Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay

“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1 Lí do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu......................................................................................1
1.3 Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................1
1.4 Phương pháp nghiên cứu...............................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.................................................. 2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến...........................................................................2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.........................................3
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề........................................3
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan....................................................................3
2.3.2.Một số ví dụ vận dụng......................................................……………

4

2.3.3. Hệ thống bài tập tự luyện………………………………………………17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến...............................................................................18
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.....................................................................

19

3.1. Kết luận........................................................................................................19
3.2 Kiến nghị.......................................................................................................20

0


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

A.ĐẶT VẤN ĐỀ
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn học lớp 12, bài tốn về khối trịn xoay và phương
pháp tọa độ trong khơng gian giữ một vai trị quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết
các đề thi THPT Quốc gia; đề thi học sinh giỏi trong những năm gần đây. Mặc
dù vậy đây là phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng
tượng hình khơng gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến
thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi,
các em có thể làm tốt phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết
bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này
khá ít, chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập là chủ yếu, chưa có tài liệu nào hướng
dẫn sử dụng kết hợp bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần
mềm vẽ hình khơng gian cịn hạn chế nên việc biên soạn bài toán với cách giải
mới về phần này cịn gặp nhiều khó khăn.
Từ những lý do trên cùng với ý tưởng, giải pháp mà bản thân đã rất tâm đắc
tự rút ra trong quá trình thực tế giảng dạy ôn thi học sinh giỏi và ôn thi THPT
Quốc gia (nay là TN THPT), tôi đã quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện cho học
sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn
xoay’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2020 –
2021 và hy vọng thông qua đề tài này cung cấp cho học sinh cái nhìn tổng quan
hơn về phương pháp giải để từ đó có định hướng tốt tìm ra lời giải các bài tốn
cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay. Rất mong nhận được sự đóng góp
ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác
việc sử dụng kiến thức về khối trịn xoay kết hợp với phương pháp tọa độ trong
khơng gian nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho

học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn, năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng công nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio).
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học.
- Kỹ năng vận dụng các kiến thức về định lý Pitago, bất đẳng thức Cauchy,
ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, thể tích của khối
tứ diện,…
- Phát triển trí tưởng tượng và kỹ năng biểu diễn hình không gian.
1.3. Đối tượng nghiên cứu

1


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải
một số bài toán cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay để phát triển các
năng lực Toán học của học sinh, qua đó khẳng định sự cần thiết phải xây dựng
“bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay” trong chương trình
giảng dạy Hình học lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
sát thực tế dạy học phần khối tròn xoay và phương pháp tọa độ trong khơng gian
để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc kết hợp kiến thức khối tròn xoay với
phương pháp tọa độ trong không gian trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo
khoa Hình học 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Hình học 12 - Nâng cao và
Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình và tài liệu về dạy học theo định hướng
phát triển năng lực học sinh.

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải
quyết một vấn đề là vơ cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm
được lời giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai
trị thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động
tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy
cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một
nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.
Trong chương II sách giáo khoa Hình học lớp 12 đưa ra khái niệm mặt cầu
ngoại tiếp, nội tiếp hình nón, cách xác định bán kính đường trịn là thiết diện của
mặt phẳng và mặt cầu,.. Với các khái niệm này chúng ta đưa về 3 dạng toán như
sau:
Dạng 1: Bài tốn khối cầu ngoại tiếp khối nón, biết khối nón có thể tích lớn
nhất
Dạng 2: Bài tốn giữa khối cầu và mặt phẳng sao cho thể tích khối tứ diện
có thể tích lớn nhất
Dạng 3: Bài tốn giữa khối cầu và mặt phẳng sao cho bán kính mặt cầu
hoặc bán kính đường trịn thiết diện nhỏ nhất
Dạng 4: Các bài toán khác của khối cầu liên quan đến khoảng cách giữa 2
điểm, khoảng cách giữa điểm và đường thẳng….
Trong 3 dạng tốn trên thì dạng tốn 1 sử dụng kiến thức về khối nón, khối
cầu và thể tích của chúng, cịn dạng tốn 2 và dạng tốn 3 ta đều sử dụng khoảng
2


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng để tính bán kính mặt cầu hoặc bán kính đường trịn thiết diện.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Nga Sơn là một trường nằm ở phía nam của huyện, có nhiều xã
khó khăn thuộc vùng bãi ngang; nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh
chậm, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường đi học cịn xa và khó đi nên ảnh
hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em.
Trong q trình dạy học tơi nhận thấy một điều đó là để học tốt mơn HHKG
thì cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả năng đốn nhận,
phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng vẽ hình tốt, kỹ năng trình bày chặt chẽ và
tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng
trong hình khơng gian. Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của khơng ít
học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại và sợ học môn
HHKG.
Hơn nữa việc áp dụng kiến thức khối trịn xoay và phương pháp tọa độ trong
khơng gian của học sinh đa số mới chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết, rất ít học
sinh thuần thục các kỹ năng và sáng tạo khi vận dụng kiến thức hình giải
tíchliên kết khối trịn xoay vào giải tốn mà đa phần học sinh tỏ ra lúng túng
khơng định hình được cách giải.
.
Phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm
vụ cho học sinh một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài tốn ở những cách
giải mới khơng có trong sách giáo khoa. Ngoài ra số tiết theo phân phối chương
trình dành cho phần này rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức đã học cho học sinh trước khi tiếp nhận kiến
thức mới
- Hệ thống kiến thức hình học khơng gian gồm: “ Mặt cầu, mặt nón” , “Vị
trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng”
- Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu, khoảng cách từ 1 điểm đến

mặt phẳng, khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng
Cho điểm M và đường thẳng d . Gọi H là hình chiếu của M trên d . Khi
đó MH chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d . Kí hiệu d ( M , d )
Nhận xét:
* M ' �, MM ' �d ( M , d )
* Để tính d ( M , d ) ta làm như sau:
+ Xác định hình chiếu H của M trên d
+ Tính MH .

3


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

- Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm M và mặt phẳng  P  . Gọi hình chiếu H của M trên  P  . Khi
đó MH chính là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  . Kí hiệu d ( M ,( P))

2
2
2
+ Cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax  By  Cz  D  0  A  B  C �0 

và điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  , khoảng cách từ M 0 đến (P) là:
d  M 0 ;( P)  

Ax  By  Cz  D
A2  B 2  C 2
r

+ Cho đường thẳng  có VTCP u và đi qua điểm M 0 , khoảng cách từ điểm M
r uuuuur
�
�
u
�, M 0 M �
r
đến  là: d  M ,   
u

+ Cho mặt cầu (S) có phương trình:  x  a    y  b    z  c   R 2 , khi đó (S)
2

2

2

tâm I  a; b; c  và bán kính R
2.3.2. Hướng dẫn và rèn luyện kỹ năng giải một số bài tốn cực trị
hình giải tích liên kết khối tròn xoay
2.3.2.1. Sử dụng kiến thức về mặt cầu, mặt nón kết hợp với kiến thức
phương trình mặt phẳng để tìm lời giải cho bài tốn
Phương pháp:
Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
Bước 2: Tính bán kính của khối nón, thể tích của khối nón (N)
Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng chứa đường trịn đáy của khối nón (N)
Dạng 1: Bài tốn khối cầu ngoại tiếp khối nón, biết khối nón có thể tích lớn
nhất. Tìm phương trình mặt phẳng chứa đáy của khối nón.
Ví dụ 12: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A  2;1;3 và B  6;5;5  . Xét khối
nón  N  có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi  N 

có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường trịn đáy của  N  có phương
trình dạng 2 x  by  cz  d  0 . Giá trị của b  c  d bằng
Ví dụ 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

4


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

A. 21
Phân tích:

C. 18

B. 12

D. 15

+Bước 1: Tính bán kính đáy hình nón (N) là r theo h và R
+Bước 2: Tính thể thể tích khối nón
+Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón, từ đó suy ra phương
trình mặt phẳng chứa đường trịn đáy của khối nón
Bài giải:

Ta có: AB  6 .
Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy hình nón (N), R là bán kính mặt
cầu (S) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AB và H là tâm đường trịn đáy
hình nón (N).
Để thể tích khối nón (N) lớn nhất thì h �R .
Ta có: r 2  R 2  IH 2  R 2   h  R 

2

1
1

  4R 
2
Thể tích khối nón V  h. r 2  h. . �
R 2   h  R  � h.h.  4 R  2h  � .
�
� 6
3
3
6 27
4
3

Dấu ''  '' xảy ra khi h  4 R  2h � h  R � AH  4, BH  2
uuur 2 uuu
r
14 11 13 �
�
H
x
;
y
;
z
AH


AB
�H� ; ; �


Gọi
, khi đó:
3
�3 3 3 �

5

2


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

uuur

Phương trình mặt phẳng chứa đường trịn đáy của (N), đi qua H và nhận AB
làm vectơ pháp tuyến là:
13
� 14 � � 11 �
2 �x  � 2 �y  � z   0 � 2 x  2 y  z  21  0 � b  c  d  18
3
� 3� � 3�

2.3.2.2. Sử dụng kiến thức về mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng kết
hợp với kiến thức thể tích khối chóp để tìm lời giải cho bài tốn
Dạng 2: Bài tốn giữa khối cầu và mặt phẳng sao cho khối tứ diện có thể tích

lớn nhất. Xác định các yếu tố có liên quan
Phương pháp:
Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
Bước 2: Tính thể tích của khối tứ diện, tìm điều kiện để thể tích khối tứ diện lớn
nhất
Bước 3: Tìm các yếu tố theo u cầu của bài tốn
Ví dụ 22: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(0;1;9)  và mặt cầu
2
2
2
 S  : x  3   y  4    z  4   25 . Gọi (C ) là giao tuyến của ( S ) với mặt
phẳng (Oxy ). Lấy hai điểm M , N trên (C ) sao cho MN  2 5  . Khi tứ diện
OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào trong số
các điểm dưới đây?
A.  5;5;0   

1
�5

�
�
B. � ; 4;0 �
�

12
�
�

�
�

C. � ; 3;0 �
5

D.  4;6;0 

Phân tích:
+Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S), bán kính của đường trịn
(C)
+Bước 2: Tính thể thể tích khối tứ diện OAMN
+Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện, từ đó suy ra phương
trình đường thẳng MN và tọa độ điểm mà MN đi qua.
Bài giải:

Ví dụ 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

6


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

Mặt cầu  S   có tâm I (3; 4; 4)  và bán kính R  5 . Gọi H là hình chiếu vng góc
của I lên mặt phẳng (Oxy) � H  3;4;0   . Đường trịn (C) có tâm H  3;4;0    và
bán kính r  R 2  IH 2   25  16  3 . Gọi E là trung điểm của MN, suy ra
ME  5 và HE  MN  Ta có: OH   5, HE  r 2  ME 2  2 , suy ra O nằm ngồi
(C).
Gọi K là hình chiếu vng góc của O lên MN.
1
3

1
3

1
2

Khi đó: VOAMN   d  A;  Oxy   .SVOMN  .9. .OK .MN
 3 5.OK �3 5.OE �3 5  OH  HE   21 5

Đẳng thức xảy ra khi K �E và O, H , E thẳng hàng ( H nằm trong đoạn OE ).
uuur 7 uuur
�21 28 �
�21 28 �
OE
 OH � E � ; ;0 �, MN đi qua điểm E � ; ;0 �và nhận
Khi đó:
5
�5 5 �
�5 5 �
r
r uuur � 28 21 �
�  ; ;0 �là một vectơ chỉ phương.
u�
k
�, OE � �
� 5 5 �

� 21 28
�x  5  5 t
�

� 28 21
Do đó: phương trình của MN là: �y   t
5
� 5
�z  0
�
�

Vậy: MN đi qua điểm có tọa độ  5;5;0   

7


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

Ví dụ 31: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt cầu
 S1   : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  2  0 và  S2   : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  4  0 .
Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm trên  S1  và hai đỉnh C, D nằm trên
 S2  . Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A. 3 2  

B. 2 3

C. 6 3

D. 6 2

Phân tích:
+Bước 1: Xác định tâm và bán kính của hai mặt cầu  S1  ,  S 2 
+Bước 2: Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng AB,

CD. Tính độ dài AB, CD
+Bước 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo cơng thức
VABCD 





1
AB.CD.d  AB, CD  sin �
AB, CD , tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối
6

tứ diện.
Bài giải:
Mặt cầu  S1  có tâm I  1; 2;1 và bán kính R1  2 , mặt cầu  S 2  có tâm
I  1; 2;1 và bán kính R2  10 .
Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng AB, CD.
Ta có: AB  2 R12  a 2  2 4  a 2 , CD  2 R22  b 2  2 10  b 2





AB, CD �1 .
Và d  AB, CD  �d  I , AB   d  I , CD   a  b . Thêm nữa: sin �





1
2
AB, CD �  a  b  . 4  a 2 . 10  b 2
Ta có: VABCD  AB.CD.d  AB, CD  sin �
6

Mà: a  b  a  2.

3

b
b2
� 3. a 2 
2
2
3

� 2 b2
b2 �
2
a


4

a

5


2
2
�
� b �
� b ��
2
2 ��27
4  a2  �
5  ���
Và �a 2  �

2�
3
�
� 2��
�
�
�
�
�
2 3
. 2. 27  6 2 , dấu ''  '' xảy ra khi a  1, b  2 và hai đường
Vậy: VABCD �
3

thẳng AB, CD vng góc với nhau.
Dạng 3: Bài tốn giữa khối cầu và mặt phẳng sao cho bán kính mặt cầu hoặc
bán kính đường trịn thiết diện nhỏ nhất
Ví dụ 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1

8


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

Phương pháp:
Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
Bước 2: Tính các yếu tố có liên quan đến bán kính mặt cầu hoặc bán kính đường
trịn thiết diện
Bước 3: Tìm điều kiện để bán kính nhỏ nhất
Ví dụ 43. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :

x 1 y 1 z 1
x  3 y 1 z  2
x  4 y  4 z 1


, d2 :




và d3 :
. Mặt
2
1
2
1
2
2

2
2
1
cầu (S) có tâm I  a; b; c  và bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với ba đường thẳng
d1 :

d1 , d 2 , d 3 . Tính S  a  2b  3c

A.10 
Phân tích:

B. 11

C. 12

D. 13

+Bước 1: Xác định vị trí tương đối và khoảng cách giữa các đường thẳng
d1 , d 2 , d 3

+Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm I đến các đường thẳng d1 , d 2 , d3 .
+Bước 3:, Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu, từ đó suy ra tọa độ tâm
I.
Bài giải:
Nhận xét: Ba đường thẳng d1 , d 2 , d3 đơi một vng góc và cách đều nhau
Dựng hình phương ABCD. A/ B / C / D / sao cho d1 , d 2 , d 3 chứa ba cạnh
Ta có cạnh của hình lập phương là d  3

Ta có:

Ví dụ 4 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

9


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’





d 2  I ; d1   d 2  I ;  ABCD    d 2 I ;  ABB / A/   x 2  y 2









d 2  I ; d 2   d 2 I ;  BCB / C /   d 2 I ;  CDD / C /   z 2  t 2









d 2  I ; d3   d 2 I ;  A/ B /C / D /   d 2 I ;  ADD / A/   u 2  v 2
1
1
2
2
 y t
 z v
2
2
�7 3 3 �
Dấu ''  '' xảy ra � I là tâm hình lập phương � I � ; ; �. Vậy:
�2 2 2 �
7
3
3
S   2.  3.  11
2
2
2
x 2 y 2�
z 2 t 2 u2 v2
Lại có: 3r 2 

1
2
 x u
2

r

3 2
2

Ví dụ 5 4 . Trong không gian Oxyz, cho điểm hai điểm A(3; 2;6) , B  0;1; 0 
và mặt cầu  S  : x  1   y  2    z  3  25 . Mặt phẳng
2

2

2

A, B và cắt  S  theo giao tuyến là hình
trịn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c

 P  : ax  by  cz  2  0 đi qua hai điểm

A. 3 
Phân tích:

B. 5

C. 2

D. 4

+Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
+Bước 2: Viết phương trình đường thẳng AB, tính bán kính r của đường trịn
giao tuyến
+Bước 3:, Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính r, từ đó suy ra tọa độ vectơ pháp

tuyến của (P)
Bài giải:

Ví dụ 5 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

10


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

Mặt cầu  S  có tâm I  1;2;3 và bán kính R  5

uur
2
2
2
n
Mặt phẳng (P) có VTPT P   a; b; c  ,  a  b  c �0 

Vì B  0;1;0  � P  nên b  2  0 � b  2
uuur
Ta có: AB  3;3; 6   3  1; 1;2  , phương trình đường thẳng
�x  t
�
AB : �y  1  t , t ��
�z  2t
�

Gọi r là bán kính đường trịn giao tuyến, K là hình chiếu vng góc của I lên
AB, H là hình chiếu vng góc của I lên mặt phẳng (P).

uur
K
�
AB
�
K
t
;1

t
;
2
t
�
Ta có:

 IK  t  1; t  1;2t  3
uuur uur
uur
IK  AB � AB.IK  0 � t  1 � IK  0; 2; 1
r  R 2  d 2  I ,  P    25  d 2  I ,  P    25  IH 2

Ta có: rmin � IH max
��
 IH
�max

Mà IH �IK

H

K

 P

IK

uur uur
nP , IK cùng phương

�k  1
�a  0
�a  0
�
uur
uur �
�a  0
�
� nP  k . IK � �
b  2k  2 � �
��
b2
b2
�
�
�
c  k
c 1
�
�

�
c 1
�

Vây: T  a  b  c  3
Ví dụ 62. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  đi qua hai điểm
A  1;6; 2  , B  3;0;0  và có tâm thuộc mặt phẳng  P  : x  y  2  0 . Bán kính mặt
cầu (S) có giá trị nhỏ nhất là
A.

462
 
6

B.

534
4

C.

218
6

D.

530
4

Phân tích:

+Bước 1: Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB là  Q 
+Bước 2: Do tâm M của mặt cầu cũng thuộc (P) nên M thuộc đường thẳng

Ví dụ 6 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

11


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

   P  � Q  ,tính khoảng cách từ H đến 

+Bước 3: Tìm điều kiện để bán kính R nhỏ nhất
Bài giải:

uuur
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB � H  2;3;1 , HB  1; 3; 1 .

Mặt cầu đi qua hai điểm A, B có tâm M � Q  là mặt phẳng trung trực của đoạn
uuur
thẳng AB, mp  Q  đi qua điểm H và có VTPT HB  1; 3; 1 có phương trình

 Q : x  3y  z  6  0

Do tâm M của mặt cầu cũng thuộc (P) nên M thuộc đường thẳng    P  � Q 
có VTCP
r
u  1;1;2  và đi qua M 0  2;0;4  . Gọi d là khoảng cách từ H đến  , khi đó:
uuuuur r

�
M 0H ,u�
�
� 66
d  d  H ,  

, HB  11
r
6
u

Ta có: R  MB  HB 2  MH 2 . Nhận thấy, HB không đổi,
Rmin �MH min

của H lên  )

M

I , khi đó: MH  HI  d  66 ( I là hình chiếu vng góc
6

Vây: Rmin  HB 2  IH 2 

462
6

Dạng 4: Các bài toán khác của khối cầu liên quan đến khoảng cách giữa 2
điểm, khoảng cách giữa điểm và đường thẳng,….
Phương pháp:
Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

12


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

Bước 2: Tính các yếu tố có liên quan
Bước 3: Tìm tọa độ điểm, đường thẳng, mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn
Ví dụ 73. Trong khơng gian Oxyz, cho điểm hai điểm M (4; 4; 2) , N  6;0; 6 
và mặt cầu  S  : x  1   y  2    z  2   9 . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu
2

 S  sao cho

2

2

EM  EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt

cầu (S) tại E
A. x  2 y  2 z  8  0 
C. 2 x  2 y  z  1  0 
Phân tích:

B. 2 x  y  2 z  9  0
D. 2 x  2 y  z  9  0 

+Bước 1: Xác định tâm mặt cầu (S), tọa độ trung điểm P của đoạn MN
+Bước 2: Tìm điều kiện để tổng

 EM  EN  đạt giá trị lớn nhất

+Bước 3:, Tìm tọa độ tiếp điểm E và phương trình mặt phẳng tiếp diện tại E
của mặt cầu
Bài giải:

E

I

Mặt cầu  S  có tâm I  1;2;2  .

Gọi P là trung điểm của MN � P  5; 2; 4 
Ta có:  EM  EN  �2  EM  EN
2

Suy ra:

2

2



M

P

N

� 2 MN 2 �
 2 �2 EP 
�
2 �
�

�EM  EN
�EPmax

 EM  EN  max � �

Khi đó: E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) ( với I nằm giữa E,
P)
uur
x 1 y  2 z  2


Lại có: IP  4; 4; 2  ,do đó phương trình đường thẳng IP là
2

Ví dụ 7 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

2

1

13


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

2
2
2
�
x  1   y  2    z  2   9 �

E  3;0;3
�
�
�
�
Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ x  1 y  2 z  2
E  1; 4;1


�
�
�2
2
1
uur
Do: EPmax � E  1; 4;1 . Khi đó: EI  2; 2;1

Phương trình mặt phẳng tiếp diện tại E là: 2 x  2 y  z  9  0 
Ví dụ 84. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;3 và có bán
�x  1  t
�
 t �� , m là tham số thực. Giả
kính r  2. Xét đường thẳng  : �y  mt

�z  m  1 t

� 

sử  P  ,  Q  là mặt phẳng chứa  và tiếp xúc với (S) lần lượt tại M, N. Khi độ
dài MN ngắn nhất, hãy tính khoảng cách từ điểm B  1;0; 4  đến đường thẳng 
A. 5 

B.

5 3
3

237
12

C.

D.

4 273
21

Phân tích:
+Bước 1: Xác định phương của mặt phẳng thiết diện của mặt cầu đi qua 3
điểm I, M, N. Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng 
+Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng
�m
+Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng 
Bài giải:

M

I

K

H

N
Mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I và hai điểm M, N cắt đường thẳng  tại H
Ví dụ 8 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

14


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

� IH  , d  I ,    IH

Gọi K  MN �IH . Suy ra: MN min � MH min � IH min
uu
r

Ta có: u   1; m; m  1 , A  1;0;0  �d . Khi đó:
uu
r uu
r
�
�
u

,
IA
� �
d  I,  

uu
r
u

25m 2  20m  17
2m 2  2 m  2

.

Xét hàm số f  m   25m  20m  17
2
2

2m  2m  2

/
Ta có : f  m  

10m2  32m  6

 2m

2

 2m  2 

2

� 1
m
, f  m  0 � � 5
�
m3
�
/

Bảng biến thiên:
m

�



f /  m
f  m

1
5

0

+

25
2

0



13
25
3

Từ bảng biến thiên, ta có: IH min � m 

�

3

25
2

1
5

�
�x  1  t
�
1
�
Đường thẳng  có phương trình là:  : �y   t  t ��
5
�
4

�
z t
�
5
�
uu
r uuu
r
�
� 4 273
u
,
AB
�
�

uu
r
Khoảng cách d  B,   
21
u

Ví dụ 91. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 và hai
15


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

điểm M (1;1; 1) , N  3; 3; 3 . Mặt cầu  S  đi qua hai điểm M , N và tiếp xúc
với (P) tại C. Biết rằng C ln thuộc một đường trịn cố định. Tính chu vi của

đường trịn đó.
B. 8

A.12  

C. 8 3

D. 12 2

Phân tích:
+Bước 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng MN
+Bước 2: Tìm tọa độ điểm D  MN � P 
+Bước 3: Từ tính chất của phương tích, tìm bán kính R của đường trịn rồi
suy ra chu vi của nó.
Bài giải:

r

r
1 uuuu
4
�x  1  t
�
phương trình tham số của đường thẳng MN : �y  1  t  t �� . Gọi
�z  1  t
�

Ta có: MN đi qua M  1;1; 1 , nhận u  MN   1; 1;1 làm 1 VTCP nên

�x  1  t

�y  1  t
�
D  MN � P  , tọa độ điểm D là nghiệm của hệ: �
�z  1  t
�
�x  y  z  3  0
t  2
�
�x  3
�
��
� D  3;3; 3
y

3
�
�
�z  3

Do đó: theo tính chất của phương tích ta được DM .DN  DI 2  R 2 . Mặt khác, vì

Ví dụ 9 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1

16


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

DC là tiếp tuyến của mặt cầu (S) nên
( khơng đổi).

Vậy C ln thuộc một đường trịn cố định tâm D, bán kính R  6 , suy ra chu vi
của đường trịn là 12
Nhận xét:
Trong q trình dạy học mơn hình học khơng gian, việc hình thành cho học
sinh kỹ năng vẽ hình (biểu diễn hình khơng gian) là rất cần thiết và quan trọng.
Để làm tốt điều này, người giáo viên cần định hướng cho học sinh biểu diễn các
hình khơng gian dưới nhiều góc độ khác nhau để từ đó đưa ra góc nhìn tốt nhất
để vẽ hình. Từ việc biểu diễn hình ở góc độ tốt sẽ hình thành cho các em tư duy
trừu tượng, khả năng tưởng tượng cao trong khi làm bài.
2.3.3.Hệ thống bài tập tự luyện
Bài tập 1:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0) , B  0; b;0  , C  0;0; C  với a, b, c
là các số thực thay đổi, khác 0 và thỏa mãn a  b  c  3 . Tính thể tích nhỏ nhất
của khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A.

3 

2

D. 12

C. 4

B. 3

Bài tập 2:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0) , B  0; b;0  , C  0;0; C  với
1 2 3
   7 . Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu

a b c
72
2
2
2
 S  : x  1   y  2    z  3  . Tính thể tích tứ diện OABC.
7

a, b, c  0 và thỏa mãn

A.

2
9

B.

1
6

C.

3
8

D.

6
5

Bài tập 3:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0) , B  0; b;0  , C  0;0; c  với
a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  4 . Biết a, b, c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định.Tính khoảng cách từ điểm
M (1;1; 1) đến mặt phẳng (P) .
A.

3
3

B. 3

C. 0

D.

3
2

Bài tập 4:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  :3m x  5 1  m 2 y  4mz  20  0 .

17


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

Biết rằng khi m thay đổi trên đoạn  1;1 mặt phẳng (P) luôn tiếp xúc với cầu  S  cố
định. Tính bán kính mặt cầu đó.
A. 4

B. 3
C. 2
D. 5
Bài tập 5:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0) , B  1; 2;1 , C  2; 1; 2  . Biết mặt
phẳng qua A,B và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một véc tơ pháp tuyến
(10; a; b)  . Tổng a  b là:
A. 2
B. 2
C. 1
D. 1
Bài tập 6:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt cầu
2
2
2
 S  : x  1   y  1   z  2   16 . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đơi một
vng góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường trịn. Tính tổng diện tích ba
đường trịn tương ứng đó.
A. 38
Bài tập 7:

B. 10

C. 33

D. 36

�x  1  3a  3t
�

 t �� , a
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : �y  2  t
�z  2  3a  1  a t


�

là tham số thực. Biết rằng khi a thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định
đi qua điểm B  1;1;1 và tiếp xúc với đường thẳng  . Tìm bán kính của mặt cầu
đó.
A. 5 3
B. 3
C. 2
D. 5
Bài tập 8:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(5;3; 2)  và mặt cầu
2
2
2
 S  : x  2    y  1   z  1  9 . Một đường thẳng  thay đổi luôn đi qua A và
luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A, B . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S  AM  4 AN

A. 5 34  9
B. 20
C. 10
D. 5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Thông qua việc đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng tốn hình giải tích
liên kết khối trịn xoay đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng

18


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

tốn tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao
hơn. Từ đó kết quả kiểm tra tiến bộ rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12A và
12I mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bài ngắn
hơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như
sau:
Kết quả kiểm tra lần 1
Điểm dưới 5 Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
Số HS
Lớp
thực
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

nghiệm
13,95
%
21,95
12I
41
9
%
Kết quả kiểm tra lần 2
Số HS Điểm dưới 5
Lớp
thực
SL
%
nghiệm
12A

43

6

20

46,51
%

15

23

56,1%

9

34,88
%
21,95
%

2

4,66
%

0

0%

Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

SL

SL

SL

12A

43

0

0

8

12I

41

0

0

11

%
18,6
%
26,8
%

23
22

%

53,48
%
53,65
%

12
8

%
27,92
%
19,55
%

Kết quả thu được:
Qua quan sát thực tế và các bài kiểm tra về dạng toán này, tôi thấy
- Học sinh đã định hướng và giải khá nhanh các bài tốn hình giải tích liên
kết khối trịn xoay được tôi sưu tầm từ các đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT
của các trường THPT trong cả nước.
- Học sinh đã rèn luyện thành thục kỹ năng liên kết các khối kiến thức, kỹ
năng tính tốn và phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho một bài tốn, một
dạng tốn.
- Tiết học sơi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100%
học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả
tốt hơn khi chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy trên.
Từ những kết quả trên tôi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là
hồn tồn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tơi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao

19


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối trịn xoay’’

chất lượng giảng dạy mơn Hình học khơng gian của bản thân, góp phần vào việc
nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn của nhà trường.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Tóm lại, để phát triển năng lực tốn học trong q trình dạy học bộ mơn
Tốn chúng ta đi tìm cách nâng cao các yếu tố “Tri thức chun mơn Tốn, kỹ
năng làm tốn và thái độ tình cảm đối với mơn Tốn”. Làm được điều này trước
hết giáo viên phải cần có năng lực nghiên cứu sáng tạo cái mới (phương pháp
mới, kiến thức mới, bài toán mới...) để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ
của mình ln giữ vững vai trị là người điều khiển của q trình dạy học. Đối
với mỗi dạng tốn người thầy nên hình thành và chú ý rèn luyện, phát triển các
năng lực Tốn học cho các em. Tính góc bằng phương pháp và kỹ thuật ở trên sẽ
giúp học sinh chủ động trong việc phát hiện ra tri thức và nắm bắt được tri thức
để từ đó kích thích sự đam mê, sáng tạo trong học tập bộ môn Toán của học sinh.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là một số sáng kiến và kinh ngiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị
trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem xét, mở rộng hơn nữa
để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh u thích và say mê học
Tốn hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯởNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hố, ngày 13/05/2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN

của mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Mai Phi Thường

20


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Chuyên đề luyện thi vào đại học – Hình học - Trần Văn Hạo – NXB Giáo
Dục
[2]. Các bài giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III – Phan Đức Chính – Lê Thống
Nhất – Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục
[3]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2018 – Phan Đức Tài
– Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam
[4]. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT – Nguồn internet

21


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:

Mai Phi Thường
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn
Kết quả
Năm học
Cấp đánh
TT
Tên đề tài SKKN
đánh giá đánh giá xếp
giá xếp loại
xếp loại
loại
1.
Rèn luyện kĩ năng xác định Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh
C
đoạn vng góc chung và tính
Hóa
2014 - 2015
khoảng cách giữa hai đường
2.

3.

4.

thẳng chéo nhau
Kinh nghiệm hướng dẫn học Sở GD&ĐT
sinh giải một số dạng bài tốn tỉnh Thanh
về tính đơn điệu của hàm số
Hóa

theo hình thức thi trắc nghiệm
Kinh nghiệm hướng dẫn học
sinh giải một số bài tập bất
phương trình vơ tỷ theo hình
thức trắc nghiệm
Kinh nghiệm hướng dẫn học
sinh sử dụng nét đẹp trong
hai tính chất của số tổ hợp để
giải một số bài toán nhị thức

C

2016 - 2017

Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh
Hóa

C

2018 - 2019

Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh
Hóa

C

2019-2020

22


“Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn cực trị hình giải tích liên kết khối tròn xoay’’

Newton

23