Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để giải bài toán về nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Từ năm 2017 đến nay, đã có 4 năm mơn Tốn được Bộ Giáo dục và Đào tạo
tổ chức thi THPT Quốc gia và thi Tốt nghiệp THPT bằng hình thức trắc nghiệm.
Trong 4 năm qua, thầy và trò trên cả nước đã dần làm quen và thích nghi với đề thi
trắc nghiệm mơn Tốn. Trong q trình học tập và giảng dạy, các thầy cô và các
em học sinh đã gặp rất nhiều khó khăn khi gặp phải nhiều bài tốn trắc nghiệm
hay, lạ và khó, đa dạng về hình thức, phong phú về nội dung. Một trong những bài
tốn khó là bài tốn về hàm số hợp như: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp, tìm
số điểm cực trị của hàm số hợp, tìm số nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp,
bài toán tương giao giữa đồ thị của các hàm số hợp v.v…
Hôm nay tôi xin trao đổi cùng đồng nghiệp về một trong các bài toán này
qua đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để
giải bài toán về nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm hướng dẫn
học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số, để giải được một
số bài toán về hàm số hợp thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và đề
thi Tốt nghiệp trung học phổ thông trong những năm gần đây.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài tập trung vào nghiên cứu các dạng toán và lời giải một số bài tốn về
nghiệm của phương trình có chứa hàm số hợp trong đề thi THPT Quốc gia và Tốt
nghiệp trung học phổ thơng mơn Tốn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi chủ yếu sử dụng phương pháp khảo
sát thực tế, thu thập thông tin và phương pháp thống kê, xử lý số liệu. Cụ thể các
bước nghiên cứu được tiến hành như sau:
Bước 1: Tìm hiểu, thu thập thơng tin các bài tốn về hàm số hợp có trong
các đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng như các đề thi thử của các trường
THPT trên toàn quốc.
Bước 2: Xây dựng nguồn đề và cho học sinh lớp 12 làm thử nghiệm.

Bước 3: Hướng dẫn cho học sinh các phương pháp giải.
Bước 4: Tổ chức thực nghiệm và kết luận về tính hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Khái niệm “Hàm số hợp” đã được học trong chương trình Đại số và Giải
tích lớp 11 vì vậy học sinh đã biết khái niệm và đạo hàm của hàm số hợp; chính vì
vậy các em có thể tính được đạo hàm của hàm số hợp và xét được tính đơn điệu
của hàm số hợp. Về đồ thị của hàm số, các em học sinh đã được học khái niệm,
cách vẽ, các phép biến đổi đồ thị cơ bản trong chương trình Đại số lớp 10 và các
bước khảo sát vẽ đồ thị của một số hàm cơ bản trong chương trình Đại số và Giải
tích lớp 12. Vì vậy về cơ sở lý thuyết, các em học sinh lớp 12 đã có đủ kiến thức
căn bản để giải các bài toán về đồ thị và về nghiệm của phương trình có chứa hàm
số hợp.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
1


Sau khi khảo sát học sinh lớp 12 về kiến thức hàm số hợp; làm bài khảo sát
về đồ thị hàm số hợp thì kết quả thu được rất đáng báo động. Đa số các em không
nhớ khái niệm về hàm số hợp, nhầm lẫn khi tính đạo hàm của hàm số hợp, không
phác họa được đồ thị của một số hàm số hợp đơn giản và hầu hết gặp khó khăn khi
giải các bài tốn ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về tương giao của đồ thị hàm
số hợp với trục hoành hoặc với đồ thị hàm số khác.
Kết quả khảo sát 43 học sinh lớp 12A2 và 40 học sinh lớp 12 A3 trường
THPT Triệu Sơn 1 như sau:
Số lượng
Nội dung câu hỏi
học sinh
trả lời đúng
Câu 1. Nhắc lại khái niệm hàm số hợp.

12
Câu 2. Nhắc lại cơng thức tính đạo hàm của hàm số hợp
25
Câu 3. Nhắc lại các phép biến đổi đồ thị cơ bản
08
Câu 4.(Câu 35. Mã 101 đề thi THPT Quốc gia năm học 20182019)
56
f ( x)
f '( x)
Cho hàm số
, bảng xét dấu của
như sau:

Hàm số

y = f ( 3 − 2x)

( 4; + ∞ ) .

A.

B.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( −2;1) .

C.

( 2;4 ) .

D.

( 1;2 ) .

Câu 5.(Câu 49. Mã 104 đề thi THPT Quốc gia năm 2017)
Cho hàm số
Đặt

y = f ( x)

. Đồ thị của hàm số

g ( x ) = 2 f ( x ) + ( x + 1)

y = f ′( x)

như hình bên

2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
02

2


A.

g ( 1) < g ( 3) < g ( −3 )

B.

g ( 3) = g ( −3) < g ( 1)

D.

C.

g ( 1) < g ( −3) < g ( 3)

g ( 3) = g ( −3) > g ( 1)

Qua đây cho thấy việc hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập lại lý thuyết và
luyện tập kỹ năng giải các bài toán về hàm số hợp là hết sức cần thiết và cấp bách.
Chính vì vậy tơi đã đề xuất với tổ chuyên môn và bản thân là người tiên phong
trong việc biên soạn và sưu tầm một số dạng toán về hàm số hợp để giảng dạy cho
học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp trung học phổ thơng; trong đó có bài tốn về
nghiệm của phương trình có chứa hàm số hợp.
2.3. Các sáng kiến đã áp dụng để giải quyết vấn đề
A. Kiến thức căn bản.
1. Khái niệm hàm số hợp.
Cho hai hàm số
bởi biểu thức

u ( x)

g ( x) = f ( u ( x ) )

y = f ( u)

và

u = u ( x)

, ta được biểu thức

. Thay thế biến

f ( u ( x) )

Cho hàm số

và

u = u ( x)

trong biểu thức

x

với biến . Khi đó, hàm số

với
được gọi là hàm số hợp của hai hàm số
hàm số trung gian.
2. Cách tính đạo hàm của hàm số hợp.
y = f ( u)

u

. Đạo hàm của hàm số hợp

f

và

u

; hàm

g ( x) = f ( u ( x ) )

g '( x) = f ' ( u ( x) ) .u '( x)

y = g ( x)

u

Cho hàm số
hàm số sau:
+

y= f ( x)

phần này qua trục
y = f ( x)

+

+

có đồ thị là đường (C). Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị của các

y= f ( x)

, sau đó lấy đối xứng

Ox

qua trục

Ox

Ox

, sau đó lấy đối xứng

.

: Thực hiện liên tiếp các bước như trên hai đồ thị trên.

y = f ( x + a)

theo trục

Oy

.

: Giữ nguyên đồ thị (C) phía bên trên trục

phần phía dưới trục
+

[2]

: Giữ nguyên đồ thị (C) phía bên phải trục
Oy

gọi là
[1]

được tính

theo cơng thức:
3. Một số phép biến đổi đồ thị cơ bản.
y = f ( x)

f ( u)

: Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái (khi

Ox a

a>0

) hoặc sang phải (khi

a<0

)

đơn vị.
3


+

y = f ( x) + a

theo trục
+
+

Oy a

y = f ( kx )

y = kf ( x )

4. Số n

: Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên (khi

: Co hoặc dãn đồ thị (C) theo trục

+ Số nghiệm của phương trình
với trục hồnh.

+ Số nghiệm của phương trình
y = f ( x)

với đồ thị hàm số

ti

f ( x) = 0

a<0

)

Ox k

Oy k

lần.
lần.

[3]

là số điểm chung của đồ thị hàm số

f ( x) = g ( x)

y = g ( x)

+ Số nghiệm của phương trình
u ( x ) = ti

) hoặc xuống dưới (khi

đơn vị.

: Co hoặc dãn đồ thị (C) theo trục
ghiệm của phương trình.

y = f ( x)

a>0

là số điểm chung của đồ thị hàm số

.

f ( u ( x) ) = 0

là tổng số nghiệm của các phương trình:
f ( t) = 0

(i = 1, 2,...)

với
là nghiệm của phương trình
.
B. Giải bài tốn nghiệm của phương trình có chứa hàm số hợp bằng cách sử
dụng đồ thị hoặc bảng biển thiên.
1. Dạng 1: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
f ( u ( x) ) = m

nghiệm của phương trình
Cách giải:
-Bước 1: Đặt
mỗi

t

u ( x) = t

x

t

và mối tương quan của

thuộc miền xác định)

- Bước 2: Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
t

y = f ( x)

t

vừa xác định được ta suy ra số nghiệm

Ví dụ 1:
Cho hàm số bậc ba

t

với

x

. (với

, ta tìm được số

nghiệm và miền xác định của nghiệm .
- Bước 3: Với mỗi nghiệm

. Tìm số

.

, tìm miền giá trị của

sẽ cho ta bao nhiêu giá trị

y = f ( x)

x

tương ứng.
[4]

y = f ( x)

có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm

thực phân biệt của phương trình

f ( x 3 f ( x) ) + 1 = 0

là

4


8

5

A. .

Lời giải

-

C. .

D. .

x = 0
 f ( x) = 0
 x 3 f ( x) = 0

 3

3
3
f ( x f ( x ) ) + 1 = 0 ⇔ f ( x f ( x ) ) = −1 ⇔  x f ( x) = a > 0 ⇔  f ( x) = a (do x ≠ 0)
x3
 x 3 f ( x) = b > 0


 f ( x) = b (do x ≠ 0)

x3

f ( x) = 0

có một nghiệm dương
f ( x) =

- Xét phương trình
- Với

4

6

B. .

x>c

⇒ g ( x) = 0

Mặt khác

k
x3

với

, nhìn hình ta thấy

x=c

.

x ≠ 0, k > 0

f ′( x) > 0

g ( x) = f ( x ) −

. Đặt

⇒ g ′( x) = f ′( x) +

k
3k
g ′( x) = f '( x) + 4
3
x
x

,

.

3k
>0
x4

có tối đa một nghiệm.
 g (c ) < 0
 lim g ( x) = +∞
 x→+∞

và

g ( x)

liên tục trên

( c; +∞ )
5


⇒ g ( x) = 0

- Với
-Với

có duy nhất nghiệm trên

0< x

x<0

⇒ g ( x) = 0

Mặt khác
⇒ g ( x) = 0

Tóm lại

f ( x) < 0 <

thì

k
x3 ⇒ g ( x) = 0

, nhìn hình ta thấy

f ′( x) > 0

.

vô nghiệm.

⇒ g ′( x) = f ′( x) +

3k
>0
x4

có tối đa một nghiệm.
 lim− g ( x ) > 0
x→0

g ( x) = −∞
 xlim
→−∞

và

g ( x)

liên tục trên

có duy nhất nghiệm trên

g ( x) = 0

( −∞;0 )

có đúng hai nghiệm trên
f ( x) =

Suy ra hai phương trình

c

( c; +∞ )

a

x3

f ( x) =

,

f ( x f ( x) ) + 1 = 0

( −∞;0 )

.

.

¡ \ { 0}

b
x3

.

có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác

3

. Vậy phương trình

Ví dụ 2. Cho hàm số

y = f ( x)

Số nghiệm thuộc khoảng

( 0; π )

có đúng 6 nghiệm.

có đồ thị như hình vẽ.

của phương trình

f ( sin x ) = −4

là
6


1

0

A. .
Lời giải:
- Đặt

2

B. .

sin x = t

, vì

C. .

t = t1 ∈ ( −1; 0 )
⇔
f ( t ) = −4
t = t2 ∈ ( 0;1)

So sánh với điều kiện ta lấy nghiệm
t = t2 ∈ (0;1)

nghiệm

x ∈ ( 0; π )

4

x ∈ ( 0; π ) ⇒ t ∈ (0;1]

- Xét phương trình:

- Với

D.

t = t2 ∈ (0;1)

ta có phương trình

sin x = t2

; dễ thấy phương trình này có 2

. Vậy chọn đáp án C.
y = f ( x)

m
¡
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Gọi
là
f ( f ( x) ) = 1
số nghiệm của phương trình
. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Ví dụ 3. Cho hàm số

A.

m=6

.

B.

m=7

.

C.

m=5

.

D.

m=9

.

Lời giải:
- Đặt

f ( x) = t

, ta thấy

- Xét phương trình:

t ∈ R.

t = t1 ∈ ( −1;0 )

f ( t ) = 1 ⇔ t = t2 ∈ ( 0;1)
t = t > 2
 3

7


f ( x ) = t1 ∈ ( −1;0 )

y = t1

y = f ( x)

y = t2

y = f ( x)

+) Xét
, ta có đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
f ( x ) = t2 ∈ ( 0;1)

+) Xét
, ta có đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
+) Xét

f ( x ) = t3 > 2

, ta có đường thẳng
1
nên phương trình có nghiệm.

y = t3

cắt đồ thị hàm số

y = f ( x)

Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là:
Ví dụ 4. Cho hàm số

y = f ( x)

Phương trình
1

A. .

tại

tại

3

3

1

tại điểm

m = 3 + 3 +1 = 7

.

có bảng biến thiên như hình vẽ

f ( 1 − 3x ) = 6

3

có bao nhiêu nghiệm âm?

B. .

0

2

C. .

D. .

Lời giải:
2

x=
1 − 3 x = −1 
3
⇔
⇔
1 − 3 x = 3

x = − 2
g ( x ) = f ( 1 − 3 x ) ⇒ g ′ ( x ) = −3 f ( 1 − 3 x ) = 0

3

Xét
Bảng biến thiên

.

8


f ( 1 − 3x ) = 6

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình
có một nghiệm âm.
Vậy chọn A.
Nhận xét: Dạng 1 là một dạng toán rất phổ biến và cũng rất thú vị; đây không
phải là một dạng tốn q khó, chỉ cần học sinh chịu khó rèn luyện một chút thì
các em hồn tồn có thể giải quyết được bài toán này. Sau đây là một số bài tập
tương tự.
Bài 1. Cho hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng

A.

24

.

Bài 2. Cho hàm số

B.
y = f ( x)

21

A. .

( 0; +∞ )

C.

liên tục trên

8

B. .

để phương trình

.

Số nghiệm phân biệt của phương trình

7

m

¡

[5]

25

5 f ( x2 − 4x ) = m

.

D.

20

có ít

.

và có đồ thị như hình bên.

f ( f ( x) ) = 1

là
9

C. .

6

D. .

9


f ( x)

Bài 3. Cho hàm số

liên tục trên

(

f 2+ f (e

nghiệm thực của phương trình

A. 1.

¡
x

y = f ( x)

liên tục trên

A.

.

( 0;ln 2)

B.

.

y = f ( x)

bao nhiêu giá trị ngun của
trên

m

D. 4.

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập
để phương trình

f ( ex ) = m

có nghiệm

.

( −3;3)

Bài 5. Cho hàm số

¡

như hình vẽ bên. Số

là

C. 3.

hợp tất cả các giá trị thực của tham số

( −3;0 )

)) =1

B. 2.

Bài 4. Cho hàm số

thuộc khoảng

có đồ thị

y = f ( x)

C.

( 0;3)

.

liên tục trên
m

D.
¡

[ −3;0]

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có

để phương trình

f ( 2log 2 x ) = m

có nghiệm duy nhất

1 
 2 ; 2 ÷

.

10


9

6

A. .

Bài 6. Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

Số giá trị nguyên của tham số
phân biệt là
5

m

B. .
y = f ( x)

C. .
¡

D.

4

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

để phương trình
4

A. .
Bài 7. Cho hàm số

5

B. .

8 f ( ex ) = m2 −1

7

C. .

có hai nghiệm thực
6

D. .

có bảng biến thiên như hình vẽ sau

11


Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
phân biệt
A.

m ∈ ( 1; 2]

.

m ∈ [ 1; 2 )

B.

.

C.

m

để phương trình

m ∈ ( 1; 2 )

.

D.

f ( x) − m = 0

m ∈ [ 1; 2]

2. Dạng 2: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
toán liên quan đến phương trình
Cách giải:

f ( u ( x) ) = m

y = f ( x)

.

- Bước 2: Từ bảng biến thiên của hàm số
xác định của nghiệm

t

trong phương trình

- Bước 3: Với mỗi nghiệm

t

(

m

y = f '( x)

y = f ( x)

y = f '( x)

y = f ( x)

. Giải bài

, ta suy ra bảng biến

, ta tìm được số nghiệm và miền

f ( t ) = m.

vừa xác định được ta suy ra số nghiệm

Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số
y = f ′( x)

.

.

- Bước 1: Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
thiên của hàm số

có 4 nghiệm

x

tương ứng.
¡

xác định và có đạo hàm trên

có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm nhiều nhất của phương trình

. Hàm số

f ( x2 ) = m

là tham số thực) là?

2

A. .
Lời giải

Bước 1. Dựa vào đồ thị hàm số
y = f ( x)

3

B. .
y = f ′( x)

4

C. .

D.

5

ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số

như sau:
12


f ( x) = m

Bước 2. Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình

dương.

( )

f x2 = m

Bước 3. Từ đó suy ra phương trình
Ví dụ 2. Cho hàm số
y = f ′( x)

A ( 3;0 )

có tối đa

y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e

f ( −x + 2x + m) = e

nghiệm.
( a, b, c, d , e ∈ ¡ )

với

có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

4

m

có tối đa hai nghiệm

O ( 0;0 )

trên

. Biết hàm số

và cắt trục hồnh tại

[ −5;5]

để phương trình

2

có bốn nghiệm phân biệt.

y
1
3
O

A.

0.

Lời giải:
Quan sát đồ thị

đổi dấu và qua

B.
f '( x )
x=3

2.

x

2
C.

5.

D.

như hình vẽ. Ta thấy rằng đây là hàm bậc

3

qua

7.

x=0

khơng

đổi dấu 1 lần. Nên suy ra

f ' ( x ) = k .x ( x − 3) ( k < 0 )

lim f ( x ) = −∞

2

f ' ( 2 ) = 1 ⇒ −4k = 1 ⇔ k =

Do

1

(vì

x →+∞

nên

−1
1
3
→ f ' ( x ) = − x3 + x 2 .
4
4
4

k <0

)

13


f ( x) =

−1 4 1 3
1 1

x + x + e = − x3  x − 1÷+ e.
16
4
4 4


Suy ra
Mà theo đề ta có phương trình

2
3  −x + 2x + m

f ( − x2 + 2x + m ) = e ⇔ ( − x2 + 2 x + m ) 
− 1÷ = 0
4



 − x2 + 2x + m = 0
( 1)
⇔ 2

− x + 2 x + m − 4 = 0 ( 2)

Để phương trình

f ( − x2 + 2x + m ) = e

(2) lần lượt có 2 nghiệm phân biệt

có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) và

 ∆ = 1+ m > 0
⇒ 1
⇔ m > 3.
∆ 2 = 1 + m − 4 > 0

 m∈¢
⇒ m ∈ { 4;5} .

m ∈ [ −5;5]

m

Mà
Vậy có 2 giá trị nguyên thoả mãn bài toán.
Nhận xét: Dạng 2 là một dạng tốn rất thú vị và khá khó đối với nhiều học sinh;
vì vậy học sinh cần phải có tư duy hàm tốt và rèn luyện nhiều thì mới có thể giải
quyết được bài toán này. Sau đây là một số bài tập tương tự.
Bài 1. Cho hàm số

y = f ( x)

. Đồ thị của hàm số

Tìm điều kiện của m đề phương trình

f ( x) = m

y = f ′( x)

có nghiệm

như hình vẽ bên.
x ∈ [ −2;6]

?

14


2
−2

A.

f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( 0 )

Bài 2. Cho hàm số

Phương trình
A.

. B.

f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( 5 )

y = f ( x ).

Hàm số

f ( x) − cos π x − 2m = 0

1
1
f ( 2 ) ≤ m ≤ f ( 3)
2
2

.

f ( 5) ≤ m ≤ f ( 6 )

.C.

y = f ′( x)

. D.

f ( 0) ≤ m ≤ f ( 2)

.

có bảng biến thiên như sau:

có nghiệm

xo ∈ (2;3)

B.

khi và chỉ khi

1
1
f ( 3) < m < f ( 2 )
2
2

.
15


C.
Bài 3. Cho

1
1
f ( 2 ) < m < f ( 3)
2
2

f ( x)

Biết phương trình
a+b

D.

là hàm số đa thức bậc 5, có

xứng qua đường thẳng

Khi đó

.

x =1

f ( 1) = 0

1
1
f ( 3) ≤ m ≤ f ( 2 )
2
2

và đồ thị hàm số

.

y = f ′( x)

đối

như hình dưới đây.

f ( x + 1) = m

có nghiệm

x ∈[ −1;1]

khi và chỉ khi

m ∈[ a; b ]

.

bằng
−

A.

1
5

1
5

.

1
3

B. .

0

C. .

D. .

3. Dạng 3: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
tốn liên quan đến phương trình
Cách giải:

f ( u ( x) ) = m; f ( u ( x ) ) = m

- Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số
g = u( x)

trị của hàm số

g = u ( x)

.

y = f ( x ) ; y = f ( x) .

- Bước 3: Từ đồ thị của hàm số
phương trình

y = f ( x ) ; y = f ( x)

f ( u ( x ) ) = m; f ( u ( x) ) = m

. Giải bài

.

. Từ đó xác định được miền giá

- Bước 2: Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
thị của hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

, ta suy ra được đồ

, ta suy ra số nghiệm của

.

16


Ví dụ 1. Cho hàm số
của

m

để phương trình

y = f ( x)

f ( x) =m

0

Ta có đồ thị hàm số

khi

2

B. .

C. .

3

D. .

y= f ( x)

Dựa vào đồ thị, phương trình
m = 0
m = 2


có hai nghiệm dương phân biệt.

1

A. .
Lời giải

có đồ thị như sau. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên

f ( x) =m

có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ

.

Ví dụ 2. Cho hàm hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

17


m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình
nghiệm phân biệt.
A.

12

.

B.

198

6

.

C. .

Lời giải
Đặt
Do

t = x2 + 1

t ≥1

, điều kiện

t ≥1

, từ đó phương trình trở thành

nên ta xét bảng biến thiên của hàm

y = f ( t)

Bảng biến thiên của hàm số

trên

f ( x 2 + 1) = m

y = f ( t)

[ 1; +∞ )

trên

D.
f ( t) = m t ≥1

[ 1; +∞ )

,

190

có

6

.

.

như sau:

là

18


Cứ mỗi nghiệm
có

6

t >1

x

cho được hai nghiệm , do vậy để phương trình
f ( t) = m

nghiệm phân biệt thì phương trình
y = f ( t)

biến thiên của hàm
nên

cần có

m ∈ { 4;5;6;7;8;9}

Vậy có

6

ở trên ta có điều kiện

Ví dụ 3. Cho hàm số

m

3 < m < 10

t >1

, mặt khác

. Dựa bảng

m

nguyên

thỏa mãn bài toán.

y = f ( x)

liên tục trên

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
3

nghiệm

.

giá trị nguyên

A.

3

f ( x 2 + 1) = m

B.

Lời giải
Ta có bảng biến thiên của hàm số

¡

m

và có đồ thị như hình vẽ.

để phương trình

[ −π ; 2π ]

m
f ( 2 sin x ) = f  ÷
2

có

?

2

y = g ( x ) = 2 sin x

C.

4

trên đoạn

D.

5

[ −π ; 2π ]

19


Phương trình

m

f ( 2 sin x ) = f  ÷
2

khi và chỉ khi phương trình
Dựa vào đồ thị hàm số

phân biệt

t ∈ ( 0; 2 )

m
f ( t) = f  ÷
2

y = f ( x)

khi và chỉ khi
m ∈ { 1; 2}

m

có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
có 2 nghiệm phân biệt

suy ra phương trình

t ∈ ( 0; 2 )

m
f ( t) = f  ÷

2

[ −π ; 2π ]

.

có 2 nghiệm

m

0< <2

0 < m < 4

2
⇔
⇔
27
m
m ≠ 3
m ≠ 3
−
< f  ÷< 0

16
2 2
2

.

m

Do nguyên nên
. Vậy có 2 giá trị của thoả mãn bài tốn.
Nhận xét: Dạng 3 là một dạng tốn khó đối với nhiều học sinh vì các em phải xử
lý bài tốn liên quan đến đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối; vì vậy học
sinh cần phải tư duy tốt và thành thạo các phép biến đổi đồ thị của hàm chứa dấu
trị tuyệt đối. Để giải quyết được dạng toán này học sinh cần rèn luyện nhiều hơn
nữa các bài tập tương tự như các bài tập sau.
Bài 1. Cho hàm số

y = f ( x)

f ( x ) + 4 = m 2 − 3m + 2

có
điều kiện nào dưới đây?

A.
.

0≤m≤4

. B.

4

0
Bài 2: Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Phương trình

nghiệm phân biệt khi và chỉ khi tham số

. C.

y = f ( x)

 3 − 17   3 + 17
m ∈ 
;1÷
÷ ∪  2; 2
 2
 


÷
÷


.D.

m

thỏa mãn

 3 − 17 3 + 17 
m ∈ 
;

÷
2 ÷
 2


có bảng biến thiên sau:
20


f ( x + 2017) − 2018 = m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có đúng
A.

4

nghiệm phân biệt?

4034

.

Bài 3. Cho hàm số

B.

y = f ( x)

Tìm tất cả các giá trị

A.

4035

m

−4 ≤ m ≤ − 2

.

C.

4036

.

liên tục trên

để phương trình
B.

y = f ( x)

D.
¡

−

và có đồ thị như hình vẽ.

 3x 2 + 2 x + 3 
f
÷=m
2
 2x + 2 

m > −4

Bài 4. Cho hàm số
xác định trên
và có bảng biến thiên như sau:
x
−∞
0
y'

4037

C.
¡ \ { 0}

có nghiệm.

2
D.

2≤m≤4

, liên tục trên mỗi khoảng xác định

−

+∞

2
+

21


+∞

3

2
y
−∞

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình
A. 5.
B. 2.
Bài 5. Cho hàm số

(

)

y = f ( x)

−2

f ( x) =m

có 4 nghiệm phân biệt.
C. 4.
D. 0.

liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương

f x2 − 2 x = 1

trình

có tất cả bao nhiêu nghiệm?
y
3

−2

−1 O
−1

9

A. .

7

B. .

1

6

C. .

2

x
8

D. .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi sáng kiến kinh nghiệm được đưa ra thảo luận trong tổ chuyên mơn,
thì được các đồng chí trong tổ Tốn đón nhận và thảo luận rất sôi nổi. Tổ đã đề
xuất áp dụng vào một số lớp mũi nhọn của nhà trường; tổ trưởng đề nghị các đồng
chí tổ viên tiếp tục nghiên cứu và mở rộng đề tài theo các hướng khác nữa để giúp
học sinh tiếp cận các bài toán về hàm số hợp một cách đa dạng hơn.
Về phía học sinh nhất là các em học sinh khá giỏi, thì đa số các em rất hứng
thú với chuyên đề này; vì đây là một nội dung khó và được đề cập rất ít trong sách
giáo khoa nhưng lại xuất hiện nhiều trong các đề thi thử và đề thi chính thức của
Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Sau khi áp dụng đề tài này cho lớp thực nghiệm 12A2, tôi đã cho các em làm
một bài kiểm tra 90 phút với 30 câu về các dạng toán đã đề cập đến trong đề tài
với cấu trúc mức độ đề là 5-3-2-1 thang điểm 10 thì kết quả thu được như sau:
Mức điểm đạt được
Số lượng học sinh đạt được

Phần trăm
Dưới 5
0/43
0%
Từ 5 đến dưới 6
3/43
6,9%
Từ 6 đến dưới 7
11/43
25,5%
Từ 7 đến dưới 8
15/43
35,1%
Từ 8 đến dưới 9
10/43
23,2%
Từ 9 đến 10
4/43
9,3%
(Bảng số liệu đã được tổ Trưởng tổ Toán xác nhận trên bài kiểm tra)
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
22


3.1- Kết luận.
Mỗi thầy (cô) giáo phải luôn phấn đấu là một tấm gương tự học và sáng tạo
để học trị noi theo, vì vậy trong q trình giảng dạy và đặc biệt là trong giai đoạn
đổi mới giáo dục hiện nay thì người thầy càng phải ln nỗ lực trong việc học hỏi,
đổi mới phương pháp, tìm tịi cái hay cái mới để truyền thụ cho học trò. Đây có lẽ
cũng là tiêu chí của một người thầy mà xã hội đang mong muốn. Ý thức được điều

đó nên bản thân tôi và đồng nghiệp ở trường THPT Triệu Sơn 1 luôn phấn đấu
không ngừng để ngày càng là điểm tựa vững trãi cho học trò vươn xa hơn; ngày
càng giảng dạy được cho các em nhiều những bài toán hay, giúp các em tự tin hơn
khi bước vào các kì thi quan trọng của cuộc đời học sinh.
3.2- Kiến nghị.
Trên đây là sáng kiến của tôi đã áp dụng cho lớp chủ nhiệm 12A2 của trường
THPT Triệu Sơn 1 trong năm học 2020-2021 và bước đầu đã có kết quả rất khả
quan, rất mong được sự quan tâm của đồng nghiệp.
Rất mong các cấp lãnh đạo của nhà trường, của ngành tổ chức thêm các buổi
chuyên đề để giáo viên trao đổi về các phương pháp giảng dạy hay nhằm nâng cao
chất lượng giáo dục học sinh trong thời gian tới.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Vũ Đoàn Kết

23


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
[2]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
[3]- Đại số lớp 10 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
[4]- Đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ GD&ĐT năm 2020 lần 1.

[5]- Đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ GD&ĐT năm 2020 lần 2.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Vũ Đoàn Kết
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Giáo viên Tốn– trường THPT Triệu Sơn 1
Kết quả
Cấp đánh
đánh
Năm học
giá xếp loại giá xếp
TT
Tên đề tài SKKN
đánh giá
(Phòng, Sở, loại (A,
xếp loại
Tỉnh...)
B, hoặc
C)
1
Kinh nghiệm dạy học sinh Sở GD&ĐT
yếu kém mơn Tốn
C
2008
1. 2 Tạo hứng thú cho học sinh Sở GD&ĐT
khi học giới hạn và đạo
C
2011

hàm.
2. 3 Tạo hứng thú cho học sinh Sở GD&ĐT
lớp 10 khi học phương pháp
C
2014
tọa độ phẳng
3. 4 Một số kỹ thuật giúp học
sinh lớp 12 giải nhanh trắc Sở GD&ĐT
C
2017
nghiệm mơn Tốn
4. 5 Giáo dục kỹ năng sống cho
học sinh lớp chủ nhiệm Sở GD&ĐT
C
2020
11A2 thông qua các hoạt
động trải nghiệm


MỤC LỤC
Mục
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3

Phần A
Phần B
1

Nội dung
TTrang
MỞ ĐẦU
1
Lí do chọn đề tài
1
Mục đích nghiên cứu
1
Đối tượng nghiên cứu
1
Phương pháp nghiên cứu
1
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1
Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1
Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
1
kinh nghiệm
Các sáng kiến đã áp dụng để giải quyết vấn đề
3
Lý thuyết căn bản
3
Giải một số dạng toán về hàm số hợp bằng cách sử
3
dụng đồ thị hoặc bảng biển thiên.

Dạng 1: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của
3
hàm số

y = f ( x)

f ( u ( x) ) = m

2

.
Dạng 2: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của
hàm số

y = f '( x)

f ( u ( x) ) = m

3

. Tìm số nghiệm của phương trình

. Giải bài tốn liên quan đến phương

trình
.
Dạng 3: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của
hàm số

y = f ( x)

10

13

. Giải bài toán liên quan đến phương

f ( u ( x) ) = m; f ( u ( x ) ) = m

2.4
3
3.1
3.2

trình
.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà
trường.
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận
Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT
CÔNG NHẬN

17
18
18
18