n 1+ 4 5

lim = lim = lim = =

2

3n - 2 3 - 2 3 - 3 3

n
n

 

 

 

 

 

 

n
n
3.











2 2

2

2 2

n + 2n + 3 - n n + 2n + 3 + n n + 2n + 3 - n

lim n + 2n + 3 - n = lim = lim

n + 2n + 3 + n n + 2n + 3 + n

2

2
2

3 3

n 2 + 2 +

2n + 3 n 2

= lim = lim = lim = = 1

1+ 1

2 3

n + 2n + 3 + n n 1+ +2 3 + 1 1+ + +1

n n

 

 

 

 

 

 

n

Chú ý : n + 2n + 3 + n2 là biểu thức liên hợp
của n + 2n + 3 - n2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a.
2
2
7n -3
Lim
n 2
n
 
 


  b.

2
2
2n
Lim
n 2
 
 


 . c. 2

1
Lim
n 1
 
 


  d.

3n
Lim
2n 1
 
 

 
Bài giải:
a.

n n 1

Lim Lim Lim 1

1 1

n 1 n 1 1

n n

 
  
      
   
   
    .
b.
2
2
2
2
2n 2

Lim Lim 2

2
2 1
n 1
n
n
 
  

 
  .
c.
2
2 2
2
2

2 2
1 1
n

1 n n

Lim Lim Lim 0

1 1

n 1 n 1 1

n n
   
   
       
 
    
   
   
    .
d.

3n 3n 3 3

Lim Lim Lim

1
1

2n 1 n 2 2 2

n
n
 
  
 
  
   
 
  .

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a.
3n-1
Lim
2n 1
 
 


  b.

2
2

n 2 n 3

Lim

2n n n

   

 

   

  c. 2

2n n 3
Lim

n n 1

  
 
   
 
d.



 





 



1 2 1

Lim

3 2 3

n n
n n
 
 
. e.
2
2
7n -3
Lim
n 2
n
 
 


  f.

3
3

6n -2n 1
Lim

2n n 1

  

 

 

 

Bài 3. Tính các giới hạn:





Lim n   n 1 n

b.
1 2
Lim
1 2
n
n
  
 


  c.

3 4
Lim
3.4 2
n n
n n
  
 


 
Bài giải.







 











2 2
2
2 2
2 2

n n 1 n n n 1 n n 1

. Lim n n 1 n Lim Lim

n n 1 n n n 1 n

1 1

n 1 1

n n

Lim Lim

1 1 1 1

n 1 1 1 1

n n n n

a            

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>







 







2 2

2
2

n n n n n n n

. Lim n n n Lim Lim

n n n

n 1 1

Lim Lim

1 1

n 1 1 1 1

n n

b        

 
 

  

   

   

   

   

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính các giới hạn sau:

2 2 3 2

2 2 3

5 3 2 3 2

5 2 2

2 2 3 2

3 4 4 2

3n +5n+4 6 + 3n - n 2n - 4n +3n+7

1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;

2 - n 3n + 5 n -7n+ 5

2n - 6n+ 9 2n 1- 5n n 3n

4)lim ; 5)lim + ; 6)lim - ;

1- 3n 2n +3 5n+1 n +1 3n+1

n - n+3 -2n + n+ 2 n - n sinn - 1

7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;

n +3n 3n +5 2n - n +7

10)

   

   

   

2
2

2
3

(2 1)( 2) 5 5 1

17) ; 18) ;

2 3 1 (5 2)( 4)
( )(2 1)

19)

2 2 4

2
4 2

2 6 2

2 6 5

2

1+ 4n+ 9n 2n - n+ 4 n - 2n+3

lim ; 11)lim ; 12)lim ;

1- 2n 2n - n +1 -2n + 3

2n - 1 n +3n - 3 4n - 1

13)lim ; 14)lim ; 15) lim ;

1- 3n 2n + n - 2 n+1

n n - 1 n n n n

16)lim ; lim lim

3n + 2 n n n n

n n n

lim
n

   

  3

2 2

3 3 2 2 2 2

2 3 3

2 1 2 3 5

; 20) ; 21) ;

3 1 3 7 6 9

1 1 3 2 3 4 1

22) ; 23) ; 24) .

2 3 1 27 3

n n n n

lim lim

n n n n n

n n n n n n n

lim lim lim

n n n n n

  

     

       

    

Bài 2. Tính các giới hạn:





















2 2 2 2

2

2 2 2 2

3 3 2 3 2 3

3n +1 - n - 1 2n +1 - n +1

1)lim n + n - n ; 2)lim ; 3)lim ;

n n+1

4)lim n +1 - n - 1 ; 5)lim( n + n - n +1 ); 7)lim n - 1( n+2 - n );
1

7)lim ; 8)lim n - 2n - n ; 9)lim n - n + n .

n n+1 - n - 1

PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới
hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xnK và xn



a ,

n

  

mà 
lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:

 

lim

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:

a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: 

 



 





















lim

, lim

x a

f x

L

x a

g x

M

thì:

 

  



















 













lim

x a

f x

g x

x a

f x

x a

g x

L M

   

 

  





























lim

.

lim

.lim

.

x a

f x g x

x a

f x

x a

g x

L M

 


























lim

, M 0

lim

x a
x a

x a

f x

L

M

g x

 

 















lim

;

0,

0

x a

f x

x a

f x

L f x

L

c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ
điểm a), g(x)f(x)h(x)

 

x K x a

,



và

 

lim

x a





g x







x a





h x





 

L

x a





f x







L

.
2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có
lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vơ cực khi x dần tới a, kí hiệu:

 

lim

x a





f x

 



b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) =  đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới
hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:

lim

x 





f x

 

 



L

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a
*

n

  

, thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :x a

lim

 





f x

 





. Nếu
chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a

n

  

thì ta nói hàm số có giới hạn bên 
trái tại a , kí hiệu: x a

lim

 





f x

 





B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN:

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

1. Giới hạn của hàm số dạng:

 

0 lim

0

x a

f x

g x



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.

2. Giới hạn của hàm số dạng:

 

lim

x

f x

g x

 

















Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x  thì coi như x>0,
nếu

x

  

thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.

3. Giới hạn của hàm số dạng:  

    













lim

.

0.

x

f x g x

.

Ta biến đổi về dạng:

















4. Giới hạn của hàm số dạng:

lim

x 

f x

 

g x

 

-











 





Đưa về dạng:

 

lim

x

f x

g x

f x

g x

 





C. CÁC VÍ DỤ:

1.

 

2
2

x -2

-2 - 3 -2 + 2

x - 3x + 2

12

lim

=

= -

= -3

x - 2

-2 - 2

4



2.



 







2

x 2 x 2 x 2

x - 2 x - 1

x - 3x + 2

lim

= lim

= lim x - 1 = 2 - 1= 1

x - 2

   .Chia tử và mẫu cho (x-2).

3.























2







x 3 x 3 x 3

x +1 - 2

x +1 + 2

3x + 3

x +1 - 4

3x + 3

x +1 - 2

lim

= lim

3x - 3

x +1 + 2

3x + 3

3x - 3

x +1 + 2

  



1

2

Bài 1. Tính các giới hạn sau: (Tính trực tiếp)

Lim

x →2(2x+3)

Lim

x →−2

(

2x3+3x+4

)

2
2
x -1

2x + 3x+1
Lim

-x + 4x + 2


 

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

d. Lim

x →3

(

x −3

x2−9

)

e. x →−Lim3

(

x+3

x2−9

)

Bài giải.

a. Lim

x →2(2x+3)=2 .2+3=7





 

3
3

x -2Lim 2x + 3x + 4 = 2. -2 + 3 -2 + 4 = -6
c. Lim

x →−1

(

2x2

+3x+1

− x2+4x+2

)

2 .(−1)2+3 .(−1)+1
−(−1)2+4(−1)+2 =

0
−3=0

d. Lim

x →3

(

x −3

x2−9

)

=Limx →3

x −3

(x −3) (x+3)=Limx →3
1

x+3=

1
6

e. Lim

x →−3

(

x+3

x2−9

)

=Limx→ −3

x+3

(x −3) (x+3)=x → −Lim3

1
x −3=−

1
6

Bài 2. Tính các giới hạn sau: (dạng 00 nhân chia lượng liên hợp)

a. Limx →0

(

4x

√

9+x −3

)

b. x 0

1+ 2x - 1

lim( )

2x

 c. Lim

x →2

(

❑

√

2x −2
x −2

)

Bài gải.







 







x 0 x 0

x 0

4x 9 x 3 4 9 x 3

. Lim Lim Lim 24

9 x 3 9 x 3 9 x 3

a

 



   

 

  

 

     

 



 















x 0 x 0 x 0

x 0

1 2x 1 1 2x 1

1 2x 1 2x 1 1

b. Lim Lim Lim Lim

2x  2x 1 2x 1  2x 1 2x 1  1 2x 1 2



   

   

   

 

       

 



 























x 2 x 2 x 2

x 2

2x 2 2x 2

2x 2 2x 4 2 1

c. Lim Lim Lim Lim

x 2  x 2 2x 2  x 2 2x 2  2x 2 2



 

   

   

 

       

 

Bài 3. Tính các giới hạn sau: ( Dạng 00 chia đa thức)

a. Lim

x →3

(

x2+2x −15

x −3

)

b. x →−Lim1

(

2x2

+3x+1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài giải.
a. Lim

x →3

(

x2+2x −15

x −3

)

=Limx →3

(x+5)(x −3)

(x −3) =Limx →3(x+5)=3+5=8







 







2
2

x -1 x -1 x -1

1 1

2 x +1 x + 2 x +

2x + 3x +1 2 2 -1 1

Lim = Lim = Lim = =

x +1 x - 1 x - 1 -2 2

x - 1

  
   
   
     
 
 

Bài 4. Tính các giới hạn sau: (Dạng ∞∞ đưa x mũ lớn nhất của tử và mẫu làm 
nhân tử chung (rút nhân tử chung sau đó chia tử và mẫu cho x mũ lớn nhất)

a. x →− ∞Lim

(

3x-1

2x+1

)

b. 















 2x x x

3
x
2
x
Lim 2
2
x

c. x →Lim+∞

(

√

x+3

x2+x+1

)









3 2





1
2
1
Lim






 x x

x
x

x . e. 









 x 2

-7x
Lim 2
2 x
x

f. 













 2x 1

1
2x

-6x
Lim 3
3
x
x

Bài giải.
a.

x x x

1 1

x 3 3

3x-1 x x 3

Lim Lim Lim

1 1

2x 1 x 2 2 2

x x
        
   
 
   
       
 
    
   
   
   
b.
2

2 2 3 2

2
2

2 3

x x x

2 x 3 1 3

x 1 1 2

x x x

x 2 x 3 1

Lim Lim Lim

2x x x 1 x 1 1

x 2 2

x x x

x
x
     
   
   
   
       
  
 
       
     
   
   
c.
2
2 2
2
2
2 2

x x x

2 x 3 1 3

x 2

x x x

2x x 3

Lim Lim Lim 0

1 1 1 1

x x 1 x 1 1

x x x x

x
     
   
 
   
      
  
 
       
     
   
   
d.



 





 



2
2

x x x

1 1 1 1

x 1 2 1 2

x 1 2x 1 x x x x 1.2 2

Lim Lim Lim

2 3 2 3

3x 2 x 3 x 3 1 3 1 3.1 3

x x x x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2
2

2 2

x x x

3 3

x 7 7

7x -3x x x

Lim Lim Lim 7

2 2

x 2 x 1 1

x x

        

   

 

   

     

  

 

    

   

   

   

3 2 3 2 3

2 3 2 3

x x x

2 1 2 1

x 6 6

6x -2x 1 x x x x

Lim Lim Lim 3

1 1 1 1

2x x 1 x 2 2

x x x x

        

   

   

   

      

  

 

     

     

   

   

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các gới hạn

Bài 1: (Tính trực tiếp)

2
x -1

lim(x + 2x +1)

 2. lim(x+ 2 x +1)x 1 3.





2
x 3

lim 3 - 4x



4. x 1

x+1
lim

2x - 1

 ; 5.

2
5
x -1

x + x+1
lim

2x +3



Bài 2: (Tính giới hạn dạng

0của hàm phân thức đại số)













2 2

2
2

x 1 x 3 x 2

4 2

2 3

x 1 x 1 x 1

3 3 3 2

3 2

x 0 h 0 x 1

3 2

2
x 2

x - 1 x - 3 x - 3x+ 2

1)lim ; 2)lim ; )lim ;

x - 1 x + 2x - 15 x - 2

x - 1 x - x 1 3

4)lim ; 5)lim ; 6)lim - ;

x + 2x - 3 x - 1 1- x 1- x

x - 2 + 8 2 x+ h - 2x 2x - 3x +1

7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;

x h x - x - x+1

x + x - 2x - 8
10)lim

x

-  

  



 

 

 

3 2 3

2 1 2

x 3 x

2

x - 4x +4x - 3 8x - 1

; 11)lim ; 12)lim ;

3x + 2  x - 3x  6x - 5x+1

Bài 3: (Tìm giới hạn dạng

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2

x 0 x 1 x 7

2 2

x 1 x 6 x 3

2 3 2

2 2

x 2 x 0 x 1

x 1

x+4 - 2 x+3 - 2 2 - x - 2

1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;

x x - 1 x - 49

x - 2x - 1 x - 2 - 2 x - 2x+6 - x + 2x - 6

4)lim ; 5)lim ; 6)lim ;

x - 12x+11 x - 6 x - 4x+ 3

x +5 - 3 x +1 - 1 -x + 2x - 1

7)lim ; 8)lim ; 9)lim ;

x - 2 x + x x - x

2x - 1 - x

10)lim ;

x - 1

  

 x 0





x 2

2
2

x 0 x 1 x 2

x 1 x 1 x 3

1 x+ 2 - 2

11)lim 1+ x - 1- x ; 12)lim ;

x x+7 - 3

x+1 - 1 4 - x - 2 x+ 2 - 2x

13)lim ; 14)lim ; 15)lim ;

3 - 2x+9 9 - x - 3 x - 1 - 3 - x

2x+ 2 - 3x+1 4x+5 - 3x+5 x+1 - 3x - 5

16)lim ; 17)lim ; 18)lim ;

x - 1 x+3 - 2 2x+3 - x+6

 

  

Bài 4: (Tìm giới hạn dạng

0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và

bậc cao)

3 3 3

x 2 x 0 x 1

3 3 3 3 3

3

x 1 x 1 x 0

2

3 3

3

x -1 x 8 x 0

3
x 1

4x - 2 1- x -1 2x - 1 - 1

1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;

x - 2 x x - 1

x - 1 2x - 1 - x x - 1 + x+1

4)lim ; 5)lim ; 6)lim ;

x - 2 +1 x -1 2x+1 - x+1

x + x + x+1 9+ 2x - 5 5x+1 - 1

7) lim ; 8)lim ; 9)lim ;

x+1 x - 2 x

4x - 3 - 1

10)lim ; 11)li

x - 1

  



3 3

x 1 x 1

4x - 3 - 1 2 - x - 1

m ; 12)lim

x - 1 x - 1

 

Bài 5: (Tính giới hạn dạng

0 của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng)

3
2
x 2

3x 2 x 2

lim

x x 2

3

3 2

3 3

2

x 0 x 1 x 1

2 3

2
2

3

x 1 x 0

2 1+ x - 8 - x 2 5 - x - x +7 2x+ 2 - 7x+1

1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;

x x - 1 x - 1

2x - 1+ x - 3x+1 1- 2x - 1+3x

4)lim ; 5) ; 6)lim .

x
x - 2 + x - x+1

  



 

  

 

Bài 6: (Tính giới hạn dạng 


</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>











 





 



2

5 3 2 2

5 4 2 2 2

x + x x

2 3 2 2

2 2 2

x + x + x

2
x

2x -1 3x + x+1

-6x +7x - 4x+3 x+ x +2 3x

1) lim ; 2) lim ; 3) lim - ;

8x - 5x +2x -1 8x +5x+2 2x+1 4x

2x - 3 4x+7 x+ x +1 x+ x + x

4) lim ; ) lim ; ) lim ;

3x +1 10x +9 2x+ x+1 3x - x +1

4x -1

7) lim ; ) lim

4x +3
       
      
  
 
 
 
 
5 6
8
2

2
x x

2x + x -1 5x+3 1- x

; ) lim ;

1- x
x x -1

   9   
Bài 7: (Tính giới hạn dạng    của hàm số)









































2 2

x + x + x

2 2 2

x + x x

3

2 2 3 2 2

x x +

x +

3 3 2

x + x

1) lim x+1 - x ; 2) lim x + x+1 - x ; 3) lim x +1+ x -1 ;
4) lim 3x + x+1 - x 3 ; 5) lim 3x + x+1+ x 3 ; 6) lim 2x +1+ x ;

7)lim x + x - x +4 ; 8) lim x +1 - x ; 9) lim x +2x+4 - x - 2x+4 ;
10) lim x +3x - x - 2x ; 11) lim

      
       
    
 
  









2 2
x +

x 4x +9 +2x ; 12) lim x x +1 - x .

   

Bài 8: (Giới hạn một bên)

     
   









+ - 
-+ + 
-- + 
-+
2 2
2

x 0 x 2 x 3

2

5 4

x -1 x -2 x -2

2 2 2

2
x 2

x -1 x -1

3
2
x 1

x+ 2 x 4 - x x -7x+12

1) lim ; 2) lim ; 3) lim ;

x - x 2 - x 9 - x

3x+6 3x+6

x +3x+ 2

4) lim ; 5) lim ; 6) lim ;

x+ 2 x+ 2

x + x

x +3x+ 2 x +3x+ 2 x - 4

7) lim ; 8) lim ; 9) lim ;

x+1 x+1 x +1 2 - x

x - 1

10) lim ; 11)

x - 1

  
  


 
 
-2
2

2 3 x -3

x 1

1- x + x - 1 9 - x

lim ; 12) lim

2x +7x+3

x - x 



Bài 9: (Tính giới hạn dạng 0. của hàm số)





 

















+ +

3

2 2 x + 3

x 2 x -1

3

3 3 5 2

x - x + x

-x x x -1

1) lim x - 2 ; 2) lim x +1 ; 3) lim x+2 ;

x - 4 x -1 x + x

2x+1 3x+1 2x + x

4) lim x+1 ; 5) lim 1- 2x ; 6) lim x .

x + x+2 x +1 x - x +3

 

 

     

Bài 10: Gọi d là hàm dấu:

 

 


 
 


1 khi x 0
d x 0 khi x 0
1 khi x 0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tìm xlim d x , lim d x vµ lim d x0

 

x0

 

x0

 

(nếu có).

Bài 11: Cho hàm số

 



 




x khi x< -1
f x

2x 3 khi x 1.

Tìm xlim f x , lim f x vµ lim f x1

 

x1

 

x1

 

(nếu có).

Bài 12: Cho hàm số

 

  

  



 2

2 x 1 khi x -2
f x

2x 1 khi x 2.

Tìm  

 

 

 

 

 

    x 2

x 2 x 2

lim f x , lim f x vµ lim f x

(nếu có).

Bài 13: Cho hàm số

 

   



 


2

x 2x 3 khi x 2
f x

4x 3 khi x 2.

Tìm xlim f x , lim f x vµ lim f x2

 

x2

 

x2

 

(nếu có).

Bài 14: Cho hàm số

 

  




 



 




9 x khi -3 x<3

f x 1 khi x 3

x 9 khi x 3 .

Tìm xlim f x , lim f x vµ lim f x3

 

x3

 

x3

 

(nếu có).

Bài 15: Tìm giới hạn một bên của hàm số

 

 










 





2
2x 3

khi x 1
5

f x 6-5x khi 1<x<3
x-3

khi x 3
x 9

khi x1 vµ x 3 .

PHẦN II: HÀM SỐ LIÊN TỤC:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0
 (a;b) nếu: 0

 

lim

x x  f x   f x .Điểm x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

gián đoạn của hsố

o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 (a;b)

 

0 0 0

lim

x x

x x 



f x



x x 



f x







f x



f x





















o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục
tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.

o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục

trên khoảng (a;b) và

 

lim
lim

x a

x b

f x f a

f x f b






   




  

  



o Hàm số đa thức liên tục trên R

o Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

o Giả sử

 

   

 

 

  

 

0 0

y , .

: · , . .

· Ham so y lien tuc tai x neu g x 0.

f x y g x liên tục tại điểm x

Khi đó Các hàm số y f x g x y f x g x liên tục tại x

f x

ø á â ï ï á

g x

o Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b):

f(c) =

0

o Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x)
= 0 có ít nhất một nghiệm c  (a; b)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1. Hàm số liên tục tại điểm: y f x liêntụctại x

 

0  x xlim ( ) 0 f x f x( )0

Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm xota thực hiện các bước sau:
B1: Tính f(x0)

B2: Tính 0

lim ( )

x x f x ( trong nhiều trường hợp ta cần tính 0

lim ( )

x x f x



,

0

lim ( )

x x  f x

 )

B3: So sánh x xlim ( ) 0 f x với f x

 

0

B4: Rút ra kết luận

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) trên một khoảngta thực hiện như sau:

* Xét  x x hay x x0 (   0 , x x0 )
* Xét tại x x 0

B1: Tính f(x0)

B2: Tính 0

lim ( )

x x f x ( trong nhiều trường hợp ta cần tính 0

lim ( )

x x f x



,

0

lim ( )

x x  f x

 )

B3: So sánh x xlim ( ) 0 f x với f x

 

0

B4: Rút ra kết luận

* Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay khơng
3. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]:y = f(x) liên tục trên (a;b) và

lim ( )

( ), lim ( )

( )

x a

f x

f a

x b

f x

f b

 



4. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm:

Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như sau :
B1: Đặt y = f(x)  hàm số liên tục trên (a;b)

B2: Tính f(a), f(b)  f(a). f(b)<0

B3: Kết luận về sự có nghiệm của phương trình
C. CÁC VÍ DỤ:

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

Lim

x →1−

|x −1|

; c.

x 1Lim f(x) = ?

x 3, khi x 1
f(x)

2x-1, khi x 1




 






 e.

x -3Lim f(x) = ?
x 3

, khi x -3

f(x) x x 2

2x-1, khi x -3










  

 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Lim

x →1−

|x −1|

x2

+2x −3

x 1Lim f(x) = ?

x 3, khi x 1
f(x)

2x-1, khi x 1




 






 f.

x -3Lim f(x) = ?
x 3

, khi x -3

f(x) x x 2

2x-1, khi x -3










  

 



Bài giải.

1
Lim






x

x ;

1, khi x 1

1 1, 1

-(x-1), khi x 1

x

x  x x   

    




⇒Lim

x→1−

|x −1|=Lim

x →1−

(x −1)=0

b. x →1

+¿ |x −1|

x2+2x −3

Lim

1, khi x 1

1 1, 1

-(x-1), khi x 1

x

x  x x   

    




x →1+¿ 1

x+3=

1
1+3=

1
4
x →1+¿ x −1

(x −1)(x+3)=Lim¿

x →1+¿ |x −1|

x2+2x −3=Lim¿

⇒Lim

c. Limx →1−f(x)=Limx →1−(2x-1)=1

x →1+¿

(x+3)=4 .

x →1+¿

f(x)=Lim

Lim

e. x →Lim-3−f(x)=Lim

x →-3−(2x-1)=-7

x →-3+¿

(

x2x+3

+x+2

)

-3+3

(-3)2+(−3)+2=0

x →-3+¿f

(x)=Lim

Lim

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2 1

, khi x 1

( ) x

5x 3, khi x 1

x

f x









  

 b.

, khi x 1

( ) x-1

x 1, khi x 1

x x

f x

x

  






   



Tính các: x →1

+¿

Limf(x)

; Limfx →(x1)− ; Limf(x →x)1 ; f(1)?

Bài giải.

a1. x1+ tức là x>1, khi đó f(x)=2x −1

x .Vậy

x →1+¿

(

2x −x 1

)

2 . 1−1

1 =1

x →1+¿

f(x)=Lim

Lim

a2. x1- tức là x<1, khi đó f(x)=5x+3 . Vậy Lim

x →1−f

(x)=Lim

x →1−(5x

+3)=5. 1+3=8

Vậy

x →1+¿

≠Limf(x)

x→1−

⇒

Limf(x)

không tồn tại Limf(x)

x →1 . f(1)=5.(1)+3=8

b1. x1+ tức là x>1, khi đó f

(x)=x

+x −2

x-1 .

Vậy

x →1+¿

(x+2)=1+2=3

x →1+¿(x −1)(x+2)

x −1 =Lim¿

x →1+¿

(

x2+x −2

x-1

)

=Lim¿

x →1+¿

f(x)=Lim

Lim

b2. x1- tức là x<1, khi đó f

(x)=x2+x+1 .
Vậy Lim

x →1−f(x)=Lim

x →1−

(

x

+x+1

)

=(1)2+1 .(1)+1=3 .

Vậy

x →1+¿f

(x)=Lim

x→1−

f(x)=3⇒Lim

x →1 f(x)=3

Lim

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

2 1

, khi x 1

( ) x

1, khi x 1

x
f x









 

 b.

2 2

, khi x 1

( ) x-1

3, khi x 1

x x

f x

  






 



Bài giải.
a. Ta có

f(1)=1.
Limf(x)

x →1

=Lim

x →1

2x −1

x =

2 .1−1
1 =1
Do đó Limf(x)x1  (1)1

f

.
Vậy f(x) liên tục tại x0=1
b. Ta có

f(1)=3.

3
...
1

2
Limf(x)

1
1

x   







 x

x
x
Lim

x

Do đó

x −1, nêu x≥1
−(x-1), nêu x<1
+¿↔ x>1,|x −1|={

¿x →1¿

Vậy f(x) liên tục tại x0=1

Bài 4. Cho hàm số

2 2

, khi x 0
( )

2 1 , khi x 0

x x

f x x

a

 






  

 .

Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0.
Bài giải.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Limf(x)

x →0

=Lim

x →0

x2−2x
x =Limx→0

(x −2)=−2 .

Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi Limf(x)

x →0

=f(0)⇔2a+1=−2⇒a=−3

Bài 5. Cho hàm số

2 16

, khi x 4

( ) 4

2 1 , khi x 4

x

f x x

a

 




 

  

 .

Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4.
Bài giải.

Ta có
f(4)=2a+1

Lim

x →4 f(x)=Limx→4

x2−16
x −4 =Limx →4

(x+4)(x −4)

x −4 =Limx →4 (x+4)=4+4=8
Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi Lim

x →4 f (x)=f(4)⇔2a+1=8⇒a=

7
2

Bài 6. Cho hàm số

2 2

, khi x 1

( ) 1

1 , khi x 1

x x

f x x

a

  




 

  

 .

Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1.
Bài giải.

Ta có
f(1)=a+1

Lim

x →−1f

(x)=Lim

x → −1

x2− x −2
x+1 =Limx→ −1

(x+1) (x −2)

x+1 =Limx →−1

(x −2)=−1−2=−3

Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi Limx→-1f(x)=f(−1)⇔a+1=−3⇒a=−4
BÀI TẬP TỰ GIẢI

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

 

  
  
      
 

  



 
  
 

 
2
3
3
0 0
2
3
0 0

x 3x 2

x 1 víi x 2

1)f x x x 3 vµ g x tại điểm x R 2)f x x 2 tại điểm x =2;
x 1

1 với x=2

1
x 1

với x 0
với x 1

3)f x x 1 tại điểm x =1; 4)f x x tại điểm x =0;
0 với x=1

2 với x=1

1
5)f x | x | tại điểm x=0; 6)f x

 

  





    

 
  
 
 
    


0
2 2
0 0
2 2

0
1 x

với x 0

x tại điểm x =0;
1

víi x=0
2

x 1 víi x 1 x 4

víi x -2

7)f x 1 tại điểm x =-1; 8)f x x 2 tại điểm x =-2.

với x=-1

4 với x=-2
2

x 1với x 1 x 4 với x 2

9)f x tại điểm x =1; 10)f x

x 1 víi x>1 2

 




 

   
 
 
  
 

0
2 2

0 3 0

tại điểm x =2;
x 1 với x 2

x với x<0 4 3x với x -2

11)f x tại điểm x =0; 12) f x tại điểm x =-2.

x với x>-2
1 x víi x 0

Bài 2: xét tính liên tục của hàm số tại x0=1

 


    


 
   

  
  
3 2
2

x a víi x=1 x x 2x 2

víi x 1

1)f x x 1 ; 2)f x x 1 .

víi x 1

3x a víi x=1

x 1

Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3

 



 

  





2
2
2

a víi x=0
x x 6

f x víi x 3x 0 .

x 3x

b víi x=3

Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

 

x a khi x 0 x 2a khi x 0

a)f x ; b)f x .

x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0

   

 

 

    

 

Bài 5: Cho hàm số

 

x 3x 2

khi x 1
x 1

f x

a khi x 1

  




 
 .

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;
c) Tìm a để hàm số liển tục trên R.

Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 1: Chứng minh rằng:

a)Hàm số f(x)=x4 x22 liên tục trên R.

b)Hàm số

 

1
f x

1 x



 liên tục trên khoảng (-1; 1)

c)Hàm số f(x)= 8 2x 2 liên tục trên nửa khoảng

[ ; )

2  .

Bài 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:

 

x 3x 4 1

a)f x ; b)f x 1 x 2 x; c)f x x x 3 .

2x 1 x 2

 

        

 

Bài 3: Giải thích vì sao:

a)Hàm số f(x)=x sinx-2cos x+32 2 liên tục trên R.

b)Hàm số

 




x xcosx+sinx

g x liªn tơc trªn .

2 s inx+3 R

c)Hàm số

 







 2x 1 s inx-cosx   R

h x liên tục tại mọi điểm x k , k .
x s inx

Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:

 

 

 

  

  

 



 

2
2

x 1

a)f x ; b)f x x 2 x 3; c)f x x 1 s inx.

x 7x 10

Bài 5: Hàm số

 

 




 




x 8

víi x 2

f x 4x 8

3 víi x=2 có liên tục trên R ?

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

 





 

 

    

  



  

  

  

 

   



   

   



 



2 2

2
2

a x víi x 2

x x khi x 1 x víi x<1

1)f x ; 2)f x ; 3)f x ;

1 a x víi x>2
ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1

x 3x 2

2x a víi 0 x<1
x víi 0 x 1

víi x<2

4)f x x 2x ; 5)f x ; 6)f x

2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2
mx+m+1 víi x 2




Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số

   



 



  




2 2x 1 2x 2

khi x > 1
x 1

f(x)

mx khi x 1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Phần thứ ba : Kết Luận

Đối với các bài tốn có liên quan đến phần giới hạn trong khi giảng dạy giáo viên
cần :

- Nhắc lại các công thức đã học

- Nêu lại các định nghĩa và các giới hạn đặc biệt
- Nêu lại phương pháp giải đối với từng dạng bài tốn

* Kiến nghị :

- Thời gian phân phối chương trình cịn ít, cần tăng thêm thời gian luyện tập cho
học sinh.

- Cần bổ sung thêm hệ thống bài tập vừa sức với học sinh.

</div>

Giup HS hoc tot phan Gioi han HS

<b>Phần thứ nhất: Mở Đầu</b>

<b>Phần thứ hai: Nội Dung</b>

<i>un</i>





lim



<i>u</i>



<i>a</i>





0.

 

lim

 

<i>u</i>



lim

 

<i>u</i>

1

1

lim

0 , lim

0 , n

n





 

 

v



<i>u</i>



<i>w</i>

n

  

 





 









 



 

 

lim

<i>u</i>

<i>v</i>

lim

<i>u</i>

lim

<i>v</i>

<i>a b</i>





 

 





lim

lim

, v

0 n

;

0

lim

<i>u</i>

<i>u</i>

<i>a</i>

<i><sub>b</sub></i>

<i>v</i>



<i>v</i>

