Ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
BA BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ CỦA HÀM SỐ
CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f ( x; m ) THƯỜNG GẶP
TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QG

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 3
=====  =====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
BA BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ CỦA HÀM SỐ
CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f ( x; m ) THƯỜNG GẶP
TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QG

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Tên tác giả

: Nguyễn Văn Bản

Tổ bộ mơn

: Tốn - Tin

Năm thực hiện

: 2020 - 2021

MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.........................................................................................................................4
1.1. Lí do chọn đề tài...............................................................................................................4
1.2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................................4
1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................................5
1.4. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................................5
1.5. Những điểm mới của SKKN............................................................................................5
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU..................................................................................................6
2.1. Cơ sở lí luận.....................................................................................................................6
2.1.1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số......................................................................6
2.1.2. Cực trị của hàm số.....................................................................................................7
2.1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.........................................................7
2.1.4. Đồ thị hàm số............................................................................................................7
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..........................................8
2.3. Các giải pháp thực hiện....................................................................................................8
2.3.1. Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.................8
2.3.2. Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điểm cực trị............................27
2.3.3. Bài tốn: Cho hàm số . Tìm để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn thỏa mãn một điều kiện cho trước............................................................................36
III. KẾT LUẬN.........................................................................................................................44
3.1. Kết luận..........................................................................................................................45
3.2. Kiến nghị........................................................................................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................................45


I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lí do chọn đề tài
Để phát triển các năng lực toán học cho học sịnh, đặc biệt là học sinh lớp 12
giúp các em có một kết quả cao nhất trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG. Tác giả

nhận thấy chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong chương
trình giải tích lớp 12 là nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng trong bộ mơn
tốn, điều này được thể hiện thông qua việc kiến thức của chương này luôn chiếm
tỉ lệ cao nhất trong đề thi THPT.QG. Số câu hỏi ở mức vận dụng và vận dụng cao
của chương này cũng luôn mang đến cho giáo viên và học sinh những sự quan tâm
đặc biệt, trong đó phải kể đến các bài tốn chứa tham số.
Qua q trình giảng dạy tại trường THPT Tân Kỳ 3, tác giả nhận thấy nội
dung của chương này luôn tạo hứng thú học tập cho các em học sinh, việc học tốt
và nắm vững kiến thức của chương này sẽ tạo đà cho việc học tập các chương khác
rất tốt. Các năm dạy học ôn thi tốt nghiệp THPT QG tác giả rút ra được một điều là
cần phải bồi dưỡng cũng như phát triển năng lực tư duy kết hợp phân tích trực
quan và suy luận logic để giải quyết một số bài tốn trong chương 1 giải tích lớp
12. Các dạng tốn chứa tham số ln được giáo viên và học sinh qua tâm tìm hiểu,
đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi ôn thi vào các trường đại học.
Trong kỳ thi THPT. QG hàng năm thì các câu hỏi ở mức vận dụng, vận dụng
cao ở chương ứng dụng đạo hàm chiếm tỉ lệ cao, trong đó các bài toán chứa tham
số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x; m) cũng thường xuyên xuất hiện.
Từ những lý do nêu trên, cùng sự nghiên cứu của tác giả kết hợp sự chia sẻ kinh
nghiệm của các đồng nghiệp là giáo viên cốt cán tỉnh nghệ an. Tác giả đã đúc rút được
những kinh nghiệm quý báu thành đề tài “Ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x; m) thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG” để áp
dụng trong giảng dạy ôn thi THPT. QG tại trường THPT Tân Kỳ 3.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong đề tài tác giả nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển
năng lực tư duy của học sinh thông qua các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số
trong chương trình giải tích lớp 12 với mục đích như sau.
• Kết hợp phân tích trên đồ thị của hàm số y = f ( x; m) để đưa ra các điều kiện
tương đương của bài toán giúp học sinh lĩnh hội kiến thức khó trở nên đơn giản
hơn.
• Đưa ra nhiều hướng tiếp cận cho cùng một bài toán giữa trên việc phân tích dấu

hiệu của bài tốn đó.
• Học sinh nắm vững bản chất của các lập luận thông qua việc phân tích các
trường hợp có thể xảy ra của các bài tốn tìm điều kiện để hàm số đơn điệu, số
cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x; m) .
• Rèn luyện cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề toán học để tạo hứng thú
học tập toán học cho học sinh lớp 12 nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục,
4


rèn luyện phẩm chất, năng lực học sinh về nhiều mặt.
• Kết quả nghiên cứu để làm tài liệu giảng dạy cho đồng nghiệp trong tở tốn tin trường THPT Tân Kỳ 3.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh.
- Học sinh thi tốt nghiệp THPT QG để xét Đại học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ
sách, báo, mạng internet về cách thức tổ chức dạy học theo hướng phát triển năng
lực của học sinh.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích các định hướng của
từng bài toán, sử dụng các kinh nghiệm của bản thân để giúp học sinh phát triển
năng lực phân tích, tởng hợp.
- Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với
giáo viên, thăm dị học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em.
1.5. Những điểm mới của SKKN
- Trong đề tài này tác giả đã nêu lên được sự kết hợp trực quan đồ thị và lập
luận có lý giúp học sinh dệ hiểu và nắm vững bản chất của các bài toán chứa tham
số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x; m) : Bài toán đơn điệu; bài toán
cực trị; bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
- Phân tích được các dấu hiệu của từng bài tốn và đưa ra được nhiều định
hướng khác nhau giúp học sinh dễ dàng tìm ra hướng giải quyết bài tốn.

- Sử dụng mơ hình năng lực giải quyết vấn đề tốn học để phân tích và định
hướng giúp học sinh phát triển các năng lực đọc hiểu dữ liệu câu hỏi; năng lực suy
luận tốn học; năng lực thực hiện tính toán; năng lực vận dụng kiến thức vào thực
tiễn giải quyết vấn đề toán học.

5


II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
a. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định
trên K . Ta nói
+ Hàm số y = f ( x) đồng biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 );

+ Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ).

b. Định lý
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K .
+ Nếu f '( x) ≥ 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K .
+ Nếu f '( x) ≤ 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K .
( f '( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K ).
c. Đồ thị hàm số đơn điệu
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái qua phải.

6


2.1.2. Cực trị của hàm số
a. Định nghĩa
Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b ) và điểm x0 ∈ ( a; b ) .
+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x) < f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h ; x0 + h ) và x ≠ x0 thì ta
nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x0 .
+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x) > f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h ; x0 + h ) và x ≠ x0 thì ta
nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .
b. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý:
Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K
hoặc trên K \ { x0 } , với h > 0.
+ Nếu f '( x) > 0 trên khoảng ( x0 − h ; x0 ) và f '( x) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là
một điểm cực đại của hàm số y = f ( x) .
+ Nếu f '( x) < 0 trên khoảng ( x0 − h ; x0 ) và f '( x) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là
một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) .

2.1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a. Định nghĩa
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập D .
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên tập D nếu f ( x) ≤ M
với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M .
f ( x).
Kí hiệu M = max
D

+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên tập D nếu f ( x) ≥ m
với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m.

f ( x).
Kí hiệu m = min
D

b. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
đoạn đó.
2.1.4. Đồ thị hàm số y = f ( x)
 f ( x) nê´u f ( x) ≥ 0
 − f ( x) nê´u f ( x) < 0

Ta có y = f ( x) = 

7


Do đó đồ thị hàm số y = f ( x) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f ( x) nằm trên trục hoành
+ Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số y = f ( x) nằm dưới trục hoành.

Đồ thị hàm số y = f ( x)

Đồ thị hàm số y = f ( x)

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Thực tế dạy học và kết quả kỳ thi tốt nghiệp THPT QG tại trường THPT Tân
Kỳ 3: Những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy và học các bài toán vận
dụng cao trong chương hàm số dẫn đến kết quả thấp.
- Về phía giáo viên: Đa phần các đồng nghiệp tại trường THPT Tân Kỳ 3 rất ít
khi dạy các bài tốn ở mức vận dụng và vận dụng cao, một phần vì năng lực học

sinh đại trà q thấp một phần vì khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu dạy học.
Điều đó tạo nên một tâm lý e ngại khi gặp phải các bài tốn khó, lâu dài dẫn đến
việc giảng dạy cho học sinh ơn thi đại học gặp nhiều khó khăn.
- Về phía học sinh: Sự tiếp cận các dạng tốn vận dụng và vận dụng cao cịn
ít, tài liệu hướng dẫn chưa có dẫn đến kết quả học tập và thi chưa cao. Cụ thể kết
quả thi THPT QG năm 2019: Điểm trung bình mơn tốn của lớn 12A1 trong kỳ thi
TN THPT QG năm 2018 - 2019 là 6.5 điểm. ( thống kê điểm toán TN THPT 2018 2019 của lớp 12A1)
Điểm 8.6 8.4 8.2 7.8 7.4 7.2 7.0 6.8 6.6 6.4 6.2 6.0 5.6 4.8 4.6 4.2 3.6
Tần

1

1

1

2

2

4

3

3

2

3

4

1

1

2

1

2

1

số

Và nhiều năm trước đó điểm thi THPT QG của các lớp 12A1 trường THPT Tân Kỳ
3 còn thấp.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu trên một khoảng
cho trước.
2.3.1a. Hàm số y = f ( x; m) đồng biến trên khoảng ( a; b ) .
Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
8


Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.
Câu hỏi 1: Chúng ta đã biết cách giải các bài toán xét sự đồng biến, nghịch
biến của các hàm số y = f ( x) ; bài tốn tìm điều kiện của tham số m để hàm số
y = f ( x; m) đồng biến trên khoảng ( a; b ) . Bài tốn tìm điều kiện của tham số m để

hàm số y = f ( x; m) đồng biến trên ( a; b ) có giải được như thế khơng?
Sau khi tiếp cận câu hỏi thì học sinh sẽ có những suy nghị nảy sinh nhiều định
hướng khác nhau. Nhưng có một vấn đề đặt ra là phương pháp giải cho bài tốn
này có giống như các dạng đã gặp khơng? Hay có cách nào khác để giải quyết bài
tốn này nữa khơng?
Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài tốn.
Sau khi đặt câu hỏi 1, học sinh đã tư duy và phân tích bài tốn, giáo viên tiếp
tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại điều kiện tương đương của bài tốn tìm điều kiện của
tham số m để hàm số y = f ( x; m) đồng biến trên khoảng ( a; b ) ?
+ Ở bước này học sinh sẽ trình bày được điều kiện tương đương là

f '( x ; m) ≥ 0; ∀x ∈ (a ; b).

+ Đến đây giáo viên tiếp tục phân tích, nếu tìm được đạo hàm của hàm số
y = f ( x; m) thì chúng ta sẽ sử dụng điều kiện tương tự. Và đặt câu hỏi 3.
Câu hỏi 3: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối để lấy được đạo hàm của hàm số
y = f ( x; m) .
+ Ở bước này học sinh sẽ có 2 định hướng:
 f ( x; m) nê´u f ( x; m) ≥ 0
y = f ( x; m) = 
 − f ( x; m) nê´u f ( x; m) < 0

Hoặc y = f ( x; m) = [ f ( x; m) ]

2

+ Phân tích: Ở bước này giáo viên cần phân tích để học sinh thấy được việc
sử dụng y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] để tính đạo hàm. Khi tìm được đạo hàm thì chúng
ta đã quy về bài toán quen y ' ≥ 0; ∀x ∈ (a ; b).

2

Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn.
Ta có y = f ( x m) = [ f ( x; m) ]
⇒ y'=

f '( x; m). f ( x; m)

[ f ( x; m)]

2

=

2

f '( x; m). f ( x; m)
.
f ( x; m)

Để hàm số y = f ( x; m) đồng biến trên khoảng ( a; b ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b).
( f ( x; m) ≠ 0 )
9


  f '( x; m) ≥ 0
, ∀x(a; b)

f
(

x
;
m
)
>
0

⇔ f '( x; m). f ( x; m) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b). ⇔ 
  f '( x; m) ≤ 0

, ∀x(a; b)
  f ( x; m) < 0

Bước 4: Đánh giá lời giải và nghiên cứu sâu bài tốn
Bằng cách biến đởi y = f ( x; m) = [ f ( x; m)]

2

chúng ta đã quy bài toán về bài toán

quen ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b).
Bài tốn cịn có các cách giải khác:
Cách 2: Sử dụng đồ thị
← - Phân tích: Nếu đồ hàm số y = f ( x; m) thị cắt trục Ox
←

Ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x; m) như sau

Vì vậy hàm số y = f ( x; m) không đơn điệu trên khoảng ( a; b ) được.
(Nên đồ thị hàm số khơng thể cắt trục Ox được, ta chỉ có hai trường hợp sau đây)

10


Trường hợp 1:

 f '( x; m) ≥ 0
∀x ∈ (a; b).
 f ( x; m) ≥ 0
 f '( x; m) ≥ 0
⇔ 
∀x ∈ (a; b).
 f (a ) ≥ 0

Điều kiện bài toán trong trường hợp này là 

Trường hợp 2:

 f '( x; m) ≤ 0
, ∀x ∈ ( a; b).
 f ( x; m) ≤ 0
 f '( x; m) ≤ 0
⇔ 
, ∀x ∈ (a; b).
 f (a ) ≤ 0

Điều kiện của bài toán trong trường hợp này là 

Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Trong trường hợp y ' = 0 nhẩm được các nghiệm thì ta có thể lập bảng biến

thiên sau đó giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của bài toán.
2.3.1b. Hàm số y = f ( x; m) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) .
11


Phân tích tương tự bài tốn đồng biến ta có:
Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
Ta có y = f ( x; m) = [ f ( x; m)]
⇒ y'=

f '( x; m). f ( x; m)

[ f ( x; m)]

2

=

2

f '( x; m). f ( x; m)
.
f ( x; m)

Để hàm số y = f ( x; m) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b).
( f ( x; m) ≠ 0 )
  f '( x; m) ≤ 0
, ∀x(a; b)

f

(
x
;
m
)
>
0

⇔ f '( x; m). f ( x; m) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b). ⇔ 
  f '( x; m) ≥ 0

, ∀x(a; b)
  f ( x; m) < 0

Cách 2: Sử dụng đồ thị
Trường hợp 1:

 f '( x; m) ≤ 0
, ∀x ∈ ( a; b).
 f ( x; m) ≥ 0
 f '( x;) ≤ 0
⇔ 
, ∀x ∈ (a; b).
 f (b) ≥ 0

Điều kiện bài toán trong trường hợp này là 

Trường hợp 2:

12

 f '( x; m) ≥ 0
, ∀x ∈ ( a; b).
 f ( x; m) ≤ 0
 f '( x; m) ≥ 0
⇔ 
, ∀x ∈ ( a; b).
 f (b) ≤ 0

Điều kiện bài toán trong trường hợp này là 

Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Trong trường hợp y ' = 0 nhẩm được các nghiệm thì ta có thể lập bảng biến thiên
sau đó giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của bài tốn.
Các trường hợp đơn điệu trên [ a; b] , (−∞;b] , [ a; +∞ ) , ( a; +∞ ) , ( −∞;b ) Ta
phân tích tương tự.
2.3.1c. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tởng tất cả các giá trị nguyên thuộc [ −5;5] của tham số m để hàm
1
3

3
2
số y = x + (m − 1) x + (2m − 3) x −

2
đồng biến trên khoảng ( 1;5) là
3

B. −1.

A. 1.
1
3

Lời giải: Đặt f ( x) = x3 + (m − 1) x 2 + (2m − 3) x −

C. 0.

D. 2.

2
3

Cách 1: Sử dụng đồ thị
Nếu đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục hoành và có đởi dấu trong khoảng ( 1;5) thì
đồ thị hàm số y = f ( x) không đơn điệu trên ( 1;5) .
Nên y = f ( x) không đổi dấu trên khoảng ( 1;5)
⇒ hàm số y = f ( x) đồng biến trên ( 1;5 ) xảy ra hai trường hợp

Trường hợp 1:

Hàm số y = f ( x) đồng biến và đồ thị nằm phía trên trục hoành trên khoảng ( 1;5)
 x 2 + 2(m − 1) x + 2m − 3 ≥ 0
 f '( x) ≥ 0
⇔
∀x ∈ (1;5). ⇔ 
∀x ∈ (1;5).
 f ( x) ≥ 0

 f (1) ≥ 0

13


−x + 3

 2m( x + 1) ≥ − x 2 + 2 x + 3
m≥
, ∀x ∈ (1;5)



2
⇔ 
∀x ∈ (1;5) ⇔ 
13
3m − ≥ 0
 m ≥ 13
3


9
−x + 3

m
≥
Max
(
) =1


[ 1;5]
13
2
⇔
⇔ m≥ .
9
 m ≥ 13

9

Trường hợp 2:

Hàm số y = f ( x) nghịch biến và đồ thị nằm phía dưới trục hồnh trên khoảng ( 1;5)
 x 2 + 2(m − 1) x + 2m − 3 ≤ 0
 f '( x ) ≤ 0
⇔
, ∀x ∈ (1;5). ⇔ 
, ∀x ∈ (1;5).
f
(1)
≤
0
 f ( x) ≤ 0

−x + 3

 2m( x + 1) ≤ − x 2 + 2 x + 3
m≤
, ∀x ∈ (1;5)




2
⇔ 
,
∀
x
∈
(1;5)
⇔

13
3m − ≤ 0
 m ≤ 13
3


9
−x + 3

(
) = −1
 m ≤ Min
[ 1;5]
2
⇔
⇔ m ≤ −1.
 m ≤ 13


9
13

m≥

9
Cả hai Trường hợp ta được 
 m ≤ −1

Vì m nguyên và thuộc [ −5;5]
⇒ m ∈ { −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5}

14


Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng −1
Chọn đáp án: B

15


Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
Ta có y = f ( x) = [ f ( x) ]
⇒ y' =

f '( x ). f ( x)

[ f ( x) ]

2

=

2

f '( x). f ( x)
.
f ( x)

Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( 1;5) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;5).
( f ( x) ≠ 0 )
⇔ f '( x ). f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (1;5).
 f '( x) ≥ 0
 f '( x) ≥ 0
, ∀x ∈ (1;5) ⇔ 
, ∀x ∈ (1;5)
 f ( x) > 0
 f (1) ≥ 0

Trường hợp 1: 

 x 2 + 2( m − 1) x + 2m − 3 ≥ 0
⇔ 
, ∀x ∈ (1;5).
 f (1) ≥ 0
−x + 3

 2m( x + 1) ≥ − x 2 + 2 x + 3
m≥
, ∀x ∈ (1;5)




2
⇔ 
, ∀x ∈ (1;5) ⇔ 
13
3
m
−
≥
0

 m ≥ 13
3


9
−x + 3

(
) =1
 m ≥ Max
[ 1;5]
13
2
⇔
⇔ m≥ .
9
 m ≥ 13


9
 f '( x) ≤ 0
 f '( x) ≤ 0
, ∀x ∈ (1;5) ⇔ 
, ∀x ∈ (1;5)
 f ( x) < 0
 f (1) ≤ 0

Trường hợp 2: 

 x 2 + 2(m − 1) x + 2m − 3 ≤ 0
⇔ 
∀x ∈ (1;5).
 f (1) ≤ 0
−x + 3

 2m( x + 1) ≤ − x 2 + 2 x + 3
m≤
, ∀x ∈ (1;5)



2
⇔ 
∀x ∈ (1;5) ⇔ 
13
3m − ≤ 0
 m ≤ 13
3



9
−x + 3

(
) = −1
 m ≤ Min
[ 1;5]
2
⇔
⇔ m ≤ −1.
13
m ≤

9
13

m≥

9
Cả hai trường hợp ta được 
 m ≤ −1

Vì m nguyên và thuộc [ −5;5]
⇒ m ∈ { −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5}

16

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng −1
Chọn đáp án: B
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Ta có f '( x) = 0 ⇔ x 2 + 2(m − 1) x + 2m − 3 = 0
 x = −1
⇔
 x = 3 − 2m

Trường hợp 1: 3 − 2m ≤ −1 ⇔ m ≥ 2 (*)
Ta có bảng biến thiên
x
f ′( x)
f ( x)

−∞
+

3 − 2m
0
f (3 − 2m)

−

−1
0

+∞

+

+∞

−∞

f (−1)

Từ bảng biến thiên suy ra
Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( 1;5) ⇔ f (1) ≥ 0
⇔ 3m −

13
13
kết hợp (*) ta được m ≥ 2
≥0 ⇔ m≥
3
9

Trường hợp 2: 3 − 2m > −1 ⇔ m < 2 (**)
Ta có bảng biến thiên
x

−∞
+

f ′( x)
f ( x)

−1
0
f (−1)

−

−∞

3 − 2m
0

+∞
+
+∞

f (3 − 2m)

Từ bảng biến thiên suy ra
Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( 1;5) ⇔ có hai khả năng như sau
 m ≤ −1
5 ≤ 3 − 2m

⇔
⇔ m ≤ −1
13
Khả năng 1: 
3
m
−
≤
0
 f (1) ≤ 0


3
kết hợp với (**) ta được m ≤ −1
m ≥ 1
3 − 2m ≤ 1
13

⇔ 
⇔ m≥
13
Khả năng 2: 
9
 f (1) ≥ 0
3m − 3 ≥ 0
13
kết hợp (**) ta được ≤ m < 2
9
13

m≥

9
Cả hai trường hợp ta được 
 m ≤ −1

17


Vì m nguyên và thuộc [ −5;5]
⇒ m ∈ { −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5}

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng −1
Chọn đáp án: B
Nhận xét: Mỗi cách làm có một ưu điểm nhất định, các em cần nhận định được
những dấu hiệu của hàm số phù hợp để định hướng cách giải nhanh.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị ngun dương của tham số m để hàm số
y = 2 x 3 − mx + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞).
A. 2.

B. 6.

C. 3.

D. 4.

Lời giải: Đặt f ( x) = 2 x3 − mx + 1
Nhận thấy f '( x) = 0 nhẩm được nghiệm nên chúng ta sử dụng cách bảng biến
thiên
Ta có f '( x) = 6 x 2 − m
Trường hợp 1: Nếu m ≤ 0 thì hàm số đồng biến trên ¡

6m
x =
6
Trường hợp 2: Nếu m > 0 thì f '( x) = 0 ⇔ 

6m
x = −
6


Ta có bảng biến thiên
x

−∞

f ′( x)
f ( x)

+

6m
−
6
0
ycd

−∞

−

6m
6
0

+∞
+
+∞

yct

Từ bảng biến thiên suy ra
3
Để hàm số y = 2 x − mx + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞)

 6m
m ≤ 6
≤1

⇔ 6
⇔
⇔ m≤3
m ≤ 3
 f (1) ≥ 0


Từ hai trường hợp ta được m ≤ 6
Vì m nguyên dương nên m ∈ { 1; 2;3}
Chọn đáp án: C
Nhận xét: Nếu f '( x) = 0 nhẩm được nghiệm các em nên chọn cách lập bảng biến
thiên, đây là cách phân tích dễ hiểu nhất.
18


Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để hàm số
y = x5 − 5 x 2 + 5(m − 1) x − 8 nghịch biến trên khoảng (−∞;1)?

A. 2.

B. 0.

C. 4.

D. 1.

Lời giải: Đặt f ( x) = x5 − 5 x 2 + 5(m − 1) x − 8
Nhận thấy f '( x) = 0 không nhẩm được nghiệm nên ta không dùng cách 3 để
giải bài toán này, mà dung cách 1
f ( x) = −∞ nên hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) ⇔
Ta có xlim
→−∞
5 x 4 − 10 x + 5m − 5 ≥ 0
 f '( x) ≥ 0
,
∀
x
∈
(
−∞
;1)
⇔
, ∀x ∈ (−∞;1)


 f ( x) ≤ 0
 f (1) ≤ 0
 m ≥ Max( − x 4 + 2 x + 1)
 m ≥ 2.1905...
( −∞ ;1)
m ≥ − x + 2 x + 1



⇔
, ∀x ∈ (−∞;1) ⇔ 
⇔
17
17
5m − 17 ≤ 0
m ≤
 m ≤ 5
5

4

Vì m nguyên nên m = 3
Chọn đáp án: D
Nhận xét: Khi nhận định được giải bài tốn theo cách 1 hoặc 2 thì các em cần
nhận thấy ở nhánh −∞ đồ thị f ( x) nằm dưới trục hồnh để khơng phải xét hai
trường hợp.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số
y = 3 x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) ?

A. 6.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Lời giải: Đặt f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m
19


Cách 1: Sử dụng đồ thị
f ( x) = +∞
Ta nhận thấy xlim
→−∞

Nên hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1)
12 x 3 − 12 x 2 − 24 x ≤ 0
 f '( x) ≤ 0
⇔ 
, ∀x ∈ (−∞; −1) ⇔ 
, ∀x ∈ (−∞; −1)
 f ( x) ≥ 0
 f (−1) ≥ 0
⇔ −5 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ 5

Vì m nguyên và nhỏ hơn 10 nên m ∈ { 5;6;7;8;9}
Chọn đáp án: D
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên  x = 0

Ta có f '( x) = 12 x3 − 12 x 2 − 24 x = 0 ⇔  x = −1
 x = 2

Ta có bảng biến thiên
x
f ′( x)
f ( x)

−∞

−1
0

−
+∞

+

0
0
m

−

2
0

+

+∞
+∞

m−5

m − 32

Từ bảng biên thiên suy ra

Để hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) ⇔ m − 5 ≥ 0 ⇔ m ≥ 5
Vì m nguyên và nhỏ hơn 10 nên m ∈ { 5;6;7;8;9}
Chọn đáp án: D
Nhận xét: Bài tốn này chúng ta có thể làm bằng ba cách, nhưng các em cần nhận
định các dấu hiệu để giảm bớt các lập luận thừa.
Ví dụ 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x
đồng biến trên khoảng (0; +∞) , biết rằng
−2021 ≤ m ≤ 2021 ?
A. 2020.

B. 2021.

C. 2022.

D. 2019.

Lời giải: Đặt f ( x) = x3 − 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x xác định trên ¡
Ta có f '( x) = 3x 2 − 6(m + 1) x + 3m(m + 2)
x = m
f '( x ) = 0 ⇔ 
x = m + 2

20


Ta có bảng biến thiên
−∞

x

+

f ′( x)
f ( x)

m
0

−

m+2
0

+∞
+
+∞

−∞

Từ bảng biến thiên suy ra
m + 2 ≤ 0
⇔ m ≤ −2.
Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (0; +∞) ⇔ 
 f (0) ≥ 0

Vì m nguyên và −2021 ≤ m ≤ 2021 nên m ∈ { −2021; −2020;...; −2}
Chọn đáp án: A
Nhận xét: Bài này các em nhận thấy f '( x) = 0 nhẩm được nghiệm nên ta chọn cách
3 để giải.

Ví dụ 6: Tính tởng S tất cả các giá trị ngun của tham số m trong đoạn

[ −10;10] để hàm số
A. S = 55.

y=

mx + 3
đồng biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .
x+m+2

B. S = 54.

C. S = 3.

D. S = 5.

Lời giải:
mx + 3
với x ≠ −m − 2.
x+m+2
m 2 + 2m − 3
.
Ta có f '( x) =
( x + m + 2) 2

Xét hàm số f ( x) =

Hàm số y = f ( x) đồng biến trên ( 1; +∞ ) khi xảy ra hai trường hợp sau
 m 2 + 2m − 3

 ( x + m + 2) 2 > 0
 f '( x) > 0


f
(
x
)
≥
0
,
∀
x
∈
(1;
+∞
)
⇔
, ∀x ∈ (1; +∞)
Trường hợp 1: 
 f (1) ≥ 0
 −m − 2 ∉ (1; +∞)
−m − 2 ≤ 1



  m < −3
 m 2 + 2m − 3 > 0



m > 1
m + 3

⇔ 
≥0
⇔ 1 ≥ 0
⇔ m > 1.
m
+
3

 m ≥ −3
 m ≥ −3


 m 2 + 2m − 3
 ( x + m + 2) 2 < 0
 f '( x) < 0


, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔  f (1) ≤ 0
, ∀x ∈ (1; +∞)
Trường hợp 2:  f ( x) ≤ 0
 −m − 2 ∉ (1; +∞)
−m − 2 ≤ 1




21

 m 2 + 2m − 3 < 0
 m 2 + 2m − 3 < 0


m + 3
⇔ 
≤0
⇔ 1 ≤ 0
⇔ m ∈ ∅.
m + 3
 m ≥ −3

 m ≥ −3
Vậy m ∈ (1; +∞) , vì m nguyên và thuộc đoạn [ −10;10]

Suy ra m ∈ { 2;3; 4;5;6;7;8;9;10} . Vậy S = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54.
Chọn đáp án: B.
Nhận xét: Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thì đạo hàm ln khác
khơng và chú ý tập xác định phải chứa khoảng (a; b).
Ví dụ 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
y = x+5+

1− m
đồng biến trên [ 5; +∞ ) ?
x−2

A. 11.
Lời giải:

B. 10.

Xét hàm số f ( x) = x + 5 +
Ta có f '( x) = 1 +

C. 8.

D. 9.

1− m
trên [ 5; +∞ ) .
x−2

m −1
x2 − 4 x + m + 3
=
.
( x − 2) 2
( x − 2) 2

f ( x) = +∞. Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên [ 5; +∞ ) khi và chỉ
Ta nhận thấy xlim
→+∞
 x2 − 4x + m + 3
≥0
 f '( x) ≥ 0

, ∀x ∈ [ 5; +∞ ) . ⇔  ( x − 2) 2
, ∀x ∈ [ 5; +∞ ) .

khi 
 f ( x) ≥ 0
 f (5) ≥ 0

 x 2 − 4 x + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ [ 5; +∞ )
2

 m ≥ − x + 4 x − 3, ∀x ∈ [ 5; +∞ )
⇔ 
⇔

1− m
≥0
 m ≤ 31
10 +
3

 m ≥ Max( − x 2 + 4 x − 3)

[ 5;+∞ )
⇔
⇔
 m ≤ 31
Do m nguyên âm ta có

 m ≥ −8
⇔ −8 ≤ m ≤ 31.

m ≤ 31
m ∈ { −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1} .

Chọn đáp án: C
Nhận xét: Khi phân tích bài tốn chúng ta cần nắm vựng phương pháp cho bài
tốn tởng qt. Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên [ 5; +∞ ) khi xảy ra hai trường
 f '( x) ≥ 0
, ∀x ∈ [ 5; +∞ ) .
 f ( x) ≥ 0

hợp là trường hợp 1: 

 f '( x) ≤ 0
, ∀x ∈ [ 5; +∞ ) .
 f ( x) ≤ 0

và trường hợp 2: 

f ( x) = +∞. nên yêu cầu bài toán chỉ xảy
Tuy nhiên chúng ta phát hiện được rằng xlim
→+∞
ra trường hợp 1.

22


2
Ví dụ 8: Cho hàm số y = x − 3 − 2 x − 3m , Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m thuộc khoảng ( −5;5 ) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 2;3) ?

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 9.

Lời giải:
Xét hàm số f ( x) = x 2 − 3 − 2 x − 3m trên ( 2;3) . có f '( x) =

x
x2 − 3

−2 =

x − 2 x2 − 3
x2 − 3

.

x ≥ 0

⇔ x = 2.
Ta có f '( x) = 0 ⇔ x = 2 x 2 − 3 ⇔  2
2
4
x
−
12
=
x



Ta thấy f '( x) < 0, ∀x ∈ ( 2;3) nên hàm số f ( x) nghịch biến trên ( 2;3) .
Suy ra yêu cầu của bài toán ⇔ f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ ( 2;3) ⇔ f (3) ≥ 0
⇔

6 −6
6 − 6 − 3m ≥ 0 ⇔ m ≤
.
3

Do m nguyên và thuộc khoảng ( −5;5 ) ⇒ m ∈ { 2; 3; 4} .
Chọn đáp án: B.
Nhận xét: Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên ( 2;3) khi xảy ra hai trường hợp là
 f '( x) ≥ 0
 f '( x) ≤ 0
, ∀x ∈ ( 2;3) . và trường hợp 2: 
, ∀x ∈ ( 2;3) .
 f ( x) ≥ 0
 f ( x) ≤ 0

Trường hợp 1: 

Tuy nhiên ta phát hiện thấy f '( x) < 0, ∀x ∈ ( 2;3) nên chỉ xảy ra trường hợp 1
Do đó khi giải một bài tốn ngồi nắm vựng phương pháp, chúng ta cịn phải phân
tích bài tốn để phát hiện ra những điều kiện để bài tốn trở nên ngắn gọn hơn.
3
Ví dụ 9: Cho hàm số y = sin x − m sin x + 1 , gọi S là tập hợp tất cả các số tự

 π

nhiên m sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0; ÷ . Tính số phần tử của S .
2


A. 1.

B. 2.



C. 3.

D. 0.

Lời giải:
π



Đặt t = sin x , x ∈  0; ÷ ⇒ t ∈ ( 0;1) .
2



 π
Trên khoảng  0; ÷ hàm số y = sin x đồng biến.
 2

 π
3

Khi đó hàm số y = sin x − m sin x + 1 đồng biến trên khoảng  0; ÷ khi và chỉ khi
2

hàm số y = t − mt + 1 đồng biến trên ( 0;1) .





3

Xét hàm số f (t ) = t 3 − mt + 1 trên khoảng ( 0;1) có f '(t ) = 3t 2 − m.
Trường hợp 1: Nếu m ≤ 0 thì f '(t ) ≥ 0 ⇒ hàm số y = f (t ) đồng biến.
23


Để hàm số y = f (t ) đồng biến trên ( 0;1) ⇔ f (0) ≥ 0 ⇔ 1 ≥ 0 luôn đúng
m
Trường hợp 2: Nếu m > 0 thì f '(t ) = 0 ⇔ t = ±
.
3

Ta có bảng biến thiên
x

−∞

f ′( x)

+

m
−
3
0

−

m
3
0

+∞
+

f ( x)

Ta nhận thấy m > 0 ⇒ −

m
m
<0<
3
3


m
m ≥ 3
1 ≤
⇔ 

⇔ m ∈∅.
3
Để hàm số y = f (t ) đồng biến trên ( 0;1) ⇔ 
1 ≤ 0
 f (0) ≤ 0

Từ hai trường hợp trên ta có m ≤ 0

Do m là số tự nhiên ⇒ m = 0.
Chọn đáp án: A
Nhận xét: Bài tốn này đạo hàm tìm được nghiệm nên ta sử dụng bảng biến thiên
để phân tích và đưa ra điều kiện tương đương. Chúng ta chú ý điều kiện m > 0 ⇒
m
m
<0<
để không phải xét nhiều trường hợp khoảng ( 0;1) nằm trong hay nằm
3
3
 m m
;
÷.
ngồi khoảng  −
3
3÷


−

Ví dụ 10: Cho hàm số y = ln(mx) − x + 2 , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 4) ? Biết rằng m < 2020.

A. 2018.

B. 2019.

C. 1.

D. 2020.

Lời giải:
Xét hàm số f ( x) = ln(mx) − x + 2 trên (1; 4) .
Do x ∈ ( 1; 4 ) , mx > 0 ⇔ m > 0.
1
x
Để hàm số y = f ( x) nghịch biến trên (1; 4) khi và chỉ khi f (4) ≥ 0

Ta có f '( x) = − 1 < 0, ∀x ∈ ( 1; 4 ) . hàm số f ( x) nghịch biến trên (1; 4) .
⇔ ln(4m) − 2 ≥ 0 ⇔ m ≥

e2
4

Do m nguyên và m < 2020 ⇒ m ∈ { 2;3; 4;...; 2019} .
Chọn đáp án: A
24


Nhận xét: Đối với hàm số lơgarít chúng ta cần chú ý tới điều kiện xác định. Ở bài
toán này ta nhận thấy f '( x) < 0 nên bài toán chỉ xảy ra một trường hợp
 f '( x) ≤ 0
, ∀x ∈ (1; 4).


 f ( x) ≥ 0

2.3.1d. Bài tập tương tự
Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
y=

1 3 1 2
x + x + x + m đồng biến trên khoảng (0; +∞) ? biết rằng m < 5 .
3
2

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10;10) để
3
hàm số y = 2 x − 2mx + 3 đồng biến trên khoảng (1; +∞) ?
A. 12.

B. 8.

C. 11.

D. 7.

3
2
Bài 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x − 3x + m − 4
đồng biến trên khoảng (3; +∞) là

A. [ 2; +∞ ) .

B. ( −∞; 2] .

C. ( −∞; 4] .

D. [ 4; +∞ ) .

Bài 4: Gọi S = [ a; +∞ ) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = x3 − 3x 2 + mx + m + 1 đồng biến trên khoảng (2; +∞) . Khi đó a bằng
A. −3.

B.1.

C. 0.

D. 1.

3
Bài 5: Cho hàm số y = x − mx + 1 . Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao
cho hàm số đồng biến trên [ 1; +∞ ) . Tính tởng tất cả các phần tử của S .

A. 3.

B. 1.

C. 9.

D. 10.

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
đồng biến trên khoảng ( 1; + ∞ ) .
A. m < −1.

B. m > 1.

C. −1 ≤ m ≤ 1.

Bài 7: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y =
khoảng ( 2; + ∞ ) ?
A. 4.

B. 2.

D. −1 < m < 1.
x−m
đồng biến trên
x+m+3

C. 3.

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =
trên khoảng ( 1; + ∞ ) .
A. m ≤

C.

1
hoặc m ≥ 2.
2

1
< m ≤ 2.
2

x+m
x +1

D. 1.
x − m +1
đồng biến
x+m

1
< m < 2.
2
1
D. ≤ m ≤ 2.
2

B.

25