một số biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua dạy học theo chủ đề dãy số cấp số cộng cấp số nhân

PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo từ lâu đã được xác định là
một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục, theo chương trình giáo dục phổ
thông mới, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là một trong 10 năng lực cốt lõi
cần phải bồi dưỡng và phát triển cho người học.
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là khái niệm mới, được đề cập trong
chương trình giáo dục phổ thơng mới, do vậy việc làm rõ khái niệm cũng như
nghiên cứu khả năng dạy học mơn Tốn nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn
đề và sáng tạo là cần thiết.
Năng lực giải quyết vấn đề là một trong những năng lực cơ bản cần được
phát triển cho học sinh phổ thông hiện nay. Năng lực này bao gồm các năng lực
thành phần sau: Khả năng phát hiện và làm rõ vấn đề; đề xuất, lựa chọn giải pháp;
thực hiện và đánh giá giải pháp; nhận ra, hình thành và khai thác ý tưởng mới khi
giải quyết vấn đề; khả năng tư duy độc lập.Năng lực giải quyết vấn đề được hình
thành và phát triển dựa trên các hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề khi học
sinh chủ động, tích cực tham gia vào các hoạt động học tập, trải nghiệm.
Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua dạy học theo chủ
đề “Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân” ở trường phổ thơng hiện nay cịn chưa
nhiều, khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán thực tiễn cuộc sống
chưa nhiều, hiệu quả chưa cao, việc tạo liên kết, tích hợp mơn học giữa tốn và các
mơn học khác chưa nhiều.
Xây dựng hệ thống bài tập nhằm bổ trợ và phát triển kiến thức đã học giúp
học sinh học tập tích cực, lĩnh hội và tiếp thu kiến thức chủ động và sáng tạo.
Hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh
là nhiệm vụ quan trọng trong dạy học nói chung và bộ mơn Tốn nói riêng.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu và tìm hiểu thực trạng dạy học bộ mơn Tốn ở trường phổ thơng
từ đó đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
thông qua dạy học theo chủ đề dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân.
III. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 11, lớp 12; Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT
IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Khảo sát thực trạng, lập bảng biểu so sánh, đánh giá, trắc nghiệm khách
quan, ý kiến đóng góp của thầy cơ, học sinh, sử dụng các tài liệu tham khảo.

1


PHẦN B . NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN
1. Thuận lợi: Linh hoạt cho tất cả các đối tượng học sinh, loại bỏ sự bất bình
đẳng trong quá trình học tập, học sinh chủ động và lĩnh hội kiến thức chủ động,
biết vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống.
2. Khó khăn: Đổi mới phương pháp ở nhà trường chưa mang lại hiệu quả
cao, giáo viên còn ngại đổi mới phương pháp, số giáo viên thường xuyên chủ
động, sáng tạo, phát huy phương pháp dạy học tích cực chưa nhiều.
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Do thói quen thụ động trong q trình dạy và học. Sĩ số học sinh trong lớp
cịn đơng, cơ sở vật chất chưa đáp ứng cho phương pháp dạy học tích cực.
Dạy học vẫn nặng về truyền thụ kiến thức, việc rèn luyện kỹ năng chưa quan
tâm nhiều. Hoạt động kiểm tra đánh giá mang tính tái hiện kiến thức, chú trọng
đánh giá cuối kỳ chưa chú trọng đánh giá quá trình.
Việc vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tiễn cuộc sống chưa
nhiều. Phương pháp và kỹ thuật dạy học tích cực cịn mang tính hình thức chưa có
hiệu quả.
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI
Đề tài có tính ứng dụng cao, với cách xây dựng của đề tài có thể vận dụng
cho các chủ đề khác của mơn tốn, kết hợp với môn học khác xây dựng chủ đề dạy
học phát triển năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo ở học sinh khả thi.
IV.CƠ SỞ KHOA HỌC

1) Năng lực, năng lực tốn học
Năng lưc: Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố
chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp
các kiến thức, kĩ năng và các thuốc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý
chí, … thực hiện thành cơng một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn
trong những điều kiện cụ thể.
Năng lực toán học (Mathematical competence) là một loại hình năng lực đặc
thù, gắn liền với mơn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học,
Hiệp hội Tốn học Mỹ (NCTM) mơ tả: Năng lực tốn học là cách thức nắm bắt và
sử dụng nội dung kiến thức toán.
2) Khái niện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá
trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết những tình
huống vấn đề mà ở đó khơng có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường.
2


Năng lực sáng tạo là khả năng tạo ra cái mới có giá trị của cá nhân dựa trên
tổhợp các phẩm chất độc đáo của cá nhân đó.
3) Dạy học theo hƣớng tiếp cận phát triển năng lực
Giáo dục theo hướng tiếp cận năng lực là lấy năng lực làm cơ sở để tổ chức
chương trình và thiết kế nội dung học tập. Điều này có nghĩa năng lực của học sinh
sẽ là kết quả cuối cùng cần đạt của q trình dạy học. Nói cách khác, thành phần
cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các sản phẩm và năng lực của người
học, năng lực được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu
giáo dục.
Muốn có năng lực, học sinh phải học tập và rèn luyện trong hoạt động và
bằng hoạt động. Mặt khác các năng lực được hình thành trong q trình dạy học và
khơng chỉ ở nhà trường mà dưới tác động của gia đình, xã hội, của chính trị, tơn
giáo, văn hóa,…

Lấy người học làm trung tâm, chú ý tới mỗi cá nhân học sinh, giúp họ tự tìm
tịi, khám phá làm chủ tri thức và vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tế
cuộc sống, qua đố rút ra kinh nghiệm và tri thức cho bản thân mình.
Kết quả đầu ra của người học, những gì người học làm được sau khi kết thúc
chương trình học hoặc kết thúc bài học, nhấn mạnh đến khả năng thực tế của học
sinh.
Cách học, yếu tố tự học của người học. Thay vì lối dạy truyền thống thầy
giảng trị nghe có thể tổ chức cho cá nhân tự học, học theo nhóm, học theo sở thích
và mối quan tâm riêng của người học.
Giáo viên là người thiết kế, tổ chức và hướng dẫn học sinh tích cực, tự lực
thực hiện các nhiệm vụ học tập.
Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tương tác tích cực giữa học sinh với
học sinh, giữa giáo viên và học sinh, thúc đẩy và tạo cho học sinh hiện thực hóa
năng lực của mình thơng qua quan sát, tìm tịi, khám phá, sáng tạo.
4) Đặc điểm và yêu cầu dạy học mơn Tốn theo hƣớng tiếp cận phát
triển năng lực.
Năng lực tốn học khơng chỉ bao hàm kiến thức, kỹ năng, kĩ xảo, mà còn cả
động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học tốn. Muốn có năng lực toán học
học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập mơn tốn.
Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra, dựa trên những gì người học làm được(có
tính đến khả năng thực tế của học sinh). Khuyến khích người học tìm tịi, khám
phá tri thức tốn học và vận dụng vào thực tiễn.
Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của người học. Giáo viên chỉ là
người hướng dẫn và thiết kế, còn học sinh phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết
tốn học của riêng mình.
3


Xây dựng mơi trường dạy học tương tác tích cực. Phối hợp các hoạt động
tương tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đơi, nhóm hoặc hoạt động chung cả

lớp và hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh trong q trình dạy học mơn
tốn.
Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ thông tin, thiết bị dạy học mơn tốn
nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học.
Trước hết cần xác định các yêu cầu về năng lực tốn học mà người học cần
phải có trong quá trình học tập ở trường và để hoạt động hữu ích, có hiệu quả trong
thực tế đời sống.
Khi xác định các yếu tố của quá trình dạy học như: Mục tiêu dạy học, phạm
vi và nội dung dạy học, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học, cách thức đánh
giá kết quả học tập đều phải được đối chiếu với các yêu cầu của năng lực toán học
cần hình thành và phát triển ở học sinh và cái đích cuối cùng là phải hình thành
được năng lực học tập mơn tốn ở các em.
Chọn lựa và tổ chức nội dung dạy học khơng chỉ dựa vào tính hệ thống, logic
của khoa học toán học mà ưu tiên những nội dung phù hợp trình độ nhận thức của
học sinh trung học phổ thông, thiết thực với đời sống thực tế, hoặc có tính chất tích
hợp liên mơn, góp phần giúp học sinh hình thành, rèn luyện và làm chủ các kỹ
năng sống.
Các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học dựa trên cơ sở tổ chức các
hoạt động trải nghiệm, khám phá phát hiện, học tập độc lập, tích cực, tự học có
hướng dẫn của học sinh (thay đổi lối học của học sinh). Tạo môi trường dạy học
tương tác tích cực. Tăng thực hành vận dụng, gắn kết giữa nội dung dạy học với
đời sống thực tiễn của học sinh, cộng đồng. Chú trọng khai thác và sử dụng kinh
nghiệm của học sinh trong đời sống hằng ngày.
Tập trung vào đánh giá sự phát triển năng lực học tập mơn tốn của người
học bằng nhiều hình thức: Tự đánh giá, đánh giá thường xuyên, đánh giá định kỳ,
đánh giá thông qua sản phẩm của học sinh,…. Tăng cường quan sát, nhận xét cụ
thể bằng lời, động viên, giúp học sinh tự tin, hứng thú, tiến bộ trong học tập mơn
Tốn.
Tăng cường sự gắn kết giữa nhà trường và gia đình cũng là yếu tố quan trọng
thúc đẩy sự phát triển năng lực học tập mơn tốn của học sinh.

Việc hình thành và phát triển năng lực đòi hỏi sự vận dụng phối hợp các kiến
thức, kỹ năng, …nên khi xây dựng chương trình hoặc thiết kế bài học mơn tốn,
cần chú ý tới tính tổng thể, tính tích hợp, liên mơn. Logic khoa học tốn học không
phải là yếu tố duy nhất chi phối việc tổ chức nội dung chương trình mơn Tốn và
nội dung bài học mơn Tốn. Khơng đặt vấn đề chú trọng tới việc cung cấp nhiều
kiến thức toán học thuần túy mà chú ý lựa chọn, tổ chức các nội dung học toán một
cách hợp lý, tạo cơ sở cho việc phát triển các năng lực của học sinh.
4


Cần đổi mới cách quản lý linh hoạt trong việc thực hiện chương trình dạy
học. Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định nội
dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình
dạy học, trên cơ sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung,
phương pháp, hình thức tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực
hiện được mục tiêu dạy học.
V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1) Định hƣớng dạy học theo hƣớng phát triển năng lực giải quyết vấn đề
và sáng tạo
1.1. Hoạt động trải nghiệm (khởi động)
Để nhận thức được về một đối tượng, một sự việc hay một vấn đề nào đó,
người học phải dựa trên vốn kiến thức , vốn kinh nghiệm đã có từ trước.
Giáo viên cần tạo ra các tình huống gởi vấn đề để học sinh trải nghiệm bằng
cách huy động các kiến thức và kinh nghiệm thực tiễn để suy nghĩ, biến đổi đối
tượng hoạt động, tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Hoạt động trải nghiệm được thiết
kế dựa trên mục tiêu bài học và những kiến thức đã có của học sinh. Hoạt động trải
nghiện sẽ giúp học sinh có hứng thú trong học tập, thơi thúc học sinh khám phá,
tìm hiểu kiến thức mới.
1.2. Hoạt động phân tích, khám phá
Qua hoạt động trải nghiệm học sinh phần nào đã tiếp cận kiến thức của bài

học, do đó hoạt động phân tích rút ra bài học cần phải được thiết kế với hình thức
tổ chức học tập phong phú giúp học sinh biết huy động kiến thức, chia sẽ và hợp
tác trong học tập để thu nhận kiến thức mới, giáo viên là người chuẩn hóa lại kiến
thức cho học sinh để rút ra bài học.
1.3. Hoạt động thực hành, luyện tập
Hoạt động này cần được thiết kế sao cho mỗi học sinh đều tự mình giải
quyết vấn đề rồi chia sẽ với bạn bè về cách giải quyết vấn đề. Khi thiết kế vấn đề
này giáo viên cần xác định những thuận lợi khó khăn của học sinh, dự kiến những
những tình huống học sinh cần sự trợ giúp trong học tập. Hoạt động này giúp học
sinh cùng củng cố kiến thức vừa học và huy động, liên kết với kiến thức đã có để
thực hiện giải quyết vấn đề. Giáo viên cần tổ chức hoạt động học tập phong phú để
tránh sự nhàm chán cho học sinh.
1.4. Hoạt động vận dụng kiến thức, kỹ năng vào thực tiễn
Mục đích của hoạt động này là giúp học sinh vận dụng kiến thức, kỹ năng,
thái độ đã được tích lũy từ q trình học tập mơn Tốn và những kinh nghiệm bản
thân vào giải quyết vấn đề trong thực tiễn học tập hoặc trong cuộc sống một cách
sáng tạo; phát triển cho học sinh năng lực tổ chức và quản lý hoạt động, năng lực
tự nhận thức và tích cực hóa bản thân. Giáo viên hướng dẫn học sinh kết nối, sắp
5


xếp, vận dụng các kiến thức, kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề đặt ra. Giáo viên
cũng có thể đưa ra yêu cầu, dự án học tập để học sinh thực hiện theo cá nhân, theo
nhóm.
Tóm lại dạy học mơn Tốn theo hướng tiếp cận phát triển năng lực là cách tổ
chức q trình dạy học thơng qua các chuổi các hoạt động học tập tích cực, độc
lập, sáng tạo của học sinh với sự hợp tác của bạn học và sự hướng dẫn, trợ giúp
của giáo viên, hướng đến mục tiêu hình thành và phát triển năng lực toán học.
2) Dạy học theo chủ đề dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
Dạy học theo chủ đề là hình thức tìm tịi những khái niệm, tư tưởng, đơn vị

kiến thức, nội dung bài học, chủ đề, … có sự giao thoa, tương đồng lẫn nhau, dựa
trên mối liên hệ về lý luận và thực tiễn được đề cập trong các mơn học thành một
chủ đề; nhờ đó học sinh được hoạt động nhiều hơn để khám phá kiến thức và vận
dụng kiến thức vào thực tiễn.
Trong quá trình dạy học theo chủ đề, giáo viên khơng chỉ sử dụng các
phương pháp dạy học truyền thống mà chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự lực tìm
kiếm thơng tin, sử dụng kiến thức vào giải quyết các nhiệm vụ học tập. Các chủ đề
dạy học thường có tính tổng quát, liên quan đến nhiều lĩnh vực, có nội dung tích
hợp các vấn đề gắn với thực tiễn. Học sinh có nhiều cơ hội làm việc theo nhóm,
thu thập thông tin từ các nguồn tài liệu.
Một trong những yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thơng mới là phát
triển năng lực của học sinh. Năng lực chỉ có thể phát triển thông qua hoạt động.
Thông qua các chủ đề dạy học, giáo viên kết nối các kiến thức nhằm hình
thành, phát triển năng lực cho học sinh.
Dạy học theo chủ đề “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” có vai trị và vị trí
quan trọng trong chương trình bộ mơn Tốn, là kết nối, liên kết các kiến thức, củng
cố, bổ sung và phát triển kiến thức cho nhau, đồng thời làm tiền đề để dạy bài học
mới của bài học sau này bài “Giới hạn hàm số”.
Việc kết hợp các bài học “Chứng minh quy nạp, dãy số, cấp số cộng, cấp số
nhân” thành chủ đề cũng tạo không gian và thời gian cho học sinh hoạt động, biết
ứng dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống, phát triển năng lực giải quyết
vấn đề và sáng tạo của học sinh.

6


Chủ đề 1: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thơng qua
các bài tốn xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định công thức tổng quát của một dãy số là dạng toán phổ biến trong
chương trình tốn phổ thơng, thơng qua các bài toán nhằm định hướng phát triển

năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh.
Bài toán 1: Cho dãy số (un) thoản mãn
u1  1, un 1 

un  1 1
1
 un  (*) , n  1 . Tìm cơng thức tổng qt của dãy (un).
2
2
2

Hƣớng dẫn giải
Bước 1: Tổ chức hoạt động trải nghiệm
+ Tính u1, u2, u3 u4. Phát hiện quy luật của dãy
Bước 2: Phân tích khám phá
+ Phán đốn, suy luận tìm ra số hạng tổng quát
Bước 3: Thực hành luyện tập
Ta có u2 

u 1 5
u1  1
u 1 3
 2; u3  2
 ; u4  3
 , ta tìm quan hệ giữa các u1; u2,
2
2
2
2
4

u3, u4, nhận thấy quy luật, suy đoán nào ?
u2  2  1 

1
3
1
5
1
; u3   1  ; u4   1  2 , từ đó nhận xét un
0
2
2
2
4
2

Ta có un  1 

1
2

n2

, chứng minh bằng quy nạp ta có kết quả un  1 

1
2

n2

Hƣớng dẫn giải khác
- Giáo viên đặt câu hỏi để học sinh tìm tịi, phân tích mối liên hệ của các yếu
tố của bài toán, xác định cách giải khác
Từ công thức
1
1
1
1
1
1
1
1
un  un 1  ; un 1  un  2  ; un  2  un 3  ,...u2  u1 
2
2
2
2
2
2
2
2

Nhân

1
vào hai vế từ un-1 đến u2 rồi cộng theo hai vế ta có
2

1

1 1
1
1
1
un  (1   2  ...  n  2 )  n 1 .u1  1  n 2
2
2 2
2
2
2

Bây giờ thay đổi chút dự kiện của biểu thức (*) ở bài toán 1, xét bài toán sau.
7


Bài toán 2: Cho dãy số (un) thoản mãn u1 = 1 và un+1 = 3un+2n-1 (*)
Tìm cơng thức tổng quát của dãy (un).
Hƣớng dẫn giải
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Tính u1, u2, u3, u4; phát hiện quy luật của dãy. Tìm mối liên hệ của các yếu
tố trong hệ thức (*), cấp số nhân
Bước 2: Phân tích khám phá
+ Từ các u1, u2, u3, u4 chỉ ra quan hệ có tính quy luật của chúng
+ Dự đốn số hạng tổng quát un. Sử dụng cấp số nhân
Bước 3: Thực hành luyện tập
Ta có u1=1, u2 = 3u1+1 = 4; u3=3u2+3 = 15; tìm quan hệ giữa u1, u2, u3, …
u1  1  2.30  1; u2  4  2.31  2; u3  15  2.32  3 , dự đoán

un  2.3n 1  n , chứng minh bằng quy nạp ta có kết quả.

Hƣớng dẫn giải khác
+ Giáo viên đặt câu hỏi để học sinh tìm tịi, phân tích mối quan hệ của các
yếu tố của dự kiện bài toán, sử dụng cấp số nhân
Từ un+1+ n+1 = 3(un+n); đặt vn = un+ n; ta có vn+1 = 3vn; vậy vn là cấp số nhân
công bội q = 3, vn = v1.qn-1= 2.3n-1; vậy un = 2.3n - 1 - n.
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh giải bài tập tƣơng tự, sử dụng cấp số
nhân.
Bài tốn 3: Cho dãy số (un) có u1 = -7, un+1 = 5un -12 với n 
hạng tổng quát của dãy số (un).



. Tìm số

Hƣớng dẫn: un 1  5un  12  un 1  3  5  un  3
Đặt vn  un  3  vn 1  5vn  vn  v1.q n1  10.5n1  un  2.5n  3
Giáo viên tiếp tục gởi mở, tạo tình huống có vấn đề, từ bài toán 1, bài toán 2,
xét bài toán tổng quát.
Bài toán 4: Tổng qt ta có bài tốn cho dãy số (un) xác định bởi u1 = c và
un+1 = qun + an +b (*), trong đó q, a,b, c là hằng số đã xác định. Tìm cơng thức
tổng qt của dãy (un).

8


Hƣớng dẫn giải: Nhận thấy quan hệ giữa un, và un+1, ta đặt un  p.q n   n   ,
từ hệ thức (*) ta có n  q    a   q    b    0 n , với q,a,b ta xác định được,
 ,  , từ u1 = c, ta xác định được p, vậy bài toán đã được giải quyết.

Trở lại bài toán 2, nếu thay un+1 = 4un + 2n – 1, xét bài toán sau.

Bài toán 5: Cho dãy số (un) thoản mãn u1=1 và un+1 = 4un+2n-1 (*)
Tìm cơng thức tổng qt của dãy (un).
Hƣớng dẫn giải:
+ Nếu giải như cách thông thường rất khó tìm ra un; vậy ta giải theo hướng
bài tốn tổng quát.
+ Đặt un = p.4n + an + b; từ hệ thức (*) ta có n(3a + 2) + 3b – 1 = 0 với mọi
2
3

1
3

1
3

1
3

2
3

n, tìm được a   ; b  , từ u1 = 1, ta có p  ; un  .4n  n 

1
3

Tiếp tục đặt tình huống có vấn đề là vế phải của bài toán 5 thay đổi dự kiện
un+1 = qun + an +b bởi un 1  4.un  3.4n ta xét bài toán sau.
Bài toán 5: Cho dãy số (un) thoản mãn


u1  2, un 1  4.un  3.4n (*), n 

. Tìm cơng thức tổng qt của dãy (un).

Hƣớng dẫn giải
Bước 1: Hoạt động trãi nghiệm
+ Viết dạng khai triển un, un-1, un-2, …u2
Bước 2: Phân tích và khám phá
+ Nhận thấy từ hệ thức khai triển nếu nhân với 4,42, …4n-2, cộng theo vế của
các khai triển.
Bước 3: Thực hành và luyện tập
+ Từ un+1= 4un+3.4n . Ta có un= 4un-1+3.4n-1; un-1= 4un-2+3.4n-2, ….u2 = 4.u1 +
3.4 (1). Công theo vế của đẳng thức (1) theo vế ta có un= 4n-1(3n-1).
Hƣớng dẫn cách giải khác
Từ quan hệ un+1 và un, ta đặt un = 4n(an + b), từ hệ thức (*) ta có
3
4

1
4

4n(4a – 3) = 0 với mọi n, a  , từ u1 = 1, ta có b   , vây un = 4n-1(3n-1)
Đặt vấn đề trong bài tốn 5 thì 4 và 4n, có chung số 4, thay đổi dự kiện xét
bài toán sau.

9


Bài toán 6: Cho dãy số (un) thoản mãn

1
u1  , un 1  3.un  2n 1 n 
5



. Tìm cơng thức tổng qt của dãy (un).

Hƣớng dẫn giải: Hồn tồn tương tự như bài tốn 5, tuy nhiên điểm đặc biệt
là hệ số gắn với un và số mũ khác nhau.
un  3un 1  2n  2 ; un 1  3un  2  2n 3 ; un  2  3un 3  2n  4 ,....u2  3u1  20

Nhân hai vế của đẳng thức trên với -3, (-3)2, … (-3)n-2; sau đó cộng theo vế,
ta có
un   3
un 

n 1

u1  2

n2

2

n 3

(3)  2

n4

(3)  ...  2 (3)
2

0

n2

  3

n 1
1  3  2
2n 1


5
3  2
5
n 1

n 1

2n 1
5

Từ các bài tốn 5,6 trên mở rộng ta có bài toán tổng quát sau.
Bài toán 7: Cho dãy số (un) được xác định bởi un+1 = q.un+h.rn-1 (q,h, r là
hằng số xác định cho trước) khi đó ta có kết quả sau
1) Nếu r = q thì n  2 ta có un  q n 1.u1   n  1 q n 2 .h.
2) Nếu r  q, un  q n1.u1 

q n 1  r n 1
h.
qr

Giáo viên hướng dẫn học sinh tự chứng minh
Như vậy trên ta xét un 1  q.un  an  b , un 1  q.un  a. n , bây giờ ta xét dạng
un 1 

aun  b
tạo tình huống có vấn đề, xét bài tốn sau
cun  d

Bài toán 8 (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi lớp 11 năm học 2018 - 2019)
Cho dãy số (un) thoản mãn
u1  1, un 1 

2un
(*), n  1 . Tìm cơng thức tổng qt của dãy (un).
un  4

Hƣớng dẫn giải
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Từ mối quan hệ có trong biểu thức (*), Từ un+1; xét

1
un1

Bước 2: Phân tích và khám phá
+ Chuyển bài tốn đã cho về bài toán quen thuộc, đã biết

10


Bước 3: Thực hành và luyện tập
+ Nếu nghịch đảo của hai vế ta có kết quả
vn 1  2vn 

1
1 2
1
 
 vn ta có
nếu đặt
un 1 2 un
un

1
khi đó áp dụng cách giải bài tốn 2 ta có kết quả.
2

Tiếp tục thay đổi vế phải của bài toán 8, nhằm tạo tình huống có vấn đề mới,
xét bài toán sau.
Bài toán 9: Cho dãy số (un) thoản mãn
un
2
u1  , un 1 
(*), n  1 . Tìm công thức tổng quát của dãy (un).
3
2(2n  1)un  1

Hƣớng dẫn giải: Hồn tồn tương tự như bài tốn 8, ta đảo un1 thành
Ta có un1 
Đặt vn 

1
un1

un
u u
1
1
 2  2n  1  n n 1 

2(2n  1)un  1
un .un 1
un 1 un

1
 vn 1  vn  4n  2 áp dụng cách làm tương tự bài tốn 2 ta có
un

un  u1  2n(n  1)  2(n  1)  2n 2 

1
2
 un  2
2
4n  1

Với ý tưởng tạo ra sự thay đổi bài toán nhằm phát huy năng lực giải quyết

vấn đề, sáng tạo của học sinh, thay đổi dự kiện bài toán 9, xét bài toán sau.
Bài toán 11: Cho dãy số (un) thoản mãn
u0  2, un 1 

2un  1
(*) n 
un  2



, tìm công thức tổng quát của dãy số (un).

Hƣớng dẫn giải: Nhằm tạo ra quan hệ giữa
un 1  1 

1
1

 m  an  b 
un 1   un  

2un  1
u 1
1
3
1
1  n
 1
 vn  vn 1  3vn  1
; xét

, đặt
un  2
un  2
un 1  1
un  1
un  1

Áp dụng cách giải như bài tốn 8, ta có kết quả un  1 

2
n 1

3

1

Bài toán 12: Cho dãy số (un) thoản mãn
u0  2, un 1 

3un  4
(*), n 
un  3



Hƣớng dẫn giải: Xét un1  2 

, tìm cơng thức tổng qt của dãy số (un).
un  2
1

5

 1
,
un  3
un 1  2
un  2
11


đặt vn 

1
 vn 1  5vn  1 , giải tương tự như bài tốn 11 ta có kết quả.
un  2

Bài toán 13: Cho dãy số (un) thoản mãn
u0  c, un 1 

aun  b
(*) n 
un  a



. Tìm cơng thức tổng qt của dãy số (un).

Hƣớng dẫn giải: Từ hệ thức un1 
ta xét un 1   

aun  b
,
un  a

aun  b
u (a   )  b  a
  n
,khi đó ta có thể chọn
un  a
un  a

a    1
u a
1
a 
 n
 1
 b   2 , khi đó ta xét
,

un 1   un  
un  
b  a  

đặt

1
 vn  vn 1  (a   )vn  1 , áp dụng cách giải như bài tốn trên ta có
un  

kết quả.
Với ý tƣởng phát triển năng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo bằng cách
tạo sự thay đổi dự kiện bài toán cũ làm xuất hiện bài toán mới, chuyển lạ
thành quen.
Bài toán 14: Cho dãy số (un) thoản mãn
u1  1, un 1 

2un
(*) n  1 . Tìm cơng thức tổng qt của dãy số (un)
2. un  3
n

Hƣớng dẫn giải:
Từ biểu thức (*) ta có
Đặt vn 

1
3
  2n
un 1 un

1
 vn 1  3.vn  2n . Áp dụng cách giải bài toán 5, ta có kết quả
un

Tương tự bài tốn 14, hướng dẫn học sinh giải bài toán sau.
Bài toán 15: Cho dãy số (un) thoản mãn
u1  1, un 

un 1

(*) n  2 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
1  5n.un 1

Hƣớng dẫn giải:
Từ un 

un 1
, ta có
1  5n.un 1

1
1
1

 5n , khi đó đặt vn  , ta có
un un 1
un

12


vn  vn 1  5n , vn   vn – vn 1    vn 1  vn  2    v2  v1   v1  5n  5n 1  52  1
= 5n  5n 1   52  5  1  5,
 vn 

5n 1  1
5n 1  21
4
5 
 un  n 1

4
4
5  21

Khai thác, vận dụng, phát triển tƣ duy hàm số, cấp số nhân để tìm số
hạng tổng quát của dãy số
Rèn luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập tương ứng giữa các đối tượng
toán học, gợi động cơ học tập sao cho học sinh biểu diễn và hiểu được việc vận
dụng thiết lập mối quan hệ hàm số trong quá trình giải tốn.
Xét ví dụ minh họa sau
Bài tốn 16: Cho dãy số (un) thoản mãn
u1  2018, u n 1 =

n 2  5n  4
u n (*)n  1 . Tìm cơng thức tổng qt của dãy (un).
3n 2 +9n

Hƣớng dẫn giải
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Viết biểu thức (*) dưới dạng un1. f  n  1   un f  n 
Bước 2. Phân tích và khám phá
- Đặt vn  un f  n   vn 1   vn , cấp số nhân cơng bội , số hạng đầu v1 tìm được
vn, tìm được un
Bước 3. Thực hành và luyện tập
un 1
n2  5n  4
1  n  1  3(n  1)
1
1
Ta có: un1 

.un 
.un 
 . 2
.un
2
2
2
3n  9n
3
n  3n
 n  1  3(n  1) 3 n  3n
2

u
1
1009  1 
đặt vn  2 n  vn1  vn  vn 
 
n  3n
3
2 3

n 1

1009  1 
 un 
 
2 3

n 1

n

2

 3n 

Bài toán 17: Cho dãy số (un) thoản mãn
n  un  2   n 2  1
u1  1, u n 1 =
(*), n 
n 1

Tìm công thức tổng quát của dãy (un).

Hƣớng dẫn giải
+ Chuyển biểu thức (*) về dạng a  n  1 un 1  b.n.un  c. f  n 
+ Từ biểu thức (*) ta có  n  1 un1  n.un   n  1 ,
2

đặt vn  n.un , ta có vn 1  vn   n  1  vn  vn 1  n 2 , vn 1  vn 2  (n  1)2 ,...v2  v1  22
2

13


v n = n 2 +  n-1 +  n-2  +....+ 32 + 22 + 11 =
2

2

n  n+1 2n+1
6

Bài toán 18: Cho dãy số (un) thoản mãn
u1  1, u n =

2  n  1 un 1
2n
+
(*) n 
2
2
n
 n  n  1  1



Tìm công thức tổng quát dãy (un).

Hƣớng dẫn giải
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
un 1  n  1  f (n  1)   (un n  f  n  

Bước 2: Phân tích khám phá
Đặt vn  n.un  f  n  , khi đó vn 1   vn , vn là cấp số nhân, tìm được vn
Bước 3: Thực hành và luyện tập
Ta có
n.un  2  n  1 un 1 



n

2n  n 2

2

1 n 1
2



 n  1

n

2

2

 1  2  n2  1

 1  2n(n 2  1)  n 2  1
2



 n  1

n

2

2

 1  2  n 2  1

2
 1  n  1  1





1
2
1
1


n
.
u


2
n

1

u





n
n

1
2
n 2  1  n  12  1
n2  1
 n  1  1

n

1
1
1
1
1
1
Đặt vn  n.un  2  vn1  vn  vn     un   n  2 
n 1
2
2
 2 n 1  n

Vận dụng tư duy hàm số, kết hợp cấp số nhân giáo viên hướng dẫn học sinh

một số bài tập sau.
Bài toán 19: Cho dãy số (un) được xác định bởi
1
n2  n  2
u1  5, u n 1  un  3
; n  1 , tìm cơng thức tổng qt của dãy số (un).
2
n  3n 2  2n

Bài toán 20: Cho dãy số (un) được xác định bởi
u1  12,

2un 1
un  n 2  n  2

; n  1 ,tìm cơng thức tổng qt của dãy số (un).
n 2  5n  6
n2  n

Tiếp tục khai thác cấp số nhân trong việc tìm số hạng tổng quát của dãy
số, xét bài toán sau

14


1
2

Bài toán 21: Cho dãy số (un) thoản mãn u1  1 và un  2   un 1  un  với n  1
Tìm cơng thức tổng quát của dãy (un).

Hƣớng dẫn giải
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Khai thác và tìm quan hệ trong biểu thức (*), sử dụng cấp số nhân
Bước 2: Phân tích, khám phá
+ Từ biểu thức (*) biến đổi định hướng theo un  2  un 1    un 1  un 2 
Bước 3: Thực hành và luyện tập
1
2

Từ biểu thức (*) ta có 2  un  2  un 1     un 1  un  , đặt vn  un1  un , vn1   vn
n

 1
4  2  
 2 u 
Ta có kết quả vn 
n
3

3
 1
2 
 2

n 1

Hoàn toàn tương tự, hướng dẫn học sinh giải toán sau.
Bài toán 22: Cho dãy  un  xác định bởi
a) u1  2, u2  3 và un  3un1  2un2 , n  3
b) u1  2, u2  3 và un  6un1  9un2 , n  3

c) u1  2, u2  5 và un2  5un1  6un , n  1
Tìm công thức tổng quát của dãy số (un).
Chủ đề 2: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thơng qua
các bài tốn xét tính đơn điệu, tìm giới hạn, chứng minh dãy số thỏa mãn một
số tính chất cho trƣớc
1) Khai thác và sử dụng giới hạn cơ bản, quen biết
1
n

Bài toán 1: Từ giới hạn cơ bản đã học, lim  0; limq n , q  1 , tìm giới hạn của
lim

n
n2
n!
nk
(q>1);
lim
;
(q
>
1);
lim
;
lim
(k 
qn
qn
nn
qn



).

Hƣớng dẫn giải
n

n

1
1
n
1  1  ...  1
 lim    ...     0  q  1
Ta có lim n  lim
n
q
q
q
q
15


lim

n2
n.n
n
n

 lim n  lim
.
0
n
n
q
q
( q ) ( q )n

lim

n!
1.2...n n ! 1.2...n 1
1
n!
 lim
; n 
 ;lim  0  lim n  0
n
n
n.n...n n
n.n...n n
n
n

2) Tìm giới hạn của dãy số, từ việc xác định số hạng tổng qt của dãy
sơ đó
Xét ví dụ sau
Bài tốn 2: Cho dãy số (un) thoản mãn
u1  2018, u n 1 =

n 2  5n  4
3n
u
(*),

n

1
. Tìm giới hạn lim 2 .un .
n
3n 2 +9n
n

Định hƣớng giải: Để tìm được giới hạn trên ta có thể tìm số hạng tổng quát
của dãy số (un) trước.
Từ việc xác định công thức tổng quát của dãy, từ kết quả bài toán 16, phần 1,
ta có
1009  1 
un 
 
2 3

n 1

n

2

 3n   lim

3n
3027
 3  3027
.un 
lim 1   
2
n
2
2
 n

Bài toán 3: Cho dãy số (un) thoản mãn
1
n2  n  2
u1  5; u n 1  un  3
(*); n  1 . Tìm lim(n.un ).
2
n  3n  2n

Định hƣớng giải: Trước hết ta tìm số hạng tổng quát (un)
Vận dụng tư duy hàm số: un 1  f  n  1    un  f  n   vào biểu thức (*)
1
2

Từ (*) ta có u n1  un 
2
n

2 1

2
1
2
-  u n 1 
 (un  ) ,
n 1 n
n 1 2
n

1
2

đặt vn  un  ; vn 1  vn , (vn) là cấp số nhân,
v1  3, q 

1
3
3
2
, vn  n 1  un  n 1 
2
2
2
n

lim(n.un )  lim

3n
 2  2 (áp dụng kết quả bài toán 1 phần trên)
2n 1

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán sau.

16


Bài toán 4: Cho dãy số (un) thỏa mãn
u1  2, u2  4; u n2 - 2u n1 + u n - 2 = 0 , n  3 . Tìm lim n





un  3n  2  2 un  2n  2  n .

3) Tìm giới hạn dãy số thông qua việc đánh giá, sử dụng sai phân
+ Nếu un  vn , n 

*

, lim vn  0  lim un  0

+ un  L  q. un 1  L ,.... q  1
n

n

k 1

k 1

  k  xk 1  xk    k   ( xk 1  xk )  xn 1  x1;

n

n
1
1
1

(

)


xk 1  
k 1 xk  
k 1 xk  

Bài toán 5: Cho dãy số (un) xác định bởi u1  3, un 1  un , n  1 . Tìm limun.
Hƣớng dẫn giải: Ta chứng minh bằng quy nạp, un > 1, với mọi n
Ta có un1  1  un  1 
0  un  1 

Vì lim lim

un  1 1
  un  1
un  1 2

1
1
1
1
 un1  1  2  un2  1  ...  n1  u1  1  n2
2
2
2
2
1
2

n2

 0  lim(u n  1)  0, lim un  1

Bài toán 6: Cho dãy số (xn) được xác định như sau: x1  3, xn 1  xn2  3xn  4
a) Chứng minh rằng (xn) là một dãy không bị chặn trên.
b) Xét dãy (yn) xác định bởi yn 

1
1
1

 ... 
, tìm limyn.
x1  1 x2  1
xn  1

Hƣớng dẫn giải: Sử dụng phương pháp sai phân

a) Nhận thấy x1  3, x2  4, x3  8 , cần chứng minh xn  n  2 . Ta chứng minh
bằng quy nạp xn  n  2
Thật vậy: Với n = 1 bất đẳng thức luôn đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với
n = k, xk 1  xk ( xk  3)  4   k  2  (k  1)  4  k  3 , vậy dãy số không bị chặn trên
b) Để sử dụng phương pháp sai phân ta xét sao cho xuất hiện:
x1 – 1, x2 – 1,,, xn – 1, muốn vậy xét xn1  2  xn2  3xn  2   xn  1 xn  2 

17


Ta có

1
1
1
1
1
1
1






xk 1  2  xk  1 xk  2  xk  2 xk  1
xk  1 xk  2 xk 1  2

cộng các đẳng thức trên với k = 1,2,…n,
ta có yn 

1
1
1
1
1
1

 1
; 0
  lim
 0 , limyn = 1.
x1  1 xn 1  2
xn 1  2
xn 1  2 n
xn 1  2

Ta thay đổi chút giả thiết bài toán, xét bài toán sau
Bài toán 7: Cho dãy số (xn) được xác định như sau: x1  1, xn 1  xn2  3xn  1
Xét dãy (yn) xác định bởi yn 

1
1
1

 ... 
. Tìm limyn.
x1  2 x2  2
xn  2

Hƣớng dẫn giải: Sử dụng phương pháp sai phân
Ta làm xuất hiện: x1  2; x2  2,...xn  2 , muốn vậy từ
xn 1  xn2  3xn  1  xn 1  1  xn2  3xn  2   xn  1 xn  2 


1
1
1
1
1
1
1
1
1
1


 yn 

 ... 


 
xn  2 xn  1 xn 1  1
x1  2 x2  2
xn  2 x1  1 xn 1  1 2 xn 1  1

1
2
2

Mặt khác x1  1, x2  5  3 ; x3  5  3.5  1  3

1
2

Ta chứng minh bằng quy nạp: xn+1 > 3n, lim xn   , ta có lim yn  .
Bài tốn 8: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Thành phố Hà Nội 2020 - 2021
1
2

9
2

Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1  6, u n1  un2  2un  , n = 1,2,....
a) Chứng minh dãy số (un) là dãy số tăng.
b) Chứng minh

1
1
1
1

 ... 
 .
u1  1 u2  1
u2020  1 3

Hƣớng dẫn: a) Ta có un 1  un 

1 2

1
2
un  6un  9    un  3  0

2
2

Ta có u1 = 6 > 3, giả sử un > 3, ta chứng minh un+1 > 3, thậy vậy
un 1  3 

1 2
1
un  4un  3   u1  1 un  3  0  un 1  3

2
2
18


b) Sử dụng phương pháp sai phân, xuất hiện u1 -1, u2 – 1, …xét
1
9
1
u n 1  3  un2  2un  - 3 =  un  1 un  3
2
2
2


1

2
1
1
1
1
1






un 1  3  un  3 un  1 un  3 un  1 un  1 un  3 un 1  3

u2021  3 

1
1
1
1
1
1

 ... 



u1  1 u2  1
u2020  1 u1  1 u2021  3 3

4) Chứng minh dãy số khi thỏa mãn một số điều kiện cho trƣớc
Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học,
kết hợp với kiến thức, phương pháp có trong đề tài, nhằm phát triển năng lực giải
quyết vấn đề và sáng tạo ở học sinh.
Xét một số ví dụ sau
Bài tốn 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2, un1 

un2  4
với
4

n  1 .

Chứng minh (un) là dãy số không đổi.
Hƣớng dẫn: Hoạt động trải nghiệm: Tính u2 , u3, dự đoán un = ?
Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp quy nạp tốn
học, Ta có u2 = 2, dự đoán un = 2, chứng minh bằng quy nạp
Bài toán 11: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = u2 = 1, un 

un21  2
un  2

với n = 3,4, ..Chứng minh mọi số hạng của dãy (un) là dãy số nguyên.
Hƣớng dẫn: Hoạt động trải nghiệm: Tính u3, u4, tìm quan hệ giữa u1, u2, u3,
u4. Nhận thấy: u3 = 3, u4 = 11, xét quan hệ u1, u2, u3, u4, …u3 = 4u2 – u1
u4 = 4u3 – u2, dự đoán un = 4un-1 – un-2 . Chứng mimh bằng quy nạp
Thật vậy: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, uk = 4uk-1-uk-2
cần chứng minh uk+1 = 4uk – uk-1,ta có
uk 1 

uk2  2
 4uk  uk 1  uk2  2  (4uk  uk 1 )uk 1
uk 1

  4uk 1  uk  2   2  4uk .uk 1  uk21  4  4uk 1  uk  2  uk 1  uk21
2



uk21  2
 4uk 1  uk 2  uk  4uk 1  uk 2
uk  2
19


Vậy theo quy nạp ta có un = 4un-1 – un-2 (*), mà u1, u2 là các số nguyên là các
số nguyên và từ (*) do đó un là số nguyên.
Bài toán 12 (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An 2020 – 2021)
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1, un+1 = un2 – 2, n 



Chứng minh rằng: 5  u1.u2 ...un1   4 là số chính phương.
2

Hƣớng dẫn chứng minh
Cách 1: Từ un1  2  un2  4   un  2 un  2   un  2 

un 1  2
un  2

Lập luận tương tự ta có
u12  u2  2 

2
1

2
2

5.u .u ....u

2
n 1

u3  2 2
u 2
u 2
; u2  u3  2  4
;....un21  un  2  n 1
u2  2
u3  2
un  2


5  un2  4 
u 4
2
1

 4  un2   , ta có u1, u2, ….un-1, un là các số

nguyên, bài toán được chứng minh
Cách 2: Chứng minh bằng quy nạp toán học
Xét với k = 1, ta có
S1  5.u12  4  49  7 2  u22 ; giả sử đẳng thức (*) đúng với n = k nghĩa là
S k  5.u12 .u22 ....uk21  4 =u k2 , cần chứng Sk+1 là số chính phương.
Sk 1  5.u12 .u22 ....uk21.uk2  4 =(u k2  4)uk2  4   uk2  2 

2

Bài toán 13: Cho dãy số (un) xác định như sau
u1  1, u2  2, nun  2   3n  1 un 1  2  n  1 un  3 n 



Chứng minh rằng S=  u1  2  22016  1 chia hết cho 24.
2016
n 1

Hƣớng dẫn chứng minh
Từ hệ thức trên ta có
un  2  2un 1   n  1  3 

n 1
 un1  2un  n  3 , n  1, 2,....
n

Đặt vn  un1  2un  n  3  vn1  un2  2un1  (n  1)  3
vn 1 

n 1
n
n 1
3
vn  vn 
vn 1 ; vn 1 
vn  2 ,....v3  v2 , v2  2v1
n
n 1
n2
2
20


Từ đó ta có vn  2n  un 1  2un  3  n  1  , khai thác bài toán 3 phần
trên của đề tài , đặt un  c.2n  an  b n 



, xác định được a = -3, b = 0, từ

n

u1 = -1, ta có un = 2 – 3n
2016

u
n 1



n

 2  22016  1  2  22  ...  2 2016  3(1  2  3  ....  2016)  2(2 2016  1)

3.2017.2016 4
2.
2

Chủ đề 3: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thơng qua
các bài tốn ứng dụng dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân vào thực tiễn cuộc
sống
Giúp học sinh ơn tập, nắm vững kiến thức. Có khả năng vận dụng các kiến
thức, kỹ năng vào cuộc sống, cơng việc. Có ý thức trách nhiệm với gia đình, xã
hội; ý thức nâng cao chất lượng, hiệu quả công việc.
Xác định chủ đề 3 là trọng tâm của đề tài, giáo viên tổ chức cho học sinh
hoạt động trải nghiệm, phân tích khám phá, giải quyết vấn đề của thực tiễn cuộc
sống.
Bƣớc 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn: Sử dụng các mơ hình
tốn học (gồm các cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ..) để mơ tả các tình
huống đặt ra trong bài tốn thực tiễn, xác định yếu tố cần tìm của bài tốn, …
Bƣớc 2: Phân tích khám phá
+ Giải quyết vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập.
+ Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế.
Việc tập dượt cho học sinh quy trình giải bài tốn thực tiễn sẽ tạo cơ hội cho
học sinh được rèn luyện, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông
qua các bước thực hiện.
Học sinh sẽ học được cách tiếp cận vấn đề, hiểu đúng vấn đề, biết diễn đạt

bằng ngơn ngữ tốn học thích hợp, thực hiện cách giải quyết vấn đề, dữa vào kinh
nghiệm thực tế và của bản thân để đánh giá lựa chọn cách giải quyết vấn đề phù
hợp với thực tiễn. Biểu hiện sự sáng tạo của mỗi cá nhân.
Xét các bài toán minh họa
Bài tốn 1: Một cơng ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho
các kỹ sư theo phương án sau
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 9 triệu đồng / quý, và kể
từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,6 triệu đồng/ mỗi quý.
Hãy tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty.
21


Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Bài tốn tính tổng tiền lương sau 3 năm của một kỹ sư
+ Sử dụng cấp số cộng
Bước 2: Phân tích khám phá
+ Tiếp cận đúng vấn đề cần giải quyết, diễn đạt bằng ngơn ngữ tốn học
Bước 3: Thực hành luyện tập
+ Ký hiệu un (triệu đồng) là mức lương của người kỹ sư ở quý làm việc thứ n
cho công ty. Theo giả thiêt bài tốn ta có
u1 = 9, và un+1 = un+ 0,6 với mọi n lớn hoặc bằng 1; do đó un là cấp số cộng
với cơng sai d = 0,6.
Một năm có 4 quý, nên 3 năm có 12 quý, như vậy theo yêu cầu của bài toán
ta cần tổng 12 số hạng đầu của cấp số cộng (un), ta có u12 = 9 + (12-1).0,6 = 15,6,
S12 

12  9  15, 6 
 147, 6 ( triệu đồng)
2

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán 2
Bài toán 2: Khi ký hợp đồng lao động dài hạn với các kỹ sư được tuyển
dụng, công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự
lựa chọn, cụ thể:
- Ở phương án thứ nhất: Người lao động sẽ được nhận 36 triệu đồng cho năm
làm việc đầu tiên, và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3
triệu đồng mỗi năm
- Ở phương án 2: Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý làm
việc đầu tiên, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 500.000
đồng mỗi quý.
Nếu em là người ký hợp đồng lao động với công ty liên doanh A thì em sẽ
chọn phương án nào ?
Bài tốn 3: Một người trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau:
Hàng thứ nhất có một cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây, …..
Hỏi có bao nhiêu hàng cây được trồng như thế ?
Hƣớng dẫn giải: Gọi un là số hàng cây trồng ở hàng thứ n, theo đề bài ta có
u1  1, u2  2, u3  3,... , dễ thấy

un là cấp số cộng với số hạng đầu là , công sai d
= 1. Giả sử với 3003 cây trồng được n0 hàng . Khi đó ta có
 2u1   n0  1 d  n0
 3003  n02  n0  6006  0  n0  77
2

Vậy có 77 hàng cây được trồng.

22


Bài toán 4: Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 05 năm 2021.

Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3,850000 đồng để làm quà sinh nhật cho
chính mình nên An quyết định bỏ ống heo 2000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm
2021. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau An bỏ ống heo nhiều hơn ngày trước
1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày
30 tháng 04 năm 2021)?
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Mô tả bài tốn bằng ngơn ngữ tốn học, lựa chọn cách giải quyết vấn đề
bằng cấp số nhân
Bước 2: Phân tích và khám phá
Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 05 năm 2021 ... Số tiền bỏ
ống heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1  2000 và
cơng sai d  1000 .
+ Sử dụng cấp số cộng
Bước 3: Thực hành và luyện tập
Số ngày An bỏ ống heo gồm 28 ngày của tháng 2, 31 ngày của tháng 3, 30
ngày của tháng 4 nên n = 28 + 31+ 30 = 89.
Tổng số tiền An bỏ ống heo tính đến ngày thứ 89 là:
S89  u1  u2  ...  u89 

89  2u1   89  1 d 
2



89  2.2000   89  11000 
2

 4094000 (đồng)

Bài toán 5: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiết kiệm theo

thể thức có kỳ hạn: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi khơng đến rút tiền
thì tồn bộ số tiền (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như
kỳ hạn mà người gửi đã gửi (Thể thức này thường gọi là “thể thức lãi kép”)
Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kỳ hạn một tháng vào ngân hàng
nói trên và giả sử lãi suất của kỳ hạn này là 0,7%
a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút
tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu ?
b) Cũng câu hỏi trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là một năm sau kể từ
ngày gửi.
Bƣớc 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Sử dụng cấp số nhân, mơ tả bài tốn thực tế bằng ngơn ngữ tốn học
+ Tìm hiểu lãi kép, lãi kỳ hạn 0,7%
Bước 2: Phân tích khám phá
+ Tính số tiền (cả gốc và lãi) của tháng thứ nhất. Gọi u1 là số tiền (cả gốc và
lãi của tháng thứ nhất), thiết lập cấp số nhân
Bƣớc 3: Thực hành và luyện tập
23


Gọi u1= 107(1+0,007) = 107.1,007 là số tiền (bao gồm cả gốc và lãi), với lãi
suất kỳ hạn 7%; ta có cấp số nhân với u1, cơng bội q = 1,007; theo công thức tổng
quát của cấp số nhân ta có u6  107.1, 007.(1, 007) 6  10, 427, 419 đồng;
u12  107 (1, 007).1, 00711  10,873,107 đồng.
Bài toán 6: Một người lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đồng/tháng. Cứ 3
năm anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta nhận
được bao nhiêu tiền.
Bƣớc 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Sử dụng cấp số nhân, mơ tả bài tốn bằng ngơn ngữ toán học (3 năm liên
tục lương tăng 7%, …)
Bước 2: Phân tích khám phá

+ Gọi u1 là số năm từ năm 1 đến năm 3; thiết lập cấp số nhân
+ Tính tổng cấp số nhân đó
Bƣớc 3: Thực hành và luyện tập
Từ đầu năm thứ 1 đến hết năm thứ 3, anh ta nhận được u 1 = 700.000 x 36, từ
năm thứ 4 đến hết năm thứ 6, anh ta nhận được u2 = 700.000(1+7%)x36. Từ năm
thứ 7 đến hết năm thứ 9, anh ta nhận được u3 = (700,000)(1+7%)2x36, …
Từ đầu năm 34 đến hết năm 36 anh ta nhận được số tiền là
u12 = 700.000.(1+7%)11x36.
Vậy số tiền sau 36 năm anh ta nhận được là:
1  1  7% 
u1  u2  u3  ...  u12  700.000.36.
 450.788.972
1  1  7% 
12

Bài toán 7: Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người. Biết rằng tỉ lệ
tăng dân số hàng năm của thành phố A là 2%. Hỏi dân số của thành phố A sau 3
năm nữa sẽ là bao nhiêu.
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Mơ tả bài tốn bằng ngơn ngữ tốn học, lựa chọn cách giải quyết vấn đề
bằng cấp số nhân
Bước 2: Phân tích và khám phá
+ Sử cơng thức un của cấp số nhân, tìm dân số của thành phố A sau 3 năm
Bước 3: Thực hành và luyện tập
+ Gọi u1 = 3.106 là dân số hiện nay của tỉnh A, tỉ lệ tăng dân số của tỉnh A là
2%; ta có cấp số nhân với u1, công bội q = 1+0,02, theo công thức tổng quát của
cấp số nhân ta có un = 3.106(1+0,02)n, u3 = 3.106.(1+0,02)3 = 3.243.624 người.
24

Bài toán 8: Chu kỳ bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày
(nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của ngun tố đó chỉ cịn một nữa). Tính chính
xác đến hàng phần trăm khối lượng cịn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày.
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Mơ tả bài tốn bằng ngơn ngữ toán học, lựa chọn cách giải quyết vấn đề
bằng cấp số nhân
Bước 2: Phân tích và khám phá
+ Sử công thức un của cấp số nhân,
Bước 3: Thực hành và luyện tập
+ Gọi un (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kỳ bán
rã. Ta có 7314 ngày có 53 chu kỳ bán rã. Do đó ta cần tìm u53
+ Từ giả thiết bài tốn ta có cấp số nhân (un) với số hạng đầu là u1 = 10, công
52

1
1
bội q  , do đó u53  10.    2, 22.1015 (gam)
2
2

Bài toán 9: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt
trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện
tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp(có diện tích là 12.288m 2).
Tính diện tích mặt trên cùng.
Bước 1: Hoạt động trải nghiệm
+ Mơ tả bài tốn bằng ngơn ngữ tốn học, lựa chọn cách giải quyết vấn đề
bằng cấp số nhân.
Bước 2: Phân tích khám phá
+ Gọi u1 là diện tích tầng 1, thiết lập cấp số nhân với số hạng đầu u 1, cơng
bội q, cần tìm u11

Bước 3: Thực hành và luyện tập
+ Diện tích bề mặt của mỗi tầng lập thành cấp số nhân có cơng bội q 
u1 

1
và
2

12288
6144
 6144 , khi đó diện tích bề mặt trên cùng là u11  u1.q10  10  6
2
2

Tương tự hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 10: Tế bào Coli trong điều kiện ni cấy thích hợp cứ 20 phút lại
phân đôi một lần.
a) Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào ?
b) Nếu lúc đầu có 1012 tế bào thì sau 3h sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào ?
25