Định hướng phát triển năng lực vận dụng kiến thức liên môn toán tin cho học sinh ở trường THPT trong dạy học tổ hợp xác suất và dãy số

MỤC LỤC
PHẦN I - MỞ ĐẦU..................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài....................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................................3
PHẦN II – NỘI DUNG ............................................................................................1
I. Cơ sở lí luận...........................................................................................................4
1.1. Nghiên cứu về tài liệu dạy học tích hợp, dạy học theo hướng PTNL giải quyết
vấn đề chương trình giáo dục phổ thơng 2018:.........................................................4
1.2. Nội dung và đặc điểm mơn Tốn, Tin ở trường THPT.......................................5
1.3. Khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin bằng hình thức DHTH..................6
1.4. Các loại ngơn ngữ lập trình phù hợp với học sinh THPT hiện nay....................8
II. Cơ sở thực tiễn......................................................................................................8
2.1. Dạy học giải quyết vấn đề..................................................................................8
2.2. Khai thác mối QHLM Toán - Tin giúp PT các thành tố của NLGQVĐ.............9
2.3. Thực trạng việc khai thác mối QH liên môn Toán - Tin ở trường THPT...........9
III. Một số định hướng PTNL GQVĐ cho HS........................................................10
3.1. Định hướng 1: Thiết kế hoạt động dạy học công thức tổng quát.....................10
3.2. Định hướng 2: Thiết kế các hoạt động tính tốn, ...tìm giải pháp GQVĐ........17
3.3. Định hướng 3: Xây dựng bài toán khái quát ..NC sâu giải pháp GQVĐ.........21
3.4. Định hướng 4: Thiết kế các hoạt động…bài tốn thực tiễn, trị chơi, câu đố:. 25
IV. Thực nghiệm sư phạm.......................................................................................34
V. Khảo sát lấy ý kiến… và hiệu quả sáng kiến......................................................37
5.1. Khảo sát lấy ý kiến GV....................................................................................37
5.2. Hiệu quả mà sáng kiến mang lại......................................................................39
PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ..............................................................40
1. Kết luận...............................................................................................................40
2. Kiến nghị và hướng phát triển.............................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................43


DANH MỤC

KÍ HIỆU VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG SÁNG KIẾN
TT

VIẾT TẮT

VIẾT ĐẦY ĐỦ

1.

GV

2.

GD&ĐT

3.

HS

4.

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

5.

THPT

Trung học phổ thông

6.

DHTH

Dạy học tích cực

7.

TN

Trắc nghiệm

8.

NL

Năng lực

9.

NNLT

Ngơn ngữ lập trình

10.

SGK

Sách giáo khoa

11.

GDPT

12.

OECD

Giáo viên
Giáo dục và đào tạo
Học sinh

Giáo dục phổ thông
Tổ chức Hợp tác và Phát
triển Kinh tế


PHẦN I - MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong quá trình xây dựng và phát triển kinh tế của đất nước, chất lượng nguồn
nhân lực phải được xem là yếu tố then chốt để phát huy mọi tiềm lực của đất
nước. Một trong các lĩnh vực nhận được sự quan tâm nhiều hơn cả là Giáo dục và
Đào tạo. Sự phát triển kinh tế - xã hội trong thời kì hội nhập quốc tế ở nước ta đặt
ra những yêu cầu mới đối với nguồn nhân lực, do đó cũng đặt ra những yêu cầu
mới cho sự nghiệp giáo dục. Những định hướng cơ bản của việc đổi mới giáo dục
là chuyển từ nền giáo dục mang tính định hướng nội dung sang một nền giáo dục
chú trọng việc hình thành và phát triển năng lực của người học.
Trong những năm gần đây, dạy học theo định hướng phát triển năng lực đã trở
thành xu hướng chính đối với nhiều nước trên thế giới, đặc biệt là các nước phát

triển thuộc OECD, theo OECD: Năng lực là khả năng đáp ứng một cách hiệu quả
những yêu cầu phức hợp trong một bối cảnh cụ thể; theo Chương trình giáo dục
phổ thơng mới năm 2018: Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát
triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy
động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng
thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành cơng một loại hoạt động nhất định, đạt kết
quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Nhằm đáp ứng yêu cầu này, trong
quá trình dạy học, GV cần tạo ra sự kết nối kiến thức giữa các môn học, hướng
dẫn HS vận dụng kiến thức của nhiều môn học để giải quyết các vấn đề[6].
Đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà là mục tiêu mà Bộ
GD&ĐT đang thực hiện theo Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội
nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương khóa 11, trong đó nhấn mạnh nền giáo
dục Việt Nam cần thay đổi một cách căn bản, toàn diện “chuyển mạnh quá trình
giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm
chất người học”. Từ năm học 2012 - 2013, Bộ GD&ĐT đã đưa vấn đề vận dụng
kiến thức liên mơn vào q trình dạy học ở trường phổ thông. Tiếp tục đổi mới
đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả giáo dục theo hướng
khoa học, hiện đại, tăng cường mối quan hệ thúc đẩy lẫn nhau giữa các hình thức
và phương pháp tổ chức hoạt động dạy học - giáo dục, đánh giá trong quá trình
dạy học - giáo dục và đánh giá kết quả giáo dục[3].
Trong chương trình lớp 11, mơn Tốn và mơn Tin học có quan hệ mật thiết với
nhau, hỗ trợ nhau. Đặc biệt, nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số (Đại số và Giải
tích 11) là một nội dung khá thú vị, có nhiều bài tốn mang đậm tính thực tiễn.
Thơng qua dạy học nội dung này có thể giới thiệu cho học sinh (HS) nhiều quy
trình, thuật tốn. Các bài tốn có thể dạy theo tinh thần phát triển thuật toán từ mức
1


HS xử lý bằng giấy và bút lên mức viết chương trình cho máy tính xử lý. Qua việc
giải tốn, giúp HS hiểu sâu sắc, cặn kẽ bản chất nội dung kiến thức Toán học vận

dụng vào giải bài toán. Xây dựng thuật toán phát triển năng lực giải quyết vấn đề
(GQVĐ) cho HS và viết chương trình cho máy tính tự động giải bài tốn, HS sẽ
được củng cố, đào sâu, vận dụng kiến thức Toán học và Tin học.[1],[2]
Năm học 2020-2021 sở giáo dục Nghệ An có nhiều văn bản, hướng dẫn đồng
thời yêu cầu các cơ sở giáo dục phải có định hướng nâng cao chất lượng dạy học
trong đó tích cực vận dụng kiến thức liên môn vào dạy học ở trong trường phổ
thông để chuẩn bị kịp thời hành trang trang bị cho giáo viên đại trà đạt chuẩn phù
hợp chương trình giáo dục phổ thông 2018 sẽ được áp dụng ở cấp THPT vào năm
học 2022-2023 (lớp 10), 2023-2024 (lớp 11), 2024-2025 (lớp 12).
Đồng thời lần đầu tiên ở Việt Nam có một chương trình có quy mơ lớn do Bộ
Giáo dục và Đào tạo là cơ quan chủ quản và điều phối đó là “Chương trình Phát
triển các trường sư phạm để nâng cao năng lực đội ngũ giáo viên và cán bộ quản lý
cơ sở giáo dục phổ thông (tên tiếng Anh: Enhancing Teacher Education Program),
viết tắt là ETEP, do Ngân hàng Thế giới tài trợ, thực hiện từ năm 2017 đến năm
2022, theo mơ hình tài trợ dựa trên kết quả (PforR)..” Đó là chương trình giới thiệu
về 9 mơ đun bồi dưỡng GVPT gồm:
GV_01: Hướng dẫn thực hiện Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 (19 môn học)
GV_02: Sử dụng phương pháp dạy học và giáo dục phát triển phẩm chất, năng lực học sinh
(19 môn học)
GV_03: Đánh giá học sinh theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực (19 môn học)
GV_04: Xây dựng kế hoạch dạy học và giáo dục theo hướng phát triển phẩm chất, năng
lực học sinh (19 môn học)
GV_05: Tư vấn và hỗ trợ học sinh trong hoạt động giáo dục và dạy học
GV_06: Xây dựng văn hóa nhà trường
GV_07: Thực hiện và xây dựng trường học an toàn, phòng chống bạo lực học đường ở
trường
GV_08: Phối hợp giữa nhà trường, gia đình và xã hội để thực hiện giáo dục đạo đức, lối
sống cho học sinh
GV_09: Ứng dụng công nghệ thông tin, khai thác và sử dụng thiết bị công nghệ
trong dạy học và giáo dục học sinh (19 môn học); Hiện nay tất cả giáo viên trên

toàn tỉnh Nghệ An đã hoàn thiện 02 modul: GV_01; GV_02; đặc biệt modul 2
hướng dẫn GVPT sử dụng phương pháp dạy học và giáo dục phát triển phẩm chất,
năng lực học sinh (19 môn học);Cũng chuẩn bị tập huấn đại trà GV_03: Đánh giá
học sinh theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực (19 môn học)[11].
2


Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của bài viết là: “Định
hướng phát triển năng lực vận dụng kiến thức liên mơn tốn - tin cho học sinh
ở trường THPT trong dạy học tổ hợp - xác suất và dãy số” để Dạy học Tổ hợp Xác suất và dãy số theo hướng phát triển năng lực vận dụng kiến thức liên mơn
Tốn - Tin cho học sinh Trung học phổ thơng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của bài viết là đề xuất các định hướng sư phạm để khai thác được mối
quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất và dãy số
(Đại số và Giải tích 11), qua đó góp phần phát triển năng lực GQVĐ cho HS Trung
học phổ thông (THPT).
Đề xuất được một số định hướng khai thác mối quan hệ liên môn Toán - Tin
trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất và dãy số (Đại số và Giải tích 11) theo
hướng phát triển năng lực GQVĐ cho HS THPT.
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ của sáng kiến này là phải trả
lời được các câu hỏi: (1) Mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học Tốn ở
trường THPT là gì? Hướng khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy
học nội dung Tổ hợp - Xác suất và dãy số (Đại số và Giải tích 11) được thực hiện
như thế nào? (2) Các thành tố/biểu hiện của NL GQVĐ trong dạy học nội dung Tổ
hợp - Xác suất (Đại số và Giải tích 11) là gì? (3) Tại sao khai thác mối quan hệ liên
mơn Tốn - Tin trong dạy học có thể giúp phát triển NL GQVĐ cho HS? (4) Có
những định hướng nào khả thi và hiệu quả để khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn
- Tin trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số (Đại số và Giải tích 11)
theo hướng phát triển năng lực GQVĐ cho HS? Giải quyết hết các câu hỏi trên thì
sáng kiến kinh nghiệm đã có những đóng góp mới như sau:

- Làm rõ được quan niệm về “Mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin” trong dạy học

Toán ở trường THPT và đưa ra được một số định hướng khai thác mối quan hệ liên
môn Toán - Tin trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất và dãy số (Đại số và Giải
tích 11).
- Làm rõ thêm một số biểu hiện, tiêu chí và mức độ đánh giá năng lực GQVĐ của
HS trong việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin vào thực hiện dạy học nội
dung Tổ hợp - Xác suất và dãy số ở chương trình lớp 11 THPT đối với mơn Tốn và
các câu lệnh có cấu trúc ở chương trình tin học lớp 11.
- Đề xuất được một số định hướng sư phạm hiệu quả để khai thác mối quan hệ liên
mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất (Đại số và Giải tích 11),
qua đó góp phần phát triển năng lực GQVĐ cho HS THPT. Kết quả TN sư phạm
với con số tích cực bước đầu đã minh chứng cho tính khả thi và hiệu quả của các
định hướng sư phạm đã đề xuất.[6]
3


PHẦN II - NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Nghiên cứu về tài liệu dạy học tích hợp, dạy học theo hướng phát triển
năng lực giải quyết vấn đề (GQVĐ) chương trình giáo dục phổ thơng 2018:
Qua việc nghiên cứu về tài liệu dạy học tích hợp, dạy học theo hướng phát triển
năng lực GQVĐ chương trình giáo dục phổ thơng mới 2018 ở Việt Nam, chúng tơi
có những nhận xét sau:
- Việc phát triển năng lực GQVĐ có thể thực hiện bằng nhiều con đường với các

cách tiếp cận khác nhau. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy việc nghiên cứu, phát
triển năng lực GQVĐ cho HS trong dạy học Tốn nói chung, trong dạy học nội
dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số (Đại số và Giải tích 11) nói riêng bằng con
đường khai thác mối quan hệ liên môn là chưa được vận dụng nhiều và cũng chưa

có nhiều các tài liệu hướng dẫn giảng dạy do đó gây rất nhiều khó khăn cho giáo
viên khi muốn áp dụng phương pháp dạy học tích hợp, dẫn đến việc học các nội
dung chưa khơi gợi được năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11.
- Khi vận dụng quan điểm tích hợp trong dạy học ta có những lợi thế sau: HS Có

thêm những cơng cụ, kiến thức, kĩ năng để GQVĐ; Giảm thời gian vì không phải
học nhắc lại kiến thức trùng lặp ở các môn học; Làm phong phú thêm các cách tiếp
cận, cách tư duy trong quá trình GQVĐ; Hỗ trợ, bổ sung để hình thành hệ thống tri
thức phương pháp cho người học.
- Việc DHTH, dạy học theo định hướng phát triển năng lực nói chung và dạy học

theo hướng phát triển năng lực GQVĐ nói riêng đã được nhiều GV quan tâm
nghiên cứu nhằm tiếp cận chương trình phổ thơng mới. Tuy nhiên, chưa có nghiên
cứu nào về khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung Tổ
hợp - Xác suất và Dãy số (Đại số và Giải tích 11) theo hướng phát triển năng lực
GQVĐ cho HS. Mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học Toán ở trường
THPT [11].
- Với CT GDPT 2018, dạy học chuyển từ việc chú trọng trang bị kiến thức, kỹ

năng cho HS sang phát triển năng lực, thúc đẩy đổi mới và sáng tạo cho HS. Do
đó, việc đánh giá thực hiện theo hướng đánh giá năng lực cho nên tiếp cận theo
hướng GQVĐ luôn được quan tâm ở tất các môn học hiện nay, sao cho phù hợp
với nội dung chương trình GDPT 2018 sắp ban hành trong thời gian sớm nhất.
- Có một số điểm khác biệt giữa đánh giá tiếp cận nội dung (kiến thức, kĩ năng)

và đánh giá tiếp cận năng lực [1]
4


1.2. Nội dung và đặc điểm mơn Tốn, Tin ở trường THPT

- Nội dung ở chương 2 và chương 3: Tổ hợp - Xác suất và Dãy số Toán (Đại số
và Giải tích 11) là nội dung có nhiều bài tốn mà lời giải của nó có thể được trình
bày dưới dạng quy trình, thuật tốn.
- Trong chương trình Tin học lớp 11: nội dung chương 2,3,4, HS học về cấu trúc
chương trình đơn giản, Cấu trúc rẽ nhánh và lặp, Kiểu dữ liệu có cấu trúc. Nhiều
lời giải của bài tốn trong chương trình Tin học 11 có sử dụng các kiến thức Tốn
học. Vì việc đưa kiến thức tốn lồng ghép vào tin học là hợp lí và cũng đồng thời
kích thích sự hứng thú cho HS;
Vì thế, trong quá trình dạy học, ở một số nội dung có thể kết hợp giữa việc dạy
kiến thức Tốn học và Tin học song song.
Trong bài viết này chúng tôi quan niệm: “Mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin” là
sự kết hợp kiến thức, kĩ năng Toán học và kiến thức, kĩ năng Tin học trong dạy học
Toán ở trường THPT.
Để có thể xác định mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin, sau khi rà sốt chương
trình mơn Tốn và mơn Tin học chúng tơi tìm ra các điểm tương đồng về kiến thức
và kĩ năng trong chương trình của hai mơn học, từ đó xác định được các kiến thức
liên môn và kĩ năng liên môn như sau:
- Xác định các kiến thức, kĩ năng Tin học có thể sử dụng để giải quyết các vấn
đề của Toán học.
- Xác định các kiến thức, kĩ năng Toán học có thể sử dụng để giải quyết các vấn
đề của Tin học.
- Xác định các kiến thức, kĩ năng Tin học có thể được củng cố trong q trình
dạy học Toán học.
- Xác định các kiến thức, kĩ năng Tốn học có thể được củng cố trong q trình
dạy học Tin học.
- Xác định các kiến thức, kĩ năng có thể được củng cố trong cả q trình dạy học
Tốn và dạy học Tin. [6]
Ví dụ như là: Mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung Dãy số
được thể hiện ở khả năng kết hợp các kiến thức, kĩ năng Toán học và các kiến thức,
kĩ năng Tin học như sau:

- Các kiến thức về Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng qt, dãy số cho
bằng cơng thức truy hồi; tính chất các số hạng của cấp số cộng, cấp số nhân;…
được sử dụng để viết thuật tốn và lập trình giải bài toán trong Tin học.
- Các kiến thức về các câu lệnh rẽ nhánh, cấu trúc lặp, các kiểu dữ liệu có cấu
trúc,… của ngơn ngữ lập trình Pascal, C++, Python…; kĩ năng sử dụng máy tính
cầm tay Casio, phần mềm Excel, chương trình tin học giúp tính tốn kết quả của
bài tốn một cách nhanh chóng (đặc biệt là những bài tốn có khối lượng tính tốn
lớn), hỗ trợ dự đốn, suy luận tìm cơng thức của số hạng tổng quát của dãy số khi
biết công thức truy hồi.

5


- Từ bài toán cụ thể về dãy số, HS xây dựng bài toán khái quát; từ lời giải bài
toán trong trường hợp cụ thể được trình bày hướng tới tính quy luật (hoặc các
bước) HS viết thuật tốn và lập trình giải bài tốn giúp HS phát triển tư duy tương
tự hóa, khái qt hóa, tư duy thuật tốn,…
- Việc viết các thuật tốn và lập trình giải bài toán khái quát về dãy số giúp HS
củng cố kiến thức Tốn học (tính chất các số hạng của cấp số cộng, cấp số nhân;
cơng thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng, cấp số nhân;…), củng cố
kiến thức Tin học liên quan: Cấu trúc tuần tự -Chương 2; cấu trúc rẽ nhánh, cấu
trúc lặp - chương 3; dữ liệu mảng một chiều -chương 4…. Việc bổ sung bộ test kết
quả để kiểm tra tính đúng đắn của lời giải giúp HS rèn luyện kĩ năng tính tốn[3].
1.3. Khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung Tổ
hợp - Xác suất và Dãy số bằng hình thức dạy học tích hợp
*.Quan niệm về tích hợp
Ta biết rằng tích hợp là nguyên tắc, là quan điểm hiện đại trong giáo dục. Tư
tưởng tích hợp thì được bắt nguồn từ đời sống và từ khoa học. Trong phạm vi của
sáng kiến này, chúng tơi chỉ nghiên cứu, xem xét khái niệm tích hợp trong sự kết
hợp các nội dung kiến thức, kĩ năng giữa hai mơn Tốn và Tin học nhằm giải quyết

một số vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sống hàng ngày của học sinh. Ở đây
chúng tôi cố gắng làm rõ nét hiệu quả của việc sử dụng kiến thức mơn tốn để học
tin và việc sử dụng kiến thức tin để học tốn[4].
*.Cách tiếp cận tích hợp trong dạy học
Có nhiều quan điểm khác nhau, nhiều cách trình bày khác nhau về DHTH.
Trong phạm vi của bài viết này, chúng tôi khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn Tin dựa trên quan điểm của R.Fogarty về tích hợp. Đó là tích hợp gồm 3 dạng và
10 mơ hình tích hợp: Dạng 1. Tích hợp trong nội bộ mơn học; Dạng 2. Tích hợp
các mơn học khác nhau; Dạng 3. Tích hợp giữa những người học. Các mơ hình mà
Forgaty đưa ra thể hiện rõ các phương pháp và cấp độ tích hợp. Trong đó, mơ hình
sắp xếp (chuỗi nối tiếp): các chủ đề và các bài học (đơn vị kiến thức) được dạy độc
lập nhưng chúng được bố trí theo trình tự để cung cấp một khung (cốt) cho những
nội dung liên quan. Các GV sắp xếp các chủ đề sao cho các bài học có nội dung
tương tự ăn khớp với nhau. Với mơ hình xâu chuỗi, GV sẽ xác định kĩ năng cần
phát triển cho HS, từ đó lựa chọn nội dung dạy học phù hợp từ các môn học để
giúp HS đạt đến kĩ năng cần phát triển.[6]
Trên cơ sở nghiên cứu lí luận chung về DHTH và đặc thù mơn Tốn, mơn Tin ở
trường THPT hiện nay, trong khuôn khổ thời lượng và điều kiện thực tiễn, bài viết
chỉ tập trung nghiên cứu việc tích hợp giữa hai mơn Tốn học và Tin học dựa trên
mơ hình chuỗi nối tiếp và mơ hình xâu chuỗi khi dạy học nội dung Tổ hợp - Xác
suất và Dãy số (Đại số và Giải tích 11).
Xác định mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác
suất và Dãy số;
6


Một số vấn đề thuộc nội dung Tổ hợp - Xác suất có thể tiến hành dạy học theo
hướng khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin theo hướng phát triển năng lực
GQVĐ cho HS, cụ thể:
- Công thức tổng qt tính Tổ hợp, Hốn vị, Chỉnh hợp; bài tập Tổ hợp, Hoán

vị, Chỉnh hợp; bài tập Xác suất (những bài tập mà lời giải có thể trình bày dưới
dạng thuật tốn hoặc chương trình tin học) có thể dạy học cùng với các kiến thức
Tin học về thuật toán: Cấu trúc tuần tự, Cấu trúc rẽ nhánh và cấu trúc lặp.
- Khái niệm dãy số cho bằng phương pháp mơ tả, dãy số bị chặn có thể dạy học

cùng với các kiến thức Tin học về thuật toán, câu lệnh rẽ nhánh, câu lệnh lặp, kiểu
mảng một chiều.
- Cấp số cộng, Cấp số nhân có thể dạy học cùng với các kiến thức Tin học về

thuật toán, câu lệnh lặp, kiểu mảng một chiều, kiểu dữ liệu xâu, kiểu dữ liệu tệp và
Chương trình con để tìm lời giải cho bài toán[5].
*) Xác định kĩ năng liên mơn Tốn - Tin khi dạy nội dung Tổ hợp - Xác suất và
Dãy số
Việc khai thác khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội
dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số giúp HS phát triển một số kĩ năng: Kĩ năng tính
tốn, kĩ năng tư duy (tương tự hóa, khái quát hóa, tư duy thuật toán), kĩ năng giải
bài tập toán học, kĩ năng lập trình, kĩ năng sử dụng phần mềm tin học.
Đề xuất cách khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung
Tổ hợp - Xác suất và Dãy số
Trong bài viết chúng tôi quan niệm: Khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin
là hoạt động kết nối kiến thức, rèn luyện kĩ năng Tốn học và Tin học theo hướng
tích hợp giữa mơn Tốn và mơn Tin dựa trên mơ hình chuỗi nối tiếp và mơ hình
xâu chuỗi, qua đó góp phần phát triển năng lực GQVĐ cho HS phù hợp với
chương trình sách giáo khoa 2018.
Việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin khi dạy học nội dung Tổ hợp Xác suất và Dãy số (Đại số và Giải tích 11) có thể thực hiện theo hai hướng:
(1) Kết hợp giữa việc dạy kiến thức Toán học và kiến thức Tin học (kiến thức

Toán học là cơ sở để dạy học thuật tốn và lập trình giải tốn).
(2) Tin học là cơng cụ hỗ trợ việc tìm lời giải của bài tốn, để tính tốn, dự đốn

tìm lời giải của bài toán trong toán học).[3]
Trên cơ sở phân tích một số điểm tương đồng trong chương trình lớp 11 giữa
mơn Tốn (nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số) và môn Tin học (nội dung
chương 3,4), chúng tôi nhận thấy: Việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn – Tin
là vơ cùng cần thiết để giúp học sinh dễ tiếp cận kiến thức và học nhanh 2 mơn học
này; Vì thế, trong q trình dạy học, GV có thể kết hợp giữa việc dạy kiến thức
Toán học và kiến thức Tin học cho HS. Qua đó, giúp các em ơn tập, khắc sâu kiến
thức Tốn học, Tin học; rèn luyện kĩ năng tính tốn, khả năng tư duy,… đồng thời
7


giúp các em biết vận dụng kiến thức của cả hai môn học vào GQVĐ.
1.4. Các loại ngôn ngữ lập trình phù hợp với học sinh THPT hiện nay
Theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 05 tháng 05 năm 2006 của bộ
trưởng Bộ giáo dục thì từ năm học 2006-2007 bắt đầu đưa chương trình Tin học
vào nhà trường phổ thơng để dạy học lập trình cho học sinh thì mục tiêu của sách
giáo khoa cũng nêu rõ: Dạy học lập trình cho học sinh mục tiêu lớn nhất là hình
thành rèn luyện các kỹ năng, tư duy lập trình chứ không mang nặng một loại
NNLT cụ thể nào? Tuy nhiên trong SGK tin học 11 hầu hết các bài học đang sử
dụng NNLT Turbo Pascal để minh họa từng ví dụ. Do đó tùy theo điều kiện cụ thể
các nhà trường có thể xây dựng chương trình dạy học lấy NNLT nào phù hợp với
điều kiện cơ sở vật chất để minh học cho học sinh.[3]
Hiện nay để phù hợp với chương trình sách giáo khoa GDPT 2018 sắp sửa ban
hành, Bộ GD-ĐT cho phép các cơ sở giáo dục có thể lựa chọn giảng dạy các ngơn
ngữ lập trình có tính cập nhật, hiện đại và thơng dụng đang được triển khai trong
trường phổ thông nhiều nước như Python, C, C++…Trong sáng kiến này khi dạy
mơn Tốn để ứng dụng tin học vào nâng cao hiệu quả học toán cho học sinh chúng
tơi minh họa chương trình giải các bài toán được đề xuất bằng NNLT C++ hoặc
Turbo Pascal. Cũng như vậy khi học tin tôi sử dụng các bài toán Tổ hợp - Xác suất
và dãy số để dạy các cấu trúc câu lệnh bằng NNLT C++ hoặc TurboPascal [2][3]

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
2.1. Dạy học giải quyết vấn đề
Trong bài viết, xem xét khái niệm vấn đề trong mối quan hệ liên mơn Tốn Tin khi dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất và dãy số (Đại số và Giải tích 11),
chúng tơi chỉ tập trung giải quyết những vấn đề mà lời giải của nó có thể trình bày
dưới dạng thuật tốn. Chúng tơi chỉ tập trung nghiên cứu GQVĐ theo hướng thực
hiện các hoạt động tốn học, tin học phù hợp để tìm ra giải pháp giải quyết những
yêu cầu của vấn đề đặt ra.[7]
Quá trình GQVĐ gồm bốn bước cơ bản sau: Phát hiện vấn đề; Tìm giải pháp;
Trình bày giải pháp; Nghiên cứu sâu giải pháp.
Trong giáo dục chúng ta đặc biệt quan tâm đến năng lực của người học vì rằng:
Năng lực là tổ hợp kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng
thú, niềm tin, ý chí,... của HS thể hiện trong một hoạt động nào đó đáp ứng yêu cầu
thực hiện một nhiệm vụ học tập đặt ra. Quan niệm: Năng lực GQVĐ của HS là tổ
hợp các năng lực được bộc lộ qua các hoạt động trong quá trình GQVĐ.
Tiếp cận theo quá trình GQVĐ thơng qua khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn Tin trong dạy học Tốn ở trường THPT, gồm các thành tố sau: Năng lực hiểu vấn
đề, Năng lực tìm giải pháp; Năng lực trình bày giải pháp GQVĐ; Năng lực nghiên
cứu sâu giải pháp. Bốn thành tố này được biểu hiện qua bốn bước trong quá trình
8


GQVĐ[1].
2.2. Khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung Tổ
hợp - Xác suất và Dãy số giúp phát triển các thành tố của năng lực giải quyết
vấn đề
Trên cơ sở nghiên cứu, khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học
nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số (Đại số và Giải tích 11) bằng hình thức
DHTH theo mơ hình chuỗi nối tiếp và mơ hình xâu chuỗi, chúng tơi tập trung phân
tích, minh họa cơ hội phát triển các thành tố của năng lực GQVĐ cho HS khi hiện
hoạt động tìm giải pháp, trình bày giải pháp và nghiên cứu sâu giải pháp (minh họa
qua các ví dụ) vì trong q trình thực hiện các hoạt động này thể hiện rõ được sự

khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin vào GQVĐ. Qua đó phát triển cho HS
năng lực tìm giải pháp, năng lực trình bày giải pháp và năng lực nghiên cứu sâu giải
pháp GQVĐ.[8]
Việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học nội dung Tổ hợp
- Xác suất và Dãy số góp phần phát triển cho HS năng lực tìm giải pháp, trình bày
giải pháp và nghiên cứu sâu giải pháp GQVĐ. Nó được biểu hiện cụ thể như sau:
*) Biểu hiện của năng lực tìm giải pháp GQVĐ: Liên hệ được với những
chương trình đã có để GQVĐ hoặc sử dụng được phần mềm Microsoft Excel để
tính tốn, dự đốn tìm lời giải bài tốn và KT kết quả.
*) Biểu hiện của năng lực trình bày giải pháp GQVĐ: Trình bày được giải
pháp GQVĐ hướng tới tính quy luật hoặc dẫn đến cơng thức tổng qt để GQVĐ.
*) Biểu hiện của năng lực nghiên cứu sâu giải pháp GQVĐ: HS phát biểu được
bài toán tổng quát có thể sử dụng cơng cụ Tin học để giải quyết; Trình bày được lời
giải bài tốn tổng qt (hướng tới tính quy trình, thuật tốn); Sử dụng được kiến
thức Tốn học để viết thuật tốn, chương trình giải quyết bài toán đặt ra; Cải tiến
được thuật toán, cải tiến được chương trình, đưa ra được lời giải khác hoặc lời giải
tối ưu hơn (nếu có); Lựa chọn, đề xuất được bài tốn tương tự áp dụng thuật tốn,
chương trình đã có.
Dựa trên các biểu hiện của năng lực GQVĐ đã xác định ở trên và mối liên hệ
giữa việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin và các thành tố của năng lực
giải quyết vấn đề trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số, chúng tôi
nghiên cứu xác định được 7 tiêu chí, mỗi tiêu chí có 3 mức độ từ thấp đến cao để
đánh giá năng lực GQVĐ của HS thơng qua việc khai thác mối quan hệ liên mơn
Tốn - Tin trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số.
2.3. Thực trạng việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin theo hướng
phát triển năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học Toán-Tin ở
trường THPT hiện nay
Đa số GV đã nhận thấy vai trò quan trọng của việc khai thác mối quan hệ liên
9

mơn Tốn - Tin trong dạy học Tốn ở trường THPT theo hướng phát triển năng lực
GQVĐ cho HS và cũng đã quan tâm tới vấn đề này. Tuy nhiên, trong thực tế dạy
học Toán, Tin ở trường THPT, mới chỉ có một số ít GV đã thực hiện việc dạy theo
hướng khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin và việc này mới chỉ dừng lại ở
mức: Trên cơ sở lời giải của các bài toán trong toán học, GV Toán yêu cầu HS phát
biểu bài toán khái quát và đưa ra quy trình các bước để giải bài toán khái quát. GV
Tin học yêu cầu HS vận dụng các kiến thức Toán học để viết thuật tốn và lập trình
giải một số bài tập trong SGK Tin học có sử dụng kiến thức Tốn. Trong q trình
học tập, HS chưa có thói quen vận dụng kiến thức Tin học vào giải Tốn; HS chưa
có sự tích cực, linh hoạt trong việc vận dụng kiến thức Toán, Tin vào GQVĐ.
Xuất phát từ thực trạng như vậy cho nên chúng tơi tìm tịi một số định hướng xây
dựng kế hoạch phát triển liên môn và thực hiện định hướng tác động tích cực là kết
hợp liên mơn để giải quyết thực trạng đó:
- Các định hướng phải phù hợp với yêu cầu đổi mới căn bản toàn diện nền giáo

dục Việt Nam trong giai đoạn hiện nay: chuyển từ trang bị kiến thức, kĩ năng sang
phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học.
- Các định hướng phải góp phần củng cố kiến thức Tốn học, Tin học cho HS,

giúp HS hiểu bản chất của vấn đề, biết vận dụng kiến thức toán để viết thuật toán
giải quyết các bài toán đặt ra đồng thời hướng tới khả năng lập được chương trình
cho máy tính tự động thực hiện giải một số bài toán trong toán học đối với HS lớp
11 khi HS học lập trình ở môn Tin học [4].
- Các định hướng phải phát huy được hiệu quả, thế mạnh của việc khai thác mối

quan hệ liên mơn Tốn - Tin trên cơ sở xác định được các nội dung giao thoa,
những khái niệm, tư tưởng chung giữa hai môn học.
- Các định hướng phải thực sự góp phần phát triển năng lực GQVĐ cho HS

thông qua việc tổ chức các hoạt động dạy học để khai thác mối quan hệ liên mơn
Tốn - Tin.
- Các định hướng phải có tính khả thi và phù hợp với điều kiện thực tiễn giảng

dạy mơn Tốn, mơn Tin ở trường THPT nói chung và đơn vị THPT Diễn Châu 2
nói riêng.
III. MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ LIÊN MƠN TỐN -TIN
TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP - XÁC SUẤT VÀ DÃY SỐ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC GQVĐ CHO HS:
3.1. Định hướng 1: Thiết kế hoạt động dạy học công thức tổng quát dựa trên mơ
hình tích hợp chuỗi nối tiếp giúp HS kết nối kiến thức Toán học và Tin học
3.1.1. Cơ sở của định hướng
- Nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số (Đại số và Giải tích 11) và mơn Tin học

11 có sự tương đồng, kết nối với nhau. Vì thế, dựa trên mơ hình tích hợp chuỗi nối
10


tiếp, GV giảng dạy mơn Tốn và mơn Tin học (lớp 11) có thể sắp xếp lại các bài
học và tiếp cận theo quá trình GQVĐ để thiết kế và tổ chức các hoạt động dạy học.
- Nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số có nhiều cơng thức tổng qt, có thể

xây dựng thuật tốn và lập trình giải bài tốn dựa vào cơng thức tổng qt.
- Xuất phát từ thực trạng việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong

dạy học Tốn ở trường THPT: Hiện nay tuy CNTT đã phát triển rất nhanh và
mạnh. Thời kỳ công nghệ số đã ra đời nhưng nhiều GV còn ngại thay đổi, chưa
biết kết nối kiến thức giữa mơn Tốn và mơn Tin trong q trình giảng dạy. Việc
này làm cho hệ lụy kéo theo là HS khơng hình thành thói quen kết nối kiến thức
Toán học và kiến thức Tin học vào GQVĐ trong khi bản chất Tốn - Tin có mối

liên hệ mật thiết với nhau.
- Năng lực được hình thành và phát triển thông qua hoạt động. Do vậy, nếu GV

thiết kế được các hoạt động để khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin khi dạy
học các cơng thức tổng quát thuộc nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số nếu tổ
chức được cho HS các hoạt động học tập phù hợp thì sẽ góp phần phát triển năng
lực GQVĐ cho HS từ đó nâng cao chất lượng học tập.
3.1.2. Mục đích của định hướng
Định hướng này giúp GV biết thiết kế và tổ chức các hoạt động để khai thác mối
quan hệ liên mơn Tốn - Tin khi dạy học các công thức tổng quát thuộc nội dung
Tổ hợp - Xác suất và Dãy số theo mơ hình chuỗi nối tiếp. Từ đó, giúp HS phát
triển tư duy thuật toán, phát triển năng lực nghiên cứu sâu các giải pháp GQVĐ.
3.1.3. Tổ chức thực hiện định hướng
Để giúp HS ghi nhớ, vận dụng các công thức tổng quát vào giải bài tập cũng như
viết thuật toán và lập trình, GV có thể triển khai các hoạt động sau:
Hoạt động 1: Dạy học công thức tổng quát.
GV lựa chọn nội dung kiến thức trong sách giáo khoa có các cơng thức tổng
qt và tổ chức hoạt động dạy học để dạy các nội dung này.
Hoạt động 2: Giải bài toán trong trường hợp cụ thể
GV lựa chọn một số bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập có vận dụng
tường minh cơng thức tổng qt vào giải bài tập và tổ chức hoạt động dạy học để
HS giải các bài tập này. Qua đó giúp HS ơn tập, củng cố kiến thức Tốn học.
Trong q trình phân tích và trình bày lời giải cho bài tốn cụ thể cố gắng hướng
đến tính quy luật (hoặc các bước) để thuận lợi cho việc xác định thuật toán trong
trường hợp tổng qt từ đó xây dựng cơng thức truy hồi để viết chương trình tin học.
Hoạt động 3: Xây dựng thuật toán giải bài toán
Dựa vào lời giải của bài toán trong trường hợp khái quát, xây dựng thuật toán:
dùng 2 cách mà các em đã được học ở môn Tin học lớp 10 cơ sở để học lập trình
11

trong chương trình Tin học lớp 11 đó là: liệt kê các bước hoặc sử dụng sơ đồ khối.
Hoạt động 4: Lập trình giải bài tốn
- Dạy học tường minh các câu lệnh, kiểu dữ liệu (nếu cần);
- Sử dụng ngơn ngữ lập trình mơ tả dữ liệu, viết chương trình bằng NNLT bậc

cao phổ biến nhất hiện nay giải quyết bài tốn.
Ví dụ 1.1. Thiết kế các hoạt động dạy cơng thức tính số các hốn vị của n phần tử.
Hoạt động 1: Dạy học cơng thức tính Hốn vị qua bài tốn đặt vấn đề
GV: Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn A, B, C, D ngồi vào một bàn học gồm
bốn chỗ?
HS: Suy nghĩ, trả lời
Cách 1: Liệt kê
Các cách xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau:

Vậy, có tất cả 24 cách.
Cách 2: Dùng quy tắc nhân
- Có 4 cách chọn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất.
- Sau khi đã chọn một bạn, cịn ba bạn nữa. Có 3 cách chọn một bạn xếp vào
chỗ thứ hai.
- Sau khi đã chọn hai bạn, cịn hai bạn nữa. Có 2 cách chọn một bạn xếp vào
chỗ thứ ba.
- Bạn còn lại được xếp vào chỗ thứ tư.
Theo quy tắc nhân, ta có số cách xếp chỗ ngồi là: 4.3.2.1 = 24 (cách).
GV: Kí hiệu Pn = n ! hoán vị của n phần tử, ta có định lí sau đây:
Định lí: Pn = n ( n − 1) . ( n − 2 ) ...2.1
Chú ý: Kí hiệu n ( n − 1) . ( n − 2 ) ...2.1 là n ! (đọc là n giai thừa), ta có: Pn = n !
GV tốn hướng dẫn HS chứng minh định lí trên (SGK ĐS và GT lớp 11 Tr 48)
Để lập được một hoán vị của n phần tử ta tiến hành như sau:
Sau khi chọ một phần tử cho vị trí thứ nhất, có n − 1 cách chọn một phần tử cho vị

trí thứ 2…sau khi chọn n − 2 phần tử cho n − 2 vị trí đầu tiên, có 2 cách chọn cho
một trong hai phần tử cịn lại để xếp vào vị trí thứ n − 1 . Phần tử còn lại sau cùng
được xếp vào vị trí thứ n. Như vậy theo quy tắc nhân, có n ( n − 1) ( n − 2 ) ...2.1 kết
12


quả sắp xếp cho n phần tử, Vậy Pn = n ( n − 1) ( n − 2 ) ...2.1
Chú ý: Hai hoán vị của cùng một tập chỉ khác nhau nếu thứ tự sắp xếp của chúng
khác nhau.
Hoạt động 2: Giải bài toán trong trường hợp cụ thể
Bài tốn [20, tr. 54]: “Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách
vào mười ghế kê thành một dãy?”.
GV: Áp dụng công thức nào để giải bài tập này?
HS: Suy nghĩ, trả lời.
Để giải bài toán này, HS chỉ cần áp dụng cơng thức tổng qt tính số hoán vị của n
phần tử: Pn = n ( n − 1) . ( n − 2 ) ...2.1 với n = 10.
Khi đó, HS sẽ tính được số cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười
ghế kê thành một dãy. GV yêu cầu HS giải bài tốn đó
Hoạt động 3: Xây dựng thuật tốn giải bài toán
Ở hoạt động này, HS xây dựng thuật toán để giải các bài tốn mà việc giải nó
có thể quy về bài tốn: Tính số hốn vị của n phần tử: Pn = n ( n − 1) . ( n − 2 ) ...2.1 .
GV: ? Hãy xác định Input, Output của bài toán?
HS: Xác định được Input (n), Output (P) của bài toán.
GV: Hỏi HS Khi viết thuật tốn để tính số hốn vị của n phần tử: làm thế nào để
biểu diễn được quá trình thực hiện công việc ở chỗ dấu ba chấm trong công thức
tổng quát? Pn = n ( n − 1) . ( n − 2 ) ...2.1
HS: Suy nghĩ, trả lời.
GV: Trong cơng thức tổng qt có dấu ba chấm, điều đó có nghĩa là việc làm tiếp
theo tương tự như những việc đã làm trước đó và cơng việc này còn tiếp diễn theo
một qui luật cho đến khi nhận được dấu hiệu kết thúc quá trình tương tự ấy. Vì vậy,

khi gặp dấu ba chấm trong cơng thức tổng quát, chúng ta phải nghĩ đến việc mô tả
sự lặp lại q trình tính tốn tương tự vừa thực hiện. Làm được điều này thì học
sinh tự sẽ liên hệ được với câu lệnh lặp bên môn Tin để áp dụng giải toán
GV: Gỏi HS là P nhận giá trị khởi đầu là bao nhiêu?
HS: Trả lời P được gán giá trị khởi đầu là 1 (P=1);
GV: Để lưu lại giá trị sau mỗi lần thực hiện phép toán, ta sử dụng lệnh gán và
dùng lại giá trị đó cho lần tính tốn tiếp theo: P:=P*i; vậy i nhận những giá trị nào?
HS: i nhận các giá trị giảm dần từ N đến 2.
Thuật tốn tính số hốn vị của N phần tử như sau:
Bước 1:Thông báo “Cho một giá trị nguyên của N (N ≥ 0)”;
13


Nhận vào một giá trị cho N;
Bước 2: P:=1; Nếu N < 2 thì chuyển đến bước 6;
Bước 3: Trong khi i<=N thì;
Bước 4: P:=P*i;
Bước 5: Nếu i > 2 thì i:= i - 1; Quay lại
bước 4; Bước 6: Viết ra giá trị của P;
Bước 7: Kết thúc.
Lưu ý: Việc thực hiện bước 2 đảm bảo 0!=1 và 1! = 1, việc KT i > 2 ở bước 5 rồi
mới thực hiện lệnh là hợp lí vì 1 nhân với số nào cũng cho kết quả là chính số đó.
Hoạt động 4: Lập trình giải bài tốn
Khi chuyển thuật tốn thành chương trình cụ thể, để thể hiện sự lặp lại các thao tác,
GV tin dạy tường minh cho HS từng câu lệnh đã học và vận dụng vào tình huống
để viết chương trình giải quyết bài tốn.
GV: Viết câu lệnh tính số hốn vị của N phần tử?
HS:Dùng câu lệnh lặp: (=C++)
for(int i = 1; i <= n; i++) hoặc
while(i<=n)

{
i++;
}
Sử dụng thuật toán đã thiết lập trên viết thành chương trình trên C++ hoạt động
trực quan để chạy thử giúp học sinh có hứng thú hơn khi học dạng tốn này
Lưu ý: HS có thể bấm máy tính Casio để cho kết quả nhưng việc làm này không
thể giúp HS hình dung ra được bản chất bài tốn. Do đó chỉ có cách duy nhất là
dùng Tin học để tổ chức dữ liệu, mô tả bản chất giúp HS dễ hình dung. Đồng thời
khơi gợi tình tị mị, u thích mơn Tin cho HS; GV có thể tiến hành thông qua các
bước sau để đạt hiệu quả:
Bước 1: Tổ chức dữ liệu: Cần 1 biến n kiểu nguyên (int) để chứa giá trị phần tử,
và một biến Giai_Thua kiểu nguyên (long) để chứa giá trị P;
Bước 2: Dùng NNLT C++ để viết chương trình tính giai thừa đây cũng chính là
bài tốn tính số hốn vị của n phần tử đã cho nêu trên.
Bài tập vận dụng: Được thực hiện theo các hoạt động nêu trên
Bài tập vận dụng 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào
10 ghế kê thành một dãy ?
Câu trả lời mong đợi. Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 khách theo hàng ngang là
một hoán vị của 10 phần tử và ngược lại. ⇒ Có 10! cách.
14


Tổng quát cho n người ta có: n ! = n(n − 1)(n − 2)....1
Kết quả sau khi thực hiện chương trình tính Pn như sau:
+ Khi nhập n: 10 thì giai thừa P = 3628800 (cách sắp)
Bài tập vận dụng 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách
vào mười ghế quanh một chiếc bàn trịn có 10 chỗ ngồi?.
Câu trả lời mong đợi. (n − 1)!

Hình 1: Mơ tả chương trình hoạt động

Kết quả sau khi thực hiện chương trình tính như sau:
+ Khi nhập n: 10 chỗ ngồi quanh bàn tròn kết quả = 362880 (cách bố trí)
Ví dụ 1.2: Thiết kế các hoạt động dạy cơng thức tính số các chỉnh hợp chập k
của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).
Hoạt động 1: Dạy cơng thức tính Chỉnh hợp
Ký hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 1 ≤ k ≤ n ) .
Ta có: Ank = n(n − 1)(n − 2)...(
n − k + 1).
n
GV Tốn hướng dẫn HS chứng minh cơng thức. (SGK tr50)
GV hướng dẫn HS chứng minh công thức. SGK Tr 50
Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta tiến hành như sau
Chọn một trong n phần tử sắp vào ví trí thứ nhất. Có n cách
Khi đã chọn phần tử thứ nhất, chọn tiếp n − 1 phần tử cịn lại cho vị trí thứ 2 có n − 1
cách. Sau khi a chọn k-1 phần tử rồi, chọn một trong n − ( k − 1) phần tử cịn lại xếp
vào vị trí thứ k. Có n − k + 1 cách. Từ đó theo quy tắc nhân, ta được
Ank = n ( n − 1) ... ( n − k + 1)

Chú ý: Với quy ước 0! = 1, ta có:
Hoạt động 2: Giải bài toán trong trường hợp cụ thể
GV: Nêu 2 bài tốn sau đó hỏi HS áp dụng cơng thức nào để giải bài tập này?
HS: Suy nghĩ, trả lời là cơng thức tính Chỉnh hợp; cụ thể:
Bài tốn 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các
chữ số: 1,2,…,9?
Để giải bài tốn này, HS chỉ cần áp dụng cơng thức tổng quát tính số chỉnh hợp
chập k của n phần tử: Ank = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1). với k = 5 và n = 9.
15


A95 =

9!
= 9.8.7.6.5 = 15120
(cách)
( 9 − 5) !

Bài toán 2: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 5 cầu thủ để đá bóng luân lưu
11m, giả sử cả 11 cầu thủ đều có khả năng như nhau?
Giải: Mỗi cách chọn và sắp thứ tự là một chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử. Vậy, số
11!

5
cách chọn là: A11 = ( 11 − 5 ) ! =

6!.7.8.9.10.11
= 55440 (cách).
6!

16


Hoạt động 3: Xây dựng thuật toán giải bài toán
Ở hoạt động này, GV tin yêu cầu HS xây dựng thuật tốn để giải các bài tốn mà
việc giải nó có thể quy về bài tốn áp dụng cơng thức tổng quát tính số chỉnh hợp
chập k của n phần tử: Ank = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1).
GV: ? Hãy xác định Input, Output của bài tốn?
HS: Xác định Input, Output của bài tốn.
GV: Để tính số chỉnh hợp chập k của N phần tử, A nhận giá trị khởi đầu là bao
nhiêu?
HS: A được gán giá trị khởi đầu là 1 (A=1;).

GV: Để lưu lại giá trị sau mỗi lần thực hiện phép toán, ta viết lệnh gán giá trị
mới cho biến A như thế nào?
HS: A:=A*i;
GV: i nhận các giá trị nào?
HS: i nhận các giá trị giảm dần từ N đến n - k + 1.
Từ ý tưởng đó xây dựng Thuật tốn hướng tới tự động hóa tính số chỉnh hợp
chập k của n phần tử bằng cách sử dụng cấu trúc lặp tiến như sau:
Bước 1. Nhập N “Cho một giá trị nguyên của N (N ≥ 1)”;
Bước 2. Nhập K “Cho một giá trị nguyên của k (1 ≤ k ≤ N)”;
Bước 3. A:=1; i=N;
Bước 4. A=A*i;
Bước 5. Nếu i > (n - k + 1) thì i= i - 1; Quay lại bước 4;
Bước 6. In ra màn hình giá trị của A;
Bước 7. Kết thúc.
Hoạt động 4: Lập trình giải bài tốn
Lưu ý: - Trong chương trình có câu lệnh kiểm tra điều kiện của dữ liệu nhập vào
thỏa mãn n ≥ 1 và ( 1 ≤ k ≤ n ) ; Sử dụng câu lệnh lặp
while(n< 1)
{
cout << "Hay nhap lai: " << n << endl;
a++;
}
GV tin học cũng có thể giới thiệu với HS về câu lệnh lặp và sử dụng nó để giải
quyết bài tốn này theo các bước trên sau đó sử dụng NNLT cụ thể được học để
viết chương trình: Trong tình huống này u cầu viết chương trình tính chỉnh hợp
cho trường hợp tổng quát;
Chương trình 1: Code C++ trong trường hợp tổng quát:
Bằng kiến thức đã học giáo viên tin có thể hướng dẫn học sinh tìm tất cả các
phương án có thể sử dụng để mơ tả thiết lập các kiểu dữ liệu lập trình cho bài tốn
k

HD: Cơng thức truy hồi: An = n ( n − 1) ... ( n − k + 1)
Có thể dử dụng phương pháp quy nạp; Sử dụng PP Đệ quy; sử dụng PP lặp;
Từ công thức truy hồi trên ta sẽ dễ dàng viết được một hàm đệ quy để tính tổ hợp
17


như sau:

Hình 2: Mơ tả hoạt động chương trình tính chỉnh hợp tổng quát
Sau khi chạy chương trình theo cả 3 cách chúng ta đều thu được kết quả như sau:
Với bài toán 1: Nhập k = 5 và n = 9 thì kết quả = 15120 (cách)
Với bài tốn 2: Nhập k = 5 và n = 11 thì kết quả = 55440 (cách)
Ta thấy với cách hoạt động như thế giúp học sinh trực quan hơn và rất hứng thú khi
học mơn tốn
Tương tự thực hiện các bước trên áp dụng để dạy nội dung tính số các tổ hợp chập
k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n). với công thức truy hồi là:
Ký hiệu Cnk =

n(n − k )!
số tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n).
k!

Đề xuất bài toán sử dụng cơng thức tổ hợp sau đây:
Bài tốn: Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập đoàn đại biểu gồm 5
người. Hỏi:
a. Có tất cả bao nhiêu cách lập?
b. Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ?
Hồn toàn thực hiện tương tự theo các HĐ trên để có kết quả giáo dục cao nhất.
3.2. Định hướng 2: Thiết kế các hoạt động khai thác để mối quan hệ liên mơn
Tốn - Tin hỗ trợ HS tính tốn, dự đốn, suy luận tìm giải pháp GQVĐ

3.2.1. Cơ sở của định hướng
- Một số bài toán thuộc nội dung Tổ hợp - Xác suất có thể sử dụng cơng cụ Tin
học (chương trình hoặc phần mềm) hỗ trợ tính tốn, dự đốn, suy luận tìm lời giải
bài tốn. Vì thế, dựa trên mơ hình chuỗi nối tiếp, GV có thể sắp xếp lại các bài học
và tiếp cận theo quá trình GQVĐ để thiết kế và tổ chức các hoạt động dạy học.
- Xuất phát từ thực trạng việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong
dạy học Toán ở trường THPT hiện đang tồn tại các vấn đề: HS cịn gặp khó khăn
khi giải bài tập về Tổ hợp - Xác suất và Dãy số địi hỏi khả năng tính tốn, suy
luận. HS chưa tích cực, chưa hứng thú trong việc phối hợp, vận dụng kiến thức
18


Toán học - Tin học vào việc GQVĐ.
- Trong quá trình dạy học, việc dự đốn, suy luận để tìm giải pháp GQVĐ là rất
quan trọng. Theo Battista, “HS cũng có thể dựa trên những chương trình máy tính
để có những dự đốn hữu ích”. Theo Nguyễn Bá Kim, trong q trình dạy học
Tốn, GV phải tạo ra được mơi trường học tập tích cực thơng qua các hoạt động
nhằm kích thích HS tự tìm tịi, khám phá kiến thức để phát triển khả năng
GQVĐ[6]
3.2.2. Mục đích của định hướng
Định hướng này giúp GV thiết kế và tổ chức được các hoạt động dạy học để
khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin hỗ trợ HS tính tốn, dự đốn, suy luận
tìm lời giải bài tốn. Qua đó, giúp HS tích cực, hứng thú vận dụng kiến thức Tin
học vào giải bài tập toán; giúp phát triển cho HS năng lực tìm giải pháp và trình
bày giải pháp GQVĐ.
3.2.3. Tổ chức thực hiện định hướng
Để khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin nhằm hỗ trợ HS tính tốn, dự
đốn, suy luận tìm giải pháp và trình bày giải pháp GQVĐ, GV có thể triển khai
các hoạt động sau:
Hoạt động 1: Sử dụng công cụ Tin học hỗ trợ tính tốn, tìm giải pháp GQVĐ. Với

một số bài tập về dãy số, đặc biệt với dạng tốn tìm cơng thức số hạng tổng qt
của dãy số được cho bởi cơng thức truy hồi, HS có thể sử dụng chương trình tin
học thơng qua ngơn ngữ lập trình C++ để tính giá trị một số số hạng đầu của dãy
số. Sau đó, các em quan sát kết quả, thực hiện các phép tính tốn, tìm mối liên hệ
giữa các số hạng, dự đoán quy luật của các số hạng.
Hoạt động 2: Trình bày giải pháp để GQVĐ: Từ kết quả tính tốn được ở hoạt
động 1, HS lựa chọn được giải pháp đúng và trình bày lời giải bài tốn hoặc bằng
hoạt động tương tự hóa, khái qt hóa,... HS dự đốn, suy luận tìm lời giải bài
tốn.
Hoạt động 3: Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp GQVĐ
HS sử dụng khả năng tính tốn của chương trình hoặc phần mềm để kiểm tra
tính đúng đắn của kết quả tìm được trong sáng kiến này chúng tơi đề xuất để hiệu
quả cao hơn thì phải sử dụng chương trình viết bằng NNLT mà học sinh được học
ở mơn tin để minh họa kiểm tra tính đúng của giải pháp nêu ra;
Hoạt động 4: Chứng minh tính đúng đắn của giải pháp GQVĐ
Sử dụng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh tính đúng đắn của giải
pháp GQVĐ.
Lưu ý: - Hoạt động 4 này chỉ thực hiện đối với các bài tập cần chứng minh tính
đúng đắn của giải pháp GQVĐ bằng phương pháp quy nạp toán học.
- Để thực hiện định hướng này thì các GV giảng dạy mơn Tốn và mơn Tin học
(lớp 11) cần trao đổi, thống nhất nội dung, cùng thiết kế hoạt động dạy học phù
hợp sao cho các chương trình tin học sử dụng trong giờ dạy toán đã được chuẩn bị
sẵn, HS đã học về nội dung này ở giờ học trước.
- GV Toán giảng dạy các tiết học này sẽ phù hợp hơn: Giáo án 1 (Hoạt động 3),
Giáo viên tin dạy tiết này Giáo án 2 (Hoạt động 4) - minh họa cho việc thực hiện
định hướng này chúng tôi kèm giáo án vào phần sau.
19


Ví dụ 2.1: Tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy số (un ) được xác định bởi:

u1 =  −2, un =  3un −1 +  5, với n ≥ 2. .
Để hướng dẫn HS giải bài tập này, GV có thể tổ chức các hoạt động dạy học như
sau:
Hoạt động 1: Sử dụng công cụ ở môn Tin học hỗ trợ tính tốn, tìm lời giải bài
tốn; HS sử dụng chương trình viết bằng ngơn ngữ lập trình Pascal (HS đã viết
trong giờ Tin học khi vận dụng cấu trúc lặp và kiểu mảng một chiều vào giải bài
tập) để tính giá trị một số hạng đầu của dãy số.
HS quan sát kết quả, tìm mối liên hệ giữa các số hạng của dãy số. Chạy
chương trình Pascal để tính: u2 − u1  , u3 − u2 , u4  −u3 ,... Từ đó, HS dự đốn quy luật
của các số hạng trong dãy số.
Hoạt động 2: Trình bày giải pháp GQVĐ với kết quả tính tốn ở trên, ta có:
u2 = u1  +1
u3  = u1  +3 = u1  +1 + 3
u4 = u3 + 9 = u1 + 3 + 32
u5 = u4 + 27 = u1 + 1 + 3 + 32 + 33

………
un = u1 + 1 + 3 + 32 + 33 +…+ 3n −2

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, ta được:
1(1 − 3n −1 ) 3n −1 − 1
1 + 3 + 32 + 33 + … + 3n − 2 =  
=
(1)
1− 3
2

Hoạt động 3: Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp GQVĐ
Sử dụng chương trình Pascal được chuẩn bị sẵn (lấy từ GV tin học) để tính giá
trị một số số hạng đầu của dãy số (không dùng mảng), đối chiếu kết quả thu được

với kết quả ở hoạt động 1 để kiểm tra tính đúng đắn của cơng thức số hạng tổng
qt (GV sử dụng chương trình Tin học đã có sẵn để tính giá trị 10 số hạng đầu
của dãy số, lập trình giải bài tốn cũng có thể u cầu HS về nhà viết chương
trình này).
Lưu ý: Ở hoạt động này, GV cũng có thể hướng dẫn HS cách sử dụng các cơng
thức của phần mềm để tính tốn các giá trị một số số hạng đầu của dãy số tuy
nhiên hiệu quả tạo hứng thú sẽ thấp (đã dạy thử nghiệm).
Do đó sử dụng chương trình Pascal viết sẵn như sau:

20


Hình 3: Minh họa hoạt động chương trình bằng TP

21


Kết quả chạy chương trình

HS dự đốn quy luật của các số hạng trong dãy số theo công thức (1) trên

Hình 4: Kết quả thực hiện chương trình
Hoạt động 4: Chứng minh tính đúng đắn của giải pháp GQVĐ
HS sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh tính đúng đắn của
cơng thức số hạng tổng qt vừa tìm được.
Ví dụ 2.2: Dạy học nội dung Cấp số cộng
Kiến thức liên mơn Tốn - Tin: Cấp số cộng (Tốn); thuật tốn tìm kiếm, kiểu dữ
liệu (Tin học), có thể thực hiện một số hoạt động sau:
Hoạt động 1: Dạy học định nghĩa cấp số cộng, cơng thức tính số hạng tổng quát
của cấp số cộng,…

Hoạt động 2: Giải bài toán trong trường hợp cụ thể
Chẳng hạn:
Bài tập 1. ([20], tr. 93) Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:
1, −3, −7, −11, −15

Bài tập 2. ([20], tr. 96) Cho cấp số cộng (un), biết u1 =  5, d = 3.
a) Tìm u15 =  ? .
b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Hoạt động 3: Viết thuật toán giải bài toán
GV: cho HS phát biểu bài toán khái quát của bài tập 1?
HS: Phát biểu bài toán khái quát: Cho dãy số ( un ) gồm n số hạng u1 , u2 ,..., un biết
dãy ( un ) có phải là một cấp số cộng hay không ( 2 < n < 100 )
GV: Hãy xác định Input, Output của bài toán?Hãy viết thuật toán giải bài toán?
HS: Trả lời u cầu GV.
Hoạt động 4: Lập trình giải bài tốn
GV: - Nhắc lại một số kiểu dữ chuẩn trong tin học để tổ chức lưu trữ thông số;
Bài tập: Viết chương trình nhập từ bàn phím số ngun dương n với 2 < n < 100 và
dãy ( un ) gồm n số hạng u1 , u2 ,..., un . Hãy cho biết dãy ( un ) có phải là một cấp số
cộng hay không và thông báo kết quả ra màn hình.
22


Nhận xét: Ở ví dụ 2.1, sau khi tính giá trị một số số hạng của dãy số, tính hiệu
giữa số hạng đứng sau và số hạng đứng trước, HS dễ dàng thấy được mối liên hệ
giữa các số hạng để dự đốn cơng thức số hạng tổng qt. Ở ví dụ 2.2, cơng việc
này khó hơn, địi hỏi HS cần có sự phân tích, tư duy, suy luận,… mới tìm được quy
luật của các số hạng trong dãy số.
Việc sử dụng chương trình C++ hay Pascal hỗ trợ HS tính tốn, suy luận tìm
cơng thức số hạng tổng qt của dãy số được nhanh chóng, dễ dàng hơn. Tuy
nhiên, trong q trình giải tốn, GV hướng dẫn rõ cho HS sử dụng cách nào cho

phù hợp là tùy thuộc vào tình hình thực tế. Điểm mạnh của việc sử dụng ngơn ngữ
lập trình C++/Pascal minh họa cho HS sẽ giúp các HS phát triển NL toán học rất
nhanh.Tuy nhiên, đây là nội dung trong chương trình Tin học 11 nên việc sử dụng
ngơn ngữ lập trình C++ hoặc Pascal sẽ giúp HS ôn tập, củng cố kiến thức Tin học
đồng thời còn giúp HS phát triển tư duy thuật tốn và khả năng lập trình đáp ứng
mục đích liên môn đề ra.
Như vậy, việc khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin trong dạy học giải
một số bài tập thuộc nội dung Tổ hợp - Xác suất và Dãy số (Đại số và Giải tích 11)
khơng những hỗ trợ HS tính tốn, dự đốn để tìm lời giải bài tốn được nhanh hơn
mà cịn giúp các em biết vận dụng kiến thức Tin học vào GQVĐ, sử dụng kiến
thức Tốn học trong q trình xây dựng thuật tốn. Qua đó, HS hiểu rõ hơn mối
liên hệ mật thiết giữa toán học và tin học, đồng thời rèn luyện và phát triển cho các
em tư duy thuật toán, khả năng lập trình và năng lực tìm giải pháp, trình bày giải
pháp GQVĐ thơng qua khai thác mối quan hệ liên mơn Tốn - Tin.
3.3. Định hướng 3: Xây dựng bài tốn khái qt và lập trình giải bài tốn khái
qt, qua đó tập luyện cho học sinh thực hiện hoạt động trình bày giải pháp và
nghiên cứu sâu giải pháp GQVĐ
3.3.1. Cơ sở của định hướng
- Để giúp HS phát triển tư duy có thể dựa trên cơ sở của mơ hình xâu chuỗi, mơ

hình chuỗi nối tiếp để lựa chọn nội dung và tiếp cận theo quá trình GQVĐ để thiết kế
hoạt động dạy học giúp HS phát triển các tư duy này.
- Nội dung Tổ hợp - Xác suất và dãy số trong SGK Đại số và Giải tích 11 có nhiều

bài tốn có thể khái qt hóa và xây dựng được thuật tốn để giải chúng. Kết hợp với
ngơn ngữ lập trình được học trong chương trình Tin học 11, HS có thể viết chương
trình giải quyết bài toán đặt ra.
- Bằng định hướng khảo sát thực trạng cho thấy: Các bài toán trong SGK Toán

chưa thể hiện sự gắn kết của toán với tin học; bài tập phần thuật tốn và lập trình

trong chương trình Tin học cịn trừu tượng, một số bài tập bên môn Tin chưa thực
tế, chưa khai thác được ưu thế của các bài toán trong toán học vào dạy học thuật
tốn và lập trình trong Tin học.
23