Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 4 giải một số bài toán về phương trình mặt cầu để đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 . LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Theo Luật giáo dục tại điều 27 có đề ra mục tiêu cho giáo dục phổ thông
là: "Giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí lực, thể chất, thẫm mĩ và
các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động, sáng tạo, hình
thành nhân cách con người" [5]. Hơn nữa còn nhấn mạnh các năng lực chun
mơn trong đó có năng lực tính tốn một trong những năng lực đặc thù của mơn
Tốn : 'Năng lực ngơn ngữ, Năng lực tính tốn, Năng lực tìm hiểu tự nhiên và
xã hội, Năng lực cơng nghệ, Năng lực tin học, Năng lực thẩm mỹ, Năng lực thể
chất) và các năng lực đặc biệt (năng khiếu")[4]. Và đặc biệt trong Nghị quyết
29-NQ/TW được hội nghị lần thứ tám Ban Chấp hành trung ương khóa XI thơng
qua ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện GD&ĐT, đáp ứng u cầu
cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng Xã
hội Chủ nghĩa và hội nhập quốc tế đã chú trọng: " Năng lực và kĩ năng thực
hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn" [4]. Vì vậy học sinh được học về mặt
cầu và phương trình mặt cầu trong Chương trình, SGK HH 12 có ba đối tượng
được nghiên cứu đó là: Đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Các em có thể vận
dụng từ bài học để biết về các tính chất của mặt cầu. Bởi trong đời sống hàng
ngày, chúng ta gặp rất nhiều những đồ vật có dạng hình cầu như: Quả bóng, quả
địa cầu....Từ đó các em có thể vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với từng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học;
bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh.
Theo công văn số 1318/BGDDT- QLCL của Bộ giáo dục và đào tạo chính
thức cơng bố phương án thi tốt nghiệp THPT năm học 2021. Bộ giáo dục và đào
tạo cũng đã cơng bố đề thi tham khảo bộ mơn Tốn học. Theo phương án thi đã
cơng bố, bộ mơn Tốn học sẽ tiếp tục được thi bằng hình thức thi trắc nghiệm
khách quan, nội dung đề thi gồm 10% chương trình lớp 11 và 90% chương trình
lớp 12 hiện hành. Đặc biệt theo cấu trúc đề thi mà bộ đã công bố thì trong đề thi

bài phương trình mặt cầu được đề cập trong cấu trúc đề thi này.
Bài tập về các bài toán dạng này trong sách giáo khoa và trong sách bài
tập rất ít, khơng phong phú tài liệu đề cập và bàn sâu đến dạng tốn phương
trình mặt cầu hầu như khơng có nhiều trên thị trường, vì thế học sinh khi học và
làm bài tập về dạng bài toán này rất lúng túng và làm sai nhiều. Vì hầu như học
sinh khơng nắm được các dạng tốn về phương trình mặt cầu và một số ứng
dụng của phương trình mặt cầu trong giải một số bài tốn hình học.
Để giúp học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 4 giải tốt một số bài
tốn về “phương trình mặt cầu” trong q trình học và ơn tập thi tốt nghiệp
THPT, tôi chọn đề tài: ''Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường
THPT quảng xương 4 giải một số bài tốn về " phương trình mặt cầu " để
đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT”.
1


1.2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh
có thể giải quyết các bài tốn liên quan đến bài tốn về " phương trình mặt cầu "
để đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT.
Tránh tình trạng khi các em gặp phải các bài tốn loại này là lúng túng và
không giải được. Giúp học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các
bài tốn về " phương trình mặt cầu " .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Là học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Quảng Xương 4
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
+) Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung
đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.

- Đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm và đề thi tham khảo của Bộ giáo dục
và đào tạo.
- Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 của Sở giáo dục và đào tạo Thanh
Hóa, đề thi khảo sát chất lượng khối 12 của các Trường THPT.
+) Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp .
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua
các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình Hình học 12 bài tốn ‘phương trình mặt cầu’ là một
nội dung rất quan trọng, bài toán này thường xuyên được được ra trong các đề
thi học kì và thi tốt nghiệp THPT.
2.2. Thực trạng của học sinh giải các bài tốn " phương trình mặt cầu "
trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Khi gặp các bài tốn liên quan đến bài tốn ‘phương trình mặt cầu’, một số
học sinh lúng túng, chưa biết cách giải, thường làm mị khơng có cơ sở tốn học.
- Khi gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘phương trình mặt cầu , một số
học sinh thường bỏ qua, hoặc khoanh chừng
- Trong quá trình soạn giảng bài tốn " phương trình mặt cầu " giáo viên chưa
đưa ra được hệ thống các bài toán dạng này một cách hệ thống và đầy đủ.
2.3. Các giải pháp thực hiện giải các bài tốn " phương trình mặt cầu "
nhằm giúp học sinh đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT
Triển khai đề tài trong buổi sinh hoạt tổ chun mơn để tất cả các đồng
chí giáo viên giảng dạy khối 12 trong tổ triển khai giảng dạy đồng loạt cho học
sinh khối 12 để đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT khi có các câu hỏi
ra vào bài tốn " phương trình mặt cầu "
2

(Hình ảnh triển khai chuyên đề:Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12
trường THPT quảng xương 4 giải một số bài tốn về " phương trình mặt cầu "
để đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT )
Cách thức triển khai:
- Đầu tiên khi tiếp cận các bài toán, giáo viên giúp học sinh nắm được
phương pháp giải, biết phải sử dụng công thức nào cho phù hợp. Sau đó lập sơ
đồ giải, sử dụng máy tính cầm tay bấm như thế nào để ra được đúng kết quả cần
tìm.
- Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán liên quan đến bài
tốn ‘phương trình mặt cầu , trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các
kiến thức về mặt trịn xoay, hệ tọa độ trong khơng gian. Sau đó giáo viên chọn
một số bài tốn điển hình để học sinh thực hành vận dụng [6].
Trong đề tài này, tơi xin đưa ra một số bài tốn tương đối đầy đủ về các
bài toán liên quan đến bài toán ‘phương trình mặt cầu ’ sát với thực tế đang
giảng dạy ở trường cũng như sát với chương trình ơn tập thi tốt nghiệp trung học
phổ thông 2021.
2.3.1. Kiến thức tốn có liên quan
- Các khái niệm về mặt trịn xoay hình học 12 [6]
- Các khái niệm hệ tọa độ trong khơng gian hình học 12 [7]
2.3.2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải
2.3.2.1. Các kiến thức cơ bản:
a. Phương trình mặt cầu:

3


Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 (1)
2

2

2

2
2
2
2
2
2
Dạng 2: x + y + z + 2ax+2by+2cz+d=0 ( a + b + c − d > 0 ) (2).

Khi đó: Mặt cầu có tâm I(-a; -b; -c), bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .
b. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:
Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng ( ∆ ) . Tính: d ( I , ∆ ) .
Nếu: d ( I , ∆ ) > R :( ∆ ) ∩ ( C ) = ∅ ;
Nếu d ( I , ∆ ) < R :( ∆ ) ∩ ( C ) tại 2 điểm phân biệt;
Nếu d ( I , ∆ ) = R : ( ∆ ) và ( C ) tiếp xúc nhau, ( ∆ ) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
c. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:
Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng
( P ) : Ax+By+Cz+D=0.
Aa+Bb+Cc+D
Tính: d ( I , ( P ) ) =
.
A 2 + B2 + C 2
Nếu:
1) d ( I , ( P ) ) > R :( P ) ∩ ( C ) = ∅ ;

(

2
2
2) d ( I , ( P ) ) < R :( P ) ∩ ( C ) là đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) )

)

với

H là hình chiếu của I trên (P).
Vậy đường trịn trong khơng gian có phương trình:
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2

 Ax+By+Cz+D=0
3) d ( I , ( P ) ) = R :( P ) , ( C ) tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I
trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C).
2.3.2.2 Các dạng tốn:
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước (dạng pt (2)):
Cách 1: Đưa về dạng 1
Cách 2: Kiểm tra điều kiện a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ⇒ tâm và bán kính.
Ví dụ:
Cho phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2m 2x − 4my+8m 2 − 4 =0 .Tìm điều kiện để
phương trình trên là phương trình mặt cầu. Khi đó tìm tập hợp tâm của họ mặt
cầu đó.
Lời giải:
Phương trình đã cho ⇔ ( x − m 2 ) + ( y − 2m ) + z 2 = m 4 − 4m 2 + 4
2

2

4

2
2
là phương trình mặt cầu ⇔ m − 4m + 4 = ( m − 2 ) > 0 ⇔ m ≠ ± 2

Khi đó tâm I ( m2 ;2m;0) . Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và: xI =

yI2
4
4


y2
Vậy tập hợp tâm I là parabol x = nằm trong mp(Oxy) bỏ đi 2 điểm:
4
M (2;2 2;0) và N (2; −2 2;0).
Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước
Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
- Biết tâm: tìm bán kính;
- Biết bán kính: tìm tâm;
- Chưa biết tâm và bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp
xúc với 2 mặt phẳng cho trước.... thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán
kính.
Bài 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)
với A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3).
Lời giải:
x y z
Phương trình mp(ABC): + + = 1 ⇔ x + y + z − 3 = 0
3 3 3
Bán kính mặt cầu: R = d ( I , ( ABC ) ) = 2 3 ⇒ Phương trình mặt cầu:

( x − 4)

2

+ ( x − 3) + ( x − 2 ) = 12
2

2

Bài 2:
Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có
5x − 4 y +3z + 20 =0
phương trình: 
tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16
 3x − 4 y +z − 8 =0
Lời giải:
Đường thẳng
(d) đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ
r
phương u = ( 2;1; − 2 ) .Gọi H là hình chiếu của I trên (d).
Ta có:
uuu
r r
 MI , u 
R


IH = d ( I , AB ) =
= 15
r

d
u
A
H
B
2

AB 
Suy ra bán kính mặt cầu R = IH + 
÷ = 17 .
2


2

Vậy phương trình mặt cầu:

( x − 2)

2

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 289 .
2

2

Bài 3:
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình
x −1 y − 2 z − 3
và

hai
mặt
phẳng
=
=
2
1
2
( P1 ) : x+2y+2z− 2 =0; ( P2 ) : 2x+y+2z −1=0. Lập phương trình mặt cầu có tâm
I nằm trên (d) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên.
5


Lời giải:
Do I ∈ ( d ) ⇒ I ( 2t + 1; t + 2;2t + 3)

Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng ⇔ d ( I , ( P1 ) ) = d ( I , ( P2 ) )
t = 0
8t + 9 = 9t + 9
⇔ 8t + 9 = 9t + 9 ⇔ 
⇔  −18
t =
8
t
−
9
=
−
9
t

−
9

17

2
2
2
Với t = 0 ⇒ I1 ( 1;2;3) ; R1 = 3 ⇒ ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9
Với t = −

18
3
 19 16 15 
⇒ I 2  − ; ; ÷; R2 =
17
17
 17 17 17 
2

2

2

19
16
15
9
⇒ ( S2 ) :  x + ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ =
17  

17   17  289

Chú ý:
Nếu ( P1 ) P( P2 ) :
1) d song song nhưng không cách đều ( P1 ) và ( P2 ) hoặc nằm trên ( P1 ) hoặc ( P2 )
: Khơng có mặt cầu thoả mãn.
2) d song song và cách đều ( P1 ) và ( P2 ) : Có vơ số mặt cầu thoả mãn.
3) d không song song, không nằm trên ( P1 ) và ( P2 ) : Có 1 mặt cầu thoả mãn.
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3;
1; 2),
C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2).
Lời giải:
 IA2 = IB 2
 2
2
Cách 1: Gọi I(x; y; z) ⇒  IB = IC ⇒ I ( 1;1;1) , R = IA = 2
 IC 2 = ID 2

Cách 2:
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax+2by+2cz+d=0( a2 + b 2 + c 2 − d > 0 )
Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
2a + 2b + d + 2 = 0
6a + 2b + 4c + d + 14 = 0

⇒
⇒ a = b = −1; c = −2; d = 2
−
2
a

+
2
b
+
4
c
+
d
+
6
=
0

2a − 2b + 4c + d + 6 = 0
Kết luận: Phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 4
Chú ý:
2

2

2

6


Bài tốn : Trong khơng gian Oxyz cho 3 điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và
mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi
qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Cách giải bài toán này tương tự như cách 1 của bài tốn trên.
Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu

Bài tốn 1:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tại điểm A
Cách giải:
uu
r
mp(P) đi qua A và nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến
Bài tốn 2:
Lập phương trình tiếp diện r(P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R
biết véc tơ pháp tuyến của (P) là: n = ( A; B; C )
Cách giải:
( P ) : Ax+By+Cz+D=0.
Aa+Bb+Cc+D
= R ⇒ Tìm được D suy ra phương trình
Có: d ( I , ( P ) ) = R ⇔
2
2
2
A + B +C
mp(P).
Chú ý:
Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:
- Biết ( P ) song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho
trước.
- Biết vng góc với 1 đường thẳng cho trước.
Bài tốn 3:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu
(S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa
đường thẳng (d) cho trước.
Cách giải:
- Xét đường thẳng (d) dưới dạng phương trình

tổng quát;
- Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua
(d);
- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mp(P).
Bài tốn 4:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết
(P) đi qua điểm C và:
1) Song song với đường thẳng (d) cho trước.
2) Vng góc với mặt phẳng (Q) cho trước.
Cách giải:
1) Gọi: ( Q ) = ( d ; C ) ; a = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ a đi qua A và song song với d nên có pt
xác định
Bài tốn trở thành viết phương trình mp(P) đi qua a và tiếp xúc với mặt cầu (S)
7


2) Tương tự như trên với: d đi qua A và vng góc với mp(Q).
Dạng 4: Đường trịn trong khơng gian
Bài tốn 1
Tìm tâm và bán kính của đường trịn là giao của 2 mặt cầu (S), (S') có tâm
lần lượt là I, I'; bán kính R, R'.
Cách giải:
- Đưa pt đường tròn là giao của 2 mặt cầu về pt đường tròn là giao của
mặt cầu (S) với một mặt phẳng (Q).
- Tâm của đường tròn là O = II '∩ ( Q ) ; Bán kính r = R 2 − d 2 ( I ; ( P ) ) .
Bài tốn 2
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn sau biết tiếp tuyến kẻ từ A
cho trước:
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R
( 1)


Ax+By+Cz+D=0

Cách giải:
Gọi B là tiếp điểm. Để ý rằng B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1).
Lại có: Tiếp tuyến AB của đường trịn đồng thời là tiếp tuyến của mặt cầu tâm O
nên:
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
⇒ AB ⊥ OB ⇒ AB .OB = 0 ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra toạ độ B ⇒ tiếp tuyến AB.
Dạng 5: Ứng dụng của mặt cầu giải một số bài tốn đại số
Bài 1:
Tìm m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm, hãy tìm nghiệm đó:
 x 2 + y 2 + z 2 =1
( 1)

2
x
−
y
+
2
z
=
m


Lời giải:
Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của:
mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 =1 , (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1
và mặt phẳng ( α ) :2 x − y + 2 z − m = 0
Do đó hệ (1) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và (α) tiếp xúc nhau
−m
m = 3
=1 ⇔ 
⇔ d ( O,(α ) ) = 2
2 + ( −1) 2 + 22
m = − 3
Với m = 3 nghiệm của hệ là hình chiếu vng góc H của O trên
(α1): 2x – y + 2z – 3 = 0
 x = 2t

Đường thẳng ∆qua O và vng góc với (α1) có phương trình  y = − t ( t ∈ R )
 z = 2t


8


1
2 1 2
⇒H  ; − ; ÷
3
3 3 3
Với m = -3. Gọi H’ là hình chiếu vng góc của O trên (α2): 2x – y + 2z + 3 = 0
 2 1 2
⇒H’  − ; ; − ÷

 3 3 3
2
1
2

Vậy khi m = 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là  x = ; y = − ; z = ÷
3
3
3

2
1
2

khi m = - 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là  x = − ; y = ; z = − ÷
3
3
3

 x + y + z = 3 ( 1)

Bài 2: Giải hệ phương trình:  x 2 + y 2 + z 2 = 3 ( 2 )
 3
3
3
 x + y + z = 3 ( 3)
Lời giải:
Mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 = 3 có tâm là gốc tọa độ O(0 ; 0 ; 0) bán kính R = 3
và mp(α): x + y + z – 3 = 0 tiếp xúc với nhau vì
−3

d ( O,(α ) ) =
= 3=R.
12 + 12 + 12
 x + y + z = 3 ( 1)
Do đó hệ phương trình  2
có nghiệm duy nhất
2
2
 x + y + z = 3 ( 2 )
Giá trị của t tương ứng với điểm chung của (α1) và ∆là t =

Dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = 1 và nghiệm này cũng thỏa (3). Vậy hệ đã cho
có nghiệm duy nhất x = y = z = 1
Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x 2 + y 2 + z 2 =1 . Tìm GTLN và GTNN của:
F = 2x + 2 y − z −9
Lời giải:
Xét mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 =1 , tâm O, bán kính R = 1 và mặt phẳng (α):
2x + 2 y − z − 9 = 0
 x = 2t

Đường thẳng ∆qua O và vng góc với (α) có phương trình  y = 2t ( t ∈ R ) giá trị
z = − t

1
tham số t tương ứng với giao điểm của ∆và (S) là t = ±
3
 2 2 1
 2 2 1
⇒∆và (S) cắt nhau tại 2 điểm: A  ; ; − ÷ và B  − ; − ; ÷
 3 3 3

 3 3 3

9


d ( A,(α ) ) =

4 4 1
+ + −9
3 3 3

=2;

d ( B,(α ) ) =

Lấy M(x; y; z) ∈(S), d ( M ,(α ) ) =

2x + 2 y − z − 9

Ln có

2 + 2 + ( −1)
2

2

2

4 4 1
− − − −9

3 3 3
2 + 2 + ( −1)
2

2

2

=4

1
= F
2
22 + 22 + ( −1) 3

d ( A,(α ) ) ≤ d ( M ,(α ) ) ≤ d ( B,(α ) ) ⇔2 ≤

1
F ≤ 4 ⇔6 ≤ F ≤ 12
3

2
1
;z= −
3
3
2
1
Fmax = 6 đạt khi x = y = − ; z = .
3

3

Vậy Fmin = 6 đạt khi x = y =

Bài tập vận dụng:
Bài 1:

2x − 2 y − z + 1=0
Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d): 
và mặt
 x + 2 y − 2 z − 4=0
cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y+m =0 . Tìm m để d cắt mặt cầu
(S) tại 2 điểm M, N sao cho MN = 9.
Bài 2:
Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + 2y + z + 5 = 0 và I(1; 2; -2):
a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu (C) và
mp (P) là đường trịn có chu vi bằng 8π
b) CMR; mặt cầu (C) nói trên tiếp xúc với (d): 2x - 2 = y + 3 = z.
c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C).
Bài 3:
 x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 9 ( S )
Cho điểm M(0; 2; 0) và đường trịn (C): 
 x+y+z =2
a) CMR: M nằm ngồi (C). Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C).
b) Từ M kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu (S). Tìm tập hợp các tiếp điểm.
Bài 4:
2
2
2
Cho mặt cầu (S): ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 3) = 5 và mp(P): x - 2y + 2z + 1 = 0

a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn. Lập phương trình
đường trịn (C) là giao tuyến và tìm tâm, tính bán kính của đường trịn đó.
b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tâm nằm trên mặt phẳng (Q):
x+y+z+3=0
Bài 5:
2
2
2
Cho 2 mặt cầu: ( S1 ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 3) = 5

10


( S2 ) : ( x − 3)

+ ( y + 5 ) + ( z + 1) = 20
a) CMR: Hai m/c cắt nhau, lập phương trình đường trịn giao tuyến của 2 m/c.
b) Tìm tâm và bán kính của đường tròn.
Bài 6:
2
2
2
Cho mặt cầu (S): ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 và mp(P): x - 4y - 3z +
5 = 0. Lập phương trình tiếp diện của (S) đi qua A(0; 1; 0) và vng góc với
mp(P).
 x2 + y2 + z 2 − 2x − 4 y − 6z = 0

Bài 7: Giải hệ phương trình: 3 x + 2 y − 2 z − 8 = 0
.
3 x + 3 y − 4 z −12 = 0


2

2

2

ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN:
Bài 1:
( S ) : I ( −2;3;0 ) , R = 13 − m ( m ≥ 13)
r
65
d : A ( 0;1; −1) ; vtcp a = 3 ( 2;1;2 ) , d ( I , d ) = 3, IM 2 = IH 2 + d 2 ( I , d ) ⇒ m = −
4
Bài 2:
a) Bán kính đường trịn r = 4, d ( I , ( P ) ) = 3 ⇒ R = 5
⇒ ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 25
2

2

2

b) d ( I , ( ∆ ) ) = 5 = R ⇒ đpcm
c) 2x - 11y + 10z - 35 = 0.
Bài 3:
a) Gọi tiếp điểm là H(x; y; z). Vì H thuộc (C) nên:
 x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 9 ( S )
(1)


 x+y+z =2
uuu
r uuuu
r uuu
r uuuu
r
Lại có: ⇒ IH ⊥ MH ⇒ IH .MH = 0 ⇔ x + y + z = 2 = 2 ( 2 )
 6 4 16 
Từ (1) và (2) có: H1 ( 2;0;0 ) ; H 2  − ; ; ÷⇒ pttt.
 7 7 7
b) Gọi T là 1 tiếp điểm nên T thuộc m/c (S) (1)
Lại có: MT = R 2 + MI 2 = 2 2 nên T thuộc m/c (S') tâm M, bán kính 2 2 có
pt:
2
x 2 + ( y − 2 ) + z 2 = 8 (2)
Từ (1) và (2) tập hợp T là giao của 2 m/c (S), (S') nên là mp có phương trình
 x 2 + ( y − 2 ) 2 + z 2 = 8

2 y − z = 0
11


Bài 4:
 5 −7 −11 
a) Đường tròn tâm H  ; ;
÷; r = 2
3 3 3 
b) Tâm J của m/c nằm trên đường thẳng IH ⇒ J = IH ∩ ( Q ) ⇒ J ( 3; −5; −1)
l = d ( J , ( P ) ) = 4 ⇒ bán kính m/c: R '2 = r 2 + l 2 = 20
Bài 5:

 ( x − 2 ) 2 + ( y + 3) 2 + ( z + 3) 2 = 5
a) R2 − R1 < I1I 2 < R2 + R1 ⇒ ĐPCM. Pt: 
 x − 2 y + 2 z + 1 = 0 ( α )
 5 −7 −11 
b) Tâm O = I1I 2 ∩ ( α ) ⇒ H  ; ;
÷; r = 2
3 3 3 
4 x + y − 1 = 0
Bài 6: Lập pt đường thẳng d đi qua A và vng góc với (P): 
3 x − z = 0
Bài toán trở thành lập pt mp đi qua d, tiếp xúc với (S).
Bài 7:
Nghiệm của hệ là tọa độ điểm chung của:
Mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0 và đường thẳng ∆:
3 x + 2 y − 2 z − 8 = 0

3 x + 3 y − 4 z −12 = 0
r
∆qua M(0; 4; 0) và có VTCP u = (-2; 6; 3)
 x = − 2t

⇒∆có phương trình tham số:  y = 4 + 6t ( t ∈ R )
 z = 3t

Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung của (S) và ∆là nghiệm của phương
trình:
t = 0
2
2
2

( −2t ) + ( 4 + 6t ) + ( 3t ) − 2 ( −2t ) − 4 ( 4 + 6t ) − 6.3t = 0 ⇔t = − 10
49

 20 136 30 
;− ÷
⇒∆và (S) có hai điểm chung A ( 0;4;0 ) và A  ;
 49 49 49 
 20 136 30 
;− ÷
Vậy hệ (3) có hai nghiệm ( 0;4;0 ) và  ;
 49 49 49 
2.4. Hiệu quả của một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường
THPT quảng xương 4 giải một số bài tốn về " phương trình mặt cầu " để
đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT.
- Đối với giáo viên : Đề tài này đã được triển khai tại tổ chuyên môn, và
được tất cả các đồng chí giảng dạy lớp 12 áp dụng trong ơn thi tốt nghiệp THPT.
12


- Đối với học sinh: Phần đa các em không cịn lúng túng khi gặp các bài
tốn liên quan đến bài tốn về " phương trình mặt cầu" . Tránh được kiểu làm
mò, khoanh bừa, hoặc bỏ trống.
- Kết quả
+ Đối với các lớp chưa triển khai đề tài
Lớp Sĩ số Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
9,0 - 10

6,5 – 8,0
5,0 - 6,4
3,5 - 4,9
dưới 3,5
12T 41
7 (1,7%)
14 (34 %)
15 (36,5 %) 5 (27,8 %)
0 (%)
12N 42
0 (0%)
14 (33 %)
18 (64,6 %) 10 (2,4 %)
0 (%)
12I 39
0 (0%)
20 (51,3 %) 12 (30,8 %) 7 (17,9 %)
0 (%)
+ Đối với các lớp đã triển khai đề tài : hướng dẫn học sinh lớp 12
trường THPT quảng xương 4 giải một số bài toán về " phương trình mặt cầu
"
Lớp Sĩ số Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
Điểm
9,0 - 10
6,5 - 8
5,0 - 6,4
3,5- 4,9

dưới 3,5
12B 41
29 (70,3 7 (17,7 %)
5 (12 %)
0 (0%)
0 (0%)
%)
12H 38
22 (58 %) 11 (29 %)
5 (13 %)
0 (0%)
0 (0%)
12G 42
28 (66,7 9 (21 %)
5 (12,3%)
0 (0%)
0 (0%)
%)
+ Đối với làm đề ( Cho HS làm đề Toán thi tốt nghiệp THPT ) và
đề thi khảo sát của một số Sở giáo dục.
Lớp Sĩ số Số HS làm được câu có HS khơng làm được câu có bài tốn
bài tốn “Phương trình “Phương trình mặt cầu”
mặt cầu”
12B 41
40 ( 90,2 %)
1 (9,8 %)
12H 38
35 ( 92 %)
3 ( 8 %)
12G 42

40 (95 %)
2 ( 5 %)
Qua kết quả đối chứng giữa nhóm các lớp chưa triển khai hướng dẫn giải các
bài tốn “Phương trình mặt cầu” và các nhóm lớp đã triển khai làm các bài tập
và làm đề đã cho thấy kết quả nâng lên rõ rệt.
Theo công văn 1318 của Bộ giáo dục tiếp tục thi trắc nghiệm đối với bộ
mơn Tốn [3], cho nên các câu hỏi trong một đề thi được “rãi đều” ở các bài, cho
nên nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn học sinh học tập thật kĩ. Đặc biệt là
soạn thảo được hệ thống bài tập đầy đủ, theo các mức độ, để các em tự tin và
chủ động khi làm bài, tiết kiệm thời gian tìm lời giải khi đi thi.
Số câu giải một số bài toán “Phương trình mặt cầu” trong đề thi THPT quốc
gia khơng nhiều, nhưng làm tốt các câu đó góp phần khơng nhỏ giúp học sinh
đạt kết quả cao trong kì thi quan trọng có tính chất quyết định trong cuộc đời
mỗi học sinh, đặc biệt khi chỉ cần 0,2 điểm quyết định đậu, trượt – thành, bại
của mỗi học sinh.

13


3. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sau khi áp dụng vào giảng dạy cho các em học sinh, đa số các em đều
thích thú học tập, hiểu và vận dụng tốt. Qua đó tơi nhận thấy các em tự tin hơn
trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến “Phương trình mặt cầu”.
3.2 Kiến nghị
Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực
phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là các sáng
kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa
học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh
được tham khảo.

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 05 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Nguyễn Văn Đương

14


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ đề minh họa, thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo
2. Các đề thi thử, các đề thi khảo sát chất lượng của các trường, các Sở giáo dục
trên tồn quốc
3. Cơng văn số Số: 1318/BGDĐT- QLCL: Hướng dẫn thực hiện Quy chế thi tốt
nghiệp THPT năm 2021
4. Nghị quyết 29-NQ/TW của hội nghị lần thứ tám Ban chấp hành Trung ương
khóa XI thơng qua ngày 4/11/2013
5. Luật giáo dục
6. Sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản và nâng cao, NXB giáo dục 2007
7. Sách giáo bài tập Hình học 12 cơ bản và nâng cao, NXB giáo dục 2007
8. Nguồn khác: Internet

15


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI TỪ LOẠI C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Đương
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Phó tổ trưởng chun mơn, trường THPT Quảng

Xương 4
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh
giá xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá xếp
loại

1

Ứng dụng hàm số ngược để giải
phương trình

Cấp Sở

B

2002-2003

2

Hướng dẫn học sinh lớp 10

Trường THPT Quảng Xương 4
giải phương trình vơ tỷ

Cấp Sở

C

2014-2015

3

Hướng dẫn học sinh lớp 12
trường THPT Quảng Xương 4
giải một số bài toán “Lãi kép”
để đạt kết quả cao trong kỳ thi
THPT quốc gia.

Cấp Sở

C

2017-2018

16


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12
trường THPT quảng xương 4 giải một số bài tốn
về " phương trình mặt cầu " để đạt kết quả cao
trong kì thi tốt nghiệp THPT.


Người thực hiện: Nguyễn Văn Đương
Chức vụ: Phó tổ trưởng chun mơn
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học

THANH HĨA, NĂM 2021

17