Phương pháp tạo hứng thú cho học sinh trong việc tìm lời giải cho các bài toán tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian hình học 11

PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Đứng trước sự phát triển và đi lên của đất nước đòi hỏi Ngành Giáo dục
phải đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học. Giáo dục phải tạo nên
những con người năng động, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và giải quyết
vấn đề. Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính,
phẩm chất của con người lao động mới là mơn học Hình học khơng gian.
Một trong các mơn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm
chất của con người lao động mới là mơn học Hình học khơng gian.
Trong mơn tốn ở trường phổ thơng phần Hình học khơng gian giữ một vai
trị, vị trí hết sức quan trọng. Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng
giải tốn, hình học khơng gian cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của
con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính
sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo, phát huy tiềm năng, khả năng
sáng tạo của mỗi cá nhân cho học sinh.
Qua nghiên cứu lí luận và trong q trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh
lớp 11 rất e ngại học mơn Hình học khơng gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng,
thiếu tính thực tế. Về phần giáo viên cũng gặp khơng ít khó khăn khi truyền đạt nội
dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập Hình học khơng gian, đặc
biệt là các bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khơng
gian vì các em thường rất khó trong việc tìm phương pháp giải và xác định được
đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó.
Thực trạng và yêu cầu của việc cần có sự u thích hứng thú trong giải Tốn
tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khơng gian: Qua nhiều
năm giảng dạy mơn tốn tơi nhận thấy có rất nhiều học sinh học yếu phần này. Đa
số các em chưa có niềm u thích và chưa nắm chắc phương pháp giải các dạng
tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Do đó gây nên tình trạng
chán và nản học mơn học này.
1

Khả năng áp dụng: Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học
sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tơi nghiên cứu nội dung
này nhằm tìm ra những phương pháp dạy tạo hứng thú, phát huy tính tích cực chủ
động sáng tạo của học sinh, phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ
những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng
dần chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung và mơn Hình học khơng gian nói
riêng.
Tuy nhiên để sáng kiến thực sự mang lại hiệu quả trong các giờ dạy ta cần
lưu ý nguyên tắc cơ bản trong dạy học là: phải đảm bảo tính vừa sức, dạy học phải
dựa vào vùng phát triển gần nhất, phải phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Qua nghiên cứu sách giáo khoa Hình học 11, tơi nhận thấy rằng ngồi các
bài tập củng cố kiến thức, cịn có các bài tốn hay và khó. Vì vậy với đối tượng học
sinh trung bình ta có thể sử dụng bài tập củng cố các khái niệm và khắc sâu định lí;
đối với học sinh khá có thể thông qua các bài tập bổ sung, nâng cao.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, khơng
áp đặt hoặc rập khn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải
quyết các bài tốn lạ, các bài tốn khó.
Từ lý do trên, kết hợp với nghiên cứu đặc điểm sách giáo khoa Hình học 11,
tơi chọn đề tài:“Phương pháp tạo hứng thú cho học sinh trong việc tìm lời giải
cho các bài tốn tìm đường vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau trong khơng gian Hình học 11”, với đối tượng là học
sinh khá và giỏi .
1.2. Mục đích của đề tài
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cho học sinh các phương pháp và kỹ
năng giải dạng tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không
gian. Đưa ra một số phương pháp để gây hứng thú cho học sinh và giúp học sinh
nắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài toán gốc để các bài toán khác có thể
giải quyết dựa vào bài tốn gốc đó.
2

1.3. Đối tượng và phạm vi của đề tài
Học sinh khối 11 trường THPT Quỳnh Lưu 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Phương pháp
- Nghiên cứu lí luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy.
1.4.2. Cách thực hiện
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng
dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối 11 qua các năm học.
1.5. Thời gian nghiên cứu
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm được triển khai từ năm 2021.

3


PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài
1.1. Cơ sở lí luận chung
Mỗi một con người tồn tại trong cuộc sống đều hình thành cho mình một kĩ
năng sống riêng. Kĩ năng của con người không phải là sinh ra đã có mà được hình
thành từ mơi trường sống, từ kinh nghiệm sống của mỗi con người.
Để hình thành một kĩ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quá
trình dài trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổng
hợp và khái qt hóa.
Kĩ năng trong giải tốn cũng có thể được hiểu như là những kĩ xảo, những thủ
thuật trong q trình giải tốn. Đối với mỗi dạng tốn đều mang trong nó những

cách giải với những thủ thuật riêng mà việc hình thành những thủ thuật đó là một
điều thực sự cần thiết cho người học tốn.
Việc hình thành cho học sinh kĩ năng trong giải tốn khơng chỉ mang lại cho
học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với nội dung toán
nào đó mà cịn giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình
huống cụ thể, cơng việc cụ thể sẽ vận dụng khả năng nào là hợp lý. Đồng thời nó
góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động
sáng tạo như tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, tính hệ thống, kĩ năng phân tích,
tổng hợp,... của một sự vật, hiện tượng.
Đối với bộ mơn hình học khơng gian, để tiếp thu được nó địi hỏi học sinh
phải có sự tư duy trừu tượng tốt và để giải quyết những bài tốn liên quan đến tính
tốn trong hình học khơng gian thì học sinh cần phải có vốn kiến thức liên quan
đến kĩ năng tính tốn như: Hệ thức lượng, định lí Talet trong hình học phẳng, tam
giác đồng dạng tam giác bằng nhau,..
1.1.1. Thực trạng của vấn đề
a. Thuận lợi:
4


Là giáo viên dạy toán nhiều năm được tiếp xúc với nhiều đối tượng học
sinh. Đa số các em thích học Tốn, thích tìm phương pháp mới trong học tập.
Bản thân là người thích học hỏi và tư duy. Tổ chuyên môn thường xuyên
trao đổi, thảo luận về đổi mới tư duy trong dạy học Toán.
Hưởng ứng việc Sở giáo dục và đào tạo phát động phong trào viết sáng kiến
kinh nghiệm về đổi mới trong dạy học, nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng
tạo của học sinh.
b. Khó khăn:
Mơn hình học khơng gian là mơn học mới, địi hỏi tính tư duy trừu tượng
cao. u cầu kỹ năng vẽ hình và quan sát hình tốt.
Việc nắm các kiến thức cơ bản và tiếp thu kiến thức mới hình học khơng

gian lớp 11 của học sinh đa số cịn hạn chế.
Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết, quan hệ giữa các đối tượng trong hình
khơng gian và hình học phẳng của các em cịn yếu.
Kỹ năng giải Tốn và trình bày lời giải cịn yếu.
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy các lớp 11 ( cơ bản), tôi nhận thấy rằng
nếu giáo viên chỉ dừng lại ở mức độ nêu định nghĩa thế nào là khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau và nêu cách xác định đường vng góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau như trong sách giáo khoa Hình học 11- Ban cơ bản, thì học
sinh đơn thuần chỉ nắm được khái niệm mà chưa có kĩ năng trong việc xác định
cũng như các bước để giải quyết vấn đề. Điều đó được thể hiện khá rõ khi các em
giải các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không
gian trong sách giáo khoa, trong bài kiểm tra, trong các đề thi,... Nguyên nhân của
việc ngại va chạm với dạng tốn này, một mặt là các em khơng nắm chắc khái
niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và các tính chất liên quan. Mặt
khác, do các em thiếu kĩ năng giải toán, kĩ năng nhận dạng và các bước tiến hành
trong quá trình trình bày lời giải.

5


1.1.2. Thực trạng tại trường trước khi nghiên cứu đề tài
Hầu hết các học sinh khơng thích, thậm chí một số cịn cảm thấy áp lực mỗi
khi đến tiết hình khơng gian. Nhiều em học mức trung bình hoặc yếu ở các lớp, đặc
biệt các em lớp khối C, D thường ngồi học nói chuyện riêng, khơng chú ý, thậm
chí nằm gục trên bàn trong các tiết học về tính khoảng cách trong khơng gian.
Chính vì thế kết quả học tập các em đạt được rất kém, các em không hiểu bài dẫn
đến cảm thấy chán nản và áp lực. Do đó cần thiết giáo viên tạo ra phương pháp dạy
học hay, gây hứng thú và niềm tin cho các em, để các em tìm lại được sự say mê
cho phần học này nói riêng và mơn hình khơng gian nói chung.

6


Chương 2:
CÁC BIỆN PHÁP NHẰM GÂY HỨNG THÚ TRONG GIẢI TỐN
HÌNH KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH
Thực tế trong các năm học tôi đã sử dụng nhiều phương pháp gây hứng thú
học tập cho học sinh, giúp các em tìm thấy niềm vui, thấy được cái hay cái đẹp
trong môn học. Những phương pháp cụ thể sát thực giúp phát huy tính cực chủ
động sáng tạo, phát triển năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh
giúp các em phát triển năng lực dự đốn, định hướng có niềm say mê môn học.
2.1. Dùng sơ đồ tư duy

Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

7


Cũng có thể cho học sinh tự thiết kế và trình bày ngay trên lớp học. Các em
thỏa thích thể hiện khả năng sáng tạo, tư duy trừu tượng và thể hiện ý kiến của
mình vào trong bản vẽ của mình. Sau đó cho các bạn trong lớp bổ sung thêm các ý
kiến bổ trợ hoàn thiện bản vẽ của các em.

Tổng hợp các khái niệm khoảng cách giữa điểm, đường và mặt

Hệ

thống

kiến thức

và phương

pháp tính

khoảng

cách

giữa

các

yếu tố
2.2.

Sử

dụng cơng

nghệ

thơng

trong

dạy học

8

tin


Dùng Tivi trong một tiết luyện tập
2.3. Dạy học hợp tác theo nhóm, tổ chức trị chơi trong học tập

Năng lực hợp tác được xem là một trong những năng lực quan trọng của con
người trong xã hội hiên nay, chính vì vậy phát triển năng lực hợp tác từ trong
9


trường học đã trở thành một xu thế giáo dục trên thế giới. Dạy học hợp tác theo
nhóm nhỏ chính là sự phản ánh thực tiễn của xu thế đó
Chương 3.
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
3. 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1. Cho một điểm
gọi

H

là hình chiếu của O trên

cách từ điểm

O

đến đường thẳng

a

a

O

và đường thẳng

. Khi đó độ dài đoạn

đoạn

, với

H

, kí hiệu là

d (a;(α ))

a

OH

,

được gọi là khoảng

.

là hình chiếu vng góc của

O

O

α

đến mặt phẳng ( ) là độ dài

α

lên ( ), kí hiệu là

Định nghĩa 3. Khoảng cách giữa đường thẳng
song với

(O, a)

. Trong mặt phẳng

d (O; a)

Định nghĩa 2. Khoảng cách từ một điểm
OH

a

là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc

a

a

d (O;(α ))
α

và mặt phẳng ( ) song
α

tới mặt phẳng ( ), kí hiệu

.

α

β

Định nghĩa 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) và ( ) là
khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu là
d ((α );( β ))
d ((α );( β )) d ( M ;( β ))
M∈ α
=
với
( )
d ((α );( β )) d ( N ;(α ))
N∈ β
=
với
( )
Định nghĩa 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vng góc chung của hai đường thẳng đó.
10


Chúng ta cần lưu ý rằng: Tính khoảng cách có thể áp dụng trực tiếp định
nghĩa hoặc tính gián tiếp, chẳng hạn như có thể tính được đường cao của một tam
giác (khoảng cách từ đỉnh tới đáy) nếu biết số đo độ dài cạnh đáy và diện tích của
tam giác đó. Và một điều khơng thể qn là trước khi tính tốn cần xác định rõ bài
tốn u cầu tính khoảng cách giữa hai yếu tố nào.

11


3. 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN, BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ BÀI TỐN
VẬN DỤNG
3. 2. 1. Vấn đề 1: Tính khoảng cách từ điểm

M

α
đến mặt phẳng ( ).

Phương pháp giải:
MH ⊥ α
H∈ α H
Bước 1: Dựng
( ) với
( ),
MH

Bước 2: Tính độ dài đoạn
Lưu ý:-

H

chính là hình chiếu của

- Trong các khoảng cách từ
cách

.

M

M

α
lên ( ).

α
đến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ) thì khoảng

MH

là nhỏ nhất.
Bài tốn cơ bản: Nhiều bài tốn tính khoảng từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm

tới đường thẳng có thể quy về bài toán cơ bản sau:

S . ABC

SA ⊥ (ABC)

Bài Toán1: Cho hình chóp
có
. Tính khoảng cách từ điểm
Phân
tích: (SBC)
Gọi Hvà là
hình cách từ điểm S đến đường thẳng BC
A đến
mặt phẳng
khoảng
chiếu của A lên mặt phẳng (SBC).
AH ⊥ ( SBC )

Khi

đó

AH ⊥ BC
SA ⊥ BC

từ

đó

SA ⊥ ( ABC )
. Lại có

nên
BC ⊥ (SAH)

do vậy

. Gọi

K là giao của SH và BC khi đó

AK ⊥ BC

.
Cách giải: Gọi K là chân đường vng góc hạ từ A xuống BC.
Hạ đường vng góc AH xuống SK. Ta có:
12


SA ⊥ ( ABC ) ⇒ BC ⊥ SA

,

lại có do cách dựng
BC ⊥ AK ⇒ BC ⊥ ( SAK ) ⇒ SK ⊥ BC ⇒ d ( S ; BC ) = SK
BC ⊥ ( SAK ) ⇒ AH ⊥ BC

+) Từ chứng minh trên đã có:
AH ⊥ SK ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A;( SBC )) = AH
Lại do cách vẽ ta có:
Kỹ thuật dời điểm: Ta thường dùng kỹ thuật này trong việc tính khoảng
cách từ một điểm đến một đường thẳng một cách tính gián tiếp.

MN / /( P) ⇒ d ( M ;( P)) = d ( N ;( P))
+)
 M , N ∈ (Q )
⇒ d ( M ;( P )) = d ( N ;( P ))

(Q) / /( P)
+)
d ( M ;( P)) d ( N ;( P))
MN ∩ ( P) = I ⇒
=
MI
NI
+)
d ( M ;( P )) = d ( N ;( P))
Trường hợp đặc biệt I là trung điểm MN thì

Bài Tốn 2: Cho hình chóp

S . ABC

có

.

SA ⊥ (ABC)

. M là một điểm nằm trên

PhânMB
tích: Với bài này để

=k
ABkhoảng cách từ M đến
tính trực tiếp
cạnh AB,
. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
( SBC )
mặt phẳng
khá khó khăn
nên ta sử dụng cách tính gián tiếp
Giải:
MB
d ( A;( SBC ))
AB
= k .d ( A;( SBC ))
d ( M ;( SBC )) =

13

.


Bài Tốn 3: Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vng cân tại B có
AC = 2a, SA = a, SA ⊥ ( ABC )

’.

a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC.
b) Gọi H là chân đường vng góc hạ từ A lên SB. Tính khoảng cách từ
Phân tích: Câu a) Cụ thể hóa của
trung điểm M của AC đến đường thẳng CH.

bài toán cơ bản.
Câu b) Sử dụng kỹ thuật dời
điểm
Giải:
a) Ta có:

SA ⊥ ( ABC ) ⇒ BC ⊥ SA

,

cũng từ giả thiết ta có
BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SB ⊥ BC

Mà tam giác ABC vuông cân nên
AB =

Vậy

AC
= a 2 ⇒ SB = SA2 + AB 2 = a 2 + 2a 2 = a 3
2

d ( S ; BC ) = SB = a 3

b) Gọi H là chân đường vng góc hạ từ A lên SB. Theo câu a)
BC ⊥ ( SAB) ⇒ AH ⊥ BC
AH ⊥ SB; AH ⊥ CH
lại có
MK / / AH ; MK =
Lấy K là trung điểm của CH, suy ra

nên

1
AH
2

1
SA.SB
a.a 2
a 6
MK ⊥ CH ; MK = .
=
=
2 SA2 + AB 2
6
a 2 + 2a 2

14

.


a 6
6

d ( M ; CH ) = MK =

Vậy

.

Bài toán 4: Cho tam giác
phẳng

(α )

AC = a 2

, cạnh

a) Tính khoảng cách từ

C

b) Chứng minh rằng cạnh

tới
BC

ABC

vng tại

và tạo với
(α )

.

tạo với

(α )

(α )

A

, có cạnh

AB = a

nằm trong mặt

một góc 600.

một góc

ϕ = 450

.

Nhận xét: Để giải được bài này yêu cầu học sinh phải biết được tính chất của
hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng và góc
tạo bởi một đường thẳng và một mặt phẳng được
xác định bởi góc giữa đường thẳng và hình chiếu
của nó lên mặt phẳng đó.
Giải: a) Gọi
Khi đó

CH

H

là hình chiếu của

là khoảng cách từ

tính độ dài đoạn
CAH = 600

CH

tới

trên

(α )

(α )

.

. Ta cần

. Theo giả thiết ta có góc

, do đó

CH = ACsin 600 = a 2.

b) Ta có góc
ra rằng góc

C

C

CBH

3 a 6
=
2
2

.

chính là góc giữa cạnh

CBH = 450

15

BC

với mặt phẳng

(α )

. Ta cần chỉ

BA ⊥ CA ⇒ BC 2 = BA2 + CA2 = a 2 + 2a 2 = 3a 2 ⇒ BC = a 3

Thật vậy, vì

Từ đó:

a 6
CH
2
sinCBH =
= 2 =
⇒ CBH = 450
BC a 3
2

.

Bài tập tự giải: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều
trong đường trịn đường kính
đáy (

ABCD

) với

SA = a 6

a) Tính các khoảng cách từ

A

AD = 2a

và có cạnh

.

SA

ABCD

nội tiếp

vng góc với mặt phẳng

.

và

( SCD)

B

đến mặt phẳng
( SBC )
AD
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng
đến mặt phẳng
3. 2. 2. Vấn đề 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Phương pháp 1.1. Đưa về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
(α )
(α )
Bước 1 : Tìm mặt phẳng
chứa đường thẳng b và
// a.
Bước 2 : Tính khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc a đến mặt phẳng
d (a, b) = d ( M ,(α ))
Bước 3 : Kết luận
.
Phương pháp 1.2 : Đưa về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
(α )
(β )
Bước 1 : Tìm 2 mặt phẳng
và
sao cho :
(β )

(α )

chứa a,

(β )

chứa b và

(α )

//

.
Bước 2 : Lấy một điểm M bất kì thuộc

mặt phẳng
đến

(β )

(α )

và tính khoảng cách từ M

.
16

(α )

.


Bước 3 : Kết luận

d (a, b) = d ( M ,( β ))

hoặc khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song.
Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách
giữa hai mật phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
Phương pháp 2. Dựng đoạn vng góc chung và tính độ dài đọan vng góc

chung đó.

a

Khả năng 1: Giả sử
nhau và

a

và

b

là hai đường thẳng chéo

b

vng góc với .

α
a
Bước 1: Ta dựng mặt phẳng ( ) chứa
và vng
góc với

b

tại

B

.

α

Bước 2: Trong mặt phẳng ( ), ta dựng
vng góc với

a

tại

A

.

Bước 3: Tính độ dài đoạn
Khi đó đoạn

AB

BA

AB

.

là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

b

và .
Khả năng 2: Giả sử

a

b
và chéo nhau nhưng khơng vng góc với nhau.

Cách 1:
b
α
a
Bước 1: Dựng mặt phẳng ( ) chứa và song song với

17

a


Bước 2: Lấy một điểm

M

tùy ý trên

b

, dựng

b'
MM ' ⊥ α
M'
M'
( ) tại
.Từ
dựng song song với
b b'

,

cắt

a

tại

A

.

Bước 3: Từ
MM '

, với

B ∈b

A

dựng

AB

. Tính độ dài đoạn

song song với
AB

. Chú ý rằng đoạn

AB

là đoạn vng góc

b

chung của hai đường thẳng chéo nhau a và .
Cách 2:

α
Bước 1: Dựng mặt phẳng ( ) vng góc với
a

tại

O

b
α

I
, ( ) cắt tại .

Bước 2: Dựng hình chiếu vng góc của

b'

b

là

α

trên ( ).
α

Bước 3: Trong mặt phẳng ( ), vẽ

H ∈b'

OH ⊥ b '

,

b
a
B
dựng đường thẳng song song với cắt tại .
OH
a

B
A
Bước 4: Từ dựng đường thẳng song song với
cắt tại . Khi đó đoạn

AB

.Từ

H

là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

a

và

b

, hay

d (a, b) = AB

Nhận xét: Trong hai phương pháp trên, nếu trong trường hợp hai đường
thẳng a, b không vng góc với nhau, ta ưu tiên dùng phương pháp 1: Để tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta quy về tính khoảng cách giữa một

18

điểm và một mặt phẳng vì để dựng đường vng góc chung với một số bài tốn
khá khó khăn

Ví dụ 1: Cho hình chóp

SA = h

S . ABCD

có đáy là hình vng

ABCD

cạnh

a

, có cạnh

(ABCD)

và vng góc với đáy

. Dựng và tính độ dài đoạn vng góc

chung của:

Giải:
a) Phân tích: Với câu này ta nhận thấy ngay đoạn
chung của hai đường thẳng

SB

và

BC

chính là đoạn vng góc

CD
. Do vậy ta sử dụng phương pháp 2 để giải.

Ta có:
BC ⊥ SA 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB
BC ⊥ AB 

Mặt khác

BC ⊥ CD

Khoảng cách giữa

SB

và

. Vậy BC là đoạn vng góc chung của

CD

là đoạn

b) Phân tích: Hai đường thẳng

SC

BC = a

và

BD

(hình vẽ).
vng góc

với nhau, do vậy chúng ta sử dụng cách giải cho khả
năng 1.
Theo giả thiết:
BD ⊥ SA 
 ⇒ BD ⊥ ( SAC )
BD ⊥ AC 
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
19

SB

và

CD

.


( SAC )

Trong mặt phẳng
(vì

BD ⊥ (SAC)

Ta có:

Ta có:

hạ

). Vậy

OH

OH ⊥ SC

OH SA
=
= sin ACS
OC SC

OH =
. Vậy

AB ⊥ SA 
 ⇒ AB ⊥ ( SAD)
AB ⊥ AD 

Trong mặt phẳng

, ta có

ta có

vẽ

KE / /CD

( KE , AB)

vẽ EF// AK với

vng góc với mặt phẳng
AK ⊥ AB

nên
và

.

là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAD).

tại K. Trong mặt phẳng

Khi đó KE//AB

( SAD)

và

SC

OC.SA a 2
h
=
.
SC
2
h 2 + 2a 2

( SCD)

Trong mặt phẳng

BD

và

OH ⊥ BD

.

SD

AK ⊥ SD

Ta có: Vậy

OH ⊥ SC

là đoạn vng góc chung của

( SAD )

Vẽ

tại

H

AB ⊥ AK

AK ⊥ SC

. Vì

và

với

F ∈ AB

nên

.

. Ta có AB và I cùng

CD ⊥ AK

EF / / AK

E ∈ SC

.

EF ⊥ AB

và

EF ⊥ SC

.

Do
đó

EF

là đoạn vng góc chung của SC và AB.

Ta có
EF = AK =

AS . AD
ah
=
SD
a 2 + h2

.

Phân tích: Ta có đường thẳng
đường thẳng

AB

, nhận thấy

SC

( SCD )

nằm trong mặt phẳng

d ( SC , AB ) = d ( A,( SCD ))

phương pháp 1 cho ta cách giải khác bài tốn này như sau:
20

song song với

do vậy có thể sử dụng

Xét tam giác SAD vng tại A, có đường cao AH. Khi đó:
1
1
1
1 1
ah
= 2+
= 2 + 2 ⇒ AH =
.
2
2
AH
SA
AD
a h
a 2 + h2

21


Ví dụ 2: Cho hình chóp

S . ABCD

có

SA ⊥ (ABCD)

, đáy

ABCD

là hình chữ

AC = a 5
BC = a 2
nhật với
và
. Tính khoảng cách giữa SD và BC.
Phân tích: Nhận thấy hai đường thẳng
BC và SD chéo nhau, có mặt phẳng
(SAD) chứa SD và song song với đường
thẳng BC. Vì vậy khoảng cách giữa hai

a 5

đường thẳng SD và BC cũng là khoảng
a 2

cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD).
Giải:
BD / /(SAD)
Ta

có:

suy

ra

d ( BC ; SD) = d( BC ;( SAD )) = d( B;( SAD))

Mà

 AB ⊥ AD
⇒ AB ⊥ ( SAD) ⇒ d( B;( SAD)) = AB

AB
⊥
SA


Ta có:

AB = AC 2 − BC 2 = 5a 2 − 2a 2 = a 3

Ví dụ 3: Hình chóp

AB = a

S . ABCD

.

.

có đáy là hình vng

ABCD

tâm

O

có cạnh

( ABCD)

SO

. Đường cao
của hình chóp vng góc với mặt đáy
Phân tích: Bài này tương tự câu c ví

dụ 1, nên ta cũng có phương pháp giải
trên. Tuy nhiên ở bài này hình đã cho là
hình chóp đều nên u cầu vẽ hình chính
xác, ngồi ra ta cịn sử dụng tính chất
đường cao trong tam giác vng trong
hình học phẳng.

22

và có


Giải: Vì

AB / / CD

AB / /( SCD )
nên

. Do đó khoảng cách giữa hai đường
( SCD )

thẳng chéo nhau SC và AB bằng khoảng cách giữa AB và mặt phẳng

SC

và

chứa

AB
và song song với
.
I,K
O
AB CD
IK
Gọi
lần lượt là trung điểm của
,
ta được
là trung điểm của

IK ⊥ CD

Ta có:

. Do đó:

d ( AB,( SCD )) = d ( I ,(SCD )) = 2d (O,( SCD ))
.

CD ⊥ SO 
 ⇒ CD ⊥ ( SOK ) ⇒ ( SCD) ⊥ ( SOK )
CD ⊥ OK 

SK = ( SCD) ∩ ( SOK )

với
.
OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ d (O,( SCD )) = OH

Trong tam giác vuông SOK ta kẻ
1
1
1
1
1
1
4
5
=
+
= 2+
= 2+ 2+ 2

2
2
2
2
OH
OS OK
a
a
a
a
a
 ÷
2
Lại có:

OH =
do đó

a 5
5

. Vậy:

2a 5
= 2OH =
.
d ( SC , AB ) = d ( AB,(SCD )) = 2d (ABCD
O,(SCD
5 = 3 AD = 4 AA ' = 5
. A ')B ' C ' D '

AB
4: Hình hộp chữ nhật
có
,
,
.
Ví dụ

Phân
tích:
Nhận
hai đường
thẳng và
Khoảng
cách
giữathấy
hai đường
thẳng
AC và B’D’ nằm lần lượt trong hai mặt
phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song
song với nhau.
( ABCD) / /( A ' B ' C ' D ')
Giải: Ta có
AC ⊂ ( ABCD ), B ' D ' ⊂ ( A ' B ' C ' D ')

và
.

23

bằng bao nhiêu?

.


d ( AC ; B ' D ') = d(( ABCD);( A ' B ' C ' D '))

Nên

= AA ' = 5

.

Chú ý: Ta cũng có thể nhận ra ngay đoạn vng góc chung của hai đường
thẳng AC và B’D’ là OO’, với O, O’ lần lượt là trung điểm của AC và B’D’.

24


Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng

ABC. A ' B ' C '

AA ' = a 2

AB = BC = a

B
có đáy là tam giác vng tại ,

M

, cạnh bên
. Gọi
là trung điểm của
Giải: Trước hết, ta dựng một mặt phẳng chứa

BC

. Tính
a 2

đường thẳng AM và song song với đường thẳng B’C
để chuyển về tìm khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng. Lấy

E

là trung điểm

BB '

a
khi đó ME//

B’C nên B’C// (MAE).
Từ đó:

d ( B ' C , AM ) = d ( B ',( MAE ))

.

Sử dụng phương pháp dịch chuyển điểm ta có: Vì E
là trung điểm BB’ nên
d ( B ',( MAE )) = d ( B,( MAE ))

Mà tứ diện

BAME

có 3 góc vng ở

B

nên

1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
=
+
+ 2
2

2
2
2
2
d (B;(MAE)) BM
BE
BA  a   a 2  a
4
4
1
7
 ÷ 
= 2+ 2+ 2= 2
2  2 ÷

a
2a
a
a
2

d ( B;( AME )) =
Suy ra

Ví dụ 6: Hình thoi

ABCD

vng góc với mặt phẳng

a
= d ( AM ; B ' C )
7

tâm

O

ABCD

, cạnh
tại

O

a

.
OB =

và có

, lấy một điểm

Phân tích: Với bài toán này ta nhận

25

a 3
3

S

. Trên đường thẳng

sao cho

SB = a

. Tính