Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT

MỤC LỤC 

Trang

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Đối tượng nghiên cứu
IV. Kế hoạch nghiên cứu
V. Phương pháp nghiên cứu

1
1
1
2
2
2

PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
I. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng
II. Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra
III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả

3
3
3
3

IV. Cơ sở lý luận 
1. Năng lực tốn học
2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực tốn học cho học

sinh 3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện
được

3
3
5
5

V. Nội dung đề tài 
1. Khái quát hóa bài tốn hình học phẳng thành bài tốn hình
học khơng gian
1.1. Khái qt hóa bài tốn liên quan đến trọng tâm, trực tâm, tỷ
số thể tích, tâm tỷ cự …
1.2. Khái qt hóa bài tốn liên quan đến quỹ tích
2. Tương tự hóa bài tốn hình học khơng gian thành bài tốn mới 2.1.
Tương tự hóa bài tốn bằng cách thay đổi giả thiết 2.2. Tương tự hóa
bài tốn bằng cách hoán đổi giữa giả thiết và kết luận
3. Phát triển bài tốn hình học tổng hợp thành bài tốn
mới 3.1. Phát triển thành bài tốn hình học giải tích
3.2. Phát triển thành bài tốn số phức
3.3. Phát triển thành bài tốn hình học khơng gian
4. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện

5

PHẦN III. KẾT LUẬN 
I. Những kết luận
II. Những kiến nghị đề xuất
Danh mục tài liệu tham khảo

7
7
21
26
26
31
34
34
36
38
44
51
51
51


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực là thuộc tính
cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn
luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công
một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ
thể”.
Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi
ln tự hỏi làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân nhận thấy
rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá
những điều chưa biết. Để có một bài giảng thu hút được học sinh, giúp học sinh
phát triển năng lực tốn học địi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tịi, cập nhật các
phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh. Dạy

học dựa trên phát triển năng lực (trong đó có dạy học dựa trên phát triển năng
lực tư duy và lập luận tốn học) là chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy và
học. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học
sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động
trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân.
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý
và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực
tiễn. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những
tiền đề cho trước, sử dụng ngơn ngữ tốn học, bằng phương pháp luận để đưa ra
kết luận đúng.
Trong số những bài tốn hình học khơng gian của đề thi thử TN THPT
trên toàn quốc, học sinh giỏi các tỉnh/thành phố có nhiều bài tốn được khái
quát hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa từ những bài tốn đơn giản, nhưng
những bài tốn đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong q trình vận dụng
kiến thức để giải quyết. Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh
nghiệm của mình: “Phát triển bài tốn thành các bài tốn mới nhằm  phát huy
năng lực tư duy và lập luận tốn học cho học sinh THPT”. 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. 
Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận một số bài
tốn hình học khơng gian trong đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, đề thi học
sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố.
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. Đặc biệt, đối với học sinh
lớp 11 và lớp 12 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để ôn thi TN THPT năm
2021, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố.
1

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. 

Học sinh lớp 11 và lớp 12 THPT.
Giáo viên giảng dạy mơn tốn bậc THPT.
IV. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU. 
Q trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh
khác nhau để hồn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà
học sinh thường gặp trong quá trình học tập, giải quyết các bài tốn hình học
khơng gian. Trao đổi chuyên môn cùng quý Thầy, Cô môn Tốn trong tổ, ngồi
trường và trên các diễn đàn tốn học.
Đề tài được thực hiện trong năm học 2020-2021 với kế hoạch cụ thể.
TT

Thời gian 

Nội dung công việc 

Sản phẩm

1

Từ 20/9/2020
đến 2/11/2020

Chọn đề tài

2

Từ 3/11/2020
đến 15/12/2020

Viết đề cương nghiên cứu

Trình xét duyệt bản
đề cương SKKN

3

Từ 16/12/2020
đến 30/12/2020

Đọc tài liệu lý thuyết viết
cơ sở lý luận

Tập hợp tài liệu lý
thuyết

4

Từ 1/1/2021
đến 15/1/2021

Trao đổi với đồng nghiệp
và đề xuất sáng kiến

Tập hợp ý kiến đóng
góp của đồng nghiệp

5

Từ 16/1/2021
đến 30/1/2021

Dạy thử nghiệm tại các
lớp
12A, 12D, 12E
trường THPT Đặng Thúc
Hứa

Thống kê các kết
quả thử nghiệm

6

Từ 1/2/2021
đến 6/3/2021

Dạy thử nghiệm tại các
lớp
11 và 12 trường
THPT
huyện Thanh
Chương

Thống kê các kết
quả thử nghiệm

7

Từ 7/3/2021
đến 20/3/2021

Hoàn thiện đề tài nghiên
cứu

Hoàn thành SKKN

Đăng ký đề tài SKKN

V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 
Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan đến bài tốn hình học khơng gian,
phát triển bài tốn thành các bài toán mới, phương pháp dạy học theo phát triển
năng lực tư duy và lập luận toán học.
Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
Giảng dạy tại các lớp 11 và lớp 12 trường THPT Đặng Thúc Hứa. Phối
hợp với giáo viên mơn Tốn trường THPT trong huyện Thanh Chương, trong
tỉnh Nghệ An để dạy thử nghiệm tại các lớp 11 và lớp 12.


2

PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG. 
Trường THPT Đặng Thúc Hứa đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn
về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được
quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về mơn Tốn của
các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá.
Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao
năng lực tư duy và lập luận toán học, các em thường thụ động trong việc tiếp
cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp
hoặc làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tịi, sáng tạo cũng như tạo
niềm vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán.

Kết quả khảo sát học sinh ở một số lớp và giáo viên Toán THPT trên địa
bàn huyện Thanh Chương về nội dung hình học khơng gian, chỉ có khoảng 10%
học sinh hứng thú với bài toán dạng này.
II. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA. Sau khi áp
dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy. Có trên 80%
các em học sinh có hứng thú với bài học, giải quyết được các vấn đề đặt ra và
50% trong số đó biết cách tìm tịi, xây dựng những bài tốn tương tự, bài tốn
mới.
Trong các kỳ thi thử TN THPT trên tồn quốc có 90% học sinh các lớp
được dạy thử nghiệm có thể giải quyết những bài tốn hình học khơng gian. III. 
KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ. Đề tài là tài liệu
tham khảo ôn thi TN THPT, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố cho các học
sinh đang học lớp 11 và lớp 12 THPT. Đề tài có thể áp dụng để phát triển thêm
những lớp bài toán khác cho giáo viên Toán ở trường THPT.
Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo cho
học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy mơn tốn. IV. CƠ SỞ LÝ 
LUẬN. 
1. Năng lực tốn học. 
Năng lực tốn học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng
và giải thích tốn học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực tốn học phổ thơng là
khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức tốn học trong cuộc sống; vận
dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp
ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân
tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin hiệu quả thơng qua
việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề tốn học trong các tình huống, hồn
cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động.
Năng lực tốn học phổ thơng khơng đồng nhất với khả năng tiếp nhận
3

nội dung của chương trình tốn trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà

điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức tốn học được học, vận dụng và phát triển
như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa
và phát hiện được tri thức tốn học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự
kiện.

1.1. Năng lực tư duy tốn học. 
Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi
nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết
vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận
dụng vào thực tiễn.
1.2. Năng lực lập luận toán học. 
Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những
tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra
kết luận đúng.
2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực tốn học cho học sinh.
4

2.1. Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức  của
học sinh. 
Phương pháp dạy học phải đi từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó;
khơng chỉ coi trọng tính logic của khoa học tốn học mà cần chú ý cách tiếp cận
dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của học sinh.


2.2. Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”. Phương pháp
dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận
thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh; tổ chức quá trình
dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tịi, phát

hiện, suy luận giải quyết vấn đề.
2.3. Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy  
học tích cực. 
Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc
vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp các hoạt
động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến
thức toán học vào thực tiễn. Cấu trúc bài học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa giữa
kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng và các thành phần khác.
2.4. Sử dụng được các phương tiện, thiết bị dạy học. 
Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo
quy định đối với mơn Tốn; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù hợp
với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ
thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp và hiệu
quả.
3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện được  trong 
năng lực tư duy và lập luận tốn học. 
Thực hiện được các thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa,
khái quát hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch.
Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và lập luận hợp lí trước khi
kết luận.
Giải thích và điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương tiện toán học.

V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
Trong các đề thi thử TN THPT, học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố có nhiều
bài tốn được khái quát hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa từ những bài tốn
đơn giản, nhưng những bài tốn đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong
q trình vận dụng kiến thức để giải quyết.
Ví dụ 1: [Câu 45 – THPT Chun Phan Bội Châu (Nghệ An) lần 1 năm 2020] Cho
hình chóp S ABC . có SA vng góc với ( ), ABC AB AC   3, 2 và 0 BAC  60 .
Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của A lên cạnh SB SC , . Tính bán

5

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCNM.
21 .

A. R  2. B. 

3
4
R  C.  .

3

R  D. R  1.


Ví dụ 2 [THPT Thạch Thành 1­ Thanh Hóa – 2021] Cho hình chóp S ABC . có
đáy ABC là tam giác thỏa mãn 0 AB a AC a BAC    , 2, 135 ,  tam giác SAB
vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAC
và ( ) SAB bằng 0 30 . Thể tích V của khối chóp S ABC . bằng
a

A.3

6.

6

. a
6.

V  B.3 3 V  C.3
3
a

. a
V  D.3 6 V 

Ví dụ 3: [Câu 47 – Khối THPT chun Đại học Vinh lần 1 năm 2018] Trong
khơng gian Oxyz, cho hai điểm A B (10;6; 2), (5;10; 9)   và mặt phẳng ( ) : 2 2
12 0.  x y z     Điểm M di động trên mặt phẳng ( )  sao cho MA MB , luôn
tạo với ( )  các góc bằng nhau. Biết rằng M ln thuộc một đường trịn ( )  cố
9.

định. Hồnh độ của tâm đường tròn ( )  bằng A. – 4. B.  2C. 2. D. 10. Ví dụ 4:
[Câu 5.b HSG lớp 11 vịng 2 năm 2020 ­ trường THPT Đặng Thúc Hứa] Cho tứ diện đều
ABCD có trọng tâm G, cạnh AB a  ; O là tâm của tam giác BCD và M là điểm bất
kỳ thuộc mặt phẳng ( ) BCD . Gọi H K L , , lần lượt là hình chiếu vng góc của
M lên các mặt phẳng ( ),( ),( ) ACD ABD ABC . Chứng minh đường thẳng GM luôn
đi qua trọng tâm E của tam giác HKL. Ví dụ 5: [Câu 3 HSG lớp 11 vịng 4 năm học
2015­2016 THPT Đơ Lương 1] Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm cách đều A B C D
, , , . Gọi , , , m m m m a b c d là độ dài các đường trọng tuyến kẻ từ các đỉnh A B C
D , , , và R là khoảng cách từ O đến mỗi đỉnh đó và thỏa mãn 3( ) 16 . m m m m R
a b c d     Chứng minh rằng AB CD BC AD CA BD    , , . (trọng tuyến của
tứ diện là  
đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện). 
Trong quá trình giảng dạy, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tương
tác với học sinh ở nội dung hình học khơng gian, nhiều giáo viên gặp khó khăn
khi lập luận, giải thích để học sinh hiểu; phần lớn học sinh lớp 11, 12 không
biết định hướng cách làm và thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích, lập
luận của giáo viên, bạn bè.

Trong đề tài này việc phát triển năng lực tư duy, lập luận toán học dựa
trên nguyên tắc của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến phức
tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngồi đến bản
chất bên trong.
Sau đây là một số dạng bài toán được phân tích, suy luận, tương tự hóa,
6

đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực tốn
học.
1. Khái qt hóa bài tốn hình học phẳng thành bài tốn hình  khơng
gian. 
1.1. Khái qt hóa bài tốn liên quan đến trọng tâm, trực tâm,  thẳng
hàng, tỷ số thể tích, tâm tỷ cự… 


Bài tốn 1: 
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho tam giác ABC có trọng
tâm G và M là trung điểm của
cạnh BC.

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G và E
là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi M N,
lần lượt là trung điểm của AB CD , .

Định   nghĩa   1: Ba đường
trung tuyến đồng quy tại trọng

tâm G.

Định  nghĩa  1: Bốn đường đường trọng
tuyến đồng quy tại trọng tâm G của tứ

Định nghĩa 2: 

diện.    
Định nghĩa 2: GA GB GC GD     0

   
GA GB GC    0
 

Tính chất: AG GM  2 .

Tính chất 1: G là trung điểm của đoạn
thẳng MN.
 
Tính chất 2: AG GE  3 .

GY: Bài tốn trong khơng gian 
Tính chất 1: Do M N, lần lượt là trung điểm của AB CD , nên

   GA GB GN   2 .
GM   2 ,
   GC GD

   


, ta
Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên GA GB GC GD     0

  

suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng MN.

có 2 2 0 GM GN  
Tính chất 2: 
Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus ta có
..13

AM BN EG

AG GE

 

MB NE GA   , do đó AG GE  3 .
Cách 2: Dựng điểm MF song song với AE (trong đó F BN  ). Áp dụng
 
.


định lý Thales

111

.43

GE MF AE AE GE AG GE      
222

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa định nghĩa trọng tâm và
7

các tính chất của trọng tâm tam giác trong hình học phẳng thành định nghĩa  
trọng tâm và tính chất trọng tâm của tứ diện trong hình học khơng gian. 🖎 Phát 
huy năng lực tư duy và lập luận tốn học qua bài tốn sử dụng  tính chất của 
trọng tâm tứ diện 
Bài tập áp dụng 1.1: Cho tứ diện ABCD . Tìm điểm M trong khơng gian
sao cho biểu thức 2 2 2 2 T MA MB MC MD     đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập áp 
dụng 1.2: Cho tứ diện ABCD có AB CD c   , AD BC b   , AC BD a   , các
đường trọng tuyến AA BB ', ' cắt nhau tại trọng tâm G của tứ diện. Biết AA' và BB
' vng góc với nhau, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. 2 2 2 a b c   3 . B. 2 a c b . 3 .  C. 2 2 ( ) 3 . a b c   D. 2 2 a c ac   3 .
Bài tập áp dụng 1.3: [HSG Kon Tum ­ 2007] Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt
cầu ( ) S . Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD , các đường thẳng AG BG CG DG
, , , lần lượt cắt mặt cầu ( ) S tại các điểm thứ hai A B C D ', ', ', ' . Chứng minh ' ' ' '.
V V ABCD A B C D 

Bài toán 2: Các đường cao của tứ diện bất kỳ có đồng quy tại một điểm
khơng?
Trong mặt phẳng 
Cho tam giác ABC .
Ba đường cao đồng
quy tại trực tâm H.

Trong không gian
Cho tứ diện ABCD bất kỳ.

Điều kiện cần và đủ để các đường cao của tứ
diện đồng quy tại một điểm (gọi là tứ  diện trực
tâm) là:
a) Các cạnh đối của tứ diện vng góc với
nhau. b) Một đường cao của tứ diện đi qua trực
tâm của mặt này.
c) Tổng bình phương của các cạnh chéo nhau
thì bằng nhau.
d) Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh
chéo nhau thì bằng nhau.


GY: Bài tốn trong khơng gian 
Gọi E K, lần lượt là hình chiếu của A B, lên ( ) BCD và ( ) ACD và H là giao
điểm của AE và BK.
8

a) Do đó CD AE CD AK CD ABH     , ( )   CD AB.
b) Theo câu a) CD ABE CD BE    ( ) . Tương tự BC DE  . Do đó E là
trực tâm của tam giác BCD.
     
c)
 
AB CD AC BD AB AC AB AC CD BD CD BD           ( )( ) ( )( )
0        
         CB AB AC CB CD BD CB AD AD BC ( ) ( ) 0 2 . 0 . d) Gọi P Q R
2222

S , , , lần lượt là trung điểm của CD AB AC BD , , , . Áp dụng cơng thức tính độ

dài đường trung tuyến trong tam giác và áp dụng câu c). 2 2 2 2 2 2 2 2 2
AP BP AB AC BD AD BC AB CD



PQ
(
)
(
)
(
)
2
4
4
2

()()()2
AB CD AD BC AD BD
222222


.
RS
4

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt tứ diện trực tâm và các tính  
chất trong hình học khơng gian. 
Bài tốn 3: 
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho tam giác ABC có R r, lần
lượt là bán kính đường trịn ngoại
tiếp và nội tiếp tam giác.

Cho tứ diện ABCD có R r, lần lượt là
bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp
tứ diện.

Chứng minh: R r  2 .

Chứng minh: R r  3 .


GY: Bài tốn trong khơng gian 
Gọi A B C D ', ', ', ' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD ACD ABD
ABC , , , và G O I , , lần lượt là trọng tâm, tâm mặt cầu nội tiếp, tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD.
1

Xét phép vị tự tâm G, tỷ số 3
k,

1 (,)

:'

3

 … biến tứ diện
VAA
Gk


ABCD thành tứ diện A B C D ' ' ' '.

Gọi R ' là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A B C D ' ' ' ', khi đó R R  3 ' và R
r ' .  Do đó R r  3 , dấu bằng xảy ra khiABCD là tứ diện đều. 🖎 Để khái qt
bài tốn trong hình học phẳng sang bài tốn trong hình 
9

học khơng gian học sinh phải nắm vững phép vị tự và các tính chất.
Bài tốn 4: 
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho tam giác ABC vng tại
A có đường cao AH.

Cho hình chóp O ABC . có OA OB OC
, , đơi một vng góc và OH là đường
cao của hình chóp.

Tính chất 1:
111

222

AH AB AC

Tính chất 2: (ĐL 
Pythagoras) 2 2 2 AB AC BC


Tính chất 1:
1111

2222

OH OA OB OC

Tính chất 2: 
2222

S S S S   
Tính chất 3: H là trực tâm của tam giác
OAB OAC OBC ABC


ABC.

GY: Bài tốn trong khơng gian 
Tính chất 1: Gọi K là hình chiếu vng góc của O lên cạnh AB. Tam giác OAB
vng tại O, có đường cao OK; tam giác OKC vng tại O, có 1 1 1 1 1 1
đường cao OH. Do đó 2 2 2 2 2 2

OH OK OC OA OB OC

Tính chất 2: 

2221.

4

ABC

S CK AB    1

222

( ).

4OC OK AB 
22222222().
11
44
      OC OA OB OK AB S S S    OAB OBC OCA

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa độ dài đường cao của  tam
giác vng trong hình học phẳng thành độ dài đường cao của tam diện  vng
trong hình học khơng gian. 
Bài tập áp dụng 4.1: Cho hình chóp O ABC . có OC vng góc với mặt
phẳng ( ). OAB Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên mặt phẳng ( ). ABC
1.

111

OH OA OB OC

Biết 2 2 2 2
   Chứng minh tam giác OAB vng tại O.

Bài tập áp dụng 4.2: [HSG Nam Định 2020] Cho hình chóp O ABC . có
OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Gọi R r, lần lượt là bán kính mặt cầu
ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp hình chóp O ABC . ; V là thể tích khối chóp O ABC
. và h là chiều cao của khối chóp O ABC . kẻ từ đỉnh O. Giá trị nhỏ nhất
10
Vhr()


của biểu thức 2
R hr

bằng


1.

1.

2.

3.

A. 2 B. 3 C. 3 D. 2 Bài tập áp dụng 4.3: Cho tứ diện gần đều
ABCD có đường cao AH H BCD ,( ( ))  , H1 là trực tâm của tam giác BCD, O1 là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng O1 là trung điểm của

đoạn thẳng 1 HH .
Bài tốn 5: 
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho hình chữ nhật ABCD .
Gọi   BAC,   DAC.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C
D . ' ' ' '. Gọi   BAC ',      
DAC A AC ', ' '.

Tính chất: 2 2 cos cos 1.    

Tính chất: 2 2 2 cos cos cos 1.      

GY: Bài tốn trong khơng gian 
222

' cos , cos , cos

'''
AB AD AA

222

AC AC AC      
222

Do đó 2 2 2
' cos cos cos 1.

'''

222

AB AD AA
AC AC AC         
222

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa tính chất trong hình học  
phẳng thành tính chất trong hình học khơng gian. 
Bài tập áp dụng 5.1: Cho tứ diện đều ABCD. Mặt phẳng ( ) P chứa cạnh
CD cắt cạnh AB tại E . Gọi  , lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng ( ) P với các
mặt phẳng ( ) BCD và ( ). ACD Giá trị biểu thức T   cos( )   bằng.
1.

1.

2.

1.

A. 2 B. 3 C. 3 D. 6 Bài tập áp dụng 5.2: [HSG Bắc Ninh ­ 
2019] Cho tứ diện đều ABCD có đường cao AH . Mặt phẳng ( ) P chứa cạnh AH
cắt các cạnh BC CD BD , , lần lượt tại M N P , , . Gọi    , , lần lượt là góc tạo
bởi AM AN AP , , với mặt phẳng ( ) BCD . Chứng minh rằng 2 2 2 tan tan tan 12.  



Bài tốn 6:
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

11

Cho tam giác ABC
vng tại A có đường cao

Cho đa giác 1 2... A A An nằm trên mặt phẳng
( ) P và có diện tích S, đa giác ' ' '
1 2... A A An là hình
chiếu vng góc của đa giác 1 2... A A An lên
mặt phẳng ( ). Q Đa giác ' ' '
1 2... A A An có diện tích S ' ,
góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q bằng .

AH.

Hệ   thức   lượng   trong
tam  giác vng: AB BC B

Định lý hình chiếu: 
S S ' .cos  

 .cos

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa định lý hình chiếu trong 
hình học phẳng thành định lý hình chiếu trong hình học khơng gian. Bài tập áp 
dụng 6.1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C . ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân 0
AB AC a BAC BB a     , 120 , ' .  Gọi M là trung điểm của CC '. Gọi  là
góc giữa hai mặt phẳng ( ' ) AB M và ( ). ABC Giá trị cos bằng.
A.

10 .

10 B.

3.

3 C.

30 .

10 D.

3.

6 Bài tốn 7: 

Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho tam giác OAB , một đường
thẳng bất kỳ cắt hai cạnh OA OB ,
lần lượt tại A B, .

Cho tứ diện S ABC . , một mặt phẳng
bất kỳ cắt cạnh SA SB SC , , lần lượt
tại A B C ', ', '.

Tỷ số diện tích: 
S OA OB
''' '

Tỷ số thể tích: 
V SA SB SC
'''


. OA B

V SA SB SC 
. . . SABC




S OA OB

.'''



S ABC
.

OAB

12
1 ' '. ( ',( ))
dt SB C d A SBC

1 '. '.sin ( ',( )) '. '. ' 2 . 1 ( ,( )) . .

3

SB SC BSC

VV






S A B C A SB C
. ' ' ' '. ' '

VV

dt SBC d A SBC

S ABC ASB C . . ' '

1 . ( ,( ))


d A SBC SASBSC

. .sin

d A SBC SA SB SC

SBSC BSC

3



2



🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa tỷ số diện tích trong hình  
học phẳng thành tỷ số thể tích trong hình học khơng gian. 
Bài tập áp dụng 7.1: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình bình
hành. Mặt phẳng ( ) P cắt các cạnh SA SB SC SD , , , lần lượt tại A B C D ', ', ', '.
SA SC SB SD

Đặt ; ; ; .
xyuv

SA SC SB SD     Chứng
''''

minh rằng

SA SC SB SD
.

a) ' ' ' '
SA SC SB SD   
Vxyuv


b) . ' ' ' ' S A B C D

.
 4

V xyuv
S ABCD
.

Bài tốn 8: 
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian


Cho tam giác ABC , M là điểm
thuộc cạnh BC. Qua M kẻ các
đường thẳng song song với AB AC
, , chúng cắt các cạnh AC AB , lần
lượt tại B C', '. Chứng minh rằng

khi M thay đổi thì biểu thức

MB

MC ' '
AB AC  là

hằng số.

Cho hình chóp S ABC . , M là điểm
nằm trong tam giác ABC. Qua M kẻ
các đường thẳng song song với SA
SB SC , , , chúng cắt các mặt phẳng
( ), SBC ( ), SCA ( ) SAB lần lượt tại A
B C ', ', '. Chứng minh rằng khi M thay
đổi thì biểu thức MA MB MC ' ' '
SA SB SC   là

hằng số.

GY: Bài tốn trong khơng gian 
VVV
VVVV

VVV

1. M SAB M SAC M SBC
...

S ABC M SAB M SAC M SBC

....
C SAB B SAC A SBC
...

'''

1 1. MF ME MD MA MB MC

CF BE AD SA SB SC        

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa tỷ số độ dài đoạn thẳng 
trong hình học phẳng thành tỷ số độ dài đoạn thẳng trong hình học khơng 
13

gian. 
Bài tập áp dụng 8.1: [HSG Cụm trường Cầu Giấy – Hà Nội 2020] Cho hình
chóp S ABC . , M là điểm nằm trong tam giác ABC. Qua M kẻ các đường thẳng
song song với SA SB SC , , , chúng cắt các mặt phẳng ( ), SBC ( ), SCA ( ) SAB lần
lượt tại A B C ', ', '. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
SA SB SC T

MA MB MC    bằng.
'''

A. 3 3. B. 3. C. 6 3. D. 6. Bài tập áp dụng 8.2: [HSG THPT Lê Hồng 


Phong 2020, HSG Gia Lai  2020] Cho điểm M nằm trong tứ diện ABCD . Các
đường thẳng MA MB BC MD , , , lần lượt cắt ( ),( ),( ),( ) BCD ACD ABD ABC tại A
B', ', C D', ' thỏa MA MB MC MD

mãn

12.

''''
MA MB MC MD     Gọi 1 V V, lần lượt

ABCD MBCD , . Tỷ số
V

A. 2. B. 3. C. 4. D.

Vbằng
3.

2

là thể tích khối tứ diện

1

Bài tốn 9: 

Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho tam giác ABC . M là điểm
bất kỳ trong tam giác. Gọi A B C ',
', ' lần lượt là hình chiếu của M lên

cạnh BC CA AB , , ( , , a b c h h h
lần lượt là độ dài đường cao của
tam giác kẻ từ các đỉnh A B C , , ).

Cho tứ diện ABCD bất kỳ. M là điểm
bất kỳ trong tứ diện. Gọi A B C D ', ', ', '
lần lượt là hình chiếu của M lên các
mặt phẳng ( ),( ),( ),( ). BCD CDA ABD
ABC Gọi , , , a b c d h h h h lần lượt là độ
dài đường cao của tứ diện kẻ từ các
đỉnh A B C D , , , .

MA MB MC
'''
1.

hhh

MA MB MC MD
''''

1.


hhhh

abc

abcd

GY: Bài tốn trong khơng gian 
VVVV
VVVVV

V V V V . . . . 1 M BCD M ACD M ACD M ABC

....

M BCD M ACD M ACD M ABC

14

Do đó

''''

1.


MA MB MC MD

hhhh
abcd

🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt tính chất tỷ số diện tích trong  hình
học phẳng sang tính chất tỷ số thể tích trong hình học khơng gian. Bài tập áp
dụng 9.1: [HSG An Giang 2020] Cho M là điểm bất kỳ trong tứ diện ABCD .
Gọi , , , a b c d k k k k lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng ( ),( ),( ),(
). BCD CDA ABD ABC Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 . MA MB MC MD k k k k k k k k k k k k          a b a c a d b c b

dcd

Bài toán 10: 
Trong mặt phẳng 

a) Nếu điểm M thuộc đường
thẳng AB thì có hai số x y, mà
x y   1 sao cho


 

với mọi điểm O.

OM xOA yOB   ,

Trong không gian
a) Nếu điểm M thuộc mặt phẳng ( )
ABC thì có ba số x y z , , mà
x y z    1 sao cho
 

 

với mọi

OM xOA yOB zOC    ,

điểm O.
b) Nếu có điểm O thỏa mãn

     




 
thì điểm M
OM xOA yOB

xy
1

thuộc đường thẳng AB.

b) Nếu có điểm O thỏa mãn


      




  

thì điểm

OM xOA yOB zOC
xyz
1
M thuộc mặt phẳng ( ). ABC

GY: Bài tốn trong khơng gian 
a) Do M thuộc mặt phẳng ( ) ABC nên có 2 số x y, sao cho

   CM xCA yCB  
      OM xOA yOB x y OC (1 ) .
   
Đặt z x y       
1,
    x y z 1 , vì vậy OM xOA yOB zOC    .
      
, do đó M
b) OM xOA yOB x y OC CM xCA yCB         (1 )

thuộc mặt phẳng ( ). ABC
🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt tính chất ba điểm thẳng hàng 
trong hình học phẳng thành tính chất bốn điểm đồng phẳng trong hình học  
khơng gian. 
Bài tập áp dụng 10.1: Cho tứ diện SABC có trọng tâm G . Mặt phẳng ( )


P bất kỳ đi qua G , cắt các cạnh SA SB SC , , lần lượt tại A B C ', ', '. Giá trị của
SA SB SC T

SA SB SC    bằng

biểu thức ' ' '
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Bài tập áp dụng 10.2: [HSG THPT Yên Lạc 2 – Vĩnh
Phúc 2020] Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung
điểm của SG. Mặt phẳng ( ) P bất kỳ đi qua M , cắt các cạnh SA SB SC , , lần lượt

tại A B C ', ', '.
15
SA SB SC T

SA SB SC    bằng

Giá trị của biểu thức ' ' '
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Bài toán 11: 
Trong mặt phẳng 
Cho tam giác ABC có M là
điểm bất kỳ trong tam giác.

Trong khơng gian
Cho tứ diện ABCD có M là điểm bất
kỳ trong tứ diện.

   
. . . 0 MBC MCA MAB S MA S MB S MC  
  

    
....

. . . . 0 V MA V MB V MC V MD M BCD M ACD
M ABD M ABC    

GY: Bài tốn trong khơng gian 
Dựng hình hộp AB HC D KMI ' '. ' .
       
Giả thiết . . . . . .( ) .( ) .( ) 0. V MA V MA AB V MA AC V MA AD M BCD M ACD M ABD M

ABC           
. . . . . . .     V AM V AB V AC V AD M ACD M ABD M ABC
   
VVV


M ACD M ABD M ABC . . .

AM AB AC AD

VVV
       
''

. ' ' '.

AB AC AD

AM AB AC AD AM AB AC AD

'


AB AC AD         Bài tốn 12:

Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho tam giác đều ABC và M

là một điểm thay đổi nhưng luôn
nằm trong tam giác ABC. Gọi A B
C ', ', ' là các điểm đối xứng của M
lần lượt qua BC CA AB , , .

Cho tứ diện đều ABCD và M là một
điểm thay đổi nhưng luôn nằm trong tứ
diện ABCD. Gọi 1 1 1 1 A B C D , , , lần lượt
là hình chiếu của M lên các mặt phẳng
( ),( ),( ),( ). BCD ACD ABD ABC Gọi
A B C D ', ', ', ' là các điểm thỏa mãn
 
 
 
MA
MA
'
3
,

1
1 MB MB ' 3 , 
1 MC MC ' 3 , 
 
1 MD MD ' 3 , 

Chứng minh rằng khi M thay đổi
trọng tâm của tam giác A B C ' ' '
vẫn cố định.

Chứng minh rằng khi M thay đổi
trọng tâm của tứ diện A B C D ' ' ' ' vẫn
cố định.

16

GY: Bài tốn trong khơng gian 
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Gọi AE BF CK DI , , , là đường cao
của tứ diện. Ta có AE BF CK DI    .
       
Ta có 1 1 1 1 MA MB MC MD MA MB MC MD ' ' ' ' 3( )      
    
MA
MB MC MD
1111
AE BF CK MI
3( . . . . )
AE BF CK DI    
   
M BCD M ACD M ABD M ABC
....
AE BF CK MI
3( . . . . ) V V V V



VVVV
   
4

( ) V GA V GB V GC V GD


M BCD M ACD M ABD M ABC

V

....


4

( ) V V V V GM


M BCD M ACD M ABD M ABC

V

....

   
MB V MC V MD
ABC

4

( ) V MA V

M BCD M ACD M ABD M

    ....

Do đó tứ diện A B C D ' ' ' ' có trọng tâm G
cố định.


V

.

 4MG

🖎 Để khái qt bài tốn trong hình học phẳng sang bài tốn trong hình  
học khơng gian học sinh phải nắm vững bản chất của lời giải bài tốn trong  
hình học phẳng, từ đó thay đổi tỷ số độ dài của vectơ trong khơng gian. Bài 
tốn 13:
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho tam giác ABC có O H
G M , , , lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC , trực tâm của tam giác
ABC , trọng tâm tam giác ABC,
trung điểm cạnh BC. Đường cao
AK cắt đường tròn ngoại tiếp tại

Cho tứ diện trực tâm ABCD có O H G I ,

, , lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD , trực tâm của tứ diện ABCD ,
trọng tâm tứ diện ABCD, tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD.
Đường cao AK cắt mặt cầu ngoại tiếp tại
E. A1 đối xứng với A qua trọng tâm G.

E.

Chứng minh:
a) GH GO  2 .
b) AH OM  2 .
c) KE KH  .

Chứng minh:
a) GH GO  .
b) 1 AH OA  .
c) KE HK  2 .

17


GY: Bài tốn trong khơng gian 
a) Xét phép vị tự tâm G, tỷ số k  1, ( , 1) 1 : .... V A A G k  biến tứ diện
ABCD thành tứ diện trực tâm 1 1 1 1 A B C D .
11''

33

Ta có G là trung điểm của BB1 và 1

GA GA GA A    là trọng tâm

của tam giác BB A1 1  A B1 1 và CD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường. Do
ABCD là tứ diện trực tâm và 1 1 A B AB / / nên tứ giác ACB D 1 1 là hình thoi. Vì vậy
AC AD 1 1  , tương tự ta có A B AC AD 1 1 1   . Do đó 1 AO BCD  ( ), tương tự 1 1 1
B O ACD C O ABD D O ABC O     ( ), ( ), ( ) là trực tâm của tứ diện 

1 1 1 1 A B C D , hay ( , 1) : , V H O G k  do đó GO GH   .

b) Tứ giác AHAO1 là hình bình hành 1   AH OA .
1'

c) Gọi A2 đối xứng với A qua tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Theo Định lý Menelaus ta có 2 H A A , ', thẳng hàng và 2 HA HA  , do E thuộc

3

đường trịn đường kính AA2 và AK là đường cao của tứ diện ABCD nên AE EA  2
và AK KA  '. Vì vậy theo Định lý Thales KE KH  2 . 🖎 Đây là một bài tốn khó.
Để khái qt bài tốn trong hình học phẳng  sang bài tốn trong hình học 
khơng gian học sinh cần nắm vững cách chứng  minh bài tốn trong hình học 
phẳng, tính chất trọng tâm, trực tâm của tứ diện,  tính chất của phép vị tự. 
Bài tập áp dụng 13.1: Cho tứ diện trực tâm ABCD có các đường cao AA',
BB ', CC ', DD ' đồng quy tại trực tâm H nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AA
BB CC DD ', ', ', ' cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD lần lượt tại
1111

A B C D , , , . Giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

A. 4. B.

4.

3C.

3.

2D.

8.

AA BB CC DD ' ' ' ' T
AA BB CC DD   
 bằng 1 1 1 1

3

18


Bài tốn 14: 
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Cho điểm M nằm trong tam
giác nhọn ABC . Dựng các véctơ

Cho điểm M nằm trong tứ diện

  

lần lượt

vng góc
MA MB MC ', ', '
với các cạnh BC CA AB , , và thỏa

mãn MA BC MB CA ' , ' ,   MC




ABCD. Dựng các véctơ MA MB MC ', ', ',


lần lượt vng góc với các mặt

MD '

phẳng ( ),( ), BCD ACD ( ),( ) ABD ABC và
thỏa mãn ' , MA S  BCD ' , MB S  ACD ' ,

AB ' . 

MC S  ABD ' . MD S  ABC

Chứng minh: M là trọng tâm
của tam giác A B C ' ' '.

Chứng minh: M là trọng tâm của tứ
diện A B C D ' ' ' '.

GY: Bài tốn trong khơng gian 
Áp dụng tính chất tích có hướng: [ , ] [ , ] [ , ], u v w u w v w     





[ , ] [ , ], u v v u       [ , ] [ , ] [ , ], u v w u w v w           [

1 | [ , ] | ABC
 
2
S AB AC  
.
, ] 0, u ku   
        

theo

Do đó ta có

1 1 1 ' [ , ], ' [ , ], ' [ , ]

222
MB CD CA MC DB DA MD BC BA   

quy tắc bàn tay trái, xác định hướng của vectơ.
Ta có

        
1 ' ' ' ([ , ] [ , ] [ , ])
2
MB MC MD CD CA DB DA BC BA      

          
   

11

([ , ] [ , ] [ , ]) ([ , ]-[ , ] [ , ] [ , ])


       BD BC CA DB DA BC BA BD CA BC CA DB DA BC BA 2 2
         
11
([ , - ] [ , ]) ([ , ] [ , ])
     BD CA DA BC BA CA BD CD BC BC
22
    
  
Do đó MA MB MC MD ' ' ' ' 0.    
1
[ , ] '.
2     DC DB MA

🖎 Đây là một bài tốn khó. Để  khái qt bài tốn trong hình học phẳng

sang bài tốn trong hình học khơng gian học sinh cần nắm vững tính chất của
bài tốn trong hình học phẳng và lý thuyết tích có hướng của hai vectơ  trong
khơng gian. 
🖎 Học sinh hiểu được khả năng khái qt tính chất tâm tỷ cự trong hình  
học phẳng thành tính chất tâm tỷ cự trong hình học khơng gian.
19

Bài tốn 15: 
Trong mặt phẳng 

Trong khơng gian

Gọi O là tâm của tam giác đều
ABC . M là điểm bất kỳ trên cạnh
BC. Gọi B C', ' lần lượt là hình
chiếu của M lên các cạnh AB AC ,
.

Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm
G, cạnh AB a  ; O là tâm của tam giác
BCD và M là điểm bất kỳ thuộc mặt
phẳng ( ) BCD . Gọi H K L , , lần lượt là
hình chiếu vng góc của M lên các
mặt phẳng ( ),( ),( ) ACD ABD ABC .

Tính   chất:  Đường thẳng OM đi
qua trung điểm N của đoạn thẳng

Tính chất: Đường thẳng GM ln đi
qua trọng tâm E của tam giác HKL.

B C' '.

GY: Bài tốn trong khơng gian 


Cách 1: Độ dài đường cao của tứ diện ABCD là

a

AO BB CC DD h    

 . Độ dài đường cao trong tam giác BCD là
6
111

a

3 TD
h  và 2 3

3
2 TG

a

S S S S         4 BCD MBC MCD MBD 2

3 13()
    a MM MM MM 1 2 3 2

24

a

a
    MM MM MM

123

MM MM MM

Ta có MM MM MM h 1 2 3   

123
TG

1

hhh
TG TG TG

   

Do M nằm trong tam giác BCD nên . . . 0 MCD MBD MBC S MB S MC S MD      
   

SSS

   

MB MC MD 

MM MM MM
   . . . 0 MCD MBD MBC     1 2 3 . . . 0



MB MC MD

SSS

hhh


BCD BCD BCD

TG TG TG

   
MM MM MM MM MM MM h h h h h h      
123123
. . . ( ).
GB GC GD GM
TG TG TG TG TG TG    
MM MM MM
hhh
123
...
GB GC GD GM
TG TG TG

20
MH MM

MK MM

Áp dụng Định lý Thales 1
hh.

ML MM
hh
3

TD TG

hh;

Tương tự 2

TD TG

TD TG

   