Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN
MỚI NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP
LUẬN TỐN HỌC CHO HỌC SINH THPT
MƠN: TỐN


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

ĐỀ TÀI:

PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI
NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT
MƠN: TỐN
Tác giả: Trần Đình Hiền
Tổ: Toán

Năm thực hiện 2020 - 2021
SĐT liên hệ: 0949 996 500


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Đối tượng nghiên cứu

IV. Kế hoạch nghiên cứu
V. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng
II. Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra
III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả
IV. Cơ sở lý luận
1. Năng lực tốn học
2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh
3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện được
V. Nội dung đề tài
1. Khái quát hóa bài tốn hình học phẳng thành bài tốn hình học
khơng gian
1.1. Khái qt hóa bài tốn liên quan đến trọng tâm, trực tâm, tỷ số
thể tích, tâm tỷ cự …
1.2. Khái qt hóa bài tốn liên quan đến quỹ tích
2. Tương tự hóa bài tốn hình học khơng gian thành bài tốn mới
2.1. Tương tự hóa bài tốn bằng cách thay đổi giả thiết
2.2. Tương tự hóa bài tốn bằng cách hoán đổi giữa giả thiết và kết
luận
3. Phát triển bài tốn hình học tổng hợp thành bài tốn mới
3.1. Phát triển thành bài tốn hình học giải tích
3.2. Phát triển thành bài toán số phức
3.3. Phát triển thành bài tốn hình học khơng gian
4. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện
PHẦN III. KẾT LUẬN
I. Những kết luận
II. Những kiến nghị đề xuất
Danh mục tài liệu tham khảo

Trang

1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
5
5
5
7
7
21
26
26
31
34
34
36
38
44
51
51

51


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực là thuộc tính
cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn
luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công
một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ
thể”.
Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực
tơi ln tự hỏi làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân nhận
thấy rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám
phá những điều chưa biết. Để có một bài giảng thu hút được học sinh, giúp học
sinh phát triển năng lực tốn học địi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tòi, cập nhật
các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Dạy học dựa trên phát triển năng lực (trong đó có dạy học dựa trên phát triển
năng lực tư duy và lập luận tốn học) là chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy
và học. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy
học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động
trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá
nhân.
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái
hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề,
xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào
thực tiễn. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào
những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận
để đưa ra kết luận đúng.
Trong số những bài tốn hình học khơng gian của đề thi thử TN THPT

trên toàn quốc, học sinh giỏi các tỉnh/thành phố có nhiều bài tốn được khái
qt hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa từ những bài tốn đơn giản, nhưng
những bài tốn đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong q trình vận
dụng kiến thức để giải quyết. Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến
kinh nghiệm của mình: “Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm
phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận một số bài
tốn hình học khơng gian trong đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, đề thi học
sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố.
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. Đặc biệt, đối với học
sinh lớp 11 và lớp 12 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để ôn thi TN THPT
năm 2021, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố.
1


III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Học sinh lớp 11 và lớp 12 THPT.
Giáo viên giảng dạy mơn tốn bậc THPT.
IV. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU.
Quá trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh
khác nhau để hoàn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà
học sinh thường gặp trong quá trình học tập, giải quyết các bài tốn hình học
khơng gian. Trao đổi chun mơn cùng q Thầy, Cơ mơn Tốn trong tổ,
ngồi trường và trên các diễn đàn tốn học.
Đề tài được thực hiện trong năm học 2020-2021 với kế hoạch cụ thể.
TT
Thời gian
Nội dung công việc
Sản phẩm

Từ 20/9/2020
Chọn đề tài
Đăng ký đề tài SKKN
1
đến 2/11/2020
Từ 3/11/2020 đến Viết đề cương nghiên cứu
Trình xét duyệt bản
2
15/12/2020
đề cương SKKN
Từ 16/12/2020 Đọc tài liệu lý thuyết viết Tập hợp tài liệu lý
3
đến 30/12/2020 cơ sở lý luận
thuyết
Từ 1/1/2021
Trao đổi với đồng nghiệp Tập hợp ý kiến đóng
4
đến 15/1/2021
và đề xuất sáng kiến
góp của đồng nghiệp
Từ 16/1/2021
Dạy thử nghiệm tại các lớp Thống kê các kết quả
5
đến 30/1/2021
12A, 12D, 12E trường thử nghiệm
THPT Đặng Thúc Hứa
Từ 1/2/2021
Dạy thử nghiệm tại các lớp Thống kê các kết quả
6
đến 6/3/2021

11 và 12 trường THPT thử nghiệm
huyện Thanh Chương
Từ 7/3/2021
Hoàn thiện đề tài nghiên Hoàn thành SKKN
7
đến 20/3/2021
cứu
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan đến bài tốn hình học khơng gian,
phát triển bài toán thành các bài toán mới, phương pháp dạy học theo phát triển
năng lực tư duy và lập luận toán học.
Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
Giảng dạy tại các lớp 11 và lớp 12 trường THPT Đặng Thúc Hứa. Phối
hợp với giáo viên mơn Tốn trường THPT trong huyện Thanh Chương, trong
tỉnh Nghệ An để dạy thử nghiệm tại các lớp 11 và lớp 12.

2


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG.
Trường THPT Đặng Thúc Hứa đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn
về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được
quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về mơn Tốn của
các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá.
Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao
năng lực tư duy và lập luận toán học, các em thường thụ động trong việc tiếp
cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp
hoặc làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tịi, sáng tạo cũng như tạo
niềm vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán.

Kết quả khảo sát học sinh ở một số lớp và giáo viên Toán THPT trên địa
bàn huyện Thanh Chương về nội dung hình học khơng gian, chỉ có khoảng
10% học sinh hứng thú với bài tốn dạng này.
II. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA.
Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho
thấy. Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học, giải quyết được
các vấn đề đặt ra và 50% trong số đó biết cách tìm tịi, xây dựng những bài
tốn tương tự, bài toán mới.
Trong các kỳ thi thử TN THPT trên tồn quốc có 90% học sinh các lớp
được dạy thử nghiệm có thể giải quyết những bài tốn hình học không gian.
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ.
Đề tài là tài liệu tham khảo ôn thi TN THPT, thi học sinh giỏi cấp
tỉnh/thành phố cho các học sinh đang học lớp 11 và lớp 12 THPT.
Đề tài có thể áp dụng để phát triển thêm những lớp bài toán khác cho
giáo viên Toán ở trường THPT.
Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo cho
học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy mơn tốn.
IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
1. Năng lực toán học.
Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng
và giải thích tốn học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực tốn học phổ thơng là
khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức tốn học trong cuộc sống;
vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn,
đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng
phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin hiệu quả thơng
qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề tốn học trong các tình huống,
hồn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động.
Năng lực tốn học phổ thơng khơng đồng nhất với khả năng tiếp nhận
3

nội dung của chương trình tốn trong nhà trường phổ thơng truyền thống, mà
điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển
như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát
hóa và phát hiện được tri thức tốn học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự
kiện.

1.1. Năng lực tư duy toán học.
Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi
nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết
vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận
dụng vào thực tiễn.
1.2. Năng lực lập luận toán học.
Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những
tiền đề cho trước, sử dụng ngơn ngữ tốn học, bằng phương pháp luận để đưa
ra kết luận đúng.
2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh.
4


2.1. Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức
của học sinh.
Phương pháp dạy học phải đi từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó;
khơng chỉ coi trọng tính logic của khoa học tốn học mà cần chú ý cách tiếp
cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của học sinh.
2.2. Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”.
Phương pháp dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý
nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân
học sinh; tổ chức q trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh
được tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề.

2.3. Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy
học tích cực.
Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc
vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp các hoạt
động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng
kiến thức toán học vào thực tiễn. Cấu trúc bài học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài
hòa giữa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng và các thành phần khác.
2.4. Sử dụng được các phương tiện, thiết bị dạy học.
Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo
quy định đối với môn Tốn; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù
hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công
nghệ thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp
và hiệu quả.
3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện được
trong năng lực tư duy và lập luận toán học.
Thực hiện được các thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt
hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch.
Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và lập luận hợp lí trước
khi kết luận.
Giải thích và điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương tiện toán học.

V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Trong các đề thi thử TN THPT, học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố có
nhiều bài tốn được khái qt hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa từ những bài
tốn đơn giản, nhưng những bài tốn đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh
trong q trình vận dụng kiến thức để giải quyết.
Ví dụ 1: [Câu 45 – THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) lần 1 năm 2020]
Cho hình chóp S .ABC có SA vng góc với (ABC ), AB  3, AC  2 và
BAC  600. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A lên cạnh SB, SC . Tính bán

5


kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCNM .
A. R  2.

B. R 

21
.
3

C. R 

4
3

.

D. R  1.

Ví dụ 2 [THPT Thạch Thành 1- Thanh Hóa – 2021] Cho hình chóp
S .ABC có đáy ABC là tam giác thỏa mãn AB  a, AC  a 2, BAC  1350,

tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vng tại A. Biết góc giữa hai
mặt phẳng (SAC ) và (SAB ) bằng 300. Thể tích V của khối chóp S .ABC bằng
A. V 

a3 6
.

6

B. V 

a3
.
3

C. V 

a3 6
.
3

D. V 

a3
.
6

Ví dụ 3: [Câu 47 – Khối THPT chuyên Đại học Vinh lần 1 năm 2018]
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6; 2), B(5;10; 9) và mặt
phẳng () : 2x  2y  z  12  0. Điểm M di động trên mặt phẳng () sao cho
MA, MB ln tạo với () các góc bằng nhau. Biết rằng M ln thuộc một
đường trịn () cố định. Hồnh độ của tâm đường trịn () bằng
9
C. 2.
D. 10.
2
Ví dụ 4: [Câu 5.b HSG lớp 11 vịng 2 năm 2020 - trường THPT Đặng Thúc Hứa]

A. – 4.

B. .

Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm G, cạnh AB  a; O là tâm của tam
giác BCD và M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (BCD ) . Gọi H , K , L lần lượt
là hình chiếu vng góc của M lên các mặt phẳng (ACD ),(ABD ),(ABC ) .
Chứng minh đường thẳng GM luôn đi qua trọng tâm E của tam giác HKL.
Ví dụ 5: [Câu 3 HSG lớp 11 vòng 4 năm học 2015-2016 THPT Đô Lương 1]
Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm cách đều A, B,C , D. Gọi
ma , mb , mc , md là độ dài các đường trọng tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C , D và R
là khoảng cách từ O đến mỗi đỉnh đó và thỏa mãn 3(ma  mb  mc  md )  16R.
Chứng minh rằng AB  CD, BC  AD, CA  BD. (trọng tuyến của tứ diện là
đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện).
Trong q trình giảng dạy, trao đổi chun mơn với đồng nghiệp, tương
tác với học sinh ở nội dung hình học khơng gian, nhiều giáo viên gặp khó khăn
khi lập luận, giải thích để học sinh hiểu; phần lớn học sinh lớp 11, 12 không
biết định hướng cách làm và thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích, lập
luận của giáo viên, bạn bè.
Trong đề tài này việc phát triển năng lực tư duy, lập luận toán học dựa
trên nguyên tắc của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến
phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngoài đến
bản chất bên trong.
Sau đây là một số dạng bài tốn được phân tích, suy luận, tương tự hóa,
6


đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực toán
học.

1. Khái quát hóa bài tốn hình học phẳng thành bài tốn hình
khơng gian.
1.1. Khái qt hóa bài tốn liên quan đến trọng tâm, trực tâm,
thẳng hàng, tỷ số thể tích, tâm tỷ cự…
Bài tốn 1:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian
Cho tam giác ABC có trọng Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G và E
tâm G và M là trung điểm của là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi M , N
cạnh BC .
lần lượt là trung điểm của AB,CD.

Định nghĩa 1: Ba đường Định nghĩa 1: Bốn đường đường trọng
trung tuyến đồng quy tại trọng tuyến đồng quy tại trọng tâm G của tứ
tâm G .
diện.
    
Định nghĩa 2:
Định
nghĩa
2:
GA
 GB  GC  GD  0
   
GA  GB  GC  0


Tính chất: AG  2GM .

Tính chất 1: G là trung điểm của đoạn

thẳng MN .




Tính chất 2: AG  3GE .
GY: Bài tốn trong khơng gian
Tính chất 1: Do M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD nên


 
  
GA  GB  2GM , GC  GD  2GN .











Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên GA  GB  GC  GD  0 , ta







có 2GM  2GN  0 suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng MN .
Tính chất 2:
Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus ta có


AM BN EG
.
.
 1  AG  3GE , do đó AG  3GE .
MB NE GA
Cách 2: Dựng điểm MF song song với AE (trong đó F  BN ). Áp dụng


1
1 1
định lý Thales GE  MF  . AE  AE  4GE  AG  3GE .
2
2 2

 Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa định nghĩa trọng tâm và
7


các tính chất của trọng tâm tam giác trong hình học phẳng thành định nghĩa
trọng tâm và tính chất trọng tâm của tứ diện trong hình học khơng gian.
 Phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học qua bài tốn sử dụng
tính chất của trọng tâm tứ diện
Bài tập áp dụng 1.1: Cho tứ diện ABCD . Tìm điểm M trong khơng

gian sao cho biểu thức T  MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập áp dụng 1.2: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  c,
AD  BC  b, AC  BD  a, các đường trọng tuyến AA ', BB ' cắt nhau tại
trọng tâm G của tứ diện. Biết AA ' và BB ' vng góc với nhau, tìm mệnh đề
đúng trong các mệnh đề sau.
A. a 2  b 2  3c 2 . B. a.c  3b 2 . C. (a  b)2  3c 2 . D. a 2  c 2  3ac.
Bài tập áp dụng 1.3: [HSG Kon Tum - 2007] Cho tứ diện ABCD nội
tiếp mặt cầu (S ) . Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD , các đường thẳng
AG, BG,CG, DG lần lượt cắt mặt cầu (S ) tại các điểm thứ hai A ', B ',C ', D ' .
Chứng minh VABCD  VA ' B 'C ' D ' .
Bài toán 2: Các đường cao của tứ diện bất kỳ có đồng quy tại một điểm
không?
Trong mặt phẳng
Trong không gian
Cho tam giác ABC .
Cho tứ diện ABCD bất kỳ.
Ba đường cao đồng
Điều kiện cần và đủ để các đường cao của tứ
quy tại trực tâm H .
diện đồng quy tại một điểm (gọi là tứ diện trực
tâm) là:
a) Các cạnh đối của tứ diện vng góc với nhau.
b) Một đường cao của tứ diện đi qua trực tâm
của mặt này.
c) Tổng bình phương của các cạnh chéo nhau thì
bằng nhau.
d) Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh
chéo nhau thì bằng nhau.

GY: Bài tốn trong khơng gian

Gọi E, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (BCD ) và (ACD ) và H là
giao điểm của AE và BK .
8


a) Do đó CD  AE ,CD  AK  CD  (ABH )  CD  AB.
b) Theo câu a) CD  (ABE )  CD  BE . Tương tự BC  DE . Do đó E
là trực tâm của tam giác BCD.
c)
   
   
AB 2  CD 2  AC 2  BD 2  (AB  AC )(AB  AC )  (CD  BD )(CD  BD )  0
  
  
 
 CB(AB  AC )  CB(CD  BD )  0  2CB.AD  0  AD  BC .

d) Gọi P,Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, AB, AC , BD . Áp dụng
cơng thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác và áp dụng câu c).
PQ 2 


AP 2  BP 2 AB 2
(AC 2  BD 2 )  (AD 2  BC 2 )  (AB 2  CD 2 )


2
4
4

(AB 2  CD 2 )  (AD 2  BC 2 )  (AD 2  BD 2 )
 RS 2 .
4

 Học sinh hiểu được khả năng khái quát tứ diện trực tâm và các tính
chất trong hình học khơng gian.
Bài tốn 3:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian
Cho tam giác ABC có R, r lần Cho tứ diện ABCD có R, r lần lượt là
lượt là bán kính đường trịn ngoại bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp
tiếp và nội tiếp tam giác.
tứ diện.
Chứng minh: R  2r .
Chứng minh: R  3r .

GY: Bài tốn trong khơng gian
Gọi A ', B ',C ', D ' lần lượt là trọng tâm của các tam giác
BCD, ACD, ABD, ABC và G,O, I lần lượt là trọng tâm, tâm mặt cầu nội tiếp,
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
1
3

Xét phép vị tự tâm G, tỷ số k   , V

1
(G ,k  )
3

: A  A ' … biến tứ diện

ABCD thành tứ diện A ' B ' C ' D '.

Gọi R ' là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' B 'C ' D ' , khi đó
R  3R ' và R '  r . Do đó R  3r, dấu bằng xảy ra khi ABCD là tứ diện đều.
 Để khái qt bài tốn trong hình học phẳng sang bài tốn trong hình
9


học không gian học sinh phải nắm vững phép vị tự và các tính chất.
Bài tốn 4:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian
Cho tam giác ABC vng tại Cho hình chóp O.ABC có OA,OB,OC
A có đường cao AH .
đơi một vng góc và OH là đường cao
của hình chóp.
Tính chất 1:
Tính chất 1:
1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

1
1
1
1



2
2
2
OH
OA
OB
OC 2

Tính chất 2: (ĐL Pythagoras)
2

2

AB  AC  BC

2

Tính chất 2:
S 2 OAB  S 2 OAC  S 2 OBC  S 2 ABC

Tính chất 3: H là trực tâm của tam giác
ABC .

GY: Bài toán trong khơng gian
Tính chất 1: Gọi K là hình chiếu vng góc của O lên cạnh AB. Tam
giác OAB vng tại O, có đường cao OK ; tam giác OKC vng tại O, có
đường cao OH . Do đó

1
1
1
1
1
1





2
2
2
2
2
OH
OK
OC
OA
OB
OC 2

1
4

1
4

Tính chất 2: S 2 ABC  CK 2 .AB 2  (OC 2  OK 2 ).AB 2
1
1
 OC 2 (OA2  OB 2 )  OK 2 .AB 2  S 2 OAB  S 2 OBC  S 2 OCA
4
4

 Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa độ dài đường cao của
tam giác vng trong hình học phẳng thành độ dài đường cao của tam diện
vuông trong hình học khơng gian.
Bài tập áp dụng 4.1: Cho hình chóp O.ABC có OC vng góc với mặt
phẳng (OAB ). Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên mặt phẳng (ABC ).
Biết

1
1
1
1



. Chứng minh tam giác OAB vuông tại O.
2
2
2
OH

OA
OB
OC 2

Bài tập áp dụng 4.2: [HSG Nam Định 2020] Cho hình chóp O.ABC có
OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Gọi R, r lần lượt là bán kính mặt
cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp hình chóp O.ABC ; V là thể tích khối chóp
O.ABC và h là chiều cao của khối chóp O.ABC kẻ từ đỉnh O. Giá trị nhỏ nhất
10


của biểu thức

V (h  r )
bằng
R 2hr

1
2

1
3

A. .

2
3

B. .

C. .

3
2

D. .

Bài tập áp dụng 4.3: Cho tứ diện gần đều ABCD có đường cao
AH ,(H  (BCD )) , H 1 là trực tâm của tam giác BCD, O1 là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng O1 là trung điểm của đoạn thẳng
HH 1.

Bài toán 5:
Trong mặt phẳng
Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi
  BAC ,   DAC .

Trong khơng gian
Cho
hình
hộp
chữ
nhật
ABCD.A ' B 'C ' D '. Gọi   BAC ',
  DAC ',   A ' AC '.

Tính chất: cos2   cos2   1.

Tính chất: cos2   cos2   cos2   1.

GY: Bài toán trong không gian
cos2  

AB 2
AD 2
AA '2
2
2
,
cos


,
cos


AC '2
AC '2
AC '2

AB 2
AD 2
AA '2
Do đó cos   cos   cos  


 1.
AC '2 AC '2 AC '2
2

2

2

 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa tính chất trong hình học
phẳng thành tính chất trong hình học khơng gian.
Bài tập áp dụng 5.1: Cho tứ diện đều ABCD. Mặt phẳng (P ) chứa cạnh
CD cắt cạnh AB tại E . Gọi ,  lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng (P ) với các
mặt phẳng (BCD ) và (ACD ). Giá trị biểu thức T  cos(   ) bằng.
1
2

A. .

1
3

B. .

2
3

C. .

1
6

D. .

Bài tập áp dụng 5.2: [HSG Bắc Ninh - 2019] Cho tứ diện đều ABCD có

đường cao AH . Mặt phẳng (P ) chứa cạnh AH cắt các cạnh BC ,CD, BD lần
lượt tại M , N , P. Gọi , ,  lần lượt là góc tạo bởi AM , AN , AP với mặt phẳng
(BCD ) . Chứng minh rằng tan2   tan2   tan2   12.

Bài toán 6:
Trong mặt phẳng

Trong không gian
11


Cho tam giác ABC
Cho đa giác A1A2 ...An nằm trên mặt phẳng
vng tại A có đường cao (P ) và có diện tích S , đa giác A' A' ...A' là hình
1 2
n
AH .

chiếu vng góc của đa giác A1A2 ...An lên mặt
phẳng (Q ). Đa giác A1' A2' ...An' có diện tích S ' ,

góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q ) bằng .
Hệ thức lượng trong tam Định lý hình chiếu:
giác
vng: S '  S .cos 
AB  BC .cos B

 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa định lý hình chiếu trong
hình học phẳng thành định lý hình chiếu trong hình học khơng gian.
Bài tập áp dụng 6.1: Cho hình lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC

là tam giác cân AB  AC  a, BAC  1200, BB '  a. Gọi M là trung điểm của
CC '. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (AB ' M ) và (ABC ). Giá trị cos  bằng.
A.

10
.
10

B.

3
.
3

C.

30
.
10

D.

3
.
6

Bài tốn 7:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian
Cho tam giác OAB , một đường Cho tứ diện S .ABC , một mặt phẳng

thẳng bất kỳ cắt hai cạnh OA,OB bất kỳ cắt cạnh SA, SB, SC lần lượt tại
A ', B ',C '.
lần lượt tại A, B.
Tỷ số diện tích:
Tỷ số thể tích:
S OA ' B '
S OAB



OA ' OB '
.
OA OB

VS .A ' B 'C '
VS .ABC



SA ' SB ' SC '
.
.
.
SA SB SC

GY: Bài tốn trong khơng gian
12


VS.A' B 'C '

VS.ABC



VA'.SB 'C '
VA.SB 'C '

1
1
dtSB 'C '.d(A',(SBC))
SB'.SC '.sinBSC
d(A',(SBC)) SA'.SB '.SC '
3
2
.

1
1
d(A,(SBC))
SASBSC
. .
dtSBC.d(A,(SBC))
SBSC
. .sinBSC
3
2

 Học sinh hiểu được khả năng khái qt hóa tỷ số diện tích trong hình
học phẳng thành tỷ số thể tích trong hình học khơng gian.
Bài tập áp dụng 7.1: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình

bình hành. Mặt phẳng (P ) cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt tại A ', B ',C ', D '.
Đặt x 

SA
SC
SB
SD
;y 
;u 
;v 
. Chứng minh rằng
SA '
SC '
SB '
SD '

a)
b)

SA
SC
SB
SD



.
SA ' SC ' SB ' SD '

VS .A ' B 'C ' D '

VS .ABCD



x y u v
.
4xyuv

Bài toán 8:
Trong mặt phẳng
Cho tam giác ABC , M là điểm
thuộc cạnh BC . Qua M kẻ các
đường thẳng song song với
AB, AC , chúng cắt các cạnh
AC , AB lần lượt tại B ',C '. Chứng
minh rằng khi M thay đổi thì biểu
thức

MB ' MC '
là hằng số.

AB
AC

Trong khơng gian
Cho hình chóp S .ABC , M là điểm
nằm trong tam giác ABC . Qua M kẻ
các đường thẳng song song với
SA, SB, SC , chúng cắt các mặt phẳng
(SBC ), (SCA), (SAB ) lần lượt tại

A ', B ',C '. Chứng minh rằng khi M
thay
đổi
thì
biểu
thức
MA ' MB ' MC '
là hằng số.


SA
SB
SC

GY: Bài tốn trong khơng gian
VS .ABC  VM .SAB VM .SAC  VM .SBC 


VM .SAB
VC .SAB



VM .SAC
VB .SAC



VM .SBC
VA.SBC

 1.

MF ME MD
MA ' MB ' MC '


1


 1.
CF
BE
AD
SA
SB
SC

 Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa tỷ số độ dài đoạn thẳng
trong hình học phẳng thành tỷ số độ dài đoạn thẳng trong hình học khơng
13


gian.
Bài tập áp dụng 8.1: [HSG Cụm trường Cầu Giấy – Hà Nội 2020] Cho
hình chóp S .ABC , M là điểm nằm trong tam giác ABC . Qua M kẻ các đường
thẳng song song với SA, SB, SC , chúng cắt các mặt phẳng (SBC ), (SCA), (SAB )
lần lượt tại A ', B ',C '. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T 

SA
SB
SC


bằng.
MA '
MB '
MC '

A. 3 3.
B. 3.
C. 6 3.
D. 6.
Bài tập áp dụng 8.2: [HSG THPT Lê Hồng Phong 2020, HSG Gia Lai
2020] Cho điểm M nằm trong tứ diện ABCD . Các đường thẳng
MA, MB, BC , MD lần lượt cắt (BCD ),(ACD ),(ABD ),(ABC ) tại A ', B ', C ', D ' thỏa
mãn

MA
MB
MC
MD



 12. Gọi V ,V1 lần lượt là thể tích khối tứ diện
MA ' MB ' MC ' MD '

ABCD, MBCD. Tỷ số

V
bằng
V1

A. 2.

B. 3.

3
2

D. .

C. 4.

Bài toán 9:
Trong mặt phẳng
Trong không gian
Cho tam giác ABC . M là điểm Cho tứ diện ABCD bất kỳ. M là điểm
bất kỳ trong tam giác. Gọi bất kỳ trong tứ diện. Gọi A ', B ',C ', D '
A ', B ',C ' lần lượt là hình chiếu của lần lượt là hình chiếu của M lên các
M lên cạnh BC ,CA, AB ( ha , hb , hc mặt phẳng (BCD ),(CDA),(ABD ),(ABC ).
lần lượt là độ dài đường cao của Gọi ha , hb , hc , hd lần lượt là độ dài đường
tam giác kẻ từ các đỉnh A, B,C ).
cao của tứ diện kẻ từ các đỉnh
A, B,C , D.

MA ' MB ' MC '



 1.
ha
hb
hc

MA ' MB ' MC ' MD '



 1.
ha
hb
hc
hd

GY: Bài tốn trong khơng gian
VM .BCD VM .ACD VM .ACD  VM .ABC  V 

VM .BCD
V



VM .ACD
V



VM .ACD

V



VM .ABC
V

1

14


Do đó

MA ' MB ' MC ' MD '



 1.
ha
hb
hc
hd

 Học sinh hiểu được khả năng khái quát tính chất tỷ số diện tích trong
hình học phẳng sang tính chất tỷ số thể tích trong hình học khơng gian.
Bài tập áp dụng 9.1: [HSG An Giang 2020] Cho M là điểm bất kỳ
trong tứ diện ABCD . Gọi ka , kb , kc , kd lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến
các

mặt

phẳng

(BCD ),(CDA),(ABD ),(ABC ).

Chứng

minh

rằng

MA  MB  MC  MD  2 ka kb  2 ka kc  2 ka kd  2 kbkc  2 kbkd  2 kckd .

Bài tốn 10:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian
a) Nếu điểm M thuộc đường a) Nếu điểm M thuộc mặt phẳng
thẳng AB thì có hai số x , y mà (ABC ) thì có ba số x , y, z mà
sao
cho x  y  z  1
sao
cho
x y  1



OM  xOA  yOB, với mọi điểm O.

b) Nếu có điểm O thỏa mãn






OM  xOA  yOB


thì điểm M


x y 1



thuộc đường thẳng AB.





OM  xOA  yOB  zOC ,

với

mọi

điểm O.
b) Nếu có điểm O thỏa mãn







OM  xOA  yOB  zOC




x y z 1




thì điểm

M thuộc mặt phẳng (ABC ).

GY: Bài tốn trong không gian
a) Do M thuộc mặt phẳng (ABC ) nên có 2 số x , y sao cho









Đặt
z  1x y ,
CM  xCA  yCB  OM  xOA  yOB  (1  x  y )OC .




 x  y  z  1 , vì vậy OM  xOA  yOB  zOC .







b) OM  xOA  yOB  (1  x  y )OC  CM  xCA  yCB , do đó M

thuộc mặt phẳng (ABC ).
 Học sinh hiểu được khả năng khái qt tính chất ba điểm thẳng hàng
trong hình học phẳng thành tính chất bốn điểm đồng phẳng trong hình học
không gian.
Bài tập áp dụng 10.1: Cho tứ diện SABC có trọng tâm G . Mặt phẳng
(P ) bất kỳ đi qua G , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B ',C '. Giá trị của
biểu thức T 

SA
SB
SC
bằng



SA ' SB ' SC '
B. 4.

A. 3.
C. 5.
D. 6.
Bài tập áp dụng 10.2: [HSG THPT Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc 2020] Cho
tứ diện SABC có G là trọng tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của SG .
Mặt phẳng (P ) bất kỳ đi qua M , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B ',C '.
15


Giá trị của biểu thức T 

SA
SB
SC
bằng


SA ' SB ' SC '
B. 4.
C. 5.

A. 3.
D. 6.
Bài toán 11:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian

Cho tam giác ABC có M là Cho tứ diện ABCD có M là điểm bất
điểm bất kỳ trong tam giác.
kỳ trong tứ diện.



 



 
SMBC .MA  SMCA.MB  SMAB .MC  0 VM.BCD.MAVM.ACD.MB VM.ABD.MC VM.ABC.MD  0

GY: Bài tốn trong khơng gian
Dựng hình hộp AB ' HC '.D ' KMI .
















Giả thiết VM.BCD.MA VM.ACD.(MA  AB) VM.ABD.(MA  AC) VM.ABC .(MA AD)  0.




 V .AM  VM .ACD .AB VM .ABD .AC VM .ABC .AD

 V
 V
 V

 AM  M .ACD AB  M .ABD AC  M .ABC AD
V
V
V
 AB '  AC '  AD ' 
   
 AM 
.AB 
AC 
AD  AM  AB '  AC '  AD '.
AB
AC
AD

Bài tốn 12:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian
Cho tam giác đều ABC và M

Cho tứ diện đều ABCD và M là một
là một điểm thay đổi nhưng luôn điểm thay đổi nhưng luôn nằm trong tứ
nằm trong tam giác ABC . Gọi diện ABCD. Gọi A , B ,C , D lần lượt là
1
1
1
1
A ', B ',C ' là các điểm đối xứng của
hình chiếu của M lên các mặt phẳng
M lần lượt qua BC ,CA, AB.
(BCD ),(ACD ),(ABD ),(ABC ). Gọi
A ', B ',C ', D ' là các điểm thỏa mãn

 
 

MA '  3MA1, MB '  3MB1, MC '  3MC 1,


MD '  3MD1,

Chứng minh rằng khi M thay đổi
Chứng minh rằng khi M thay đổi
trọng tâm của tam giác A ' B 'C ' trọng tâm của tứ diện A ' B 'C ' D ' vẫn cố
vẫn cố định.
định.
16


GY: Bài tốn trong khơng gian

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Gọi AE , BF ,CK , DI là đường cao
của tứ diện. Ta có AE  BF  CK  DI .
















Ta có MA '  MB '  MC '  MD '  3(MA1  MB1  MC 1  MD1 )
MA1  MB1  MC 1  MD1 
.AE 
.BF 
.CK 
.MI )
AE
BF
CK
DI
 V
 V

 V

V
 3( M .BCD .AE  M .ACD .BF  M .ABD .CK  M .ABC .MI )
V
V
V
V







4
  (VM .BCDGA VM .ACDGB  VM .ABDGC VM .ABC GD )
V

4
  (VM .BCD VM .ACD VM .ABD VM .ABC )GM
V





4
 (VM .BCD MA VM .ACD MB VM .ABD MC VM .ABC MD )  4MG .
V

Do đó tứ diện A ' B 'C ' D ' có trọng tâm G cố định.
 3(

 Để khái quát bài toán trong hình học phẳng sang bài tốn trong hình
học khơng gian học sinh phải nắm vững bản chất của lời giải bài tốn trong
hình học phẳng, từ đó thay đổi tỷ số độ dài của vectơ trong khơng gian.
Bài tốn 13:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian
Cho tam giác ABC có Cho tứ diện trực tâm ABCD có
O, H ,G, M lần lượt là tâm đường O, H ,G, I lần lượt là tâm mặt cầu ngoại
tròn ngoại tiếp của tam giác tiếp tứ diện ABCD , trực tâm của tứ diện
ABC , trực tâm của tam giác
ABCD , trọng tâm tứ diện ABCD, tâm
ABC , trọng tâm tam giác ABC ,
trung điểm cạnh BC . Đường cao đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
AK cắt đường tròn ngoại tiếp tại Đường cao AK cắt mặt cầu ngoại tiếp tại
E . A1 đối xứng với A qua trọng tâm G .
E.
Chứng minh:
a) GH  2GO.
b) AH  2OM .
c) KE  KH .

Chứng minh:
a) GH  GO.
b) AH  OA1.
c) KE  2HK .
17

GY: Bài tốn trong khơng gian
a) Xét phép vị tự tâm G, tỷ số k  1, V(G ,k 1) : A  A1.... biến tứ diện
ABCD thành tứ diện trực tâm A1B1C 1D1.

1
3

1
3

Ta có G là trung điểm của BB1 và GA '  GA  GA1  A ' là trọng tâm
của tam giác BB1A1  A1B1 và CD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
Do ABCD là tứ diện trực tâm và A1B1 / /AB nên tứ giác ACB
D là hình thoi.
1
1
Vì vậy AC
 A1D , tương tự ta có A1B  AC
 A1D . Do đó AO
 (BCD ), tương
1
1
1
tự B1O  (ACD ),C 1O  (ABD), D1O  (ABC )  O là trực tâm của tứ diện


A1B1C 1D1, hay V(G ,k 1) : H  O, do đó GO  GH .

b) Tứ giác AHAO

là hình bình hành  AH  OA1.
1
c) Gọi A2 đối xứng với A qua tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
1
3

Theo Định lý Menelaus ta có H , A ', A2 thẳng hàng và HA '  HA2 , do E thuộc
đường trịn đường kính AA2 và AK là đường cao của tứ diện ABCD nên
AE  EA2 và AK  KA '. Vì vậy theo Định lý Thales KE  2KH .

 Đây là một bài tốn khó. Để khái qt bài tốn trong hình học phẳng
sang bài tốn trong hình học khơng gian học sinh cần nắm vững cách chứng
minh bài toán trong hình học phẳng, tính chất trọng tâm, trực tâm của tứ diện,
tính chất của phép vị tự.
Bài tập áp dụng 13.1: Cho tứ diện trực tâm ABCD có các đường cao
AA ', BB ', CC ', DD ' đồng quy tại trực tâm H nằm trong tứ diện. Các đường
thẳng AA ', BB ',CC ', DD ' cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD lần lượt tại
A1, B1,C 1, D1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 

A. 4.

B.

4
.
3

AA ' BB ' CC ' DD '
bằng




AA1 BB1 CC 1 DD1

3
2

C. .

D.

8
.
3

18


Bài toán 14:
Trong mặt phẳng
Cho điểm M nằm trong tam
giác nhọn ABC . Dựng các véctơ
  
MA ', MB ', MC ' lần lượt vng góc
với các cạnh BC ,CA, AB và thỏa
mãn
MA '  BC , MB '  CA,
MC '  AB.

Trong không gian

Cho điểm M nằm trong tứ diện
  
ABCD. Dựng các véctơ MA ', MB ', MC ',

MD '

lần lượt vng góc với các mặt
phẳng (BCD ),(ACD ), (ABD ),(ABC ) và
thỏa mãn MA '  S BCD , MB '  S ACD ,
MC '  S ABD , MD '  S ABC .

Chứng minh: M là trọng tâm
Chứng minh: M là trọng tâm của tứ
của tam giác A ' B 'C '.
diện A ' B 'C ' D '.

GY: Bài toán trong không gian
 
 
  
 
 
Áp dụng tính chất tích có hướng: [u  v , w ]  [u, w ]  [v , w ], [u, v ]  [v , u ],

 
 
1  
  
 
[u  v , w ]  [u, w ]  [v , w ], [u, ku ]  0, S ABC  | [AB, AC ] | .

2
 1    1    1  
Do đó ta có MB '  [CD,CA], MC '  [DB, DA], MD '  [BC , BA] theo
2
2
2

quy tắc bàn tay trái, xác định hướng của vectơ.






 
 
1  
2









 
1
1        

 ([BD  BC,CA] [DB, DA] [BC, BA])  ([BD,CA]-[BC,CA] [DB, DA] [BC, BA])
2
2
  
 
1   
1  
 ([BD,CA - DA]  [BC , BA  CA])  ([BD,CD ]  [BC , BC ])
2
2


   





1
  [DC , DB ]  MA '. Do đó MA '  MB '  MC '  MD '  0.
2

Ta có MB '  MC '  MD '  ([CD,CA]  [DB, DA]  [BC , BA]) 

 Đây là một bài tốn khó. Để khái qt bài tốn trong hình học phẳng
sang bài tốn trong hình học khơng gian học sinh cần nắm vững tính chất của
bài tốn trong hình học phẳng và lý thuyết tích có hướng của hai vectơ trong
không gian.
 Học sinh hiểu được khả năng khái qt tính chất tâm tỷ cự trong hình
học phẳng thành tính chất tâm tỷ cự trong hình học khơng gian.

19


Bài toán 15:
Trong mặt phẳng
Gọi O là tâm của tam giác đều
ABC . M là điểm bất kỳ trên cạnh
BC . Gọi B ',C ' lần lượt là hình
chiếu của M lên các cạnh
AB, AC .

Trong không gian
Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm
G, cạnh AB  a; O là tâm của tam giác
BCD và M là điểm bất kỳ thuộc mặt
phẳng (BCD ) . Gọi H , K , L lần lượt là
hình chiếu vng góc của M lên các mặt
phẳng (ACD ),(ABD ),(ABC ) .
Tính chất: Đường thẳng OM đi
Tính chất: Đường thẳng GM ln đi
qua trung điểm N của đoạn thẳng qua trọng tâm E của tam giác HKL.
B 'C '.

GY: Bài tốn trong khơng gian
Cách 1: Độ dài đường
AO  BB1  CC 1  DD1  hTD 
hTG 

cao

của

tứ

diện

ABCD

là

a 6
. Độ dài đường cao trong tam giác BCD là
3

a 3
a2 3
và S BCD 
 S MBC  S MCD  S MBD
2
4

1
a2 3
a 3
 a(MM 1  MM 2  MM 3 ) 
 MM 1  MM 2  MM 3 
2
4
2
MM 1 MM 2 MM 3

Ta có MM 1  MM 2  MM 3  hTG 


1
hTG
hTG
hTG


 
Do M nằm trong tam giác BCD nên SMCD .MB  SMBD .MC  SMBC .MD  0
 S
 S
 
S
MM1  MM2  MM3  
 MCD .MB  MBD .MC  MBC .MD  0 
.MB 
.MC 
.MD  0
SBCD
SBCD
SBCD
hTG
hTG
hTG
MM 1  MM 2  MM 3 
MM 1 MM 2 MM 3 

.GB 

.GC 
.GD  (


).GM
hTG
hTG
hTG
hTG
hTG
hTG
MM 1  MM 2  MM 3  

.GB 
.GC 
.GD  GM
hTG
hTG
hTG

20


MM 1
MH
. Tương tự

hTD
hTG

Áp dụng Định lý Thales
ML MM 3

hTD
hTG



MM 2
MK
;

hTD
hTG







Do E là trọng tâm của tam giác HKL nên ta có 3ME  MH  MK  ML


MH  MK  ML  MH
4 
MK
4 
ML 4 
.BB1 

CC 1 
DD1 
( GB ) 
( GC ) 
( GD )
BB1
CC 1
DD1
hTD
3
hTD
3
hTD
3

4 
4  MM 1  MM 2  MM 3  
  
.GB 
.GC 
.GD    GM .

3
3  hTG
hTG
hTG

Vì vậy M, E, G thẳng

hàng.

Cách 2 : Qua M dựng các đường thẳng song song với AB, AC , AD cắt
các mặt phẳng (ACD ),(ABD ),(ABC ) lần lượt tại B2,C 2, D2 . Gọi U ,V ,T lần lượt
là trung điểm của cạnh CD, BD, BC .
MB2
AB



MC 2
AC



MD2



MM 1



MM 2



MM 3

1
AD
BU

CV
DT
Ta có các tam giác đồng dạng ABU  B2MM 1; ACV  C 2MM 2 ;

Chứng minh được.

ADT  D2MM 3 . Ta có
 

 

3BB1  BA  2BU ;
3MH  MB2  2MM 1;
 

 

3CC 1  CA  2CV ;  3MK  MC 2  2MM 2 ;
 

 

3DD1  DA  2DT
3ML  MD2  2MM 3 ;




  
  

9ME  3MH  3MK  3ML  (MB2  MC 2  MD2 )  2(MM 1  MM 2  MM 3 )

Ta có MA là đường chéo của hình hộp với ba cạnh MB2 ; MC 2 ; MD2 
   
MB2  MC 2  MD2  MA
Tam giác BCD đều tâm O . Qua M dựng các đường thẳng song song
với các cạnh BC ,CD, DB. Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta chứng minh














được 2(MM1  MM 2  MM 3 )  MB  MC  MD  3MO


















Do đó 9ME  MA  3MO  (MO  OA)  3MO  4MO  4OG  4MG.
 Đây là một bài tốn rất khó. Thứ nhất khó trong vẽ hình, khó thứ hai
là trong vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề. Học sinh hiểu được khả năng
khái qt tính chất trong hình học phẳng sang tính chất trong hình học khơng
gian.
1.2. Khái qt hóa bài tốn liên quan đến quỹ tích.
Bài tốn 1:
Trong mặt phẳng
Trong khơng gian
Cho đoạn thẳng AB có độ dài
Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng
bằng a. Tìm tập hợp các điểm M a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
sao cho MA  b.MB với b  1.
MA  b.MB với b  1.
21


Tập hợp các điểm M là đường
tròn Apollonius

Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm
A, B thỏa mãn d (A,(P ))  b.d (B,(P )).
Biết tập hợp các điểm M trên mặt
phẳng (P ) sao cho các đường thẳng
MA, MB cùng tạo với (P ) các góc bằng
nhau là một đường trịn bán kính R, tìm
R.

GY: Bài tốn trong khơng gian
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của A, B lên mặt phẳng (P ),
tính độ dài HK  a, khi đó tan AMH  tan BMK 

d (A,(P )) d (B,(P ))

MH
MK

 MH  b.MK .





a
ab 2
.
,
IH

b2  1

b2  1
 2
 2
 
 
Từ giả thiết MH  b.MK  MH  b 2 .MK  (MI  IH )2  b 2 (MI  IK )2

Gọi I là điểm thỏa mãn IH  b 2 .IK , khi đó IK 

 (b 2  1)IM 2  IH 2  b 2IK 2  b 2IK 2 (b 2  1)  IM 

ab
.
b 1
2

Do đó tập hợp các điểm M là đường trịn tâm I , bán kính R thỏa mãn



IH  b 2 IK  IK 

1 
ab
KH và R  2
.
2
b 1
b 1

 Học sinh hiểu được khả năng khái qt bài tốn trong hình học
phẳng sang bài tốn trong hình học khơng gian. Từ bài tốn hình học khơng
gian tổng hợp sáng tạo thành bài tốn mới thuộc hình học giải tích trong
khơng gian.
Bài tập áp dụng 1.1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A(5; 5; 1), B(0;9;6) và mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z  3  0. Biết tập hợp các
điểm M trên mặt phẳng (P ) sao cho các đường thẳng MA, MB cùng tạo với
(P ) các góc bằng nhau là một đường trịn bán kính R, tìm R.
A. R  2.
B. R  6.
C. R  4.
D. R  3.
Bài tập áp dụng 1.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A(5; 4; 4), B(2; 1; 8) và mặt phẳng (P ) : x  2y  2z  3  0. Biết tập hợp
các điểm M trên mặt phẳng (P ) sao cho các đường thẳng MA, MB cùng tạo
22