Phát triển năng lực cho học sinh thông qua hệ thống bài tập về vị trí tương đối của mặt cầu với điểm, đường thẳng và mặt phẳng

ĐỀ TÀI: Phát triển năng lực cho học sinh thông qua hệ thống bài tập về vị trí tương đối của mặt
cầu với điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Xu hướng chung của phương pháp dạy học hiện nay là dạy học theo định hướng
phát triển năng lực cho học sinh, lấy học sinh làm trung tâm; người thầy phải làm thế
nào để phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học, phải giúp người
học nhanh chóng tiếp cận các vấn nảy sinh trong học tập cũng như trong thực tiễn
cuộc sống. Phải coi trọng, đề cao vai trị chủ thể của người học trong q trình nhận
thức.
Hoạt động giải bài tập là hoạt động chủ yếu của tốn học, để hoạt động giải bài
tập được tốt thì mỗi chuyên đề, chủ đề cần có một hệ thống bài tập có chất lượng phù
hợp với nhiều đối tượng học sinh. Vì học sinh trong mỗi lớp học vừa có sự giống
nhau, vừa có sự khác nhau về nhận thức, tư duy, năng khiếu, sở trường…. Mà chương
trình THPT được triển khai dưới hình thức dạy học theo chuyên đề, chủ đề kết hợp
với dạy học tự chọn là giải pháp chính để thực hiện dạy học theo định hướng phát
triển năng lực (một định hướng cơ bản của giáo dục hiện nay).
Trong thực tiễn ở các trường phổ thơng hiện nay, dạy học phân hố để phát
triển năng lực cho từng học sinh chưa quan tâm đúng mức. Đa số các giờ dạy vẫn
được tiến hành đồng loạt cho mọi đối tượng học sinh, các bài tập đưa ra đều có chung
mức độ khó – dễ. Do đó không phát huy được tối đa năng lực của từng học sinh, chưa
kích thích được tính tích cực, chủ động sáng tạo trong việc chiếm lĩnh tri thức, dẫn
đến chất lượng giờ dạy chưa cao, chưa đáp ứng được mục tiêu giáo dục. Thực tế đó,
địi hỏi mỗi giáo viên cần tổ chức các hoạt động dạy học linh hoạt, phù hợp cho từng
đối tượng học sinh. Muốn vậy giáo viên cần có kiến thức chắc chắn, cần xây dựng
cho mình một hệ thống câu hỏi bài tập phong phú đa dạng.

1

Mặt cầu là hình khơng gian đặc biệt trong các hình trịn xoay và được nghiên cứu
trong hình khơng gian tổng hợp cũng như trong hình khơng gian toạ độ. Các bài toán
liên quan đến mặt cầu thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia trong
các năm gần đây, trong đó có nhiều bài tập ở mức độ vận dụng cao. Tuy nhiên sự khai
thác các bài toán về mặt cầu và cách chuyển bài toán từ hình khơng gian tổng hợp
sang phương pháp toạ độ khơng gian khơng nhiều.
Các hình khơng gian được xây dựng trên cơ sở các khái niệm cơ bản là điểm,
đường thẳng và mặt phẳng. Nhưng chỉ có mặt cầu nêu lên vị trí tương đối giữa nó với
điểm, mặt phẳng và đường thẳng, đồng thời đề cập đến mối liên quan của nó với các
hình khơng gian khác (như mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ…).
Tuy nhiên, phần này các vấn đề trình bày sách giáo khoa chủ yếu là phần lý thuyết.
Phần bài tập vận dụng và các chuyên đề, chủ đề chưa được khai thác đúng mức.
Với lượng kiến thức lý thyết khá rộng về các vấn đề liên quan đến mặt cầu, cũng
như sự gắn kết giữa mặt cầu trong hình khơng gian tổng hợp và hình khơng gian toạ
độ nên cần thiết có các đề tài nghiên cứu vấn đề này. Qua đó có cách nhìn tổng quan
hơn các vấn đề liên quan đến mặt cầu.
Vì các lý do trên và sau nhiều năm giảng dạy, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi
được, tôi mạnh dạn nêu ra đề tài “Phát triển năng lực cho học sinh thông qua hệ
thống bài tập về vị trí tương đối của mặt cầu với điểm, đường thẳng và mặt phẳng’’
để giúp học sinh, giáo viên có thể áp dụng nhằm nâng cao kết quả học tập và giảng
dạy.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.
Nhằm giúp học sinh học tốt phần mặt cầu và các vấn đề liên quan trong
chương II và chương III của hình học lớp 12. Học sinh sẽ thấy được mạch kiến thức
xuyên suốt các vấn đề liên quan đến mặt cầu và sự gắn kết giữa hai loại hình học, từ
đó có cách nhìn sâu sắc, tồn diện hơn về mặt cầu.
Nội dung đề tài khai thác, vận dụng kiến thức lý thuyết về mặt cầu trong SGK để
xây dựng hệ thống bài tập phù hợp nhằm củng cố kiến thức, hình thành kỹ năng vẽ
2

hình, tính tốn, cách chuyển đổi phát triển bài tốn, xây dựng bài tốn tương tự, ….
Qua đó phát triển năng lực tư duy và lập luận, năng lực tính toán, năng lực giải quyết
vấn đề, năng lực tự học, năng lực sử dụng ngôn ngữ…
Với lượng bài tập nhiều nên có thể lựa chọn để áp dụng cho phù hợp với từng
đối tượng học sinh. Học sinh khá giỏi phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo
của mình từ việc phát biểu bài tốn, dự đốn tính khả thi của bài toán, tổng quát hoá,
đặc biệt hoá, tương tự hố bài tốn. Học sinh trung bình, yếu khơng những có thể lấp
được các “lỗ hổng” kiến thức mà còn nắm vững kiến thức cơ bản, giải quyết được
những bài tập phù hợp với bản thân. Với mục tiêu học sinh vận dụng tốt các kiến
thức, kỹ năng để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả, phát huy tối đa năng lực
toán học.
3. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI.
Đề tài xây dựng được hệ thống bài tập khá đầy đủ, phong phú các vấn đề liên
quan giữa mặt cầu với điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Việc đặt vấn đề, xây dựng và
giải quyết các bài toán xuất hiện một cách logic, tự nhiên. Qua đó phát triển khả năng,
năng lực của người học.
Đề tài xuất hiện nhiều bài tập mới, nhiều bài tập cho kết quả đẹp có nhiều ứng
dụng và có thể xem như một tính chất liên quan đến mặt cầu.
Đề tài có được hệ thống bài tập tương ứng giữa hình khơng gian tổng hợp và
hình khơng gian toạ độ. Các bài tập có thể sử dụng trong dạy học cũng như ra đề thi.

3


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1. Cơ sở lý luận
Năng lực được coi là sự huy động kiến thức, kỹ năng, niềm tin… để học sinh
thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt được kết quả mong muốn

trong những điều kiện cụ thể. Năng lực chỉ hình thành khi học sinh chuyển hoá kiến
thức, kỹ năng thành hành động. Từ đó đặt ra yêu cầu cốt lõi là tập trung vào những gì
học sinh cần có để dạy và sau đó họ có thể làm được việc cụ thể, hữu ích.
Mơn tốn có nhiều cơ hội để phát triển các năng lực chung như: Năng lực tự
chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo...
Đồng thời hình thành và phát triển các năng lực riêng, đặc thù như: Năng lực tính
tốn, năng lực tư duy và lập luận, năng lực mơ hình hố, năng lực ngơn ngữ, năng lực
sử dụng cơng cụ và phương tiện học tốn…
Việc giải tốn là hoạt động chủ đạo của mơn tốn nó có tác dụng rất lớn trong
việc rèn luyện phẩm chất, năng lực cho học sinh về nhiều mặt. Muốn vậy giáo viên
cần quan tâm đến việc lựa chọn bài tập sao cho có hiệu quả nhất, thích hợp với đối
tượng học sinh của mình. Do đó việc xây dựng hệ thống bài tập ứng với từng chuyên
đề, chủ đề là cần thiết.
Để xây dựng một hệ thống bài tập tốt cần đạt các yêu cầu:
- Đảm bảo chuẩn kiến thức, kỹ năng: Khi dạy học, xây dựng bài tập, ra đề kiểm tra
luôn phải bám vào chuẩn kiến thức, kỹ năng mà học sinh cần đạt được.
- Đảm bảo tính chính xác, khoa học: Bài tập phải có kết quả đúng, được xây dựng trên
nền kiến thức cơ bản. Nó là cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn, là phương tiện để học
sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng.
- Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh: Có tính phân hố, vừa sức, phù hợp
với khả năng giải toán của học sinh. Bảo đảm cân đối thời gian giữa lý thuyết và bài
tập.
4


- Đảm bảo tính sư phạm: Ngơn ngữ chuẩn mực, ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu. Số lượng
bài tập đủ để hình thành các kỹ năng cần thiết. Có một số bài tập mới, hay, tổng quát,
… để phát triển các năng lực tốn học, rèn luyện trí thơng minh.
- Đảm bảo tính hệ thống, kế thừa: Phân các dạng bài tập phù hợp từng đơn vị kiến
thức, các bài tập được xây dựng trên nền tảng kiến thức cơ bản, phát triển lên từ bài

tốn đã có, tổng qt hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá bài toán….
- Hệ thống bài tập phải giúp học sinh phát triển năng lực tốn học (năng lực phân tích
và giải bài tốn, năng lực tính tốn và sử dụng ký hiệu, năng lực suy luận, chứng
minh, năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá…
2. Cơ sở thực tiễn
Phần mặt cầu là phần cơ bản của hình khơng gian, mặt cầu có mối liên hệ với
các đối tượng hình học như đường thẳng, đường trịn, mặt phẳng, hình chóp, hình
lăng trụ… và mặt cầu là hình khơng gian thường gặp trong thực tế.
Trong hình khơng gian tổng hợp thì phần mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình
lăng trụ được khai thác khá nhiều, tuy nhiên phần giao của mặt cầu với đường thẳng
và mặt phẳng ít được chú ý.
Trong hình không gian toạ độ các bài cơ bản về giao của đường thẳng, mặt
phẳng với mặt cầu đã xuất hiện nhiều trong đề thi và các tài liệu tham khảo. Những
bài tốn hay về toạ độ là những bài có sử dụng được tính chất hình học, mà chỉ có mặt
cầu là hình khơng gian được đề cập trong hệ toạ độ (có phương trình cụ thể). Do đó
đây là “miếng đất màu mỡ để khai thác” các dạng bài tập, đặc biệt là bài vận dụng
cao.
Thực tế, các đề thi tuyển sinh trước đây và đề thi THPT QG hiện nay thường
xuất hiện các bài tập liên quan đến mặt cầu (trong hình khơng gian tổng hợp hay hình
toạ độ). Đặc biệt là thi theo hình thức trắc nghiệm thì ln có bài tốn về mặt cầu, các
câu hỏi được sắp xếp từ dễ đến khó phù hợp với đối tượng học sinh. Trong đó có
những bài tốn rất khó làm cho nhiều học sinh thiếu tự tin khi giải các dạng toán này.
Phạm vi áp dụng của đề tài: Phần mặt cầu ở chương II và chương III hình học 12.
5


B. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Hình học khơng gian là mơn học có tính trừu tượng cao, tính logic chặt chẽ,
học sinh phải hình dung khơng gian, vẽ hình, tính tốn… nên đa số học sinh sợ môn
này kể cả học sinh có học lực khá.

Trong số các bài tốn liên quan đến mặt cầu thì các bài tốn về toạ độ cơ bản là
thì các học sinh trung bình có thể làm được. Bài tốn về hình khơng gian tổng hợp
hoặc áp dụng tính chất hình học để giải bài tốn trong toạ độ thì học sinh thường thụ
động trong việc tiếp cận bài tốn, khơng chú trọng đến bản chất của bài tốn ấy, một
phần vì học sinh ngại bài tốn khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú
trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.
Như vậy, căn cứ vào mức độ học tập của học sinh, giáo viên có thể đưa ra một
hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng cơ bản và khắc sâu kiến thức. Từ những kiến
thức đó giáo viên có thể nâng dần mức độ khó của bài tốn, địi hỏi học sinh phải sử
dụng một kiến thức tổng hợp, đa dạng đồng thời trang bị cho học sinh các kỹ năng
trong giải toán, đưa ra được một số vấn đề gợi mở nhằm phát huy tính tích cực của
học sinh để học sinh tự tìm tịi, khám phá, phát hiện ra vấn đề mới,... sẽ giúp học sinh
phát huy hết khả năng trong học tập.

6


C. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
Đề tài nêu việc xây dựng hệ thống bài tập về vị trí tương đối của mặt cầu với
điểm, đường thẳng, mặt phẳng và cách chuyển bài tốn từ hình khơng gian tổng
hợp sang hình toạ độ không gian.
Ở phần lý luận đã nêu các yêu cầu để có một hệ thống bài bập tốt. Áp dụng vào
đề tài tôi xây dựng hệ thống bài tập dựa vào các định hướng sau:
Định hướng 1: Hệ thống bài tập đảm bảo kiểm tra, bồi dưỡng, phát triển được các
kiến thức, kỹ năng cơ bản nhằm đạt mục tiêu dạy học.
Những kiến thức cơ bản phần mặt cầu trong SGK hình học 12 áp dụng trong đề tài là:
Trong không gian cho mặt cầu S (O; R) , điểm M, đường thẳng  và mặt phẳng (P).
1) Vị trí tương đối của mặt cầu (S) với điểm M.
– Nếu OM  R thì điểm M nằm trên mặt cầu (S).
– Nếu OM  R thì điểm M nằm trong mặt cầu (S).

– Nếu OM  R thì điểm M nằm ngồi mặt cầu (S).
2) Vị trí tương đối của mặt cầu (S) với đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu vng góc
của O lên  và d  OH là khoảng cách từ O đến 
– Nếu d  R thì đường thẳng  khơng cắt mặt cầu (S).
– Nếu d  R thì đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu (S) tại H và đường thẳng 
gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S).
– Nếu d  R thì đường thẳng  cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A và B.
AB 2
R d 
4 (1).
Ta có H là trung điểm của AB và
2

2

3) Vị trí tương đối của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vng góc
của O lên (P) và h  OH là khoảng cách từ O đến mp(P).
– Nếu h  R thì mặt phẳng (P) khơng có điểm chung với mặt cầu (S).
7


– Nếu h  R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H và mp(P) gọi là
tiếp diện của mặt cầu.
– Nếu h  R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn có tâm H và
2
2
bán kính r  R  h (2).

Ngồi ra, học sinh cần có kiến thức về đường tròn, hệ thức lượng trong tam giác đã
học trong mặt phẳng, kiến thức phần toạ độ không gian trong các bài toán toạ độ.

Các bài tập theo định hướng này là những bài tập cơ bản, nó là những bài đầu tiên
trong mỗi nhóm bài tập.
Định hướng 2. Hệ thống bài tập đảm bảo tính hệ thống, kế thừa.
Trong đề tài hệ thống bài tập được phân chia theo từng nhóm dựa trên sự tương đồng
về dạng bài tập như: Bài tập liên quan đến giao giữa đường thẳng với mặt cầu, giao
giữa mặt phẳng với mặt cầu, tìm điểm thuộc mặt cầu…
Mặt khác các bài tập có sự kế thừa; có thể đó là sự mở rộng của một bài tốn về
đường trịn đã biết trong mặt phẳng; tổng quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá một bài
tốn; nâng dần mức độ khó khăn cho bài tốn; thay đổi dự kiện, giả thiết kết luận của
bài toán; là sự chuyển đổi bài tốn tương ứng từ hình không gian tổng hợp sang toạ
độ…
Định hướng 3. Hệ thống bài tập sao cho phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Giúp
học sinh phát triển năng lực toán học.
Số lượng bài tập trong đề tài phong phú, đa dạng áp dụng được cho nhiều đối tượng
học sinh, phù hợp cho việc dạy học phân hoá, phát huy tối đa năng lực của học sinh.
Căn cứ vào giao giữa mặt cầu với đường thẳng và mặt phẳng ta xây dựng và phân
loại thành các nhóm bài tốn như sau:
I. Nhóm bài toán liên quan đến đường thẳng đi qua một điểm nằm trong mặt
cầu.
Bài tập về đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt thì cốt lõi cần vận dụng,
khai thác công thức (1) trang 5. Sau đây ta sẽ xây dựng và giải các bài toán về một,
8


hai, ba đường thẳng đi qua một điểm nằm trong mặt cầu và thoả mãn điều kiện cho
trước.
Trong mặt phẳng ta có bài tốn: Cho đường trịn (C) có tâm O, bán kính R và điểm
M nằm trong (C) sao cho OM  m  R . Đường thẳng đi qua M cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Trong khơng gian liệu có bài tốn tương ứng? Giáo viên vẽ hình, học sinh hình dung

và thử phát biểu bài tốn. Sau đó giáo viên nêu bài toán và yêu cầu học sinh giải.
Bài 1.1. Cho mặt cầu S(O; R) và điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho OM  m  R
. Đường thẳng d đi qua M cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B.
R
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB khi khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 2 .

b) Tính độ dài đoạn thẳng AB khi góc giữa hai đường thẳng AB và OM bằng 600.
c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Giải: Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên AB.
B
2
R
H
M
AB  2 AH  2 R 2  OH 2  2 R 2 
R 3
4
a) Ta có
A
m
3
O
OH  OM .sin 600 
2
b) Ta có
,
2

3m
 4 R 2  3m 2

2
2  2 R 
AB  2 AH  2 R  OH
4
c) Ta có AB �2 R không đổi. Suy ra độ dài AB lớn nhất bằng 2R khi và chỉ khi đường
2

thẳng d đi qua điểm M và tâm mặt cầu.
2
2
2
2
2
2
Mặt khác AB  2 AH  2 R  OH �2 R  OM  2 R  m
Suy ra độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi H trùng M. Vậy AB nhỏ nhất bằng

2 R 2  m 2 khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua M và vng góc với OM.

Nhận xét:
- Bài 1.1 là một bài tập cơ bản về tương giao của một đường thẳng với mặt cầu. Để
2
2
học sinh vận dụng thành thạo công thức AB  2 AH  2 R  OH thì ta có thể thay đổi

giả thiết, kết luận mục đích là xác định được hai trong ba yếu tố AB, R, OH thì tính
được yếu tố cịn lại.
9

- Bài 1.1 được xây dựng từ bài toán quen thuộc trong mặt phẳng, qua đây học sinh
thấy được mối liên hệ giữa hình phẳng và hình khơng gian.
- Ở bài toán trên ta xét đường thẳng tuỳ ý đi qua điểm M nằm trong mặt cầu, nếu yêu
cầu đường thẳng đó đi qua điểm M và nằm trong một mặt phẳng cho trước thì kết
quả sẽ như thế nào? Đây là một bước nâng dần mức độ khó khăn của bài tốn.
Bài 1.2. Cho mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) cắt mặt cầu. Điểm M
nằm trong mặt phẳng (P) sao cho OM  m  R . Đường thẳng d đi qua M và nằm trong
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tại hai điểm A và B.
a) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Giải: H là hình chiếu vng góc của O lên (P).
Đường thẳng d nằm trong mp(P) và mp(P) cắt
A
mặt cầu (S) theo một đường trịn có tâm H.

M

K

a) Ta có AB �2 AH  2 R  OH không đổi.
2

2

H

B

O

Suy ra độ dài AB lớn nhất bằng 2 R  OH
khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua hai điểm M và H.
b) Gọi K là trung điểm của AB
2

2

Ta có AB  2 AK  2 R  OK �2 R  OM  2 R  m
Suy ra độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi OK lớn nhất, OK lớn nhất bằng OM khi và
2

2

2

2

2

2

2
2
chỉ khi K trùng M. Vậy AB nhỏ nhất bằng 2 R  m khi và chỉ khi đường thẳng d đi
qua M, vng góc với OM và nằm trong mp(P).

Thay điều kiện đường thẳng đi qua M nằm trong mp(P) bằng điều kiện tương đương
như: Đường thẳng đi qua M song song với một mặt phẳng hoặc vng góc với một
đường thẳng cho trước . Ta được các bài toán tương tự như sau:
Bài 1.3. Cho mặt cầu S(O; R), mặt phẳng ( ) và điểm M nằm trong mặt cầu (S) mà

không thuộc mp ( ) . Xác định đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mp ( ) và
cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B sao cho
a) Độ dài đoạn thẳng AB là lớn nhất.
b) Độ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất.
10


Hướng dẫn giải: Gọi mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng ( ) sau đó
giải như bài 1.2 (tham khảo hình vẽ bên dưới)
Bài 1.4. Cho mặt cầu S(O; R), đường thẳng  và điểm M nằm trong mặt cầu. Xác
định đường thẳng d đi qua điểm M, vng góc với đường thẳng  và cắt mặt cầu (S)
tại hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB là lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải: Gọi mặt phẳng (P) đi qua M vng góc với đường thẳng  và sau
đó giải như bài 1.2 (tham khảo hình vẽ bên dưới)
∆
M

P

A

M

K

H

B

K

H

B

A
O

O

Sử dụng tính chất hình học các bài tốn trên vào toạ độ trong khơng gian thì các bài
dạng vận dụng khá hay. Ta có các bài tốn tương ứng về toạ độ như sau:
2
2
2
Bài 1.5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  ( y  2)  ( z  2)  8 ,

mặt phẳng ( P ) : 2 x  2 y  z  5  0 và điểm M(1; 0; 3) nằm trong (P).
a) Viết phương trình đường thẳng d 1 đi qua M cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân
biệt A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB là lớn nhất.
b) Đường thẳng d2 đi qua M cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm
giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng d3 nằm trong mp(P) đi qua M cắt mặt cầu (S)
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất.

11


d) Viết phương trình đường thẳng d4 nằm trong mp(P) đi qua M cắt mặt cầu (S)
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB là lớn nhất.

Giải: a) Mặt cầu (S) có tâm I(0; -2; 2) và bán kính R  2 2 .
Ta có AB �2R  4 2 khơng đổi.
Suy ra độ dài AB lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng AB đi qua tâm mặt cầu.
x 1 y z  3
 
2
1 .
Vậy phương trình đường thẳng d1 là: 1

b) Gọi H là trung điểm của đoạn AB, IM  1  4  1  6
2
2
2
2
Ta có AB  2 AH  2 R  IH �2 R  IM  2 8  6  2 2

Suy ra độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất bằng AB  2 2 khi và chỉ khi đường thẳng AB
đi qua M và vng góc với IM.
c) Ta có AB  2 AH  2 R  IH �2 R  IM .
Độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất khi và chỉ khi H trùng M.
Suy ra độ dài đoạn AB nhỏ nhất khi và chỉ khi đường thẳng d 3 đi qua M, vng góc
với IM và nằm trong mp(P).
2

2

2

2

Do đó đường thẳng d3 có một véc tơ chỉ phương

uur uuur uur
u d3  �
IM , nP �
�
�  0; 1;2 

.

�x  1
�
�y  t
�
Vậy phương trình đường thẳng d3 là: �z  3  2t .

d) Gọi K và H lần lượt là hình chiếu vng góc của I lên mp(P) và đường thẳng AB.
Ta có AB  2 AH  2 R  IH �2 R  IK không đổi.
Suy ra AB lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng AB đi qua M và K.
2

2

2

2

�x  2t
�
�y  2  2t

14 4 25 �
�
K � ; ; �
�z  2  t
Phương trình IK: �
. Suy ra toạ độ điểm �9 9 9 �

Vậy phương trình đường thẳng d4 là:

�x  1  5t
�
�y  4t
�z  3  2t
�

.

12


2
2
2
Bài 1.6. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ( x  1)  ( y  2)  ( z  4)  20 , đường

x 1 y z  2
 
3
1 và điểm M(2; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng  đi qua
thẳng d: 2

điểm M, vng góc với đường thẳng d và cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
a) Độ dài đoạn AB là lớn nhất.
b) Độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Giải tương tự bài 1.5 và sử dụng tính chất hình học bài 1.4
x 1 y 1 z  3


1
5
Kết quả: a) 4

x 1 y 1 z  3


1
1
b) 2

Bài 1.7. (ĐỀ THI THPT QG NĂM 2017)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
( S ) : x 2  y 2  z 2  9 , điểm M(1;1;2) và mặt phẳng ( P) : x  y  z  4  0 . Gọi  là

đường thẳng đi qua M, thuộc mp(P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B sao cho AB
r
u
  1; a; b 
nhỏ nhất. Biết rằng  có một vectơ chỉ phương là
. Tính T  a  b
A. T  2
B. T  1

C. T  1
D. T  0
E 2;1;3 ,
Bài 1.8. (ĐỀ MINH HOẠ NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm 
2
2
2
P : 2x  2 y  z  3  0
mặt phẳng  
và mặt cầu  S  :  x  3   y  2    z  5   36. Gọi  là

P
S
đường thẳng đi qua E , nằm trong mặt phẳng   và cắt   tại hai điểm có khoảng

cách nhỏ nhất. Phương trình của  là:

A.

�x  2  9t
�
�y  1  9t.
�z  3  8t
�

B.

�x  2  5t
�
�y  1  3t.

�z  3
�

C.

�x  2  t
�
�y  1  t.
�z  3
�

D.

�x  2  4t
�
�y  1  3t.
�z  3  3t
�

Bài 1.7 và bài 1.8 là các bài vận dụng cao trong đề thi THPT QG
Ta xét bài toán liên quan góc giữa đường thẳng đi qua M với đường OM.
Bài 1.9. Cho mặt cầu (S) tâm O. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho OM  m .
Đường thẳng d đi qua M tạo với OM một góc φ và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.
Tính bán kính R của mặt cầu theo m và góc φ trong các trường hợp sau:
a) Độ dài đoạn thẳng AB bằng 2m
b) Tam giác OAB vuông.
c) Tam giác OAB đều.
d) Tam giác OAB có một góc bằng 1200.

13

2m 2
e) Tam giác OAB có diện tích bằng 3 .

Giải: Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên d. Suy ra H là trung điểm của đoạn
AB
�
Ta có OMA   và OH  OM .sin  m sin  .

a)

R  OH 2  AH 2 

 m sin  

2

B

 m 2  m 1  sin 2

�
b) Tam giác OAB vuông cân tại O nên OAH  45

0

nên

R  OA 

M

H

A

OH
 m 2 sin 
sin 450
.

O

0
�
c) Tam giác OAB đều nên OAH  60

� R  OA 

d)

Tam

OH
2m sin 

0
sin 60
3 .

giác

OAB

cân

tại

O

nên

�
�  300
AOB  1200 � OAH

OH
 2m sin 
sin 300
1
1
2m 2
4m
SOAB  .OH . AB  m sin . AB 
� AB 
2
2
3
3sin 

e) Ta có
� R  OA 

R  OA  OH 2  AH 2  m 2 sin 2  

4m 2
4
 m sin 2  
2
9sin 
9sin 2  .

Vậy
Ta có bài tốn về toạ độ khơng gian sau:

x 1 y z  2
 
2
1
Bài 1.10. Trong không gian với toạ độ Oxyz cho đường thẳng d: 1
và

điểm I(0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho
a) Độ dài đoạn thẳng AB bằng 8 (Tương tự đề khối A năm 2010)
b) Tam giác IAB vuông (Đề thi đại học khối A và A1 năm 2012)
c) Tam giác IAB đều
d) Tam giác IAB có một góc bằng 1200
e) Tam giác IAB có diện tích bằng 10.

14


Đây là bài tập cơ bản về viết phương trình mặt cầu. Chỉ cần tính khoảng cách từ I đến
đường thẳng d sau đó áp dụng bài 1.9 là tính được ngay bán kính mặt cầu.
Trong mặt phẳng ta có bài tốn: Cho đường trịn (C) có tâm O, bán kính R. Điểm M
nằm trong đường trịn (C) sao cho OM  d . Tìm vị trí điểm N trên đường tròn (C) để
độ dài đoạn MN là lớn nhất, nhỏ nhất.
Hãy phát biểu bài toán tương tự khi thay đường tròn bằng mặt cầu.
Bài 1.11. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao
cho OM  d . Tìm vị trí điểm N thuộc mặt cầu (S) sao cho độ dài đoạn thẳng MN là
lớn nhất, nhỏ nhất.
N

Giải: Đường thẳng OM cắt (S) tại hai điểm A và B,
giả sử M nằm giữa A và O.
Với mọi điểm N thuộc (S) khác với A và B, ta có
�  ONA
�  MNA
� � MN  MA
OAN
�  ONB
�  MNB
� � MN  MB
OBN

A

M

B

O

Suy ra
Độ dài đoạn MN nhỏ nhất bằng R – d khi và chỉ khi N trùng A
Độ dài đoạn MN lớn nhất bằng R + d khi và chỉ khi N trùng B
Ta có bài tương ứng trong toạ độ không gian:
Bài 1.12. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  3   y  2    z  5   36.
2

và điểm

M  2; 4;3

2

2

. Tìm toạ độ điểm N thuộc mặt cầu (S) sao cho độ dài đoạn thẳng

MN là lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 5) bán kính R = 6. Ta có IM  3  R nên điểm M nằm
trong (S). Đường thẳng IM cắt (S) tại hai điểm A và B, giả sử M nằm giữa A và I.
uu
r
uuur
IA  2 IM � A  1;6;1

uur

uuur
IB  2 IM � B  5; 2;9 

,
Áp dụng Bài 1.11 ta có:

15


Độ dài đoạn MN nhỏ nhất khi và chỉ khi N trùng A(1; 6; 1)
Độ dài đoạn MN lớn nhất khi và chỉ khi N trùng B(5; -2; 9)
Trong mặt phẳng có bài tốn: Cho đường trịn (C) có tâm O, bán kính R. Điểm M
nằm trong đường trịn (C) sao cho OM  d . Đường thẳng  đi qua M cắt đường tròn
(C) tại hai điểm phân biệt A, B thì tích MA.MB khơng đổi.
Khi thay đường trịn bằng mặt cầu có bài tốn tương tự khơng? Xét giao của
mp(OAB) và mặt cầu thì hồn tồn như bài tốn trên. Qua đó phát triển khả năng
tương tự hố.
Bài 1.13. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho
OM  d . Đường thẳng  đi qua M cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.

a) Chứng minh rằng: MA.MB khơng đổi.
3R
d�
5 .
b) Tính độ dài đoạn AB biết MB = 4MA và với điều kiện
2
2
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  MA  MB .

Q

1
4

MA MB .

d) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
a) Gọi H là trung điểm của AB, giả sử M nằm giữa A và H. Ta có
MA.MB   AH  MH   HB  MH 

  AH  MH   AH  MH 

B

 AH 2  MH 2

  OA2  OH 2    OM 2  OH 2 

M

H

A
O

 R 2  OM 2  R 2  d 2
2
2
Vậy MA.MB  R  d .

c) Áp dụng câu a) ta có:
MA.MB  R 2  d 2 � 4MA2  R 2  d 2 � MA 

R2  d 2
2

16


3R
R2  d 2
d�
MA 
2
2
5 thì
2
Với điều kiện
và MB  2 R  d đều thuộc  R  d ; R  d 
5 R2  d 2
AB  MA  MB  5MA 
2
nên bài toán được thoả mãn. Vậy

c) Áp dụng câu a) ta có:

P  MA2  MB 2 �2MA.MB  2  R 2  OM 2   2  R 2  d 2 

Suy ra biểu thức P nhỏ nhất bẳng

2  R2  d 2 

.

2
2
khi và chỉ khi MA  MB  R  d

P  MA2  MB 2   MA  MB   2MA.MB  AB 2  2  R 2  d 2  �2  R 2  d 2 
2

2 R  d
2

Vậy biểu thức P lớn nhất bẳng
Q

2



.

khi và chỉ khi AB đi qua tâm O.

1
4
1
4MA



 2
MA MB MA R  d 2 .

d) Ta có
Đường thẳng OM cắt mặt cầu (S) tại hai điểm E và F với M nằm giữa O và E
Ta có R  d  OE �MA �OF  R  d . Đặt x  MA
f ( x) 

1
4x
 2
x R  d 2 trên đoạn  R  d ; R  d 

f '( x)  

1
4
 2
� f '( x)  0 � x 
2
x
R  d2

f (R  d ) 

5 R  3d
,
R2  d 2

f (R  d ) 

R2  d 2
R d� �
2
- Với

5 R  3d
,
R2  d 2

R d

d

R2  d 2
2

� R2  d 2
f�
� 2
�

�
�
�
�

4

R2  d 2

3R
5 thì

4
2
2
R  d 2 khi và chỉ khi MB  4 MA  2 R  d
5R  3d
2
2
Biểu thức Q lớn nhất bẳng R  d khi và chỉ khi MA  R  d , MB  R  d

Biểu thức Q nhỏ nhất bẳng

- Với

2

R2  d 2
3R
 Rd �d 
2
5 thì

5 R  3d
2
2
Biểu thức Q nhỏ nhất bẳng R  d khi và chỉ khi MA  R  d , MB  R  d

5 R  3d
2
2
Biểu thức Q lớn nhất bẳng R  d khi và chỉ khi MA  R  d , MB  R  d

17


Bài 1.13 câu b, c, d là bài tốn khó khi độ dài đoạn OM là tuỳ ý nhỏ hơn R. Trong
quá trình dạy thường cho R và OM là các giá trị cụ thể thoả mãn điều kiện bài tốn.
Chuyển sang toạ độ khơng gian có thể u cầu học sinh giải bài tốn sau:
2
2
2
Bài 1.14. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ( x  1)  ( y  2)  ( z  4)  16 và

điểm M(2;1;2). Đường thẳng d đi qua M cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.
a) Tính giá trị MA.MB
2
2
b) Tính độ dài đoạn AB biết MA  MB  40

c) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P

4
1

2

MA MB 2

Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 4) và bán kính R  4 , d  IM  1  4  4  3
Áp dụng kết quả Bài 1.13 ta có
2
2
a) MA.MB  R  d  16  9  7
2
2
2
b) MA  MB  40 �  MA  MB   2MA.MB  40 � AB  2.7  40  54 � AB  3 6
2

c) Đặt

MA  x � MB 

7
, R  d  1 �x �R  d  7
x

8 2x
4
1
4 x2
P'   3  ,
P

 2
2

2
1;7


x
49
MA MB
x 49 trên
. Ta có
197
53
4
P (1) 
, P(7)  , P( 14) 
49
49
7

P '  0 � x  14

.

14
4
MA  14 , MB 
2
Biểu thức P nhỏ nhất bẳng 7 khi và chỉ khi
197
Biểu thức P lớn nhất bẳng 49 khi và chỉ khi MA  1, MB  7

Tiếp theo ta xét bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tam
giác.
Bài 1.15. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho
OM  m  R Đường thẳng d đi qua M cắt mặt cầu tại hai điểm A và B.

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OAB trong các trường hợp sau:
B
H
R 2
R 2
M
�m  R
0m
2
a) 2
b)
A
Giải: Gọi H là trung điểm của AB
O
18


1
1
AB.OH  2 AH .OH  OH R 2  OH 2
2
2
.
Đặt OH  x , 0 �x �m  OM .
 0;m

f ( x )  x. R 2  x 2
SOAB 

Xét hàm số

trên

f '( x )  R 2  x 2 

x

2

R x
2

2



R2  2x2
R x ,
2

2

f '( x)  0 � x 

R 2
2

�R 2 � R 2
R 2
R 2
max f ( x )  f �
�
x
� 0; m 
�m  R
 0; m
2 � 2
�
2
2
a) Với
thì
nên

R2
Suy ra diện tích tam giác OAB lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi OA  OB .

b) Với

0m

R 2
R 2
x
� 0; m
max f ( x)  f  m   m R 2  m 2

2
2 thì
nên  0;m

2
2
Suy ra diện tích tam giác OAB lớn nhất bằng m R  m khi và chỉ khi OM  AB .
Bài toán trên áp dụng đối học sinh khá giỏi, cịn đối với học sinh trung bình khá thì
xét trường hợp a). Ta có bài tốn sau đơn giản hơn.
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A và B.
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OAB.

1
R 2 sin �
AOB R 2
SOAB  OA.OB.sin �
AOB 
�
2
2
2
Giải: Ta có
R2
Vậy diện tích tam giác OAB lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi OA  OB .

Bài tốn tương ứng tọa độ trong khơng gian.
Bài 1.16. Trong không gian
, cho điểm
và mặt cầu
a) Đường thẳng thay đổi cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính giá trị lớn

nhất S của diện tích tam giác OAB.
A. S  4
B. S  8
C. S  7
D. S  4 2
b) Đường thẳng thay đổi, đi qua điểm M cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt C, D.
Giá trị lớn nhất S của diện tích tam giác OCD là:
A. S  4

B. S  2 7

C. S  7

D. S  2 2

19


Ở trên ta xét các bài toán liên quan đến một đường thẳng đi qua một điểm nằm trong
mặt cầu, tiếp theo ta xét nhóm bài tốn có hai hay nhiều đường thẳng đi qua một
điểm nằm trong mặt cầu thoả mãn điều kiện cho trước.
Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm nằm trong mặt cầu.
Trong mặt phẳng ta có bài tốn: Cho đường trịn (C) có tâm O, bán kính r. Điểm M
nằm trong đường trịn (C) sao cho OM  d  r . Hai dây cung AB và CD cùng đi qua


 khơng đổi.
M vng góc với nhau. Khi đó
Trong khơng gian liệu có bài tốn tương tự không? Đối với hai đường thẳng cùng đi
AB 2  CD 2  4 2r 2  d 2

qua một điểm M nằm trong mặt cầu vng góc với nhau thì tổng bình phương độ dài
hai dây cung như thế nào? Xét một mặt phẳng đi qua M và cắt mặt cầu theo một
đường tròn (C), mà đường trịn (C) có bán kính thay đổi nên tổng bình phương độ dài
hai dây cung thay đổi. Vậy tổng đó phụ thuộc vào yếu tố nào? Ta xét bài toán.
Bài 1.17. Cho mặt cầu S (O; R) . Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho OM  d  R .
Hai dây cung AB và CD cùng đi qua M và vng góc với nhau. Mặt phẳng (ABCD)
2
2
cắt (S) theo một đường trịn (C) có tâm H. Tính tổng AB  CD theo R, d và OH.
2
2
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  AB  CD .

Giải: Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm H lên AB và CD.
Đường trịn (C) có bán kính r. Ta có

D

P  AB 2  CD 2  4 AE 2  4CF 2

E

 4  AH 2  HE 2  CH 2  HF 2 
 4  2r 2  HM 2 
 4�
2  R  OH
�

   OM

 OM  OH 
 d  OH 

2

 4  2R 2
 4  2R 2

2

2

2

2

M

A

B
F
C

H
O

 OH  �
�
2

2

2

Suy ra: Biểu thức P lớn nhất khi và chỉ khi OH bằng 0
Giá trị lớn nhất của P bằng

4  2R 2  d 2 

8 R  d
2

Biểu thức P nhỏ nhất bằng
vng góc với OM.

2



khi và chỉ khi mặt phẳng (P) đi qua O.
khi và chỉ khi mặt phẳng (ABCD) đi qua M và

20


Bài 1.18. Cho mặt cầu S (O; R) . Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho
Hai dây cung AB và CD cùng đi qua M và vng góc với nhau.

OM 

R 6
3 .

Tìm giá trị lớn nhất của VO. ACBD trong hai trường hợp sau:
a) Hai đường thẳng AB và CD vng góc với nhau.
b) Hai đường thẳng AB và CD cùng vng góc với OM.
Giải: a) Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên (ABCD).
Mặt phẳng (ABCD) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có tâm H, bán kính r.
Theo kết quả Bài 1.17 ta có
B
AB 2  CD 2  4  2 R 2  d 2  OH 2 
D M
� 2 6R2
� �4 R 2
�
 4�
2R 
 OH 2 � 4 �  OH 2 �
9
�
� �3
�
1
1
1
VO. ABCD  .OH .S ABCD  .OH . AB.CD
3
3
2

2
2
�4 R 2
�
1
AB  CD
1
� .OH .
 .OH . �  OH 2 �
6
2
3
�3
�

Đặt

OH  x , 0 �x �OM 

f’(x)

+

f(x)

O

� R 6�
4R2
2R

0;
�
�
f
'(
x
)

 3x 2  0 � x 
3
�
�ta có
3
3

R 6
3

2R
3

0

H

A

R 6
3 .

�4 R 2
�
f ( x)  x �  x 2 �
�3
�trên
Xét hàm số

X

C

0

-

16 R 3
27

0
2R3 6
9

16 R 3
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp O.ACBD bằng 81 .

B

b) Gọi mặt phẳng (Q) chứa d 1 và d2 � OM  (Q) . MặtD phẳng(Q)
M cắt (S)Ctheo một
đường tròn có tâm M, bán kính

r  R 2  OM 2 

R 3
3 .

A

O
21


AB  CD  2r 

2R 3
3 .

Ta có
1
1
1
VOACBD  OM .S ACBD  OM . AB.CD.sin  AB, CD 
3
3
2
2R3 6
2R3 6

sin  AB, CD  �
27

27
2R3 6
bằng 27 khi và chỉ khi AB  CD .

Vậy giá trị lớn nhất của VO. ACBD
Ta xét ba đường thẳng đôi một vng góc cùng đi qua một điểm nằm trong mặt
cầu.
Vậy nếu ba đường thẳng đơi một vng góc cắt mặt cầu theo ba dây cung thì tổng
bình phương ba dây cung như thế nào? Thử áp dụng kết quả bài 1.17 cho từng cặp hai
dây cung vng góc.
Bài 1.20. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho
OM  d  R . Ba dây cung AB, CD và EF cùng đi qua M và đơi một vng góc.
2
2
2
Tính P  AB  CD  EF .

Giải: Gọi ba mặt phẳng (P), mp(Q) và mp(R) là các mặt phẳng lần lượt chứa d 1 và d2;
d2 và d3; d1 và d3. Gọi H, K và L lần lượt là hình chiếu của O lên các mp(P), mp(Q) và
F
mp(R). Áp dụng kết quả bài 1.17 ta có
AB 2  CD 2  4  2 R 2  d 2  OH 2  �
�
2
2
2
2
2 �
EF  CD  4  2 R  d  OK  �
�

AB 2  EF2  4  2 R 2  d 2  OL2  �
�
2
2
2
� AB  CD  EF
 2  6 R 2  3d 2  OH 2  OK 2  OL2 

2
2
2
2
2
Mà OH  OK  OL  OM  d .

L
D

A

K

B
M
E

O
H

C

P  AB 2  CD 2  EF 2  4  3R 2  2d 2 

Vậy
Nhận xét: - Kết quả bài toán 1.17 và 1.20 là các kết quả đẹp về tổng bình phương
các dây cung cùng đi qua một điểm và đơi một vng góc. Kết quả này là sự kế thừa
của bài tốn trong đường trịn.
- Kết quả bài 1.17 và 1.20 cũng đúng khi điểm M nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu.

22


Với điểm M nằm ngồi mặt cầu thì điều kiện bài 1.17 là d  R 2 , bài 1.20 là
R 6
d
3
Chuyển sang toạ độ khơng gian ta có các bài tập mức vận dụng cao
Bài 1.21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(1;2;3). Viết phương trình
mặt cầu có tâm I cắt trục Ox tại hai điểm A, B và cắt trục Oy tại hai điểm C, D sao
cho
b) CD  2 AB .

2
2
a) AB  CD  70 .

HD: a) Áp dụng kết quả bài 1.17, với d  IO  14 , IH  d ( I ,Oxy )  3
AB 2  CD 2  2  2 R 2  d 2  IH 2   2  2 R 2  14  9   70 � R  29

b) Đặt AB  2 x � CD  4 x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, Oy. Ta có

R 2  IE 2  AE 2  IF2  FC 2 � 13  x 2  10  4 x 2 � x  1 � R  14

Bài 1.22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(1;2;3). Viết phương trình
mặt cầu có tâm I cắt trục Ox tại hai điểm A, B; cắt trục Oy tại hai điểm C, D và cắt
trục Oz tại hai điểm E, F sao cho
2
2
2
a) AB  CD  EF  50

2
2
2
b) AB  CD  EF .

c) CD  AB  EF

2
2
2
d) 3 AB  2CD  EF  104

HD: a) Áp dụng kết quả bài 1.20, với d  IO  14
AB 2  CD 2  EF2  4  3R 2  2d 2   4  3R 2  28   80 � R  4

b) Gọi G, H, K lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, Oy và Oz.
AB 2  CD 2  EF 2 � AG 2  CH 2  EK 2 � R 2  13  R 2  10  R 2  5 � R  3 2 .

c) Đặt AB  2 x, CD  2 y � EF  2( x  y ) . Ta có
R 2  IG 2  AG 2  IH 2  HC 2  IK 2  KE 2

� 13  x 2  10  y 2  5   x  y  � x  1 � R  14
2

d) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của I lên Oxy và Oxz.
23


3 AB 2  2CD 2  EF2  12 AG 2  8 AH 2  4 AK 2

 12  R 2  13  8  R 2  10   4  R 2  5   24 R 2  256  104 � R  15

Tiếp theo ta xét bài toán liên quan đến thể tích.
Bài 1.23. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho
OM  m  R . Ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu sao cho đoạn MA, MB, MC đơi một

vng góc và điểm O nằm trong tứ diện MABC.
Tính thể tích khối tứ diện MABC biết MA  MB  MC .

M

Giải: Gọi H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có MH và OH đều vng góc với mp(ABC).
O

Đặt MA = x. AB  BC  CA  x 2
AH 

AB x 2

3

3

OM  OH  MH  MA2  AH 2 

H

A

x
x
� OH 
m
3
3

C

B

2

m  3R 2  2m 2
�x
� 2x2
OH  AH  R � �  m �
 R2 � x 
3
�3
� 3
2

2

2

VMABC 

3

1
MA
MA.MB.MC 

6
6



m  3 R 2  2m 2



3

18 3
Thể tích tứ diện MABC là:
Nhận xét: Bằng cách tổng quát hoá, tương tự hoá bài toán trên ta có các bài sau:
+ Tương tự hố bài 1.23 ta có bài tốn:

Bài 1.24. Cho mặt cầu S (O; R) , điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho OM  m  R .

Ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu sao cho đoạn MA, MB, MC bằng nhau và điểm O
nằm trong tứ diện MABC. Tìm giá thể tích khối tứ diện MABC trong hai trường hợp.
a) Tam giác ABC đều.

b) Tam giác ABC vuông cân.

�
�
�
c) AMB  BMC  CMA  

+ Tổng qt hố bài 1.23 ta có các bài tốn:

24


Bài 1.25. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao
cho OM  m  R . Ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu sao cho đoạn MA, MB, MC bằng
nhau.
Tìm giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 1.26. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho
OM  m  R . Ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) sao cho ba đoạn MA, MB, MC

đơi một vng góc. Tìm giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 1.27. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm M nằm trong mặt cầu (S) sao cho
OM  m  R và ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.

Tìm giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện MABC.
Ta thấy bài 1.27 là bài tổng quát của các bài 1.24, 1.25 và 1.26
Sau đây là lời giải bài 1.27.

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vng góc của O và M lên mp(ABC).
1
VMABC  MK .S ABC
x � 0; R 
3
, đặt OH = x, Với
. Ta có MK �OM  OH  m  x .

Mặt khác, trong các tam giác nội tiếp đường trịn
bán kính r thì tam giác đều có diện tích lớn nhất
S ABC

 r 3
�

2

. 3

4

2
2
3r 2 3 3  R  x  3


4
4

1

1
VMABC  MK .S ABC �  m  x 
3
3

 m  x  R

VMABC �

M

2

x

2



3

4

Khảo sát hàm số f ( x) trên

O

3 R2  x2  3
4

 f ( x)

x � 0; R 

Hàm số f (x) đạt giá trị lớn nhất khi và khi và chỉ khi
Thể
tích
khối
tứ
diện
MABC
m 2  3R 2

 3R  m  m
2

2

m 2  3R 2



C

B

ta có
x

 2m 

H

K

A

 m  m 2  3R 2
3

có

GTLN

là:

3

54

25