Hướng dẫn học sinh giải các bài toán liên quan đến hàm số có sử dụng đồ thị của hàm số , nhằm nângcao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC
BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ CĨ SỬ
DỤNG
′
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ F ( X )

Người thực hiện: Lê Văn Hùng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán



I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây trường THPT Hậu Lộc 2 có rất nhiều chuyển
biến tích cực về chất lượng giáo dục mũi nhọn cũng như đại trà, được thể hiện
qua các kỳ thi như kỳ thi Học sinh giỏi cấp Tỉnh các môn văn hóa; kỳ thi Tốt
nghiệp THPT. Kết quả đạt được như trên là do sự lãnh chỉ đạo của Chi bộ, ban
giám hiệu Nhà trường thông qua một số công việc như: Bồi dưỡng, nâng cao
năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên; Ứng dụng công nghệ thông tin
trong các tiết dạy; sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học; phát
động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm; nghiên cứu các đề tài khoa học ứng
dụng; tổ chức các hoạt động ngoại khóa; vận dụng kiến thức liên môn để giải
quyết các vấn đề thực tiễn; dạy học tích hợp qua các tiết dạy; … Một yếu tố
khơng thể thiếu đó là sự nhiệt tình ủng hộ của toàn thể cán bộ giáo viên trong

trường; sự hăng say nghiên cứu khoa học của đội ngũ giáo viên; …
Đối với mơn Tốn, trong những năm gần đây hình thức thi có sự thay đổi
dẫn đến có rất nhiều đơn vị kiến thức giáo viên cần phải học tập, bồi dưỡng đổi
mới phương pháp thì mới đạt được hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học
sinh. Vì vậy mỗi giáo viên cần phải trau dồi kiến thức và phương pháp mới để
cho bài giảng trực quan, sinh động hơn nhằm gây hứng thú cho học sinh để các
em dễ tiếp cận hơn với những kiến thức mới. Qua đó có thể phát triển tư duy
Tốn học một cách toàn diện hơn
Sử dụng bảng biến thiên và đồ thị của hàm số để giải
quyết các bài toán liên quan đến hàm số đang là một xu hướng
mới trong dạy học, chiếm một số lượng không nhỏ các câu hỏi
trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT những năm gần đây cũng đã
gây khơng ít khó khăn cho học sinh THPT đặc biệt các bài Toán
sử dụng bảng biến thiên và đồ thị của hàm số đạo hàm càng
khó khăn gấp bội đối với học sinh. Qua thực tế giảng dạy tơi
nghĩ rằng nếu mình hệ thống lại các dạng bài tập và đưa ra
phương pháp giảng dạy phù hợp tơi tin rằng sẽ có nhiều học
sinh vượt qua được rào cản này và dần tự tin hơn khi gặp các
bài Tốn dạng này. Với lý do như vậy, tơi mạnh dạn chọn đề tài
“Hướng dẫn học sinh giải các bài Tốn liên quan đến hàm
′
số có sử dụng đồ thị của hàm số f ( x ) , nhằm nâng cao
chất lượng ơn thi Tốt nghiệp THPT”
2.2. Mục đích nghiên cứu
- Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị hàm số của hàm số
′
- Giải các bài tốn có sử dụng đồ thị của hàm số f ( x )
2.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các dạng toán về hàm số có liên quan đến đồ thị
- Học sinh lớp 12A2, 12A8 trường THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa

2.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan.
- Phương pháp điều tra, thống kê, phân tích.
3


- Quan sát tìm hiểu thực tế học tập của học sinh.

4


II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên hầu hết chúng
ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức
vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm
hành động nhất định nào đó.
Trong hoạt động dạy học nói chung thì kỹ năng được thể hiện qua phương pháp
dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình... Trong mơn tốn ngồi
những kỹ năng chung về dạy học nó cịn được thể hiện qua những yếu tố đặc thù
của bộ mơn chẳng hạn: kỹ năng giải tốn, kỹ năng tính toán... kỹ năng đọc đồ thị
của hàm số rồi liên hệ với các kiến thức liên quan đến đạo hàm cũng là một kỹ
năng khơng phải ngoại lệ mà cịn có xu hướng khai thác nhiều hơn trong đề thi
các năm gần đây.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi cho lớp 12A2 và 12A6
trường THPT Hậu Lộc làm một đề kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu trong 15
phút và thu được kết quả như sau
Điểm
Lớp Sĩ số

0 - <3
3 - <5
5 - <7
7 - <9
9 - 10
12A2
38
6
15
12
5
0
12A8
39
12
20
6
1
0
Trước thực trạng như vậy tôi cảm thấy cấp thiết phải có phương pháp mới để
nâng cao chất lượng đại trà cho học sinh ở trường THPT Hậu Lộc tơi đã đưa
sáng kiến của mình vào nghiên cứu tại lớp 12A2.
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ
* Định lý về tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K .
′
a) Nếu f ( x ) > 0 ∀x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .

′

b) Nếu f ( x ) < 0 ∀x ∈ K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K .
Chú ý: Đồ thị của hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) là một đường đi lên
trên khoảng đó, đồ thị của hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) là một

đường đi xuống trên khoảng đó (theo chiều từ trái sang phải)
* Định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h; x0 + h ) và có đạo
hàm trên K hoặc trên K \ { x0 } , với h > 0.
′
′
a) Nếu f ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ( x ) < 0 trên khoảng

( x0 ; x0 + h )

thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x ) .

5


′
b) Nếu f ( x ) < 0 trên khoảng
( x0 ; x0 + h )

( x0 − h; x0 )

và

f ′ ( x ) > 0 trên khoảng

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) .

Chú ý: Điểm x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) khi và chỉ khi đạo hàm
đổi dấu khi qua điểm x0
- Điểm x0 là điểm cực đại khi đạo hàm đổi dấu từ “+” sang “-“, là điểm cực
tiểu khi đạo hàm đổi dấu từ “-“ sang “+”
* Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số
′
Cho hai đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) và ( C ) : y = g ( x ) . Số nghiệm của
′
phương trình f ( x ) = g ( x ) bằng số giao điểm của hai đồ thị ( C ) và ( C )
3
2
* Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 )

a>0

a<0
y

y

Phương trình y′ = 0
có hai nghiệm phân
biệt

x
O

x

y

y

Phương trình y′ = 0
có nghiệm kép

x
O

x
O

y

y
x

Phương trình y′ = 0
vô nghiệm

O

x
O

4
2
* Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )
a>0
a<0

y

Phương trình y′ = 0
có ba nghiệm phân
biệt

y

x
O

x
O

6


y

y
x

Phương trình y′ = 0
có một nghiệm

O

x
O

2.3.2. Một số ví dụ cụ thể

′
Bài toán 1: Cho đồ thị của hàm số y = f ( x ) . Xét tính đơn điệu và tìm cực
trị của hàm số f ( x ) .
Phân tích bài tốn: Bài tốn này đối với học sinh có học lực khá giỏi thì quả là
khá đơn giản nhưng đối với những học sinh có học lực trung bình và yếu thì đây
là một bài tốn khơng hề đơn giản. Vì vậy để học sinh tiếp cận được dạng này
giáo viên cần chỉ rõ phương pháp tư duy cho từ dạng tốn.
′
+) Để xét tính đơn điệu của hàm số f ( x ) ta phải “Tìm x để f ( x ) > 0,
f ′ ( x ) < 0, f ′ ( x ) = 0 ” giáo viên cần nhắc lại khi đồ thị nằm ở miền nào thì

f ′ ( x ) > 0 , nằm ở miền nào thì f ′ ( x ) < 0 , khi nào thì f ′ ( x ) = 0
+) Đối với câu hỏi “Chỉ ra điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, và đồ thị hàm số”
′
giáo viên chỉ ra đồ thị hàm số f ( x ) như thế nào thì hàm số đạt cực đại, cực
tiểu.

′
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ , có đồ thị hàm số f ( x ) như
hình vẽ sau:
y

O

-

x

-

a) Hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào?
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào?

Phân tích bài tốn: Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng ( −∞; −2 ) đồ thị hàm số
f ′ ( x ) nằm phía dưới trục hoành nên f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ; trên khoảng

( −2;1)

′
′
và ( 1;+∞ ) đồ thị hàm số f ( x ) nằm phía trên trục hồnh nên f ( x ) > 0 .
′
Đạo hàm f ( x ) = 0 tại x = −2; x = 1 nhưng đạo hàm chỉ đổi dấu chỉ qua x = −2 .
Lời giải:

7


′
a) Dựa vào đồ thị ta có f ( x ) < 0 ⇔ x < −2 nên hàm số nghịch biến trên khoảng
( −∞; −2 ) ; f ′ ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −2;1) ∪ ( 1; +∞ ) và tại x = 1 ta có f ′ ( x ) = 0 nên hàm
số đồng biến trên ( −2; +∞ ) .
′
b) Dựa vào đồ thị ta có f ( x ) từ âm sang dương khi qua x = −2 nên hàm số đạt
cực tiểu tại x = −2 .
Lời bình: Đây là bài toán mở đầu để học sinh làm quen với cách đọc đồ thị
′

hàm số f ( x ) . Để học sinh hình thành và nắm vững hơn nên tơi đã cho thêm
một ví dụ tương tự như sau
′
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ , đạo hàm f ( x ) có đồ thị như
hình vẽ dưới đây

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
b) Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải:
Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên như sau:
x
−∞
−2
+∞
y′

y

−

0

+

0

3

1

−

0

f ( 1)

+∞
f ( −2 )

+
+∞

f ( 3)

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −2;1) và ( 3;+∞ )
b) Hàm số đã cho có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu nên có 3 điểm cực
trị
Lời bình: Qua hai ví dụ này học sinh đã phần nào nắm được kiến thức để học
sinh nắm vững hơn tơi đã đưa thêm ví dụ như sau:
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) có đồ thị f ′( x) như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số f ( x) là

8


a) Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số f ( x ) .
b) Tìm số điểm cực trị của hàm số f ( x )
Lời giải:

′

Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta có bảng biến thiên như sau:
x
y′

y

−∞

−1
+ 0

5
4
0

−

3
0

−

+∞
+
f ( −1)

+∞
f ( 3)

−∞

a) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;3)
b) Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và đạt cực tiểu tại điểm x = 3 nên hàm số có 2
điểm cực trị.
Lời bình: Qua bài toán này học sinh đã làm quen với việc đọc đồ thị của hàm
số đạo hàm để giải quyết một số bài toán đơn giản. Từ đây giáo viên mở rộng
bài tốn này đối với hàm số hợp đơn giản
Ví dụ 4: (Mở rộng từ Ví dụ 1). Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ , có đồ

′
thị hàm số f ( x ) như hình vẽ sau:

y

O

-

x

9


Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số
g ( x) = f ( 1 − x)
Phân tích bài tốn: Đối với bài tốn dạng hàm hợp giáo viên cần hướng dẫn
′
học sinh tính đạo hàm và giải phương trình f ( u ) = 0 .

′

′
Lời giải: Ta có g ( x ) = − f ( 1 − x )
1 − x = −2
x = 3
g′ ( x ) = 0 ⇔ 
⇔
1 − x = 1
x = 0
′
′
Ta có g ( x ) > 0 ⇔ f ( 1 − x ) < 0 ⇔ 1 − x < −2 ⇔ x > 3
Bảng biến thiên
x
0
−∞
+∞
0
− 0
−
+
g′( x )
g ( x ) +∞
+∞
g ( 0)
g ( 3)

3

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;3) , đồng biến trên khoảng ( 3;+∞ )
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

Lời bình: Đối với học sinh khi làm bài này giáo viên cần biết học sinh đang
gặp khó khăn ở phần nào? Vì vậy để học sinh giải quyết được thì giáo viên
cần hướng dẫn tỉ mỉ một số phần sau:
- Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
′
- Cách giải phương trình f ( u ) = 0
- Xét dấu đạo hàm
Qua ví dụ này ta dần nâng độ khó của bài tốn, ta có ví dụ thứ 5 như sau:
′
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và hàm số y = f ( x ) có đồ thị
như hình vẽ. Tìm khoảng nghịch biến và số điểm cực trị của hàm số
g ( x ) = f ( x 2 − 3)
.
y

O

-

x

-

Phân tích bài tốn: Cũng như bài tập trên ta cũng làm bài này bằng cách lấy
đạo hàm của hàm số hợp rồi xét dấu đạo hàm suy ra kết quả
10


Lời giải:
x = 0

x = 0
 2
2
g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( x − 3) ; g ′ ( x ) = 0 ⇔  x − 3 = −2 ⇔  x = ±1

 x2 − 3 = 1
 x = ±2

Ta có
′
Do x = 1 là nghiệm kép của phương trình f ( x ) = 0 nên x = ±2 là các nghiệm
kép của phương trình y′ = 0

Bảng biến thiên
x
−∞
+∞
y′

y

−2

−
+∞

−1

0 −

0

0
+ 0

1

− 0

+ 0

g ( 0)
g ( −2 )

g ( 2)
g ( −1)

2
+
+∞

g ( 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , đạt cực tiểu tại x = −1 và x = 1 suy ra hàm số có 3
điểm cực trị.
Lời bình: Bài tốn này có thể mở rộng thêm bằng cách cho hàm số hợp phức
tạp hơn nữa.
′
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y = f ( x ) như

1
g ( x ) = f ( x ) − x 2 − 3x
2
hình vẽ. Xét hàm số
.
y

x
-

O

a) Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số g ( x )
b) Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x )
Phân tích bài tốn: Bài tốn này có mức độ khó hơn nhiều so với bài tốn ở ví
dụ 1 và ví dụ 2. Tuy nhiên nếu dạy cho học sinh lối tư duy nâng cao dần thì học
sinh sẽ phán đoán được cách giải, tạo sự hứng thú, kích thích trí tị mị của học
sinh, cho học sinh thấy được vẻ đẹp của toán học.
′
′
′
′
Lời giải: Ta có g ( x ) = f ( x ) − x − 3; g ( x ) = 0 ⇔ f ( x ) = x − 3
11


y

x

O

-

 x = −2
f ′ ( x ) = x + 3 ⇔  x = 0
′
 x = 2
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = x + 3 ta có
Bảng biến thiên
x
0
−∞
−2
2
+∞
g′( x )
g ( x)

−

0

+

0

−

0

g ( 0)

+∞
g ( −2 )

+
+∞

g ( 2)

a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2 )
và ( 0;2 ) ; hàm số đồng biến trên các khoảng ( −2;0 ) và ( 2;+∞ )

b) Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại nên có 3 điểm cực trị
Lời bình: Qua các bài tốn này phần nào hình thành cho học sinh hệ thống
bài toán về hàm số, nâng cao tư duy về hàm số, khái quát được một số dạng
toán về hàm số. Từ đó có thể tự tìm hiểu thêm các bài tốn cùng dạng và ở
mức độ khó hơn nữa.
Bài tập tự luyện
′
Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số f ( x ) như hình vẽ sau:
y

x
-

O

a) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f ( x )

12


b) Tìm đạt cực đại, cực tiểu của hàm số f ( x )
c) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số
g ( x) = f ( 3 − x)
d) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số
h ( x ) = f ( x ) − x2 − 2x
′
Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số f ( x ) như hình vẽ sau:

a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số f ( x )
b) Tìm khồng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số
g ( x ) = f ( x 2 − 1)

′
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số f ( x ) . So sánh các giá trị của hàm số tại các
điểm đã chỉ ra
Phân tích bài tốn: Đối với dạng tốn này ngoài việc đọc được đồ thị hàm số
học sinh cần nhớ kỹ khái nệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng.
′
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y = f ( x ) như
1
g ( x ) = f ( x ) − x 2 − 3x
2
hình vẽ. Xét hàm số
. So sánh g ( 2 ) và g ( 4 ) .
y

x

-

-

O

Phân tích bài toán: Đối với dạng toán này trước tiên giáo viên cần hướng dẫn
học sinh xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên. Sau đó hướng dẫn học sinh vận
so sánh các giá trị của hàm số
13


′
′
′
Lời giải: Ta có g ( x ) = f ( x ) − x − 3 = f ( x ) − ( x + 3) .

 x = −2
⇔ x = 0

′
′
′
 x = 2
Khi đó: g ( x ) = 0 ⇔ f ( x ) − ( x + 3) = 0 ⇔ f ( x ) = ( x + 3)
.
Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ )
nên suy ra được g ( 2 ) < g ( 4 ) .

′
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ

3
Đặt h ( x ) = 3 f ( x ) − x + 3x . So sánh h ( −1) và h ( 1)
Lời giải

3
x ∈  − 3; 3 
Xét h ( x ) = 3 f ( x ) − x + 3x với
.
2
′
′
Ta có h ( x ) = 3 f ( x ) − 3x + 3 .

14


x = 0

h′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x 2 − 1 ⇔  x = ± 3 .
h( x)
Bảng biến thiên của hàm số

Vậy h ( −1) > h ( 1) .
Lời bình: Qua 2 ví dụ trên học sinh phần nào đã nắm được phương pháp các
giá trị của hàm số khi biết đồ thị hàm đạo hàm
′

Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ( x )
như hình vẽ.

Biết rằng f ( −1) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 6 ) . So sánh f ( −1) và f ( 6 )
Phân tích bài tốn: Đối với bài tốn này học sinh sẽ găọ nhiều khó khăn khi bài
toán cho thêm giả thiết f ( −1) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 6 ) , vì vậy giáo viên cần
hướng dãn kỹ cách khai thác giả thiết này.
Lời giải
′
Từ đồ thị hàm số f ( x ) ta có bảng biến thiên trên đoạn [ −1;6] như sau :

15


Quan sát bảng biến thiên ta thấy
Mặt khác vì f ( 3) > f ( 2 ) nên

min f ( x ) = f ( 2 )
[ −1;6]

.

f ( −1) − f ( 6 ) = f ( 2 ) − f ( 3) < 0 ⇔ f ( −1) < f ( 6 ) .
max f ( x ) = f ( 6 )
Vậy [ −1;6]
.
′
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ( x ) cắt trục Ox tại ba điểm có
hồnh độ a , b , c như hình vẽ. Chứng minh f ( c ) + f ( a ) − 2 f ( b ) > 0 .

y

x
a O b

c

Lời giải

′
Quan sát đồ thị ta có f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] suy ra hàm số y = f ( x ) nghịch biến
trên [ a; b ] suy ra f ( a ) > f ( b )
f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ b; c ] suy ra hàm số y = f ( x ) đồng biến trên [ a; b ] suy ra
f ( c) > f ( b)

f ( c ) + f ( a ) − 2 f ( b ) =  f ( a ) − f ( b )  +  f ( c ) − f ( b )  > 0
Vậy f ( c ) + f ( a ) − 2 f ( b ) > 0 .
Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên ¡ . Biết rằng đồ thị
′
hàm số y = f ( x ) như hình 2 dưới đây.

5

y

3

−1

O

1
−1

y
2

x

16


So sánh g ( 1) và g ( 2 )

′
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) liên tục trên đoạn
[ 0;5] và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trên đoạn [ 0;5] được cho như
hình bên.
y

1

3

−

O

−5

5−

3 5

x

Hãy so sánh f ( 3) , f ( 0 ) , f ( 5 )

′
Bài toán 3: Cho đồ thị của hàm số f ( x ) . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số.
′
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ.

Xét hàm số

g ( x) = f ( x) +

1 3 1 2
x + x − 2 x + 2018
4
8
. Tìm giá trị nhỏ nhất

của hàm số trên đoạn [ −3;1] .
Phân tích bài tốn: Đối với bài toán này cần chỉ rõ cho học sinh cách chuyển
phương trình về phương trình hồnh độ giao điểm của hai hàm số trong đó một
′
hàm là f ( x ) hàm còn lại là đồ thị của hàm số đã biết, từ đó suy ra giao điểm

của hai đồ thị và dấu của đạo hàm.

17


g′( x ) = f ′ ( x ) +

Lời giải: Ta có
3
1
h′ ( x ) = − x 2 − x + 2
4
4
với
.

3 2 1
x + x − 2 g ′ x = 0 ⇔ f ′ x − h′ x = 0
( )
( ) ( )
4
4
,

 x = −3
g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 0
 x = 1
Dựa vào hình vẽ ta được
, và
Từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 .

 g ′ ( x ) < 0

 g ′ ( x ) > 0

khi x ∈ ( −3;0 )
khi x ∈ ( 0;1)

.

Lời bình: Đây là một bài toán ở mức độ vừa phải tuy nhiên học sinh cần phải
hiểu rõ bản chất của bài tốn thì mới có thể tiếp tục nâng cao hơn kỹ năng
làm các bài toán nâng cao hơn. Từ bài tốn này có thể mở rộng cho các bài
tốn khác như sau
′
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ( x )
như hình vẽ.

Biết rằng f ( −1) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 6 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của hàm số trên [ −1;6]
Phân tích bài tốn: Đối với bài tốn này học sinh sẽ găọ nhiều khó khăn khi bài
toán cho thêm giả thiết f ( −1) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 6 ) , vì vậy giáo viên cần
hướng dãn kỹ cách khai thác giả thiết này.
Lời giải
18


′
Từ đồ thị hàm số f ( x ) ta có bảng biến thiên trên đoạn [ −1;6] như sau :

Quan sát bảng biến thiên ta thấy
Mặt khác vì f ( 3) > f ( 2 ) nên

min f ( x ) = f ( 2 )
[ −1;6]

.

f ( −1) − f ( 6 ) = f ( 2 ) − f ( 3) < 0 ⇔ f ( −1) < f ( 6 ) .
max f ( x ) = f ( 6 )
Vậy [ −1;6]
.
Lời bình: Bài tốn này đối với đồ thị hàm bậc bốn trùng phương thì thế nào?
Ta đi vào tìm hiểu ngay ví dụ tiếp theo
′
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ

3
Đặt h ( x ) = 3 f ( x ) − x + 3 x . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 − 3; 3 

trên 
3
x ∈  − 3; 3 
Lời giải: Xét h ( x ) = 3 f ( x ) − x + 3x với
.
2
′
′
Ta có h ( x ) = 3 f ( x ) − 3x + 3 .

2
′
Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = x − 1 trên cùng hệ trục tọa độ

19


x = 0

′( x ) = 0 ⇔ f ′( x ) = x2 − 1 ⇔  x = ± 3
h
Dựa vào đồ thị ta có:
.
h( x)
Bảng biến thiên của hàm số

(

)

(

)

max h ( x ) = h − 3 = 3 f − 3 , min h ( x ) = h

− 3 ; 3 



 − 3; 3 



( 3) = 3 f ( 3)

Vậy
.
Lời bình: Qua một số ví dụ phần nào giúp học sinh phát triển được tư duy
hàm số, đặc biệt là tư duy về đồ thị của hàm số. Từ đó có thể khái qt hóa để
giải quyết các bào tốn khó hơn.
Bài tập tự luyện:
′
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Hàm số y = f ( x ) có
đồ thị như hình vẽ dưới đây:

20


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ −1;0]
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên.
y

x
-

-

O

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x ) = f ( x ) − 4 x + 2021 trên
đoạn [ −2;1]
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Qua nghiên cứu và giảng dạy thực tế trên lớp và khảo sát chất lượng 12A2
trường THPT Hậu Lộc 2 và kiểm tra đối chứng với lớp không áp dụng phương
pháp này tôi thấy có hiệu qua được cải thiện rõ rệt như sau:
Điểm
Lớp
Sĩ số
0-<3
3-<5
5-<7
7-<9
9 - 10
12A2
38
2
8
9
15
4
12A8
39
10
16
11
2
0

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua công tác nghiên cứu và giảng dạy tôi nhận thấy phương pháp của tơi có
hiệu quả cho các em học sinh thuộc đối tượng trung bình và trung bình khá nên
tơi mạnh dạn đưa vào làm đề tài nghiên cứu để áp dụng đối với các lớp có nhiều
học sinh có học lực ở mức trung bình đến trung bình khá. Tuy nhiên, trong bài
này của mình cũng khơng thể tránh được hết mọi sai sót nên mong quy bạn đọc
21


thơng cảm và góp ý để bản sáng kiến kinh nghiệm của tơi dần được hồng thiện
hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn!
3.2. Kiến nghị
Xin đề xuất đến Nhà trường và các cơ quan quản lý giáo dục có nhiều hội thảo
khoa học hơn để nghiên cứu và đưa được những nghiên cứu khoa học của các
giáo viên có nhiều kinh nghiệm vào áp dụng rộng rãi trên các trường phổ thông
nhằm nâng cao chất lượng đạo tào hơn nữa.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
CƠ QUAN

Thanh hóa, ngày 08 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN do
chính bản thân mình viết, khơng sao
chép nội dung của người khác.
Người viết SKKN

Lê Văn Hùng

22

Tài liệu tham khảo
[1] Sách giáo khoa Giải tích 12
[2] Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao
[3] Sách BT giải tích 12
[4] Sách BT Giải tích 12 nâng cao
[5] Báo Toán học và tuổi trẻ
[6] Mạng Internet
[7] Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia mơn Tốn lần 1, 2 (Bộ GD&ĐT)
[8] Đề thi thử THPT Quốc Gia các trường trên toàn quốc

23