Phát triển năng lực toán học cho học sinh phổ thông qua bài toán xác định số nghiệm của phương trình dựa vào tương giao của đồ thị các hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CỬA LỊ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH PHỔ THƠNG
QUA BÀI TỐN XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO
TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực mơn: Tốn


Cửa lò - 2021


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Giới hạn của đề tài
5. Nhiệm vụ của đề tài
6. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng
II. Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra
III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả

IV. Cơ sở lý luận
1. Năng lực tốn học
2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực tốn học cho h ọc sinh
3. Tiêu chí hành động mà học sinh thực hiện được
4. Một số kiến thức cơ sở trong đề tài
V. Nội dung đề tài
y = f ( x)
1. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
, xét
f ( x) = a f ( u ( x) ) = a a
các bài tốn liên quan đến phương trình có dạng
,
.(
a = g ( m)
là hằng số hoặc
là tham số)
y = f ( x)
2. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
, xét
f ( x ) = a; f ( x) = a;
các bài toán liên quan đến phương trình có dạng
f u ( x) = a ; f ( u ( x ) ) = a. a
a = g ( m)
( là hằng số hoặc
là tham số)
y = f ( x)
3. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
, xét
các bài tốn liên quan đến phương trình có dạng
f ( x) = g ( x) ; f ( u ( x) ) = g ( v( x) )

.
y = f ( x)
4. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
, xét
các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa
f ' ( x ) ; f '' ( x ) ...
.

(

)


5. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
các bài toán liên quan đến phương trình có dạng
f ( x ) = 0; f ( u ( x ) ) = 0; f ( x ) = g ( x ) ; f ( u ( x ) ) = g ( v ( x ) ) ...
6. Bài toán cho biết số nghiệm của phương Drinh
f ' ( x ) ; f '' ( x ) ...
liên quan đDn phDDng trình có chDa
.
7. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện
PHẦN III. KẾT LUẬN
I. Những kết luận
II. Những kiến nghị đề xuất

f ( x) = 0

y = f '( x )

, xét

, xét các bài toán

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I.Lý do chọn đề tài:
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể “năng lực là thuộc
tính
cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập,
rèn
luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành
cơng
một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ
thể”.
Trong quá trình giảng dạy, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi
ln ý thức tìm tòi nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân nhận thấy
rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám
phá những điều chưa biết. Để có một bài giảng thu hút được học sinh, giúp
học sinh phát triển năng lực tốn học địi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tịi, cập
nhật các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học
sinh. Dạy học dựa trên phát triển năng lực là chìa khóa để nâng cao chất
lượng dạy và học. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh
chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp
các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp
với đặc điểm cá nhân. Thông qua dạy học nội dung xác định số nghiệm của
phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số, học sinh cần hình
thành và phát triển được năng lực tốn học, biểu hiện tập trung nhất của
năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau:
Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình hóa tốn học;

năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp tốn học; năng lực
sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán.
Các bài toán xét số nghiệm của phương trình liên quan đến dạng hàm ẩn,
hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gây nhiều khó khăn cho học sinh trong
quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết. Vì vậy, tơi viết đề tài nghiên cứu
cho sáng kiến của mình:
“Phát triển năng lực tốn học cho học sinh phổ thơng qua bài tốn xác
định số nghiệm của phương trình dựa vào tương giao của đồ thị các hàm
số.”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài tốn tìm số
nghiệm của phương trình dựa vào tương giao của đồ thị các hàm số .
Phát triển năng lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư duy và lập
luận toán học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán
học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học
tốn. Đặc biệt, đối với học sinh lớp 12 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để
ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2020.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Học sinh lớp 12 THPT.
- Giáo viên giảng dạy toán bậc THPT.
IV. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU.
Quá trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh khác
nhau để hồn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà học
sinh thường gặp. Trao đổi chun mơn cùng q Thầy, Cơ mơn Tốn trong
tổ, ngồi trường và trên các diễn đàn toán học.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn liên quan đến xác định số
nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị các hàm số,
phương pháp dạy học theo phát triển năng lực.Trao đổi với đồng nghiệp để

đề xuất biện pháp thực hiện. Giảng dạy tại các lớp 12 trường THPT Cửa lò.
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG.
Trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12 vấn đề xác định số
nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị các hàm số được
trình bày đơn giản. Vì vậy gặp các bài tốn về vấn đề tìm số nghiệm trong
các đề thi thử và thi THPTQG học sinh lúng túng và thường bỏ qua. Khi
chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao năng lực
giải quyết bài tập xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương
giao của đồ thị các hàm số, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài


toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp hoặc
làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tịi, sáng tạo cũng như tạo niềm
vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán.
II. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA.
Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho
thấy. Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và 50% trong số
đó biết cách tìm tịi, xây dựng những bài tốn tương tự, bài toán mới.
Trong các kỳ thi thử THPT quốc gia trên tồn quốc có 90% học sinh các
lớp được dạy thử nghiệm có thể giải quyết những bài tốn xác định số
nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị các hàm số
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ.
Đề tài là tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia cho các học sinh đang
học lớp 12 THPT.
Đề tài có thể áp dụng để phát triển thêm những lớp bài toán khác cho giáo
viên Tốn ở trường THPT.
Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo cho
học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy mơn tốn.
IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN.

1. Năng lực tốn học.
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực là thuộc tính
cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập,
rèn
luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành
cơng
một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ
thể”.
Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng
và giải thích tốn học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực tốn học phổ thông là
khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức tốn học trong cuộc sống;
vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực
tiễn,
đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả
năng
phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin hiệu quả
thơng
qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề tốn học trong các tình
huống,
hồn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động.
Năng lực tốn học phổ thơng khơng đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội
dung của chương trình tốn trong nhà trường phổ thơng truyền thống, mà
điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức tốn học được học, vận dụng và phát


triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái
qt hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình
huống, các sự kiện.
1.1. Năng lực tư duy và lập luận.

Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử
lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào
thực tiễn.
Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền
đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra
kết luận đúng.
1.2. Năng lực mơ hình hóa tốn học.
Năng lực mơ hình hóa tốn học là khả năng cá nhân về phiên dịch các vấn
đề thực tiễn thông qua phương tiện ngơn ngữ viết sang ngơn ngữ biểu
tượng, kí hiệu, bảng biểu, đồ thị…
1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học.
Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá
trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết các
tình huống mà ở đó khơng có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thơng thường.
1.4. Năng lực giao tiếp toán học.
Năng lực giao tiếp toán học là khả năng cá nhân sử dụng ngôn ngữ toan học
để tiếp nhận, chuyển tải các ý tưởng, kiến thức, đưa ra lập luận, chứng
minh, phản ánh, thảo luận trong quá trình giao tiếp để đạt được mục tiêu
dạy học.
1.5. Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.
Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện dạy học tốn là khả năng của cá
nhân hiểu, biết sử dụng, bảo quản các công cụ, phương tiện khoa học để đạt
được mục tiêu dạy học.
2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh
2.1. Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức của
học sinh.
Phương pháp dạy học phải đi từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó;
khơng chỉ coi trọng tính logic của khoa học toán học mà cần chú ý cách tiếp
cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của học sinh.

2.2. Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”.
Phương pháp dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý nhu
cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học
sinh; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được
tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề.
2.3. Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy học
tích cực.


Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận
dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp các hoạt
động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng
kiến thức toán học vào thực tiễn. Cấu trúc bài học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài
hòa giữa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng và các thành phần khác.
2.4. Sử dụng được các phương tiện, thiết bị dạy học.
Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy
định đối với mơn Tốn; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù hợp
với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ
thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp và
hiệu quả.
3. Tiêu chí của hành động mà học sinh thực hiện được.
Thành tố của năng
lực tốn học

Các tiêu chí

Năng lực tư duy và
lập luận toán học

- Thực hiện được các thao tác tư duy: So

sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái
quát hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch.
- Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra
chứng cứ, lí lẽ và lập luận hợp lí trước khi
kết luận.
- Giải thích và điều chỉnh cách thực giải
quyết vấn đề về phương tiện tốn học.

Năng lực mơ hình
hóa tốn học

- Sử dụng được các phép tốn và cơng thức
để mơ tả các tình huống đặt ra trong thực tế.
- Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ
hình được thiết lập.
- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ
cảnh thực tế và cải tiến mơ hình nếu có
cách giải khơng phù hợp.

3

Năng lực giải quyết
vấn đề toán học

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải
quyết bằng toán học.
- Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp
giải quyết vấn đề bằng các kiến thức, kĩ
năng tốn học tương thích.
- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa

cho vấn đề tương tự.

4

Năng lực giao tiếp
toán học

TT

1

2

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các
thông tin cần thiết được trình bày dạng văn
bản tốn học.


- Trình bày, diễn đạt các ý tưởng giải pháp
tốn học khi tương tác với người khác.
- Sử dụng được ngơn ngữ tốn học kết hợp
với ngơn ngữ thơng thường để trình bày,
giải thích và đánh giá các ý tưởng khi thảo
luận với người khác.

5

Năng lực sử
dụng
công cụ, phương

tiện học toán

- Biết gọi tên, tác dụng, quy cách sử dụng,
cách thức bảo quản, các phương tiện khoa
học công nghệ phục vụ cho việc học toán.
- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công
cụ và
phương tiện khoa học công nghệ để tìm tịi
và giải quyết các vấn đề tốn học phù hợp
lứa tuổi
- Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của các
công cụ, phương tiện hỗ trợ để cách sử
dụng hợp lý.

4. Đánh giá kết quả giáo dục môn tốn.
4.1. Mục tiêu đánh giá.
Cung cấp thơng tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển năng
lực và sự tiến bộ của học sinh trên cơ sở yêu cầu cần đạt ở mỗi lớp học, cấp
học.
Điều chỉnh các hoạt động dạy học, bảo đảm sự tiến bộ của từng học sinh và
nâng cao chất lượng giáo dục mơn Tốn nói riêng và chất lượng giáo dục
nói chung.
4.2. Hình thức đánh giá.
Đánh giá quá trình (hay đánh giá thường xuyên) do giáo viên phụ trách
môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá của giáo viên môn học khác; của bản
thân học sinh được đánh giá và của các học sinh khác trong tổ, trong lớp
hoạc đánh giá của cha mẹ học sinh; đi liền với tiến trình hoạt động học tập
của học sinh, tránh tình trạng tách rời giữa quá trình dạy học và quá trình
đánh giá, bảo đảm mục tiêu đánh giá vì sự tiến bộ trong học tập của học
sinh.

Đánh giá định kì (hay đánh giá tổng kết) có mục đích chính là đánh giá
việc thực hiện các mục tiêu học tập. Kết quả đánh giá định kì và đánh giá
tổng kết được sử dụng để chứng nhận cấp độ học tập, công nhận thành tích
của học sinh. Đánh giá định kì do cơ sở giáo dục tổ chức hoặc thơng qua
các kì kiểm tra, đánh giá quốc gia.
4.3. Phương pháp đánh giá.
Quan sát, ghi lại quá trình thực hiện; Vấn đáp, trắc nghiệm khách quan;


Tự luận, kiểm tra viết; Bài tập thực hành; Các dự án/ sản phẩn học tập;
Thực hiện nhiệm vụ thực tiễn, …
4.4. Mức độ đánh giá.
Bốn mức độ đánh giá đường phát triển năng lực mơn tốn.
Mức 1: Nhận biết, nhắc lại.
Mức 2: Hiểu, trình bày, giải thích được theo cách hiểu cá nhân.
Mức 3: Vận dụng giải quyết những vấn đề quen thuộc, tương tự trong học
tập, trong cuộc sống.
Mức 4: Vận dụng giải quyết vấn đề mới hoặc đưa ra những phản hồi hợp lý
trong học tập, cuộc sống một cách linh hoạt.
5. Một số kiến thức cơ sở trong đề tài:
I. Kiến thức cơ sở:
1. Phép tịnh tiến đồ thị hàm
Oxysố.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đồ thị (G) của hàm số
là hai số dương tùy ý. Khi đó:

y = f ( x)

; p và q

y =Tịnh
f ( xtiến
1)
) + q(G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
.
2)
y =Tịnh
f ( xtiến
) − q(G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
.
3)
y =Tịnh
f ( xtiến
+ p (G)
) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
.
4)
y =Tịnh
f ( xtiến
− p (G)
) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số
.
y = f ( x + b)

5)
y =Đồf (thị
x ) hàm số
cób >
được

0 bằng cách tịnh tiến đồbthị
< 0hàm số
sang trái
, sang phải b đơn vị khi
.
y =bmđơn vị khi
Ox
6) Đường thẳng
ln song song hoặc trùng với trục hồnh
và
Oy
cắt trục tung y tại
= fđiểm
y = g ( x)
( x ) có tung độ bằng
( C ) m.
2.
( C2Cho
) hàm số

1

có đồ thị là

( C1 ) ( C2 )
Số giao điểm của 2 đồ thị f ( x ) và
= g ( x)

; hàm số

chính là số nghiệm của phương

trình hồnh độ giao điểm

y = f bảng
) ) thiên của hàm sốd
3. Cho đồ thị hoặc
( u ( xbiến
đồ thị hàm số
với đường thẳng .
Định hướng:
u ( x) = t

có đồ thị là

t

y = f ( x)

. Xét giao điểm của

+ Đặt
, xác
y =định
f ( xđiều
y = biến
f ( t)
) kiện của . Dựa và đồ thị hoặc bảng
thiên của hàmdsố
, xác định các giao điểm của đồ thị

với
đường thẳng .


u ( x) = t

ti

+ Với mỗi
để xác định các giá
x giao điểm có hồnh độ , thay vào
trị của tương ứng.
x
y =các
f ( ugiá
( x )trị) này đánh giá được
Từ
d giao điểm của đồ thị hàm số
với đường thẳng .
V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Trong thi thử THPT quốc gia có nhiều đề thi tốn có nội dung liên quan
đến xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ
thị các hàm số với các mức độ đánh giá năng lực tốn học (nhận biết,
thơng hiểu, vận dụng, vận dụng cao).
Ví dụ 1. ( Câu 23- Đề minh hoạ 2020)
Cho hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình
A. 2.

B. 0.

3 f ( x) − 2 = 0

là

C. 3.

D. 1.

Ví dụ 2. ( Câu 31- Đề thi thử THPTQG lần 1 Đại học Vinh)
y = f ( x)

Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi phương
f ( x) = 1
trình
có bao nhiêu nghiệm?


3
7
6
A. .
B. .
C. .

Ví dụ 3. ( Câu 45- Đề minh hoạ 2020)
f ( x)
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn
A. 4.

[ −π ;2π ]

của phương trình

B. 6.

4

D.

2 f ( sin x ) + 3 = 0

C. 3.

.

là

D. 8

Ví dụ 4. (Câu 49-Đề thi thử THPTQG chuyên Phan Bội Châu lần 2 năm
2020)

Cho hàm số
nguyên của
2020

f ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ...( x − 2020 )

m

thuộc đoạn

[ −2020;2020]

. Có bao nhiêu giá trị

để phương trình

f ′ ( x ) = mf ( x )

có

nghiệm phân biệt ?
A.

2021

.

B.

4040

.

C.

4041

.

D.

2020

Ví dụ 5. (Câu 50- Đề thi tốt nghiệp THPTQG mã 103-2020)
Cho hàm số bậc bốn

y = f ( x)

có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số

nghiệm thực phân biệt của phương trình

f ( x2 f ( x ) ) + 2 = 0

là

.


A. 8 .

B.

12

.

6
C. .

9
D. .

Trong quá trình giảng dạy, với nội dung xác định số nghiệm của
phương trình dựa vào tương giao của đồ thị các hàm số, học sinh g ặp khó
khăn khi diễn đạt, lập luận, giải thích ; phần lớn học sinh l ớp 12 không
biết định hướng cách làm và thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích
của giáo viên.
Trong đề tài này việc phát triển năng lực toán học dựa trên nguyên tắc
của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đ ến ph ức t ạp, t ừ
thấp
đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình th ức bên ngoài đ ến b ản ch ất
bên
trong.
Sau đây là một số dạng bài tốn được phân tích, suy luận, t ương t ự hóa,
đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển đ ược năng l ực
toán
học.
1.Bài toán 1. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
y = f ( x)

xét các bài tốn liên quan đến phương trình có dạng

f ( u ( x) ) = a

.

Ta xét với các bài toán a là hằng số hoặc
Kiến thức cơ sở:

a = g ( m)

là tham số.

f ( x) = a

,




f ( x) = m

là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị

y = f ( x) , y = m

đồ thị


. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai

y = f ( x) , y = m

f ( x) = g ( x)

y = g ( x) .
y = f ( x)

,

.

là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

y = f ( x)

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ th ị
y = g ( x) .

Ví dụ 1. Cho hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình
A. 2.

B. 0.

3 f ( x) − 2 = 0

là

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải:

3 f ( x) − 2 = 0 ⇔ f ( x) =
Ta có

2
3

. Số nghiệm của phương trình chính là số
y = f ( x)

y=

2
3

hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thằng
(song song với trục hoành). Từ bảng biến thiên ta thấy ph ương trình có 3
nghiệm thực phân biệt.
Ví dụ 2. Cho hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như sau:

,


Số nghiệm thuộc đoạn
A.

4

[ −π ;2π ]

của phương trình

6
B. .

.

2 f ( sin x ) + 3 = 0

3
C. .

là

8

D. .

HƯỚNG GIẢI:
B1: Từ phương trình

2 f ( sin x ) + 3 = 0

giao điểm của hai đồ thị
B2:Dựa vào đồ thị

chuyển về phương trình hồnh độ

y = f ( u) , y = C

y = f ( x) ⇒

.

giá trị của

u = sin x ⇒

giá trị của

x

.

B3: Chọn đáp án.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

Lời giải

Ta có

 sin x = a1 ∈ ( −∞; −1)

sin x = a2 ∈ ( −1;0 )
3
2 f ( sin x ) + 3 = 0 ⇔ f ( sin x ) = − ⇔ 
 sin x = a3 ∈ ( 0;1)
2

 sin x = a4 ∈ ( 1; +∞ )

Các phương trình
Xét đồ thị hàm số

( 1)

và

( 4)

y = sin x

đều vô nghiệm.

trên

[ −π ;2π ]

( 1)
( 2)
( 3)
( 4)


( 2)

( 3)

Ta thấy phương trình
có 4 nghiệm phân biệt và phương trình
có 2
nghiệm phân biệt đồng thời trong số chúng khơng có 2 nghi ệm nào trùng
nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

[ −π ;2π ]

.

Trình bày theo hướng khác:
Phân tích hướng giải
f ( x)
Đây là dạng toán dùng bảng biến thiên của hàm số
để tìm số nghiệm

thuộc đoạn

[ a ; b]

của phương trình

c. f ( u ( x ) ) + d = m

.

HƯỚNG GIẢI:
B1: Đặt ẩn phụ

B2:

Với

t = u ( x)

. Với

c. f ( u ( x ) ) + d = m ⇒ f ( t ) = k

B3: Sử dụng BBT của hàm số
đoạn

x ∈ [ a ; b] ⇒ t ∈ [ a′ ; b′]

[ a′; b′]

của PT

y = f ( t)

để giải bài toán số nghiệm thuộc

f ( t) = k

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải


Đặt

t = sin x, t ∈ [ −1;1]

thì PT

2 f ( t) + 3 = 0 ⇔ f ( t) = −

BBT hàm số

2 f ( sin x ) + 3 = 0 ( 1)

3
( 2)
2

.

y = f ( t ) , t ∈ [ −1;1]

Dựa vào BBT, số nghiệm

t1 ∈ ( −1;0 ) , t2 ∈ ( 0;1)

trở thành

:

t ∈ [ −1;1]

của PT

( 1)

là 2 nghiệm phân biệt

.

f ( x ) = sin x x ∈ [ −π ;2π ]
BBT hàm số
,

+ Với
+ Với

t1 ∈ ( −1;0 ) ⇒ sin x = t1 ∈ ( −1;0 ) ⇒
t2 ∈ ( 0;1) ⇒ sin x = t2 ∈ ( 0;1) ⇒

Vậy số nghiệm thuộc đoạn
2+4 =6

. Đáp án: chọn B

PT có 4 nghiệm

PT có 2 nghiệm

[ −π ;2π ]

x ∈ [ −π ;2π ]

x ∈ [ −π ;2π ]

của phương trình

.

.

2 f ( sin x ) + 3 = 0

là


Sau đây là một số bài tập liên quan đến các dạng hàm khác nhau. Học
sinh cần thực hiện được các hành động như: Phân tích được vấn đề; nhận
biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết; biết đặt câu hỏi, lựa chọn giải
pháp; biết lập luận và đánh giá được giải pháp. Từ đó học sinh hình thành
và phát triển được các năng lực tốn học.
Ví dụ 3. Cho hàm số

y = f ( x)

m

là số nghiệm của phương trình
đúng?

A.

m=6

.

B.

¡

liên tục trên

m=7

(

)

f f ( x) = 1

.

. Khẳng định nào sau đây là

C.
Lời giải

Ta có:

và có đồ thị như hình vẽ. Gọi

 x = x1 ∈ ( −1;0 )

f ( x ) = 1 ⇔  x = x2 ∈ ( 0;1)
x = x > 2
3


.

m=5

.

D.

m=9

.


Suy ra:
+) Xét (1):
y = f ( x)

 f ( x ) = x1 ( 1)

f ( f ( x ) ) = 1 ⇔  f ( x ) = x2 ( 2 )
f x =x 3
3( )
 ( )

f ( x ) = x1 ∈ ( −1;0 )

tại

3

.

, ta có đường thẳng

y = x1

điểm phân biệt nên phương trình

( 1)

cắt đồ thị hàm số

có 3 nghiệm phân

biệt.
+) Xét

( 2)

y = f ( x)

:

f ( x ) = x2 ∈ ( 0;1)

tại

3

, ta có đường thẳng

y = x2

điểm phân biệt nên phương trình

( 2)

cắt đồ thị hàm số
có 3 nghiệm phân

biệt.
+) Xét

( 3)

y = f ( x)

:

f ( x ) = x3 > 2

tại

1

, ta có đường thẳng

điểm nên phương trình

( 3)

y = x3

có

1

cắt đồ thị hàm số

nghiệm.

Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là:

m = 3 + 3 +1 = 7

.

Đáp án: Chọn B
Ví dụ 4. Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác bi ểu di ễn nghi ệm c ủa
phương trình

f  f ( cos 2 x )  = 0

?
Lời giải


Dựa vào đồ thị ta thấy khi
Do đó nếu đặt

t = cos 2 x

Dựa vào đồ thị, ta có

Phương trình

x ∈ [ −1;1]

thì

t ∈ [ −1;1] ,

thì

y ∈ [ 0;1] .

khi đó

f ( cos 2 x ) ∈ [ 0;1] .

 f ( cos 2 x ) = 0

f  f ( cos 2 x )  = 0 ⇔  f ( cos 2 x ) = a ( a < −1) ( l ) .
 f cos 2 x = b b > 1 l
) (
) ( )
 (

cos 2 x = 0

f ( cos 2 x ) = 0 ⇔ cos 2 x = a ( a < −1) ( l )
cos 2 x = b b > 1 l
(
) ( )


⇔

cos 2 x = 0 ⇔ x =

Vậy phương trình đã cho có
lượng giác.
Ví dụ 5. Cho hàm số

y = f ( x)

Số nghiệm thuộc đoạn
là bao nhiêu biết rằng
Hướng dẫn giải :

4

[ 0;2π ]

π
π
+ k ( k ∈¢) .
4
2

điểm biểu diễn nghiệm trên đường trịn

có bảng biến thiên như sau.

của phương trình

f ( 2) = 0

.

2 f ( cos 2 x − cos x + 1) + 1 = 0


Ta xét phương trình
 x = α1 ∈ ( −∞; −1)
−1
2 f ( x) +1 = 0 ⇔ f ( x) =
⇔
 x = α ∈ ( 1;2 ) do f ( 0 ) < −1 < f ( 2 )
2
2

2

Từ đó ta có.
2 f ( cos 2 x − cos x + 1) + 1 = 0
cos 2 x − cos x + 1 = α1 ∈ ( −∞; −1) ( *)
⇔ 2
cos x − cos x + 1 = α ∈ ( 1;2 ) do f ( 0 ) < −1 < f ( 2 )
2

2

g ( t ) = t2 − t +1
Ta lập BBT của hàm số

với

t ∈ [ −1;1]

Nhìn BBT ta thấy phương trình
Phương trình

( **)

( **)

( *)

vơ nghiệm

có nghiệm duy nhất

1

⇒ cos x = β ∈  −1; ÷⇒ x = ± arccosβ + k 2π ( k ∈ ¢ )
2


Xét trên khoảng

[ 0;2π ]

, ta có phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6. (Câu 50- Đề thi THPTQG mã 103-2020)
Cho hàm số bậc bốn

y = f ( x)

có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số

nghiệm thực phân biệt của phương trình

f ( x2 f ( x ) ) + 2 = 0

là


A. 8 .

B.

12

6
C. .

.

9
D. .

Lời giải
Hướng giải 1:

f ( x2 f ( x ) ) + 2 = 0 ⇔ f ( x2 f ( x ) )

 x2 f ( x )
 2

x f ( x)
⇔ 2
x f ( x)
 x2 f ( x )
= −2


x = 0

⇔  x = a ∈ ( −1;0 )
x = 0
( 1) ⇔ 
 x = b ∈ e ;4
( )

 f ( x) = 0

Do

c ∈ ( 0;1)

nên từ phương trình

( 2) ⇔ f ( x ) =

c
, c ∈ ( 0;1)
x2

.

( 1)
= c ∈ ( 0;1) ( 2 )
= d ∈ ( 2;3) ( 3)
= e ∈ ( 3;4 ) ( 4 )
=0

.
x2 f ( x ) = c

suy ra

x≠0

. Từ đó

.


y=
Đồ thị hàm số

c
x2

cắt đồ thị hàm số

phân biệt nên phương trình
Tương tự, mỗi phương trình
Do các số

0, c, d , e

( 2 ) ( 3) ( 4 )
,

,

( 2)

y = f ( x)

tại hai điểm

có hai nghiệm phân biệt.

( 3) ( 4 )
,

đều có hai nghiệm phân biệt.

đơi một khác nhau nên các phương trình

đơi một khơng có nghiệm chung.

Vậy phương trình

f ( x2 f ( x ) ) + 2 = 0

có 9 nghiệm phân biệt.

Hướng giải 2:
+) Phương trình đã cho

⇔ f ( x 2 . f ( x ) ) = −2

( 1)

( 1)

,


+) Dựa và đồ thị ta được phương trình
các số dương phân biệt

 x2. f
 2
x . f
⇔ 2
x . f
( 1)  x 2 . f

( x ) = 0 ( 2)
( x ) = a ( 3)
( x ) = b ( 4)
( x ) = c ( 5)

,với

a , b, c

là

x = 0

( 2) ⇔ 

 f ( x ) = 0 ( 6)

+) Ta có

+) Dựa vào đồ thị ta có phương trình
x=e>0
và
+) Với các phương trình

( 3) ( 4 )
,

và

( 3) ⇔ f ( x ) =

a
x 2 ( 3′ )

Ta có:

Do vế phải của phương trình

( 3′ )

( 6)

( 5)

với

có hai nghiệm phân biệt

, ta xét phương trình

Ta có

dương nên vế phải của phương trình

( 3′ )

trên tập

Xét hàm số
a>0

g′( x ) = f ′( x ) +

2a
x3

a

x2

trên tập

( 3′)

D = ( −∞; d ) ∪ ( e; +∞ )

a
=0
x2

g ( x) = f ( x) −

Ta có

đại diện.

a > 0.

cũng phải dương nên ta xét phương trình

( 3′) ⇔ f ( x ) −

( 3)

x=d <0

D = ( −∞; d ) ∪ ( e; +∞ )

với

.


Bảng biến thiên của hàm số

g ( x)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình
+) Tương tự các phương trình

( 4)

và

( 5)

g ( x) = 0

có hai nghiệm phân biệt.

, mỗi phương trình đều có hai

nghiệm phân biệt đồng thời các nghiệm của phương trình

( 5)

là khác nhau. Vậy phương trình
biệt.

Ví dụ 7. Cho hàm số

y = f ( x)

f ( x2 f ( x ) ) + 2 = 0

liên tục trên

¡

( 2 ) ( 3) ( 4 )
,

,

và

có 9 nghiệm phân

thỏa mãn điều kiện

lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = −∞

x →−∞

x →+∞

và có đồ thị như hình dưới đây

(

)

f 1 − x3 + x = a

Với giả thiết, phương trình
a
số

có nghiệm. Giả sử khi tham